Bài tập số phức có lời giải

Các dạng toán thường gặp trong kì thi CĐ-ĐH

SỐ PHỨC

CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC

DẠNG 1 : BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC
THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
I. VÍ DỤ :
Ví dụ : Đề thi ĐH khối D năm 2010
Tìm số phức z thoả mãn : | z | =
Bài giải : Gọi z = x+y.i, ta có

2

z = x 2 + y2

và z2 là thuần ảo.
; z 2 = x 2 − y 2 + 2xy.i .

Theo đề ta có :

 x 2 + y 2 = 2
 x 2 = 1
⇔
 2
 2
2
 x − y = 0
 y = 1

Vậy số phức cần tìm là z1 = 1+ i, z2 = 1-i, z3 = -1 + i, z4 = -1 – i.
II. BÀI TẬP LUYỆN THI :
z.z = 25 . ( ĐH_B_ 2009 )
Bài 1 : Tìm số phức z thoả mãn z − (2 + i) = 10 và
ĐS : z = 3+4i và z = 5
Bài 2 : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn | z1 | = 3; | z2 | = 4 ; | z1 – z2| =

37 .Tìm

số phức

z=

z1
z2

.

HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 . Từ giả thiết ta có :
 z1 2 = x12 + y12 = 9

x12 + y12 + x 22 + y 22 − 37

x
.x
+
y
.y
=
= −6

 1 2
 2
1
2
2
2
2
⇒
 z 2 = x 2 + y 2 = 16

(y .x − x .y ) 2 = ( x 2 + y 2 ) . ( x 2 + y 2 ) − (x .x + y .y ) 2 = 144 − 36 = 108
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(x1 − x 2 ) 2 + (y1 − y 2 ) 2 = 37
 1 2


⇒z =

z1 z1 z 2 z1 z 2 x1 .x 2 + y1 .y 2 + (y1 .x 2 − x1.y 2 ).i −6 ± 6 3.i −3 ± 3 3.i
=
=

=
=
=
2
z2 z2 z 2
16
16
8
z2

DẠNG 2 : BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC
I. PP : Số phức z = x+i.y có mô đun là z = x 2 + y2
II. VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ : Đề thi ĐH khối A năm 2009: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z
+ 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = | z1|2 + | z2|2 .
Bài giải : phương trình z2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức là : z1 = −1 − 3i; z 2 = −1 + 3i . Khi đó :
2

2

2

2

2

z1 = z 2 = (−1) 2 + (−3) 2 = 10 ⇒ z1 = z 2 = 10 ⇒ z 2 = 10 ⇒ A = z1 + z 2 = 20 .

III. BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1 = z 2 = 1; z1 + z 2 =

HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 . Từ giả thiết ta có :

3.

Tính | z1-z2|.

 x12 + y12 = x 22 + y 22 = 1
2
⇒ 2(x1 y1 + x 2 y 2 ) = 1 ⇒ z1 − z 2 = (x1 − x 2 ) 2 + (y1 − y 2 ) 2 = (x1 + x 2 ) 2 + (y1 + y 2 ) 2 − 4(x1y1 + x 2 y 2 ) = 3 − 2 = 1

2
2
(x1 + x 2 ) + (y1 + y 2 ) = 3

Vậy | z1-z2| = 1.
Bài 2 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 - 5z + 4 = 0. Tính giá trị của biểu
thức A = | z1|4 + | z2|4 .
Bài 3 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 4z + 7 = 0. Tính giá trị của biểu
thức A = | z1|3 + | z2|3 .
Bài 4 : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 6z + 25 = 0. Tính giá trị của biểu
thức

A=

1
1
+
z1
z2

.

Bài 5 : Cho số phức z thoả

z=

(1 − 3i)3
1− i

. Tìm môđun của số phức z +iz . ĐS : 8 2 .
Trang 1


Các dạng toán thường gặp trong kì thi CĐ-ĐH

SỐ PHỨC

DẠNG 3 : CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH SỐ PHỨC
I. VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Đề thi CĐ khối A,B,D năm 2009
Cho số phức z thoả mãn (1+i)2(2-i)z = 8+i+(1+2i)z. Xác định phần thực và phần ảo của z.
Bài giải : Ta có (1+i)2(2-i)z = 8+i+(1+2i)z

⇔ (1 + 2i)z = 8 + i ⇔ z =

8 + i (8 + i)(1 − 2i) 10 − 15i
=
=
= 2 − 3i .
1 + 2i

12 + 2 2
5

Vậy số phức z đã cho có phần thực là : 2 và phần ảo là : -3.
Ví dụ 2 : Đề thi ĐH khối A 2010
Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 2 + i) 2 (1 − 2i) .
Bài giải : Ta có : z = ( 2 + i) 2 (1 − 2i) = (1 + 2 2i)(1 − 2i) = 5 + 2i ⇒ z = 5 − 2i .Vậy phần ảo của z là Ví dụ 3 : Tìm hai số thực x và y thoả mãn: x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i.
Bài giải : Ta có : x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i

⇔ (3x-11y)

+(5x+2y)i = 9+14i

2.

 3x − 11y = 9  x = 172 / 61
⇔ 
⇔
.
 5x + 2y = 14  y = − 3 / 61

II. BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : (Đề thi CĐ A,B,D 2010) Cho số phức z thoả (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i) 2 . Tìm phần thực và
phần ảo của z.
HDG: (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i) 2 ⇔ z = -2+5i. Vậy phần thực : -2 và phần ảo : 5.
Bài 2 : Cho hai số phức z1 = 1+2i và z2 = 2-3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
Z3 = (z1-2z2)2 và z4 = z1.z2.
Bài 3 : Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z = x+y.i thoả mãn: z3 = 18+26i.
3

HDG: (x+y.i) = 18+26i

 x 3 − 3xy 2 = 18
⇔ 3
⇒ 18(y 3 − 3yx 2 ) = −26(x 3 − 3xy 2 ) .
2
y
−
3yx
=
−
26


Đặt y = tx, ta được t = 1/ 3 .

Vậy x = 3 và y = 1.

DẠNG 4 :BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC.
I. VÍ DỤ :
Ví dụ : Đề thi ĐH D-2009 :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thoả mãn điều kiện | z –(3-4i)| = 2.
Bài giải : Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực bởi điểm M trong mp Oxy.
Ta có : z –(3-4i) = (x-3)+(y+4)i. Khi đó :
| z –(3-4i)| = 2 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4) 2 = 2 ⇔ (x − 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3;-4) và bán kính R = 2.
II. BÀI TẬP LUYỆN THI :
Bài 1 : (Đề thi ĐH B 2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số
phức z thoả mãn điều kiện | z – i| = |(1+i)z|.

HDG: Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực bởi điểm M trong mp Oxy.
Ta có : z – i = x + (y-1)i và (1+i)z = (x-y) + (x+y)i. Khi đó | z – i| = |(1+i)z|
⇔ x 2 + (y − 1) 2 = (x − y) 2 + (x + y) 2 ⇔ x 2 + (y + 1) 2 = 2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0;-1) và bán kính R = 2 .
Bài 2 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
a)

z = z − 3 + 4i

b)

z −i
=1
z+i

ĐS : a) Đường thẳng 6x+8y-25 = 0
;
b) Truc thực Ox.
Bài 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
phức z thoả mãn điều kiện z − 1 ≤ 2 . ĐS: Hình tròn (x − 3)2 + (y − 3) 2 ≤ 16 .

ω = (1 + i 3)z + 2

Trang 2

biết số