Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 3

Chương III
khái niệm về hàm truyền, hàm tần, đặc tính tần số của hệ thống tự động điều chỉnh
3.1 Phép biến đổi Laplace và phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử
3.1.1. Khái niệm về phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử
Phương trình động của phần tử hay hệ thống tự động điều chỉnh khi được biểu diễn dưới dạng phương
trình vi phân có nhiều nhược điểm:
- Phương trình cồng kềnh, việc giải phương trình phức tạp, mất nhiều thời gian
- Khó có thể phân biệt ngay phương trình đó thuộc dạng phương trình động của khâu tiêu biểu nào
- Phương trình có thứ nguyên của các biến số: điện áp, áp suất khí nén, cường độ dòng điện v.v... chỉ mô
tả sự làm việc của các phần tử trong hệ thống tự động cụ thể. Vì vậy các phương trình của phần tử trong
hệ thống hoặc của hệ thống thường được viết dưới dạng khác chung hơn và thuận tiện hơn, đó dạng
phương trình động không thứ nguyên. Phương trình động không thứ nguyên là dạng phương trình trong
đó tất cả các đại lượng biến thiên (trừ biến số thời gian) đều không có thứ nguyên. Muốn chuyển từ dạng
phương trình có thứ nguyên sang dạng không thứ nguyên chỉ cần nhân và chia mỗi số hạng của phương
trình cho một đại lượng không đổi có thứ nguyên của biến số nằm trong số hạng đó. Thường lấy đại
lượng không đổi nói trên có giá trị bằng trị số định mức của biến số. Phương trình không thứ nguyên tuy
có thuận tiện hơn nhưng vẫn cồng kềnh và vẫn phức tạp khi tính toán.
Trong lý thuyết tự động điều chỉnh người ta thường biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử để
phương trình có dạng gọn hơn, đơn giản hơn và để giảm bớt quá trình biến đổi toán học trung gian khi
khảo sát quá trình động của hệ thống. Để biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử người ta đưa
vào những ký hiệu toán tử vi phân:
t
1 t
d
d2
d3
dn
= p; 2 = p 2 ; 3 = p 3 ; n = p n và ∫0dt = ; ∫0
p
dt
dt

dt
dt

1

∫

t2

0

dt 1 dt 2 =

1
...
p2

Ví dụ: Phương trình vi phân của phần tử hay hệ thống:

a3

d3 x
d2x
dx
df
+ a2
+ a1
+ a 0 x = b1 + b o f
dt 3
dt 2

dt
dt

có thể được viết dưới dạng toán tử:
(a3p3 + a2p2 + a1p + a0).x(t) = (b1p + bo).f(t)
Trong một số trường hợp p không những là ký hiệu mà còn có giá trị như một chữ số, ta có thể thực hiện
các phép tính đại số với số đó. Cụ thể là các phương trình vi phân được thành lập bởi các số gia của các
biến số với các giá trị của chính nó ở trạng thái ổn định. Như vậy các điều kiện ban đầu của phương trình
được xem như bằng không. Trường hợp này phương trình vi phân dưới dạng chứa toán tử p trùng với
phương trình vi phân dưới dạng toán tử biến đổi theo Laplace. Điều kiện đã nêu ra hoàn toàn phù hợp với
những giả thiết khi thành lập phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thống. Vì
thế có thể xem p như một trị số. Phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thống
dưới dạng toán tử có thể viết dưới dạng tổng quát:
A(p)y = B(p)x + C(p)f

(3.1.1)

34


y: đại lượng ra của phần tử hay hệ thống
x: đại lượng vào của phần tử hay hệ thống
f: tác động nhiễu loạn
A(p); B(p); C(p) là các đa thức chứa p
3.1.2 Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace và phép tính toán tử Laplace là phương pháp chủ yếu được sử dụng trong lý
thuyết tự động và trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác để nghiên cứu phương trình động và khảo sát các
phần tử và hệ thống tự động.
Như chúng ta đã biết trong toán học, ảnh Fourier F(jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:
+∞

F( jω) = ∫−∞ f (t ).e − jωt dt

(3.1.2)

Với phép biến đổi Fourier, mỗi một hàm f(t) có một hàm tần số F(jω). Tuy nhiên trên thực tế rất nhiều
+∞

hàm quan trọng f(t) không có ảnh Fourier có nghĩa là tích phân Fourier ∫−∞ f (t ).e

− jωt

dt không hội tụ.

Để cải thiện điều kiện hội tụ, có nghĩa là để mở rộng cấp của hàm người ta sử dụng ảnh Laplace và được
định nghĩa như sau:
+∞

F(p) = ∫−∞ f (t ).e dt
− pt

(3.1.3)

ở đây toán tử p = α + jω là một số phức
Như vậy ảnh Fourier có thể coi là một trường hợp đặc biệt của ảnh Laplace khi α = 0 và p = jω. Phép
biến đổi Laplace có hai chiều vì chúng có giới hạn tích phân từ -∞ → +∞. Trong thực tế chúng ta thường
quan tâm đến quá trình biến đổi thông thường từ thời điểm t = 0, nếu f(t) = 0 với t < 0 thì ta chỉ cần sử
dụng phép biến đổi một chiều:
+∞

F(p) = ∫0 f (t ).e dt
− pt

(3.1.4)

Bên cạnh đó cần phải nhớ rằng giả thiết để tiến hành biến đổi Laplace một chiều là:
- f(t) = 0 với t < 0,
- hàm f(t) phải liên tục từng khúc khi t > 0
- hàm f(t) bị chặn (hội tụ) khi t => + ∞: nghĩa là tồn tại một số thực dương ú bất kỳ sao cho

e
lim
x →∞

− σt

f (t ) = 0

Phép biến đổi Laplace tìm ảnh Laplace F(p) của hàm f(t) được ký hiệu như sau:
L{f(t)} = F(p)

(3.1.5)

ở đây L là ký hiệu của phép biến đổi Laplace theo công thức (3.1.3) còn hàm theo thời gian f(t) cần phải
biến đổi gọi là hàm gốc. Nếu chúng ta biết ảnh Laplace F(p) thì có thể thực hiện phép biến đổi ngược để
tìm hàm gốc f(t) theo công thức sau:

f (t ) =
+∞

1 c+ j∞
pt
∫c− j∞ F(p ).e dp
2πj

(3.1.6)

− pt

Với c là bán kính hội tụ của tích phân Laplace ∫0 e dt

35


Phép biến đổi Laplace ngược được ký hiệu như sau:
f(t) = L-1{F(p)}
Mối quan hệ giữa hàm theo thời gian f(t) và hàm theo biến số p là phép biến đổi Laplace xuôi và ngược
thường được ký hiệu:
f(t) → F(p)
F(p) →f(t)
Vậy bản chất của phép biến đổi Laplace là từ một hàm theo thời gian f(t) gọi là hàm gốc, nhờ phép biến
đổi toán học theo công thức (3.1.3) chúng ta nhận được một hàm mới với biến số p = α+jω. F(p) được gọi
là ảnh Laplace của hàm gốc f(t). Hàm mới F(p) cho phép thực hiện xử lý toán học dễ dàng hơn so với
hàm gốc và nhờ đó chúng ta giải các phương trình tích - vi phân dễ dàng hơn. Phép biến đổi Laplace
(phép biến đổi toán tử) tạo ra những thuận lợi sau:
- Giải phương trình vi phân dễ dàng hơn bởi vì quá trình tính toán rất hệ thống.
- Cho phép giải quyết một cách hoàn toàn các tích phân đặc biệt, cũng như các đạo hàm mà chỉ cần một
phép biến đổi.
- Những điều kiện ban đầu được đề cập đến và chỉ cần một lần ở thời điểm ban đầu chứ không phải ở
thời điểm cuối.

