PHÂN TÍCH ĐỘNG lực HỌC CỦA dầm với điều KIỆN BIÊN THAY đổi BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu HẠN

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Công nghệ – ĐHQGHN cũng như các thầy cô trong Viện Cơ học –
Viện KHCN nói chung và các thầy cô giáo trong khoa Cơ học kỹ thuật và tự động hóa
nói riêng đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho em nhưng kiến thức, kinh nghiệm quy
báu trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo Nguyễn Việt Khoa, người thầy đã
tận tình giúp đỡ, trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình làm đồ án tốt
nghiệp.
Sau cùng em xin giửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè và người thân,
những người luôn động viên, đóng góp y kiến và giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và hoàn thành đồ án tốt nghiệp.
Chúc thầy cô, gia đình bạn bè mạnh khỏe và thành công!
Em xin chân thành cảm ơn!


TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Hiện nay, để mô tả điều kiện biên của kết cấu người ta thường sử dụng các mô
hình liên kết ly tưởng là ngàm, gối tựa, gối tựa,… Tuy nhiên, trong thực tế tính toán
thì một số chuyên gia đã nhận ra rằng những mô hình liên kết ly tưởng không còn phù
hợp với thực tế. Bài toán động lực học kết cấu với điều kiện biên thay đổi đã được đặt
ra và nhận được sự quan tâm của nhiều chuyên gia. Một hướng nghiên cứu của lĩnh
vực này là tính toán động lực học kết cấu khi thay đổi các phần tử của ma trận độ cứng
tổng thể K tương ứng với các mô hình liên kết có điều kiện biên thay đổi bằng phương
pháp phần tử hữuhạn. Do đó, đồ án của em muốn đi vào phân tích động lực học của
dầm với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung đồ án
tập trung trình bày phương pháp giải bài toán động lực học của dầm với điều kiện biên
thay đổi bằng phương pháp PTHH, trên cơ sở đó phát triển phần mềm tính toán để
phân tích động lực học của kết cấudầm khi điều kiện biên thay đổi.
Từ khóa: PTHH, Động lực học của dầm, điều kiện biên thay đổi.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đồ án tốt nghiệp: “Phân tích động lực học của dầm với điều
kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn”là công trình nghiên cứu của
bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Việt Khoa.
Các kết quả nêu trong đồ án là trung thực, không phải là sao chép toàn văn của
bất kỳ tài liệu, công trình nghiên cứu nào khác mà không chỉ rõ trong tài liệu tham
khảo.
Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2011
Tác giả ĐATN
Cao Văn Mai


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................i
TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP.............................................................ii
LỜI CAM ĐOAN............................................................................................................iii
MỤC LỤC........................................................................................................................iv
DANH MỤCHÌNH VẼ, ĐỒ THI...................................................................................vii
BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..........................................................viii
MỞ ĐẦU...........................................................................................................................1
Chương 1. ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY ĐỔI BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PTHH...................................................................................................3
Kết luận chương 1........................................................................................................23
Chương 3. PHÁT TRIỂN PHẦN MỀM MÔ PHỎNG SỐ............................................35
3.2.Modul tính toán phản ứng động học của kết cấu..................................................35
3.3.Modul tính toán sự thay đổi tần số của kết cấu.....................................................37
Kết luận chương 3........................................................................................................41
Chương 4. MÔ PHỎNG SỐ ĐỘNG LỰC HỌC DẦM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY

ĐỔI..................................................................................................................................42
4.3.1. Tính toán động lực học...................................................................................52
Kết luận chương 4........................................................................................................57
KẾT LUẬN.....................................................................................................................58
PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ CÔNG THỨC MA TRẬN KHỐI LƯỢNG, MA TRẬN ĐỘ
CỨNG, VECTOR LỰC..................................................................................................59
PHỤ LỤC 2: CODE PHẦN MỀM TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PTHH...................................................................................................................66
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................127




