Phân tích tài liệu từ ở nam bộ bằng phép biến đổi wavelet

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---***---

DƯƠNG HIẾU ĐẨU

PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ Ở NAM BỘ
BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

TP HỒ CHÍ MINH - 2009


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---***---

DƯƠNG HIẾU ĐẨU

PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ Ở NAM BỘ
BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

Chuyên ngành: Địa Vật Lý
Mã số:

1.02.24

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. PGS.TS. ĐẶNG VĂN LIỆT
2. PGS.TS. TRẦN VĨNH TUÂN

TP HỒ CHÍ MINH - 2009


- ii -

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận án này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi. Các công thức và kết quả tính toán nêu trong luận án là trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.

Tác giả luận án

Dương Hiếu Đẩu


- iii -

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, PGS.TS. Đặng
Văn Liệt về sự giúp đỡ tận tình của Thầy trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận án.
Tôi xin cảm ơn thật nhiều PGS.TS. Trần Vĩnh Tuân, người Thầy đã dẫn dắt
và luôn khích lệ tôi trên con đường học tập và nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn thật nhiều GS.TS. Lê Minh Triết, người Thầy đã truyền đạt
và cho tôi niềm say mê với môn học Vật lý Địa Cầu.

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn, PGS.TS. Lê Cảnh
Đại, PGS.TS. Châu Văn Tạo, những người Thầy luôn giúp đỡ, động viên, và đóng
góp nhiều ý kiến cho tôi từ khi mới bắt đầu nghiên cứu về Địa Vật Lý.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô của Bộ môn Vật Lý Địa Cầu và Bộ môn
Vật Lý Tin Học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP HCM đã tạo mọi điều
kiện tốt cho tôi trong thời gian hoàn thành luận án.
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Khoa Học và Trường Đại Học
Cần Thơ, các bạn bè đồng nghiệp đã hỗ trợ, động viên và tạo điều kiện cho tôi trong
thời gian học tập.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Gia đình tôi, đã luôn bên tôi, tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi vượt qua mọi khó khăn trong học tập và thực hiện luận án này.

Dương Hiếu Đẩu


- iv -

MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu và các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ và đồ thị
MỞ ĐẦU

ii
iii
iv
vii

viii
ix
01

PHẦN 1 LÝ THUYẾT
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1 Mở đầu
1.2 Phép biến đổi wavelet liên tục
1.2.1 Giới thiệu
1.2.2 Phép biến đổi thuận
1.2.3 Các tính chất của hàm wavelet
1.2.4 Biểu diễn các hệ số wavelet
1.2.5 Pháp biến đổi wavelet nghịch
1.2.6 Phép biến đổi wavelet liên tục hai chiều và nhiều chiều
1.2.7 Tiêu chuẩn chọn hàm wavelet
1.2.8 Mật độ năng lượng
1.2.9 Rời rạc hóa biến đổi wavelet liên tục
1.2.10 Hiệu ứng biên
1.3 Phép biến đổi wavelet rời rạc
1.3.1 Giới thiệu
1.3.2 Biến đổi wavelet rời rạc và phân tích đa phân giải
1.3.3 Phép biến đổi wavelet rời rạc hai chiều
1.3.4 Tách trường và lọc nhiễu
1.4 Kết luận

05
05
06
06
08

09
10
11
12
13
17
18
19
23
23
23
25
26
27

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH BIÊN ĐA TỈ LỆ
ÁP DỤNG TRONG PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ
2.1 Mở đầu
2.2 Phương pháp xác định biên đa tỉ lệ

28
29


-v-

2.2.1 Các khái niệm
2.2.2 Phương pháp xác định biên đa tỉ lệ
2.3 Phép chuyển trường lên
2.3.1 Phương pháp chuyển trường lên trong miền không gian

2.3.2 Phương pháp chuyển trường lên trong miền số sóng
2.4 Kết luận

29
31
36
37
39
40

PHẦN 2 THỰC NGHIỆM
CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG CÁC HÀM WAVELET VÀ TÍNH CHỈ
SỐ CẤU TRÚC
3.1 Mở đầu
3.2 Xây dựng các hàm wavelet trong phân tích tài liệu từ
3.2.1 Xác định hàm làm trơn
3.2.2 Wavelet Poisson của Moreau – Phương pháp Gradien
3.2.3 Wavelet Poisson-Hardy – Phương pháp Laplaxien
3.2.4 Xác định vị trí và độ sâu của nguồn trường
3.3 Tạo hàm wavelet Poisson – Hardy trong Matlab
3.4 Xác định chỉ số cấu trúc của nguồn
3.4.1 Khái niệm
3.4.2 Xác định chỉ số cấu trúc
3.5 Kết luận
CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TRƯỜNG TỪ CỦA CÁC MÔ HÌNH
LÝ THUYẾT VÀ THỰC NGHIỆM
4.1 Mở đầu
4.2 Mô hình toán
4.2.1 Mô hình một – Nguồn trường là hình trụ nằm ngang dài vô hạn
4.2.2 Mô hình hai – Nguồn trường là nửa tấm phẳng mỏng nằm ngang