So với phép biến đổi Fourier thường được ứng dụng để phân tích các vấn đề tần số trong động lực học
nhằm hình ảnh hoá tính chất vật lý thì phép biến đổi Laplace không có bất kỳ một ý nghĩa vật lý nào.
3.1.3 Một số tính chất quan trọng và ảnh của một số hàm tiêu biểu qua phép biến đổi Laplace
Trong lý thuyết tự động một số hàm sau đây thường được ứng dụng như là hàm nhiễu chuẩn để khảo sát
các hệ thống và các phần tử tự động:
a. Hàm đột biến đơn vị 1(t)
b. Hàm đenta (hàm diraca) δ(t)
c. Bước nhảy của tốc độ f(t)
a. ảnh Laplace của hàm đột biến đơn vị (hàm bước nhảy đơn vị):
Hàm đột biến đơn vị được định nghĩa như sau:
1(t) = 0 khi t < 0
1(t) = 1 khi t > 0
Đặc tính của hàm đột biến đơn vị được mô tả trên hình 3.1.1

x(t)
1(t)
0

t

Hình 3.1.1: Hàm đột biến đơn vị

36


Hàm bước nhảy cho tín hiệu 1 đơn vị xuất hiện ngay tại thời điểm t = 0 và được duy trì sau thời điểm
đó.
Theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace:
∞
1

1
∞
∞
L{1(t )} = 1(p ) = ∫0 1( t ).e − pt dt = ∫0 1.e − pt dt = − .e − pt 0 =
p
p

Vậy ảnh Laplace của hàm đột biến đơn vị là: I(p) =

(3.1.7)

1
p

b. ảnh Laplace của hàm Đenta (hàm Điraca)
Hàm Điraca hay người ta còn gọi là xung Điraca được định nghĩa như sau:
δ(t) = 0 khi t < 0 và với t > 1/K

X(t)

1
δ(t) = K khi 0 < t <
K

K

1
→0
ở đây:
K

0

1/K

t
Hình 3.1.2: Hàm đenta

Theo định nghĩa trên tích phân của hàm Diraca

∫

+∞

+0

−∞

−0

∫

δ( t )dt = ∫ δ( t )dt = 1 . Như vậy có thể viết

+0

−0

δ( t )dt = 1( t ) , nghĩa là hàm đột biến đơn vị sẽ là tích phân của hàm Diraca và ngược lại δ( t ) =

d1( t )
.
dt

ảnh Laplace của hàm denta là L{δ(t)} = 1
c. ảnh Laplace của hàm bước nhảy tốc độ
Hàm này được định nghĩa như sau:
f(t) = 0 khi t < 0
f(t) = t khi t ≥ 0

(3.1.8)
Hình 3.1.3: Hàm bước nhảy tốc độ

x(t)

0

t

Hàm bước nhảy tốc độ là tích phân của hàm đột biến đơn vị:
t

t

0

0

∫ 1( t )dt = ∫ 1dt = t = f (t )

(3.1.9)

df ( t )
dt

(3.1.10)

hoặc ngược lại: 1(t) =
Theo phép biến đổi Laplace ta có:

37


L{f(t)} =

∫

∞

0

t.e −pt dt

Sử dụng phép tính tích phân từng phần ∫ u.dv = uv − ∫ vdu
với u = t và dv = e-pt.dt

e − pt
Hơn nữa du = dt; v = ∫ dv = ∫ e dt = −
p
− pt

Vậy:
∞
1 −pt ∞ ∞ e − pt
1
1
)dt = 0 − 2 .e −pt 0 = 2
∫0 t.e dt = − t.e 0 − ∫0 ( −
p
p
p
p
∞

− pt

ảnh Laplace của hàm bước nhảy tốc độ là:

L{ f (t )} =

1
p2

(3.1.11)

d. ảnh của hàm mũ
Đối với hàm mũ thì thời điểm ban đầu được tính từ khi t = 0 và do vậy nó được định nghĩa:
f(t) = eαt khi t ≥ 0
f(t) = 0 khi t < 0

(3.1.12)

Sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm ảnh

L{ e

αt

}=∫

∞

o

∞

e .e dt = ∫0 e
αt

− pt

∞

( α−p ) t

1
dt =
.e ( α−p )
α−p
0

Nếu p> α (điều kiện hội tụ của tích phân Laplace) thì:

L{ e α t } =

1
p−α

(3.1.13)

Sử dụng công thức này có thể tìm được ảnh Laplace của các hàm sin(ωt), cos(ωt) và các hàm sinh(ωt)
và cosh(ωt) khi đưa các hàm này về dạng hàm mũ nhờ công thức ơ-le:

sin(ωt ) =

1 jωt
1
(e − e − jωt ) ; cos(ωt ) = (e jωt + e − jωt ) ;
2j
2

1
1
sinh(ωt ) = ( eωt − e −ωt ) ; cosh(ωt ) = (eωt + e −ωt )
2
2
f. ảnh của một tích phân
t
1
L{∫ x(t )dt = .X( p )

o
p

g. ảnh của một đạo hàm
Với giả thiết hàm x(t) thoả mãn điều kiện ban đầu bằng không, nghĩa là x(t) = 0 khi t < 0 và x (k)(0) = 0
với k = 1, 2, ..., n-1 thì:
L{x(n)(t)} = pn.X(p)
h. Tính chất tuyến tính

38


L{a.x1(t) + b.x2(t)} = a.L{x1(t)} + b.L{x2(t)} với a, b là các hằng số
i. Tính chất giới hạn

x(t ) = lim p.X(p )
- Giá trị đầu: lim
t →+0
p →∞

x(t ) = lim p.X(p )
- Giá trị cuối: lim
t →∞
p →+0
3.2 Hàm truyền và phương pháp biểu thị hệ thống bằng sơ đồ khối
3.2.1 Khái niệm về hàm truyền:
Với việc sử dụng ảnh Laplace của các hàm cơ bản và những định lý cơ sở của phép biến đổi Laplace
như định nghĩa về tính tuyến tính, về đạo hàm, về tích phân... (xem lại lý thuyết về phép tính toán tử) ta
có thể giải quyết được rất nhiều vấn đề cụ thể của hệ thống tự động. Ví dụ như dùng phép biến đổi
Laplace để biến đổi phương trình dạng tổng quát của hệ thống dạng:

an

dn y
d n −1 y
dmx
d m −1 x
+
a
+
...
+
a
y
=
b
+
b
+ ... + b o x
n −1
o
m
m −1
dt n
dt n −1
dt m
dt m −1

