Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 4

Chương IV
các phần tử tự động cơ bản
(các khâu cơ bản)
4.1 Khái niệm về các khâu cơ bản
Khi nghiên cứu các hệ thống tự động, ta thường gặp các phần tử có tính chất đặc trưng như nhau
(mặc dù chúng có thể có tính chất vật lý giống hoặc khác nhau) và đều hoạt động tuân theo cùng định luật
hay nói cách khác là chúng đều được biểu thị bằng những phương trình động giống nhau. Các phần tử
trên được gọi là các phần tử cơ bản (hay các khâu cơ bản).
Khâu cơ bản là khâu biểu thị các phần tử có sự đồng nhất về tính chất lý, hóa, kỹ thuật hoặc đồng
nhất về cấu tạo và có định hướng. Một phần tử được gọi là có định hướng khi tín hiệu (năng lượng, vật
chất, sản phẩm...) được truyền trong khâu từ vào đến đầu ra theo một hướng nhất định, khi tín hiệu vào
thay đổi thì tín hiệu ra thay đổi theo, tín hiệu vào không thay đổi thì tín hiệu ra cũng không thay đổi. Một
ví dụ về khâu cơ bản là nồi hơi tàu thủy. Nếu giả thiết sự thay đổi nhiên liệu vào buồng đốt là đại lượng
vào và sự thay đổi lượng hơi sinh ra của nồi hơi là đại lượng ra, loại trừ những yếu tố khác ảnh hưởng đến
sự sinh hơi trong nồi hơi và không sử dụng hệ thống tự động điều chỉnh thì sự thay đổi lưu lượng hơi
không làm thay đổi lượng nhiên liệu cấp vào buồng đốt nhưng ngược lại nếu thay đổi lượng nhiên liệu
cấp vào buồng đốt sẽ dẫn đến sự thay đổi lượng hơi sinh ra. Nồi hơi được coi là một khâu với lượng nhiên
liệu cấp là tín hiệu vào và lượng hơi sinh ra là tín hiệu ra của nó.
Các hệ thống tự động được nghiên cứu có thể khác nhau về mặt cấu trúc, tính chất vật lý, ứng
dụng, số lượng các phần tử, nhưng chúng đều được tạo nên bởi sự kết hợp của các phần tử cơ bản. Về mặt
cấu trúc một hệ thống tự động có thể có nhiều hệ cơ cấu, mỗi cơ cấu này được tạo ra bởi sự kết hợp của
một chuỗi các nhóm cấu trúc. Các phần tử cơ bản sẽ tạo nên đầy đủ những phần tử biểu thị cho các nhóm
cấu trúc. Một phần tử không phải là một hệ thống phức tạp mà thường có thể phân biệt thành những thành
phần tử cơ bản có ý nghĩa toán học. Việc phân chia hệ thống thành các phần tử cơ bản và nắm được định
luật biểu thị bằng toán học cho phép ta phân tích và tổng hợp các hệ thống tự động một cách dễ dàng hơn.
Trong thực tế các phần tử chỉ có thể biểu thị một cách gần đúng nhóm cấu trúc của hệ thống.
Những phần tử cơ bản cấu thành nên bất cứ một hệ thống tự động nào bao gồm:
a. Phần tử tỷ lệ lý tưởng (không quán tính)
b. Phần tử tỷ lệ quán tính bậc một và bậc hai
c. Phần tử dao động
d. Phần tử tích phân lý tưởng, tích phân bậc hai

e. Phần tử vi phân lý tưởng, vi phân thực tế
f. Phần tử có tính trễ
Ta sẽ lần lượt khảo sát tính chất của từng phần tử cơ bản. Nguyên lý chung để khảo sát một phần
tử cơ bản là đặt ở đầu vào của nó các tín hiệu chuẩn như tín hiệu là hàm đột biến đơn vị, hàm đenta hay
hàm bước nhảy tốc độ, sau đó nghiên cứu phản ứng của phần tử thông qua tín hiệu ra. Thông thường,

59


người ta khảo sát phần tử bằng tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị hay còn gọi là hàm nhảy bậc x = 1(t)
(đặc tính của hàm này được mô tả ở phần trên).
Trước khi khảo sát các phần tử cơ bản một cách cụ thể cần có những quy ước và giả thiết sau:
a. Trong các phần tử cơ bản không có sự tác động ngược của đại lượng ra đối tới đại lượng vào.
b. Các giá trị tuyệt đối của các tín hiệu vào và ra được ký hiệu bằng dấu “0” ở chân ký hiệu của
biến số, ví dụ xo và yo. Sở dĩ phải đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối trong quá trình phân tích các trạng thái
tĩnh vì thường không có đủ thông tin để chọn điểm công tác nếu chỉ biết phương trình đặc tính tĩnh y =
f(x). Do đó phải biết phương trình (hoặc đồ thị) của đặc tính tĩnh y o = f(xo) trong toàn bộ miền xác định
của tín hiệu.
c. Độ lệch của các tín hiệu vào và ra so với trạng thái tĩnh ban đầu sẽ được ký hiệu bằng x, y
không có chỉ số nào cả (hoặc đôi khi ký hiệu là ∆y và ∆x). Độ lệch thường được sử dụng để xây dựng
phương trình động (phương trình của phần tử ở trạng thái không ổn định (trạng thái động)) và khi xây
dựng phương trình chung.
Các bước chung để khảo sát toán học một phần tử cơ bản:
1. Nêu định nghĩa, viết phương trình vi phân biểu thị phần tử, xác định đặc tính tĩnh của phần tử.
2. Xác định hàm truyền của phần tử
3. Xây dựng đặc tính thời gian của phần tử: Cho tín hiệu vào là tín hiệu chuẩn (hàm đột biến đơn
vị) và khảo sát phản ứng của phần tử qua tín hiệu ra.
4. Xây dựng các đặc tính tần số của phần tử:
- Xác định hàm tần của phần tử.
- Xây dựng các đặc tính tần số - biên độ, pha, đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ

Nyquist và biểu đồ Bode).
5. Đánh giá đặc điểm và tính chất động của phần tử
Phương trình động tổng quát của phần tử cơ bản:

d n y( t )
d n −1 y(t )
dy( t )
Tn .
+ Tn −1
+ ... + T1
+ y( t ) =
n
n −1
dt
dt
dt
dx(t − τ1 )
d m x( t − τ m )
= K[x(t − Tc ) + T1
+ ... + Tm
]
dt
dt m
ở đây T1, T2...τ1, τm các hằng số thời gian của khâu
Tc: thời gian chết của khâu, xuất hiện khi trong khâu có quá trình tích luỹ năng lượng
4.2 Khâu tỷ lệ (phần tử tỷ lệ)
1. Phương trình tổng quát biểu thị phần tử tỷ lệ không có tính quán tính (phần tử tỷ lệ lý tưởng) có dạng
y(t) = K.x(t) với y(t) là đại lượng ra, x(t) là đại lượng vào và K là hệ số tỷ lệ.
2. Hàm truyền của phần tử này có dạng G( p ) =

Y( p )
=K
X(p)
60


Phương trình đặc tính tĩnh của phần tử y o = K.xo (hoặc dưới dạng giá trị tuyệt đối y o = K.xo + C
với C là hệ số biểu thị sự dịch chuyển của đường đặc tính so với gốc toạ độ). Đặc tính tĩnh của khâu được
thể hiện trên hình (4.2.1).

yo

arctgK
xo
Hình 4.2.1: Đặc tính tĩnh của phần tử tỷ lệ lý tưởng
3. Đặc tính thời gian
Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị 1(t) tín hiệu ra của phần tử khi đó y(t) = K.1(t) = K

y(t)
x(t)

K
1(t)

t

K

t

Hình 4.2.2: Phản ứng của khâu tỷ lệ lý tưởng với tín hiệu vào là hàm 1(t)
4. Hàm tần và các đặc tính tần số của phần tử tỷ lệ lý tưởng

G( jω) = G( p ) p = jω = K , phần thực R(ω) = K và phần ảo Q(ω) = 0.
Đồ thị đặc tính tần số biên độ, pha (biểu đồ Nyquist) của phần tử tỷ lệ lý tưởng được biểu thị trên
hình (4.2.3).

jQ(ω)
K
G(jω)

R(ω)

Hình 4.2.3: Đặc tính tần số - biên độ, pha (biểu đồ Nyquist)
Đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode) của phần tử được biểu thị trên hình
(4.2.4).

L(ω) = 20 lg α = 20 lg [R(ω)]2 + [Q(ω)]2 = 20 lg K ,
61


ϕ(ω) = arctg

Q(ω)
0
= arctg = 0
R(ω)
K
Bode Diagrams

21

Phase (deg); Magnitude (dB)

20.5

20lgK

20
19.5
19
1
0.5
0
-0.5
-1
-1

10

10

0

10

1

2

10

Frequency (rad/sec)

Hình 4.2.4: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode)
5. Nhận xét:
Từ đặc tính thời gian: phản ứng (tín hiệu ra) của phần tử tỷ lệ lý tưởng khi tín hiệu vào là hàm đột
biến đơn vị 1(t) xuất hiện ngay khi có tín hiệu vào, tín hiệu ra có độ lớn gấp K lần tín hiệu vào.
Từ đặc tính tần số: phản ứng của phần tử tỷ lệ lý tưởng không phụ thuộc vào tần số của tín hiệu
vào, giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không có sự lệch pha mà chỉ khác nhau về biên độ.
6. Một số thí dụ về các phần tử tỷ lệ cơ bản:
a. Cánh tay đòn:

y
a

b

x
Tín hiệu vào và ra chính là độ dịch chuyển x, y:

b
Y( p ) b
y = .x → G(p ) =
= =K
a
X( p ) a

A
b. Mạch điện với điện trở thuần:

62
B


R1
U1

R2 U2

Giả sử không có phụ tải và ký hiệu U1, U2 là điện áp, R1, R2 là điện trở thì:

U2 =

R2
U (p )
R2
.U 1 ⇒ G(p ) = 2
=
=K
R1 + R 2
U 1 (p) R1 + R 2

c. Phần tử cảm biến áp suất kiểu màng:

p

y
Nếu bỏ qua khối lượng của các chi tiết chuyển động và sự ma sát của công chất. Giả sử A là diện
tích có ích của màng, y là chuyển dịch của cần, p là áp suất của công chất tác dụng phía trên màng, C là

độ cứng của lò xo thì từ phương trình cân bằng lực A.p = C.y xác định được mối quan hệ giữa chuyển
dịch y và áp suất:

y=

A
Y( p ) A
.p ⇒ G( p ) =
= =K
C
X(p) C

d. Cơ cấu cam:

y
x
ỏ

63


Với x và y là độ dịch chuyển và α là góc nghiêng của cam thì:

Y( p )
= tgα = K
X( p )

y = x.tgα ⇒ G(p ) =

Nếu prô-phin của cam không phải là đường thẳng, thì phải thay thế nó bằng cách kẻ đường tiếp

tuyến với đường cong tại điểm công tác định mức và ký hiệu độ nghiêng thay thế là (tgα)n ta có:
y = x.(tgα)n
4.3 Phần tử quán tính bậc một và hai
4.3.1 Phần tử quán tính bậc nhất
1. Phương trình vi phân tổng quát của phần tử quán tính bậc nhất như sau:
T

dy( t )
+ y( t ) = K.x ( t )
dt

(4.3.1)

Y ( p)
K
=
X(p) Tp + 1

(4.3.2)

K là hệ số tỷ lệ, T là hằng số thời gian
2. Hàm truyền có dạng:
G ( p) =

Phương trình đặc tính tĩnh của phần tử là y o = K.xo, đặc tính tĩnh của phần tử quán tính bậc nhất
giống như đặc tính tĩnh của phần tử tỷ lệ lý tưởng biểu thị trên hình (4.2.1).
3. Đặc tính thời gian
Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) ta có phương trình động:

T

dy( t )
+ y(t ) = K.1(t )
dt

(4.3.3)

Để khảo sát phản ứng của phần tử với tín hiệu vào x(t) = 1(t) ta sẽ giải phương trình này tìm y(t).
Cách thứ nhất: Giải phương trình vi phân sử dụng hàm truyền G(p) của phần tử ảnh Laplace của tín hiệu
vào 1(t) là I(p) = 1/p

