Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của
mình, GS. Đỗ Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn tôi học tập và hoàn thành luận
án. Xin cám ơn GS. Nguyễn Khoa Sơn và GS. Dương Nguyên Vũ đã có những chỉ dẫn
quan trọng, và anh Bùi Thế Anh đã có những trao đổi và cộng tác hữu ích.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng đánh giá luận án đã đọc và đóng
góp nhiều ý kiến quý giá cho luận án này.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý Sau Đại
Học và Hợp Tác Quốc Tế trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh
đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận án.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô và các bạn trong Khoa Công Nghệ Thông Tin
và Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng đã luôn quan tâm và động viên tôi
trong quá trình học tập.
Tác giả luận án.

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một luận án nào
khác.
Tác giả luận án

Dương Đặng Xuân Thành

ii


Mục lục

Danh sách ký hiệu

v

Lời mở đầu

1

Phần 1: Bán kính ổn định

9

Chương 1

Hệ liên tục có chậm

10

1.1

Toán tử Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4

Tính ổn định không phụ thuộc trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2

Hệ rời rạc cấp cao

27

2.1

Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 3

Phương trình sai phân

39

3.1

Tính ổn định của phương trình sai phân dương . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2

Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . 45

3.3

Bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4

3.3.1

Hệ sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2

Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

Phần 2: Bán kính điều khiển được

57

Chương 4

58

Vô hạn chiều

4.1

Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2

Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3

4.2.1

Nhiễu trên cả A và B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.2

Nhiễu trên chỉ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.3

Nhiễu trên chỉ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.4

Bán kính điều khiển được thực và phức . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chương 5

Hữu hạn chiều

69

5.1

Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2

Bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3

5.2.1

Nhiễu trên cả A và B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.2

Nhiễu trên chỉ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.3

Nhiễu trên chỉ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 6

Thuật toán tính toán

83

6.1

Mở rộng kết quả của Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2

Thuật toán chia ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1

Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2.2

Tìm trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3

Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4

Bán kính ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Kết luận

97

Danh mục công trình

99

Tài liệu tham khảo

101

iv


Danh sách ký hiệu
L (X )
R

Tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X

L (X )

Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục trên X

L + (X )

Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục trên X

L (X ,Y )

Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L R(X ,Y )

Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vào Y

L + (X ,Y ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vào Y
σ(.)

Tập phổ

ρ (.)

Tập giải

svs(.)

Tập các giá trị kỳ dị

r(A)

Bán kính phổ - sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}

s(A)

Chận trên phổ - sup{ℜλ : λ ∈ σ(A)}

R(λ, A)

Giải thức (λ I − A)−1

null(.)

Ma trận cơ sở của không gian con nhân

σmin (.)

Giá trị kỳ dị nhỏ nhất

σmin (., .)

Giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất

(.)†

Nghịch đảo Moore-Penrose

N(.)

Không gian con nhân

R (.)

Không gian con ảnh bởi

.

F

Chuẩn Frobenius

.

2

Chuẩn 2-Euclide

C−

Nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức

C1

Tập các số phức có độ dài nhỏ hơn 1

K

C hoặc R

v

Lời mở đầu
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học, kinh
tế,... thường được mô tả bởi các hệ động lực. Bắt đầu từ những năm cuối của thế kỷ
XIX, tính ổn định của các hệ động lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học. Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ, sinh ra bởi các điều kiện bên ngoài, tác động lên
cấu trúc của hệ động lực không làm cho hệ động lực thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Các kết quả của nhà toán học A. A. Lyapunov [75] có thể được xem như bước
ngoặt cho sự phát triển của lý thuyết ổn định. Và đến ngày nay, tính ổn định đã trở thành
một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết
hệ động lực nói riêng và lý thuyết hệ thống nói chung.
Vào những năm 1980, các nhà toán học đi tìm kiếm một định lượng nhằm đánh giá
khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu - còn gọi là tính
ổn định bền vững. Điều này xuất phát bởi nhận xét rằng tập các hệ động lực tuyến tính
dừng ổn định là một tập mở, có nghĩa rằng dưới tác động của nhiễu nhỏ thì hệ bị nhiễu
cũng ổn định. Cách tiếp cận đầu tiên của một số nhà toán học như trong tài liệu tham
khảo [37, 124] là dựa vào việc phân tích hệ trên miền tần số. Năm 1986, D. Hinrichsen
và A. J. Pritchard đã đưa ra một hướng tiếp cận khác, đánh giá trực tiếp hệ động lực
trên không gian trạng thái mà không cần phải thông qua miền tần số, trong các tài liệu
tham khảo [54, 55]. Trong các tài liệu này, các tác giả đã sử dụng khái niệm bán kính ổn
định, tức khoảng cách từ một hệ ổn định đến tập các hệ không ổn định, làm định lượng
nhằm đánh giá khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống. Hướng nghiên cứu này đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, xem [56, 57, 58]. Một nghiên
cứu đầy đủ về bán kính ổn định được đối với đơn nhiễu trên không gian hữu hạn chiều

