Đề và đáp án thi thử môn toán THPT tham khảo thi đại học (37)

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT
NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

m

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

2x  1
có đồ thị (C ) .
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C ) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm
cận của (C ) là nhỏ nhất.
Câu 2 (1 điểm).
3

1. Tính giá trị của biểu thức P  sin x.cos3x  cos 2 x biết cos2x  , x    ;0  .
Cho hàm số y 

VN
.co

Câu 1 (2 điểm).

5

3

 2



2. Giải phương trình: log 8 ( x  1)  log 2 ( x  2)  2 log 4 (3 x  2) .
Câu 3 (1 điểm).
1. Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2 x 

1

x

3

)10 (với x  0 )

TH

2. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách đỗ ở sân ga. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ
trống. Có 4 vị khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau, chọn ngẫu
nhiên một toa. Tính xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.
( x  1)ln x
Câu 4 (1 điểm). Tìm nguyên hàm 
dx .
x
Câu 5 (1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm

w.
MA

A(4;-1;5) và điểm B(-2;7;5). Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mp(Oxy).
Câu 6 (1 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy
bằng 60 0 . Gọi M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BM.
Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2),
3 
tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;2  , tâm đường tròn nội tiếp K(2,1). Tìm tọa độ đỉnh B biết
2 
xB  3.
Giải bất phương trình x 3  x  2  2 3 3x  2 .

ww

Câu 8 (1 điểm).

Câu 9 (1 điểm). Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x  y  z 

3
. Tìm giá trị nhỏ
2

nhất của P  x3  y 3  z 3  x 2 y 2 z 2 .

---------------------HẾT---------------------Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:…………………………………………………SBD:…………………………………


www.MATHVN.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

FB.com/mathvn.com

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT
NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN

Câu
Ý
1
1
(2điểm)

y=

Điểm

Nội dung

2x + 1
.
x +1

TXĐ: R\{-1}

1
y' =

> 0 ∀x ≠ −1
( x + 1)2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;-1) và (-1;+∞)
2x +1
2x +1
= −∞; lim
= +∞ ⇒ đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =- 1
Giới hạn: lim
x →−1+ x + 1
x →−1− x + 1
2x +1
2x +1
= 2; lim
= 2 ⇒ đường tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2
lim
x →+∞ x + 1
x →−∞ x + 1
bảng biến thiên
x
-∞
-1
+∞
y’
+
+
y

+∞

0,25

0,25

2

2

0,25

-∞

y
6

4

0,25

2

O

-5

5

x

-2

2




Gọi điểm M  a;2 −

1 
 thuộc đồ thị (C).
a +1

Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25


www.MATHVN.com
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ∆1 : x = −1 là d ( M ; ∆1 ) = a + 1

FB.com/mathvn.com

1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 2 là d ( M ; ∆ 2 ) =
a +1
1
≥2
Suy ra d ( M ; ∆1 ) + d ( M ; ∆ 2 ) = a + 1 +
a +1
Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc a = -2
Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2 khi M(0;1) hoặc M(-2;3)

2
1
(1điểm)

2

3
16
 π 
Vì cos2x = ⇒ sin 2 2 x = mà x ∈  − ;0  ⇒ sin 2 x < 0
5
25
 2 
4
Suy ra sin 2 x = −
5
sin 4 x − sin 2 x cos2x + 1 18
P = sin x.cos3x + cos 2 x =
+
=
2
2
25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Điều kiện: x > 1
Phương trình ⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = log 2 (3 x − 2)

0,25

⇔ log 2 ( x − 1)( x + 2) = log 2 (3x − 2)

 x = 0 (l )
⇔ ( x − 1)( x + 2) = (3x − 2) ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ 
 x = 2 (tm)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 .
3
1
(1điểm)

1

khai triển (2 x −

i

10

) = ∑ C (2 x )
10

x3

i =0

0,25

10 − i

i
10

5i
10 −
 1  10 i 10−i
i
2
2
(
1)
−
=
C
−
x
∑
10

3 
x  i =0


Hệ số của x là C10 .2 ( −1) = 11520
5

2

2

8

0,25

2

0,25

Vì mỗi vị khách có 3 lựa chọn lên một trong ba toa tàu , Suy ra số cách để 4 vị khách lên
4
tàu là : 3 = 81
3
Số cách chọn 3 vị khách trong 4 vị khách ngồi một toa là C4 = 4
Số cách chọn một toa trong ba toa là C3 = 3
Vị khách còn lại có 2 cách chọn lên 2 toa còn lại
Suy ra có 2.3.4=24 cách để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách .

0,25

1

24

0,25

8

Vậy xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách là: P = 81 = 27
4
(1điểm)

∫

( x + 1)ln x
ln x
dx = ∫ ln xdx + ∫
dx .
x
x

0,25

∫ ln xdx = x ln x − ∫ xd ln x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C

1

∫

ln x
1
dx = ∫ ln xd ln x = ln 2 x + C2
x

2

Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

0,25


www.MATHVN.com
Vậy I = x ln x − x +

5
(1điểm)

FB.com/mathvn.com

1 2
ln x + C
2

0,25

Gọi M(x;y;0) thuộc mặt phẳng Oxy là tâm hình vuông.

uuur
MA(4 − x; −1 − y;5)
uuur
MB(−2 − x;7 − y;5)

