Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

29 bài tập số phức có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.3 KB, 7 trang )

29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

Câu 1: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: z  2z  6  2i .
Câu 2: Tính môđun của số phức z = ( 3  i )2011 .

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 1:  Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình ta được
a  bi  2(a  bi )  6  2i  a  bi  2a  2bi  6  2i  3a  bi  6  2i
3a  6
a  2
 
 
 z  2  2i  z  2  2i
b  2
b  2


 Vậy, z  2  2i
Câu 2: Ta có, ( 3  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 .i  3. 3.i 2  i 3  3 3  9i  3 3  i  23.i
670
 Do đó, ( 3  i )2010  ( 3  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i 4 )167 .i 2  22010

Vậy, z  ( 3  i )2011  22010.( 3  i )  z  22010. ( 3)2  12  2011
Câu 3: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: (z )4  2(z )2  8  0
Câu 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z 

1
2  2i


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 3: (z )4  2(z )2  8  0
 Đặt t  (z )2 , thay vào phương trình ta được
(z )2  4
z  2
z  2
t  4
t 2  2t  8  0  
  2
 
 
(z )  2
z  i 2
z  i 2
t  2
 Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm: z1  2 ; z 2  2 ; z 3  i 2 ; z 4  i 2
Câu 4:

1
2  2i
2  2i
2  2i
1 1
z



  i
2
2  2i (2  2i )(2  2i ) 4  4i

8
4 4
1 1
2  2
2 
2 

 
 Vậy, z   i 

i  
cos  sin i 


4 4
4  2
2 
4 
4
4 
Câu 5: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 2  2z  5  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2

Câu 5: z  2z  5  0 (*)
 Ta có,   22  4.(1).(5)  16  (4i )2
 Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1|Trang

 1 2  1 2

2
 z       
4
4
4


29 bài số phức có giải chi tiết
z1 

Lớp toán thầy Huy –
2  4i
2  4i
 1  2i và z 2 
 1  2i
2
2

Câu 6: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2 2  2  5  0
2

Câu 7: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z  4z  8i
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 6: 2 2  2  5  0 (*)
 Ta có,   (2)2  4.2.5  36  (6i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:
2  6i
1 3
2  6i
1 3

1 
  i ; 2 
  i
4
2 2
4
2 2
2

Câu 7: z  4z  8i
2

 Đặt z  a  bi  z  a 2  b2  z  a 2  b 2 . Thay vào phương trình trên ta được:
2

z  4z  8i  a 2  b 2  4(a  bi )  8i  a 2  b 2  4a  4bi  8i
a  2
a 2  b 2  4a  0
a 2  b 2  4a  0
a 2  4a  4  0
 
 
 
 
4b  8
b  2
b  2
b  2





 Vậy, z = –2 +2i

Câu 8: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: 3z  9  2iz  11i .
Câu 9: Tính môđun của số phức z = ( 3  i )2011 .
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 8: Ta có, 3z  9  2iz  11i  3z  2iz  9  11i (1)
 Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình (1) ta được

3(a  bi )  2i(a  bi )  9  11i  3a  3bi  2ai  2bi 2  9  11i
3a  2b  9
a  1
 3a  2b  (3b  2a )i  9  11i  
 
3b  2a  11
b  3


 Vậy, z  1  3i  z  1  3i
Câu 9: Ta có, ( 3  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 .i  3. 3.i 2  i 3  3 3  9i  3 3  i  23.i
670
 Vậy, z  ( 3  i )2010  ( 3  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i 4 )167 .i 2  22010

Do đó, z  ( 3  i )2011  22010 ( 3  i )  z  22010. ( 3)2  12  22011
Câu 10: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 2 – (1  5i )z – 6  2i  0

2|Trang



29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu 10: z 2 – (1  5i )z – 6  2i  0 (*)
 Ta có,   (1  5i )2  4.(6  2i )  1  10i  25i 2  24  8i  2i  (1  i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:
(1  5i )  (1  i ) 4i
(1  5i )  (1  i ) 2  6i
z1 

 2i và z 2 

 1  3i
2
2
2
2
Câu 11: Tìm môđun của số phức: z  1  4i  (1  i )3 .
Câu 12: Tìm nghiệm của phương trình sau đây trên tập số phức:
z  z 2 , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
3

