Luận văn một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu

B ộ GIÀO DỤC VÁ ĐÁO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ T H Ị V Â N A N H

MỘT SỐ PHƯƠNG PH Á P GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

N gười hướng dẫn khoa học: P G S .T S K huất V ăn N in h

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. K huất Văn Ninh. Sự giúp đỡ
và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này đã giúp em rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Em xin
bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm, 2015
Học viên

Lê T h ị V ân A n h


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của thầy PGS.TS. K huất Văn Ninh.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm, 2015
Học viên

Lê T h ị Vân A n h


M ục lục

M ở đầu

1

1

3

M ột số kiến th ứ c chuẩn bị

1.1.

Không

...............

3

1.1.1

Không gian m e t r i c ......................................................

3

1.1.2

Nguyên lý ánh xạ c o ..................................................

4

1.2.

Không

gian B a n a c h .......................................................

6

1.3.

Không

gian H i l b e r t .......................................................

12

1.4. Toán tử đơn đ i ệ u .....................................................................

13

1.4.1

2

gian metric, nguyên lý ánh xạ co

Một số khái niệm đơn đ i ệ u .........................................

13

1.4.2 Một số khái niệm liên t ụ c .........................................

14

1.4.3 Một số tính chất của toán tử

14

......................................

M ột số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn
điệu

18

2.1.

Một số định lý về toán tử đơn đ i ệ u .....................................

18

2.2.

Định lý tồn tại và duy nhất n g h iệ m .....................................

24

2.3. Phương pháp G a le r k in ............................................................

30


iv

3

2.4.

Phương pháp l ặ p ...................................................................

33

2.5.

Phương pháp chiếu l ặ p .........................................................

37

2.6.

Các định lý liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử thế

39

2.6.1

Toán tử t h ế .................................................................

39

2.6.2

Mối liên hệ giữa toán tử đơn điệu và toán tử thế .

47

ứ n g dụng

55

K ết luận

74

Tài liệu th am khảo

75


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu đã được các nhà toán
học quan tâm nghiên cứu từ những năm sáu mươi của thế kỷ 20. Có
thể kể đến các công trình của các nhà toán học như P.I.Kachurovski,
M.M.Vainberg, M.I.Visik, M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty,
J.L.Lions, R.T.Rockaíellar,___Phương pháp toán tử đơn điệu đã được
áp dụng phổ biến trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Những vấn đề được quan tâm là sự tồn tại nghiệm của phương trình,
các phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào những lớp
phương trình cụ thể. Cho đến nay lí thuyết phương trình với toán tử
đơn điệu đã thu được những kết quả rất phong phú.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình với toán tử đơn
điệu nên tôi đã chọn đề tài: “M ộ t s ố p h ư ơ n g p h á p gi ả i p h ư ơ n g
t r ì n h v ới t o á n t ử đ ơ n đ i ệ u ” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình toán tử
đơn điệu, ứ ng dụng giải một số phương trình toán tử đơn điệu cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình toán tử đơn điệu.


2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình với toán tử đơn điệu.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương
trình, các phương pháp giải xấp xỉ phương trình, ứ n g dụng giải một số
phương trình toán tử đơn điệu cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích
số, Phương trình vi phân.
- Sưu tầm , nghiên cứu các tài liệu liên quan.
- Phân tích tổng hợp và hệ thống hóa.

6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải một số phương trình
toán tử đơn điệu cụ thể.


3

Chương 1
M ột số kiến thứ c chuẩn bị
Trong chương này tác giả trình bày một số khái niệm và định lý
Giải tích hàm như không gian metric, không gian Banach, phép tính vi

phân trong không gian Banach, không gian Hilbert. Trong chương này
trình bày một số khái niệm đơn điệu, một số khái niệm liên tục và một
số tính chất của toán tử.

1.1.

Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

1.1.1

K h ôn g gian m etric

Đ ịn h nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X Ỷ ộ cùng
với một ánh xạ d : X X X —>■R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1)(Vrr, y e
2)(Va;, y e

x)d {x, y) >0, d,{x, y) = 0 X = y, (tiên đề đồng nhất);
x)d {x, y) = d (y , x), (tiên đề đối xứng);

3)(Víc, y, z e X ) d, {x, y) < d {x, z) + d, {z, y ), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d, gọi là metric trên X , số
phần tử

X,

gọi là khoảng cách giữa hai

y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Các tiên đề 1), 2), 3)

gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là X = (X, d,).


4

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2. Cho không gian metric X = (X, d). Một tập con
bất kỳ X q ỷ ộ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không
gian metric. Không gian metric x ữ — (x ữìd) gọi là không gian metric
con của không gian metric đã cho.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3. Cho không gian metric X = (X, d), dãy điểm (xn) c
X , điểm X(Ị e X . Dãy điểm (x n) gọi là hội tụ tới điểm X(Ị trong không
gian X khi n —>■00 , nếu Ve > 0, 3n0 € N*,Vn > ĩio, thì d ( x n,xũ) < £, kí
hiệu là
lim x n = X(Ị hay x n —>■X(Ị ( n —>■oo).
n—ỳ00

Điểm Xq còn gọi là giới hạn của dãy (zn) trong không gian X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4. Cho không gian metric X = ( x , d ) . Dãy (xn) c X
được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu Ve > 0 ,3n£ € N* :
d, (zn, x m) < £, Vn, m > n £. Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric
X đều hội tụ thì X được gọi là không gian metric đầy.

1.1.2

N gu y ên lý ánh x ạ co

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5. Cho X là không gian metric. Ánh xạ Ả : X —> X
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a , 0 < a < 1 sao cho
d, {Ax, Ay) < ad (X, y),Vx, y £ X .

Đ ịn h lý 1.1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co Ả ánh
xạ không gian metric đầy đủ (X, d,) vào chính nó đều có một điểm bất
động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X* £ X thỏa mãn
Ax* = X*, X* là giới hạn của dãy (zn) , x n = Ả (xn- 1 ) , n = 1 , 2 , x ữ e X


tùy ý và
Oin
d ( x n,x*) < ------ d ( x i,Zo)
1 —a
d (xn, z*) < 7 ^ — d (xn, z n_ i ) , n = 1, 2,...
1 —a
trong đó a là hệ số co của ánh xạ co A.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ X(Ị € X và lập dãy x n = Ả (xn_i),
n = 1,2,... ta được:
d (æ2, Xi ) = d { A x \ , A x ữ) < ad (xi, Xo) = ad {Ax 0, Xo),
d (x3, x 2) = d {Ax 2, A x \ ) < ad (X2, 0Ci) < a 2d {Ax 0,

Xo),

d (xn+ĩ, x n) = d {Axnì Ax n- ì ) < ad (x n, x n- 1 ) < a nd ( Ax ồì z 0) ,
n =

1,

2 ,...

Từ đó suy ra Vn,p = 1, 2,... ta có
p

d (зСп+pìXn) ^

p

d ( A x n+k,

< d (Ax„, x„)

k= 1

a n+k 1
fc= 1

Qn - а п+р
an
= — -d (Ax 0, Xo) < ---------------- d ( Ax 0, z 0) .
1 —a
1 —a
Vì 0 < a < 1 nên lim d(x n+p, x n) = 0, Vp e N* nghĩa là (xn) là dãy cơ
n—ỳ00
bản trong không gian metric đầy (X, d), từ đó tồn tại lim x n = X* £ X .
n—ỳ00
Ta có

d (Ax*, X*) < d (Ax*,xn) + d {xnì X*) = d (Ax*, A x n- i ) + d {xnì X*)
< ad (xn- i ,x*) + d {xnì X*), Vn = 1, 2,....
Cho n —>■00 ta được d (Ax*,x*) = 0 hay A x * = X*, nghĩa là X* là điểm
bất động của ánh xạ A.

6

Giả sử tồn tại điểm y* G X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d, (x*,y*) = d, (A x * , A y *) < ad (x*,y*)
=> (1 - a) d (z*, y*) < 0 => d { x \ y *) = 0, (0 < OL < 1)
=4 > X* =

y*.

Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Từ bất đẳng thức đã
chứng minh ở trên ta có
d ( x n+p, x n) < ỵ ^ - ^ d ( A x o , X o )
d ( x n+p, x n) < ĩ ^ ^ d ( x 1, x ũ).
Cho p —>■00 ta được d (xn, X*) < ị

a d (xi,xũ). Ta lại có

d (x n, X*) = d (Axn_i, Ax*) < d (Axn_i, Axn) + d (Axn, Ax*)
< ad (xnì x n- 1 ) + ad (xnì X*)
=4> (1 - a) d (xnì X*) < ad (xnì x n- 1 )
=7* d (xnì X ) ^ d (xnì xn_ i ) .
1 —0!
(Định lý được chứng minh)

1.2.

□

Không gian Banach

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. ( Không gian định chuẩn) Một không gian định
chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính
X trên trường p ( p = R hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X —> R,
được gọi là chuẩn và ký hiệu là ||.|| thỏa mãn các tiên đề sau:
1)(Va; e X ) ||a;|| > 0, ||x|| = 0

X = ớ;

2)(Va; e X ) (Vo; e p ) lịoírrII = ỊoíỊ ||x||;
3)(Víc, y £ X ) \\x + y\\ < ||x|| + ||ỉ/||.


số II2; II gọi là chuẩn của vectơ X. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
là X . Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Đ ịn h lý 1.2.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt
d ( x ì y) = ||aĩ - y II, Vrr,2/ e X ,
khi đó d là một metric trên X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm
(zn) của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm X £ X
nếu lim ||ícn — rr|Ị = 0, ký hiệu là lim x n = X hay x n —>■X (n —>■00).
X —Ì O C

X ^O O

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3. (Sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh) Cho X là không
gian định chuẩn, X * là không gian liên hợp của X , (zn) e X , X £ X .
- Dãy (zn) được gọi là hội tụ theo chuẩn hay hội tụ m ạnh đến X khi

và chỉ khi
lim ||ícn — rr|Ị = 0 , ký hiệu: x n —>■X.

n—ỳ00

- Dãy (a;n) hội tụ yếu đến X khi và chỉ khi V / e X * thì
lim / (zn) = / (z), ký hiệu: x n
n—
>00

X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4. (Dãy cơ bản) Dãy điểm (xn) trong không gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu
lim

m, n —ỳ 00

||ícn —x m II = 0.

Đ ịn h nghĩa 1.2.5. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X
được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Xét không gian vectơ k - chiều, với mỗi X e R fc,
Ị~k
X = (xi, x 2 ì X k ) đặt ||x|| = \ ị 5 2 \ x ì I , khi đó R k là không gian Banach.


8

T hật yậy, dễ dàng kiểm tra được Mfc là không gian định chuẩn. Lấy (x n) là
dãy cơ bản trong Mfc, x n = ( x ^ \ x ^ \ •••,
\
0, nghĩa là

J

• Ta có lim \\xn — x m \\ =
771,ĩl—yOO

(Ve > 0) (3M € N*) (Vra, n > M ) : \\xn — x m II < £
j=1
Suy ra (với mỗi j cố định, 1 < j < k ), (Ve > 0) (3Mj € N*) (Vra, n > Mj)
ta có

< £. Vậy với mỗi j cố định thì dãy ộcịn^ l à một dãy

cơ bản hội tụ. Ký hiệu

Xj

= lim x ^ \ j = 1, k nghĩa là
n-ỳ-ỠC

(Ve > 0) (Vj = 1, 2

J

, k) (3Mị G N*) (Vn > Mj),

ta có
£

.

rf'(n)J _ /y*
Jjj
xj

Đặt

X =

{ X ị ) -= Y k

5 ta

Vk

chứng minh (zn}) hội tụ đến

Mo = ma x {Mi, M 2,

/Ỵt(n)
' * _ /Ỵtt

(n)

3=1
Vậy (a;n) hội tụ đến

—

.

/y»(n)
v ' _ /yi t

< ‘W

Đặt

Mk} thì
*Y*

/V»(n)
v ' _ /yi t

X.

