Các dạng bài khảo sát hàm số luyện thi đại học cần biết

1

Các bài toán hàm số
Khối A-2002:

(

)

Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 3 1 m 2 x + m3 m 2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1 .
2. Tìm k để phơng trình x 3 + 3 x 2 + k 3 3k 2 = 0
3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khối B-2002:

(

)

Cho hàm số y = mx 4 + m 2 9 x 2 + 10

1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1 .
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Khối D-2002:
1.

Cho hàm số y = (

2m 1) x m 2

x 1
Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1 ( C ) .

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và hai trục toạ độ.
3. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = x .
Cho hàm số y = x 4 mx 2 + m 1 (1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8 .
2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x

Dự bị 1-2002:

Dự bị 2-2002:

2
Cho hàm số: y = x 2 x + m (1)
x2

(m là tham số)

1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [ 1;0] .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
3. Tìm a để phơng trình sau có nghiệm : 91+
Dự bị 3-2002:

Cho hàm số

y=

1t 2

( a + 2 ) 31+

1 t 2

1 3
1
x + mx 2 2 x 2m
3
3

+ 2a + 1 = 0.
(1)

(m là tham số)

1
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng d: y = 4 x + 2 .

1. Cho m =

5
2. Tìm m thuộc khoảng 0; ữ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đờng
6
x = 0, x = 2; y = 0 có diện tích bằng 4.
Dự bị 4-2002:

Cho hàm số: y = ( x m ) 3x
3

(m là tham số)

1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1 .
3. Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm:

x 1 3 3x k < 0

1
1
3
2
log 2 x + log 2 ( x 1) 1
3
2

x 2 + mx (1) (m là tham số)
1 x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số (1) bằng 10?
1
Dự bị 6-2002: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 3 2 x 2 + 3 x (1)
3
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.
Dự bị 5-2002:

Cho hàm số

y=


2
2
Cho hàm số y = mx + x + m
x 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Khối B-2003: Cho hàm số y = x 3 3 x 2 + m
1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2 .

Khối A-2003:

2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị với y = x 2 x + 4 ( C ) .
x2
2. Tìm m để đờng thẳng d m : y = mx + 2 2m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt.

Khối D-2003:

Dự bị 1-2003:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2 x2 4 x 3
2( x 1)

2. Tìm m để phơng trình 2 x 2 4 x 3 + 2m x 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
Dự bị 2-2003:

Cho hàm số y =

x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 + m + 4

(1) (m là tham số)
2( x + m)
1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của nó.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 .

(

)

Cho hàm số: y = ( x 1) x 2 + mx + m
(1) (m là tham số)
1. Tìm m để hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 4 .
2 x 1
Dự bị 4-2003: Cho hàm số: y =
(1)
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1)
2. Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông
góc với đờng thẳng IM.
2
2

Dự bị 5-2003: Cho hàm số y = x + 5 x + m + 6 (1) (m là tham số)
x+3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; +).
Dự bị 6-2003: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = 2 x 3 3 x 2 1 .
Dự bị 3-2003:

2. Gọi dk là đờng thẳng đi qua điểm M (0; 1) và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đờng thẳng dk cắt (C) tại ba
điểm phân biệt.

x 2 + 3x 3
(1).
2( x 1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1 .
1
Khối B-2004: Cho hàm số y = x3 2 x 2 + 3 x (1) có đồ thị (C)
3
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và cmr là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Khối D-2004: Cho hàm số y = x 3 3mx 2 + 9 x + 1 (1).
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 2 .
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số thuộc đờng thẳng y = x + 1 .
Khối A-2004:

Cho hàm số y =

2
Cho hàm số y = x 2mx + 2
(1) (m là tham số)

x 1
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B. Chứng minh rằng khi đó đ ờng thẳng AB song song với
đờng thẳng 2 x y 10 = 0 .

Dự bị 1-2004:


3

Dự bị 2-2004:

Cho hàm số y = x +

1
(1) có đồ thị (C)
x

1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M ( 1;7 ) .
Cho hàm số: y = x 4 2mx 2 + 1 (m là tham số) (1)
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Dự bị 4-2004: Cho hàm số: y = x 3 2mx 2 + m 2 x 2 (m là tham số) (1)
Dự bị 3-2004:

1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m đồ thị hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 1 .
x
Dự bị 5-2004: Cho hàm số: y =

(1) có đồ thị (C).
x +1
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Tìm các điểm M thuộc (C) có khoảng cách đến đờng thẳng 3x + 4 y = 0 bằng 1.
Dự bị 6-2004:

Cho hàm số: y = x 3 3 ( m + 1) x 2 + 3m ( m + 2 ) x + 1 (m là tham số) (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) khi m = 1 .
2. Chứng tỏ hàm số (C) luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định các giá trị của m để hàm số (C) đạt cực đại và cực
tiểu tại các điểm có hoành độ dơng.
1
Khối A-2005: Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = mx + (1).
x
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = .
4
1
2. Tìm m để hs (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( Cm ) đến tiệm cận xiên của ( Cm ) bằng
.
2
Khối B-2005:

Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y =

x 2 + ( m + 1) x + m + 1

(1).
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1 .

2. CMR với mọi m, ( Cm ) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

1 3 m 2 1
x x + (1).
3
2
3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 2 .

Khối D-2005:

20 .

Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y =

2. Gọi M là điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song với đờng thẳng 5 x y = 0 .

x 2 + 2mx + 1 3m (*) (m là tham số)
xm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
2
Dự bị 2-2005: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x + x + 1
x +1
2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M ( 1;0 ) và tiếp xúc với đồ thị (C).
Dự bị 1-2005:

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:

Dự bị 3-2005:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 4 6 x 2 + 5 .

y=

2. Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt x 4 6 x 2 log 2 m = 0 .
Dự bị 4-2005:

2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x + 3 x + 3 .
x +1


4

2. Tìm m để phơng trình

x 2 + 3x + 3
= m có bốn nghiệm phân biệt.
x +1

2
Cho hàm số: y = x + 2 x + 2 (*) có đồ thị (C)
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I.
Dự bị 6-2005: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = x 3 + ( 2m + 1) x 2 m 1 (1) (m là tham số).

Dự bị 5-2005:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = 2mx m 1 .
Khối A-2006:

1. Khảo cát và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2 x 3 9 x 2 + 12 x 4
3

2. Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x 9 x 2 + 12 x = m
2
Cho hàm số y = x + x 1 ( C )
x+2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Khối D-2006: Cho hàm số y = x 3 3 x + 2 ( C )

Khối B-2006:

1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua A ( 3; 20 ) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 3 điểm
phân biệt.
Dự bị 1-2006:

2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 2 x + 5 ( C )
x +1

(

)

2. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để pt sau có hai nghiệm dơng phân biệt: x 2 + 2 x + 5 = m 2 + 2m + 5 ( x + 1)
4
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 x 2 1 ( C )
4
2. Viết phơng trình các đờng thẳng đi qua A ( 0; 2 ) và tiếp xúc với (C).

(

Dự bị 2-2006:

Dự bị 3-2006:

)

Cho hàm số y = x 3 + ( 1 2m ) x 2 + ( 2 m ) x + m + 2 (m là tham số)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 2 .
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu
nhỏ hơn 1.
2
Cho hàm số y = x x 1
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) .

Dự bị 4-2006:

2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến đi qua A ( 0; 5 ) .
3
Cho hàm số y = x + x 2 + 3 x 11
3

3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.

Dự bị 5-2006:

2. Tìm trên đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Dự bị 6-2006:

Cho hàm số y =

x+3
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm M ( xo ; yo ) thuộc đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt các tiệm cận của ( C ) tại các điểm A và B.
Chứng minh M là trung điểm của AB.


5

Khối A-2007:

Cho hàm số: y =

x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m
x+2

(1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với .

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành
một tam giác vuông tại O.
Khối B-2007:

(

)

Cho hàm số: y = x 3 + 3 x 2 + 3 m 2 1 x 3m 2 1 (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 .
2. Tìm m để h/s (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị h/s (1) cách đều gốc toạ độ O.
Khối D-2007:

Cho hàm số: y =

2x
x +1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã m = 1 cho.
2. Tìm điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có SOAB =
Dự bị 1-2007:

Cho hàm số: y =

1
.
4

x2 + 4x 3

x2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. CMR tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đờng tiệm cận của nó là hằng số.

m
( Cm )
x2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị ( Cm ) có các cực trị tại các điểm A, B sao cho đờng thẳng AB đi qua gốc tọa độ.

Dự bị 2-2007:

Cho hàm số: y = x + m +

Dự bị 3-2007: Cho hàm số: y = 2 x 3 + 6 x 2 5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đó qua điểm A ( 1; 13) .

m
( Cm )
2 x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 .
2. Tìm m để đồ thị ( Cm ) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với ( Cm ) tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB

Dự bị 4-2007:

Cho hàm số: y = x + 1 +

vuông cân.

Dự bị 5-2007:

Cho hàm số: y =

x
( C)
x 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Lập phơng trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Dự bị 6-2007:

Cho hàm số: y =

x +1
( C)
2x +1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Lập phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox.
Khối A-2008:

Cho hàm số: y =

mx 2 + ( 3m 2 2 ) x 2

x + 3m
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .

(1)

2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đờng tiệm cận của hàm số (1) bằng 45o .
Khối B-2008:
Cho hàm số: y = 4 x 3 6 x 2 + 1 (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( 1; 9 )
Khối D-2008:
Cho hàm số: y = x 3 3 x 2 + 4
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đồ thị đi qua điểm I ( 1; 2 ) với hệ số góc k ( k > 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba
điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB.


6

Dự bị 1-2008:

Cho hàm số: y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm A ( 1; 2 ) .
Dự bị 2-2008: Cho hàm số: y = x 4 8 x 2 +7 (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đờng thẳng y = mx 9 tiếp xúc với đồ thị hàm số (1).
Dự bị 3-2008:

Cho hàm số: y = x 3 3 x 2 3m ( m + 2 ) x 1 (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 .

2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu.
Dự bị 4-2008:

Cho hàm số: y =

x 2 + ( 3m 2 ) x + 1 2m

x+2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .

(1)

2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên tong khoảng xác định của nó.

3x + 1
(1)
x +1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .

Dự bị 5-2008:

Cho hàm số: y =

2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục toạ độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm M ( 2;5 ) .
Cho hàm số: y = x 3 + 3 x 2 + mx 2 (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 .

Dự bị 6-2008:

2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Khối A-2009:

Cho hàm số: y =

x+2
(1)
2x + 3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần l ợt tại hai điểm
phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Khối B-2009:
1. Cho hàm số: y = 2 x 4 4 x 2 (1)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Với giá trị nào của m, phơng trình x 2 x 2 2 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt?
2
2. Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x 1 tại hai điểm phân biệt A, B
x
sao cho AB = 4.
Khối D-2009:
1. Cho hàm số: y = x 4 (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị là (Cm ), m là tham số.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
b. Tìm m để đờng thẳng y = 1 cắt đồ thị (Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
2
2. Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y = x + x 1 tại hai điểm phân biệt
x
A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.