4.2.3 Mô hình ba – Nguồn trường là quả cầu
4.2.4 Mô hình bốn – Nguồn trường là một vỉa cắm nghiêng
4.2.5 Mô hình năm – Nguồn trường là một đa giác
4.3 Giới thiệu mô hình thực nghiệm
4.3.1 Địa điểm
4.3.2 Giới thiệu máy đo – Từ kế Prôton PM–2
4.3.3 Thời điểm đo

41
41
41
42
42
44
46
47
50
50
51
55
56
56
56
57
60
63
65
68
71
71

72
72


- vi -

4.3.4 Hiệu chỉnh trường từ bình thường
4.3.5 Giới thiệu các mô hình
4.4 Kết quả đo và phân tích các mô hình thực nghiệm
4.4.1 Mô hình một – Phuy sắt đặt nằm ngang
4.4.2 Mô hình hai – Phuy sắt đặt thẳng đứng
4.4.3 Mô hình ba – Phuy sắt và bình ga đặt nằm ngang
4.4.4 Mô hình bốn – Phuy sắt và bình ga đặt thẳng đứng
4.5 Kết luận
CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ Ở NAM BỘ
5.1 Mở đầu
5.2 Các đứt gãy trong vùng nghiên cứu
5.2.1 Nhóm đứt gãy theo phương Tây Bắc – Đông Nam
5.2.2 Nhóm đứt gãy theo phương Đông Bắc – Tây Nam
5.2.3 Nhóm đứt gãy theo phương kinh tuyến và á kinh tuyến
5.2.4 Nhóm đứt gãy theo phương vĩ tuyến và á vĩ tuyến
5.3 Đặc điểm các dị thường từ
5.3.1 Các dị thường mạnh ở Tây Ninh và phía Bắc TP. Hồ Chí Minh
5.3.2 Các dị thường mạnh ở vùng nâng Sài Gòn (phía Nam TP. Hồ
Chí Minh) và vùng nâng Sóc Trăng
5.3.3 Các dị thường thuộc vùng trũng Đồng Tháp – Cà Mau
5.4 Phân tích các tuyến đo từ ở Nam bộ
5.4.1 Tuyến Cà Mau – An Giang
5.4.2 Tuyến Cà Mau – Trà Vinh
5.4.3 Tuyến Sóc Trăng – Long An

5.4.4 Tuyến Trà Vinh – Đồng Tháp
5.4.5 Tuyến Cà Mau – Sóc Trăng
5.4.6 Tuyến Hà Tiên – Đồng Tháp
5.5 Kết luận

72
73
73
73
75
78
81
83
84
84
85
86
88
89
89
90
90
91

KẾT LUẬN
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

92
92
94

104
112
118
123
127
131
132
136

TÀI LIỆU THAM KHẢO

137


- vii -

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Từ gốc

Nghĩa tiếng việt

1-D
2-D
3-D
n-D
CWT

One dimention

Two dimentions
Three dimentions
n dimentions
Continuous Wavelet
Transform
Derivative of Gauss
Discrete Wavelet Transform
Fast Fourier Transform
Fourier Transform
Inverse Discrete Wavelet
Transform
International Geomagnetic
Reference Field
Multiscale Edge Detection
Scale
Windowed Fourier Transform

Một chiều
Hai chiều
Ba chiều
n chiều
Biến đổi wavelet liên tục

DOG
DWT
FFT
FT
IDWT
IGRF
MED

s
WFT

Đạo hàm của hàm Gauss
Biến đổi wavelet rời rạc
Biến đổi Fourier nhanh
Biến đổi Fourier
Biến đổi wavelet rời rạc
ngược
Trường địa từ tham chiếu
quốc tế
Xác định biên đa tỉ lệ
Tỉ lệ
Phép biến đổi Fourier cửa sổ

Chữ viết tắt

Nghĩa tiếng việt

nnk
W

Nhiều người khác
Ký hiệu hệ số biến đổi
wavelet liên tục
Ký hiệu hệ số biến đổi
wavelet Poisson
Ký hiệu hệ số biến đổi
wavelet Poisson – Hardy

WP
WPH


- viii -

DANH MỤC CÁC BẢNG
STT

Tên bảng

Nội dung bảng

Trang

1

Bảng 3.1

Một số họ hàm wavelet tiêu biểu trong hộp
công cụ wavelet

47

2

Bảng 3.2

Các hàm wavelet có sẵn và hàm tạo thêm

49

trong hộp công cụ của Matlab
3

Bảng 3.3

Giá trị các chỉ số cấu trúc của một số nguồn

50

4

Bảng 3.4

Kết quả tính toán để vẽ đồ thị

54

log (W 2 ( x i , s i ) / s i2 ) theo log(si+z0)
5

Bảng 5.1

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Cà Mau – An Giang

103

6

Bảng 5.2

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Cà Mau – Trà Vinh

111

7

Bảng 5.3

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Sóc Trăng – Long An

117

8

Bảng 5.4

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Trà Vinh – Đồng Tháp

122

9

Bảng 5.5

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Cà Mau – Sóc Trăng

126

10

Bảng 5.6

Vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của các nguồn dị
thường trên tuyến Hà Tiên – Đồng Tháp

