Luận văn các trạng thái tạp chất trong graphene

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO VĂN LIM

CÁC TRẠNG THÁI TẠP CHẤT
TRONG GRAPHENE
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã sổ: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngưòi hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến
GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Thầy luôn tận tình chỉ dạy tôi những kiến thức về vật lý, luôn tạo điều kiện tốt
nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Sau một thời gian làm việc với Thầy, tôi
m ay mắn học được ở Thầy đức tính giản dị và gần gũi trong cuộc sống, sự
quan tâm giúp đỡ hết lòng với học viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn chị Nguyễn Thị Thùy Nhung ở viện V ật Lý,
người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn các Thầy cô ở khoa V ật Lý, trường đại học Sư Phạm Hà
N ội II, đã trực tiếp giảng dạy và cung cấp cho tôi những kiến thức về vật lý lý
thuyết trong thòi gian tôi tham gia học tập ở khoa.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người

luôn bên tôi những lúc kho khăn, cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học
tập. Xin chân thành cảm ơn!
H à Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Đào Văn Lim


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Tác giả luận văn


MỤC LỤC

M Ở ĐẦU.......................................................................................................................... 5

1. Lý đo chọn đề tài................................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................ 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................... 6
4. Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................................6
5. Phương pháp nghiên cứu................................................................................. 6
6. Đóng góp mới.....................................................................................................6
CHƯƠNG 1: TỒNG QUAN VẺ GRAPHENE...............................................................7

1.1 Giới thiệu về Graphene................................................................................. 7
1.2 Các tính chẩt điện tử cơ bản của Graphene................................................ 8
1.2.1. Cấu trúc tinh thể..........................................................................................8

1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính..........................................................................10
1.2.3. Chirality.....................................................................................................17
1.2.4.
1.2.4.1.

Truyền dẫn ballistic................................................................................ 19
Chui ngầm Klein................................................................................ 19

1.2.4.2. Giới hạn độ dẫn lượng tò...................................................................... 23
1.2.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường...................................................... 25

1.3

Graphenepha tạp....................................................................................... 28

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỈNH Đ ộ DẴN BẰNG HÀM GREEN HÔI QUI.. 30

2.1 Công th ức Kubo-Greenwood.......................................................................30
2.2

Tính cho mật độ trạng thái bằng hàm Green hồi qui............................35

2.2.1

Hàm Green hồi qui..................................................................................35

2.2.2

Tính mật độ ừạng tháiđịnh x ứ ...............................................................37

Tóm tắt chương 2 ........................................................................................................ 38


CHƯƠNG 3: NGHIÊN cửu KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TRUY HÒI...................................................................................................................... 39

3.1

Phương pháp truy hồi................................................................................39

3.1.1

Khai triển toán tử ừên các đa thức trực giao..........................................39

3.1.2 Độ rộng bình phương trung bình.............................................................. 42

3.2 Một số kết quả số về các trạng thái tạp chẩt của graphene....................... 46
Tóm tắt chương 3 .......................................................................................................... 54
KẾT LUẬN..................................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 56


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Một số dạng thù hình của Carbon từ trải qua phải, từ frên xuống dưới:
tấm graphene, than chì (graphite), ống nanô carbon, /uỉỉerence (quả cầu C60)....... 7
Hình 1.2 Mô hình mạng tỉnh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A v à B
giống nhau, lồng vào nhau..............................................................................................9
Hình 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brỉllouỉn của graphene: (à)Cảc vector cơ sở

( x, 2), (b) các vector cơ sở mạng đảo ịĩ^ b ^ v à vùng Brỉllouỉn thứ

mạng thuận ã ã

nhất.................................................................................................................................10
Hình 1.4 Mạng tỉnh thể graphene. Mỗi nguyên tử carbon có 3 nguyên tử lân cận gần
nhất và 6 nguyên tử lân cận tiếp theo........................................................................... 12
Hình 1.5 Mô tả cẩu trúc vùng (à), phóng to cẩu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các
trạng thải giả spin (c) và mật độ trạng thải (d)............................................................14
Hình 1.6: cẩu trúc vùng nhận được bằng phương pháp tight-bỉndỉng và phương
pháp ab-ỉnỉtỉo.................................................................................................................15
Hình 1.7 Khối lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ
điện tủ n .......................................................................................................................... 17
Hình 1.8: (a) Cơ chế fruyền dẫn khuếch tản và (b) cơ chế truyền dẫn ballỉstìc........ 20
Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein............................................................................. 20
Hình 1.10: Hệ số ừuyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn láp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lả cây ứng với bản dẫn thông thường có vùng cẩm........................22
Hình 1.11: Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu
dỉển độ dẫn theo công thức (1.4.19), các điểm hình tròn và hình vuông là số liệu
thực nghiệm tương ứng của nhóm Miao (2007) và nhóm Danneau (2008)...............25