1


có thể được xem trong bài tổng quan [59].
Trường hợp nhiễu bị giới hạn nhận giá trị thực - gọi là bán kính ổn định thực - dần

nhận được sự quan tâm của các nhà toán học, xem [33, 73, 97]. Đến 1995, kết quả đầy
đủ về bán kính ổn định thực được công bố bởi L. Qiu và các đồng tác giả trong [99]. Sự
phức tạp của công thức bán kính ổn định thực đã dẫn đến nhiều khó khăn trong vấn đề
tính toán bằng máy tính. Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán chỉ
cho kết quả của các chặn trên, xem [17]. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ dương thì kết
quả nhận được là rất đẹp khi bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực trùng nhau
và có thể tính toán được một cách dễ dàng bởi các kết quả của N. K. Sơn và D. Hinrichsen trong [61, 62, 104]. Sau đó, bán kính ổn định của hệ dương được nghiên cứu rộng
hơn và sâu hơn bởi các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc trong [106, 107, 108, 109].
Cần chú ý rằng các kết quả kể trên đều nghiên cứu bán kính ổn định dưới tác động của
đơn nhiễu. Và cũng chính các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc [87] đã khởi xướng
cho sự phát triển của bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu. Các mở rộng cho
nhiều loại hệ động lực khác nhau có thể được tìm thấy trong [90, 91, 92] và các trích
dẫn trong bản thân các tài liệu đó.
Bán kính ổn định đối với các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều được xem
xét và nghiên cứu gần như song song với các kết quả trên không gian hữu hạn chiều.
Sau kết quả của A. J. Pritchard và S. Townley [96] là rất nhiều kết quả khác, xem
[34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Trong đó,
các tác giả A. Fischer, D. Hinrichsen và N. K. Sơn [34, 35] đã nghiên cứu bán kính ổn
định của các hệ dương trên không gian vô hạn chiều thông qua các toán tử Metzler - đối
với hệ liên tục, và toán tử đóng bị chận dương - đối với hệ rời rạc. Tuy nhiên, các kết
quả trên không gian vô hạn chiều chỉ xét cho trường hợp đơn nhiễu. Lúc này, bán kính
ổn định cho trường hợp đa nhiễu trên các không gian vô hạn chiều được xem như là một
bài toán mở - xem [34] - vì các kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu trên các không gian
hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn tại của các vectơ riêng. Và đóng góp đầu tiên
của luận án - xem [T5] - là giải quyết bài toán mở đó cho hệ liên tục có chậm sau
˙ = A 0 u(t) + A 1 u(t − h1) + ... + A N u(t − h N ), t ≥ 0,
u(t)

2

trong đó, các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
A i → A i + D i∆i E i ,

i ∈ N := {1, ..., N } ,

với D i , E i , i ∈ N , là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆ i , i ∈ N , là các toán
tử chưa biết. Việc giới hạn các toán tử ∆ i , i ∈ N , là các toán tử phức, thực hay dương
dẫn đến các định nghĩa tương ứng cho bán kính ổn định phức, thực hay dương. Kết quả
nhận được cho bán kính phức là
1
max sup ||G Pij (ıs)||
i, j ∈ N s∈R

trong đó, G Pij (λ) := E i (λ I − A 0 −

N
i=1

≤ rC ≤

1
max sup ||G Pii (ıs)||

,

i∈ N s∈R

e−λh i A i )−1 D j , i, j ∈ N . Thông qua việc mở rộng

định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận
án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là s(A 0 + A 1 +...+ A N ) <
0, với s(.) là chận trên phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i và E i , i ∈ N , là dương và
D i = D j (hoặc E i = E j ) với mọi i, j ∈ N , thì các bán kính ổn định phức, thực và dương

trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau
rC = rR = r+ =

1
.
max ||E i (A 0 + A 1 + ... + A N )−1 D i ||
i∈ N

Trong quá trình nghiên cứu tính ổn định của hệ liên tục có chậm, chúng tôi nhận ra rằng
sự thay đổi hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của hệ. Tuy nhiên
đối với hệ dương, luận án kết luận rằng ngay cả khi có nhiễu nhỏ xuất hiện trong hệ số
chậm, và đa nhiễu xuất hiện trên các toán tử thành phần thì hệ vẫn ổn định thông qua
khái niệm bán kính ổn định không phụ thuộc trễ, xem [T1].
Trong trường hợp hệ rời rạc, kết quả đối với đa nhiễu trên không gian hữu hạn chiều
[87] cũng được luận án mở rộng cho không gian vô hạn chiều, xem [T6, T7]. Cụ thể,
luận án xét đến hệ rời rạc cấp cao
x(t + K + 1) = A 0 x(t + K) + A 1x(t + K − 1)... + A K x(t), t ∈ N,

trong đó các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
N

D i j ∆i j E i j ,

Ai → Ai +
j =1

3

i ∈ K := {1, ..., K } ,


với D i j , E i j , i ∈ K, j ∈ N là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆ i j , i ∈ K, j ∈ N,
là các toán tử chưa biết. Kết quả nhận được cho bán kính phức là
1

1

≤ rC ≤

max ||G i j,uv (λ)||, i, u ∈ K, j, v ∈ N
|s|=1

K

trong đó, G i j,uv (λ) := E i j (λ I −

i=0

,

max ||G i j,i j (λ)||, i ∈ K, j ∈ N
| s|=1

λ− i A i )−1 D uv , i, u ∈ K, j, v ∈ N . Cũng thông qua

việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp
cao dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là
r(A 0 + A 1 + ... + A K ) < 1, với r(.) là bán kính phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i j và E i j ,
i ∈ K, j ∈ N , là dương và D uv = D i j (hoặc E uv = E i j ) với mọi i, u ∈ K, j, v ∈ N , thì các

bán kính ổn định phức, thực và dương trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản
sau
rC = rR = r+ =

1
.
max ||E i j (I − A 0 − A 1 − ... − A K )−1 D i j ||
i∈K , j ∈ N

Ngoài ra, luận án còn xét đến trường hợp hệ rời rạc cấp cao dương bị nhiễu dưới dạng
N

Ai → Ai +

δi j B i j ,

i ∈ K,

j =1

với B i j , i ∈ K, j ∈ N là các toán tử dương xác định cấu trúc của nhiễu và δ i j , i ∈ K, j ∈
N, là các hệ số chưa biết. Trong trường hợp này, các bán kính ổn định phức, thực và

dương cũng trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau
r δC = r δR = r δ+ =

1
r[(I − A 0 − A 1 − ... − A K )−1 (

i∈K , j ∈ N B i j )]

.