(3.2.1)

thành phương trình dạng toán tử:

an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + ...+ a1.p.Y(p) + ao.Y(p)
= bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p) +...+ bo.X(p)
Nếu biết được hàm cưỡng bức x(t) (hàm của tín hiệu vào), dùng bảng tra ảnh Laplace của một số hàm
tiêu biểu có thể tìm được ảnh Laplace 2 vế của phương trình (3.2.1).
Với điều kiện ban đầu bằng không:

x t =0 = x' t =0 = ... = x m t =0 ; y t =0 = y' t =0 = ... = y n t =0

(3.2.2)

Ký hiệu L{x(t)} = X(p) và L{y(t)} = Y(p), thực hiện phép biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương
trình (3.2.1) ta nhận được:
an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + ...+ a1.p.Y(p) + ao.Y(p)
= bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p)+...+bo.X(p)
Từ đó rút ra:

G(p) =

Y(p ) b m p m + b m−1p m−1 + ... + b o
=
X(p ) a n p n + a n −1 p n−1 + ... + a o

(3.2.3)

Y(p ) b m p m + ... + b o
G( p ) =
=
X(p ) a n p n + ... + a o

(3.2.4)

Y( p )
được gọi là hàm truyền
X(p)

Định nghĩa hàm truyền: hàm truyền của một phần tử hay của một hệ thống là tỷ số giữa ảnh của tín
hiệu ra và ảnh của tín hiệu vào qua phép biến đổi Laplace với điều kiện ban đầu bằng không.
Từ (3.2.4) rút ra Y(p) = G(p).X(p)

(3.2.5)

39


Có nghĩa là ảnh Laplace của tín hiệu ra của một phần tử hoặc một hệ thống nào đó sẽ bằng tích của ảnh
tín hiệu vào và hàm truyền của chúng.
ý nghĩa cơ bản của hàm truyền: hàm truyền đặc trưng cho khả năng truyền đạt tín hiệu của một phần tử
hay hệ thống. Hàm truyền cho biết tính chất của phần tử hay hệ thống cụ thể và biểu thị phương trình
động ở dạng phương trình đại số. Bằng sơ đồ khối ta có thể biểu thị một phần tử và một hệ thống như sau:

x
x

G1(p)

y

G1(p)

y

G2(p)

Hình 3.2.1: Sơ đồ khối của một phần tử và của một hệ thống
Với các phần tử có nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra sơ đồ khối được biểu thị trên hình 3.2.2

x1

y1
G(p)

xn

yn

Hình 3.2.2: Sơ đồ khối của phần tử có nhiều tín hiệu vào và ra
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định hàm truyền của phần tử có nhiều tín hiệu ra và vào như trên. ở
phần tử có dạng trên mỗi một sự thay đổi của tín hiệu vào sẽ làm ảnh hưởng đến từng tín hiệu ở đầu ra, vì
thế sẽ tồn tại rất nhiều phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các tín hiệu trong phần tử (số lượng phụ
thuộc vào chỉ số m, n), và mỗi phương trình đều có một hàm truyền thành phần tương ứng. Để xác định
hàm truyền chung ta có thể viết mối quan hệ giữa các tín hiệu của phần tử bằng các phương trình sau:
Với sự thay đổi của tín hiệu vào x1:
Y11(p) = G11(p). X1(p); Y12(p) = G12(p).X1(p);...Y1m(p) = G1m(p).X1(p)
Với sự thay đổi của tín hiệu vào x2:
Y21(p) = G21(p). X2(p); Y22(p) = G22(p).X2(p);...Y2m(p) = G2m(p).X2(p)
Với sự thay đổi của tín hiệu vào xm:
Yn1(p) = Gn1(p).Xm(p); Yn2(p) = Gn2(p).Xm(p);...Ynm(p) = Gnm(p).Xm(p)
Hơn nữa:
Y1(p) = G11(p).X1(p) + G21(p).X2(p) + ...+ Gn1(p).Xm(p)
.............................................................

Yn(p) = G1m.X1(p) + G2m.X2(p) + ... + Gnm(p).Xm(p)
Ta có thể biểu thị phương trình động của phần tử dưới dạng ma trận:

40


Y1 (p )

G 11 (p ).G 12 (p )...G 1m ( p ) X 1 (p )

Y2 ( p )

G 21 (p ).G 22 (p )...G 2 m (p ) X 2 (p )

...
= ................................ . ...
...
................................
...
Yn (p ) G n1 ( p ).G n 2 (p )....G nm ( p ) X m (p )

(3.2.6)

Vậy hàm truyền tổng hợp của một phần tử có nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra có dạng:

G 11 (p ).G 12 ( p )...G 1m (p )
G 21 ( p ).G 22 ( p )...G 2 m ( p )
G( p ) = ......................
......................
G n1 (p )...G n 2 ( p ).G nm (p )

(3.2.7)

Trong lý thuyết tự động, việc nối các phần tử với nhau trong hệ thống được chia thành 3 loại cơ bản:
- Các phần tử mắc nối tiếp với nhau
- Các phần tử mắc song song với nhau
- Các phần tử nối với nhau theo liên hệ ngược
Chúng ta lần lượt xét từng nguyên lý nối các phần tử với nhau trong hệ thống.
a. Các phần tử mắc nối tiếp với nhau

G1(p)

G2(p)

Gn(p)

Hình 3.2.3: Hệ thống các phần tử mắc nối tiếp nhau
Từ công thức xác định hàm truyền theo định nghĩa chúng ta có:
X1(p) = G1.X(p)

(3.2.8)

X2(p) = G2.X1(p) = G1.G2.X(p)
......................

(3.2.9)

Y(p) = Gn.Xn-1(p)
Suy ra Y(p) = Gn.Gn-1...G1.X(p)

G( p ) =

n
Y( p )
= G n .G n−1 ...G1 = ∏ G i ( p )
i =1
X(p)

(3.2.10)

Vậy hàm truyền của tập hợp các khâu mắc nối tiếp với nhau bằng tích của các hàm truyền của các khâu
(phần tử).
Nhưng cũng cần phải lưu ý rằng công thức (3.2.10) chỉ chính xác trong trường hợp phần tử G 2(p) đứng
sau không làm ảnh hưởng đến phần tử trước nó G 1(p). Hiện tượng làm thay đổi G1(p) do ảnh hưởng của
phần tử đứng sau G2(p) thường chỉ xảy ra khi tải của hệ thống mang tính chất năng lượng. Vì vậy trong
quá trình nghiên cứu về các hệ thống khi xác định hàm truyền tổng hợp chúng ta cần phải lưu ý đến hiện
tượng này.

41


b. Các phần tử mắc song song với nhau
Hình 3.2.4 biểu thị sơ đồ khối của các phần tử mắc song song với nhau trong cùng một hệ thống.