Câu 11: z  1  4i  (1  i )  1  4i  1  3i  3i 2  i 3  1  2i
 Vậy, z  1  2i  z  (1)2  22  5
Câu 12: z  z 2 (*)
 Giả sử z  a  bi  z  a  bi . Thay vào phương trình (*)ta được:
a  bi  (a  bi )2  a  bi  a 2  2abi  b 2i 2  a  bi  a 2  b 2  2abi

a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
 
 
 
 
b  2ab
2ab  b  0
b(2a  1)  0
b  0 hoac a   1
2




2
2
 Với b = 0, ta được a  a  a  a  0  a  0 hoac a  1

1
1 1
3
3
 Với a   , ta được    b 2  b 2   b  
2
2 4
4
2

1
3
1
3
 Vậy, các nghiệm phức cần tìm là: z1  0 , z 2  1 , z 3   
i , z4   
i
2
2
2
2
1

Câu 13: Tìm môđun của số phức: z  2  3i   3i 
2






Câu 14: Giải phương trình sau đây trên tập số phức x 2  (3  4i )x  (1  5i )  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

1

1
3
3 3
Câu 13: z  2  3i   3i   2   2 3i 

i  3i 2  4 
i
2

2
2
2





 3 3 2
3 3

  16  27 
 Vậy, z  4 
i  z  42  
 2 
2
4

91
91

4
2

Câu 14: x 2  (3  4i )x  (1  5i )  0 (*)
 Ta có,   (3  4i )2  4.1.(1  5i )  9  24i  16i 2  4  20i  3  4i  (1  2i )2

 Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm phức:

3|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

(3  4i )  (1  2i ) 4  6i

 2  3i
2
2
(3  4i )  (1  2i ) 2  2i
x2 

 1i
2
2
z i
Câu 15: Tìm phần thực và phần ảo của số phức  
, trong đó z  1  2i
z i
x1 

Câu 16: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: iz 2  4z  4  i  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 15 z  1  2i  z  1  2i
z i

1  2i  i
1  3i (1  3i )(1  3i ) 1  6i  9i 2
4 3




  i
2
z i
1  2i  i
1  3i
(1  3i )(1  3i )
5 5
1  9i
4
3
 Vậy, phần thực của  là  , phần ảo của  là
5
5
2
Câu 16: iz  4z  4  i  0 (*)
 Ta có,   22  i.(4  i )  4  4i  i 2  (2  i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1  (2  i ) 3  i
z1 

 1  3i
i
i

1  (2  i ) 1  i
z2 

 1  i
i
i
Câu 17: Tính x1  x 2 , biết x1, x 2 là hai nghiệm phức của phương trình sau đây:

 Ta có,  

3x 2  2 3x  2  0
Câu 18: Gọi z 1 ; z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 trên tập số phức. Hãy xác định

A

1
1

z1 z 2
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu 17: 3x 2  2 3x  2  0
 Ta có,   (2 3)2  4.3.2  12  24  12  (2 3i)2
 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:
x1,2 

2 3  2 3i
2 3 2 3
3
3



i

i
2.3
6
6
3
3

2
 3 2  3 2
 3 2 
3 
2 6
 
 
 

 Từ đó, x1  x 2             
 3 
 3 
 3 
 3 
3

Câu 18: Phương trình z 2  z  1  0 (*) có biệt thức   12  4.1.1  3  ( 3i)2
1  3i
1

3
 
i
2
2
2
 z1  z 2  1 & z1 .z 2  1

 Suy ra, phương trình (*) có 2 nghiệm phức: z1,2 

4|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết
 Vậy, A 

Lớp toán thầy Huy –

z  z2
1
1
1
  1

 1
z1 z2
z 1.z 2
1

Câu 19: Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai

nghiệm bằng 4i
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 19: z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i
 Giả sử z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình trên. Dựa vào công thức nghiệm phương trình
bậc hai, ta suy ra:
b
c
z1  z 2    B
va
z1.z 2   i
2a
a
2
2
2
2
 Theo giả thiết, z1  z1  4i  (z 1  z 2 )  2z 1z 2  4i  B  2i  4i  B 2  2i
 B 2  (1  i )2  B  (1  i )

 Vậy, B  (1  i )
Câu 20: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 4  5z 2  36  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
4