Một số hướng tiếp cận khác đối với tính ổn định bền vững của hệ động lực có thể
được tìm thấy trong kết quả của các tác giả V. N. Phát và P. T. Nam [85, 94, 95]; hay các
tác giả P. K. Anh, N. H. Dư, N. H. Linh và các đồng tác giả cho nhiều loại hệ khác nhau
trong [4, 5, 25, 29]. Và một đóng góp khác của luận án, xem [T2, T8, T9], là nghiên cứu
tính ổn định bền vững của phương trình sai phân sau
N

y(t) −

A i y(t − r i) = 0, t ≥ 0.
i=1

4


Một cách tổng quát, tính ổn định của phương trình sai phân này là không bền vững và
thay đổi nhỏ trong hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định. Từ đó, khái
niệm ổn định không phụ thuộc trễ - nghĩa là ổn định với mọi hệ số trễ - đã được nhiều
nhà toán học nghiên cứu, xem [43]. Luận án chỉ ra rằng tính ổn định không phụ thuộc
trễ là bền vững thông qua việc thiết lập công thức cho bán kính ổn định không phụ thuộc
trễ. Đặc biệt, trong trường hợp hệ dương thì tính ổn định và ổn định không phụ thuộc
trễ là tương đương nhau và được kiểm tra qua điều kiện r(A 1 + ... + A N ) < 1. Hơn nữa,

dưới điều kiện về tính dương cho các ma trận xác định cấu trúc nhiễu, bán kính ổn định
không phụ thuộc trễ phức, thực và dương cũng trùng nhau và được cho bởi các công
thức đơn giản sau
rC = rR = r+ =

1
maxi∈ N, j ∈K E i j [I − A 1 − ... − A N ]−1 D i j

r δC = r δR = r δ+ =

1

.

−1

r [I − A 1 − ... − A N ]

,

i∈ N, j ∈K

Bi j

Điều này cũng cho thấy rằng tính ổn định của phương trình sai phân dương là bền vững.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, tính điều khiển được của hệ động
lực được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của R. E. Kalman [68]
và M. L. J. Hautus [49] vào những năm 1960. Tính điều khiển được nghiên cứu các
lớp hàm điều khiển chấp nhận được sao cho, dưới tác động của nó, hệ thống được điều
khiển về vị trí mong muốn. Sự bền vững của tính điều khiển được khởi xướng từ đầu

những năm 1980. Lần đầu tiên định lượng bán kính điều khiển được, tức khoảng cách
từ hệ điều khiển được đến tập các hệ không điều khiển được, được đề cập bởi Paige vào
năm 1981 trong tài liệu tham khảo [93]. Và ngay sau đó, định lượng này đã có được
kết quả tốt hơn bởi R. Eising trong tài liệu tham khảo [31, 32] vào năm 1982. Kết quả
này được mở rộng trong [48] cho trường hợp ma trận thành phần của hệ có các trị riêng
phân biệt. Các cận trên và cận dưới của bán kính điều khiển được có thể tìm thấy trong
[18, 19, 20]. Trong [38], mối liên hệ giữa bán kính điều khiển được và sự kỳ dị của
phương trình Riccati được xem xét. Các kết quả [65, 113] biểu diễn bán kính điều khiển
được thực dưới dạng các công thức khác nhau nhằm đơn giản việc tính toán. Và kết quả
về bán kính điều khiển được của R. Eising cũng đã được luận án mở rộng cho trường
5


hợp chỉ một bộ phận nào đó của hệ thống là bị nhiễu, xem [T10].
Cần chú ý rằng các kết quả về bán kính điều khiển được kể trên đều là kết quả đối với
nhiễu không cấu trúc. Kết quả về nhiễu có cấu trúc được chúng tôi nghiên cứu và trình
bày trong [T11] khi mà một thành phần của cấu trúc nhiễu bị giới hạn là khả nghịch.
Kết quả này được mở rộng bởi M. Karow và D. Kressner [69], trong đó một thành phần
của cấu trúc nhiễu bị giới hạn phải là ma trận có hạng đầy đủ. Và một đóng góp nữa
của luận án là tiếp tục mở rộng kết quả cho bán kính điều khiển được dưới tác động của
nhiễu có cấu trúc - xem [T4] - với kết quả tốt hơn thông qua cách tiếp cận hoàn toàn
khác so với M. Karow và D. Kressner. Cụ thể, xét hệ động lực tuyến tính dừng
˙ = Ax(t) + Bu(t),
x(t)

t ≥ 0,

trong đó các ma trận A, B bị tác động bởi nhiễu cấu trúc có dạng
A → A + D∆AE A ,

B → B + D ∆B E B .