Hình 1.12: Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bản dân hai chiều thông thường, (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T =
4K ,B= 14T.................................................................................................................... 26
Hình 1.13: Hiệu ủng Hall lượng tử của graphene ở nhiệt độ T = 3 0 0 K ,B = 2 9 T
28
Hình 3.1 : DOS theo năng lượng vcn nồng độ tạp khác nhau, V = 2t, £ê = -t/1 6
........................................................................................................................................47

Hình 3.2: Hình phóng to hình 3.1 trong khoảng năng lượng [—0.3,0.3]................. 48
Hình 3.3: Hệ sổ khuếch tản theo thời gian với E=-0.73eV. Thời gian được tỉnh theo
đơn vì ~/we .....................................................................................................................49
Hình 3.4: Hệ sổ khuếch tản theo thời gian với E=0.27eV. Thời gian được tỉnh theo
đơn vì / e ..................................................................................................................... 50
Hình 3.5: Hệ sổ khuếch tản theo năng lượng vcn nồng độ tạp

n = 1% ...........51

Hình 3.6: Hệ sổ khuếch tản theo năng lượng vcn nồng độ tạp

na= 5%.......... 52

Hình 3.7: Hệ sổ khuếch tản theo năng lượng E vcn nồng độ tạp Tia khác nhau tại
thời điểm t4 = 1000.......................................................................................................53


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Công nghệ bán dẫn với ừansistor truyền thống đã phát triển hết sức mạnh mẽ
suốt từ thập kỷ 50. Tuy nhiên mật độ ừansistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các
nguyên lý hoạt động của ừansistor cổ điển không còn đứng nữa, đó là vấn đề mà
các nhà vật lý và công nghệ quan tâm khi tiếp tục giảm kích thước.Thúc đẩy về
khoa học kỹ thuật khai sinh ra khoa học nano và công nghệ nano. Công nghệ nano
đặt ra các yêu cầu mới cho vật liệu. Việc tìm kiếm vật liệu mới làm cơ sở cho linh
kiện nano đóng vai ừò then chốt ừong cuộc các mạng công nghệ hiện đại. Trong
quá ừình nghiên cứu các nhà khoa học hy vọng rằng chính Carbon, với những tính
chất độc đáo sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Có thể ừong tương lai, Carbon sẽ thay

thế Silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ nano
ừên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano hiện dựa ừên ống nano Carbon và
Graphene đang thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà khoa học. Graphene không
đơn giản là vật liệu carbon mà nó còn mở đầu cho cuộc cách mạng nghiên cứu tinh
thể hai chiều.
Graphene có cấu trúc siêu mỏng, chỉ gồm một lớp các nguyên tử Carbon, nó
có những tính chất vật lý mới lạ so với vật liệu bán dẫn truyền thống: bền vững, dẫn
điện và dẫn nhiệt rất tốt. Các tính chất này có nguyền gốc từ hệ thức tán sắc tuyến
tính rất đặc trưng xung quanh điểm Dirac ừong cấu trúc vùng năng lượng của
Graphene. Graphene được kỳ vọng là loại vật liệu lý tưởng để thay thế cho các vật
liệu bán dẫn truyền thống ừong các linh kiện điện tử tốc độ cao.
Tuy nhiên, Graphene cũng như vật liệu bán dẫn khác không thể tránh khỏi
tâm tạp. Các tâm tạp này ảnh hưởng đến tính chất của Graphene. Bởi vậy chúng tôi
chọn đề tài “ Các ừ-ạng thải tạp chấi frong Graphene” cho luận văn cao học này.


6

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về các tính chất elecừon của Graphene khi có các tâm tạp.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Cấu trúc năng lượng của Graphene khi có pha tạp
- Xây dựng công thức tính mật độ ừạng thái.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tinh thể Graphene pha tạp.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp hàm Green hồi qui.

6. Đóng góp mới
- Tìm hiểu thêm về các tính chất điện tử của Graphene pha tạp và từ đó có
thể góp phần ứng dụng Graphene ừong các linh kiện điện tử.


