Luận văn phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

LUẬN
VĂN THẠC
s ĩ TOÁN HỌC
•
«
•

HÀ NỘI, 2015


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Chuyên ngànhỉ Toán Gỉảỉ Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN

VĂN THẠC
s ĩ TOÁN HỌC
•
«
•

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác
giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Phạm Anh Nghĩa


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với

đề tài: “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich
giải hệ phương trình phi tuyến” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế
thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Phạm Anh Nghĩa


MỤC LỤC
Mở đầu................................................................................................................ 5
Chương 1. Một sổ kiến thức chuẩn bị............................................................. 7
1.1. Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co.......................................

7

1.1.1. Không gian metric.......................................................................

7

1.1.2. Nguyên lý ánh xạ co...................................................................... 18
1.2.

Không gian Banach..........................................................................

20

1.3.

Phép tính vi phân trong không gianBanach.................................... 23

Chương 2. Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich
gỉảỉ hệ phương trình phỉ tuyến.......................................................................29
2.1 .Phương

pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến.........................

29

2.1.1. Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến......................... 29
2.1.2. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến................. 37
2.2.

Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi

tuyến..................................................................................................................

45

2.2.1. Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình toán tử phi
tu y ến .................................................................................................................

45

2.2.2. Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi
tuyến trong M” ...................................................................................................
2.3.

51

Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton -

Kantorovich giải hệ phương trình phi tu y ến .................................................. 56
Chương 3. ứ n g dụng.....................................................................................
3.1.

61

Giải hệ phương trình phi tu y ến ....................................................... 61

3.1.1. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tu y ến ............... 61
3.1.2. Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi
tu y ến ................................................................................................................... 64


-4 -

3.2.

Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến.................. 75

Kết luận.............................................................................................................. 88
Tài liệu tham khảo.............................................................................................. 89


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình
tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề,
nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn
đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có
dạng tổng quát Ax = f (1), trong đó A là các toán tử đi từ không gian định
chuẩn Mnvào không gian định chuẩn Mn.
Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương
trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) là một vấn đề được quan
tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề
xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng,
phương pháp biến phân ....Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể
chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp
lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng
để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ
thông qua phép lặp đơn. Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa
phương trình (1) về dạng X = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn
không gian I ” , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của
ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm
bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và
các mở rộng của nó như Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta
cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải
những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu
điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ
chứa nghiệm.


Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp
giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp
đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phỉ
tuyến” để thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là
phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết hợp của
hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực Mvà hệ phương
trình phi tuyến trong không gian Mn. ứ n g dụng giải một số phương trình và
hệ phương trình cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich
giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến.
4. Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến.
- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến
trong không gian Mn; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình
cụ thể.
§. Phương pháp nghiên cứu
- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và
áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ t h ị .
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống lại phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton Kantorovich giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. Áp dụng giải
một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể.


CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co
l.l.l.K hông gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập hợp X * (|) cùng với một ánh xạ d : X xX —>R
thoả mãn các tiên đề sau đây:
1)d(x,y)>0,(Vx,y€X) , d(x,y) = 0 •» X= y
2)d(x,y)

= d(y,x),(Vx,y €X)

3)d(x,y)
( tiên đề đồng nhất);
( tiên đề đối xứng);

( tiên đề tam giác).

Khi đó tập hợp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric. Ánh xạ d
gọi là một metric trên X , số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x,y.
Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề
metric.
Không gian metric được kí hiệu là X = (x,d) .
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric x = (x,d).

Một tập con bất kỳ

X0 * <|) của tập hợp X cùng với metric d trên X lập thành một không gian
metric. Không gian metric X0 = ( x 0,d) gọi là không gian metric con của
không gian metric đã cho.
Ví dụ 1.1.1. Vói hai phần tử bất kỳ x,y e R ta đặt:
d( x ,y ) = | x - y |

(111)

Từ tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập hợp số thực E, suy ra hệ thức
(l.l.l)x á c định một metric trên M, không gian tương ứng được ký hiệu là M1
.Ta gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên M .