Lúc đó, các bán kính điều khiển được cho các trường hợp cả hai ma trận A và B bị
nhiễu, hay chỉ một trong hai ma trận A và B bị nhiễu được cho bởi công thức
r CAB = min σmin
λ∈C

(E ∗A )†(A ∗ − λ I n )
(E ∗B )† B∗

, D∗ ,

r CA = min σmin (E ∗A )†(A ∗ − λ I n )NB∗ , D ∗ NB∗ ,
λ∈C

r CB

=

min σmin (E ∗B )† B∗ N(A ∗ −λ∗ I n ) , D ∗ N(A ∗ −λ∗ I n ) ,

λ∈σ(A)

trong đó, σmin (., .) là giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất, † ký hiệu cho nghịch đảo MoorePenrose và N(.) là ma trận mà các cột của nó tạo thành cơ sở của null(.) - không gian con
nhân. Trường hợp các bán kính điều khiển được phức và thực trùng nhau được nghiên
cứu thông qua các tính chất đối xứng của ma trận.
Câu hỏi cho các kết quả của R. E. Kalman và M. L. J. Hautus về tính điều khiển
được trên không gian vô hạn chiều cho hệ với các toán tử không bị chận hiện vẫn là
một bài toán mở, xem [16]. Kết quả mới nhất gần đây là của B. Jacob và J.R. Partington
[66] cho trường hợp toán tử có phổ rời rạc và chéo hóa được. Đối với trường hợp các

6


toán tử là bị chận, kết quả có thể được tìm thấy trong [30, 67, 111] và nhiều công trình
khác. Bằng cách định nghĩa khái niệm giá trị kỳ dị nhỏ nhất cho toán tử đóng bị chận
bởi σmin (M) := min

λ : λ ∈ σ(MM ∗ ) , luận án cũng đã nghiên cứu và thành lập công

thức cho bán kính điều khiển được trên không gian Hilbert, xem [T3].
Vấn đề tính toán bán kính ổn định phức liên quan đến bài toán tối ưu với một biến
số thực, được giải quyết bởi S. Boyd và V. Balakrishnan với tốc độ hội tụ bình phương
trong [21]. Cải tiến kết quả này được thực hiện bởi C. He và G. Watson [51] thông qua
việc tận dụng các tính chất đối xứng đặc biệt của các ma trận xuất hiện trong quá trình
tính toán. Các thuật toán cho bán kính ổn định thực có thể được tìm thấy trong kết quả
của J. Sreedhar, P. V. Dooren và A. L. Tits [110]. Các thuật toán cho bán kính điều
khiển được phức tạp hơn so với các thuật toán cho bán kính ổn định, vì liên quan đến
bài toán tối ưu với biến số phức, xem [22, 23, 40, 41, 42, 50, 78]. Các nghiên cứu trong
[23, 40, 50] được thực hiện trên kỹ thuật tạo lưới trong không gian hai chiều và tốn kém
quá nhiều chi phí cho việc tính toán chính xác. M. Gu [41] đã đề xuất thuật toán chia
đôi nhằm tính toán bán kính điều khiển được với độ phức tạp thuật toán đa thức thông
qua việc phân tích các tập mức của giá trị kỳ dị. Sử dụng cùng hướng tiếp cận, J. V.
Burke, A. S. Lewis, và M. L. Overton [22] cải tiến thuật toán chia đôi thành thuật toán
chia ba nhằm tính toán bán kính điều khiển được với độ chính xác cho trước bất kỳ và
độ phức tạp thuật toán là O(n6). Sử dụng một số kỹ thuật tính ma trận nghịch đảo xuất
hiện trong quá trình tính toán, E. Mengi [78] giảm độ phức tạp thuật toán xuống còn
O(n4). Một câu hỏi được đặt ra là liệu có thể sử dụng các công cụ của H. Tụy [112] về

tối ưu toàn cục để cải tiến các thuật toán hiện có.... Và đóng góp về mặt thuật toán của
luận án là sử dụng hướng tiếp cận M. Gu để đưa ra các thuật toán nhằm tính toán bán

kính điều khiển được cho các trường hợp khi chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay
khi hệ bị tác động bởi nhiễu có cấu trúc, xem [T12, T13].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được chia làm 2 phần về bán kính ổn định và bán kính điều khiển được - gồm 6 chương như sau:
• Chương 1: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ liên tục có chậm dưới tác
động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều, trong đó đặc biệt chú
trọng đến hệ dương thông qua toán tử Metzler; các kết quả đạt được của chương
7


này đã được công bố trong [T1, T5].
• Chương 2: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ rời rạc cấp cao dưới tác động
của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều; điều kiện cần và đủ cho
tính ổn định của hệ dương được thiết lập thông qua việc mở rộng định lý PerronFrobenius đối với đa thức đặc trưng; các kết quả đạt được của chương này đã được
công bố trong [T6] và nhận đăng trong [T7].
• Chương 3: nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân liên tục theo thời
gian; trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông qua việc mở rộng định lý
Perron-Frobenius đối với tựa đa thức đặc trưng; tính ổn định bền vững không phụ
thuộc trễ được nghiên cứu một cách tổng quát thông qua tính ổn định bền vững
của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số; các kết quả đạt được của chương
này đã được công bố trong [T8, T9] và gửi đăng trong [T2].
• Chương 4: trình bày công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp
vô hạn chiều đối với nhiễu không cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31,
32, T10]; các kết quả đạt được của chương này đã được nhận đăng trong [T3].
• Chương 5: thiết lập công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp
hữu hạn chiều đối với nhiễu có cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31, 32];
các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T10, T11] và gửi
đăng trong [T4].
• Chương 6: trình bày thuật toán tính bán kính điều khiển được chủ yếu dùng cho
trường hợp chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay hệ bị tác động bởi nhiễu có
cấu trúc; công thức và thuật toán tính toán cho bán kính ổn định hóa được cũng

được xem xét; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T13]
và gửi đăng trong [T12].