2

£2
< Ả;

< £.

s

X.

Đ ịn h ngh ĩa 1.2.6. (Đạo hàm Fréchet) Cho X và Y là hai không gian
định chuẩn,

u là tập

mở trong X , X q £ u , toán tử / : u —> Y. Nếu tồn

tại toán tử tuyến tính bị chặn Ả (x0) : X —>■Y sao cho
lim
||ft,||x-»o

= 0


thì toán tử A (Xq) h được gọi là vi phân m ạnh hay vi phân Fréchet tại x ữ
ký hiệu là D f (X q, h ) và toán tử tuyến tính A (æo) được gọi là đạo hàm
mạnh hay đạo hàm Fréchet của / tại x ồ kí hiệu là / ' (æo).
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.7. (Đạo hàm Gâteaux) Cho X và Y là hai không gian
định chuẩn, u là tập mở trong X , X(Ị £ u , toán tử / : и —>■Y . Nếu tồn
tại toán tử tuyến tính bị chặn Ả (x0) : X —>■Y sao cho
и

f ( x o + t h ) - f ( x o) =

í—
>0

A /

4 hy

h e X

*

thì toán tử A (xo)h được gọi là vi phân yếu hay vi phân G âteaux tại X(Ị
ký hiệu là -Dw/ (xoỉ h) và toán tử tuyến tính Ả (x0) được gọi là đạo hàm
yếu hay đạo hàm Gâteaux của / tại X(Ị với số gia h, kí hiệu là f'w (x0) h
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.8. Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian
liên hợp của X , X** = (X*)*. Không gian X được gọi là không gian
phản xạ nếu X = X**.
Đ ịn h lý 1.2.2. Giả sử X là không gian Banach, X* là không gian liên
hợp của X . Khi đó X* là không gian phản xạ khi và chỉ chi X phản xạ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.9. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
chặt nếu từ các điều kiện \\x\\ < 1, ll^ll < 1 và X ф y thì suy ra

|Ịrr + y II < 2.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.10. Không gian Banach X được gọi là không gian
lồi đều nếu Ve > 0, 3(5 (e) > 0 sao cho Ух, y mà \\x\\ < 1,11^11 < 1;
||z + y\\ > £ thì suy ra ||x —y II < 2 (1 —ỗ (e)).
Đ ịn h lý 1.2.3. Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ.
Đ ịn h lý 1.2.4. Nếu X là không gian Banach lồi đều th ì từ hai điều kiện


10

Đ ịn h lý 1.2.5. (Định lí Banach-Steinhaus) Giả sử X là không gian
Banach, Y là không gian định chuẩn. (A n) là một dãy các toán tử tuyến
tính liên tục A n £ L (X , Y).
Nếu với mỗi X £ X dãy (IIAi 0*011) bị chặn th ì các chuẩn (ll^nll) bị chặn.
(Dãy (II Ai (я) II) bị chặn nghĩa là 3с (я) > 0 sao cho IIДг (я) Il < с (z), Mn).
Chú ý: Khi dãy (IIAill) bị chặn thì suy ra dãy (IIAi 0*011) cũng bị chặn.
Đ ịn h lý 1.2.6. Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến

X khi và chỉ khi dãy (||яп||) bị chặn và lim / (яп) = / (я), V / G X * .
T í —^00

Chứng minh. Theo giả thiết x n

X khi n —>■00 nghĩa là V / G X* thì

lim / (zn) = / (z)
=ф lim ( / (жп) - / (ж)) = 0 hay là lim / (xn - x) = 0.
n—
^OO
71—
^00
Suy ra dãy số ( / (xn — x)) bị chặn nên tồn tại с > 0 sao cho
I/ (xn - z)| < c.
Ta có X С X ** nên coi (xn — x) G X**, khi đó I/ (xn —2c)| < c. Dãy
phiếm hàm (xn — X) bị chặn tại từng điểm / £ X *. Theo nguyên lý bị
chặn đều thì
||zn —rr|Ị < ci,Vn
ll^nll < IIXn — z|| + IMI < Cl + \\x\\ = C2,Vn.
(Định lý được chứng minh)