Ví dụ 1.1.2. Với hai phần tử bất kỳ x = (x1,x 2,...,xk),y = (y1,y2,...,yk) thuộc
không gian véc tơ thực k chiều M* ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt:
d(x’y ) = ^ Ề ( xj - y j ) 2

í 1-1-2 )

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Để kiểm
tra hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất
đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski:
Với 2k số thực a^bị, (j = l,2,...,k) ta có
k

i > i bi
j=i

n r

n r

áJ È arJÈbỉ
V
V j= i

(1.1.3)

J-1

Thật vậy

o ^ ± r È t o - a A ) 2] = i i > : b : - l ị ị ^ k
1=1 1_ j=l

J

=

1=1 j=l

2

1=1 j=l

Ẻ*ỉ VẺo;
j=i
V j=i

(
-2

k

+ ii> w
1=1 j=l

V

É a Jb J
^ j=i
)

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3).
Với 3 véc tơ bất kỳ x = (x1,x2,...,xk),y = (y1,y2,...,yk),z = (z1,z2,...,zk)thuộc M1
ta có :
d (x ’ y ) = Ề ( xj - y j )

j=i

= È ( xi
j=i

= Ề [ ( x j - zj ) + (zj - y j ) ]

j=i

~zi f + 2 Ềj=i ( xi “ zi)(zi - y j ) + Èj=i ( zi - y j ) 2

= d2(x,z) + 2d(x,z)d(z,y) + d2(z,y)
= [ d (x ,z ) + d ( z ,y ) ] 2

=^>d(x,y)Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric.


-9 -

Vì vậy hệ thức (1.1.2) xác định một metric trên không gian Mk.
Không gian metric tươg ứng vẫn ký hiệu là M* và thường gọi là không gian
Euclide, còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide.
Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu ỉ 2 là tập tất cả các số thực hoặc phức X= {xn}"= sao

»

2

cho chuỗi số dương ^ |x I hội tụ .
n=l

Với hai dãy số bất kỳ X= {xn}“= , y = {yn}”°= ta đặt
(1.1.4)

d(x’y ) = J Ẽ v - ỹ 7
V n=l

Hệ thức (1.1.4) xác định một ánh xạ d : ¿2y.l2 -» R .
Thật vậy, với mọi n = 1,2,...ta có
K - y , r = |x : - 2 x „ . y „ + y :|< |x „ |2+ 2 |x ,|.|y ,| + |y,|2 < 2 (|x ,|2+ |y ,|2)
Do đó mọi số p dương đều có
E l xn -y J ắ 2 Ẽ l xnl +2Z |y.l - 2E l xnl +2E|yn|
n=l

n=l

n=l

n=l

n=l

Suy ra
0„0

2

„

00

2

00

Z l x n - y n | ^ 2E l x n| + 2E | y . I
n=l

n=l

n=l

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1.4) hội tụ.
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric.
Với ba dãy số bất kỳ x = {xn}"= ,y = {yn}°°= >z = {z„ n
nguyên dương tuỳ ý ta có:

Ẻ ! x„ - y „ r
11=1

Ẻ d xn - zn| + |zn -y n |)2
J

Ln=l

thuộc i 2 và với số p


- 10-

2

V . I

12 ’
1
ữ

ữ

+

N

1

00

I2
- Z n|

1

Cho p

'V ' 1
2 J X n
_ n=l

^ ] ĩ

<

ta được
00

d(x,y) = f i xI 11- ^
y 11Ir l V f l xI 11- z 11II
. n=l

J

\_n=l

+ Y | zI n - yJ nII

= d (x ,z) + d(z,y)

. n=l

Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric.
Vì vậy hệ thức (1.1.4) xác định một metric trê n /2. Không gian metric
tương ứng vẫn ký hiệu là £2 . Không gian metric Ể2 đôi khi còn gọi là không
gian Euclide vô hạn chiều.

Ví dụ 1.1.4. Ta ký hiệu C[ b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và
liên tục trên đoạn [a,b] ,

(-00

< a < b < +00) . Với hai hàm số bất kỳ

x(t),y(t)€C [ab] ta đặt
d (x, y) = max
y (t)|.
v
J aátáb I v J
v J\

(1.1.5)

Vì các hàm x(t),y(t) liên tục trên đoạn[a,b], nên hàm số |x(t)-y(t)| cũng liên
tục trên đoạn [a,b] .Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b] . Suy
ra hệ thức (1.1.5) xác định một ánh xạ từ C[ b] XC[ b]

K.

Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric.
Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là Cj hy
Ví dụ 1.1.5. Ta ký hiệu

b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực và khả tích

Lebesgue trên đoạn [a,b] .Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t) € Lj b] ta đặt
d( x ,y ) = J|x(t)-y(t)^lt

(1.1.6)

a

Hệ thức (1.1.6) xác định một ánh xạ từ Lj b] XLj b]

K .


-11 -

Với hai hàm số bất kỳ X(t), y (t) e Lj bj ta có
|x (t) —y(t)| ^ 0>Vt e [a,b]

d( x , y ) = J | x ( t ) - y ( t ) | > 0
a

d( x, y) = 0 » J|x(t) —y(t)| = 0
a

<=>|x(t)-y(t)| = 0 h.k.ntrên [a,b]

<»x(t) = y(t)

h.k.n trên [a,b].

Vì tích phân Lebesgue của một hàm số không thay đổi khi ta thay đổi giá tri
của hàm số đó trên tập có độ đo Lebesgue bằng 0, nên trong không gianL[a,b]
ta đồng nhất hai hàm số khi chúng chỉ khác nhau trên một tập có độ đo

Lebesgue bằng 0. Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric.
Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6)
thoả mãn các tiên đề 2), 3) về metric. Vì vậy ánh xạ (1.1.6) xác định một
metric trên tập

b] . Không gian tương ứng vẫn ký hiệu là

b] .

Định nghĩa 1.1.3.Cho không gian metricx = (x,d),dãy điểm Ị x J c X , điểm
x0e X . Dãy điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm x0 trongkhông gian X
n - » 00 ,

khi

nếu V£>0,3n0 eN*,Vn>n0 ,d(xn,x0)<£ .

Kí hiệu: lim xn = x0 hay xn —>x0(n—>oo)
x -»00

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy {xn} trong không gian X.
Ví dụ 1.1.6.

Sự hội tụ của một dãy điểm {xn} trong không gian M1 là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.1.7.

Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides Mk

tương đương với sự hội tụ theo toạ độ.


- 12-

Thật vậy, giả sử dãy điểm x(n) =Ịx1(n),x^n),...,x[n)j,n = l,2,... hội tụ tới điểm
x = (xj,x2,...,xk) trong M* . Theo định nghĩa , Vs>0,3n0 eN*,Vn>n0 , ta có:

W

f

Ñ

“e

£,

Suy ra |xịn) - Xj I < Vn > n0, Vj = 1 , 2 , 3 , k

(1.1.7)

Các bất đẳng thức (1.1.7) chứng tỏ , với mỗi j = 1 , 2 ,...,k dãy số thực ịx ^ Ị hội
tụ tới số thực Xj khi n —>co .S ự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ .

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(n) =^x1(n),x(2n),...,x[n)j,n = l,2,... hội tụ theo toạ độ
tới điểm x = (x15x 2,...,xk) . Theo định nghĩa , V e> 0, với mỗi j = i,2,...,k ,
£

(n)

3nj e N ’,V n> nj9 xj
Đặt

xj

n0 =max{n1,n2,...,nk} , thì V n > n 0, X ^ - X j < —¡= ,j = l,2 ,...,k

-v/n

^ ( XỊn)- Xj) < ^ -,(j = l,2 ,...,k ) ^ ¿ ( x < n)- Xj) < e 2 ^ ^ | Ề ( x f ) - x j) < £, Vn > n0.

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Euclide của không gian M* .
Ví dụ 1.1.8. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Cj b] tương đương
vói sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b] .
Thật vậy, giả sử dãy hàm (xn(t))e

hội tụ tới hàm x(t) trong không gian

Cj b]. Theo định nghĩa
V e > 0,3n0 e N * ,V n > n0, d ( x n,x ) = max x n ( t ) - x ( t ) < £
a < t< b I

Suy ra :

|xB(t)-x (t)|< 6 ,V h > n 0,VtG[a,b]

'

(1.1.8)

- 13-

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (xn (t)) hội tụ đều
tới hàm số x(t) trên đoạn [a>b].
Ngược lại, giả sử hàm số (xn(t))c C [a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t) trên đoạn
[a>b], nghĩa là x(t)e c [ab] . Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm
Ve > 0 ,3 n 0 e N*, Vn > n 0, V t e [a ,b ],|x n ( t ) - x ( t ) | < £
Suy ra: max |xn (t) - X(t)| < 8, Vn > n0
Hay:

d(xn,x)<E,Vn>n0

Do đó dãy số (xn(t)) hội tụ tới hàm số x(t) theo metric của không gian
CM]Ví dụ 1.1.9.

Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian metric rời rạc

X = (X,d) tương đương với sự hội tụ của dãy dừng.

Thật vậy, giả sử dãy điểm {xn}c X hội tụ đến điểm * trong không gian X.
Theo định nghĩa,

Ve > 0,£<l,3n0 €N*,Vn>n0,d(xn,x)<£.

Suy ra d(xn,x) = 0,Vn>n0 =>xn =x,V n>n0 .

Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng.
Ngược lại, dãy điểm {x„}c X là dãy dừng, nghĩa là 3n0 eN ,Vn>n0, xn =xno

, thì hiển nhiên dãy đó hội tụ theo metric của không gian X .
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric X = (x ,d ), a e X , r > 0,
Tập hợp S(a,r) = jx e X :d (x ,a )< rỊ được gọi là hình cầu mở tâm a, bán
kính r.
Tập hợp S'(a,r) = |x e X :d (x ,a )< rjđ ư ợ c gọi là hình cầu đóng tâm a, bán
kính r.
Mỗi hình cầu mở S(a,r) được gọi là một lân cận của phần tử a trong X .


- 14-

Định nghĩa 1.1.5.Cho hai không gian metric X=(X,d1) , Y = (Y,d2).
Ánh xạ f :X -» Y được gọi là liên tục tại điểm x0 e X nếu như Ve > 0,35 > 0,

saochoV x€X thoảm ãn d1(x,x0)< 8thì d2(f(x),f(x0))<8.
Hay nói cách khác Ánh xạ f :X -»Y

gọi là liên tục tại điểm x0 eX , nếu

với lân cận cho trước tuỳ ý u f(x, =s(y0,s ) c Y của điểm y0 = f (x0) trong Y
tìm được lân cận Vx = s(x0,ỗ)của điểm x0 trong X sao chof(Vx ) c U y .
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ f :X -»Y gọi là liên tục tại điểm x0 eX nếu với
mọi dãy điểm Ị x J c X hội tụ tới điểm x0 trong x k é o th e o dãy điểm (f(x j)
hội tụ tới điểm f (x0) trong Y.
Như vây nếu: nlim
xn = x0 và f(x)
là hàm liên tuctai điểm x(l eX thì
-» oo
v /
limf(xn) = f(x 0).

n^oo

Định nghĩa 1.1.7A n h xạ f gọi là liên tục trên tập A c X nếu ánh xạ f liên
tục tại mọi điểm X G A.

Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A c X

nếu Ve>0,

3 6 > 0saoch o Vx,x'eA thoảmãn d^XjX1) < ô thì d2(f(x),f(x'))<£.

Định nghĩa 1.1.9.Một dãy điểm {xn}trong không gian metric x = (x,d)gọi
là một dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu: lim d (x n, x m) = 0 Nghĩa là Ve > 0,
3n0 e N* sao cho d(xn, xm) < £, Vn, m > n0

( Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy).
Định nghĩa 1.1.10.Không gian metric x = (X,d) là một không gian đầy (hay
đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.


- 15-

Ví dụ l.l.lO .K hông gian metric R1 là không gian đầy, điều đó suy ra từ
tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán
học.
Ví dụ 1.1.11. Không gian R k là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử x(n)

=

là dãy cơ bản tuỳ ý trong

không gian EuclideMk . Theo định nghĩa dãy cơ bản,
Ve > 0,3n0 € N*,Vm,n > n0,d ^ x ^ ,x ^ ) < £ hay

<£
(1.1.9)

=> x ị^ - x ^ <E,Vm,n>n0,Vj = l,2,...,k

Các bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi j = 1 , 2 ,...,k , dãy Ịx:”)) là dãy số
thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:

Đặt x = (x15x2,...,xk) , ta nhận được dãy |x (n)jc M k đã cho hội tụ theo toạ độ
tới

X

. Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide Mk tương đương với sự

hội tụ theo toạ độ, nên dãy cơ bản |x (n)j đã cho hội tụ tới

X

trong không

gian Mk .V ậy không gian Euclide Mk là không gian đầy.
Ví dụ 1.1.12. Không gian Cj b] là không gian đầy.