130


- ix -

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
STT
1
2
3
4

Tên hình
Chương 1
Hình 1.1a
Hình 1.1b
Hình 1.2
Hình 1.3a

5

Hình 1.3b

6
7
8

Hình 1.3c
Hình 1.4
Hình 1.5a

9

Hình 1.5b

10
11

Hình 1.6
Hình 1.7a

12

Hình 1.7b

13

Hình 1.8

14
15

Hình 1.9a
Hình 1.9b

16

Hình 1.9c

17
18

Hình 1.9d
Hình 1.9e

19

Hình 1.9f

Nội dung
Tín hiệu f(t)
Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t)
Ba dạng hàm wavelet
Biểu diễn hệ số wavelet trong hệ tọa độ ba trục
vuông góc
Biểu diễn hệ số wavelet trong tỉ lệ đồ ở dạng các
đường đẳng trị
Biểu diễn hệ số wavelet trong tỉ lệ đồ ở dạng ảnh

Năm hàm wavelet cơ sở trực giao trong họ Coiflets
Phần thực của wavelet phức là đạo hàm bậc năm của
hàm Gauss
Phần ảo của wavelet phức là đạo hàm bậc năm của
hàm Gauss
Hàm wavelet Mexican ở ba tỉ lệ s khác nhau
Hình trên là tín hiệu f(x), hình dưới là biến đổi
wavelet của tín hiệu sử dụng hàm wavelet là đạo hàm
bậc nhất của hàm Gauss
Hình trên là tín hiệu f(x), hình dưới là biến đổi
wavelet của tín hiệu sử dụng hàm wavelet là đạo hàm
bậc hai của hàm Gauss
Biến đổi wavelet liên tục 2-D dùng hàm mũ Mexican
cho tín hiệu có dạng hình cầu thỏa phương trình là
x2 + y2 + z2 =1 với z >0
Đệm thêm các giá trị bằng không
Đệm thêm các giá trị bằng với giá trị đầu và giá trị
cuối
Đệm thêm các giá trị giảm nhanh về không ở đầu và
cuối tín hiệu
Lặp lại tín hiệu ở đoạn đầu và đoạn cuối
Lập lại chuỗi tín hiệu đối xứng tại hai vị trí đầu và
cuối
Chập chuỗi tín hiệu với hàm cửa sổ

Trang
07
07
09
10

11
11
14
15
15
16
16

16

20

20
21
21
21
22
22


-x-

20
21

Hình 1.9g
Hình 1.10

22

Hình 1.11
Chương 2
Hình 2.1
Hình 2.2

23
24
25
26
27
28

Hình 2.3
Hình 2.4
Hình 2.5
Chương 3
Hình 3.1

29
30

Hình 3.2
Hình 3.3

31

Hình 3.4

32

Chương 4
Hình 4.1

33

Hình 4.2

34

Hình 4.3

35

Hình 4.4

36

Hình 4.5

37

Hình 4.6

38

Hình 4.7

39

Hình 4.8

Ngoại suy tín hiệu bằng một đa thức
22
Phân tích đa phân giải sử dụng biến đổi wavelet rời 24
rạc
Phép biến đổi wavelet rời rạc 2-D
26
Tín hiệu một chiều f(x)
Đạo hàm bậc nhất theo phương ngang của tín hiệu
f(x)
Đạo hàm bậc hai theo phương ngang của tín hiệu f(x)
Các ‘điểm đặc biệt’ của tín hiệu được làm trơn
Chuyển trường lên

30
30

Wavelet ψ1(x) và ψz(x)

44

Wavelet ψ2(x) và ψ3(x)
Xác định vị trí và độ sâu của nguồn dị thường bằng
phép biến đổi wavelet
Đồ thị tính hệ số β sử dụng hàm wavelet ψ2

45
46

Thành phần thẳng đứng của hình trụ nằm ngang dài

vô hạn
Gradien ngang của thành phần thẳng đứng của hình
trụ nằm ngang dài vô hạn
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy của dị
thường từ với nguồn trường là một hình trụ nằm
ngang dài vô hạn
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) ứng với mô hình là
hình trụ nằm ngang dài vô hạn
Thành phần thẳng đứng của nửa tấm phẳng mỏng
nằm ngang
Gradien ngang của thành phần thẳng đứng của mô
hình nửa tấm phẳng mỏng nằm ngang
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy của dị
thường từ với nguồn trường là nửa tấm phẳng mỏng
nằm ngang
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) ứng với mô hình
nửa tấm phẳng mỏng nằm ngang

30
33
38

55
57
58
59

59
60
61

61

62


- xi -

40

Hình 4.9

41

Hình 4.10

42

Hình 4.11

43

Hình 4.12

44
45

Hình 4.13
Hình 4.14

46

Hình 4.15

47

Hình 4.16

48
49

Hình 4.17
Hình 4.18

50

Hình 4.19

51
52

Hình 4.20
Hình 4.21

53

Hình 4.22

54

Hình 4.23

55

Hình 4.24

56
57

Hình 4.25
Hình 4.26

Cường độ từ toàn phần có chứa nhiễu của mô hình
quả cầu
Gradien ngang của cường độ từ toàn phần của quả
cầu
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ với nguồn trường là
quả cầu
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) ứng với nguồn
trường là quả cầu
Cường độ từ toàn phần của vỉa cắm nghiêng
Gradien ngang của cường độ từ toàn phần của vỉa
cắm nghiêng
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ với nguồn trường là
vỉa cắm nghiêng
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) ứng với mô hình là
vỉa cắm nghiêng
Thành phần thẳng đứng của mô hình đa giác
Gradien ngang của phần thẳng đứng của mô hình đa

giác
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ của mô hình đa giác.
Khung cảnh bố trí thí nghiệm kiểm chứng
Cường độ dị thường từ toàn phần của phuy sắt đặt
nằm ngang
Gradien ngang của dị thường từ của phuy sắt đặt nằm
ngang
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ với nguồn trường là
một phuy sắt đặt nằm ngang
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) của phuy sắt đặt
nằm ngang
Cường độ dị thường từ của phuy sắt đặt thẳng đứng
Gradien ngang của dị thường từ của phuy sắt đặt
thẳng đứng

63
64
64

65
66
67
67

68
69
70
70

72
74
74
74

75
76
76


- xii -

58

Hình 4.27

59

Hình 4.28

60

Hình 4.29

61

Hình 4.30

62

Hình 4.31

63

Hình 4.32

64

Hình 4.33

65

Hình 4.34

66

Hình 4.35

67

Chương 5
Hình 5.1

68
69
70

Hình 5.2
Hình 5.3
Hình 5.4

71

Hình 5.5

72

Hình 5.6

73

Hình 5.7

74

Hình 5.8

75

Hình 5.9

Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy của
gradien ngang của dị thường với nguồn trường là một
phuy sắt đặt thẳng đứng.
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) của phuy sắt đặt
thẳng đứng
Cường độ dị thường từ toàn phần của phuy sắt
và bình ga đặt nằm ngang
Gradien ngang của dị thường từ của phuy sắt và
bình ga đặt nằm ngang

Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ với nguồn trường là
phuy sắt và bình ga đặt nằm ngang
Đồ thị log(W2i/si2) theo log(si +z) của bình ga đặt
nằm ngang
Cường độ dị thường từ của phuy sắt và bình ga đặt
thẳng đứng
Gradien ngang của dị thường từ do phuy sắt
và bình ga đặt thẳng đứng
Pha của biến đổi wavelet Poisson – Hardy trên
gradien ngang của dị thường từ với nguồn trường là
phuy sắt và bình ga đặt thẳng đứng
Bản đồ Đồng bằng Sông Cửu long và một số địa
danh
Bản đồ cường độ từ toàn phần vùng Nam bộ
Các đứt gãy chính trong vùng
Vị trí sáu tuyến đo trên bản đồ cường độ từ toàn phần
vùng Nam bộ
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Cà Mau – An
Giang
Cường độ dị thường từ toàn phần trên tuyến Cà Mau
– An Giang
Gradien ngang của dị thường từ trên tuyến Cà Mau –
An Giang
Các đường đẳng pha của biến đổi wavelet WPH trên
tuyến đo Cà Mau – An Giang
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 93

76

77
78
79
79

80
81
82
82

84
86
87
93
94
95
95
96
96


- xiii -

76

Hình 5.10

77

Hình 5.11

78

Hình 5.12

79

Hình 5.13

80
81
82

Hình 5.14
Hình 5.15a
Hình 5.15b

83

Hình 5.15c

84

Hình 5.15d

85

Hình 5.15e

86

87

Hình 5.16a
Hình 5.16b

88

Hình 5.16c

89

Hình 5.16d

90

Hình 5.16e

91

Hình 5.17a

92

Hình 5.17b

93
94

Hình 5.18a
Hình 5.18b

95

Hình 5.18c

Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 92,8km và z = 3– 0,3 = 2,7km)
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 93,5km và z = 3,2 – 0,3 = 2,9km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho dị thường ở km 92,7
Đồ thị biểu diễn đường log(W1i/si) theo log(si +z)
dùng hàm ψ1
Cường độ từ toàn phần của mô hình vỉa mỏng
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 137
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 135,6km và z = 1,8 – 0,3 = 1,5km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
của dị thường ở km 137
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 135,6km; z = 1,9 – 0,3 =1,6km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z) của
dị thường ở km 137
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 165
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 165km và z = 2,0 – 0,3 = 1,7km)
Đồ thị biểu diễn log(W2i/si2) theo log(si +z) của dị
thường ở km 165
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 166km; z = 2,0 – 0,3 =1,7km)

Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z) của
dị thường ở km 165
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Cà Mau – Trà
Vinh
Cường độ dị thường từ toàn phần trên tuyến Cà Mau
– Trà Vinh
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 43
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 43,2km và z = 2,0 – 0,3 = 1,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = – 4, N = 1

97
97
98
99
99
100
101
101
101
101
101
102
102
102
102
104
104
105

105
105


- xiv -

96

Hình 5.18d

97

Hình 5.18e

98
99

Hình 5.19a
Hình 5.19b

100

Hình 5.19c

101

Hình 5.19d

102

Hình 5.19e

103
104

Hình 5.20a
Hình 5.20b

105

Hình 5.20c

106

Hình 5.20d

107

Hình 5.20e

108
109

Hình 5.21a
Hình 5.21b

110

Hình 5.21c

111

Hình 5.21d

112

Hình 5.21e

113

Hình 5.22a

114

Hình 5.22b

Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 43,1km; z = 2.0 – 0,3 =1,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z)
cho thấy β = –3; N = 1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 69
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 68,7km và z =1,3 – 0,3 = 1,0km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3,7 ; N = 1
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 69km; z = 1,3 – 0,3 = 1,0km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z)
cho thấy β = –3; N = 1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 81

Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 80,5km và z = 0,5 – 0,3 = 0,2km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3 ; N = 0
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 80,3km; z = 0,5 – 0,3 = 0,2km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z)
cho thấy β = –2; N = 0
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 202
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 199,5km và z = 2,5 – 0,3 = 2,2 km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –2,7 ; N = 0
Các đường đẳng pha của biến đổi WP cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 199,5km; z = 2,4 – 0,3 = 2,1km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W1/si) theo log(si + z)
cho thấy β = –2,2; N = 0
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Sóc Trăng – Long
An
Cường độ dị thường từ toàn phần trên tuyến Sóc
Trăng – Long An

106
106
106
107
107
107
107
108

108
108
109
109
109
110
110
110
110
112
112


- xv -

115
116

Hình 5.23a
Hình 5.23b

117

Hình 5.23c

118
119

Hình 5.24a
Hình 5.24b

120

Hình 5.24c

121
122

Hình 5.25a
Hình 5.25b

123

Hình 5.25c

124
125

Hình 5.26a
Hình 5.26b

126

Hình 5.26c

127

Hình 5.27a

128

Hình 5.27b

129
130

Hình 5.28a
Hình 5.28b

131

Hình 5.28c

132
133

Hình 5.29a
Hình 5.29b

134

Hình 5.29c

135

Hình 5.30a

Cường độ dị thường từ ở vị trí km 49
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 48,8km và z = 1,1– 0,3 = 0,8km)

Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3,7 ; N =1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 82
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 82,2km và z = 2,0 – 0,3 = 1,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –5,3 ; N = 2
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 102
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 102km và z = 2,0 – 0,3 = 1,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3,4 ; N = 0
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 120
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 120,6km và z = 4,6 – 0,3 = 4,3km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3,7 ; N = 1
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Trà Vinh – Đồng
Tháp
Dị thường từ toàn phần trên tuyến Trà Vinh – Đồng
Tháp
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 90
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 88km và z = 3,2 – 0,3 = 2,9km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = – 4 ; N = 1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 118
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 118km và z = 3,4 – 0,3 = 3,1km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)

cho thấy β = –3,7 ; N = 1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 145

113
113
113
114
114
114
115
115
115
116
116
116
118
118
119
119
119
120
120
120
121


- xvi -

136

Hình 5.30b

137

Hình 5.30c

138

Hình 5.31a

139

Hình 5.31b

140
141

Hình 5.32a
Hình 5.32b

142

Hình 5.32c

143
144

Hình 5.33a
Hình 5.33b

145

Hình 5.33c

146

Hình 5.34a

147

Hình 5.34b

148
149

Hình 5.35a
Hình 5.35b

150

Hình 5.35c

151
152

Hình 5.36a
Hình 5.36b

153

Hình 5.36c

Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 145km và z = 2,1 – 0,3 = 1,8km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –3,8 ; N = 1
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Cà Mau – Sóc
Trăng
Dị thường từ toàn phần trên tuyến Cà Mau – Sóc
Trăng
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 65
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 65km và z = 1,8 – 0,3 = 1,5km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = – 4 ; N = 1
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 89
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 88,8km và z = 4,0 – 0,3 = 3,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = – 4,7 ; N = 2
Cường độ từ toàn phần trên tuyến Hà Tiên – Đồng
Tháp
Dị thường từ toàn phần trên tuyến Hà Tiên – Đồng
Tháp
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 18
Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 18km và z = 4,0 – 0,3 = 3,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = –5 ; N = 2
Cường độ dị thường từ ở vị trí km 83

Các đường đẳng pha của biến đổi WPH cho thấy vị trí
của nguồn là (x = 83km và z = 4,0 – 0,3 = 3,7km)
Đồ thị biểu diễn đường log(W2i/si2) theo log(si +z)
cho thấy β = – 6 ; N = 3

121
121
122
122
124
124
124
125
125
125
127
127
128
128
128
129
129
129


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong việc phân tích tài liệu từ, giai đoạn phân tích định lượng thường gọi là

giải bài toán ngược bao gồm việc xác định vị trí, độ sâu, hình dạng, kích thước, tính
chất của nguồn dị thường giữ một vai trò quan trọng. Tuy nhiên, việc phân tích định
lượng thường gặp khó khăn vì nghiệm của bài toán ngược thường đa trị; dù rằng,
các tài liệu địa chất của vùng nghiên cứu đã góp phần giới hạn các nghiệm. Do đó,
từ thập niên 40 của thế kỷ trước đến nay, đã có nhiều phương pháp phân tích định
lượng được đưa ra như sử dụng lý thuyết giải tích hàm, lý thuyết xác suất thống kê,
áp dụng phương pháp ‘thử - sai’ tận dụng ưu điểm tính toán nhanh của máy tính để
giải bài toán thuận trên máy tính… và quan trọng nhất là sử dụng phép biến đổi
Fourier nhanh trong lý thuyết xử lý tín hiệu.
Tuy các phương pháp giải thích định lượng tài liệu từ rất phong phú, nhưng
người ta vẫn không ngừng phát hiện các phương pháp mới để phân tích tài liệu, sao
cho phương pháp tính đơn giản và nghiệm tìm được chính xác.
Hiện nay, việc sử dụng phép biến đổi wavelet với các hàm wavelet được
chọn lựa thích hợp là một hướng mới để phân tích định lượng tài liệu từ, đáp ứng
được hai tiêu chí vừa nêu.