8


Phần 1
Bán kính ổn định

9


Chương 1
Hệ liên tục có chậm
Trong nhiều thập kỷ qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã được
nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu
tính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễu
khác nhau. Các kết quả cho không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu khá đầy đủ
trong các tài liệu tham khảo [59, 61, 62, 87, 104]. Một số mở rộng cho không gian vô
hạn chiều được thực hiện trong [34, 35, 36, 39, 60, 96, 114]; đặc biệt, công thức tường
minh cho bán kính ổn định phức đối với hệ
˙ = Ax(t),
x(t)

t ≥ 0,

dưới tác động của đơn nhiễu có cấu trúc
A → A + D ∆E

đã được đưa ra trong [36], nhằm mở rộng một kết quả kinh điển của D. Hinrichsen và A.

J. Pritchard [54]; sau đó, [35] nghiên cứu bài toán trong trường hợp A là toán tử Metzler
và chỉ ra rằng bán kính ổn định thực và phức của hệ là trùng nhau và có thể được tính
toán một cách dễ dàng.
Trong chương này, chúng tôi xem xét hệ liên tục có chậm sau
(1.1)

˙ = A 0 u(t) + A 1 u(t − h1) + ... + A N u(t − h N ), t ≥ 0,
u(t)

trong đó A i là các toán tử trên không gian Banach X , và h i ∈ R+ := (0, +∞), với mọi
i ∈ N := 1,2, ..., N .

10


Bố cục của chương này được trình bày như sau. Trước hết, chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc. Tính
ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2.
Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3. Cuối cùng là kết quả đối với tính ổn
định không phụ thuộc trễ. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong
[T1, T5].

1.1 Toán tử Metzler
Cho X là không gian Banach phức và A : X −→ X là toán tử đóng, tập phổ của A
được ký hiệu là σ(A), tập giải của A được ký hiệu là ρ (A) := C\σ(A) ,và đặt R(λ, A) :=
(λ I − A)−1 ∈ L (X ) - tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X - với λ ∈ ρ (A). Bán kính

phổ r(A) và chận trên phổ s(A) được định nghĩa như sau
r(A) := sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}

s(A) := sup{ℜλ : λ ∈ σ(A)}.

Kí hiệu nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức bởi C− = {λ ∈ C : ℜλ < 0}, toán tử
A : X −→ X được gọi là ổn định Hurwitz nếu σ(A) ⊂ C− , và là ổn định Hurwitz chặt

nếu s(A) < 0. Rõ ràng rằng một toán tử ổn định Hurwitz chặt thì sẽ ổn định Hurwitz.
Giả sử rằng X ,Y là các không gian Banach phức có thứ tự, và X + , Y + lần lượt ký hiệu
các nón dương của X , Y ; và L R(X ,Y ), L + (X ,Y ) lần lượt là các tập của tất cả các toán
tử tuyến tính liên tục thực và dương đi từ X vào Y . Trong suốt chương này, chúng tôi
luôn giả sử rằng các không gian được xét đến là các không gian Banach phức có thứ tự.
Định nghĩa 1.1.1. [35] Toán tử đóng A : X −→ X được gọi là toán tử Metzler nếu tồn
tại ω ∈ R sao cho (ω, ∞) ⊂ ρ (A) và R(t, A) là toán tử dương với mọi t ∈ (ω, ∞).

Toán tử Metzler còn được gọi là toán tử có phổ dương và được giới thiệu trong [6].
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số tính chất quan trọng của toán tử dương và toán tử
Metzler.
Định lý 1.1.2. [79] Cho T ∈ L + (X ), ta có
11


(a) r(T) ∈ σ(T);
(b) R(λ, T) ≥ 0 khi và chỉ khi λ ∈ R và λ > r(T).
Định lý 1.1.3. [35] Cho A là toán tử Metzler trên X , ta có
(a) s(A) ∈ σ(A) và s(A) = t − [r(R(t, A))]−1, ∀ t > s(A);
(b) hàm số R(·, A) là dương và giảm dần với t > s(A)
s(A) < t 1 ≤ t 2 =⇒ 0 ≤ R(t 2 , A) ≤ R(t 1, A);

(c) nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì R(t, A) là toán tử dương khi và chỉ khi
t > s(A);

(d) |ER(λ, A)x| ≤ ER(ℜλ, A)| x|, ℜλ > s(A), x ∈ X , với E ∈ L + (X ,Y ).

Bây giờ, chúng tôi giả sử rằng toán tử A bị nhiễu với cấu trúc như sau
N

(1.2)

D i ∆i E i ,

A → A ∆ := A +
i=1

trong đó, D i ∈ L (U i , X ), E i ∈ L (X ,Yi ), i ∈ N := {1, ..., N }, là các toán tử xác định cấu
trúc của nhiễu và ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N , là các toán tử chưa biết.
Hàm truyền G i j : ρ (A) → L (U j ,Yi ) gắn với bộ các toán tử (A, D i , E j ) được định
nghĩa bởi
G i j (λ) := E i R(λ, A)D j , λ ∈ ρ (A), i, j ∈ N.

Ta có hàm truyền G i j (·) là giải tích trên ρ (A).
Mệnh đề 1.1.4. Cho λ ∈ ρ (A) và ∆ i ∈ L(Yi ,U i ), i ∈ N , nếu
N

||∆ i || <
i=1

1
,
max ||G i j (λ)||
i, j ∈ N

thì λ ∈ ρ (A ∆ ).
12


Chứng minh. Ta trang bị cho không gian Banach tích U1 × . .. × U N chuẩn sau
|| u|| = max || u i ||, u = (u 1, .. . , u N ), u i ∈ U i , i ∈ N.
i∈ N

Đặt





∆1 . ..

D=

D 1 . .. D N

 .
.
, ∆=
 .

0

Ta có





E1

0

 . 
.. 
 .. 
,
E
=
. 




...