DANH MỤCHÌNH VẼ, ĐỒ THI
Hình 1: Rởi rạc hóa kết cấu..............................................................................................4
Hình 2: Chuyển vị tại nút của phần tử dầm......................................................................5
Hình 3: Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn..................................................................6
Hình 4: Quy đổi lực nút phần tử.......................................................................................8
Hình 5: Mô hình dầm ngàm - ngàm chuyển sang dầm ngàm – gối tựa.........................16
Hình 6: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm Công xôn..............................18
Hình 7: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm gối tựa – gối tựa....................20
Hình 8: Modul tính toán sự thay đổi tần số của kết cấu.................................................38
Hình 9: Đồ thị chuyển vị mô hình dầm 2 đầu ngàm sang dầm ngàm– gối tựa.............44
Hình 101: Sự biến đổi của tần số trong môi hình dầm 2 đầu ngàm sang dầm ngàm– gối
tựa....................................................................................................................................46
Hình 112: Đồ thị chuyển vị mô hình dầm ngàm – gôi di động sang dầm Công xôn....49
Hình 123:Sự biến đổi của tần số trong mô hình dầm ngàm – gối tựa sang dầm Công
xôn...................................................................................................................................51
Hình 134:Đồ thị chuyển vị mô hình dầm ngàm – gối tựa sang dầm gối tựa – gôi di
động.................................................................................................................................53

Hình 145: Sự biến đổi của tần số trong mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm
gối tựa – gôi di động.......................................................................................................54


BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
A
a1 , a2 ,..., a9

Diện tích mặt cắt
Các hệ số tích phân

[b]

Ma trận liên hệ Boolean

C

Ma trận cản

ĐATN

Đồ án tốt nghiệp

đkb

Điều kiện biên

E

Modul đàn hồi

F

Vector lực tổng thể

Fe

Vector lực phần tử

I

Moment quán tính mặt cắt ngang

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Ke

Ma trận độ cứng phần tử

L

Độ dài của toàn bộ kết cấu

l

Độ dài của phần tử

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Me

Ma trận khối lượng phần tử

N

Ma trận các hàm dạng

PTHH

Phương pháp phần tử hữu hạn

sk

Hệ số thay đổi điều kiện biên

U

Chuyển dịch

w

Độ võng

γ ,β
θ

Hệ số của thuật toán tích phân Newmark
Góc xoay

ω1 ;ω2

Tần số riêng thứ nhất và thứ hai

ξ2 ; ξ1

Hệ số cản modal tương ứng

λ, µ

Hệ số của công thức cản Rayleigh

∆t
ρ

Bước thời gian tính tích phân
Khối lượng riêng



MỞ ĐẦU
Trong thực tế, các kết cấu nói chung, kết cấu dầm nói riêng chịu tác động của
nhiều tải trọng khác nhau như: Tải trọng bản thân, tải trọng do con người gây ra, tải
trọng do nhiệt độ, sự co ngót, sự sụt lún không đều,… gây ra hư hỏng kết cấu, làm suy
giảm các điều kiện biên. Sự suy giảm, thay đổi của các điệu kiện biên dẫn đến ứng xử
của kết cấu cũng thay đổi theo. Ở mực độ nào đó nó có thể dẫn tới sự phá hủy một
phần kết cấu hoặc toàn bộ kết cấu gây thiệt hại về kinh tế, vật chất và con người. Do

đó, yêu cầu tìm hiểu sự ứng xử của kết cấu khi điều kiện biên thay đổi là vấn đề cần
thiết.
Xuất phát từ thực tế trên, em xin chọn đề tài: “Phân tích động lực học của dầm
với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn” để làm đồ án tốt
nghiệp.
Mục tiêu của đồ án là: Nghiên cứu, phân tích tính động lực học cầuvớiđiều kiện
biên thay đổi để xác định phản ứngvà đặc trưng động lực học của kết cấu.
Trong đồ án này, mô hình của dầm dưới dạng tác dụng của tải trọng di động với
điều kiện biên thay đổi sẽ được trình bày và giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
Các mô hình số được xây dựng, tính toán bằng phần mêm tính toán phân tích được em
phát triển dựa trên ly thuyết trên để phân tích đánh giá các phản ứng động lực học của
kết cấu dầm. Bố cục đồ án gồmphần mở đầu,4 chương và phần phụ lục:
MỞ ĐẦU - Giới thiệu đề tài, xác định mục tiêu, nội dung và phạm vi thực hiện
của đồ án tốt nghiệp.
Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY ĐỔI BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PTHH - Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn và một số mô hình
phần tử hữ hạn của dầm có điều kiện biên thay đổi.
Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP NEWMARK - Giới thiệu phương pháp Newmark, giải bài toán động lực học
bằng phương pháp Newmark.
Chương 3: PHÁT TRIỂN PHẦN MỀM MÔ PHỎNG SỐ - Giới thiệu về phần
mềm mô phỏng số đã pháp triển dựa trên cơ sở ly thuyết đã nêu ở chương 1 và chương
2. Phần mềm cũng là công cụ để phân tích tính toán động lực học của dầm với điều
kiện biên thay đổi (điều kiện biên không ly tưởng) ở chương 4.