2. Mục đích của đề tài
Đề tài luận án mang tên ‘Phân tích tài liệu từ ở Nam bộ bằng phép biến đổi
wavelet’ nhằm mục đích:
- Xây dựng một hàm wavelet mới (hàm wavelet phức) sử dụng trong
phương pháp xác định biên đa tỉ lệ để phân tích định lượng tài liệu từ nhằm xác
định vị trí và độ sâu của nguồn dị thường.
- Xây dựng một qui trình tính chỉ số cấu trúc của nguồn dị thường sử dụng
phần thực của hàm wavelet vừa xây dựng. Việc xác định chỉ số cấu trúc nhằm mục
đích xác định hình dạng của nguồn.


2

- Sau khi kiểm chứng độ tín cậy của phương pháp sử dụng phép biến đổi

wavelet với hàm wavelet được đề xuất; chúng tôi đã áp dụng hàm wavelet và qui
trình tính chỉ số cấu trúc vừa nêu để phân tích tài liệu từ ở Nam bộ. Cụ thể là phân
tích sáu tuyến đo từ trong vùng nghiên cứu để xác định vị trí, độ sâu và chỉ số cấu
trúc của các nguồn dị thường và liên kết chúng với đối tượng địa chất. Các nguồn dị
thường từ được phát hiện - sau khi đối chiếu với tài liệu nghiên cứu trong vùng [4] cho thấy chúng liên quan tới mặt móng.

3. Điểm qua các nghiên cứu trong và ngoài nước
Ở Việt nam, việc sử dụng tài liệu từ để nghiên cứu về các cấu trúc địa chất
của một số vùng ở Nam bộ đã được Liên đoàn Bản đồ địa chất Miền Nam thực hiện
với mục đích tìm tài nguyên và phòng chống thiên tai. Việc nghiên cứu cấu trúc sâu
của vùng bằng tài liệu từ được thực hiện bởi Trần Nho Lâm (1980) [3] và Đặng Văn
Liệt (1995) [4]; trong các nghiên cứu trên, các tác giả chỉ sử dụng các phương pháp
truyền thống để phân tích tài liệu. Trong những năm gần đây, nhóm nghiên cứu của
Đặng văn Liệt, đã sử dụng phép biến đổi wavelet để phân tích tài liệu từ ở Nam bộ
với hai nội dung là sử dụng phép biến đổi wavelet rời rạc để lọc nhiễu và tách
trường [1], [5] đồng thời sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục thuận để phân tích
định lượng [2], [44].
Ở nước ngoài, từ thập niên 1990, người ta sử dụng phép biến đổi wavelet rời
rạc để lọc nhiễu và tách trường (Ucan, O.N., Seker, S., Albora, A.M. and Ozmen
A., (2000) [75], (Ridsdill - Smith, T. A. và Dentith, M. C. (1999) [64]) và phép
biến đổi wavelet liên tục để xác định độ sâu và cấu trúc của nguồn (Fedi, M., Quarta
T., (1998) [30]), (Grossmann, A., Holschneider, M., Kronland Martinet, R. and
Morlet, J., (1987) [37]). Một số ít tác giả sử dụng trực tiếp biến đổi wavelet
(Cooper, G.R.J., (2005), [24]); phần lớn các công trình khác sử dụng phương pháp
xác định biên đa tỉ lệ (Moreau, F., Gibert, D., Holschneider, M., Saracco, G., (1997)
[53]) (Sailhac, P., Galdeano, A., Gibert, D., Moreau, F., Delor C., (2000) [66]),


3

trong đó, các tác giả chọn giải pháp xác định các cực trị địa phương (phương pháp
gradien).
Trong luận án, phương pháp xác định biên đa tỉ lệ được thực hiện thông qua
giải pháp xác định các điểm không hay các điểm uốn (phương pháp Laplaxien) nên
không trùng với các nghiên cứu đã có.

4. Phương pháp nghiên cứu và dữ liệu
- Phân tích tài liệu từ: Sử dụng phương pháp xác định biên đa tỉ lệ trong xử
lý ảnh; phương pháp này vận dụng phép biến đổi wavelet liên tục để phân tích định
lượng tài liệu từ bao gồm việc xác định vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc.
- Tính toán: Tận dụng khả năng linh hoạt của phần mềm Matlab [84] trong
việc xử lý số liệu và biểu diễn các kết quả.
- Dữ liệu: Sử dụng giá trị cường độ từ toàn phần T trên bản đồ hàng không
cường độ từ toàn phần (1985,0) do Cục Địa Chất và Khoáng sản Việt Nam thành
lập (chi tiết sẽ nêu trong chương năm). Giá trị cường độ từ toàn phần bình thường
T0 được tính theo công thức của Nguyễn Thị Kim Thoa và nnk (1992) [7]. Gradien
ngang của dị thường từ là dữ liệu được sử dụng trong phân tích.

5. Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong năm chương, phần mở đầu và
phần kết luận. Luận án được chia làm hai phần, phần lý thuyết gồm chương một và
chương hai, phần thực nghiệm gồm chương ba, chương bốn và chương năm. Cấu
trúc của luận án được phân bố như sau:
PHẦN 1: LÝ THUYẾT
- MỞ ĐẦU
- Chương một: Phép biến đổi wavelet
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu cơ sở lý thuyết của phép biến đổi
wavelet liên tục, các hàm wavelet thông dụng, ý nghĩa của các hệ số khai triển
wavelet và phần trình bày tổng quan về phép biến đổi wavelet rời rạc.