Thật vậy, giả sử (xn(t)) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian Cj b] , theo
định nghĩa dãy cơ bản:
V e > 0 ,3 n 0 € N*, Vm,n > n 0,d^x^,x^m^ = max |x ( t ) - x

(t)|
|xn (t) - xm(t)| < £, Vm,n > n0, v t e [a, b].

(1.1.10)

Các bất đẳng thức (1.1.10) chứng tỏ , với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn
[a,b] , dãy (xn(t)) là dãy số thực cơ bản , nên phải tồn tại giới hạn


- 16-

limxn(t) = x(t),te[a,b]

Ta nhận được hàm số *(í) xác định trên đoạn [a,b] . Vì các đẳng thức
(1.1.10) không phụ thuộc t, nên qua giới hạn trong các đẳng thức này khi
n —>co ta được:
|x n ( t ) -

X ( t )| <

£, V n

> n 0, V t e [a , b ]

(

Các bất đẳng thức (1.1.11) chứng tỏ dãy hàm số (xn(t)) c
hàm số x(t) trên đoạn [a,b] nên x(t)e Cj

1 .1 .1 1

)

hội tụ đều tới

. Nhưng sự hội tụ trong không

gian Cj b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn
[a,b] , nên dãy cơ bản (xn (t)) đã cho hội tụ tới x(t) trong không gian Cj hy
Vậy Cj b] là không gian đầy.
Ví dụ 1.1.13. Không gian i 2 là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử x(n)

=

là dãy cơ bản tuỳ ý trong i 2

,theo định nghĩa dãy cơ bản :
Ve > 0 ,3 n 0 e N *,V m ,n > n 0, d ( x ^ , x ^ ) =

- x k^) < e-

Suy ra

ị n ( xkn) - xkm) )

< £>Vm>n > n0, Vp = 1,2,...

<£,Vm,n > n0,Vk = 1,2,...

(1.1.13)

Các bất đẳng thức (1.1.13) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy
dãy số cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:

lim ( ) = xk, k = 1,2,...

n-»00 \

(1.1.12)

/

là


- 17-

Đặt x = (x1,x 2,...,xk,...) = (xk) . Vì các bất đẳng thức (1.1.12) không phụ
thuộc vào p , nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi
m —>co ta được:
M

(1.1.14)

< £,Vn > n0, vp =1,2,...

k

Tiếp tục cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức (1.1.14) khi p ^o o

ta

được
<£,Vn>n0

(1.1.15)

Mặt khác
xk f = (|xk - x i°*+ xk”^|)ỉ - (|x^

+

<2|xj^| + 2 |x^ - xkI ,Vk,n = l, 2,

(1.1.16)

Từ các bất đẳng thức (1.1.15), (1.1.16) suy ra:
p

,

,

.

Ẻ | x l |2 S 2 Ỉ x W
k=l

. 2

+2 ±

k=l

k=l

<2±

+ i ị |xW - x k\ < i ị |x < " f + 2 s \ với 1, > n 0

k=l

=> Ể
k=l

Ix k r

<

k=l

2 Ể

|x íni)

k=l

+

2g2 , với n x > n 0

k=l

Do đó dãy x = (xk)€ ^ 2.Các bất đẳng thức (1.1.15) chứng tỏ, dãy cơ bản
Ịx(n'] đã cho hội tụ tới x e l 2 trong không gian i 2 .
Vì vậy không gian i 2 là không gian đầy.


- 18-

1.1.2. Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian metric x = (x,d) .Ánh xạ A :X -» X
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a,

0
sao cho:

d(Axt,Ax2) < ad(x1, x2), Vxpx2 e X

Định lý 1.1.1.( Nguyên lỷ Banach về ánh xạ cò)
Mọi ánh xạ co A từ không gian metric đầy X = (X,d)vào chính nó đều có

một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x’ eX sao

cho Ax* = X*; điểm X* là giới hạn của dãy {xn} được xây dựng bởi công

thức:
x n = A x n-i, x 0 t u ỳ ý , x 0 e X

và công thức đánh giá sai số
d(xn,x*) <

an
—d(xj,x0), n = 1,2,...
1-a

d(x n>x *) —7~~"~ d(x , Xn-l) sn = l , 2 , -

1- a

Trong đó a là hệ số co của ánh xạ co A.
Chứng minh.
Lấy một điểm bất kỳ x0 e X . Xây dựng dãy {xn} xác định bởi công thức:
x „ = A x „-i

,11 = 1,2,...