□

Đ ịn h lý 1.2.7. Giả sử M là tập con lồi đóng của không gian Banach X
khi đó mỗi X Ệ M tồn tại một phiếm hàm / £ X * sao cho
< /,z) > Sup </, 2/>.
yeM

11

Đ ịn h lý 1.2.8. Giả sử M là tập con lồi đóng của không gian Banach X
và (x n) là một dãy con trong M hội tụ yếu khi đó giới hạn X của dãy đó
cũng thuộc M.
B ổ đ ề 1.2.1. Nếu dãy (x n) hội tụ yếu đến X trong không gian định
chuẩn X và (f n) hội tụ mạnh đến / trong không gian liên hợp X * thì
lim ự n , x n) = { f , x ) ( / G X * , x e X ) .

n —ỳoo

Đ ịn h lý 1.2.9. Nếu X là không gian Banach phản xạ th ì mọi hình cầu
đóng đều là tập compăc yếu. Suy ra V (яп) bị chặn thì
3 (znJ С (zn) , х п

X.

B ổ đ ề 1.2.2. Nếu tấ t cả các dãy con hội tụ yếu của một dãy bị chặn
(æn) trong không gian Banach phản xạ X hội tụ đến cùng một điểm X
thì Xnk

X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.11. Cho X là không gian Banach và X* là không gian
lồi chặt. Ánh xạ J : X —> X* thoả mãn điều kiện
( J x , x ) = ||z ||^ = ||Jx||^»
được gọi là toán tử đối ngẫu trong không gian X .
B ổ đ ề 1.2.3. Nếu không gian liên hợp X * của không gian Banach X
là không gian lồi chặt thì với mỗi X G X tồn tại duy nhất một phần tử
J x G X * sao cho ( J x , x ) = ||z ||^ = ||Jx||^».

B ổ đ ề 1.2.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ, X * lồi ngặt, khi
đó toán tử đối ngẫu J là toán tử đêmi liên tục.
B ổ đ ề 1.2.5. Giả sử и G

X ) khi đó Ví, s G s, s < t ta CÓ

Sup IIu' (r)|| < +00 và ||it (t ) —и (s)Il < (t — s) Sup IIu' (r)||.
8 < T < t

a < T < t


12

1.3.

Không gian Hilbert

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. (Tích vô hướng) Cho X là một không gian tuyến
tính. Ánh xạ lị) : X x X ^ R thỏa mãn các điều kiện:
1) rỊ;(x,x) > 0,Vx € X ;
2) iỊ)(x, x) = 0

X = ớ;

3) Ip(x,y) = ĩp(y,x), Vx, y e X \
4) ĩị) (aXi + Px2,y) = OLiị) (xi,y) + № (x2ìy) ì^ x l ì x 2ìy € X và
Va, /3 G M,
được gọi là một tích vô hướng trên X , còn ĩỊ}(x,y) được gọi là tích vô
hướng của hai phần tủ x , y Yầ thường được ký hiệu là (x, y).

Nhận xét 1.3.1. Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác
định một tích vô hướng ( . ), khi đó ánh xạ ||.|| : X —> R xác định bởi
\\x \\ = V ( X1 X) là ĩĩiột chuẩn trên không gian X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2. (Không gian Hilbert) Ta gọi một tập H Ỷ 0 sồm
những phần tử

y, z , ... nào đấy là không gian Hilbert nếu tập H thỏa

mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P;
2) H được trang bị một tích vô hướng
3) H là không gian Banach với chuẩn \\x\\ =(X, X), X e

H.

Ví dụ 1.2. Xét X = R fc là không gian vectơ thực k chiều. Với
'ix = ( xu x 2 ì x k) e R k, Vy = (yu y2, V k ) €

ta đặt

k
(x, y) = Y,XiVii=1
Dễ dàng thấy R fc cùng với hệ thức trên thỏa mãn hệ tiên đề
hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng ở trên là

tích vô


13

\x\\

=

yj{x, ĩ ) = J E xị, X = ( x l ỉ x 2ỉ
V n=l

trùng với chuẩn đã biết trong không gian

x k) e

(ví dụ 1.1), nên không gian

véc tơ thực R fc cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.