1
K
1 K
1
Y(p ) = G(p ).X(p ) = G( p ).I(p ) = G( p ). =
. = .
p (Tp + 1) p T p( p + 1 )
T
Dùng phép biến đổi Laplace ngược để xác định hàm gốc y(t). Tra bảng có hàm gốc của

1

1
t
−t .
−
1
T
T

.(1 − e ) = T .(1 − e )
do đó:
1 là 1
p( p + ) ( )
T
T

y(t ) = L−1 [Y(p )] =

K
.T .(1 − e −t / T )]
T

y(t ) = K.(1 − e − t / T )

(4.3.4)

Cách thứ hai: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

64


T

dy( t )
+ y( t ) = 0
dt

(4.3.5)

tìm nghiệm tổng quát ytq. Sau đó tìm nghiệm riêng y r của phương trình (4.3.3). Nghiệm tổng quát cần tìm
của phương trình 4.3.3 sẽ là y(t) = ytq + yr.
Nghiệm tổng quát của 4.3.5 có dạng y(t ) = C.e
điều kiện đầu. Vậy y tq = C.e

−t / T

−t / T

với C là hằng số tích phân được xác định từ

.

Phương trình 4.3.3 có một nghiệm riêng là yr = K (thay vào phương trình thấy nghiệm đúng).
=> y(t) = ytq + yr = C.e-t/T + K

(4.3.6)

Với điều kiện ban đầu y t =0 = 0 thay vào 4.3.6 có
C.e-0/T + K = 0 => C + K = 0 => C = - K
Vậy y(t) = - K.e-t/T + K = K(1 - e-t/T)

(4.3.7)

Đồ thị đặc tính thời gian của phần tử (biểu thị y(t)) được thể hiện trên hình 4.3.1.

Từ đồ thị ta thấy khác với phần tử tỷ lệ lý tưởng (hay còn gọi là phần tử không có tính quán tính) khi tín
hiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) thì tín hiệu ra y(t) của phần tử quán tính đạt được giá trị K
với thời gian dài không hạn chế, tên phần tử quán tính bắt nguồn chính từ nguyên nhân này.
Hệ số T được gọi là hằng số thời gian của phần tử, T chính là khoảng thời gian để hệ thống đạt

được trạng thái cân bằng mới ở tốc độ biến thiên không đổi được tính từ thời điểm xuất hiện nhiễu.
Ta sẽ chứng minh rằng hằng số thời gian T chính là đoạn AC trên hình 4.3.1:

AC =
mà BC = [K − K.(1 − e
Hơn nữa tgα =

−t / T

BC
tgα

(4.3.8)

)] = K.e − t / T

dy d[K.(1 − e t / T )] K.e − t / T
=
=
dt
dt
T
65


=>

AC =

BC K.e − t / T

=
−t / T = T
tgα K.e
T

Nếu ta thay t = T vào phương tình 4.3.7 thì khi đó:

1
y t =T = K.(1 − e −t / T ) t =T = K.(1 − e −T / T ) = K.(1 − ) = 0,632.K
e
Qua đây ta thấy hằng số thời gian T của phần tử tỷ lệ có tính quán tính đúng bằng thời gian kể từ
lúc bắt đầu có tín hiệu vào x(t) cho đến khi thông số ra đạt được giá trị bằng 0,632K.
3. Hàm tần và các đặc tính tần số của phần tử quán tính bậc nhất

G( jω) = G( p )p = jω =
=> R(ω) = −

K
K(Tjω − 1)
K
KTω
=
=
−
+
j
.
T.( jω) + 1 (Tω)2 + 1
(Tω)2 + 1
(Tω)2 + 1

K
KTω
, Q(ω) =
2
( Tω) + 1
( Tω)2 + 1

Biểu đồ Nyquist

α(ω) =

[ R (ω)] + [ Q (ω)] =
2

K

2

(Tω)2 + 1

, ϕ(ω) = arctg

Q(ω)
= arctg(−Tω)
R(ω)

Để xây dựng các đặc tính tần số ta lập bảng biến thiên:
ω
0

R(ω) Q(ω) α(ω)
K
0
K

φ(ω)
0

1/T

K/2

-K/2

K
2

- π/4

∞

0

0

0

- π/2

Hoặc theo cách khác:

K2
Có α (ω) = R (ω) + Q (ω) =
( Tω)2 + 1
2

2

2

[

=> K = R (ω) + Q (ω) + (Tω) . R (ω) + Q (ω)
2

2

2

2

2

2

]

2

Q(ω)
 Q(ω)  Q 2 (ω)
mà − Tω =
⇒ (Tω)2 = 
 = R 2 (ω) thay vào trên ta có:
R(ω)
R
(
ω
)


K2.R2(ω) = R4(ω) + 2. R2(ω).Q2(ω) + Q4(ω) = [R2(ω) + Q2(ω)]2
K.R(ω) = R2(ω) + Q2(ω)
2

K2
K2
K

K
2
2
hay R(ω) −
R (ω) − K.R(ω) +
+ Q (ω) =
+
Q
(
ω

)
=
 

4
4
2 
4

2

2

Trên mặt phẳng toạ độ R(ω), Q(ω) đây chính là phương trình đường tròn bán kính bằng K/2 và
tâm có tọa độ (K/2, 0).
Biểu đồ Nyquist của phần tử quán tính bậc nhất được biểu thị trên hình 4.3.2.

66


Hình 4.3.2: Biểu đồ

Nyquist Diagrams
0.8

Nyquist

0.6

Biểu đồ Bode

Imaginary Axis

0.4

L(ω) = 20lgα(ω) =

0.2
0

20lgK - 10lg[(Tω)2 + 1]

-0.2

Nếu vẽ chính xác thì

-0.4
-0.6

L(ω) sẽ là một đường cong

-0.8
-0.5

0

0.5

1

1.5

như dưới đây:

Real Axis

Bode Diagrams

0

Phase (deg); Magnitude (dB)

-5
-10
-15
-20

-20
-40
-60
-80
-1

0

10

1

10

10

Frequency (rad/sec)

Hình 4.3.3: Biểu đồ Bode
Tuy nhiên chúng ta có thể thay thế L(ω) gần đúng bằng những đường tiệm cận như sau:
Khi ω << 1/T thì có thể lấy gần đúng L(ω) = 20lgK
Khi ω >> 1/T thì có thể lấy gần đúng L(ω) = 20lgK - 20lgT - 20lgω
L(ω)

