Đề và đáp án thi thử môn toán THPT tham khảo thi đại học (15)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Trường PTTH Quỳnh Lưu 3

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1
NĂM HỌC 2015 – 2016.
Môn: Toán. Thời gian làm bài 180 phút .

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 .
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  2ln x trên 1;e .
1

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân sau: I    x  1.e x dx .
0

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  5  0 trên tập số phức. Hãy tính giá
trị của biểu thức A  z1  z2 .
2

2

b) Giải phương trình: log3  x  1  log

3

5  x  .

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;2;1) và mặt phẳng
( P) : x  2 y  2 z  4  0 . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tọa
độ hình chiếu của I trên (P).
Câu 6 (1,0 điểm ).



1
    ,sin   . Tính giá trị của biểu thức P  sin 2  cos 2 .
2
3
b) Năm học 2015 – 2016 trường THPT Quỳnh Lưu 3 có 39 lớp được chia đều cho ba khối
( khối 10, 11, 12), mỗi khối gồm 13 lớp. Đoàn trường lấy ngẫu nhiên 4 lớp để tổ chức
lễ ra quân làm lao động vệ sinh môi trường cho địa phương vào Tháng thanh niên. Tính
xác suất để các lớp được chọn có trong cả ba khối.
a) Cho

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình
chiếu đỉnh S lên mặt đáy là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Biết góc hợp bởi SC và mặt
đáy là 450.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.


2 x  2. y  2  y  8 x  y  4 x
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
.

 xy  2 x  11  12  x  y  7  3x  0
Câu 9 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường tròn
nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại các điểm D,E,F. Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC biết D(3;1), trung điểm của BC là M(4;2), phương trình EF: 3x-y-2=0
và B có hoành độ bé hơn 4.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số dương x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1
1
2
.
P


3
x2  3 y 2
3x 2  y 2 3  x  y 
-------------------------------/ Hết /----------------------------Họ và tên thí sinh:.........................................................SBD:.............


Câu

ý

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1 NĂM HỌC 2015 – 2016 .
Trường THPT Quỳnh Lưu 3
Nội dung
1) Tập xác định:
2) Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên:
y '  3x2  6 x; y '  0  3x 2  6 x  0  x  0  x  2
y '  0  x  0  x  2; y '  0  0  x  2
Vậy, hàm số đồng biến trên hai khoảng  ;0  và  2; 
hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 
b) Cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yC Đ=1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và yCT=-3

c) Giới hạn tại vô cực.
  3 1 
lim y  lim x3  3x 2  1  lim  x3 1   3    ; lim y  
x 
x 
x 
x 
  x x 
d) Bảng biến thiên



x
y’
1
1đ

Điểm

0,25

0,25



-
+

0
0

1

-

2
0

+
+

+

0,25

y
-

-3

3. Đồ thị
Đồ thị có tâm đối xứng I(1;-1) và đi qua các điểm (0;1), (2;3), (-1;-3),(3;1).

0,25

2
1đ

2
Ta có f ( x)  x  2ln x; f '( x)  1  ; f '( x)  0  x  2  1; e 
x

f (1)  1; f (2)  2  2ln 2; f (e)  e  2
Vậy, min y  2  2ln 2;max y  1
1;e

1;e

1

0,5

0,5


1

1

I    x  1.e dx    x  1de x
x

3
1đ

0

  x  1 e

0,5

0

1

x 1
0

  e x dx  2e  1  e x

1
0

 e.

0

0,5

Vậy, I=e.
2
a Phương trình z  2 z  5  0 có  '  4  0 nên nó có hai nghiệm phức phân
0,5 biệt là z1=1+2i và z2=1-2i.
2
2
2
2
đ Khi đó, z1  z2  5 . Do đó A  z1  z2  10

4
1đ

5
1đ

0,25

Điều kiện: -1b. log3  x  1  log  5  x   log3  x  1  log3  5  x 2
3
0,5
2
2
đ  x  1   5  x   x  11x  24  0  x  3  x  8
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm thỏa mãn là x=3.
1.1  2.2  2.1  4
r

d
I
,(
P
)