Ta được
d(x2, Xx) = d(Ax1, Ax0) < ad(x1, x0) = ad(Ax0, x0)
d(x3, x 2) = diAx^AXj) < a d i x ^ x j < a 2d(Ax0, x 0)

d(xn+i>xn) = ¿(AXn» Ax„-i) ^ ad (x„»x„-i) ^ ... < a ”d(Ax0, Xfl) ,vớin = 1,2,...
Từ đó ta suy ra Vn,p = 1,2,...ta có

- 19-

d ( x „ + p , x „ ) ^ d ( x n+l>X n

)+d(xn+2, x

n+l

)+... + d(xn+p, x n+p 1)

< ( a n + a n+1 +... + a n+p_1)d(Ax0, x0)
= a 11.

( ! - a p)
1 -a

d(Ax0,x 0) <

a”
1-a

d(Ax0,x 0).

Vi 0 < a < l , nên nlim
a ” = 0, do đó n limd(x
—> 00
—>00

,xn) = 0,VpeN*;

Nghĩa là dãy {xn} là dãy cơ bản trong không gian metric đầy X = (X,d)
Từ đó tồn tại

lim
_
X -» 03

X

n

= X* e X

Ta có
d (A x \ X*) < d(Ax*, x n) + d(xn, x ’) = d(Ax*, A Xn_x) + d(xn, x ’)

< ad(x*, xn_j) + d(xn, X*), V n = 1,2,...
Cho n -> 00, ta được d(Ax’,x ’) = 0 hay Ax’ = x’ , nghĩa là x’ là điểm bất
động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y’ e X cũng là điểm bất động của ánh xạ A,

d(x*, y ) = d(Ax*, Ay ) < ad(x’, y ) ^ (l - a ) d (x \ y*) < 0
DoO< a < l =^>d(x*,y*j = 0 =>x’ = y .
Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Ta có
lim d(x

p->00

, xn) <

1- a

d(x*, xn),

1-a

d(xn,x*) = d(Axn_pAx ) < d(Axn_x,Axn)+ d(Axn,Ax*) < ad(xn_p x j + ad(xn,x’);
=> d(xn,x*) < —^ d ( x n,x n_j).
1-a

Định lý được chứng minh.

thì


-20-

1.2 .Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường p
(p là trường số thực M hoặc trường số phức c ). Khi đó ánh xạ A :X —>Y
được gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện

1)A(xx+ x 2) = Axx+A x2, Vx15x2eX
2)

A ( a x ) = a A ( x ) , V aeP , VxeX .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ

thoả mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất.

Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2,( Không gian định chuẩn)
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường p (p = R hoặc p = c ),
Ánh xạ ||.||:X-»]R xác định trênx(đọc là chuẩn), lấy giá trị trên
M:||x|| € M, Vx € X , thoả mãn các điều kiện( tiên đề) sau đây
1) ||x|| >0 , Vx € X ; ||x|| = 0 « X = 0 (k í hiệu phần tử không là 0 )
2)||a.x|| = |a|.||x||Vx€X , V aeP,
3)

||x + y|| < ||x|| + ||y|| Vx, y e X.

được gọi là một chuẩn trên X , số ||x I gọi là chuẩn của véc tơ X, các tiên đề
1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Không gian tuyến tính X cùng vói chuẩn ||.|| được gọi là một không gian
định chuẩn( hay không gian tuyến tính định chuẩn).

Định lý 1.2.1 .Cho X là không gian định chuẩn, đối với hai véc tơ bất kỳ
X, y e X , ta đặt d(x, y) = ||x —y|| . Khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa í .2.3.(Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)


-21 -

Dãy điểm {xnI của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
nếu lim ||xn - x|| = 0. Kí hiệu limxn = X h a y x n - » x
n—

»00

n—
»00

Xe X ,

( n -» 0 0 ).

Định nghĩal.2.4.Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là
dãy cơ bản, nếu

lim ||x - X 1= 0

Định nghĩa 1.2.5.( Không gian Banach)
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.

