tiết 53: Ứng dụng tích phân trong hình học

ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
KIỂM TRA BÀI Cũ:
1.Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3,đường thẳng
x=0,x=1.
1
4 1
x
1
3
S = ∫ x dx =
=
+)Đáp án:
4 0 4
0
2. Cơng thức tính thể tích hình chóp,hình lăng trụ,hình cầu.
+)Đáp án:
1
V = B.h
TT hình chóp:
3
TT hình lăng trụ:
V = B.h
4 3
TT hình cầu:
V = πR
3
Trong đó:B là diện tích đáy,h là đường cao,R là bán
kính hình cầu.
►

ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
III. Thể Tích Khối Trịn Xoay:
Bài tốn
Giả sử hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y=f(x),trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b
(akhối tròn xoay.Xác định V.


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Hình vẽ

y

y=f(x)

x
a

O

x

b

ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Ta thừa nhận cơng thức tính thể tích của bài
tốn trên là:

b
2 ( x ) dx
V =π ∫ f
a


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
►

Bài tốn 2:Cho hình trịn giới hạn bởi (C):
2
2
2
x + ( y − b) = a (0 < a ≤ b) .Tính thể tích khối
trịn xoay đường trịn ấy quanh trục hồnh.
Bài giải

Một HS lên bảng viết giá trị của y và
vẽ đường trịn đã cho.
Ta có (C):
b + a 2 − x 2
2
2 ⇔ y1, 2 = 
y −b = ± a − x

b − a 2 − x 2



ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
y
HÌNH HỌC (TT)
Hình vẽ:
x

O
a

-a

Do đó thể tích khối trịn xoay khi quay hình
trịn giới hạn bởi (C) quanh trục hoành:
a

a

V = π ∫ ( y − y )dx = π ∫ ( y1 + y 2 )( y1 − y 2 )dx
2
1

a

2
2

−a

−a a

= π ∫ 2b.2 a − x dx = 4πb ∫ a − x dx
2

−a

2

2

−a

2


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Hỏi:Dùng pp nào để tính tích phân trên?
•Gợi ý trả lời:
PP đổi biến số,ta đặt :
x=acost, dx=-asintdt
Hãy đổi cận x thành t.
•Gợi ý trả lời:

Đổi cận:
x -a
t π

a
0


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Vậy
a

∫

a 2 − x 2 dx

−
a

0

= ∫ a 2 −a 2 cos 2 t ( − sin t ) dt
a
π

=2
a

π

sin
∫

2

tdt

0

π

a2 
1
=
 − sin 2t

2 
2
0 


2
a2
πa
=
Do đó : V = 4πb.
2

π

π

2

= 2π 2 a 2 b(đvtt )


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Bài tốn 3:
Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh
trục hồnh hình phẳng giới hạn bởi :

π
y = cos x + sin x , x = 0, y = 0, x =
2
6

6

Hỏi:Áp dụng công thức nào để tính TT trên.
b

Gợi ý trả lời:

V = π ∫ f ( x)dx
2

a


ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG

HÌNH HỌC (TT)
Xác định cận,f2(x) tính tích phân trên.
π
2

π
2

V = π ∫ y dx = π ∫ (cos x + sin x)dx
2

0

π
2

6

0

π
V = ∫ (5 + 3 cos 4 x)dx
80
5π
V =
(đvdt )
16
2

6

ỨNG DỤNGTÍCHPHÂNTRONG
HÌNH HỌC (TT)
Củng cố: Qua phần này HS cần nắm:
+Cơng thức tính thể tích .
+Tính được TT một số giới hạn bởi một
số đường đơn giản.
+Bài tập 4 SGK Trang 121.