 1.
Khoảng
cách
từ
I
đến
mp(P)
là



a
2
2
2
1 2 2
0,5
Vì M mặt cầu (S) tiếp xúc với mp(P) nên bán kính mặt cầu r=1
đ
2
2
2
Phương trình mặt cầu là (S):  x  1   y  2    z  1  1
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P), d có véctơ chỉ phương là
x 1 y  2 z 1
n  1;2;2  nên nó có phương trình


.
1
2
2
Gọi H là hình chiếu cần tìm thì H là giao điểm của d và (P), tọa độ H là nghiệm
b
2

0,5
x  3
x  2 y  2z  4


đ
4  2 4 1


của hệ phương trình 2 x  y  0
 y  ,H  ; ; 
3  3 3 3
y  z 1


1

z  3

8
Ta có cos 2   1  sin 2  
9
a
2 2
 
0,5 Vì    ;   nên cos   0 , do đó cos   
3
2 
đ
Khi đó, P  sin 2  cos 2  2sin  cos   1  2sin 2  

6
1đ

0,25

74 2
9

Gọi không gian mẫu là  : ‘ Chọn ngẫu nhiên 5 lớp trong 39 lớp ‘ thì
n     C394  82251
Gọi A là biến cố “ chọn được 4 lớp có trong cả ba khối”.
2 1
1
b TH1: khối 10 hai lớp, khối 11 một lớp và khối 12 một lớp có C13C13C13 cách
0,5 chọn
đ TH2: khối 10 một lớp, khối 11 hai lớp và khối 12 một lớp có C131 C132 C131 cách
chọn
TH3: khối 10 một lớp, khối 11 một lớp và khối 12 hai lớp có C131 C131 C132 cách
chọn.

2

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25


Do đó n( A)  3C132 C131 C131  39546
n( A) 39546 338


 48%
Xác suất cần tìm là P( A) 
n() 82251 703

0,25

S

G

D

A
H

a
0,5
đ

B

C
F

E

Vì HC là hình chiếu của SC trên mặt đáy nên theo giả thiết SCH  450 . Do đó,
7
1đ

SH  HC.tan SCH  HB2  BC 2 .tan 450  a 5
Diện tích hình vuông ABCD là 4a2
Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là
1
1
4a 3 5
2
V  SH .S ABCD  a 5.4a 
(dvtt ) .
3
3
3
Dựng hình bình hành BDCE, khi đó d  SC , BD   d  BD,( SCE   d  B,( SCE ) 
d  B,( SCE )  EB 2
2

  d  B,( SCE )   d ( H ,( SCE ))
d ( H ,( SCE )) EH 3
3

Gọi F và G lần lượt là hình chiếu của H lên EC và SF ta có
CE  SH 
  CE  ( SHF )  CE  HG , mà HG  SF nên HG   SCE  hay
CE  HF 

0,25

0,25

Mặt khác,

b
0,5 d  H ,  SCE    HG
đ
1
1
1
1
16
1
2
19




 2 2 
Ta có
2
2

2
2
2
HG
SH
HF
SH
9 AC
5a 9a
45a 2
3a 5
Suy ra d  H ,  SCE    HG =
19
2a 5
Vậy, khoảng cách giữa SC và BD là
.
19
8
1đ


(1)
2 x  2. y  2  y  8 x  y  4 x
Xét hệ 

 xy  2 x  11  12  x  y  7  3x  0 (2)

3

0,25

0,25


7
Điều kiện 2  x  , y  0
3
Ta có
4x  8  y
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8
2
4x  y  8
2  y  8 x   y  8 4 x 
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8
2
Suy ra 2 x  2. y  2  y  8 x  y  4 x . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x-8
2 x  2. y  4( x  2) y 

Như vậy, pt(1)  y=4x-8. Thế vào pt(2) ta có:
4 x 2  6 x  11  4  3 x  7  3 x  0

 4  x 2  x  3 



 

4  3x  x  1 

x

2

 x  3



7  3x  x  2  0

x

2

 x  3


 7
 0  do x   2;  
4  3x  x  1
7  3x  x  2
 3

1
1


  x 2  x  3  4 

0
4  3x  x  1

7  3x  x  2 

 x2  x  3  0
()