1


Chương 4: PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC DẦM - Tập trung
phân tích phản ứng và đặc trưng động học của kết cấu dựa trên kết quả tính toán của

phần mềm đã phát triển.
KẾT LUẬN - Đánh giá đồ án, kết quả đã đạt được và các mặt còn hạn chế, từ đó
đưa ra định hướng phát triển nghiên cứu trong tương lai.
PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ CÔNG THỨC MA TRẬN KHỐI LƯỢNG, MA TRẬN
ĐỘ CỨNG, VECTOR LỰC
PHỤ LỤC 2: CODE PHẦM MỀM TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PTHH

2


Chương 1. ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN
THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH
1.1. Xây dựng mô hình PTHH cho dầm
1.1.1. Giới thiệu về phương pháp PTHH
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu
cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng
suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,
khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của ly thuyết trường như: ly
thuyết truyền nhiệt, cơ học hất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.[4]
Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin nhiều bài toán phức tạp đã được tính
toán và phân tích một cách dễ dàng.
Tư tưởng chủ yếu của phương pháp này là việc chia vật thể biến dạng hay kết
cấu thành một số hữu hạn các phần tử có hình đơn giản (ví dụ như đoạn thẳng trong
trường hợp một chiều, tam giác hay tứ giác trong trường hợp hai chiều, khối hộp trong
trường hợp ba chiều) với trường chuyển vị có thể biết được (thanh, dầm, màng, bản,
vỏ, khối ba chiều, v.v.).
1.1.2. Thiết lập bài toán động lực học của dầm
Xét bài toán: Kết cấu dầm với điều kiện biên thay đổi có chiều dài là L, Chiều
rộng mặt cắt ngang là b, Chiều cao mặt cắt ngang là h, Khối lượng riêng ρ ,Modul đàn

hồi E. Hệ số cản modal cho các tần số là ξ1; ξ 2 . Kết cấu chịu tải trọng F(t) di chuyển
với vận tốc không đổi v.Yêu cầu đặt ra là ta phải tính toánh phản ứng động của kết cấu
và sự thay đổi tần số của kết cấu với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp PTHH.
Để giải bài toán này ta cần phải thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số bậc tự do.
Bước 2: Thiết lập ma trận, vector phần tử:
- Ma trận khối lượng phần tử: M e
- Ma trận độ cứng phần tử: K e
- Vector lực nút: Fe

3


Bước 3: Ghép nối các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng , vector lực nút của
phần tử trên cơ sở ma trận mô hình tương thích để tạo thành ma trận khối lượng tổng
thể M, ma trận độ cứng tổng thể K (có kể đến điều kiện biên). Riêng ma trận hệ số cản
C thường áp dụng các giả thiết nhằm đơn giản hòa vì: một phần do bản chất phức tạp
của hệ số cản, phần khác do yêu cầu của các phương pháp tính toán. Một dạng cản
thường dùng trong kết cấu ma trận hệ số cản Rayleigh tính qua các ma trận M và K.
Bước 4: Giải hệ phương trình động học
&+ CU&+ KU = F ( t )
MU&

(1.1)

Bước 5: Đưa ra kết quả tính.
1.1.2.1. Rời rạc hóa kết cấu và thiết lập ma trận phần tử:
Giả sử dầm được chia thành ne phần tử bởi ne+1 nút. Nếu mỗi nút có 2 bậc tự do
thì số bậc tự do của cả hệ là

n = ( ne + 1) × 2 .

Hình 1: Rởi rạc hóa kết cấu
Ở đây, để đơn giản ta xét dầm Bernoulli. Ta có giả thiết Bernoulli-Euler về dầm
mỏng như sau:
-

Mặt cắt duy trì phẳng trong quá trình biến dạng uốn.

-

Không có biến dạng trượt mặt phẳng, nghĩa là đường trung hòa trực giao với
mặt cắt trước và sau biến dạng.

Vậy theo giả thiết trên thì mỗi nút có 2 bậc tự do là độ võng w và góc xoay θ .
Vậy tương ứng với mỗi phần tử dầm có 4 chuyển vị nút:

U eT = { U1e ;U 2e ;U 3e ;U 4e } = { w1;θ1; w2 ;θ 2 }

4

(1.2)


Hình 2: Chuyển vị tại nút của phần tử dầm
e
Trường chuyển vị U biểu diễn qua các chuyển vị nút U i nhờ các hàm nội suy

(hàm dạng):
U = [ N ] {U} e

(1.3)

Trong đó N(x) ma trận nội suy chuyển vị:

[ N ] = [ N1

N2

N4 ]

N3

(1.4)

Trong đó :
2

3

2

x
 x
x 
N1 = 1 − 3  ÷ + 2  ÷ ; N 2 = x  − 1÷
l
l
l


2

3

(1.5)

2

x x 
 x
x
N 3 = 3  ÷ − 2  ÷ ; N 4 =  − 1÷
l l

l
l
Theo [9] ta có quan hệ giữa biến dạng và góc xoay khi dầm chịu uống là :

θ=

dw
dx

(1.6)

Do đó chuyển vị dọc trục u và độ võng w có quan hệ (hình 3).

u = −y

dw

dx

Trong đó : y là khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hòa.

5

(1.7)


Hình 3: Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn
Khi đó biến dạng dọc trục :
du
d 2w
εx =
= −y 2
dx
dx

(1.8)

Thay (1.3) vào (1.8) ta có

εx = −y
Trong đó [ B ] = − y

d2[ N]
dx 2

{ U } e = [ B ]{ U } e

(1.9)

d2[ N]
dx 2

 6
x  4
x  2 6 x  
Hay [ B] = − y  − 2 + 12 3 ÷ − + 6 2 ÷ − + 2 ÷
l  l
l  l l  
 l

(1.10)

Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn :

σ x = Eε x

(1.11)

Hay ở dạng ma trận : { σ } = [ D ] { ε }
Với ma trận [ D ] = [ E ]
Ma trận độ cứng phần tử dầm chịu uốn được xác định :

[ K ] e = ∫ [ B ] [ D ] [ B ] dV = E ∫ ∫ [ B ] [ B ] dA.dx
T

T

Ve

l A

(1.12)

Hay :

6l
 12

2
EJ z  6l 4l
Ke = 3
l  −12 −6l

2
 6l 2l

−12 6l 
−6l 2l 2 
12 −6l 

−6l 4l 2 

6

(1.13)

2
Trong đó : J z = ∫ y dA là momen quán tính của mặt cắt ngang lấy với trục z.
A

Ma trận ma trận khối lượng phần tử nhận được từ tích phân sau :
L

M e = ∫ N T ( x ) [ m] N ( x)dx

(1.14)

0

0
0 
ρA 0
 0 ρA 0
0 ÷

[ m ] =  0 0 ρ A 0 ÷÷

÷
0
0 ρ A
 0

Và

l

mij = ρ A∫ N i′N ′j dx với i, j = (1, 4)

(1.15)

0

Thay vào ta có ma trận khối lượng M e là :

 156

ρ Al  22l
Me =
420  54

 −13l

22l
4l 2
13l
−3l 2

−13l 
−3l 2 
−22l 

4l 2 

54
13l
156

−22l

(1.16)

Trong đó : ρ là khối lượng riêng ; E là modul đàn hồi ; A là diện tích mặt cắt ; l
độ dài của phần tử ;
Ta có các hàm dạng và các vi phân của nó đã tính được ở trên như sau:
2

3

2

x
 x
x 
N1 = 1 − 3  ÷ + 2  ÷ ; N 2 = x  − 1÷
l
l
l

2

3

2
 x
 x  N = x  x − 1
N3 = 3  ÷ − 2  ÷ ; 4


÷
l l

l
l

dN1 6 x 2 − 6lx
=
dx
l3

dN 2 3lx 2 − 4l 2 x + l 3
=
;
dx
l3

dN 3 −6 x 2 + 6lx
dN 4 3lx 2 − 2l 2 x
=
=
;
dx
l3
dx
l3
Chọn hệ trục tọa độ như hình 4, x là khoảng cách từ gốc tọa độ đến lực F(t).

7

Hình 4: Quy đổi lực nút phần tử

F1 = F . N1 ( xF ) ; M 1 = F . N 2 ( xF ) ;

F2 = F .N 3 ( xF ) ; M 2 = F . N 4 ( xF )
Lực thể tích tác dụng lên kết cấu là: f = ρ g . Lực nút của phần tử do lực thể tích
gây ra là:

{ f } = ∫ [ N] {
T

e
V

V

e

 1 
 l 
 
ρ gAl  6 
f } dV =
2  1 
 
− l 
 6 

(1.17)

Vector lực nút của phẩn tử là:

 ρ gAl

+
F
.
N
(
x
)
1
F


2


2
ρ
gAl


 12 + F .N 2 ( xF ) 
Fe = 

ρ
gAl


+ F .N 3 ( xF ) 


2


2
 − ρ gAl + F .N 4 ( xF ) 


12

(1.18)

1.1.2.2. Ghép nối phần tử hay sử dụng ma trận chỉ số để xây dựng ma trận độ cứng,
ma trận khối lượng vả vector tải tổng thể.
Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử {Ue} thuộc {U} người ta lập ma trận
chỉ số [b] (còn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà giá trị của mỗi phần tử thành phần
chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i.

8


Ma trận chỉ số [b] có số hành bằng số phần tử của hệ, số cột bắng số bậc tự do
của một phần tử.
Sau đây là là cách ghép nối đối với dầm được chia thành ne=3 phần tử một chiều
bậc nhất. Với dầm chia thành ne phần tử ta cũng có thể làm theo các tương tự.
Ta có ma trận khối lượng của các phần tử lần lượt là :

 M 11(1)

 (1)
M
=  21
 M 31(1)
 (1)
 M 41

M 12(1)
(1)
M 22

M 13(1)
(1)
M 23

(1)
32
(1)
42

M e(2)

 M 11(2)
 (2)
M
=  21
 M 31(2)
 (2)
 M 41

M e(3)

 M 11(3)
 (3)
M
=  21
 M 31(3)
 (3)
 M 41

M e(1)

(1)
33
(1)
43

M 14(1) 
(1) 
M 24

(1) 
M 34
(1) 
M 44


;

M 12(2)

M 22(2)
M 32(2)
M 42(2)

M 13(2)
M 23(2)
M 33(2)
M 43(2)

M 14(2) 
(2) 
M 24

(2) 
M 34
(2) 
M 44


;

M 12(3)
(3)
M 22
M 32(3)
(3)
M 42

M 13(3)
(3)

M 23
M 33(3)
(3)
M 43

M 14(3) 
(3) 
M 24

(3) 
M 34
(3) 
M 44


M
M

M
M

(1)
(2)
(3)
Để ghép nối các ma trận M e ; M e ; M e thành ma trận độ cứng M tổng thể ta

cần thực hiện lần lượt các bước như sau :
- Bước 1 : Xây dựng ma trận chỉ số [b] để ghép nối phần tử :
Bậc tự do

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

3

4

5

6

3

5

6

7

8

Phần tử

Bước 2 : Ghép ma trận khối lượng của phần tử 1 với phần tử 2 ta được:

9


4

5

6

L

M 13(1)
(1)
M 23

M 14(1)
M 24(1)

0
0

0
0

M 32(1)
(1)
M 42

M 33(1) + M 11(2)
(1)
(2)
M 43
+ M 21

M 34(1) + M 12(2)
(1)
M 44
+ M 22(2)

M 13(2)
(2)
M 23

M 14( 2)
( 2)
M 24

0

M 31(2)

M 32(2)

M 33( 2)

M 34(2)

0
M

M 41(2)
M

(2)
M 42
M

( 2)
M 43
M

(2)
M 44
M

L  1

L  2

L  3
(1.19)

L  4
L  5

L  6
M M

1

2

3

 M 11(1)
 (1)
 M 21
 M 31(1)

M =  M 41(1)
 0

 0
 M


M 12(1)
(1)
M 22

Bước 3: Ghép tiếp ma trận phần tử 3 vào ta được ma trận M tổng thể của dầm 3
phần tử là:
1
 M 11(1)
 (1)
 M 21
 M 31(1)
 (1)
M
M =  41
 0

 0
 0

 0

2

3

4

5

6

7

8

M 12(1)
(1)
M 22
M 32(1)

M 13(1)
(1)
M 23
M 33(1) + M 11(2)

M 14(1)
(1)
M 24
M 34(1) + M 12(2)

0
0
M 13(2)

0
0
M 14(2)

0
0
0

(1)

M 42
0

(2)
M 43(1) + M 21
M 31(2)

(2)
M 44(1) + M 22
M 32(2)

(2)
M 23
M 33(2) + M 11(3)

M 24(2)
M 34(2) + M 12(3)

0
M 13(3)

0
0

(2)
M 41
0

(2)
M 42

0

(2)
M 43
+ M 21(3)
M 31(3)

(2)
M 44
+ M 22(3)
M 32(3)

(3)
M 23
M 33(3)

0

0

0

(3)
M 41

(3)
M 42

(3)
M 43






0 
M 14(3) 

(3)
M 24

(3) 
M 34

(3)
M 44

0
0
0

1
2
3
4
5
6
7
8

(1.20)
Tương tự ta tìm ma trận độ cứng K tổng thể từ ma trận độ cứng của kết cấu dầm
3 phần tử.
Giải sử ma trận độ cứng của các phần tử lần lượt là :

K

(1)
e

 K11(1)
 (1)
K
=  21
 K 31(1)
 (1)
 K 41

K12(1)

K13(1)

(1)
K 22

(1)
K 23

K 32(1)

(1)
K 42

K 33(1)
(1)
K 43

K14(1) 
(1) 
K 24
;
(1) 
K 34
(1) 
K 44


10


K e(2)

 K11(2)
 (2)
K
=  21
 K 31(2)
 (2)
 K 41

K12(2)
(2)
K 22
K 32(2)
(2)
K 42

K13(2)
(2)
K 23
K 33(2)
(2)
K 43

K14(2) 
(2) 
K 24
;
(2) 
K 34
(2) 
K 44


K e(3)

 K11(3)
 (3)
K
=  21

 K 31(3)
 (3)
 K 41

K12(3)
(3)
K 22
K 32(3)
(3)
K 42

K13(3)
(3)
K 23
K 33(3)
(3)
K 43

K14(3) 
(3) 
K 24

(3) 
K 34
(3) 
K 44


Ghép nối tương tự như ghép nối ma trân M ở trên ta có ma trận độ cứng K tổng
thể như sau :

 K11(1)
 (1)
 K 21
 K 31(1)
 (1)
K
K =  41
 0

 0
 0

 0

K12(1)
(1)
K 22
K 32(1)
(1)
K 42

K13(1)
K 23(1)
K 33(1) + K11(2)
(1)
K 43
+ K 21(2)

K14(1)
K 24(1)

K 34(1) + K12(2)
(1)
K 44
+ K 22(2)

0
0
K13(2)
K 23(2)

0
0
K14(2)
K 24(2)

0
0
0
0

0
0
0
0

K 31(2)
(2)
K 41
0
0

K 32(2)
(2)
K 42
0
0

K 33(2) + K11(3)
(2)
(3)
K 43
+ K 21
K 31(3)
(3)
K 41

K 34(2) + K12( 3)
(2)
(3)
K 44
+ K 22
K 32(3)
(3)
K 42

K13(3)
(3)
K 23
K 33(3)
K 43(3)







(3) 
K14

(3)
K 24

(3) 
K 34

K 44(3) 
0
0
0
0

(1.21)
Đối với vector lực nút, giả sử vector lực nút của các phần tử lần lượt là :

Fe(1)

 F1(1) 
 (1) 
F

=  2(1)  ;
 F3 
 (1) 
 F4 

Fe(2)

 F1(2) 
 (2) 
F
=  2(2)  ;
 F3 
 (2) 
 F4 

Khi đó ta có vector lực nút tổng thể như sau :

11

Fe(3)

 F1(3) 
 (3) 
F
=  2(3) 
 F3 
 (3) 
 F4 

 F1(1) 


(1)
 F2

 F3(1) + F1(2) 
 (1)

F4 + F2(2) 

F = (2)
 F + F (3) 
1
 3(2)

(3)
 F4 + F2 
 F (3) 
3


 F4(3) 

(1.22)

1.1.2.3. Áp đặt điều kiện biên
Trong điều kiện biên cổ diển (điều kiện biên ly tưởng) thì các liên kết ở biên có
thể là ngàm hoặc khớp hoàn toàn, nhưng trong thực tế thì các liên kết này có thể suy
yếu ở một mức độ nào đó không còn ly tưởng nữa. Để mô tả tính không ly tưởng này

ta đưa vào một hệ số gọi là hệ số thay đổi điều kiện biên với định nghĩa về hệ số này
như sau:
Hệ số thay đổi điều kiện biên là hệ số đặc trưng cho sự thay đổi của điều kiện
biên tại bậc tự do nào đó của kết cấu.
Ky hiệu là sk với k là vị trí bậc tự do có sự thay đổi điều kiện biên.