( Trong định lý 1.2.1. nếu với metric d(x,y) = ||x-y|| , X là không gian đủ thì
X được gọi là không gian Banach).
Ví dụ 1.2.1.
Xét không gian véc tơ k chiều M* , với mỗi x eK k , x = (x15x2,...,xk)
Đặt ||x||= X lxif- Khi đó Mk là không gian Banach.
1=1

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được M* là không gian định chuẩn
Lâý {xn} là dãy cơ bản trong Mk, xn =(x1(n),x(2n),...,x[n))
Ta có

lim ||x„-X

1II= 0;
n
m1

n ,m —»00

'

Nghĩa là Ve>0, 3M e N*

, Vm,n

>M

||xn - x m||< E

k

Suy ra với mỗi
(n )

1 < j < k cố định , Ve >

0, 3M. =M€N*, Vm,n>Mj

(m )

x\ I - x \ I < 8.

Vậy với mỗi j cố định thì dãy |x (n'Ị là dãy cơ bản trong M nên nó hội tụ.

Kí hiêu

X.

J

= l i m x(n) , j = l,k , nghĩa làVe> 0, V j = l,k , 3M. e N* , Vn > M .:
n-»00 J

(n)

xj

xj

Đặt

X

Đặt

Vk

= (x ), j = l,k . Ta sẽ chứng minh{xn} hội tụ đến

X

(n)

X ^ - Xj

M0 = max |Mj, M2, ...Mk} thì
(n)
X ^ - Xj

I
v l (n)
1 -X j

< £

2

(n)

j=l

j=i

xj

xj <£.

Vậy {x„} hội tụ đến X.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tuyến tính X và II , 11
xác định trên X . Hai chuẩn II và ||.||

là hai chuẩn cùng

gọi là tương đương nếu tồn tại hai số

dương a và p sao cho
a.||x||
<||x||
, V xeX
II Hi
II 112
r II Hi 5

Ví dụ 1.2.2.
chuẩn

Trên không gian véc tơ Mk , ngoài chuẩn ||x|| = ^ X Ixi|2 c^°

||x|| =max|x.Lx = í x 1,x„...,x. )€M k .
11 ""

I
'

v

Các chuẩn||x|| = A|X lxi|2 yà ||x|| = max|xj| là tương đương vì
Vi=i

ls^sk

||x0||< ||x||<-\/k ||x|| , V x e R k,

1.3. Phép tính vi phân trong không gian Banach
Định nghĩa 1.3.1,( Không gian các toán tử)
Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu

tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .

l (x , y )

là tập hợp các toán


-23-

Với A eL (X ,Y ), đậtIIa || = sup ||ax |

H1

Thì L(X,Y) là không gian định chuẩn.
Định lý 1.3.1. Nếu không gian Y là không gian Banach thì không gian
L(X,y ) cũng là không gian Banach.
Chứng minh.
Giả sử dãy {An} là dãy cơ bản trong không gian L (x, y ) .
Ta có
||AnX- AmX||= ||(An- Am)x ||^ ||An- Am! ||x||, Vx e X. (1.3.1)
C h o n ên v ớ ix e X cho trước,

||Anx - A mx||

0 (n>m -> °0)

Vậy dãy {Anx} là dãy cơ bản trong Y s mà theo giả thiết Y là không gian
Banach, nên dãy đó phải dần đến một giới hạn.
Ta đặt Ax = lim Anx và chứng minh A € L(X,Y).

Thật vậy,A là toán tử tuyến tính;
Mặt khác với £> 0 cho trước, ta có thể chọn N đủ lớn để
>N
I||An
l n - A_
mIIII< 8,
y Vn,m
y

Khi đó theo (1.3.1) ta có ||Anx -A mx||< e||x||
C h o m —>00 ta được||A x-Ax||<e||x||,Vn>N
^ A n- A € L ( X ,Y ) v à |An- A |< e ,V n > N ,

Nhưng A = An-(A n -A )e L (x ,Y ) và |An -

a| —
»0

Vậy dãy An có giới hạn A € l (x ,y ). Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.2. ( Đạo hàm Fréchet)
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ f :X —>Y được gọi là
khả vi tại điểm X€ Y nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A :X -» Y

(tứ c 3 A € L (x ,y )) sao cho: