UNG DUNG TICH PHAN TRONG DE THI DAI HOC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.36 KB, 5 trang )
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
DỰ ĐOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KÌ THI THPTQG 2015
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x 3 + x và y = x 2 + 6 ; x = 3 và x = 0 .
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong y = x 3 + x và y = x 2 + 6 .
x3 + x = x 2 + 6 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + x + 3) = 0 ⇔ x = 2
3
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho ta có: S = ∫ x3 − x 2 + x − 6 dx
0
2
3
2
3
= ∫ x3 − x 2 + x − 6 dx + ∫ x3 − x 2 + x − 6 dx = − ∫ ( x3 − x 2 + x − 6 ) dx + ∫ ( x3 − x 2 + x − 6 ) dx .
0
2
0
2
x
x
x
x
x
x
= − − + − 6x + − + − 6x
4 3 2
0 4 3 2
181
Vậy S =
là giá trị cần tìm.
12
4
3
2
2
4
3
2
3
=
2
26 77 181
+
=
.
3 12 12
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y =
2 x 2 − 3x + 3
và y = x .
x +1
Lời giải:
2 x 2 − 3x − 3
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho là:
=x
x +1
x =1
x2 − 4x + 3
⇔
=0⇔
.
x +1
x = 3
3
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm ta có: S = ∫
1
x2 − 4x + 3
x2 − 4 x + 3
dx = − ∫
dx
x +1
x
+
1
1
3
x2
3
x − 4x − 5 + 8
8
= −∫
dx = − ∫ x − 5 +
dx = − − 5 x + 8ln x + 1 = 6 − 8ln 2 .
x +1
x +1
2
1
1
1
Vậy S = 6 − 8 ln 2 .
3
2
3
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 3 x và đường thẳng y = x + 2
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường cong y = 3 x với đường thẳng y = x + 2 là nghiệm của phương trình
x = 1
3 x = x+2⇔
x = 4
( x + 2 )2 ≤ 9 x
Ta có: x + 2 ≤ 3 x ⇔
⇔1≤ x ≤ 4
x ≥ 0
(
)
4
4
4 1
x2
− 2x =
Nên ta có S = ∫ x + 2 − 3 x dx = ∫ 3 x − x − 2 dx = 2 x x −
2
1 2
1
1
1
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S = .
2
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = 4 x 2 và y =
Facebook: LyHung95
x
.
2
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của 2 đường cong đã cho là nghiệm của phương trình:
x = 0
x
2
4x =
⇔
.
x = 1
2
4
1
4
1
4
1
x
x x 4 x3
x
1
2
dx = ∫
− 4 x dx =
−
(đvdt)
Suy ra: S = ∫ 4 x −
4 =
2
2
3
3
48
0
0
0
1
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S =
48
Câu 5: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng được giới hạn bởi các đường
y = x 2 + 5, y = 6 x và các đường thẳng x = 0, x = 5
Lời giải
x = 1
Phương trình hoành độ giao điễm x 2 + 5 = 6 x ⇔ x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔
x = 5
2
1
5
2
2
2
2
Ta có: V = π ∫ ( x 2 + 5 ) − ( 6 x ) dx + π ∫ ( 6 x ) − ( x 2 + 5 ) dx
0
1
1
5
= π ∫ ( x 4 − 26 x 2 + 25 )dx + ∫ ( − x 4 + 26 x 2 − 25 ) dx
0
1
1
26 3
26 3
1
1
= π x5 −
x + 25 x − π x 5 −
x + 25 x
3
3
5
0
5
5
1
248
5248
1832
π+
π=
π
15
15
5
1832
π
Vậy V =
5
=
Câu 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng được giới hạn bởi các đường
ex − 1
y=
, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = ln 2
ex
Lời giải
Ta có: V = π
ln 2
∫
(e
x
− 1)
ex
0
2
dx
dt dt
=
t
ex
Đỗi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = ln 2 ⇒ t = 2
Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx ⇒ dx =
2
⇒V =π∫
1
( t − 1)
t
2
dt
t 2 − 2t + 1
2 1
=π∫
dt = π ∫ 1 − + 2
2
t
t t
t
1
1
2
2
1
dt = π t − 2 ln t −
t
2
1
3
= − 2 ln 2 π
2
3
Vậy V = − 2 ln 2 π
2
2
(
)
Câu 7. Tính tích phân I = ∫ x 2 + x x − 1 dx.
