29 bài tập số phức có lời giải chi tiết

29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

Câu 1: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: z  2z  6  2i .
Câu 2: Tính môđun của số phức z = ( 3  i )2011 .

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 1:  Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình ta được
a  bi  2(a  bi )  6  2i  a  bi  2a  2bi  6  2i  3a  bi  6  2i
3a  6
a  2
 
 
 z  2  2i  z  2  2i
b  2
b  2


 Vậy, z  2  2i
Câu 2: Ta có, ( 3  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 .i  3. 3.i 2  i 3  3 3  9i  3 3  i  23.i
670
 Do đó, ( 3  i )2010  ( 3  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i 4 )167 .i 2  22010

Vậy, z  ( 3  i )2011  22010.( 3  i )  z  22010. ( 3)2  12  2011
Câu 3: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: (z )4  2(z )2  8  0
Câu 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z 

1
2  2i

BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 3: (z )4  2(z )2  8  0
 Đặt t  (z )2 , thay vào phương trình ta được
(z )2  4
z  2
z  2
t  4
t 2  2t  8  0  
  2
 
 
(z )  2
z  i 2
z  i 2
t  2
 Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm: z1  2 ; z 2  2 ; z 3  i 2 ; z 4  i 2
Câu 4:

1
2  2i
2  2i
2  2i
1 1
z



  i
2
2  2i (2  2i )(2  2i ) 4  4i

8
4 4
1 1
2  2
2 
2 

 
 Vậy, z   i 

i  
cos  sin i 


4 4
4  2
2 
4 
4
4 
Câu 5: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 2  2z  5  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2

Câu 5: z  2z  5  0 (*)
 Ta có,   22  4.(1).(5)  16  (4i )2
 Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1|Trang

 1 2  1 2

2
 z       
4
4
4


29 bài số phức có giải chi tiết
z1 

Lớp toán thầy Huy –
2  4i
2  4i
 1  2i và z 2 
 1  2i
2
2

Câu 6: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2 2  2  5  0
2

Câu 7: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z  4z  8i
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 6: 2 2  2  5  0 (*)
 Ta có,   (2)2  4.2.5  36  (6i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:
2  6i
1 3
2  6i
1 3

1 
  i ; 2 
  i
4
2 2
4
2 2
2

Câu 7: z  4z  8i
2

 Đặt z  a  bi  z  a 2  b2  z  a 2  b 2 . Thay vào phương trình trên ta được:
2

z  4z  8i  a 2  b 2  4(a  bi )  8i  a 2  b 2  4a  4bi  8i
a  2
a 2  b 2  4a  0
a 2  b 2  4a  0
a 2  4a  4  0
 
 
 
 
4b  8
b  2
b  2
b  2





 Vậy, z = –2 +2i

Câu 8: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: 3z  9  2iz  11i .
Câu 9: Tính môđun của số phức z = ( 3  i )2011 .
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 8: Ta có, 3z  9  2iz  11i  3z  2iz  9  11i (1)
 Đặt z  a  bi  z  a  bi , thay vào phương trình (1) ta được

3(a  bi )  2i(a  bi )  9  11i  3a  3bi  2ai  2bi 2  9  11i
3a  2b  9
a  1
 3a  2b  (3b  2a )i  9  11i  
 
3b  2a  11
b  3


 Vậy, z  1  3i  z  1  3i
Câu 9: Ta có, ( 3  i )3  ( 3)3  3.( 3)2 .i  3. 3.i 2  i 3  3 3  9i  3 3  i  23.i
670
 Vậy, z  ( 3  i )2010  ( 3  i )3   (23 i )670  22010.i 670  22010.(i 4 )167 .i 2  22010

Do đó, z  ( 3  i )2011  22010 ( 3  i )  z  22010. ( 3)2  12  22011
Câu 10: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 2 – (1  5i )z – 6  2i  0

2|Trang

29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu 10: z 2 – (1  5i )z – 6  2i  0 (*)
 Ta có,   (1  5i )2  4.(6  2i )  1  10i  25i 2  24  8i  2i  (1  i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:
(1  5i )  (1  i ) 4i
(1  5i )  (1  i ) 2  6i
z1 

 2i và z 2 

 1  3i
2
2
2
2
Câu 11: Tìm môđun của số phức: z  1  4i  (1  i )3 .
Câu 12: Tìm nghiệm của phương trình sau đây trên tập số phức:
z  z 2 , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
3