4

- Chương hai: Phương pháp xác định biên đa tỉ lệ áp dụng trong phân tích tài
liệu từ.
Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết của phương pháp
xác định biên đa tỉ lệ sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục. Ngoài ra, chúng tôi
cũng trình bày phương pháp chuyển trường lên trong bài toán trường thế; đây là cơ
sở để xác định hàm làm trơn, từ đó xây dựng các hàm wavelet thích hợp cho
phương pháp xác định biên đa tỉ lệ để áp dụng vào việc phân tích tài liệu từ.
PHẦN 2: THỰC NGHIỆM
- Chương ba: Xây dựng các hàm wavelet và tính chỉ số cấu trúc.
Trong chương này, dựa trên cơ sở lý thuyết đã trình bày trong chương hai để
xây dựng các hàm wavelet thích hợp với phương pháp xác định biên đa tỉ lệ. Trong
đó, dựa trên phương pháp Laplaxien, chúng tôi xây dựng hàm wavelet phức mới áp
dụng trong phân tích định lượng tài liệu từ. Chúng tôi cũng trình bày phương thức
tạo các hàm wavelet mới trong hộp công cụ wavelet của phần mềm Matlab. Ngoài
ra, chúng tôi cũng trình bày qui trình tính chỉ số cấu trúc của nguồn dị thường, sử
dụng phép biến đổi wavelet với hàm wavelet là phần thực của hàm wavelet phức
vừa xây dựng.
- Chương bốn: Phân tích trường từ của các mô hình lý thuyết và thực
nghiệm.
Trong chương này, chúng tôi thiết kế một số các mô hình lý thuyết và thực
nghiệm khác nhau nhằm kiểm chứng độ chính xác của việc áp dụng hàm wavelet do
chúng tôi xây dựng để xác định vị trí, độ sâu và chỉ số cấu trúc của nguồn.
- Chương năm: Phân tích tài liệu từ ở Nam bộ.
Trong chương này, chúng tôi phân tích tài liệu từ ở Nam bộ thông qua sáu
tuyến đo trong vùng; trình bày các kết quả phân tích và các nhận xét các kết quả đạt
được.
- KẾT LUẬN

Đánh giá lại các kết quả đạt được trong luận án, nhấn mạnh những điểm mới
trong kết quả và đề xuất hướng phát triển của luận án trong tương lai.


5

Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1- MỞ ĐẦU
Như đã trình bày ở phần mở đầu, giai đoạn phân tích định lượng đóng vai trò
quan trọng trong việc phân tích tài liệu từ nên có nhiều phương pháp đã được đưa
ra. Về các phương pháp truyền thống, có thể liệt kê một số phương pháp tiêu biểu
như phương pháp nửa độ dốc cực đại của tiếp tuyến của Peters, L.J., (1949) [60];
phương pháp xác định vị trí và độ sâu của Werner, S., (1953) [79], phương pháp sử
dụng cực đại đường cong của Smith, R.A., (1959) [68], phương pháp sử dụng hình
dạng đồ thị và biên độ của Parasnis, D.S., (1986) [59]… Từ thập niên 60 của thế kỷ
trước, máy tính phát triển mạnh, người ta thường sử dụng phương pháp thử - sai
gồm phương pháp tiến (forward method) và phương pháp nghịch đảo (inverse
method) để xác định lời giải bằng máy tính; phương pháp này được sử dụng rộng
rãi và phát triển cho đến nay. Ngày nay, người ta thường sử dụng phương pháp tín
hiệu giải tích (Nabighian, N.M., (1972, 1974) [55], [56], Hsu, S.K., Sibuet, J.C. và
Shyu, C.T., (1996) [41]) và phương pháp giải chập Euler (Thomson, D.T., (1982)
[72]; Reid, A.B. và nnk., (1990) [63] ); cả hai phương pháp này đều đặt cơ sở trên
việc tính đạo hàm theo phương ngang và phương thẳng đứng của tín hiệu; hiện nay,
hai phương pháp này vẫn đang tiếp tục phát triển.
Năm 1958, Dean, W.C., [27] đã đề nghị sử dụng phép biến đổi Fourier trong
bài toán chuyển trường và phép tính đạo hàm trong phân tích tài liệu từ và trọng
lực. Năm 1964, Cooley, J.W. và Turkey, J., [23] đưa ra thuật toán phép biến đổi
Fourier nhanh (Fast Forier Transform). Từ đó, phép biến đổi Fourier được sử dụng
hữu hiệu và rộng rãi trong việc phân tích định tính và định lượng tài liệu từ (và

6

trọng lực) [19], [69] và chúng được phát triển cho tới nay [80]. Tuy nhiên, phép
biến đổi Fourier có những điểm hạn chế của nó (sẽ trình bày trong mục tiếp theo)
nên người ta tìm những phép biến đổi khác có nhiều ưu điểm hơn. Ngày nay, người
ta sử dụng phép biến đổi wavelet vì nó khắc phục được các khuyết điểm của phép
biến đổi Fourier. Có hai phép biến đổi wavelet là phép biến đổi wavelet rời rạc và
phép biến đổi wavelet liên tục; chúng được sử dụng trong việc phân tích định tính
[5], [64] và phân tích định lượng tài liệu từ [18], [32], [66].
Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục; tuy
nhiên, để có cái nhìn đầy đủ về phép biến đổi wavelet, trong chương này chúng tôi
trình bày các phần cơ bản của phép biến đổi wavelet liên tục và phép biến đổi
wavelet rời rạc.