1
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Lời giải
2
2
1
1
Ta có I = ∫ x 2 dx + ∫ x x − 1dx = A + B.
2
•
x3 2 7
A = ∫ x dx =
= .
3 1 3
1
•
B = ∫ x x − 1dx.
2
2
1
Đặt
x − 1 = t ⇒ x = t 2 + 1. Với x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 1.
t 5 t 3 1 16
Khi đó B = ∫ t ( t + 1) d ( t + 1) = ∫ 2t 2 ( t 2 + 1) dt = 2 + = .
5 3 0 15
0
0
1
1
2
Do đó I = A + B =
Đ/s: I =
2
7 16 17
+ = .
3 15 5
17
.
5
e
Câu 8. Tính tích phân I = ∫ x ( 3 x + 2 ln x ) dx.
1
Lời giải
e
e
1
1
Ta có I = ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 x ln xdx = A + B.
e
•
A = ∫ 3 x 2 dx = x3
1
•
e
1
= e3 − 1.
e
e
e e
B = ∫ 2 x ln xdx = ∫ ln xdx 2 = x 2 ln x − ∫ x 2 d ( ln x )
1 1
1
1
e
x 2 e 2 e2 1 e2 + 1
1
= e2 − ∫ x 2 . dx = e2 −
=e − + =
.
x
2 1
2 2
2
1
Do đó I = A + B = e3 − 1 +
e 2 + 1 2e 3 + e 2 − 1
=
.
2
2
2e 3 + e 2 − 1
Đ/s: I =
.
2
π
2
Câu 9. Tính tích phân I = ∫ x ( 2 + cos x ) dx.
0
Lời giải
π
π
2
2
0
0
Ta có I = ∫ 2 xdx + ∫ x cos xdx = A + B.
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
π
π
2
Facebook: LyHung95
π2
A = ∫ 2 xdx = x 2 =
.
4
0
0
•
2
π
π
2
2
π
π
π
π
2
π
B = ∫ x cos xdx = ∫ xd ( sin x ) = x sin x 2 − ∫ sin xdx = + cos x 2 = − 1.
2
2
0
0
0 0
0
•
Do đó I = A + B =
Đ/s: I =
π2
4
+
π
2
π2
4
+
π
2
− 1.
− 1.
1
Câu 10. Tính tích phân I = ∫ x (1 + e x ) dx.
0
Lời giải
1
1
0
0
Ta có I = ∫ xdx + ∫ xe x dx = A + B.
1
x2 1 1
A = ∫ xdx =
= .
2 0 2
0
•
1
1
B = ∫ xe dx = ∫ xde = xe
•
x
x
0
x
0
0
Do đó I = A + B =
1
1
− ∫ e x dx = e − e x
0
1
0
= e − ( e − 1) = 1.
1
3
+1 = .
2
2
3
Đ/s: I = .
2
10
Câu 11. Tính tích phân I = ∫
5
x−2
dx.
x −1 −1
Lời giải
10
( x − 2 ) ( x − 1 + 1)
dx = ∫ (1 +
( x − 1) − 1
5
5
10
Ta có I = ∫
10
A = ∫ dx = x
•
5
10
5
)
10
10
5
5
x − 1 dx = ∫ dx + ∫ x − 1dx = A + B.
= 5.
10
B = ∫ x − 1dx.
•
5
Đặt
x − 1 = t ⇒ x = t 2 + 1. Với x = 5 ⇒ t = 2; x = 10 ⇒ t = 3.
3
3
2
2
Khi đó B = ∫ td ( t 2 + 1) = ∫ 2t 2 dt =
2t 3 3 38
= .
3 2 3
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Do đó I = A + B = 5 +
Đ/s: I =
Facebook: LyHung95
38 53
= .
3
3
53
.
3
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
