Phân loại bài tập số phức có lời giải

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 1

SỐ PHỨC

I. LÝ THUYẾT
1.Mỗibiểudiễndạng
 
2
, , 1
z a bi a b i
    
gọilàmộtsốphức,agọilàphầnthực,bgọi
làphầnảo.
2.Chocácsốphức
' ' '
,
z a bi z a bi
   
.Tacóđịnhnghĩa:
'
'
'
.
a a
z z
b b




 





3.Mỗisốphức
 
,z a bi a b  

đượcbiểudiễnbởimộtđiểm
 
M ;a b
trênmặtphẳngtọa
độ.
4.Môđuncủasốphức
 
,z a bi a b  

làsốthực
2 2
z a bi a b   
.
5. Sốphứcliênhợpcủasốphức
 
,z a bi a b  

làsốphức
z a bi 

.
6. Phépcộngvàtrừhaisốphức
,
a bi c di 
đượcđịnhnghĩatheoquytắccộng,trừđathức:
       
a bi c di a c b d i
      
.
7.Phépnhânhaisốphức
,
a bi c di 
đượcđịnhnghĩatheoquytắcphépnhânđathức,vớilưu
ý
2
1
i
 
.
8. Phépchiahaisốphức
a bi
c di


đượctínhbằng:
  
2
a bi c di
a bi
c di

c di
 




với
0
c di
 
.
9.Trongtậpcácsốphức

cănbậchaisốthựcâm
a
làcácsốphức
i a


10. Xétphươngtrìnhbậchai
 
2
0 , ,ax bx c a b c   

vàbiệtsố
2
4b ac
  
.
 +)

0 
phươngtrìnhcócácnghiệmthực
1,2
2
b
x
a
  

;
 +)
0 
phươngtrìnhcócácnghiệmphức
1,2
2
b i
x
a
  
 

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 2

II. BÀI TẬP
1. Các phép toán về số phức.
Bài 1.Tính.
a)

   
2 3 6 7 ;z i i
    
   b)
   
2 9 5 4 .z i i
   

Giải.
a)
       
2 3 6 7 2 6 3 7 4 4z i i i i            
.
b)
       
2 9 5 4 2 5 9 4 3 13z i i i i
           
.
Bài 2.Tính.
a)
     
3 4 3 2 4 7i i i
    
 
 
;   b)
    
7 5 1 3 2i i i
   
;

c)
   
2
3 4 5 7i i
 
;     d)
   
2 3 2 5 4i i i
   
;
e)
     
2 4 5 2 3 4 6
i i i i     
;   g)
   
3 2
3 1 2i i
  
.
Giải.
a)
        
3 4 3 2 4 7 3 4 7 9i i i i i
        
 
 

 
2

21 27 28 36
15 27. 1 28
55 15 .
i i i
i
i
    
   
  

b)
    
 
 
2
7 5 1 3 2 7 7 5 5 3 2i i i i i i i
         


   
7 2 5 3 2
9.
i i
    


c)
      
2
3 4 5 7 7 24 5 7i i i i

     


133 169 .i 

d)
      
2 3 2 5 4 4 7 5 4 8 51i i i i i i
         
.
e)
         
2 4 5 2 3 4 6 18 16 14 27 4 43i i i i i i i
            
.
g)
   
   
3 2
2 3 2
3 1 2 27 27 9 1 4 4i i i i i i i
         


   
27 27 9 1 4 4
21 30 .
i i i
i
      

 

Bài 3. Tính.
 a)
5 5 20
3 4 4 3
i
i i


 
;     b)
3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
 

 
;
 c)
 
5 7
3 4
6 5
i
i
i

  


;     d)
3 2
3
2
i
i
i



.
Giải.
a)
  
  
 
  
5 5 3 4 20 4 3
5 5 20 5 35 80 60 75 25
3 .
3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 25 25 25
i i i
i i i i
i
i i i i i i
  
    
       