20lgK

20lgK - 20lgT - 20lgự

ω = 1/T
lg ω
Sai số lớn nhất khi thay thế L(ω) bằng các đường tiệm cận như trên là ΔL(ω) max = 20lgK - {20lgK
- 10lg[T.(1/T) + 1] } = 10lg2 < 3 (db) đạt tại ω = 1/T
4. Nhận xét:
Từ đặc tính thời gian: phản ứng (tín hiệu ra) của phần tử quán tính bậc nhất khi tín hiệu vào là
hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) xuất hiện ngay khi tín hiệu vào thay đổi và tăng dần theo qui luật hàm
mũ với hằng số thời gian T, hằng số thời gian càng nhỏ thì phản ứng của phần tử càng gần với phản ứng
của phần tử tỷ lệ lý tưởng.
Từ đặc tính tần số: với dải tần số của tín hiệu vào càng nhỏ thì phản ứng của phần tử quán tính bậc
nhất càng giống với phản ứng của phần tử tỷ lệ lý tưởng, tần số của tín hiệu vào càng lớn thì độ lệch pha
giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra càng lớn, tín hiệu ra luôn chậm pha hơn so với tín hiệu vào.
Một số ví dụ minh hoạ

67

Ví dụ 1: Chuyển động quay của khối lượng trên trục

ω

M

J
ω

Tín hiệu vào là mômen quay M, còn tín hiệu ra là vận tốc góc ω. Trên cơ sở định luật cân bằng
mômen ta có:

M=J

dω
+ ϕ.ω
dt

J là mô men quán tính của khối lượng so với trục quay, ϕ là hệ số ma sát
Hoặc có thể viết:

J dω
1
.
+ ω = .M
ϕ dt
ϕ
Thay

J
1
= T và = K ta có phương trình:
ϕ
ϕ
T.

dϕ
+ ω = K.M
dt

Ví dụ 2: Két chất lỏng với lượng nước thoát tự do

Q1

1

A

1
h
2 Q2
2 v2

Tín hiệu vào là lưu lượng nước cấp Q1 và tín hiệu ra là mức chất lỏng h.
ở trạng thái cân bằng ta có Q1o = Q2o
Viết phương trình Becluli cho các mặt thoáng 1.1 và 2.2

v12 p1

v2 p
+ +h= 2 + 2 +0
2g γ
2g γ
Coi v1 = 0 và p1 = p2 (áp suất khí quyển) thì v 2 =

2gh

68


Trên cơ sở Q2 = f.v2 (với f là diện tích thiết diện thông qua của van cấp) có thể viết Q 2 = f.

2gh .

Q12o
Phương trình đặc tính tĩnh của két chứa h o =
2g.fo2
Đồ thị đặc tính tĩnh với fo = const và với Qo = const được biểu thị trên hình 4.3.5

ho

ho

fo = const

Q1o = const

hon
hon

Qo

Q1on

fon

fo

Hình 4.3.5: Đặc tính tĩnh của két chứa chất lỏng thoát tự do
ở trạng thái động sự thay đổi mức chất lỏng trong két có thể biểu thị bằng phương trình

A.

dh
= Q1 − Q 2
dt

ở đây A là tiết diện bề mặt cắt ngang của két (m 2). Vì các đặc tính tĩnh là những đường cong, để
đơn giản hoá trước hết phải thực hiện phép tuyến tính hoá. Giả sử các thông số tại điểm công tác cân bằng
định mức là h1n, fn và Q1n. Ta thay thế đặc tính tại lân cận điểm cân bằng định mức bằng đường tiếp tuyến.
Các số gia của các đại lượng được ký hiệu là ∆.

A.

d∆h
= ∆Q1 − ∆Q 2
dt

Số gia ∆Q2 tại lân cận điểm công tác cân bằng định mức thay bằng vi phân toàn phần theo khai

triển Taylor:
 ∂Q 
2g
 ∂Q 
∆Q2 =  2  .∆f +  2  .∆h = 2 ghn .∆f + f n .
.∆h
hn
 ∂h  n
 ∂f  n
Thay kết quả này vào trên ta có:

T.

ở đây

T=

A
g ,
fn .
2hn

K1 =

d∆h
+ ∆h = K1 .∆Q1 − K 2 .∆f
dt

1

2h
g , K2 = n
fn .
fn
2hn

Trong các phương trình ta thường bỏ ký hiệu ∆:

69


T.

dh
+ h = K1 .Q1 − K 2 .f
dt

Khi f = const

T.

dh
+ h = K1 .Q 2
dt

T.

dh
+ h = −K 2 .f
dt

Khi Q1 = const

Hai phương trình trên đều có dạng giống như phương trình tổng quát của khâu quán tính bậc nhất.
4.3.2 Phần tử quán tính bậc hai và bậc cao
1. Phương trình động của phần tử quán tính bậc hai

d 2 y( t )
dy(t )
T .
+
2
T
.
ξ
.
+ y(t ) = K.x(t )
dt 2
dt
2

Trong đó T là hằng số thời gian, K là hệ số truyền, ξ là hệ số
2. Hàm truyền

G( p ) =

K
T .p + 2 T.ξ.p + 1
2

2

3. Đặc tính thời gian
Cho tín hiệu vào x(t) = 1(t), ta có phương trình động:

d 2 y( t )
dy(t )
T .
+
2
T
.
ξ
.
+ y(t ) = K.1( t )
dt 2
dt
2

Giải phương trình trên với các điều kiện đầu bằng không để tìm y(t).
Phương trình đặc trưng T2.p2 + 2T.ξ.p + 1 = 0
Có ∆’ = (ξ.T)2 – T2 = T2.( ξ2 – 1)
* Khi ξ > 1 (∆ > 0), phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực. Khi đó phương trình đặc trưng có
thể viết thành (T1.p + 1).(T2.p + 1) = 0 với T1.T2 = T và T1 + T2 = 2T.ξ.
t

t

1

2

−
−
T1
T2
.e T +
.e T )
Giả sử T1 > T2 thì y(t) = (1 −
T1 − T2
T1 − T2

* Khi ξ = 1 (∆ = 0), phương trình đặc trưng có nghiệm kép thì

t − Tt
y(t) = K.[1 − (1 + ).e ]
T
Khâu tỷ lệ bậc hai trong trường hợp ξ ≥ 1 là khâu tỷ lệ bậc hai quán tính (hay là khâu bậc hai quán
tính).
* Khi ξ < 1 (∆ < 0), phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức

ξ
1 − ξ2
− ξ ± j. 1 − ξ2
với
,
α
=
−
p1, 2 =

= α ± jβ
β=
T
T
T

70


y(t) = K.{1- e-α.t .[cos(βt) + (α/β).sin(βt)]}
Khâu tỷ lệ bậc hai lúc này là khâu tỷ lệ bậc hai dao động (khâu bậc hai dao động).
Đặc tính thời gian của khâu bậc hai với các hệ số ξ khác nhau, đường cong phía bên trái biểu thị
đặc tính thời gian của khâu tỷ lệ bậc hai quán tính, đường bên phải biểu thị đặc tính thời gian của khâu tỷ
lệ bậc hai dao động.
Step Response

Step Response

1.5

1.2

1

0.8
Amplitude

Amplitude

1

0.5

0.6

0.4

0.2

0

0
0

5

10

15

0

5

Time (sec.)

10

15

Time (sec.)

Trường hợp đặc biệt khi ξ = 0 sẽ có khâu bậc hai dao động điều hoà, đường đặc tính của khâu bậc
hai dao động điều hoà được biểu diễn trên hình vẽ sau:
Step Response
2.5

2

Amplitude

1.5

1

0.5

0

-0.5
0

5

10

15

Time (sec.)

4. Hàm tần và các đặc tính tần số
Hàm tần G( jω) = G( p ) p = jω =

K
T .( jω) + 2T.ξ.( jω) + 1
2

2

Tách phần thực và phần ảo:

K(1 − T 2 .ω2 )
2KTξ.ω
G( jω) =
− j.
2 2 2
2
2 2 2
(1 − T ω ) + 4(T.ξ.ω)
(1 − T ω ) + 4(T .ξ.ω)2
2KTξ.ω
K(1 − T 2 .ω2 )
R(ω) =
, Q(ω) = −
2 2 2
2 2 2
2
(1 − T ω ) + 4( T.ξ.ω)2
(1 − T ω ) + 4( T.ξ.ω)
Biểu đồ Nyquist và biểu đồ Bode

α(ω) =

R 2 (ω) + Q 2 (ω) =

ϕ(ω) = arctg

K
(1 − T 2ω2 )2 + 4( T.ξ.ω)2

Q(ω)
2T .ξ.ω
= −arctg
R(ω)
1 − T 2 .ω2

L(ω) = 20lgα(ω) = 20lgK - 20 lg (1 − T 2 ω2 )2 + 4(T.ξ.ω)2

71


Lập bảng biến thiên:
ω R(ω) Q(ω) α(ω) ϕ(ω)
0
K
0
K
0
1/T
0
-K/2ξ -K/2ξ - π/2

∞
0
0
0
-π
Để xây dựng đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha có thể gần đúng L(ω) bằng các đường tiệm cận.
Với khâu bậc hai quán tính:
Khi ω < 1/T1 thì L(ω) ≈ 20lgK
Khi 1/T1 < ω < 1/T2 thì L(ω) ≈ 20lgK - 20lgT1 - 20lgω
Khi ω > 1/T2 thì L(ω) ≈ 20lgK - 20lgT1 - 20lgT2 - 40lgω
Với khâu bậc hai dao động:
Khi ω << 1/T thì L(ω) ≈ 20lgK
Khi ω >> 1/T thì L(ω) ≈ 20lgK - 40lgT - 40lgω
Các đặc tính tần số của khâu tỷ lệ bậc hai được biểu thị trên hình sau
Nyquist Diagrams

Bode Diagrams

1.5
0
1
Phase (deg); Magnitude (dB)

-20

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-40
-60
-80
0
-50
-100

-1
-150
-1.5
-1

-0.5

0

0.5

1

-2

10

1.5

10

-1

Real Axis

0

10

10

1

10

2

Frequency (rad/sec)

Nyquist Diagrams

Bode Diagrams

1.5
0
-20
Phase (deg); Magnitude (dB)

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-40
-60
-80
0
-50
-100

-1
-150
-1.5
-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2

10

Real Axis

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Các đặc tính tần số của khâu bậc hai ứng với ξ < 1 và ξ > 1.
5. Nhận xét
Từ đặc tính thời gian: Phần tử tỷ lệ bậc hai có thể là phần tử tỷ lệ quán tính hoặc dao động tuỳ
thuộc vào các hệ số của phương trình vi phân biểu thị.
Với phần tử bậc hai quán tính hệ số ξ càng lớn thì tính quán tính của khâu càng lớn (thời gian để
tín hiệu ra đạt tới trạng thái cân bằng sau khi cho tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị càng lớn)

72


Với phần tử bậc hai dao động nếu hệ số ξ càng nhỏ thì thời gian dao động của tín hiệu ra càng kéo
dài, tức là thời gian để phần tử trở về trạng thái cân bằng sau khi cho tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn
vị càng dài.
Các hình vẽ sau đây biểu thị tín hiệu ra của phần tử dao động bậc hai với các hệ số ξ khác nhau.
Step Response
1.2

1

1

0.8

0.8
Amplitude

Amplitude

Step Response
1.2

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

5

10

0

15

0

5

Time (sec.)

10

15

Time (sec.)

Hình vẽ bên phải là đặc tính thời gian của khâu bậc hai quán tính với hệ số ξ nhỏ, hình bên trái
ứng với ξ lớn
Step Response

Step Response

1

1
Amplitude

1.5

Amplitude

1.5

0.5

0

0.5

0

5

10

0

15

0

5

Time (sec.)

10

15

20

Time (sec.)