. .. ∆ N

EN




∆1G 11 (λ)

∆1G 12 (λ)

···

∆1G 1N (λ)


 ∆ G (λ) ∆ G (λ) · · · ∆ G (λ)
2 22
2 2N
 2 21
∆ER(λ, A)D = 

···
···
···
···

∆ N G N1 (λ) ∆ N G N2 (λ) · · · ∆ N G N N (λ)








Hơn nữa,
N

||∆ER(λ, A)D ||L (U1×...×UN ) ≤ max

||∆ i G i j (λ)|| < 1.

i∈ N j =1

Do đó, toán tử [I − ∆ER(λ, A)D] là khả nghịch. Suy ra toán tử [I − D ∆ER(λ, A)] cũng
khả nghịch và
[I − D ∆ER(λ, A)]−1 = I + D[I − ∆ER(λ, A)D]−1∆ER(λ, A).

Ngoài ra,
[λ I − (A + D ∆E)]−1 = R(λ, A)[I − D ∆ER(λ, A)]−1

Hay λ ∈ ρ (A + D ∆E) = ρ (A +

N
i=1 D i ∆ i E i ).

Định nghĩa 1.1.5. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz. Các bán kính ổn định (Hurwitz)
thực, phức và dương của A đối với nhiễu cấu trúc (1.2) được định nghĩa như sau
N

||∆ i || : ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) ⊂ C− },

r C = inf{
i=1
N

r R = inf{
i=1
N

r + = inf{

||∆ i || : ∆ i ∈ L R (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) ⊂ C− },
||∆ i || : ∆ i ∈ L + (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) ⊂ C− },

i=1

trong đó inf = +∞.
13


Định lý 1.1.6. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz, ta có
1
1
.
≤ rC ≤
max sup ||G i j (s)||
max sup ||G ii (s)||
i, j ∈ N ℜs≥0

i∈ N ℜs≥0

Hơn nữa, nếu D i = D j (hoặc E i = E j ) với mọi i, j ∈ N , thì
rC =

1
.
max sup ||G ii (s)||
i∈ N ℜs≥0

Chứng minh. Giả sử rằng
rC <

1
max sup ||G i j (s)||
i, j ∈ N ℜs≥0

Theo định nghĩa của bán kính ổn định phức, suy ra tồn tại (∆1, ..., ∆ N ), ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈
N , và λ ∈ C với ℜλ ≥ 0 sao cho λ ∈ σ(A ∆ ) và
N

||∆ i || <
i=1

1
,
max ||G i j (λ)||
i, j ∈ N

và σ(A ∆ ) ⊂ C− . Sử dụng Mệnh đề 1.1.4, từ bất đẳng thức trên ta suy ra λ ∈ ρ (A ∆ ) . Điều
này là mâu thuẫn, nên suy ra
rC ≥

1
max sup ||G i j (s)||
i, j ∈ N ℜs≥0

Điều còn lại cần phải chứng minh là
rC ≤

1
.
max sup ||G ii (s)||
i∈ N ℜs≥0

Thật vậy, xét λ ∈ C thỏaℜλ ≥ 0, i ∈ N và ε > 0 bất kỳ, thì sẽ tồn tại u ∈ U i thỏa mãn
|| u|| = 1
||G (λ)|| ≥ ||G (λ)u|| ≥ ||G (λ)|| − ε
ii
ii
ii

Sử dụng định lý Hahn-Banach, suy ra tồn tại y∗ ∈ Yi∗ sao cho
14



|| y∗ || = 1
 y∗ (G (λ)u) = ||G (λ)u||
ii
ii

Xét toán tử ∆ : Yi → U i được định nghĩa bởi
∆y =

1
y∗ (y)u, ∀ y ∈ Yi .
||G ii (λ)u||

Ta có ∆ ∈ L (Yi ,U i ) và
||∆|| ≤

1
1
≤
||G ii (λ)u|| ||G ii (λ)|| − ε

Xét các toán tử nhiễu (∆1 , ..., ∆ N ) được
 định nghĩa bởi
∆, j = i
∆j =
0, j = i

Ta có

N
j =1 ||∆ j || = ||∆||,

và (A +

j ∈ N.

N
j =1 D j ∆ j E j )x

= λ x, với x = R(λ, A)D u ∈ D (A). Từ

đó suy ra λ ∈ σ(A ∆). Do đó, theo định nghĩa của bán kính ổn định phức r C thì
N

||∆ i || = ||∆|| ≤

rC ≤
i=1

1
.
||G ii (λ)|| − ε

Cho ε tiến về 0 ta có được điều cần phải chứng minh. Hơn nữa, nếu D i = D j , ∀ i, j ∈ N
(hoặc E i = E j , ∀ i, j ∈ N ) thì theo định nghĩa của hàm truyền ta có G ii (s) = G i j (s), ∀ i, j ∈
N (hoặc G j j (s) = G i j (s), ∀ i, j ∈ N ). Từ đó, định lý được chứng minh xong.

Chú ý 1.1.7. Nếu toán tử A là ổn định Hurwitz thì hàm truyền G i j (.) là giải tích trên
C− ⊂ ρ (A). Nên theo nguyên lý cực đại ta có
sup ||G i j (s)|| = sup ||G i j (ıs)||.
s∈R

λ∈C−

Định lý 1.1.8. Cho toán tử Metzler A là ổn định Hurwitz và D i , E i , i ∈ N , là các toán
tử dương. Nếu D i = D j (hoặc E i = E j ) với mọi i, j ∈ N thì
rC = rR = r+ =

1
.
max ||G ii (0)||
i∈ N

15


Chứng minh. Vì s(A) < 0 và E i , D i , i ∈ N , là các toán tử dương, nên theo Định lý
1.1.3 ta có
0 ≤ G ii (t 2 ) ≤ G ii (t 1) và G ii (t 2) ≤ G ii (t 1 ) , ∀ i ∈ N, 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ,
G ii (λ) ≤ G ii (ℜλ) ≤ G ii (0) , ∀λ ∈ C, ℜλ ≥ 0.