0,25

uuuruuur
 MAMB = 0
Vì ABCD là hình vuông nên tam giác MAB vuông cân tại M ⇔ 
 MA = MB
(4 − x)(−2 − x) + (−1 − y )(7 − y ) + 25 = 0
x = 1
⇔
⇔
2
2
2
2
(4 − x) + (−1 − y ) + 25 = (−2 − x) + (7 − y ) + 25  y = 3

0,25

0,25

Vậy M(1;3;0)
Vì M là trung điểm của AC và BD nên C(-2;7;-5); D(4;-1;-5)
6
(1
điểm)

+) Tính thể tích

0,25

S

Gọi H là trung điểm của AD.
Vì HB là hình chiếu của SB lên đáy nên

( SB;( ABCD)) = SBH = 600

0,25

K
A

B

I
H
E

Trong tam giác SBHcó SH = BH tan 60 =
0

VSABM

D

a 15
2

1
a 3 15

(đvtt)
= VSABCD =
2
12

+) Tính khoảng cách:
Dựng hình bình hành ABME
Vì BM//(SAE) ⇒ d ( SA, BM ) = d ( M ,( SAE )) = 2d ( D,( SAE ))

= 4d ( H ,( SAE ))
Kẻ HI ⊥ AE; HK ⊥ SI ,( I ∈ AE, K ∈ SI )
Chứng minh HK ⊥ ( SAE ) ⇒ d ( H ,( SAE )) = HK
DE. AH
a
=
Vì ∆AHI ∆AED ⇒ HI =
AE
2 5
1
1
1
304
a 15
Trong tam giác SHI có
=
+
=
⇒ HK =
2
2

2
2
HK
HI
SH
15a
4 19
a 15
Vậy d ( SA, BM ) =
19

Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com

C
M

0,25

0,25

0,25


www.MATHVN.com
7
(1
điểm)

FB.com/mathvn.com

Gọi D là giao của AK với đường tròn (I).
Phương trình đường thẳng AK là:
x+3y-5=0
1
Ta có KBD = ( ABC + BAC ) = BKD
2

A

K

I

Nên tam giác KBD cân tại D
B

0,25
C

D

Gọi D(5-3a,a) thuộc AK. Vì D khác A nên a ≠ 2 .Ta có
 a = 2(l )
3 2
3 2
2
2
ID = IA ⇔ (5 − 3a − ) + (a − 2) = (−1 − ) + (2 − 2) ⇔ 
1
a =

2
2

2
7 1
Suy ra D  ; 
2 2
2

2

0,25

Gọi B(x;y) (x>3)ta có hệ

3 2
25

2
(
x
−
)
+
(
y
−
2)
=
2

2

 IB = IA
 x + y − 3x − 4 y = 0
2
4
⇔
⇔ 2

2
DB
=
DK
7
1
5
2
2
 x + y − 7 x − y + 10 = 0

( x − ) + ( y − ) =

2
2
2
 x = 4; y = 2(tm)
 x 2 + y 2 − 3x − 4 y = 0 
⇔
⇔
5

5
 x = ; y = − (l )
4
x
−
3
y
−
10
=
0

8
2


0,25

0,25

Vậy B(4;2)
8
(1điểm)

x 3 − x + 2 ≤ 2 3 3x − 2
x 3 − 3x + 2 ≤ 2 3 3x − 2 − 2x

x − 3x + 2 ≤ 2
3

0,25

3x − 2 − x 3
x 2 + x 3 3x − 2 + 3 ( 3x − 2 )

2



2
3

≤0
(x − 3x + 2) 1 +
 x 2 + x 3 3x − 2 + 3 ( 3x − 2 )2 




2
>0
Chứng minh 1 +
 x 2 + x 3 3x − 2 + 3 ( 3x − 2 ) 2 



x = 1
3
⇔
(x

−
3x
+
2)
≤
0
⇔
 x ≤ −2
Suy ra bất phương trình

Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

0,25

0,25


www.MATHVN.com
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( −∞; −2] ∪ {1}
9
(1điểm)

FB.com/mathvn.com

1
2
3
3

3
2
2
2
Ta có x + y + z − 3 xyz = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx)
⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz + ( x + y + z )  ( x + y + z ) 2 − 3( xy + yz + zx ) 

Giả sử x =min {x,y,z} suy ra x ∈ [0; ]

= 3xyz +

0,25

27 9( xy + yz + zx)
−
8
2

27 9
− ( xy + yz + zx)
8 2
1
1 13
27 9
215 9
 9 13 
= ( xyz − ) 2 − + xyz +
− ( xy + yz + zx) ≥
− ( xy + zx) − yz  − x 0,25


8
64 4
8 2
64 2
2 4 

Ta có P = x + y + z + x y z = x y z + 3xyz +
3

3

3

2

2 2

2

2 2

1
9 13
 9 13 
 y + z   9 13 
Vì x ∈ [0; ] ⇒ −
x ≥ 0 ⇒ − yz  − x  ≥ − 
  − x
2
2 4

2 4 
 2  2 4 
2
215 9 3
1 3
  9 13 
Suy ra P ≥
− x( − x) −  − x   − x 
64 2 2
4 2
 2 4 
2

0,25

2

215 9 3
1 3
  9 13 
 1
Xét f ( x) =
− x( − x) −  − x   − x  , x ∈ 0; 
64 2 2
4 2
 2 4 
 2
1 25
 1
Hàm số f(x) nghịch biến trên 0;  ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) =

2 64
 2
Vậy GTLN của P bằng

25
1
đạt khi x = y = z =
64
2

Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

Đề Thi Thử Đại Học 2016 Đầy Đủ Các Môn: www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25