1.4. Toán tử đơn điệu
1.4.1 M ột số khái n iệm đơn điệu
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không
gian liên hợp của X , toán tử A: X —>■X*.
- Toán tử Ả được gọi là toán tử đơn điệu nếu
{Au — A v , u — v) > 0, Vu, V £ X .
- Toán tử Ả được gọi là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt (hay đơn
điệu thực sự) nếu
{Au — Av, u — v) > 0,

Ỷ V, Vu, V £

X.

- Toán tử Ả được gọi là đ-đơn điệu nếu

{Au - Av,u - v) > ( a ( I M I ) - a G M D M I M I - I M I ) , V u , v € X,
trong đó a là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +oo).
- Toán tử Ả được gọi là đơn điệu đều nếu
{Au — A v , u — v) > p (IIu — VII), Vit, V £ X ,
trong đó p là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +oo)

vàp (0) = 0.

- Toán tử Ả được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m > 0
sao cho {Au — Av, u — v) > m\\u — 1 >||2, Vw, V e X .


14

Nhận xét 1.4.1. - Nếu toán tử A đơn điệu m ạnh thì đơn điệu đều với
p (s) = m s 2.
- Nếu toán tử A đơn điệu m ạnh thì d-ãơn điệu với a (s) = ms.
- Nếu toán tử Ả đơn điệu đều thì đơn điệu nghiêm ngặt.
- Nếu toán tử Ả là đ-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì Ả là toán
tử đơn điệu nghiêm ngặt.

1.4.2

M ột số khái n iệm liên tụ c

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không
gian liên hợp của X , toán tử A: X —>■X*.
- Toán tử Ả được gọi là radian liên tục nếu Vu, V G X , t G [0; 1] hàm
ip(t) = {A{u + tv), V) là hàm số liên tục trên [0,1].

- Toán tử Ả được gọi là hêmi liên tục nếu Vu, V, h G X , Ví £ [0; 1],
hàm ip(t) = {A{u + tv), h) liên tục trên [0,1].
- Toán tử Ả được gọi là đêmi liên tục nếu un —>■u thì A u n

Au.

- Toán tử Ả được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M > 0
sao cho IIA u — ^4^11^» < M\\u — v\\ỵ,Vu, V G X .
- Toán tử Ả được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm
số

xác định trên [0, 00) sao cho Vit, V £ X thì
IIA u — Av\\ < n(R) IIu — 1 >||, trong đó R = max ( ||it||, \\v\\).

1.4.3

M ột số tín h chất của to á n tử

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.3. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không
gian liên hợp của X . Toán tử A: X —>■X * được gọi là toán tử coercive
(toán tử bức) nếu tồn tại hàm số 7 xác định trên [0; +oo), lim 7 (s) =
s —>+ 00

+00 sao cho (Au, u) > 7 (\\u\\) ||it|| ,Vu €


15

Nhận xét 1.4.2. - Nếu A là toán tử đơn điệu đều th ì A là toán tử bức
với hàm số 7 được xác định: 7 (s) = (s — l)p (l) — 11^40II.