7

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE
1.1 Giới thiệu về Graphene
Carbon là nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ mới. Có thể ừong tương lai, carbon sẽ
thay thế silic, và công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng công nghệ
nano ừên nguyên tắc hoàn toàn mới. Các cấu trúc nano của nguyên to carbon như
quả cầu Fullerenes C60, ống nano carbon, dải nano carbon đã và đang được nghiên
cứu ừong lĩnh vực vật lí nano.

Hình 1.1 Một so dạng thù hình cùa carbon từ trái qua phải, từ trên xuống dưới: tấm graphene,
than chì (graphite), ống nanô carbon, jullerence (quả cầu C60)

Graphene đơn giản là một lớp đơn nguyên tử của mạng tinh thể than chì. Mặc
dù vậy, năm 2004 người ta mới tạo được một lớp đơn nguyên tử như vậy ừên đế
Si02 phục vụ cho nghiên cứu [1,2]. cấu trúc của graphene chính là cơ sở của các
cấu trúc nano Carbon. Từ mặt phang graphene ta có thể hình thành nên ống nano
carbon bằng cách cuộn mặt phang mạng theo một chiều nào đó với một chu kỳ nào
đó, để thu được các ống nano carbon khác nhau. Hoặc có thể cắt mặt graphene theo
một đường nào đó, với độ rộng nào đó, để thu được các dải nano carbon.


8

Graphene có nhiều tính chất đặc biệt thú vị so với các vật liệu thông thường: ở
nhiệt độ thấp, các elecừon biểu hiện như những hạt tương đối tính không khối
lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ vào khoảng 1/300 vận tốc ánh sáng. Hàm sóng
của elecừon có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của các spinor có liên quan
đến hướng của xung lượng là nguyên nhân chính của tính chirality. Đặc biệt
graphene có khả năng truyền dẫn nhiệt tốt. Độ linh động của elecừon ừong
Graphenecó thể đạt tới 105cm /V s , cao hơn hẳn so với độ linh động của electron
ừong Silicon (cỡ 1350cm2/Vs), hay GaAs (cỡ 8600cm2/Vs). Bởi vậy, graphene
được kỳ vọng sẽ thay thế vật liệu bán dẫn thông thường ừong nhiều ứng dụng, từ
sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến các cảm biến hóa sinh học.

1.2 Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene
1.2.1. Cấu trúc tinh thể
Graphene là một mạng tinh thể hai chiều được tạo thảnh do sự liên kết giữa
các nguyên tử carbon sắp xếp tại đỉnh các ô lục giác, hai đỉnh gần nhất cách nhau
1.42/4° . Có thể xem mạng này là hai mạng con tam giác lồng vào nhau (ký hiệu là
A và B) như hình 1.2. Nguyên tố carbon có cấu hình elecừon ls22s22 p 2 với bốn
điện tử ở lớp ngoài cùng. Ba ừong bốn điện tử này hình thảnh các orbital lai hóa
sp2, thực hiện các liên kết ơ với các nguyên tử lân cận, đảm bảo tính bền vững của
mạng. Điện tử cuối cùng thực hiện liên kết Jĩ không định xứ ừên toàn mạng tạo
thảnh khí điện tử hai chiều quyết định các tính chất elecừon của graphene [3].


9

w

A

A

A

Y

.

'' \

-''

I

- ¿ Ỹ ' " "'y ^

-"■ \ "'y-'

I

I

I

Hình 1.2 Mô hình mạng tinh thể graphene, gồm hai mạng con tam giác A và B giong nhau, lồng
vào nhau.

Mạng tinh thể graphene được xác định bằng các vector cơ sở
A
f S \ và a2 = a r s

2 ’2
2

_ 1_A,
’

2

ừong đó a = y/ỉacc là hằng số mạng, với

acc = 1.42 Ã là khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon gần nhau nhất. Từ các vector
cơ sở này ta có thể xây dựng các vector mạng đảo:

2 ĩĩ( 1 N
bx = —
a ~S'

............
,
ì
,
2ĩi 1
b2= — - p , - l và vùng Brillouin thứ nhât của graphene như hình 1.3b. Vùng
. V3
)
Brillouin ứiứ nhất của graphene có dạng lục giác đều với trục quay bậc ố qua điểm
r . Trong 6 điểm của vùng Brillouin chỉ có hai điểm K

K'

f 2ĩ ĩ

2ĩ ĩ N

3a ay/3

và

,
là không tương đương, các điểm còn lại thu được bằng cách tịnh
3a a\J3 )

tiến các điểm này một số nguyên lần vector mạng đảo.
Chính tính đối xứng của mạng tình thể graphene quyết định các tính chất đặc
biệt của vật liệu này. Hai tính chất điện tử quan ừọng nhất làm nên một graphene
nổi trội là hệ thức tán sắc tuyến tính và tính chirality.