Hình vẽ bên phải là đặc tính thời gian của khâu bậc hai dao động với hệ số ξ lớn, hình bên trái ứng
với ξ nhỏ.
Từ đặc tính tần số: Tín hiệu ra của phần tử tỷ lệ bậc hai luôn chậm pha hơn so với tín hiệu vào, tần
số của tín hiệu vào càng lớn thì góc chậm pha càng lớn. ở dải tần số thấp thì phản ứng của phần tử gần
giống với phần tử quán tính bậc nhất.
Phần tử tỷ lệ bậc cao hơn có thể phân tích cấu trúc thành các phần tử bậc nhất và hai để khảo sát.
4.4 Phần tử tích phân
4.4.1 Phần tử tích phân lý tưởng (khâu tích phân cơ bản)
1. Phương trình động tổng quát mô tả khâu tích phân lý tưởng có dạng

dy(t )
= K.x(t )

dt

(4.4.1)

Sau khi lấy tích phân cả hai vế với điều kiện ban đầu bằng 0 ta có:
t

y(t ) = K.∫ x(t )dt =
0

1 t
.∫ x(t )dt
T 0

(4.4.2)

73


T = 1/K là hằng số thời gian tích phân
2. Hàm truyền

G( p ) =

Y( p ) K 1
= =
X(p ) p Tp

(4.4.3)

3. Đặc tính thời gian
Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t)
Như ta đã biết ảnh của hàm đột biến đơn vị là X(p ) =

1
p

Trên cơ sở hàm truyền của phần tử ta có:

Y( p ) =

1
1
1
.X( p ) = 2 => y(t ) = L−1{Y(p )} = .t
Tp
Tp
T

(4.4.4)

Đồ thị của y(t) thể hiện trên hình
x(t)

y(t)

1(t)

arctgK
Hình 4.4.1: Đặc tính thời gian của phầnt tử tích phân bậc nhất

4. Hàm tần và các đặc tính tần số

G( jω) =
Phần thực và phần ảo sẽ là R(ω) = 0, Q(ω) = −

α(ω) = R 2 (ω) + Q 2 (ω) =

1
1
= − j.
T . jω
Tω

(4.4.5)

1
Tω

Q(ω)
π
1
= arctg(−∞) = −
, ϕ(ω) = arctg
R(ω)
2
Tω

L(ω) = 20 lg α(ω) = −20 lg(Tω) = −20 lg T − 20 lg ω

(4.4.6)

Các đồ thị đặc tính tần số

74


Nyquist Diagrams

Bode Diagrams

1
20

0.8

0
Phase (deg); Magnitude (dB)

0.6

Imaginary Axis

0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6

-40

-89
-89.5
-90
-90.5

-0.8
-1
-1

-20

-91
-0.5

0

0.5

1

-1

0

10

10

Real Axis

1

10

10

2

Frequency (rad/sec)

Hình 4.4.2: Đặc tính tần số
5. Nhận xét
Từ đặc tính thời gian: Phản ứng của phần tử tích phân lý tưởng khi cho tín hiệu vào là hàm bước
nhảy đơn vị xuất hiện ngay khi có tín hiệu vào và sau đó tăng dần theo thời gian. Tốc độ tăng của tín hiệu
ra phụ thuộc vào độ lớn của hằng số thời gian tích phân.
Từ các đặc tính tần số: Tín hiệu ra của phần tử tích phân lý tưởng luôn chậm pha hơn so với tín
hiệu vào một góc 90o.
Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Két chứa chất lỏng thoát có điều chỉnh (thoát không tự do)

Q1
h
P

Q2

Tín hiệu vào là lưu lượng cấp Q 1 và thoát Q2, tín hiệu ra là mức chất lỏng h trong két. Giả sử Q 2
không phụ thuộc vào h mà chỉ phụ thuộc vào năng suất của bơm P.
Điều kiện để thiết lập trạng thái cân bằng là Q1o = Q2o
Nếu Q1o = const ta nhận được đặc tính tĩnh h = ϕ(Q2o). Theo lý thuyết Q2o = Q1o có khả năng xảy ra

với mọi giá trị mức công chất ho. Trong thực tế 0 < ho < hmax và đặc tính có dạng là đường gạch trên hình
4.4.3.

ho

Q1o = const

homax

75
Q2o = Q1o

Q2o


Hình 4.12: Đặc tính tĩnh
ở trạng thái động sự thay đổi mức chất lỏng trong két có thể biểu thị bằng phương trình
K.(Q1 - Q2)

dh(t )
=
dt

(4.26)

K = 1/A tiết diện bề mặt của két
Trên cơ sở phương trình 4-26 ta xác định hàm truyền
Khi Q1o = const (∆Q1 = 0) thì G(p) =

H( p ) K

=
Q1 ( p ) p

Khi Q2o = const (∆Q2 = 0) thì G(p) =

H( p )
K
=−
Q 2 (p)
p

Q1

Q2

h(t)

h(t)

1(t)

1(t)

t

t

Trên hình 4.12 biểu thị sự thay đổi của mức chất lỏng trong két khi thay đổi lưu lượng nước cấp,
lưu lượng nước thoát theo quy luật hàm bước nhảy đơn vị.

Ví dụ 2: Mạch điện có cuộn cảm với cảm kháng L như hình vẽ

A
i
L

U

B
Tín hiệu vào là điện áp đặt lên cuộn cảm, tín hiệu ra là dòng điện qua cuộn cảm. Phương trình
động biểu thị mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào có dạng:
L.

di(t )
= U(t)
dt
76


Ví dụ 3: Hệ xylanh điều khiển thuỷ lực như hình vẽ

x

y
Q

px
pn
px

At p t
pd

Hoạt động: Van trượt điều khiển chuyển động trong xy-lanh điều khiển làm đóng hoặc mở các cửa
điều khiển. Giả sử van trượt điều khiển đi lên, các cửa điều khiển được mở ra, cửa phía trên thông với
đường dầu vào có áp suất cao, còn cửa phía dưới thông với đường dầu xả ra ngoài không có áp lực. Dầu
có áp lực cao sẽ đi vào khoang phía trên của xy-lanh lực, còn dầu ở khoang phía dưới của xy-lanh lực lại
thoát ra ngoài khi ấy piston lực bị đẩy đi xuống.
Nếu cửa điều khiển không phải là hình chữ nhật ta giả sử A là diện tích của cửa điều khiển khi mở
hoàn toàn, a là chiều cao của cửa, quy đổi diện tích cửa điều khiển thành diện tích một hình chữ nhật có
chiều cao là a và chiều rộng quy đổi là b = A/a.
Giả thiết rằng các đặc tính hoạt động đều là tuyến tính, không có rò rỉ, bỏ qua ngoại lực tác dụng
lên piston, bỏ qua lực ma sát và trọng lượng của các chi tiết, giả thiết van trượt điều khiển đi lên, lưu
lượng dầu thuỷ lực qua cửa điều khiển vào và thoát ra khỏi xy-lanh lực Q v, Qr có thể xác định theo công
thức:

Q v = α.A S .