- Nếu A là toán tử d-đơn điệu với hàm a và lim a ( t ) = +00 thì A là
í—ỳ 00
toán tử bức với hàm 7 (t) = a(t) — a:(0).
-N ế u J : X —>■X* là toán tử đối ngẫu thì J là toán tử đ-đơn điệu với
a (t ) = t, suy ra J là toán tử bức.
Đ ịn h nghĩa 1.4.4. (Toán tử có tín h chất (»S')) Cho X là không gian
định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp của X . Toán tử A: X —>■X *
được gọi là toán tử có tính chất (s ) nếu từ các điều kiện un —^ и trong
X khi n —>■00 và (Aun — Au, un — u) —>■0 thì suy ra un —>■и trong X ,
tức là IIun —гл|[ —> о (гг —> +oo).
Nhận xét 1.4.3. - Ta thấy rằng nếu Ả là toán tử đơn điệu thì Ả có tính
chất (s ).
- Trong không gian Banach lồi đều nếu Ả là toán tử đ-đơn điệu thì Ả có
tính chất (s ).
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.5. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không
gian liên hợp của X . Toán tử А: X —»■ X* được gọi là toán tử khả vi
G âteaux nếu tồn tại toán tử A' G {X —»■L (X, X*)) với V u , v , h G X
sao cho
lim 7 (A (u 4- th) — Au, v) = (A' (w) h, V).
í—
>0 *
(Đây là trường hợp đặc biệt của định lý 1.2.7 trong trường hợp Y = X*).
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.6. Cho X là không gian định chuẩn thực, X * là không
gian liên hợp của X , toán tử A: X —>■X*.
-

Toán tử Ả được gọi là toán tử bị chặn nếu mọi tập

trong X thì A ( K ) bị chặn trong X*.

к

bị chặn


16

-

Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn địa phương nếu Vu tùy ý

cố định u e X ,

> 0 sao cho mọi V thuộc hình cầu s ( u , s ) tâm u

bán kính £ thì tập A (v) bị chặn. Nghĩa là 3c > 0, c = const sao cho
Vv G (s (u ,£ )) thì ll^ ll* < c.
Nhận xét 1.4.4. - Nếu Ả là toán tử liên tục Lipschitz bị chặn thì Ả bị
chặn địa phương.
- Nếu Ả là toán tử đêmi liên tục thì Ả bị chặn địa phương.
- Nếu Ả là toán tử bị chặn thì Ả bị chặn địa phương.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.7. Toán tử Ả có dạng Ả = L*AỮL được gọi là toán tử
mở rộng năng lượng của toán tử E (với tập xác định tự nhiên là M (E)),
với tập xác định là D (E) và với miền giá trị là R (E). Nếu các điều kiện
sau đây được thỏa mãn:
a) A q là toán tử đêmi liên tục của một không gian Banach Y nào
đó vào không gian liên hợp của nó là
b) L là toán tử tuyến tính từ một không gian Banach phản xạ V
nào đó vào Y sao cho ||£w||0 = ||u ||, Vu G V]
c) V trù m ật và được nhúng liên tục vào không gian Hilbert H nào

đó sao cho D (E ) c V, R (E ) c H và có đẳng thức A u = Eu, Mu G D (E )
(đẳng thức này được hiểu trong không gian ì/*);
d) Tập hợp {u\u G (M (E ) n V ), Au G H } = D (E ).
Các nhận xét dưới đây giải thích thêm cho định nghĩa này.
Nhận xét 1.4.5. Từ mở rộng "năng lượng" được sử dụng vì lí do biểu
thức {A0Lh, Lh) ữ thường được mô tả như là năng lượng.
Nhận xét 1.4.6. Có thể đưa vào những định nghĩa khác về mở rộng toán
tử chẳng hạn yêu cầu Ả : V —>■V* là toán tử đêmi liên tục là mở rộng của
toán tử E nếu chỉ cần thực hiện điều kiện (c), (d) trong định nghĩa 1.4.7


17

nhưng ta không sử dụng định nghĩa này bởi vì biểu diễn A = L*A0L là
điển hình cho các mở rộng.
Nhận xét 1.4.7. Nếu Y là không gian Hilbert và Y = Y* thì từ điều kiện
(6) suy ra Ư L e ị y —>■V*) và nó là toán tử đối ngẫu J của không gian
ì/.


18

Chương 2
Một số phương pháp giải phương
trình với toán tử đơn điệu
Trong chương này tác giả trình bày một số định lý về toán tử
đơn điệu, định lý Browder - Minty về sự tồn tại nghiệm của phương
trình. Trong chương này trình bày phương pháp Galerkin, phương pháp
lặp và phương pháp chiếu lặp giải xấp xỉ phương trình với toán tử đơn
điệu, mối liên hệ giữa toán tử đơn điệu và toán tử thế.

2.1.