10

Hỉnh 1.3 Các vector cơ sở và vùng Brỉllouỉn của graphene: (a)Các vector cơ sở mạng thuận

, a 2 ) , (b) các vector ca sở mạng đảo

, b2j và vùng Brillouin thứ nhất.

1.2.2 Hệ thức tán sắc tuyến tính
Cấu ừúc vùng năng lượng của graphene đã được nghiên cứu chi tiết bằng
phương pháp gần đúng liên kết mạnh (tight-binding) và ab-ỉnỉtỉo. Ở đây, để đơn
giản chúng tôi giới thiệu tính toán bằng phương pháp gần đứng liên kết mạnh và so

sánh kết quả nhận được với phương pháp ab-ỉnỉtỉo [4].
Hàm sóng của elecừon ừong gần đứng liên kết mạnh được tìm dưới dạng tổ
hợp tuyến tính của hai hàm Bloch ừên hai mạng con:
xự = CAẹ A + CBẹB
Trong đó:

Ví

=

với pz ( ĩ)

( ĩ --K --*)

là hàm nút nguyên tử ừong vật lý chất rắn (orbital của nguyên tử

carbon), N ữ là số ô nguyên tố mà ừên đó ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn BornKarman. Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng của ừạng thái điện tử (E) là ừị riêng
của Hamiltonian liên kết mạnh (phươngpháp LCAO- trựcgiao)


11

H =

có ứiể xác định từ phương trình
det

H ^ -E

Hm

H'

H bb- E

=

0

( 1.2)

Các yếu tố ma trận được tính trực tiếp theo định nghĩa:

0 R,R'
u

_

1

'V

*(*'-■*) /

H AB=jJ- Ỵ , e x
7V0

A,R I tt I

\pị

B ,í' \

\H\pị

)

Trong đó
p f= P z(r-R ,-s)
PỈỉ = Pzị? - & ,- R )

Thực hiện tính toán đối với các mạng vô hạn ( N —>oo) (nghĩa là các mạng đủ
lớn sao cho số các nguyên tử ở biên là không đáng kể so với tổng số các nguyên tử
của toàn mạng), ta lưu ý rằng ừong các biểu thức ừên, khi cho một ừong hai chỉ số
(ĩ?,ĩ?') biến đổi, ta thấy tổng có tính đối xứng đối với tất cả các vị ừí khác nhau
ừên mạng của chỉ số kia, kết quả là thừa số ì/N o sẽ tự động ừiệt tiêu khi thực hiện
lấy tổng theo một chỉ số, do đó có thể viết lại các số hạng này dướidạng:
TT _ 'V *(■*-■*’) / _A,Ẵ Itt\ _A,Ễ'\
H AA=ỵje
\ P z \H \ Pz )


12

Hình 1.4 Mạng tình thể graphene. Mỗi nguyên tử carbon cỏ 3 nguyên tử lân cận gần nhất và 6
nguyên tử ¡ân cận tiếp theo.

Khai triển hệ thức ừên và chỉ tính đến tương tác của lân cận thứ 2 như minh
họa ừên hình 1.4:

Bên cạnh đó, do tính đối xứng của hai mạng thảnh phần nên H ^ = H s s , và
do tính liên hợp Hermite của toán tử Hamilton mà ta có H ẤB = H*BÁ.
Ta đặt:
a =( p f \ H \ p f )
t = ( p f \H\pB
z Ẵ ) = ( p f \H\ p bzA ) = { p ? \H ự z )

Thay vào biểu thức ừên ta được:

HAÍ= H „ = a + s ỵ e a ’ = a + t%(k)
= H l = t ự * +*** + *“* ) = !/;(*)


13

Tọa độ của 3 lân cận thứ nhất là:
$= !(W Ĩ)

st = ị ( i , S )


và tọa độ của 6 lân cận thứ 2:
ổ; = ±ãí

Trong đó

ễ'2 = ±ã2

¿>1 = ±(ã1- ã 1)