2
2
.∆p v , Q r = α.A S . .∆p r
ρ
ρ

α là hệ số dòng chảy, phụ thuộc vào cấu tạo của van trượt, hệ số Reynold và độ mở của cửa điều
khiển, α = 0.6,
AS là diện tích lưu thông của cửa điều khiển. Giả sử van trượt điều khiển dịch chuyển một đoạn là
x, ta có AS = x.b,
ρ là trọng lượng riêng của dầu thuỷ lực,
Δpv = pn - pt là độ chênh áp trước và sau cửa điều khiển phía trên (phía dầu vào xy-lanh lực). Δp r =

pd - px là độ chênh áp trước và sau cửa điều khiển phía trên (phía dầu vào xy-lanh lực). Có thể coi p x = 0
và pt = pd, nếu Qr = Qv thì Δpv = Δpr => pt = pd =

pn
p
=> Δpv = Δpr = n
2
2

Thay AS, Δpv vào có:

Q v = α.b.x.

2 pn
p
p
. = α.b.x. n = K S .x với K S = α.b. n
ρ 2
ρ
ρ

Qv, Qr có thể xác định theo dịch chuyển của piston lực Qv = Qr = At.

dy
dt
77


Như vậy KS.x = At.

At
dy
1 t
hay y = .∫ x.dt ; T =
KS
dt
T 0

4.4.2 Phần tử tích phân bậc 1
1. Phương trình vi phân tổng quát của phần tử tích phân bậc nhất như sau:

d 2 y( t ) dy( t )
T
+
= Kx(t )
dt 2
dt

(4.4.1)

K là hệ số tỷ lệ, T là hằng số thời gian
Nếu lấy tích phân hai vế với điều kiện đầu bằng 0 thì có thể viết:

T

t
dy(t )
+ y(t ) = K ∫ x(t )dt
0
dt

2. Hàm truyền có dạng:

G( p ) =

Y( p )
K
1 K
=
= .
X(p ) p(Tp + 1) p Tp + 1

(4.3.2)

Như vậy khâu tích phân bậc hai có thể phân tích cấu trúc thành một khâu quán tính bậc nhất mắc
nối tiếp với một khâu tích phân lý tưởng.
Phương trình đặc tính tĩnh của khâu là y o = K.t, đặc tính tĩnh của phần tử tích phân bậc hai giống
như đặc tính tĩnh của phần tử tích phân lý tưởng.
3. Đặc tính thời gian
Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) ta có phương trình động:

T

t
dy( t )
+ y(t ) = K.∫ 1(t )dt
0
dt

(4.3.3)

Để khảo sát phản ứng của phần tử với tín hiệu vào x(t) = 1(t) ta sẽ giải phương trình này tìm y(t).
Cách thứ nhất: Giải phương trình vi phân sử dụng hàm truyền G(p) của phần tử ảnh Laplace của tín hiệu
vào 1(t) là I(p) = 1/p

1
K
1 K
Y( p ) = G(p ).X(p ) = G(p ).I(p ) = G(p ). =
. = .
p p(Tp + 1) p T

1
1
p 2 (p + )
T

Dùng phép biến đổi Laplace ngược để xác định hàm gốc y(t). Tra bảng có hàm gốc của

1
p 2 (p + )
T
y(t ) = L−1 [Y(p )] =

1
t
−t . 
− 
1
2  1

T
T
.
.
t
−
1
+
e
=
T
.
.
t
−
1
+
e



2 

T

 1 T
 
T

1

1
là

do

đó

K 21

.T . t − 1 + e −t / T  = K ( t − T + T.e −t / T )
T
T

y(t ) = K.(t − T + T.e − t / T )

(4.3.4)

78


Cách thứ hai: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

T

dy( t )
+ y( t ) = 0
dt

(4.3.5)

tìm nghiệm tổng quát ytq. Sau đó tìm nghiệm riêng y r của phương trình (4.3.3). Nghiệm tổng quát cần tìm
của phương trình 4.3.3 sẽ là y(t) = ytq + yr.
Nghiệm tổng quát của 4.3.5 có dạng y(t ) = C.e
điều kiện đầu. Vậy y tq = C.e

−t / T

−t / T

với C là hằng số tích phân được xác định từ

.

Phương trình 4.3.3 có một nghiệm riêng là yr = K.(t - T) (thay vào phương trình thấy nghiệm
đúng).
=> y(t) = ytq + yr = C.e-t/T + K.(t - T)

(4.3.6)

Với điều kiện ban đầu y t =0 = 0 thay vào 4.3.6 có
C.e-0/T + K.(0-T) = 0 => C - KT = 0 => C = KT
Vậy y(t) = K.T.e-t/T + K.(t - T) = K.(t - T + Te-t/T)

(4.3.7)

Đồ thị đặc tính thời gian của phần tử (biểu thị y(t)) được thể hiện trên hình 4.3.1.

y(t)
K

x(t)
1(t)
K

t

p(Tp + 1)

t

T

Hình 4.3.1: Đặc tính thời gian của phần tử
Step Response
2.5

2

Amplitude

1.5

1

0.5

0

-0.5

0

1

2

3

4

5

Time (sec.)