Một số định lý về toán tử đơn điệu

B ổ đ ề 2.1.1. a) Toán tử Ả € ( X —>■X*) là toán tử đơn điệu khi và chỉ
khi mọi u, V € X cố định hàm số biến số thực
t ->

P u ,v

(t ) = { A( u + t v ), v)

là một hàm đơn điệu tăng trên [0,1].
6)

Giả sử toán tử Ả e ( X —>■X*) khả vi G âteaux và mọi u, V £ X

cố định hàm t —>■ (A' (u + tv) V, v) liên tục trên [0,1]. Với những điều
kiện đó Ả đơn điệu khi và chỉ khi với u , v £ X ta có
{A' (u ) V, v) > 0.


Chứng minh, à) Điều kiện cần: Với Í 1 ,Í 2 £ [о, 1] và giả sử ti < t 2 ta có

=

ụ>u,v ( t i ) =

{ A ( u + t 2v ) , v ) -

{ A (u + U v ) , v) =

(А (и + t2v) - A(u + tiv ) , (и + t 2v ) - (u 4- tìv)) > 0

Điều kiện đủ: Với V = UJ — и thì
(Au) - A u , uj - u) = (pUĩV (1) - 0
b)

Điều kiện cần: Với 0 < s < t theo định lý về giá trị trung bình

của tích phân thì tồn tại một điểm So £ [0, s] sao cho
0 < (^4 (u 4- s v ) — Au, sv) = f (Ả ' (и + t v ) V, sv) dt =
0

= s 2 (Ả ' (и + S qV) V, V )

chia cho s2 và chuyển qua giới hạn khi s —>■0 ta được (A' ( u) v , v ) > 0.
Điều kiện đủ được suy ra từ bất đẳng thức
1
{Au — Av, и — v) = / {A' (v + t (u — v)) (u — v) , и — v) dt > 0
0

(Bổ đề được chứng minh)

□

B ổ đ ề 2.1.2. Nếu Ả : X —> X * là toán tử đơn điệu thì Ả bị chặn địa
phương.

Chứng minh. Giả sử Ả là toán tử đơn điệu nhưng không bị chặn địa
phương, khi đó tồn tại dãy {wn} с X , un —»■и trong X và

—>■00


20

trong đó Mi phụ thuộc vào u và

V

không phụ thuộc vào n. B ất đẳng

thức trên đúng với (—v) do đó
lim ^ { Ả u n,v) < 00, Vv £ X .

n-ỳ-ỠC

Từ đó theo định lý Banach-Steinhaus ta có
ĩH l^U nL < M = consí,
nghĩa là
ịịAunịị^ < M a n = M (1 + p u n ||* IIu - un ||).

Chọn n 0 £ N* sao cho Vn > n 0 thì ta có M IIu — un II < \ (điều này
thực hiện được vì un —>■u nên tồn tại n 0 G N* sao cho với Vn > n 0 thì
\\u — un \\ <

khi đó Vn > n 0 thì

< 2M . Điều này mẫu thuẫn

với giả thiết Ả không bị chặn địa phương.
Vậy nếu toán tử Ả đơn điệu thì bị chặn địa phương.
(Bổ đề được chứng minh)

□

H ệ q u ả 2.1.1. Nếu Ả : X —> X * là toán tử tuyến tính, đơn điệu thì Ả
liên tục.
H ệ q u ả 2.1.2. Giả sử Ả : X —>■X* là toán tử đơn điệu và K c X sao
cho ||w|| < Mi và (Au, u) < M 2,

e K . Khi đó tồn tại hằng số M sao

cho ||.Aw||x » < M,Vw e K.
B ổ đ ề 2.1.3. Cho X là không gian định chuẩn, X * là không gian liên
hợp của X . Giả sử Ả : X —>■X* là toán tử đơn điệu. Khi đó các mệnh
đề sau tương đương với nhau.
a) Toán tử A là toán tử radian liên tục;
b) Từ điều kiện ( f — Av, u — v) > 0,Vv E X , suy ra Au = / ;
c) Từ các điều kiện un —^ u trong X , A u n —^ / trong X *