= —^3,V3 jv à ã2 = —(3,-yỈ3 ), a = -v/3acc là hằng số mạng

Ta tính được:
: e f ( ^ ) + e f ( ^ ) + eiúK

/i(* ) = '

/2 (£) = 2 Ịcosịkãl ) + cosịkã2) + cosị k ( ã 2 - ãx)j |

=4 c o sỊ^ } ,
V

2

+ 2cos(-\/3aẮ:;),)
y

-/(ỉ)
Nhận thấy /j ịú j| = 3 + / (Ã), thay vào phương trình (1.2) ta thu được:
E { k ) = a ± t ^ +f { k ) + t ' f { k )

(1.4)

Ở đây:
a là gốc tính năng lượng, có thể chọn a = 0 .
t « 2.8eV là năng lượng hopping giữa hai nguyên tử lân cận gần nhất
(nguyên tử thuộc hai mạng con A và B).
t' « - ữ.ìeV là năng lượng hopping giữa hai nguyên tử lân cận gần thứ hai

(nguyên tử cùng một mạng con, AA hoặc BB).
Phương ừình (1.4) được gọi là hệ thức tán sắc của elecừon ừong cấu ừúc mạng
đơn lớp graphene ở gần đúng liên kết mạnh.


14

ẹft

Hình 1.5 Mô tả cẩu trúc vùng (a), phỏng to cẩu trúc vùng ở lân cận điểm K (b), các trạng thái giả
spin (c) và mật độ trạng thải (d).

Do đóng góp của số hạng liên quan với lân cận thứ hai là rất nhỏ so với lân cận
gần nhất, nên ừong lân cận điểm Dirac người ta thường chỉ dừng lại ở gần đứng lân
cận gần nhất, nghĩa là gần đứng xem í= 0 . Khi đó, hệ thức (1.2.4) được viết như

¿?±(£) = ± ^ 3 + / ( £ )

(1.5)

Ở đây, dấu cộng ứng với cấu ừúc vùng dẫn, dấu ừừ ứng với cấu ừúc vùng hóa ừị.
Cấu trúc vùng năng lượng ừong (1.5) được minh họa bằng đường gạch-gạch và
đường liên tục là kết quả tính bằng phương pháp ab - initio ừên hình 1.6(a). Do
ừong phương pháp gần đúng liên kết mạnh ta chỉ xét đến đóng góp của số hạng ở
lân cận gần nhất, nên dẫn đến sự không ừùng khớp cấu trúc vùng năng lượng ở hai
phương pháp tính. Sự sai khác đó được mô tả ừên Hình 1.6(b).


15

—

ah iniiiữ

tighi binding

M

r

K

M

Wave vector

Hình 1.6: cẩ u trúc vùng nhận được bằngp hương pháp tight-bỉnding (đường nét đứt) và phương

pháp ab-ỉnitỉo (đường nét ỉiền).

Ô cơ sở của mạng graphene có hai nguyên tử carbon nên có hai điện tử tự do5
do đó vùng hóa trị hoàn toàn lấp đầy và vùng dẫn hoàn toàn trống. Chúng tiếp xúc
nhau ở sáu điểm của vùng Brillouin như thể hiện ồ hình 1.5(a), ừong đó chỉ có hai
điểm K và K là không tương đương. Trong graphene tỉnh khiết (chưa pha tạp), mặt
fermi nằm ở giao điểm của vùng dẫn và vùng hóa trị. Như vậy, có thể kết luận
graphene là một bán kim. Hầu hết các tính chất điện tử quan ừọng của graphene đều
được xác định bởi các ừạng thái điện tử có năng lượng gần mức Fermi (năng lượng
thấp). Do đó, khai triển Taylor cấu trúc vùng năng lượng (1.5) xung quanh điểm K
hoặc k ' : k = K + q với điều kiện \q\«
E±(q) = ±vF \q\,

K ta được
(16)

ừong đó VF = \ f ĩ t a / 2 «106m / s là vận tốc fermi, hoàn toàn không phụ thuộc vào
nồng độ hạt tải (thực nghiệm đo được vp ~ Ì0^m/s). Ta thấy rằng, hệ thức tán sắc
(1.6) của điện tử trong graphene là tuyến tính vớỉ vector sóng mô tả trên hình
1.5(b), khác biệt hoàn toàn với hệ thức tán sắc parabol của điện tử tự do ừong kim
loại hay bán dẫn hai chiều. Quy luật tuyến tính ừong (1.6) là gần đúng tốt ừong


16

miền \E\Các hệ quả trực tiếp nhận được từ hệ thức tán sắc tuyến tính là:

•Mật độ trạng thái ừên một ô nguyên tố tính cho một phương của spin trong
graphene ở gần điểm K hoặc K ' phụ thuộc tuyến tính vào năng lượng (hình
1.5d):
(1.7)

Với Ac

là diện tích ô nguyên tố của mạng graphene. Công thức này

cho thấy mật độ ừạng thái ừong graphene khác biệt với mật độ ừạng thái ừong
các vật liệu khác (khí điện tử hai chiều thông thường (p(E) = const) và carbon
nanotube pĨE)™

Đối với graphene thuần khiết, mật độ ừạng thái bằng

không tại năng lượng Fermi.

*Khổi lượng cyclotron phụ thuộc vào căn bậc hai của nồng độ điện tử
( 1.8 )
Mối quan hệ này là kết quả của hệ thức tán sắc tuyến tính cho các hạt không
khối lượng được mô tả bằng phương ừình Dirac. Ket quả được kiểm chứng
bởi nhóm Novoselơv. Khối lượng cycloừon được ừình bày ừên hình 1.7 cho
thấy sự tồn tại của giả hạt Dirac không khối lượng ừong graphene.
Phương ừình mô tả các ừạng thái kích thích năng lượng thấp ừong graphene
giống phương ừình Dirac cho các íermion không khối lượng. Nên các elecừon và lỗ
ừống ừong graphene được gọi là các íermion Dirac, và điểm giao nhau của các hình
nón tại mức fermi được gọi là các điểm Dirac.


17

n (1012citv2)

Hình 1.7 Khắỉ lượng cyclotron của điện tử trong graphene phụ thuộc vào nồng độ điện tử n (các
đường vòng tròn ¡à các giá trị thục nghiệm).

1.2.3. Chirality
Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho
elecừon ừong graphene ở lân cận điểm K \ ầ K
HK

(*>

f

0

0

(1.9)

=vFở p = - H K
T,{k)

ừong đó ở = ị ơ x, ơ y^ là các ma ừận Pauli
Hamiltonian này có dạng giống với Hamiltonian Dirac hai chiều cho hạt tương
đối tính không khối lượng. Do đó, hàm sóng của điện tử ừong graphene có cấu trúc
spinor hai thành phần, với điểm K (hình 1.5(c))
V±,K

( ĩ\

Còn với điểm K ’

1

' e-wìl2'
1 iOịỊ2

( 1.10)


18

( ei0i!2 Ì

4Ì
dấu ± tương ứng với năng lượng E = ±v k cho vùng dẫn và vùng hóa ừị và
í k% }

\K j
Tuy nhiên cần lưu ý: ỡ = ị ơ ,ơ ) không phải đặc trưng cho spin thật mà nó
chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của cả hai mạng con, nên
được gọi là giả spin (pseudospins). Hai thảnh phần ừên và dưới của hàm sóng liên
quan đến biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một ừong hai mạng con tương ứng, do đó
hàm sóng (1.10) và (1.11) được gọi là các giả spinor (pseudospinor).
Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan
tới xung lượng của hạt (Hìnhl.5(c)). Điều này có nghĩa là hàm sóng của các
elecừon ừong graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất
cho biết hình chiếu của toán tử spin dọc theo hướng của xung lượng ). Toán tử đặc
trưng cho tính chất này là toán tử helicity
h =ỡ Ậ
1^1

(1.12)

Theo định nghĩa này thì các ừạng thái y/K{r) và y/K, (r ) cũng là vector riêng
của toán tử

Ợ) =

Ợ)

hy/K,(r) = +y/K,(r)

Do đó, toán tử ít chỉ có hai ừị riêng là ± 1, điều này có nghĩa: ừong các ừạng thái
riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc đối song với
với xung lượng. Ở lân cận điểm K, elecừon có helicity dương và lỗ ừống có helicity
âm, dấu helicity ngược lại khi elecừon ở gần K \ Tính chất này thể hiện tính đối


19

xứng giữa elecừon và lỗ ừống tương tự như đối xứng liên hợp điện tích ừong điện
động lực học lượng tử.
Bản chất chirality của elecừon ừong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các
hiện tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các elecừon ừong vật liệu thông
thường. Ở đây, chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality
là chui ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử ừong graphene.