Câu 11: z  1  4i  (1  i )  1  4i  1  3i  3i 2  i 3  1  2i
 Vậy, z  1  2i  z  (1)2  22  5
Câu 12: z  z 2 (*)
 Giả sử z  a  bi  z  a  bi . Thay vào phương trình (*)ta được:
a  bi  (a  bi )2  a  bi  a 2  2abi  b 2i 2  a  bi  a 2  b 2  2abi

a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
a  a 2  b 2
 
 
 
 
b  2ab
2ab  b  0
b(2a  1)  0
b  0 hoac a   1
2




2
2
 Với b = 0, ta được a  a  a  a  0  a  0 hoac a  1

1
1 1
3
3
 Với a   , ta được    b 2  b 2   b  
2
2 4
4
2

1
3
1
3
 Vậy, các nghiệm phức cần tìm là: z1  0 , z 2  1 , z 3   
i , z4   
i
2
2
2
2
1

Câu 13: Tìm môđun của số phức: z  2  3i   3i 
2






Câu 14: Giải phương trình sau đây trên tập số phức x 2  (3  4i )x  (1  5i )  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

1

1
3
3 3
Câu 13: z  2  3i   3i   2   2 3i 

i  3i 2  4 
i
2

2
2
2





 3 3 2
3 3

  16  27 
 Vậy, z  4 
i  z  42  
 2 
2
4

91
91

4
2

Câu 14: x 2  (3  4i )x  (1  5i )  0 (*)
 Ta có,   (3  4i )2  4.1.(1  5i )  9  24i  16i 2  4  20i  3  4i  (1  2i )2

 Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm phức:

3|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

(3  4i )  (1  2i ) 4  6i

 2  3i
2
2
(3  4i )  (1  2i ) 2  2i
x2 

 1i
2
2
z i
Câu 15: Tìm phần thực và phần ảo của số phức  
, trong đó z  1  2i
z i
x1 

Câu 16: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: iz 2  4z  4  i  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 15 z  1  2i  z  1  2i
z i

1  2i  i
1  3i (1  3i )(1  3i ) 1  6i  9i 2
4 3




  i
2
z i
1  2i  i
1  3i
(1  3i )(1  3i )
5 5
1  9i
4
3
 Vậy, phần thực của  là  , phần ảo của  là
5
5
2
Câu 16: iz  4z  4  i  0 (*)
 Ta có,   22  i.(4  i )  4  4i  i 2  (2  i )2
 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1  (2  i ) 3  i
z1 

 1  3i
i
i

1  (2  i ) 1  i
z2 

 1  i
i
i
Câu 17: Tính x1  x 2 , biết x1, x 2 là hai nghiệm phức của phương trình sau đây:

 Ta có,  

3x 2  2 3x  2  0
Câu 18: Gọi z 1 ; z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2  z  1  0 trên tập số phức. Hãy xác định

A

1
1

z1 z 2
BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu 17: 3x 2  2 3x  2  0
 Ta có,   (2 3)2  4.3.2  12  24  12  (2 3i)2
 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:
x1,2 

2 3  2 3i
2 3 2 3
3
3



i

i
2.3
6
6
3
3

2
 3 2  3 2
 3 2 
3 
2 6
 
 
 

 Từ đó, x1  x 2             
 3 
 3 
 3 
 3 
3

Câu 18: Phương trình z 2  z  1  0 (*) có biệt thức   12  4.1.1  3  ( 3i)2
1  3i
1

3
 
i
2
2
2
 z1  z 2  1 & z1 .z 2  1

 Suy ra, phương trình (*) có 2 nghiệm phức: z1,2 

4|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết
 Vậy, A 

Lớp toán thầy Huy –

z  z2
1
1
1
  1

 1
z1 z2
z 1.z 2
1

Câu 19: Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai

nghiệm bằng 4i
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 19: z 2  Bz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i
 Giả sử z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình trên. Dựa vào công thức nghiệm phương trình
bậc hai, ta suy ra:
b
c
z1  z 2    B
va
z1.z 2   i
2a
a
2
2
2
2
 Theo giả thiết, z1  z1  4i  (z 1  z 2 )  2z 1z 2  4i  B  2i  4i  B 2  2i
 B 2  (1  i )2  B  (1  i )

 Vậy, B  (1  i )
Câu 20: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z 4  5z 2  36  0
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
4