sk nhận các giá trị trong đoạn [ 0;100% ] với sk = 0 tương ứng với bậc tự do thứ
k là ngàm chặt; sk = 100% tướng ứng với bậc tự do thứ k là khớp hoàn toàn,

0 < sk < 100% tương ứng với điều kiện biên ở bậc tự do thứ k không ly tưởng.
Với định nghĩa như trên ta có các trường hợp cụ thể như sau:
-

Khi sk = 0 thì các phần tử hàng thứ k, cột thứ k của ma trận độ cứng tổng thể K,
ma trận khối lượng M và các phần tử hành thứ k của vector lực tông thể F được
lược bỏ [5].Trường hợp này tương ứng với việc liên kết biên là ngàm chặt,
chuyển vị tại bậc tự do thứ k bằng 0, hay U k = 0 .Vậy hệ để giải sẽ nhận được
bằng cách “nôm na” là “bỏ đi” các hàng và cột tương ứng , tức là “bỏ” hàng thứ
k, cột thứ k của hệ phương trình động học (1.1).Với:

12


 K11
K
 21
 M

K =  K k −11
 K k +11


 M
K
 n1

K1 n 
K 2 n 
M 

K k −1 n 
K k +11 

M 
K n n  n−1 × n −1

(1.23)

(1.24)

M n k +1

O
L

M1 n 
M 2 n 
M 

M k −1 n 
M k +11 


M 
M n n  n −1 × n −1

C1 k −1
C1 k +1
C2 k −1
C2 k +1
M
M
Ck −1 k −1 Ck −1 k +1
Ck +1 k −1 Ck +1 k +1
M
M
Cn k −1
Cn k +1

L
L
L
L
L
O
L

C1 n 
C2 n 
M

Ck −1 n 

Ck +11 

M
Cn n  n −1 × n −1

(1.25)

K1 2

L

K1 k −1

K1 k +1

L

K 22
M

L
O

K 2 k −1
M

K 2 k +1
M

L

L

K k −1 2 L

K k −1 k −1

K k −1 k +1 L

K k +1 2 L
M L

K k +1 k −1
M

K k +1 k +1 L
M
O

Kn 2

L

K n k −1

K n k +1

L

M1 2

L

M 1 k −1

M 1 k +1

L

M 22
M
M k −1 2
M k +1 2

L
O
L
L

M 2 k −1
M
M k −1 k −1
M k +1 k −1

M 2 k +1
M
M k −1 k +1
M k +1 k +1

L
L

L
L

M
Mn2

L
L

M

M

M n k −1

C1 2
 C11
C
C22
 21
 M
M

C = Ck −11 Ck −1 2
Ck +11 Ck +1 2

M
 M
C
Cn 2

 n1

L
L
O
L
L
L
L

 M 11
M
 21
 M

M =  M k −11
 M k +11

 M
M
 n1

 F1 
F 
 2 
 M


F =  Fk −1 
 Fk +1 



M


F 
 n  n −1 × 1
-

(1.26)

Khi sk = 100% thì các phần tử hàng thứ k, cột thứ k của ma trận độ cứng tổng
thể K, ma trận khối lượng M và các phần tử hành thứ k của vector lực tông thể F

13


vẫn được giữ nguyên.Trường hợp này tương ứng với việc liên kết biên là ngàm
khớp hoàn toàn.
-

Khi 0 < sk < 100% thì các phần tử ở hàng thứ k và cột thứ k của ma trận độ cứng
tổng thể K được nhân với sk ; các phần tử ma trận khối lượng tổng thể M và các
phần tử vector lực F vẫn giữ nguyên. Trường hợp này ứng với việc liên kết biên
không còn ly tưởng. Cụ thể các ma trận và vector trong hệ phương trình động
học trên trở thành:

 K11
 M


 K k −11

K =  sk .K k 1
 K k +11

 M
 K
 n1

L
K1 k −1
O
M
L
K k −1 k −1
L sk .K k k −1
L
K k +1 k −1
M
M
L
K n k −1

sk .K1 k
M
sk .K k −1 k
sk .K k k
sk .K k +1 k
M
sk .K n k

 M 11
 M

 M k −11

M =  Mk1
 M k +11

 M
M
 n1

L
O
L
L
L
M
L

M1 k
M
M k −1 k
Mk k
M k +1 k
M
Mn k

M 1 k −1

M
M k −1 k −1
M k k −1
M k +1 k −1
M
M n k −1

K1 k +1
M
K k −1 k +1
sk .K k k +1
K k +1 k +1
M
K n k +1

M 1 k +1
M
M k −1 k +1
M k k +1
M k +1 k +1
M
M n k +1

 F1 
 M


 Fk −1 



F =  Fk 
 Fk +1 


 M
F 
 n  n ×1

14

L
L
L
L
L
O
L

L
L
L
L
L
O
L

K1 n 
M 
K k −1 n 


sk .K k n 
(1.27)
K k +11 

M 
K n n  n × n

M1 n 
M 
M k −1 n 

Mk n 
(1.28)
M k +11 

M 
M n n  n × n

(1.29)


Sau tính được các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của các phần tử ta ghép
nối thành ma trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng thể. Ma trận cản hệ số cản
Rayleigh có dạng :

C = λM + µK

(1.30)

Với λ , µ là các hằng số tỷ lệ được tính như sau :

λ=

2ω1ω2 ( ξ1ω2 − ξ 2ω1 )
ω22 − ω12

(1.31)

µ=

2 ( ξ 2ω2 − ξ1ω1 )
ω22 − ω12

(1.32)

Trong đó ω1 ; ω2 là tần số riêng thứ nhất và thứ hai của dầm, ξ2 ; ξ1 là hệ số cản
modal tương ứng với hai tần số ở trên.
Với các ma trận đã xây dưng được ta đi vào giài hệ (1.1) để tìm chuyển vị và để
tính tần số ta giải hệ phương trình:
&+ CU&+ KU = 0
MU&

1.2. Các mô hình PTHH của dầm có điều kiện biên thay đổi
Sau đây, đồ án đi vào trình bày cách áp đặt điều kiện biên của trong các mô hình
cần phân tích. Ta có ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vector lực tổng thể của hệ
n bậc tự do là:

1
 K11
K

 21
K = M

 K n−11
 K n 1

2

....

n-1

K12
K 22
M
K n −1 2
Kn 2

L
L
O
L
L

K1 n −1
K 2 n−1
M
K n−1 n −1
K n n −1

15

n
K1 n  1
K 2 n  2
M  M

K n−1 n  n − 1
K n n  n

(1.33)


1

2

....

M 12
 M 11
M
M 22
 21
M = M
M

 M n−11 M n −1 2
 M n 1
Mn2

L
L
O
L
L

n-1
M 1 n−1
M 2 n−1
M
M n−1 n −1
M n n−1

n
M1 n  1
M 2 n  2
M  M

M n −1 n  n − 1
M n n  n

 F1  1
F  2
 2 
F =  M M


F
n

−
1

 n −1
 Fn  n

(1.34)

(1.35)

1.2.1. Mô hình 1 - Dầm có hai đầu bị ngàm chuyển sang dầm ngàm – gối tựa do
điều kiện biên thay đổi
Trong mô hình này dầm ta sẽ chỉ xét bậc tự do góc xoay ở đầu dầm bên phải là
của dầm sẽ chuyển từ ngàm chặt sang khớp hoàn toàn (hình 5). Điều này tương đương
với đầu bên phải của dầm đang xét chuyển từ ngàm sang gối tựa.

Hình 5: Mô hình dầm ngàm - ngàm chuyển sang dầm ngàm – gối tựa
Trong điều kiện biên cổ điển dầm ngàm - ngàm, các phần tử hàng, phần tử cột
thứ 1, 2, n-1, n của ma trận K, M ở biểu thức 1.33, 1.34 và phần tử hàng thứ 1, 2, n-1,
n của vector lực F ở biểu thức 1.35 bị “bỏ” đi tương ứng với bậc tự do thứ 1,2,n-1,n bị
ngàm chặt. Để xét dầm có điều kiện biên không ly tưởng tại bậc tự do xoay ở đầu bên
phải của dầm thì các phần tử hàng và cột thứ n của ma trận K ở biểu thức 1.33 sẽ được
nhân với một hệ số sn ( 0% < sn ≤ 100% ).
Ta có biểu thức ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và vector lực tổng thể
sẽ thay đổi sang điều kiện biên không ly tưởng như sau:
- Đối với trường hợp điều kiện biên cổ điển dầm ngàm - ngàm

16