1.2.4.

Truyền dẫn ballistic

Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình / (quãng đường ừung bình
elecừon di chuyển được mà momentum của nó chưa bị thay đổi) là một tham số rất
quan ừọng. Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn le, elecừon có thể chuyển động hết
chiều dài của hệ mà mômen động lượng của nó vẫn giữ nguyên. Chuyển động như
vậy được gọi là ừuyền dẫn ballistic (Hìnhl.7(b)), ngược lại được gọi là truyền dẫn
khuếch tán (Hìnhl.7(a)). Với graphene, ỉe có thể rất lớn (cỡ 1jum) nên cơ chế
ballistic đóng vai ừò quan ừọng [5].

ĩ .2.4.1.

Chui ngầm Klein

Chui ngầm là hiện tượng elecừon chuyển động vào miền có bờ thế rất cao (so
với năng lượng của elecừon), mà theo quan niệm cơ học cổ điển lẽ ra phải là miền
cấm đối với elecừon. Trong cơ học lượng tử, chui ngầm lượng tử là quá ừình mà
hàm sóng của hạt không tương đối tính có thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất
truyền qua giảm theo hàm e mũ theo chiều cao và độ rộng của bờ thế. Với bờ thế có
chiều cao hữu hạn, xác suất truyền qua nhỏ hom một, bờ thế có chiều cao vô cùng
thì xác suất truyền qua bằng không.


Hình 1.8: (a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tản và (b) cache truyền dẫn ballistic.

Chui ngầm Klein: Đối với hạt Dirac, xác suất ừuyền qua phụ thuộc vào góc
tới. Trường hợp góc tới d = 0° (xung lượng ngang bằng 0) thì xác suất truyền qua
luôn bằng 1 kể cả khi bờ thế có chiều cao vô cùng. Điều này có thể giải thích dựa
ừên tính chất của phương ừình Dirac là phương ừình nhận cả ừạng thái năng lượng
âm (elecừon) và ừạng thái năng lượng dương (lỗ ừống). Do đó, với một bờ thế thì
ừạng thái bên ngoài bờ thế (elecừon) và ừạng thái bên ừong bờ thế (lỗ trống) được
nối với nhau (Hìnhl.9a).

Hình 1.9: Mô hình chui ngầm Klein: electron chuyển động ở vùng dẫn đến gặp bờ thể cỏ chiều cao

Vữ và chuyển thành lỗ trong khi đi vào vùng hóa tr ị.
Trường hợp góc tới 6

0°:


21

(1.13)
Nêu bờ thế có dạng nghiêng như ừong chuyển tiếp p-n được tạo ra bởi thế tĩnh điện,
thì dạng của xác suất truyền qua.
(1.14)
ừong đó d là độ rộng bờ thế chuyển tiếp.
Từ các công thức (1.13), (1.14) ta nhận thấy rằng khi góc tới bờ thế 0 = 0 thì
xác suất chui ngầm của elecừon luôn bằng một, không phụ thuộc vào độ cao, độ
rộng cũng như hình dạng bờ thế. Ket quả này có được là do tính chat chirality ừong
graphene. Trên (Hình 1.9b) mô tả chui ngầm của điện tử có xung lượng ngang bằng
không ừong graphene qua bờ thế có độ cao Vữ, độ rộng là D. Hình vẽ mô tả phổ
năng lượng, màu xanh và màu đỏ của các nhánh năng lượng tương ứng với hai
ừạng thái giả spin cho hai mạng con A và B. Một elecừon với giả spin ơ , xung
lượng k đang ở nhánh màu đỏ, chuyển động tới gặp bờ thế, năng lượng tới E của
elecừon (đường chấm chấm) nằm ừong vùng dẫn khi ở ngoài bờ thế và vùng hóa ừị
khi bên ừong bờ thế. Do tính chất chirality của hàm sóng, ừạng thái elecừon
khi vào bờ thế chuyển thành ừạng thái lỗ ừống

cùng ở nhánh màu đỏ

(không thể chuyển sang ừạng thái ở nhánh màu xanh vì ừạng thái này yêu cầu giả
spin phải đổi hướng). Sự liên tục về ừạng thái giả spin dẫn tới xác suất truyền qua
bờ thế của elecừon luôn bằng một mà không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng cũng
như hình dạng bờ thế [6].