Do đó, từ Định lý 1.1.6, suy ra
rC =

1
.
max ||G ii (0)||
i∈ N

Ngoài ra, theo định nghĩa ta có
r C ≤ r R ≤ r +.

Nên việc còn lại là chứng minh
r+ ≤

1
.
max ||G ii (0)||
i∈ N

Việc này được chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 bằng cách sử dụng định lý
Krein-Rutman thay cho định lý Hahn-Banach để xây dựng nhiễu cụ thể.
Định lý 1.1.6 và 1.1.8 mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều các kết quả của [87]. Kỹ

thuật chứng minh nằm chủ yếu ở Mệnh đề 1.1.4 khi chọn chuẩn vô cùng cho không gian
tích. Khó khăn của chứng minh này là không thể sử dụng kỹ thuật như trong trường hợp
hữu hạn chiều, khi mà các bất đẳng thức được đánh giá thông qua các đẳng thức nhờ sự
tồn tại của vectơ riêng - xem [87].

1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng
Gọi (S(t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục được sinh bởi toán tử (A, D (A)) trên không gian
Banach X , chận trên tăng trưởng của (A, D (A)) được định nghĩa bởi
ω1 (A) := inf{ω ∈ R : ∃ M > 0, ||S(t)x|| ≤ M eω t || x||D (A), ∀ t ≥ 0, x ∈ D (A)},

với || x||D (A) := x + Ax . Nửa nhóm (S(t)) t≥0 (hay toán tử A ) được gọi là ổn định mũ
nếu ω1 (A) < 0. Cần chú ý là
s(A) ≤ ω1 (A) < ∞
16


và bất đẳng thức chặt có thể xảy ra, xem [36, 86].
Mệnh đề 1.2.1. [84, tr. 357] Nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì s(A) = ω1 (A).
Cho p ∈ [1, ∞), các số thực không âm 0 ≤ h 1 < h 2 < ... < h N =: h, A 1 , ..., A N là các
toán tử bị chận và A 0 sinh nửa nhóm liên tục (T(t)) t≥0 trên X , ta viết lại một cách tường
minh hệ (1.1) như sau

N



˙
=
A
u(t)

+
A i u(t − h i), t ≥ 0,
u(t)

0


i=1

(1.3)

u(0) = x,





 u(t) = f (t), t ∈ [− h,0).
p

Trong đó, x ∈ X và f ∈ L p ([− h,0); X ) là các giá trị đầu. Hàm u(·) ∈ L l oc ([− h, +∞); X )
được gọi là nghiệm của(1.1) nếu

T(t)x +

u(t) =

t
0 T(t − s)


 f (t), t ∈ [− h,0).

N

A i u(s − h i)ds, t ≥ 0,
i=1

Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M > 0 và ω > 0 sao cho nghiệm u(t) của
(1.3) thỏa
|| u(t)|| ≤ M e−ω t (|| x|| + || f ||L p([−h,0);X ) ), t ≥ 0.

Để nghiên cứu các nghiệm bằng phương pháp nửa nhóm, chúng ta xem xét không
gian tích sau
X := X × L p ([− h,0); X ),

được trang bị chuẩn ||(x, y)|| := || x|| + || y||L p([−h,0);X ) ; và toán tử A trên X được định
nghĩa bởi
N

A (x, y) := (A 0 x +

A i y(h i ), y ),
i=1

với miền xác định
D (A ) := {(x, y) ∈ X : y ∈ W 1,p ([− h,0); X ), y(0) = x ∈ D (A 0 )},

trong đó, W 1,p ([− h,0); X ) ký hiệu tập các hàm y(.) nhận giá trị trên X liên tục trên
[− h,0) và có đạo hàm thỏa y (t) ∈ L p ([− h,0); X ). Theo [8, 36], A sinh nửa nhóm liên

17


tục (T (t)) t≥0 được định nghĩa bởi
(T (t))(x, f ) := (u(t), u t), t ≥ 0,

với u t(s) := u(t + s), s ∈ [− h,0); hơn nữa, hệ (1.1) là ổn định mũ khi và chỉ khi nửa nhóm
(T (t)) t≥0 là ổn định mũ, hay ω1 (A ) < 0.

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1), chúng tôi xét đến toán tử có dạng tựa đa
thức đặc trưng sau
N

(1.4)

P(λ) := A 0 +

e−λh i A i .

i=1

Tập phổ, tập giải và chận trên phổ của toán tử tựa đa thức P(·) được định nghĩa bởi
σ(P(·)) := {λ : λ ∈ σ(P(λ))},
ρ (P(·)) := C\σ(P(·)),

s(P(·)) := sup{ℜλ : λ ∈ σ(P(·))}.

Mệnh đề 1.2.2. [36] Ta có λ ∈ ρ (A ) khi và chỉ khi λ ∈ ρ (P(λ)). Lúc đó,
R(λ, A ) = E λ R(λ, P(λ))Hλ F + Tλ ,

với E λ ∈ L (X , X ), Hλ ∈ L (X , X ), F ∈ L (X , X ) và Tλ , ∈ L (X , X ) được định nghĩa
bởi
E λ x := (x, eλ· x);
0

eλs f (s)ds;

Hλ(x, f ) := x +
−h
N

F(x, f ) := (x,

χ[−h i ,0](·)A i f (− h i − ·));
i=1
0

eλ(·−s) f (s)ds).