1
1


 4 (3)
 4  3x  x  1
7  3x  x  2
 4  x  x  3 
2



0,25

1  13
1  13
x
2
2
1  13
Đối chiếu điều kiện ta có x 
, hệ có nghiệm
2

0,25

+ pt ()  x 2  x  3  0  x 

 1  13

;2 13  6 

 2


0,25

+Xét pt(3)
1
1
 7
x   2;   4  3x  x  1  3  10  6 

4  3x  x  1 6
 3
Xét hàm số
3
2 7  3x  3
 7
x   2;  : g ( x)  7  3x  x  2  g '( x)  
1 
0
2 7  3x
2 7  3x

 3

1
7 1
 g ( x)  g    
3
7  3x  x  2
3 3
Do đó,
1
1
1
 7

  3  4 hay pt(3) vô nghiệm
x   2;  :
4  3x  x  1
7  3x  x  2 6
 3
 1  13

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 
;2 13  6 
 2


4

0,25

9
1đ

Phương trình đường thẳng BC: x-y-2=0
Gọi H là giao điểm của EF và BC ta có tọa độ H là nghiệm của hệ
3x  y  2  0
x  0

, H (0; 2) . Từ các giả thiết ta thấy H nằm trên tia đối

x  y  2  0
 y  2
của tia BC.
Ta chứng minh MD.MH=MB2.
Thật vậy, qua B kẻ đường thẳng song song với CA cắt HE tại G. Khi đó ta có
HB GB DB


 HB.DC  DB.HC . Vì M là trung
BG=BF=BD đồng thời
HC CE DC
điểm đoạn BC nên ta được
 MH  MB  MB  MD    MB  MD  MH  MB   MH .MD  MB 2 .
Gọi B(t;t-2),t<4 ta có 2  t  4  8  t  4  2  t  2, B(2;0)  C(6;4) .
2

Phương trình đường tròn tâm B bán kính BD là (T):  x  2  y 2  2 .
Đường thẳng EF cắt (T) tại G và F có tọa độ là nghiệm của hệ
3


x
 x  2 2  y 2  2

x  1 
5 . Vì G nằm giữa H và F nên



y 1 y   1
3x  y  2  0

5
3 1
F 1;1 , G  ;   . Khi đó phương trình AB: x+y-2=0, AC đi qua C và song
5 5
song với BG nên có pt: x-7y+22=0. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
x  y  2  0
 x  1

, A(1;3)

 x  7 y  22  0
y  3
Vậy, A(-1;3),B(2;0),C(6;4).

0,25

0,25

2

Xét biểu thức P 

10
1đ

1
x2  3 y 2


1
1


 x2  3 y 2
3x 2  y 2


1
3x 2  y 2

1

Trước hết ta chứng minh
Thật vậy,



x2  3 y 2





2
3 x  y 

1
3x 2  y 2

3



2
x y


8  x2  y 2 


1
1
  2 2
 2
 2
2
2 


x

3
y
3
x

y
 x  3 y 2 3x2  y 2 



2

5

0,5


Xét

x


8  x2  y 2 

2



 3 y 2  3x 2  y 2 

x

4  x  y 

2

4

 x  y

2

2
4  2  x 2  y 2   x  y    x 2  3 y 2  3x 2  y 2  



2
2
2
2
2
 x  3 y  3x  y   x  y 

4

 3 y 2  3x 2  y 2   x  y 

2

0

1
x2  3 y 2

1



3x 2  y 2



Dấu “=” xẩy ra khi x=y
2
2
Như vậy, P 

x  y 3  x  y 3
Đặt, t 

2
x y

0,5

1
,t  0.

x y

Xét hàm số f (t )  2t 

2t 3
 f '(t )  2  2t 2 ; f '(t )  0  t  1
3

Ta có bảng biến thiên
t
f’(t)

-
-

-1
0

1
0
4/3

+

+
-

f(t)

Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là 4/3 khi t=1.

1
Vậy, GTLN của P là 4/3 khi x  y 
2
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

6

0,5