1.2- PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC
1.2.1- Giới thiệu
Trong xử lý tín hiệu, phép biến đổi Fourier (FT, Fourier Transform) là một
công cụ toán học quan trọng vì nó là cầu nối cho việc biểu diễn tín hiệu giữa miền
không gian và miền tần số; việc biểu diễn tín hiệu trong miền tần số đôi khi có lợi
hơn là việc biểu diễn trong miền không gian. Hình 1.1a biểu diễn tín hiệu theo thời
gian, hình 1.1b biểu diễn phép biến đổi Fourier của tín hiệu trong miền tần số. Tuy
nhiên, phép biến đổi Fourier chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp
cho những tín hiệu tuần hoàn, không chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự
báo được. Trong hình 1.1b, phổ của f(t) cho thấy các thành phần tần số cấu thành tín
hiệu nhưng không cho biết các tần số này xuất hiện ở đâu. Để khắc phục khuyết
điểm này, Gabor, D., (1946) [33] đã áp dụng phép biến đổi Fourier cửa sổ (WFT,
Windowed Fourier Transform) cho từng đoạn nhỏ của tín hiệu (cửa sổ); phép biến
đổi này cho thấy mối liên hệ giữa không gian và tần số nhưng bị khống chế bởi

nguyên lý bất định Heisengber cho các thành phần tần số cao và tần số thấp trong
tín hiệu (Kaiser, G., 1994) [43]. Phép biến đổi wavelet là bước tiếp theo để khắc
phục hạn chế này.


7

f(t)

(s)

F(ω)

Hình 1.1a: Tín hiệu f(t)

(Hz)

Hình 1.1b: Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t).
Năm 1975, Morlet, J., phát triển phương pháp đa phân giải (multiresolution);
trong đó, ông ta sử dụng một xung dao động, được hiểu là một “wavelet” (dịch theo
từ gốc của nó là một sóng nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín hiệu ở
từng đoạn riêng biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ (wavelet) chứa các dao
động tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có một
bức tranh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó sóng nhỏ được nén lại để
nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này gọi là làm thay đổi tỉ lệ (scale) phân
tích; khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở các độ
phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong
tín hiệu.
Sau đây, chúng tôi trình bày về phép biến đổi wavelet liên tục thuận và
nghịch đồng thời trình bày một số các thuộc tính cơ bản của các hàm wavelet để có

thể vận dụng trong các bài toán cụ thể. Các công trình nghiên cứu của phép biến đổi


8

wavelet liên tục áp dụng trong việc phân tích định lượng tài liệu từ được trình bày
trong chương hai.

1.2.2- Phép biến đổi wavelet thuận
Gọi f(x) là tín hiệu 1-D, phép biến đổi wavelet liên tục của f(x) sử dụng hàm
wavelet ψ 0 được biểu diễn bởi:
W (s , b ) =

1
s

+∞

∫ f ( x ).ψ

*
0

(

−∞

x−b
)dx
s

(1.1)

trong đó:
-

W(s, b) là hệ số biến đổi wavelet liên tục của f(x), với s là tỉ lệ (nghịch đảo
của tần số) và b là dịch chuyển đặt trưng vị trí.

-

ψ *0 ( x ) là hàm liên hiệp phức của wavelet ψ 0 ( x ) được gọi là hàm wavelet

phân tích.
Phương trình (1.1) cho thấy, phép biến đổi wavelet là một ánh xạ chuyển từ
hàm một biến f(x) thành hàm W(s, b) phụ thuộc hai biến số là biến tỉ lệ s và biến
dịch chuyển b. Hệ số chuẩn hóa 1 /( s ) trong (1.1) đảm bảo cho sự chuẩn hóa sóng
wavelet với các tỉ lệ phân tích s khác nhau ψ 0(s, b) = ψ 0 .
Phép biến đổi wavelet có tính linh động cao so với phép biến đổi Fourier (sử
dụng duy nhất hàm mũ) vì không nhất thiết phải sử dụng một hàm wavelet cố định,
mà có thể lựa chọn các hàm wavelet khác nhau trong họ hàm wavelet sao cho thích
hợp với bài toán (hình dạng của hàm wavelet phù hợp với tín hiệu cần phân tích) để
kết quả phân tích là tốt nhất. Hiện nay, người ta đã xây dựng được khoảng vài chục
các họ hàm wavelet khác nhau nhằm áp dụng cho nhiều mục đích phân tích đa
dạng. Hình 1.2 đồ thị của ba hàm wavelet là hàm wavelet Harr, hàm wavelet
Daubechies 5 và hàm wavelet Morlet.
Biểu thức (1.1) có thể viết lại dưới dạng tích trong (inner product) như sau:
W (s, b) = f ( x ), ψ 0 (s ,b ) ( x )

trong đó:

(1.2)