G1(p)
G2(p)

Gn(p)
Hình 3.2.4: Hệ thống các phần tử mắc song song
Điểm đặc trưng trong hệ thống này là tín hiệu vào đối với tất cả các phần tử giống nhau (giống tín hiệu

vào của hệ thống), còn tín hiệu ra của từng phần tử thì khác nhau và phụ thuộc vào hàm truyền của mỗi
phần tử này. Tín hiệu ra của hệ thống là tổng hợp các tín hiệu thành phần.
Y(p) = Y1(p) + Y2(p) + ...+ Yn(p)
Theo định nghĩa hàm truyền ta có thể viết:
Y1(p) = G1.X(p)
Y2(p) = G2.X(p)
..............
Yn(p) = Gn.X(p)
Cộng hai vế của tất cả các phương trình trên ta có:
Y1(p) + Y2(p) + ...+Yn(p) = X(p).G1 + X(p).G2 +...+ X(p).Gn
Y(p) = (G1 + G2 + G3 +...+ Gn).X(p)

G( p ) =

n
Y( p )
= G 1 + G 2 + ... + G n = ∑ G i
i =1
X(p)

(3.2.11)

Vậy hàm truyền tổng hợp của hệ thống tự động có n phần tử mắc song song với nhau sẽ bằng tổng các
hàm truyền thành phần.
c. Các phần tử mắc với nhau theo kiểu có liên hệ ngược
Kiểu liên kết các phần tử có mạch liên hệ ngược rất phổ biến trong các hệ thống tự động. Có 3 dạng mắc
các phần tử thành mạch có liên hệ ngược (mạch phản hồi) như sau:
-Kiểu hàm truyền ở mạch phản hồi Gph = 1

X(p)

E(p)
(-)

G1(p)

W(p)

G2(p)

Y(p)

42


Hình 3.2.5: Hệ thống có mạch liên hệ ngược
Theo định nghĩa hàm truyền tổng hợp của hệ thống được xác định:

G( p ) =

Y( p )
X(p)

(3.2.12)

Còn hàm truyền của mạch thành phần xác định như sau:

W( p )
Y ( p)
G 2 ( p) =

W ( p)
E( p )

(3.2.13)

e = x - y => x = e + y => X(p) = E(p) + Y(p)

(3.2.14)

G1 (p ) =
Với liên hệ ngược âm:
Từ các biểu thức 3.2.12; 3.2.13; 3.2.14 ta có:
G ( p) =

Y ( p)
X ( p)

=

Y (p)
E ( p) + Y ( p)

G( p ) =

=

Y ( p) / W ( p)
E (p) / W ( p) + Y ( p) / W ( p)

G 2 (p)

1
+ G 2 (p)
G1 (p)

=

G 1 (p ).G 2 ( p )
1 + G1 ( p ).G 2 (p )

(3.2.15)

Như vậy ta đã thành lập được công thức xác định hàm truyền cho hệ thống có liên hệ ngược âm.
Trong trường hợp liên hệ ngược dương: e = x + y => E(p) = X(p) + Y(p). Tính toán như trên ta được
biểu thức xác định hàm truyền tương tự chỉ khác là dấu (+) ở mẫu số được thay thế bằng dấu (-).
- Kiểu hàm truyền ở mạch chính GC = 1.

X(p)

Y(p)

E(p)

(-)
Xrph(p)

G1(p)

W(p)

G2(p)

Hình 3.2.6: Hệ thống có mạch liên hệ ngược
Trên thực tế thông số ra của hệ thống y lại chính là độ lệch e. Trong trường hợp này hàm truyền tổng
hợp của hệ thống được gọi là hàm truyền độ lệch và có ký hiệu là Ge(p).
Có: G 1 (p ) =

X rph (p )
X rph (p ) X rph (p )
W( p )
=
và G 2 ( p ) =
=> G 1 ( p).G 2 ( p ) =
Y( p )
W( p )
Y( p )
E( p )

Với liên hệ ngược âm: e = x - xrph => x = e + xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p)

43


G e (p ) =

Y ( p ) E( p )
E( p )
=
=
=
X(p ) X(p ) E( p ) + X rph (p )

1
1
=
X (p ) 1 + G1 ( p ).G 2 (p )
1 + rph
E(p )
(3.2.16)

Với liên hệ ngược dương hàm truyền tổng hợp được xác định tương tự chỉ khác dấu (+) ở mẫu số được
thay bằng dấu (-).
- Kiểu hàm truyền ở mạch chính và mạch liên hệ ngược đều khác 1:

X(p)

G1(p)

Xrph(p)

Y(p)

G2(p)

Hình 3.2.7: Hệ thống có mạch liên hệ ngược
Với liên hệ ngược âm thì e = x - xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p)

Có G1 ( p ) =

X rph (p )
X rph (p )

Y( p )
và G 2 ( p ) =
=> G1 ( p ).G 2 (p ) =
E( p )
Y( p )
E( p )
Y( p )
Y( p )
Y( p )
G1 ( p )
E( p )
G( p ) =
=
=
=
X (p ) 1 + G 1 (p ).G 2 ( p )
X( p ) E(p ) + X rph (p )
1 + rph
E( p )

(3.2.17)

Với liên hệ ngược dương, dấu (+) ở mẫu số sẽ được thay bằng dấu (-).
Ba biểu thức xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược 3.2.15, 3.2.16, 3.2.17 có mẫu
số M(p) = 1 ± G1(p).G2(p) giống nhau, chỉ có tử số (chính là hàm truyền ở mạch chính) là khác nhau.
Vậy: Hàm

truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược bằng tỷ số giữa hàm

truyền ở mạch chính của hệ thống với biểu thức 1 + tích của tất cả các hàm

truyền thành phần. Dấu (+) ứng với liên hệ ngược âm còn dấu (-) ứng với liên
hệ ngược dương.
d. Xác định hàm truyền của hệ thống phức tạp có các phần tử mắc chéo nhau
Trên thực tế hệ thống tự động có từ 2 phần tử trở lên thường có mối quan hệ giữa các phần tử rất phức
tạp. Trong một số trường hợp nếu chỉ đơn thuần ứng dụng các cách xác định như trên thì không thể tìm
được hàm truyền tổng hợp của hệ thống. Để có thể tìm được hàm truyền tổng hợp của các hệ thống phức
tạp một cách nhanh chóng, người ta áp dụng những nguyên tắc biến đổi sơ đồ cấu trúc thật của hệ thống
thành sơ đồ cấu trúc tương đương cho phép tính toán nhanh chóng hơn. Người ta còn gọi phương pháp
biến đổi sơ đồ tương đương này là đại số sơ đồ khối.

44


Cơ sở lý thuyết để xây dựng các quy tắc biến đổi dựa trên cơ sở về hàm truyền và phương trình của nút
tổng hợp (phần tử so sánh) dưới đây là một số quy tắc biến đổi thường dùng:
1.

Biến đổi nút thông tin

1

1

2

2
2.

Phân chia nút thông tin kép

1

1

2

2
3.

Phân chia mạch giữa 2 nút thông tin

G

G
4.

5.

Hoán vị nút tổng hợp

y
x1 + x1+x3
+
x3
x2 -

y
x1 + x1-x2
x2
x3 +

Phân chia nút tổng hợp kép

x2
x1 + ± y
x ±

x1 +

x2

y
±

Phân chia mạch giữa 2 nút tổng hợp

x1

+

y

x2 ±

± x3

y

+
±

G

x1

G
7.

±

x3

3

6.

G

±
G

x2

x3

Hoán vị nút thông tin sang phía trước phần tử

x

x

y

G

y

G

x

1/G
x

8.

Hoán vị nút thông tin về phía sau phần tử

x

y

G
y

x

G

y

G
y

9.

Chuyển nút tổng hợp sang phía trước phần tử

45


x1 +
±

x2

y

G

x1

+

G

y
±
G

x2

10. Chuyển nút tổng hợp về phía sau phần tử

x1

+

G

x1 +

y
±

x2

±

y

G

1/G
x2

11. Tạo nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (y)

x1

y

x1 +
x2

y

+

-

-

+

y

x2

y

12. Tạo thêm nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (x)

x1

y

+
x2

x1

x1

-

y

+

-

+
+

x2

x1

Ví dụ 1: Hãy xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống tự động biểu thị trên sơ đồ sau:

+

x

-

G1

+
y

G3

Biến đổi sơ đồ tương đương:

x

G2

+

+

G1.G2

-

+

+
y

G3
x

G1.G2
1+G1.G2.G3

+

+

x
y

G1.G2

y

1+G1.G2.G3

Hàm truyền tổng hợp của hệ thống:

46


G( p ) = 1 +

G1G 2
1 + G1G 2 G 3 + G1G 2
=
1 + G1G 2 G 3
1 + G1 G 2 G 3

Ví dụ 2: Hãy sử dụng phép biến đổi tương đương để xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống như
trên hình sơ đồ khối sau:

G4
+

x

+

G1

-

-

G2

y

G3
G5

Biến đổi sơ đồ tương đương và xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống như sau:

G4
+

x

+

G1

-

1/G3

y

G2.G3

-

G5
G4/G3
x

+ +

-

G1

1−
x

-

y

G 2 .G 3
1 + G 2 .G 3 .G 5
G4
G3

G 1 .G 2 .G 3

1 + G 2 .G 3 .G 5

y

G 1G 2 G 3
1 + G 2 .G 3 .G 5
G1 .G 2 .G 3
G ( p) =
=
G1 .G 2 .G 3
G
1 + G 2 .G 3 .G 5 + G1 .G 2 .(G 3 − G 4 )
1+
(1 − 4 )
1 + G 2 .G 3 .G 5
G3
3.2.2 ứng dụng hàm truyền để giải các phương trình vi phân thông thường
Trong lý thuyết tự động việc khảo sát tính chất động của hệ thống tự động là vấn đề rất quan trọng để có
thể đánh giá được khả năng ứng dụng thực tế (với quá trình thiết kế hệ thống) và khả năng làm việc hiện
tại của hệ thống (với quá trình kiểm tra tình trạng hệ thống). Quá trình động của hệ thống tự động thường
được mô tả bằng các phương trình vi phân. Để khảo sát tính chất động của hệ thống phải giải được
phương trình vi phân mô tả trạng thái của hệ thống. Các hệ thống tự động phức tạp thường có phương
trình động là phương trình vi phân bậc cao, việc giải phương trình vi phân bậc cao theo phương pháp cổ
điển gặp rất nhiều khó khăn và nhiều khi không giải được. Với việc ứng dụng hàm truyền ta có một số

47


phương pháp giải các phương trình vi phân một cách đơn giản hơn. Phần sau đây sẽ trình bày một vài
phương pháp ứng dụng hàm truyền để giải phương trình vi phân.

a. Tìm hàm gốc trên cơ sở khai triển ảnh Laplace thành các phân số đơn giản
Nếu biết ảnh Laplace Y(p) ta có thể tìm được hàm gốc y(t):
y(t) = L-1{Y(p)}
Nếu ảnh Laplace Y(p) đơn giản hoặc có dạng quen thuộc thì có thể tra ngay ra hàm gốc từ bảng ảnh của
các hàm cơ bản. Tuy nhiên trên thực tế ít gặp trường hợp xác định được ngay hàm gốc mà thường phải
khai triển hàm ảnh Y(p) thành những biểu thức đơn giản và sau đó mới sử dụng được bảng ảnh của các
hàm cơ bản để tìm hàm gốc.
Xét hệ thống tự động có ảnh Laplace Y(p) của tín hiệu ra y(t) có dạng như sau:

N ( p ) b m p m + b m−1 p m−1 + ... + b o
Y( p ) =
=
M(p ) a n p n + a n−1p n−1 + ... + a o

(3.2.18)

Nếu phương trình động của hệ thống có bậc của đa thức mẫu số lớn hơn của tử số n > m (do tính chất
vật lý) thì hàm Y(p) sẽ là phân số thực sự. Còn nếu n < m, lấy tử số chia cho mẫu số sẽ nhận được phân
số là tổng của đa thức bậc (n-m) và một phân số thật.
Ví dụ: n < m

2p 4 + 3p 3 + p 2 + 2 p
43p + 45
2
Y( p ) =
=
2
p
−
5

p
+
15
−
p 2 + 4p + 3
p 2 + 4p + 3
Ta nhận được đa thức bậc hai (2p2 - 5p + 15) và phân số thật

43p + 45
p2 + 4 + 3

ảnh Laplace ngược của đa thức bậc (n-m) thường là các hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm xung δ(t) và ảnh
của nó.
Để tìm được ảnh Laplace ngược của phân số thật phải khai triển phân số này thành các phân số đơn
giản, muốn thế trước hết phải tìm nghiệm p1, p2 ...pn của đa thức mẫu số M(p) = 0. Nghiệm p1, p2 ...pn của
M(p) = 0 có thể là:
- Nghiệm thực đơn
- Các cặp nghiệm phức
- Nghiệm lặp nhiều lần (thực hoặc phức)
Trường hợp 1: Đa thức mẫu số có tất cả các nghiệm là nghiệm thực đơn. Khi dó có thể viết Y(p) dưới
dạng:

Y( p ) =

N (p)
(p − p 1 )(p − p 2 )...(p − p n )

(3.2.19)

Khai triển thành phân thức đơn giản:

Y( p ) =

n
C1
C2
Cn
Ck
+
+ ... +
=∑
p − p1 p − p 2
p − p n k =1 (p − p k )

(3.2.20)

Các hệ số Ck được xác định theo phương pháp sau:

48


Tìm C1 bằng cách nhân 2 vế của 3.2.20 với (p - p1)

(p − p 1 ).Y(p ) = C 1 +

p − p1
p − p1
.C 2 + ... +
.C n
p − p2

p − pn

(3.2.21)

Cho p = p1 có nghĩa là p - p1 = 0

C 1 = (p − p 1 ).Y(p ) p=p

(3.2.22)

1

Tổng quát: C k = (p − p k ).Y(p ) p =p k

(3.2.23)

Hoặc có thể sử dụng công thức L'Hospital C k =

N (p)
N(p k )
=
M' ( p ) p = p M' ( p k )
k

ở đây N(p k ) = N(p) p =p k và M' (p k ) =

d
[ M(p )]
dp
p =p

(3.2.24)
k

Thay (4) vào (2) ta có:

N (p k )
1
.
k =1 M ' ( p ) p − p
k
k
n

Y( p ) = ∑

(3.2.25)