2

Câu 20: z  5z  36  0
z 2  9
t  9
z  3

 Đặt t  z 2 , phương trình trở thành t 2  5t  36  0  
  2
 
z  4
t  4
z  2i
 Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm: z  3; z  2i

Câu 21: Cho số phức z  1  3i . Tìm số nghịch đảo của số phức:   z 2  z .z
Câu 22: Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình: z 2  2z  2  2 2i  0 . Hãy lập một phương trình
bậc hai nhận z1, z 2 làm nghiệm.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 21: Với z  1  3i , ta có
   z 2  z .z  (1  3i )2  (1  3i )(1  3i )  1  6i  9i 2  12  9i 2  2  6i


1
1
2  6i
2  6i
2  6i
1
3


 2


 i
2


2  6i
(2  6i )(2  6i ) 2  36i
40
10 10

Câu 22:
 Với z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2z  2  2 2i  0


z  z   b  2
z  z  2
1
2
1
2

a
thì 


z1.z 2  2  2 2i
c

z1.z 2   2  2 2i
a

5|Trang

29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

 Do đó, z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2z  2  2 2i  0
Câu 23: Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 5z 3  2z 2  z  0
Câu 24: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:

2z  i  4  i  2z
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu 23: 5z 3  2z 2  z  0
 5z 3  2z 2  z  0  z (5z 2  2z  1)  0  z  0 hoặc 5z 2  2z  1  0 (2)
 Giải (2): 5z 2  2z  1  0
Ta có,   22  4.(5).(1)  16  (4i )2

2  4i
1 2
  i
10
5 5
1 2
1 2
 Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm: z1  0 , z 2   i , z 3   i
5 5
5 5
Câu 24: 2z  i  4  i  2z (*)
Như vậy, phương trình (2) có 2 nghiệm : z1,2 

 Xét z  a  bi thì: (*)  2(a  bi )  i  4  i  2(a  bi )
 2a  (2b  1)i  2a  4  (2b  1)i

 (2a )2  (2b  1)2  (2a  4)2  (2b  1)2
 4b  1  16a  16  4b  1
 16a  8b  16  0
 2a  b  2  0
 Vậy, tập hợp các số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán là đường thẳng 2x – y + 2 = 0

Câu 25: Cho số phức z  1  3i . Hãy viết dạng lượng giác của số phức z 5 .
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
1
3 



Câu 25: Ta có, z  1  3i  2  
i   2.(cos  i.sin )
2
2 
3
3

5
5

 
 Do đó, z 5  25.(cos
 i. sin )  32.  cos( )  i. sin( )

3
3
3

3 
Câu 26: Cho z  (1  2i )(2  i )2 . Tính môđun của số phức z
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2

Câu 26: z  (1  2i )(2  i )  (1  2i )(4  4i  i 2 )  (1  2i )(3  4i )  3  4i  6i  8i 2  11  2i
 Vậy, z  11  2i  z  11  2i  z  112  22  5 5
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn: (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z . Tìm phần thực, phần ảo và tính
môđun của số phức z.
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
6|Trang


29 bài số phức có giải chi tiết

Lớp toán thầy Huy –

Câu 27: (1  i )2 (2  i )z  8  i  (1  2i )z  2i(2  i )z  8  i  (1  2i )z
 2(2i  1)z  8  i  (1  2i )z  (1  2i )z  8  i  z 

z

8i
(8  i )(1  2i )

1  2i
12  (2i )2

10  15i
 2  3i

5

 Phần thực của z là a = 2, phần ảo của z là –3 và môđun của z là z  22  (3)2  13
1
3
Câu 28: Cho z   
i . Tính z 2  z  1
2
2
1
3
Câu 29 : Cho z   
i . Tính z 2011
2
2
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
2
 1
1
3
3 
1
3
3
1
3

2
Câu 28: z   
i  z   

i   
i  
i


2
2
2
2
4
2
4
2
2

1
3
1
3
 Do đó, z 2  z  1   
i 
i 1  0
2
2
2
2
Câu 29:
2
 1
1

3
3 
1
3
3
1
3

2
 z  
i  z   
i   
i  
i


2
2
2
2
4
2
4
2
2
2

2
 1
3 

  1
3   1   3 

 z  z .z   
i   
i      
i  1
 2
2 
2
2   2   2 
670
1
3
 z 2010 .z  z 3  .z  1670.z  z   
i
2
2
3

 z 2011

2

1
3
1
3
 Vậy, với z   
i thì z 2011  z   

i
2
2
2
2

7|Trang