Tλ (x, f ) := (0,
·

Chú ý 1.2.3. Từ mệnh đề trên, ta có ρ (A ) = ρ (P(.)), và s(A ) = s(P(·)). Do đó, nếu A
sinh nửa nhóm dương liên tục, như trong Mệnh đề 1.2.1, thì hệ (1.1) là ổn định mũ khi
và chỉ khi s(P(·)) < 0.
18


Như vậy, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1) dương có thể được thực hiện

thông qua nghiên cứu toán tử tựa đa thức (1.4). Tiếp theo, chúng tôi mở rộng định lý
Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4).
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tựa đa thức (1.4) được gọi là dương nếu A 0 sinh nửa nhóm
dương liên tục và A i ∈ L +(X ), với mọi i ∈ N .
Cần chú ý rằng nếu toán tử tựa đa thức (1.4) là dương thì hệ (1.1) cũng là một hệ
dương, nghĩa là với mọi giá trị đầu f ∈ L p ([− h,0); X +) và x ∈ X + , nghiệm tương ứng
u(t, x, f ), t ≥ 0 thỏa mãn u(t, x, f ) ∈ X + với mọi t ≥ 0. Nên ta có định nghĩa tương tự

rằng hệ (1.1) được gọi dương nếu toán tử tựa đa thức (1.4) tương ứng là dương. Nhờ
biểu diễn của R(·, A ) trong Mệnh đề 1.2.2, ta thu được kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.5. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, và λ1 , λ2 ∈ R, các phát biểu sau
đây là tương đương:
(a) R(λ1 , P(λ1 )) ≥ R(λ2 , P(λ2 )) ≥ 0;
(b) R(λ1 , A ) ≥ R(λ2 , A ) ≥ 0.
Chứng minh. Do E λ , Hλ , F, và Tλ là các toán tử dương với mọi λ ∈ R, ta suy ra
(a) ⇒ (b). Ngược lại, lấy f = 0, và x ∈ X , ta có
R(λ, A )(x,0) = R(λ, P(λ))(x).

Do đó, ta nhận được (b) ⇒ (a).
Chú ý rằng toán tử A sẽ sinh nửa nhóm dương liên tục nếu A 0 sinh nửa nhóm dương
liên tục và A i ∈ L + (X ), với mọi i ∈ N , xem [36]. Sử dụng Định lý 1.1.3 và Mệnh đề
1.2.5, ta thu được Định lý Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4), là một mở

rộng đối với kết quả trong [88].
Định lý 1.2.6. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, ta có
(a) s(P(·)) ∈ σ(P(·));
19


(b) R(λ, P(λ)) ∈ L + (X ) khi và chỉ khi λ > s(P(·)), với λ ∈ R;

(c) R(λ1 , P(λ1 )) ≥ R(λ2 , P(λ2 )) với λ2 ≥ λ1 > s(P(·)).

Định lý sau đây sẽ cho chúng ta một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ
(1.1) dương, nghĩa là A 0 sinh nửa nhóm dương liên tục và A i ∈ L + (X ) với mọi i ∈ N .

Định lý 1.2.7. Cho hệ (1.1) dương, các phát biểu sau là tương đương:
(a) Hệ (1.1) là ổn định mũ;
(b) s(A 0 + A 1 + ... + A N ) < 0;
(c) s(A 0 ) < 0 và r(− A 0−1 (A 1 + ... + A N )) < 1;
(d) (− A 0 − A 1 − ... − A N )−1 ≥ 0.
Chứng minh. Giả sử rằng hệ (1.1) là ổn định mũ. Vì A sinh nửa nhóm dương liên
tục nên s(A ) = s(P(·)) < 0. Sử dụng Định lý 1.1.3, phát biểu (a) tương đương với các
điều kiện: toán tử (− A 0 − A 1 − ... − A N ) khả nghịch và (− A 0 − A 1 − ... − A N )−1 ∈ L+ (X ).
Do đó, (a) ⇔ (d). Hơn nữa, toán tử (A 0 + A 1 + ... + A N ) sinh nửa nhóm dương liên tục,
xem [84, Hệ quả VI.1.11]. Nên theo Định lý 1.1.3, ta có (d) ⇔ (b).
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (b) ⇒ (c). Sử dụng Định lý 1.1.3 (a), ta thu được
(1.5)

s(A 0 ) = t 0 − [r(R(t 0, A 0 ))]−1 , ∀ t 0 > s(A 0),
s(A 0 + ... + A N ) = t 0 − [r(R(t 0, A 0 + ... + A N ))]−1, ∀ t 0 > s(A 0 + ... + A N ).

Ngoài ra, với t 0 đủ lớn, ta có
∞

[R(t 0, A 0 )(A 1 + ... + A N )]n .

R(t 0, A 0 + ... + A N ) = R(t 0, A 0 )
n=0

Vì vậy, R(t 0, A 0 + ... + A N ) ≥ R(t 0 , A 0 ) ≥ 0. Từ đây suy ra r[R(t 0, A 0 + ... + A N )] ≥

r[R(t 0, A 0 )]. Do đó, từ (1.5), ta có s(A 0 ) ≤ s(A 0 + A 1 ... + A N ). Như vậy, từ (b) ta suy ra

được s(A 0 ) < 0. Tương tự, ta có s(A 0 + 1t (A 1 ... + A N )) < 0 với mọi t ≥ 1. Mặt khác,
1
tI − (− A 0)−1 (A 1 + ... + A N ) = tA 0−1 [A 0 + (A 1 + ... + A N )],
t
20