Sau khi đã phân tích được Y(p) thành các phân thức đơn giản, tra bảng để xác định hàm gốc cho các

phân thức. ảnh Laplace ngược của các phân thức có dạng

Ck
1
→ e at , còn
→ C k .e p k t
p−a
p − pk

Hàm gốc y(t) khi đó được xác định như sau:

n

L−1{Y(p )} = y( t ) = ∑ C k .e p

k .t

(3.2.26)

k =1

Ví dụ minh hoạ: Tìm hàm gốc của hàm Y(p ) =

3p + 10
p 2 + 7p + 12

(3.2.27)

Nghiệm của đa thức mẫu số p 2 + 7p + 12 = 0 là p 1 = - 3, p2 = - 4. Khai triển Y(p) thành tổng của các
phân thức đơn giản:
C
C
3p + 10
3p + 10
=
= 1 + 2
p + 7 p + 12 ( p + 3)(p + 4) p + 3 p + 4

(3.2.28)

2

Các hệ số C1 và C2 có thể tính theo công thức 3.2.23

C 1 = ( p + 3).Y(p ) p=−3 =

3p + 10
3p + 10
= 1 và C 2 = (p + 4).Y(p ) p =−4 =
=2
p + 4 p =−3
p + 3 p = −4

Hàm truyền 3.2.27 được viết dưới dạng tổng của các phân thức đơn giản:

Y( p ) =

1
1
+2
p+3
p+4

áp dụng công thức xác định ảnh của hàm cơ bản (tra bảng tìm hàm Laplace ngược)

1
→ e −at
p+a

49

Vậy y(t ) = e

−3 t

+ 2 e −4 t

Trường hợp 2: Đa thức mẫu số có nghiệm là các cặp nghiệm phức p = a ± jω.
Biến đổi hàm truyền Y(p) thành dạng Y(p ) =

N (p)
p+a
ω
= α.
+ β.
với α, β
2
2
M( p )
(p + a ) + ω
( p + a )2 + ω2

là các hệ số là hằng số. Sau đó áp dụng các công thức xác định ảnh Laplace ngược của các hàm cơ bản có
sẵn trong bảng tra:

p+a
ω
−at
−1
L−1{

}
=
e
.
cos
ω
t
L
{
} = e −at . sin ωt
và
2
2
2
2
(p + a ) + ω
(p + a ) + ω

(3.2.29)

để tìm hàm gốc y(t).
Ví dụ minh hoạ: Xác định hàm gốc của Y(p ) =

2p + 9
p + 4p + 29
2

Đa thức mẫu số M(p) = p2 + 4p + 29 có cặp nghiệm phức p = -2 ± j5 (tức là a = -2 còn ω = 5). Viết lại
Y(p) dưới dạng sau:

Y( p ) =

2p + 9
2(p + 2) + 5
p+2
5
=
=
2
+
p 2 + 4p + 29 (p + 2)2 + 52
( p + 2) 2 + 5 2 ( p + 2)2 + 5 2

(Trong trường hợp này α = 2 và β =1)
Tra bảng ta có:

5
p+2
→ e −2 t cos 5t và
→ e −2 t sin 5t
2
2
2
2
( p + 2) + 5
( p + 2) + 5
Suy ra y(t) = 2e-2t.cos5t + e-2t.sin5t = e-2t.(2cos5t + sin5t)
3.3.3 Hàm tần số, đặc tính tần số, đặc tính lôgarrit tần số
3.3.1 Khái niệm về hàm tần
Trong phần trên ta đã nói đến hàm truyền của hệ thống hoặc một phần tử, thông qua hàm truyền có thể

biết được tính chất của phần tử hay hệ thống. Hơn nữa, nếu biết tín hiệu vào, thông qua hàm truyền có thể
biết được phản ứng của phần tử hay hệ thống đối với tín hiệu này qua sự thay đổi độ lớn của tín hiệu ra.
Như vậy hàm truyền cho biết sự thay đổi và trị số của tín hiệu.
Trên thực tế tín hiệu vào (hoặc nhiễu loạn) đối với hệ thống có thể là những tín hiệu dao động có tần số
ω thay đổi. Khi tín hiệu vào có tần số thay đổi thì phản ứng của phần tử hay của hệ thống tự động như thế
nào? Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp tín hiệu vào (hoặc nhiễu) là tín hiệu dao động hình sin x(t) =
A.sinωt (A là biên độ dao động cực đại, ω là tần số dao động).
Khi nghiên cứu phản ứng của phần tử hay hệ thống với tín hiệu có tần số thay đổi thì vấn đề cần quan
tâm là trạng thái tĩnh của các dao động ra sau khi đã kết thúc quá trình chuyển tiếp, do vậy thời gian sẽ
được coi là biến số không phụ thuộc. Phản ứng (tín hiệu ra) của các phần tử hay hệ thống tuyến tính với
tín hiệu vào là một dao động hình sin cũng là một dao động hình sin.

50


Thực tế khi tần số của tín hiệu vào thay đổi, trong hệ thống tồn tại đồng thời 2 dao động: dao động
cưỡng bức và dao động riêng của hệ thống nhưng vì hệ thống ổn định nên sau một khoảng thời gian nhất
định dao động riêng của hệ thống suy giảm và biến mất, tín hiệu ra cuối cùng là một dao động điều hoà
hình sin, có cùng tần số với tín hiệu vào nhưng khác biên độ và lệch pha so với tín hiệu vào:
y(t) = B.sin(ωt + ϕ)

(3.3.1)

(B là biên độ dao động cực đại, ω là tần số dao động, ϕ là góc lệch pha).

y
x

B

A

G(p
)

ω

Hình 3.3.1: Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra khi tần số thay đổi
Giả sử biên độ của tín hiệu ra B tỷ lệ với biên độ A của tín hiệu vào B = α.A. Nếu tín hiệu vào có biên
độ A = 1 thì:
x = sinωt và y = α.sin(ωt + ϕ)

(3.3.2)

Sau đây ta sẽ dùng các phương pháp toán học để khảo sát hàm tần số và đặc tính tần số của hệ thống.
Giả sử đưa vào phần tử hay hệ thống tự động một tín hiệu dao động với tần số ω thay đổi x = x1 = sinωt
thì tín hiệu ra (ở trạng thái ổn định) sẽ là y = y 1 = α.sin(ωt + ϕ). Nếu đưa vào phần tử hay hệ thống tín
hiệu x = x2 = cosωt thì sẽ nhận được tín hiệu ra y = y 2 = α.cos(ωt + ϕ). Theo nguyên lý tổng hợp các tín
hiệu nếu ta đưa vào phần tử hay hệ thống tín hiệu tổng hợp x = x 1 + x2 = sinωt + cosωt thì phản ứng của
phần tử hay hệ thống với tín hiệu này là y = y1 + y2 = α.[sin(ωt + ϕ) + cos(ωt + ϕ)].
Nếu đưa vào tín hiệu là dao động phức:
x1 = jsinωt thì nhận được y1 = jα.sin (ωt + ϕ)
x2 = cosωt thì nhận được y2 = α.cos(ωt + ϕ)
Theo công thức ơle:
x = x1 + x2 = cosωt + jsinωt = ejωt
y = y1 + y2 = α.[cos(ωt + ϕ) + jsin(ωt + ϕ)] = α.ej(ωt+ϕ)
Vậy phản ứng của phần tử hay hệ thống với tín hiệu vào là dao động phức
x = ejωt có dạng y = α.ej(ωt + ϕ)