3. Hàm tần và các đặc tính tần số của phần tử tích phân bậc hai

G( jω) = G( p ) p = jω =
=> R(ω) = −

K
j.K(T. jω − 1)
K.T.ω
K
=
=−
− j.
2
2
2

2
2
jω.(T .jω + 1) ω(T ω + 1)
ω( T ω + 1)
ω( T ω2 + 1)

K.T.ω
K
, Q(ω) = −
2
2
2
ω( T ω + 1)
ω(T ω2 + 1)
79


Biểu đồ Nyquist

α(ω) =

[ R (ω)] + [ Q (ω)] =
2

K

2

ω. T 2 ω2 + 1

, ϕ(ω) = arctg

Q(ω)
1
= arctg( )
R(ω)
Tω

Biểu đồ Nyquist của phần tử tích phân bậc hai được biểu thị trên hình 4.3.2.
Nyquist Diagrams
500
400
300

Imaginary Axis

200
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Real Axis

Hình 4.3.2: Biểu đồ Nyquist
Biểu đồ Bode
Để xây dựng các đặc tính tần số ta có thể dùng phương pháp cộng đồ thị của khâu tỷ lệ quán tính
và khâu tích phân lý tưởng.
L(ω ) = 20lgα (ω ) = 20 lg K − 20 lg ω − 20 lg T 2ω 2 + 1
Đặc tính này có thể thay gần đúng bằng hai đường tiệm cận
Khi ω << 1/T thì L(ω) ≈ 20lgK – 20lg ω
Khi ω >> 1/T thì L(ω) ≈ 20lgK – 20lgT
Bode Diagrams

40

Phase (deg); Magnitude (dB)

20
0

-20
-40

-100
-120
-140
-160
-2

10

-1

10

10

0

10

1

Frequency (rad/sec)

Hình 4.3.3: Biểu đồ Bode

80

L(ω)
20lgK - 20lg ω

20lgK - 20lgT
ω = 1/T
lg ω

5. Nhận xét
Từ đặc tính thời gian: Khi cho tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị thì phần tử tích phân bậc hai
ngay lập tức cho tín hiệu ra tăng theo thời gian theo quy luật hàm mũ.
Từ đặc tính tần số: Tín hiệu ra của phần tử tích phân bậc hai luôn chậm pha hơn so với tín hiệu
vào một góc nằm trong khoảng từ 90o đến 180o.
4.5 Khâu vi phân
4.5.1 Khâu vi phân lý tưởng
1. Phương trình động mô tả khâu vi phân lý tưởng có dạng như sau:
y( t ) = T

dx ( t )
dt

(4.5.1)

T là hằng số thời gian vi phân
Tín hiệu ra của phần tử vi phân lý tưởng tỷ lệ với vận tốc của tín hiệu vào.
2. Hàm truyền của phần tử có dạng
G ( p) =

Y ( p)
= T.p
X ( p)

(4.5.2)

3. Các đặc tính thời gian
Để nghiên cứu quá trình động của phần tử cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x = 1(t)
Y(p) = G(p).X(p) = T.p.X(p) mà X(p) =

1
1
=> Y(p) = T.p . = T
p
p

Tra bảng tìm được hàm gốc y(t) = T. δ(t)
δ(t) là hàm xung đơn vị và được xác định như sau:
0 khi t < 0
δ(t) =

∞ khi t = 0
0 khi t > 0

Phản ứng của khâu vi phân lý tưởng có quy luật biến thiên theo hàm δ(t) được thể hiện trên đồ thị
đặc tính hình 4.5.1
y(t)

x(t)

1(t)

81

Tp
t

t


Hình 4.5.1: Đặc tính thời gian
Nếu cho tín hiệu vào là hàm bước nhảy tốc độ x(t) = f(t), f(t) được định nghĩa như sau:
f(t) = 0 khi t < 0
f(t) = t khi t ≥ 0
thì Y(p) = G(p).X(p) = T.p.X(p) mà X(p) =

1
1
1
⇒ Y(p) = T.p. 2 = T .
2
p
p
p

=> y(t) = T.1(t)
Phản ứng của phần tử với tín hiệu vào là hàm bước nhảy tốc độ được thể hiện trên hình vẽ 4.5.2.

y(t)
T.1(t)
x(t)

f(t)

Tp
t

t

Hình 4.5.2: Phản ứng của phần tử với hàm bước nhảy tốc độ
4. Hàm tần và các đặc tính tần số của phần tử vi phân lý tưởng
G(jω) = T.jω = j.Tω

(4.5.3)

Phần thực R(ω) = 0 và phần ảo Q(ω) = T.ω
Biểuđồ Nyquist:

α (ω ) = R 2 (ω ) + Q 2 (ω ) = (T .ω ) 2 = T .ω ,ϕ (ω ) = arctg

Q(ω )
= arctg (+∞) = +90 0
R (ω )

Biểu đồ Bode:
L(ω) = 20lgα(ω) = 20lgT + 20lgω
Các đặc tính tần số được thể hiện trên hình 4.5.3

82


Nyquist Diagrams

Bode Diagrams

500
40

400

20
Phase (deg); Magnitude (dB)

300

Imaginary Axis

200
100
0
-100
-200

0
-20
91
90.5
90

-300

89.5

-400

-500
-0.5

89
0

10

0.5

-1

10

Real Axis

0

10

1

10

2

Frequency (rad/sec)

Hình 4.5.3: Các đặc tính tần số
5. Nhận xét

Từ đặc tính thời gian: Phản ứng của khâu vi phân lý tưởng khi tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn
vị là hàm xung đơn vị xuất hiện ngay khi có tín hiệu vào. Tín hiệu ra đạt giá trị ∞ ngay khi có tín hiệu vào
sau đó triệt tiêu. Trên thực tế do các quá trình vật lý xảy ra trong thời gian thực với vận tốc hữu hạn nên
không tồn tại phần tử vi phân lý tưởng.
Từ các đặc tính tần số: Đặc tính tần số - biên độ và pha (biểu đồ Nyquist) là vectơ nằm trên trục
Q(ω) có gốc là gốc tọa độ, độ lớn bằng ∞. Đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha là một đường thẳng cắt
trục lgω tại điểm có ω = 1/T
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mạch điện có 1 tụ điện với điện dung C như hình vẽ:

A
i
C

U

B
Tín hiệu vào là điện áp U đặt lên tụ, tín hiệu ra là dòng điện i qua tụ.
i(t) =

dU
.C
dt

Khi đưa điện áp U đột ngột vào tụ điện, dòng điện qua tụ điện sẽ tăng vọt lên vô cùng rồi mất
ngay.
4.5.2 Phần tử vi phân thực tế
1. Phương trình động của phần tử vi phân thực tế như sau:
T.

dy( t )
dx ( t )
+ y( t ) = K.
dx
dt

(4.5.4)

K là hệ số tỷ lệ, T là hằng số thời gian vi phân
2. Hàm truyền của phần tử như sau:

83