Chon HSG lop 8 cap truong

Trường THCS P. Bình Định

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho

1 1 1
b+c c+a a +b
+ + = 0 Tính giá trị biểu thức M =
+
+
a b c
a
b
c

Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD
song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
·
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC
= 600
----- Hết -----

Trường THCS P. Bình Định

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd
và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho

1 1 1
b+c c+a a +b
+ + = 0 Tính giá trị biểu thức M =
+
+
a b c
a
b
c

Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD
song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
·
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC

= 600
----- Hết -----


HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II
NĂM HỌC 2013 – 2014

x 5 + x – 1 = x 5 + x2 – x2 + x – 1

Bài 1: (2,0điểm)

= x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1)
= x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1]
= (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1)
Bài 2: (2,0điểm)

(0,5 đ)
(0,5 đ)
(0,25 đ)
(0,5 đ)
(0,25 đ)

a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd

⇔ a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0

(0,5 đ)

⇔ (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0

(0,5 đ)

⇔

a 2 = b 2
 2 2
c = d
ab = cd


(0,5 đ)

Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d

(0,5 đ)

Bài 3: (1,5điểm)
Ta có: M =

b+c c+a a+b
+
+
a
b
c

b + c
 c+a
 a+b 

+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 − 3
M= 
 a
  b
  c


M=

a +b+c a+b+c a +b+c
+
+
−3
a
b
c
1
a

1
b

1
c

(0,5 đ)
(0,5 đ)

M = ( a + b + c ) + +  − 3

(0,25 đ)

M = –3

(0,25 đ)

Bài 4: (2,0điểm)
M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2

(0,5 đ)

Đặt x2 + xy + xz = a

(0,5 đ)

2 2

M = 4a(a + yz) + y z

(0,5 đ)

M = 4a2 + 4ayz + (yz)2

(0,25 đ)

M = (2a + yz)2 là số chính phương

(0,25 đ)


Bài 5: (2,5điểm)
A
D
E
B

a) Tứ giác ADME có:

M

C

µ = 900 (gt)
AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và A
⇒ tứ giác ADME là hình chữ nhật

(0,5 đ)

⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật)

(0,25 đ)

⇒ DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Mà AM ngắn nhất khi AM ⊥ BC tức là AM là
đường cao ∆ ABC
(0,25 đ)
Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC

(0,25 đ)

·
b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM
= 600
⇒ ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB
⇒ BM =

(0,25 đ)

AB 4
= = 2(cm)
2
2

⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore)

(0,5 đ)

⇒ AM = 12 cm

Vậy AM ngắn nhất bằng 12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng 12 cm
----- Hết ----Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.
Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.

(0,5 đ)