(3.3.3)

Kết quả trong không gian số phức có thể trực tiếp sử dụng trong không gian thực bởi vì các góc lệch pha
ϕ = ϕ(ω) và biên độ α = α(ω) có giá trị giống trong biểu thức 3.3.2.
Sử dụng biểu thức 3.3.3 để giải phương trình động tổng quát là phương trình vi phân không thuần nhất:
Vì x = ejωt nên:

51


dx
= jω.e jωt = ( jω).x
dt
.......................

dmx
= ( jω) m .e jωt = ( jω) m .x
m
dt

(3.3.4)

Tương tự như vậy y = α.ej(ωt + ϕ) = α.ejωt.ejϕ

dy
= jω.α.e j ( ωt +ϕ ) = ( jω).y
dt
............................

dny
= ( jω) n .α.e j ( ωt +ϕ) = ( jω) n .y

n
dt

(3.3.5)

Thay 3.3.4 và 3.3.5 vào phương trình động tổng quát của phần tử hay hệ thống tự động

dny
d n −1y
dmx
a n n + a n −1 n −1 + ... + a o = b m m + ... + b o được phương trình dạng phức:
dt
dt
dt
an.(jω)n.y + an-1.(jω)n-1.y +...+ ao.y = bm.(jω)m.x + bm-1.(jω)m-1.x +...+ bo.x
Sau khi sắp xếp lại chúng ta có:
[an.(jω)n + an-1.(jω)n-1 +...+ ao].y = [bm.(jω)m +...+ bo].x
Đặt G( jω) =

Y( jω) b m ( jω) m + b m−1 ( jω) m−1 + ... + b o
=
X( jω) a n ( jω) n + a n−1 ( jω) n−1 + ... + a o

(3.3.6)

G(jω) được gọi là hàm tần số hay hàm truyền phức.
So sánh hàm tần số G(jω) và hàm truyền G(p) chúng ta thấy:

G( jω) = G(p ) p= jω

(3.3.7)

Nếu biết hàm tần G(jω) ta có thể xác định được dao động của tín hiệu ra:
y(jω) = G(jω).x(jω)
Thay 3.3.3 vào G(jự) =

(3.3.8)

y( jω)
α.e jωt + jϕ
được G( jω) =
= α.e jϕ và có thể biểu thị hàm tần một cách
jωt
x( jω)
e

trọn vẹn:

b m ( jω) m + b m−1 ( jω) m−1 + ... + b o
G( jω) = α.e =
a n ( jω) n + b n −1 ( jω) n−1 + ... + a o
jϕ

(3.3.9)

Định nghĩa hàm tần: hàm tần là hàm số biểu thị sự phụ thuộc vào tần số của tín hiệu vào ự của hai đại
lượng là tỷ số giữa biên độ của tín hiệu ra với biên độ của tín hiệu vào ỏ và độ lệch pha ử giữa hai tín
hiệu.
ý nghĩa của hàm tần: hàm tần số là hàm phức biểu thị phản ứng của một phần tử hay của một hệ thống
tự động đối với tín hiệu vào có tần số thay đổi, qua sự biến thiên của biên độ tín hiệu ra α(ω) và độ lệch

52


pha ϕ(ω). Giá trị của hàm tần G(jω) phụ thuộc vào các hệ số a k (k = 1~n), bk (k = 1~m) của phương trình
vi phân và phụ thuộc vào tần số dao động riêng ω của tín hiệu.
Vì j là số phức nên hàm tần G(jω) cũng là một số phức. Để tách riêng phần thực và phần ảo của G(jω)
nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số sau đó tiến hành khai triển và đơn giản hoá để
viết hàm tần dưới dạng phức G(jω) = R(ω) +jQ(ω) trong đó R(ω) là phần thực, Q(ω) là phần ảo.
Hàm

tần

còn

có

thể

được

biểu

diễn

dưới

dạng

G(jω)

C(ω).ejϕ(ω),

=

trong

C(ω) = G( jω) == R 2 (ω) + Q 2 (ω) gọi là mô đun của véctơ G(jω) và ϕ(ω) = arctg

đó

Q(ω)
là
R(ω)

argument của vectơ G(jω).
Đồ thị của hàm tần G(jω) biểu diễn trên mặt phẳng phức được gọi là đặc tính tần số - biên độ, pha (hay
còn gọi là biểu đồ Nyquist). Đồ thị này chính là quỹ tích của các đầu mút véctơ có độ dài là tỷ số giữa
biên độ của tín hiệu ra và biên độ của tín hiệu vào (ỏ), còn góc lệch của véctơ là góc lệch pha ω giữa hai
tín hiệu này. Một ví dụ về đường đặc tính này được biểu thị trên hình 3.3.3.
Nyquist Diagrams
2
1.5

Imaginary Axis

1
0.5
0
-0.5

-1
-1.5
-2
-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Hình 3.3.3: Đặc tính tần số – biên độ, pha (biểu đồ Nyquist)
Ta có hàm tần:
G(jω) = R(ω) + jQ(ω)
Biểu diễn hàm tần trên mặt phẳng phức:
ứng với giá trị ω = ω1 có Q1(ω); R1(ω), cho ω biến thiên từ 0 ÷ ∞; 0 ÷ -∞ xác định được một đường cong
trên mặt phẳng phức.
Chú ý: Nếu phần thực R(ω) là hàm số chẵn và phần ảo Q(ω) là hàm số lẻ thì đặc tính tần số - biên độ,

pha sẽ đối xứng qua trục thực R.

53


Ngoài đặc tính tần số - biên độ, pha khi nghiên cứu về các hệ thống tự động, để biết rõ sự thay đổi của
biên độ tín hiệu ra theo sự biến thiên của tần số tín hiệu vào cũng như sự thay đổi của độ lệch pha giữa hai
tín hiệu khi tần số của tín hiệu vào thay đổi một cách riêng biệt có thể sử dụng hai đặc tính riêng biệt là
đặc tính biên - tần số (biên độ - tần số) α(ω) = G(jω) và đặc tính pha - tần (góc lệch pha - tần số) ϕ(ω)
= arctgG(jω). Các đồ thị đặc tính này còn được gọi là biểu đồ Bode.