     


Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 3


b)
  
  
  
  
3 7 2 3 5 8 2 3
3 7 5 8 27 5 34 61 4
.
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13 13
i i i i
i i i i
i
i i i i i i
   
   
      
     


c)
   
  
  

 
5 7 6 8
5 7 26 82 163 159
3 4 3 4 3 4
6 8 6 8 6 8 100 50 50
i i
i i
i i i i
i i i
 
  
             
  
.
d)
  
  
3 2 2
3 2 4 7 4 22
3 3 3 .
2 2 2 5 5 5
i i
i i
i i i i
i i i
  
 
      
   


Bài 4:Thựchiệnphépchiacácsốphứcsau:
a)
1
(1 )(4 3 )
z
i i

 
;   b)
5 6
4 3
i
z
i
 


;   c)
3 4
4
i
z
i

 


Giải.
a)
2 2

1 1 7 7 7 1
(1 )(4 3 ) 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
 
     
     
.
b)
2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
       
    
   
.
c)
2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
   
    
   

.
Bài 5.Chosốphứcz=
3 1
2 2
i
.Tìmcácsốphứcsau:
z
;z
2

Giải.
Vì
3 1
2 2
z i 
nên
3 1
2 2
z i 

Tacó
2
2 2
3 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
z i i i i
 
      
 
 

 
.
Bài 6. Tínhgiátrịbiểuthức
   
2 2
1 3 1 3P i i
   
 (TN2008–lần1).
Giải.
   
2 2
2 2
1 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 6 4.
P i i i i i i
             

Bài 7. Tìmsốphứcliênhợpcủa:
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
    


Giải:
Tacó
3 3 53 9
5 5
(3 )(3 ) 10 10 10

i i
z i i i
i i
 
       
 
.Suyrasốphứcliênhợpcủazlà:
53 9
10 10
z i
 
.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 4

Bài 8. Chosốphức
4 3z i 
.Tìmsốphức
2
z z
z



Giải.
   
2
2

4 3 4 3 11 27z z i i i
      

  
2
2 2
11 27 4 3
11 27 37 141
4 3 4 3 25
i i
z z i i
i
z
 
   
    
 

Bài 9. Tìmsốphứcsau:
 
15
1
z i
 
.

Giải.
Tacó:
     
2 14 7

7
1 1 2 –1 2 1 2  128. 128i i i i i i i
         
.
Nên
         
15 14
1  1 1 128 1 128 1 128 –128 .z i i i i i i i
            

Bài 10. Tìmphầnthựcvàphầnảocủasốphứcsau:
 a)
4 2
3
i
z i
i

  
;  b)
 
2
7 2 3 2z i i
   
; c)
7 3 1 5
1 3 2
i i
z
i i

  
  
 

Giải
a)Tacó
4 2
3 3 4 2 1 3
i
z i i i i i
i

        
. 
Vậy
4 2
3
i
z i
i

  
cóphầnthựclà1vàphầnảolà3.
b)Tacó
 
2
2
7 2 3 2 7 2 9 12 4 2 10z i i i i i i
          
.

Vậy
 
2
7 2 3 2z i i
   
cóphầnthựclà2vàphầnảolà10.
c)Tacó
     
7 3 1 1 5 3 2
7 3 1 5 10 4 13 13
4
1 3 2 1 1 9 4 2 13
i i i i
i i i i
z i
i i
   
    
       
   
.
Vậy
7 3 1 5
1 3 2
i i
z
i i
  
 
 

cóphầnthựclà4vàphầnảolà-1.
Bài 11. Tìmphầnảocủasốphức
z
thỏamãn
   
2
2 1 2z i i
  
.
(ĐH–A2010CB).
Giải.
      
2
2 1 2 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i i i z i
          
.
Sốphứczcóphầnảobằng
2

.
Bài 12. Chocácsốphức
1 2
1 2 , 2 3z i z i   
.Xácđịnhphầnthực,ảocủasốphức
1 2
2z z
 (TN2010–CB).
Giải.
Tacó
 

1 2
2 1 2 2 2 3 3 8z z i i i       
.
Phầnthực:-3;phầnảo:8.
Bài 13. Chocácsốphức
1 2
2 5 , 3 4z i z i   
.Xácđịnhphầnthực,ảocủasốphức
1 2
.z z

 (TN2010–NC).
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 5

Giải.
Tacó
  
1 2
. 2 5 3 4 26 7z z i i i    
.
Phầnthực:26;phầnảo:7.
Bài 14.Tìmphầnthựcvàphầnảocủasốphức
3
1 3
1
i
z

i
 


 
 

 
 (ĐH–B2011NC).
Giải.
 
 
  
   
3
3
3
1 3 1
1 3
1 1 1
1 3 3 1
2
i i
i
z
i i i
i
 
 
 


 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 

 
 

          
     
3 2 2 3
2 3
1
1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3
8
1
10 6 3 6 1 3 6 1 3 10 6 3
8
i i i
i i
 
            

 
 
 
       
 

 
1
16 16
8
2 2
i
i
 
 

Chú ý: Nếu áp dụng dạng lượng giác của số phức thì tính toán sẽ nhanh hơn.
Bài 15
a)Chosốphức
1
1
i
z
i



tínhgiátrịcủa
2010
z

.
b)Chứngminh:
2010 2008 2006
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 )
i i i i    
.
Giải.
a)Tacó:
2
1 (1 )
1 2
i i
z i
i
 
  

nênz
2010 2010 4.502 2 4.502 2
1( 1) 1
i i i i

      
.
b)Tacó:
2010 2008 2006 4 2
4 2
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 ) 3(1 ) 4 (1 ) 4
(1 ) 4 4 4 4 4.
i i i i i i i

i i
         
          

Bài 16
a)Tínhtổngsau:
2 3 2009
1
i i i i
    
.
b)Cho2sốphứcz
1
,z
2
thỏamãn
1 2
1
z z
 
;
1 2
3
z z 
tính
1 2
z z
.
Giải.
a)Tacó

2010 2 3 2009
1 (1 )(1 )
i i i i i i        
mà:
2010
1 2
i
 
nên:
2 3 2009
1
i i i i
    
=
2
1
1
i
i
 

.
b)Đặt
1 1 1
z a b i
 
;
2 2 2
z a b i 
.

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 6

Từgiảthiếttacó:
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3.
a b a b
a a b b

   


   



Suyra:
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2( ) 1 ( ) ( ) 1 1
a b a b a a b b z z
         
.


2. Số phức bằng nhau.
Bài 1.Tìmcácsốthựcx, ybiết:
a)
   
2 1 5 4 3 2x i y i
     

b)
( 2) 4 3 ( 1)x i y i    
;
 c)
       
2 1 3 2 2 4x y i x y i
      
;
 d)
       
1 3 1 2 1x y i x y x i      
.
Giải.
a)
   
5
2 1 4
2
2 1 5 4 3 2
7
5 3 2
3
x

x
x i y i
y
y

 

  


       
 
 


 



b)
2 3 3 2
( 2) 4 3 ( 1)
4 ( 1) 3.
x x
x i y i
y y
 
   
 
      

 
    
 
 

c)
       
2 1 2 1
2 1 3 2 2 4
3 2 4 2.
x x x
x y i x y i
y y y
   
 
        
 
   
 

d)
       
3
1 3 4 1
1 3 1 2 1
2
1 (2 1) 2 2
5.
x x y x y
x

x y i x y x i
y x x y
y

    

 

         
  
      
 

 


Bài 2.Tìmcácsốthựcx, ybiết:
a)
   
5 1 2 1 2 5x y i y y i
      
;
b)
   
3 1 2 2 2 7x x i y y i
       
;
c)
   
2 5 1 1 5x x i y y i

       
.
Giải.
a)
5 1 2y 8
 5 (1 2 ) 1 2 ( 5)
1 2 5 2.
x x
x y i y y i
y y y
    
 
        
 
   
 

b)
9
3 2 2y
2
 3 (1 ) 2 2 (2 7)
1 2 7 7
4
x
x
x x i y y i
x y
y




   


         
 
  


 



Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 7

c)
10
2  5 1 
3
2 5 (1 ) 1 ( 5)
1 5 8
3
x
x y
x x i y y i
x y

y



   


         
 
  


 



Bài 3. Tìmcácsốthựcx, ythỏamãn:
 a)
   
1 2 1 2 1i x y i i    
;
 b)
3 3
3 3
x y
i
i i
 
 
 

;
c)
   
 
2 2 2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i
      
.
Giải.
a)

     
1 2 1 2 1 2 2 1 1
1
2 2 1 1
1
1
i x y i i x x y i
x
x y
x
y
           





   



 




b)

     
   
 
3 3
3 3 3 3 10
3 3
3 6 10
3 6 0
10
6
10
2
8
x y
i x i y i i
i i
x y x y i i
x y
x y

x y
x y
x
y
 
        
 
      
  



  


 



  

 

 




c)
   

 
     
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
1
4 3 4
2
3 2 3 2
i x i xy y x xy y i
x xy x xy i y x xy y i
x xy y x
x xy xy y
      
        

  




   



 
2 2
2 2
9
3 4 0
2
3 2 0 *
x xy y
x xy y

  




   


Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 8

2 2 2 2
9
3 4 3 2
2
x xy y x xy y
      


2 2
15
4 6 0
2
2
3
6
5
x xy y
x y
x y
   






 



Thếlầnlượtvào
 
*
tađượcnghiệmduynhất
0
0
x

y







Bài 4. Tìmcácsốthựcx, ysaocho
z x yi 
thỏamãn
3
18 26z i
 
.
Giải.
Tacó:

 
   
3
3
3 2 2 3
3 2
2 3
18 26 18 26
3 3 18 26
3 18
3 26
z i x yi i

x xy x y y i i
x xy
x y y
     
     

 

 

 



Đặt
x ty
tacóhệ
 
 
3 3
3 3 3
3
2
2 3 3
2 3
3 18
3 18
3 18 1
3 1 26 3
3 26

3 1 26
t t y
t y ty
t t
t
t
t y y
t y

 

 

 
    
 

 
 



.
Từđótacó
3
1.
x
y








3. Giải phương trình phức.
Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức
bằng nhau để giải quyết bài toán.
Bài 1. Giảicácphươngtrìnhsau:
a)
5 7 2z i i   
;
b)
3 2
1 3
z
i
i
 
 
;
c)
 
3 4 5 10i z i
  
.
Giải.
a)
5 7 2 2 5 7 7 8z i i z i i i          
.

b)
  
3 2 3 2 1 3 9 7
1 3
z
i z i i i
i
         
 
.
c)
 
  
  
5 10 3 4
5 10 25 50
3 4 5 10 1 2
3 4 3 4 3 4 25
i i
i i
i z i z i
i i i
 
  
         
  
.
Bài 2.Tìmsốphức
x


biết:
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 9

a)
(5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 )i x i i
    
;
b)
(3 7 ) 2 (4 )(5 2 )i ix i i    
;
c)
   
5 3 4 3i x i
  
.
Giải.
a)Tacó:

(5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 ) (5 3 ) 2 11 2
2 (11 2 ) (5 3 ) 2 6
1 2
(6 ) 3 2 .
2
2
i x i i i x i
x i i x i
x i i

         
       
    

b)Tacó:

 
 
(3 7 ) 2 (4 )(5 2 ) 2 4 (5 2 ) (3 7 )
2 22 3 (3 7 )
2 19 10
19 10 10 19
2 2
i ix i i ix i i i
ix i i
ix i
i i
x
i
          
    
  
 
   
i
c)
   
4 3 11 27
5 3 4 3
5 3 34

i i
i x i x
i
 
      


Bài 3. Chosốphứczthỏamãnđiềukiện
     
2
1 2 8 1 2i i z i i z
     
.Xácđịnhphầnthực
vàảocủasốphức
z
(CĐ-2009).
Giải.
         
2
1 2 8 1 2 2 2 8 1 2i i z i i z i i z i i z
           

   
2 4 1 2 8i z i z i     

 
  
  
1 2 8
8 1 2

8 10 15
2 3 .
1 2 1 2 1 2 5
i z i
i i
i i
z i
i i i
   
 
 
     
  

Sốphứczcóphầnthựcbằng2,phầnảobằng-3.
Bài 4. Tìmsốphứczthỏamãn
   
3
2 2 1
z z i i   
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

          
3
2 2 1 2 2 11 1

3 13 9
3 13
9
13
3
9
z z i i a bi a bi i i
a bi i
a
b
a
b
          
   




 




 


 


Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 10

Vậy
13
9
3
z i 
.
Bài 5.Tìmsốphứczthỏamãn
   
2
3 3 2 2 .z z i i   

Kếtquả:
11 19
2 2
z i
 
.
Bài 6.Tìmsốphứczthỏamãn
   
3
3 2 2 .z z i i   

Kếtquả:
15
10
4

z i
 
.
Bài 7.Chosốphứczthỏamãnđiềukiện
     
2
2 3 4 1 3i z i z i
     
.Xácđịnhphầnthựcvà
ảocủaz. (CĐ–D2010CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
             
       
2 2
2 3 4 1 3 2 3 4 1 3
2 3 3 2 4 4 8 6
i z i z i i a bi i a bi i
a b a b i a b a b i i
              
          

   
6 4 2 2 8 6
6 4 8
2 2 6

2
5
a b a b i i
a b
a b
a
b
      
 



   

 

 




Sốphứczcóphầnthực-2,phầnảo5.
Bài 8.Tìmsốphứczthỏamãnđiềukiện
5 3
1 0
i
z
z

  

(ĐH–B2011CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
 
2 2
2 2
5 3
1 0 . 5 3 5 3
5
3
1
2
3
i
z z z z i a b a bi i
z
a b a
b
a
a
b

            

  




 


  




 



 


Cácsốphứczthỏamãnđềbàilà
1 3 , 2 3z i z i
    
.
Bài 9.Tìmsốphứczthỏamãn
 
2 3 1 9z i z i   
  (ĐH–D2011CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  


.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 11

 
      
     
   
2 3 1 9 2 3 1 9
2 3 3 2 1 9
3 3 3 1 9
3 1
3 3 9
2
1
z i z i a bi i a bi i
a bi a b a b i i
a b a b i i
a b
a b
a
b
          
       
 
 
       
  




   



 

 


Vậy
2z i 
.

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 1. Giảiphươngtrình
2
4 7 0
z z
  
.
Giải.
Tacó
'
3 0   
nênphươngtrìnhcóhainghiệmphức
z 2 3i
   .

Bài 2. Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức.
 a)
2
2 5 4 0
x x
  
  (TN2006).
 b)
2
4 7 0
x x
  
  (TN2007–lần1).
 c)
2
6 25 0
x x
  
  (TN2007–lần2).
 d)
2
2 2 0
x x
  
  (TN2008–lần2).
 e)
2
8 4 1 0
z z
  

  (TN2009–CB).
 g)
2
2 6 5 0
z z
  
  (TN2010–BT-THPT).
Bài 3.Giảiphươngtrình
 
4 3 2
2 – 2 1 0 1
z z z z   
.
Giải:
Doz =0khônglànghiệmcủa(1).Chiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
z

tađược:
2 2
2 2
2
2 1 1 1
– 2 1 0 2 1 0
1 1
2 3 0.
z z z z
z z z z
z z
z z

   
         
   
   
   
     
   
   

Đặt
1
y z
z
 
phươngtrìnhcódạng:y
2
–2y–3=0
1
3.
y
y
 





Vớiy = -1

= z +

1
z
= -1

z=
1 3
2
i 


Vớiy = 3

= z +
1
z
= 3z=
3 5
2



Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệm.
Bài 4.Giảiphươngtrình:
   
2
2 2
4  12 0
z z z z
    
.

Giải.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 12

Đặt
2
t z z 
,khiđóphươngtrìnhđãchocódạng:
2
2
2
1 23
2
6 6 0
1 23
t 4t –12 0
2
2 0
2
1
2
i
z
t z z
i
z
t
z z

z
z

 




    


 
    





  






 

.
Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệmnhưtrên.


5. Môdun của số phức.
Bài 1. Cho
1 2
3 , 2z i z i   
.Tìmmôduncủasốphức
1 1 2
z z z
.
Giải.
        
1 1 2
3 3 2 3 7 10
z z z i i i i i
          
.Vậy
1 1 2
10
z z z
 
.
Bài 2. Tìmmôđuncủasốphứcz,biết:
a)
z (2 3 )(1 ) 4i i i   
;    b)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z
      ;
c)
(2 4 ) 2 (1 3 )z i i i   
;    d)

3
1 4 (1 )z i i   
.
Giải.
a)Tacó
(2 3 )(1 ) 4 5z i i i i     
.Dođó
2 2
5 1 26
z   
.
b)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 ) 2 5i i z i i z z i         
.Dođó
2 2
( 2) 5 29
z    
.
c)Tacó
(2 4 ) 2 (1 3 ) 8 6z i i i i     
.Dođó
2 2
8 6 100 10
z
   
.
d)Tacó
3
(1 ) 2 2i i   

.Suyra:
2 2
1 2 ( 1) 2 5
z i z       
.
Bài 3.
Chosốphức
3 2z i 
.Tìmmôđuncủasốphức
2
z z
.
Giải.
Tacó
2
8 14z z i
  
.Dođó
2 2
8 14 260
z   
.
Bài 4. Tìmmôđuncủasốphức
2z z
biết
z 3 4i 
.
Giải.
Tacó
2 9 4z z i  

.Dođó
 
2
2
9 4 97
z    
.
Bài 5.TínhModuncủacácsốphứcsau:
a)
(1 2 ) 1 3z i i   
;  b)
3 2
1 3
z
i
i
 
 
;  c)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
  

 
.
Đápsố.
a)

10
2
5
z   ;  b)
130
z 
;   c)
2 5
5
z 
.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 13

Bài 6. Cho
1 2
2 3 , 1z i z i   
.Tìmmôduncủacácsốphức
1 2
1 2
2
3 , ,
z z
z z
z




3
1 2
3z
z 
.
Giải.
+)
1 2 1 2
3 5 6 3 61
z z i z z     
.
+)
1 2 1 2
2 2
7 1 5 2
2 2 2
z z z z
i
z z
 
   
.
+)
3 3
1 2 1 2
3z 49 6 3z 2437
z i z      
.
Bài 7 (A - 2009). Gọi
1 2

z , z
làcácnghiệmphứccủaphươngtrình
2
2 10 0
z z
  
.Tính
2 2
1 2
z
z

.
Giải.
Cácnghiệmphứccủaphươngtrình
2
2 10 0
z z
  
là
1,2 1 1
z 1 3 z z 10
i     
.
Vậy
2 2
1 2
z 20
z
 

.
Bài 8. Chosốphứczthỏamãn
 
2
1 2 4 20
i z z i
   
.Tínhmôđuncủaz.
(CĐ–2011CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.

    
   
   
2
1 2 4 20 3 4 4 20
3 4 4 3 4 20
2 4 4 4 4 20
2 4 20
4 4 4
4
3
i z z i i a bi a bi i
a b a b i a bi i
a b a b i i

a b
a b
a
b
           
        
      
   



 



 




Vậy
4 3z i 
và
5
z

.
Bài 9 (A, A
1
- 2012). Cho số phức

z
 thỏa nãm
 
5
2
1
z i
i
z

 

. Tính môđun của số phức
2
1
z z

  
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

 
 
    
 
5

5
2 2 5 2 1
1 1
2 2 3 4 0
z i
a bi i
i i a bi i i a bi
z a bi
a b a b i

 
           
  
      

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 14

2 2 0
3 4
1
1
a b
a b
a
b
  




 



 




Tacó
2
1 2 3 13
z z i
 
      
.
Bài 10 (D - 2012). Chosốphứczthỏamãn
 
 
2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i

   


.Tínhmôđuncủasốphức
1z i

  
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

 
 
  
 
     
   
2 1 2 2 1 2
2 7 8 2 7 8
1 1
2 1 2 1 7 8
2 3 2 1 7 8
2 3 7
2 1 8
3
2
i i
i z i i a bi i
i i
i a bi i i i

a b a b i i
a b
a b
a
b
 
         
 
       
       
  



  



 




Tacó
3 4 5
i
 
   
.
Bài 11 (A - 2011). Tínhmôđuncủasốphứczbiết

  
 
 
2z 1 1 1 1 2 2i z i i      
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

  
 
 
       
   
2 1 1 1 1 2 2
2 1 1 1 1 2 2
3 3 2 2 2
3 3 2
2 2
1
3
1
3
z i z i i
a bi i a bi i i
a b a b i i
a b
a b

a
b
      
         
   
   
      
 



   





 


 



Vậy
2
3
z
 


Bài 12. Chosốphứczthỏamãn
 
3
1 3
1
i
z
i



.Tìmmôđuncủasốphức
z iz
.
(ĐH–A2010NC).
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 15

Giải.
     
3 2 3
1 3 1 3. 3 3. 3 3
8 9 9
4 4
1 1 1 2 2
i i i i
z i z i
i i i

   

         
  
.
Khiđó
 
4 4 4 4 8 8 8 2
z iz i i i i z iz            
.
Bài 13 (A - 2011). Tìmtấtcảcácsốphứczthỏamãn
2
2
z z z 
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:
 
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
0
1 1
;

2 2
1 1
;
2 2
z z z a bi a b a bi
a b abi a b a bi
a b a b a
ab b
a b
a b
a b
       
      

   


 



 


    



   



Bài 14. Tìmsốphứcz thỏamãn:       
a)
2 3 4z z i  
;     
6 21
2
3
z i
 
 
 
 
 
 
.
b)
3 4z z i  
.     
7
4
6
z i
 
  
 
 
.
Bài 15. Tìmsốphứcz thỏamãn
2

2
2 . 8
z z z z
  
và
2z z 
.
Giải.
Giảsử
 
,z x yi x y  

.
Tacó
 
2 2
2 2 2 2
2 . 8 4( ) 8 2 1
z z z z x y x y        
.
 z+
 
2 2 2 1 2
z z x x     
.
Từ(1)và(2)tìmđược:
1; 1
x y
  
.

Vậycácsốphứccầntìmlà:
1 , 1i i 
.
Bài 16. Tìmsốphức
z
thỏamãn
 
2 10
z i  
và
. 25
z z

 (ĐH–B2009).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Xéthệ:
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 16

  
 
   
   

2 2
2 2
2 2
2 10
2 10
25
. 25
2 1 10
25
z i
a bi i
a b
z z
a b
a b


  
   
 

 
 






   




 




2 2
4 2 20
25
a b
a b
   



 


 
3
4
5
0
a
b
a
b
 







 










Cácsốphứcthỏamãnđềbàilà
3 4 , 5
z i z
  
.
Bài 17. Tìmsốphứczthỏamãnđiềukiện
2
z 
và
2
z
làsốthuầnảo.(ĐH–D2010CB).
Giải.

Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Xéthệ
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 1
1
0
a b
z
a b a b
a b
a b
a b
iz
a b

 



    



 
   


  

   
 

 





 




Cácsốphứcthỏamãnđềbàilà
1 , 1 , 1 , 1z i z i z i z i         
.
Bài 18.Tìmsốphứczthỏamãn:
2 2
z i
  
biếtphầnảonhỏhơnphầnthực3đơnvị.
Giải.

Gọisốphứccầntìmlà
z a bi 
.
Theobàiratacó:
2 2
2 2
1 2
2 ( 1) 2
( 2) ( 1) 4
2
3
2 2
1 2.
a
b
a b i
a b
b a
b a
a
b


 




  
    


   
 
 

 
 
 


  





  





Vậycácsốphứccầntìmlà:
2 2 ( 1 2) ; 2 2 ( 1 2)z i z i
         
.

6. Biểu diễn hình học của số phức.
Bài 1. Tìmhợpcácđiểmbiểudiễnsốphứczsaocho
2 3z i

u
z i
 


làmộtsốthuầnảo.
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 17

   
 
     
 
         
 
2
2
2
2
2 3
2 3
1

2 3 1
1
2 3 1 3 2 1
1
a b i
z i
u
z i a b i
a b i a b i
a b
a a b b a b a b i
a b
  
 
 
  
       
   

 
        
 
 
 
 

Đểulàsốthuầnảothìđiềukiệncầnvàđủlà:
    
    
 

   
 
   
     
 
2 2
2 2
2
2
2
2
2 3 1 0
1 1 5
1 1 5
3 2 1 0 2 1
; 0;1 , 2; 3
1 0
1 0
a a b b
a b
a b
a b a b a b
a b
a b
a b


    
   




   
  
          
  
  
  

  
  





Tậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphứczlàđườngtròntâm
 
1; 1
I
 
,bánkính
5
R  trừcác
điểm
   
0;1 , 2; 3 
.
Bài 2. Tìmtậpcácđiểmbiểudiễnsốphứczthỏamãnhệthức
2 3

1
4
z i
z i
 

 
.
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
   
   
       
   
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2 3 4 1
2 3
2 3
1 1
4 1
4
4 1 0
3 1

4 1 0
3 1.
a b a b
a b i
z i
a b i
z i
a b
a b
a b
a b

      
  
 

   

  
 
   


 




   



  

Tậpcácđiểmbiểudiễnsốphứczthỏamãnhệthức
2 3
1
4
z i
z i
 

 
làđườngthẳng
3 1y x 
.
Bài 3. TrongmặtphẳngtọađộOxytìmtậphợpcácsốphứczthỏamãnđiềukiện
 
3 4 2
z i
  
 (ĐH–D2009).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
     
   
   

2 2
3 4 2 3 4 2
3 4 2
3 4 4.
z i a bi i
a b i
a b
       
    
    

Trongmặtphẳngtọađộtậpcácđiểm
 
;M a b
thỏamãnphươngtrình
   
2 2
3 4 4
a b
   

làđườngtròntâm
 
3; 4
I

bànkính
2R 
.
Bài 4. TrongmặtphẳngtọađộOxytìmtậphợpcácsốphứczthỏamãn

 
1
z i i z
  
.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 18

(ĐH–B2010CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
      
     
     
 
2 2 2
2
2 2
2
2
1 1 1
1
1
2 1 0

1 2.
z i i z a b i i a bi
a b i a b a b i
a b a b a b
a b b
a b
        
      
      
    
   

Trongmặtphẳngtọađộtậpcácđiểm
 
;M a b
thỏamãnphươngtrình
 
2
2
1 2
a b
  

làđườngtròntâm
 
0; 1
I

bànkính
2

R 
.