2

Câu 20: z  5z  36  0
z 2  9
t  9
z  3

 Đặt t  z 2 , phương trình trở thành t 2  5t  36  0  
  2
 
z  4
t  4
z  2i
 Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm: z  3; z  2i

Câu 21: Cho số phức z  1  3i . Tìm số nghịch đảo của số phức:   z 2  z .z
Câu 22: Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình: z 2  2z  2  2 2i  0 . Hãy lập một phương trình
bậc hai nhận z1, z 2 làm nghiệm.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 21: Với z  1  3i , ta có
   z 2  z .z  (1  3i )2  (1  3i )(1  3i )  1  6i  9i 2  12  9i 2  2  6i


1
1
2  6i
2  6i
2  6i
1
3


 2


 i
2


2  6i
(2  6i )(2  6i ) 2  36i
40
10 10

Câu 22:
 Với z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2z  2  2 2i  0


z  z   b  2
z  z  2
1
2
1
2

a
thì 


z1.z 2  2  2 2i
c

z1.z 2   2  2 2i
a

5|Trang



29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

 Do đó, z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2z  2  2 2i  0
Câu 23: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 5z 3  2z 2  z  0
Câu 24: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:

2z  i  4  i  2z
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 23: 5z 3  2z 2  z  0
 5z 3  2z 2  z  0  z (5z 2  2z  1)  0  z  0 hoặc 5z 2  2z  1  0 (2)
 Giải (2): 5z 2  2z  1  0
Ta có,   22  4.(5).(1)  16  (4i )2

2  4i
1 2
  i
10
5 5
1 2
1 2
 Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm: z1  0 , z 2   i , z 3   i
5 5
5 5
Câu 24: 2z  i  4  i  2z (*)
Như vậy, phương trình (2) có 2 nghiệm : z1,2 

 Xét z  a  bi thì: (*)  2(a  bi )  i  4  i  2(a  bi )
 2a  (2b  1)i  2a  4  (2b  1)i

 (2a )2  (2b  1)2  (2a  4)2  (2b  1)2
 4b  1  16a  16  4b  1
 16a  8b  16  0
 2a  b  2  0
 Vậy, tập hợp các số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán là đường thẳng 2x – y + 2 = 0

Câu 25: Cho số phức z  1  3i . Hãy viết dạng lượng giác của số phức z 5 .
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
1
3 



Câu 25: Ta có, z  1  3i  2  
i   2.(cos  i.sin )
2
2 
3
3

5
5

 
 Do đó, z 5  25.(cos
 i. sin )  32.  cos( )  i. sin( )

3
3
3

3 
Câu 26: Cho z  (1  2i )(2  i )2 . Tính môđun của số phức z
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2

Câu 26: z  (1  2i )(2  i )  (1  2i )(4  4i  i 2 )  (1  2i )(3  4i )  3  4i  6i  8i 2  11  2i
 Vậy, z  11  2i  z  11  2i  z  112  22  5 5
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn: (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z . Tìm phần thực, phần ảo và tính
môđun của số phức z.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
6|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

Câu 27: (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z  2i(2  i )z  8  i  (1  2i )z
 2(2i  1)z  8  i  (1  2i )z  (1  2i )z  8  i  z 

z

8i
(8  i )(1  2i )

1  2i
12  (2i )2

10  15i
 2  3i

5

 Phần thực của z là a = 2, phần ảo của z là –3 và môđun của z là z  22  (3)2  13
1
3
Câu 28: Cho z   
i . Tính z 2  z  1
2
2
1
3
Câu 29 : Cho z   
i . Tính z 2011
2
2
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2
 1
1
3
3 
1
3
3
1
3

2
Câu 28: z   
i  z   

i   
i  
i


2
2
2
2
4
2
4
2
2

1
3
1
3
 Do đó, z 2  z  1   
i 
i 1  0
2
2
2
2
Câu 29:
2
 1
1

3
3 
1
3
3
1
3

2
 z  
i  z   
i   
i  
i


2
2
2
2
4
2
4
2
2
2

2
 1
3 

  1
3   1   3 

 z  z .z   
i   
i      
i  1
 2
2 
2
2   2   2 
670
1
3
 z 2010 .z  z 3  .z  1670.z  z   
i
2
2
3

 z 2011

2

1
3
1
3
 Vậy, với z   
i thì z 2011  z   

i
2
2
2
2

7|Trang



×