α(ω)
bo/ao

φ(ω)

ω

-π/2

Hình 3.3.4: Đặc tính biên độ - tần số, pha - tần số (biểu đồ Bode)
Ví dụ: Vẽ đặc tính tần số với biên độ và pha của hệ thống tự động điều chỉnh có hàm truyền G(p) = p 3 +
5p2 + 6p + 4
Thay p = jω xác định được hàm tần G(jω):
G(jω) = (jω)3 + 5(jω)2 + 6jω + 4 = (-5ω + 4) + j(6ω - ω3)
Phần thực R(ω) = -5ω + 4, phần ảo Q(ω) = 6ω - ω3
Nyquist Diagrams

10

Imaginary Axis

5

0

-5

-10
-40

-30

-10

0

10

Real Axis

Bảng biến thiên:
ω
R(ω)
Q(ω)

-20

0
4

0

1
-1
5

2
-16
4

3
-41
-9

4
-16
-40

3.3.2 Đặc tính tần số lôgarit đối với biên độ và pha

54


Trong những hệ thống tự động phức tạp số lượng các phần tử có mối liên kết nối tiếp thường nhiều hơn
so với các phần tử có mối liên kết song song, để có thể dễ dàng xác định hàm tần của các phần tử mắc nối
tiếp bằng sử dụng đặc tính tần số của từng phần tử riêng rẽ (cộng đồ thị).
Hàm tần G(jω) của n phần tử mắc nối tiếp có các hàm tần thành phần G 1(jω); G2(jω)...Gn(jω) được xác
định như sau:
G(jω) = G1(jω).G2(jω)..Gn(jω)

(3.3.10)

hoặc viết dưới dạng phức:

α.e Ñϕ = α1 .e jϕ .α 2 .e jϕ ...α n .e jϕ = α1 .α 2 .α 3 ...α n .e j ( ϕ +ϕ +...+ϕ )
1

2

n

Từ đây rút ra α = α1.α2...αn và ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ...+ ϕn

1

2

n

(3.3.11)

(3.3.12)

Từ 3.3.12 ta thấy để tính acgument ϕ của hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp có thể sử dụng
đặc tính pha- tần bằng cách cộng các toạ độ của các đặc tính với giá trị ω xác định. Tuy nhiên không thể
xác định môđun (biên độ) α của hàm tần tổng hợp bằng cách cộng đồ thị đặc tính hàm tần số của các
phần tử mắc nối tiếp như trên. Nếu áp dụng 3.3.12 để xác định môđun của hàm tần, chúng ta phải nhân
các toạ độ của các đặc tính tần số. Đây là một việc không làm được trên đồ thị. Với khái niệm đặc tính
lôgarit môđun (lgα) với lôgarit của tần số (lgω), hoặc lôgarit của tần số nhân với hằng số thời gian T
(lgTω), lấy lôgarit cả hai vế của 3.3.12:

lgα = lgα1 + lgα2 + ... + lgαn

(3.3.13)

Như vậy nếu có đặc tính lôgarit biên độ của các phần tử riêng biệt thì bằng phép cộng đồ thị ta có thể
nhận được đặc tính lôgarit môđun của hàm tần tổng hợp của mạch nối tiếp. Đặc tính lôgarit của biên độ
thường được xây dựng trên hệ trục toạ độ mà trục tung biểu thị L(ω) = 20lgα, trục hoành biểu thị lgω. Ví
dụ như với môđun α = 10 thì lgα = 1 còn = 20lgα = 20 [dB].
Đơn vị của L(ω) là đềxiben (dB), đơn vị của lgω có thể là đềkađa nghĩa là vạch chia độ tiếp theo lớn
gấp 10 lần vạch chia độ trước đó (công sai là 10) hay oktava (công sai là 2).
Đặc tính lôgarit tần số - biên độ được xây dựng bằng cách cho ω biến thiên từ giá trị gốc đến +∞ để xác
định các giá trị α(ω) và 20lgα(ω) tương ứng. Trên trục hoành có thể chọn giá trị ω bất kỳ làm điểm gốc
ban đầu, tuy nhiên nên chọn điểm gốc hợp lý để đồ thị đặc tính tần số nằm gần điểm gốc này.

55


Bode Diagrams

25

Phase (deg); Magnitude (dB)

20
15 biểu thị mối quan hệ giữa độ lệch pha ϕ = ϕ(ω) và lôgarit tần số
Đồ thị đặc tính lôgarit tần số - pha
10 lệch pha ϕ (đơn vị là độ hoặc radian), trục hoành cũng chia theo tỷ
(lgω). Trục tung của đồ thị biểu thị độ

lệ lgω như đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ.

ϕ(ω)

100

101 lgω
ự

-20
-40
-60
-80
10

-1

10

0

10

1

Hình 3.3.5: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ
Frequency (rad/sec)

Thông thường các đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, lôgarit tần số - pha được biểu thị trên cùng một
đồ thị gọi là đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha hay đặc tính lôgarit tần số.
Ví dụ: Xây dựng đặc tính lôgarit tần số của hệ thống có L(ω) như sau:

L(ω) = 20 lg

K
T ω +1
2

2

= 20 lg K − 20 lg T 2 ω2 + 1

Lập bảng biến thiên:
ω

0

lgα

K

20lgα

20lgK

1
T
K
2
20lgK-10lg2

∞
0
0

Phương trình các đường tiệm cận LTC
Khi ω → 0: LTC(ω) = 20lgK - 20lg1 = 20lgK
Khi ω → ∞: LTC(ω) = 20lgK - 20lgTω
Đồ thị:

56


Bode Diagrams

20lgK

L(ω) dB
25

Phase (deg); Magnitude (dB)

20

20 lg

15
10

K
T 2 ω2 + 1

20lgK - 20lgTω

lgω
ự

-20
-40
-60
-80
-1

0

10

1

10

10

Frequency (rad/sec)

Ưu điểm của đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha
- Dựa vào các đặc tính này có thể đánh giá một cách dễ dàng và nhanh chóng tính chất động của phần tử
hay hệ thống tự động, do đó việc thiết kế, xây dựng hệ thống hiệu quả hơn rất nhiều. Nói cách khác đây là
công cụ rất hữu hiệu để khảo sát, nghiên cứu và thiết kế các phần tử cũng như hệ thống tự động.
- Việc xây dựng các đường đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha thường đơn giản và không gặp nhiều
khó khăn trong tính toán.

3.3.3. Đại số hàm tần
Đại số hàm tần (các phép tính về hàm tần) cũng tương tự như hàm truyền.
a. Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp:
Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp bằng tích hàm tần của tất cả các phần tử
n

n

n

i =1

i =1

G( jω) = ∏ G i ( jω) = ∏ α i (ω).e

j[

∑ ϕj ( ω) ]
i =1

.

n

n

i =1

i =1

Đặc tính tần số biên độ, pha α(ω) = ∏ G( jω) , và ϕ(ω) = ∑ ϕi (ω) cũng như đặc tính lôgarit tần số
được xây dựng bằng cách cộng đồ thị.
b. Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc song song:
Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc song song bằng tổng hàm tần của tất cả các phần tử
n

G( jω) = ∑ G i ( jω)
t =1

c. Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc có liên hệ ngược (có phản hồi)

G( jω) =

G1 ( jω)
1 ± G 1 ( jω).G 2 ( jω)
57


Trong đó: G1(jω) là hàm truyền tổng hợp của các phần tử ở mạch chính, G 2(jω) là hàm truyền của phần
tử liên hệ ngược.
d.Hàm tần tổng hợp của hệ thống kín (có liên hệ ngược âm Glhn(jω) = 1)

G K ( jω) =

G H ( jω)
1 + G H ( jω)

Trong đó: Glhn(jω) là hàm truyền của phần tử liên hệ ngược, G H(jω) là hàm truyền tổng hợp của hệ thống
hở. GK(jω) là hàm truyền tổng hợp của hệ thống kín.

Câu hỏi ôn tập:
1. Trình bày về hàm truyền và phương pháp mắc các phần tử
2. Trình bày về hàm tần và đặc tính tần số hàm tần
3. Trình bày đặc tính logarit tần số của hàm tần

58