Luận văn thạc sĩ phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC


TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP
NEWTON - KANTOROVICH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN
Chuyền ngành: Toán Giải Tích
Mã sổ: 60 46 01 02

LUẬN VÃN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình
của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả rất nhiều trong

cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả
cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau
đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên
ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả


-4

LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài:
“ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương
trình phi tuyến” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừa
thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả


-5
MUC LUC
••


MỞ ĐẦU
Lý do chọn đè tài

Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi
tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn đến việc nghiên cứu
nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có dạng tổng quát A.x = f (1), trong đó A là các toán tử đi từ không gian
định chuẩn Rn vào không gian định chuẩn Rn.
Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình
(1) là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề xuất và sử dụng như :
Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, phương pháp biến phân ....Người ta xét đến những đặc thù của toán tử

Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ CO Banach là
phương pháp thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép
lặp đơn. Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa phương trình (1) về dạng X = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc
trên toàn không gian Mn , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất
động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và các mở rộng
của nó như Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông
qua việc giải những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên
phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm.


-7

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải xấp xỉ
hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp
Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực hiện luận văn của
mình.

2. Mục đích nghiền cứu
Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là phương pháp
lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết họp của hai phương pháp đó trong
giải phương trình trong tập số thực R và hệ phương trình phi tuyến trong không gian
Rn. ứng dụng giải một số phương trình và hệ phương trình cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiền cứu
Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich giải
phương trình và hệ phương trình phi tuyến.

4. Đổi tượng và phạm vi nghiền cứu
-

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến.

-

Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết
họp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến trong không gian Rn; ứng dụng
vào giải các phương trình và hệ phương trình cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
-

Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và áp dụng phần
mem Maple trong tính toán và vẽ đồ thị.

6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống lại phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải
phương trình và hệ phương trình phi tuyến. Áp dụng giải một số hệ phương trình phi
tuyến cụ thể.
CHƯƠNGI
MÔT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BI
••

-8

1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

l.l.l.

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập họp X ± (|) cùng với một ánh xạ d:XxX -»R thoả mãn
các tiên đề sau đây:

1) d(x,y) > 0,(Vx,y E X) , d(x,y) = 0 <=> X = y
2) d(x,y) = d(y,x),(Vx,y E X)

( tiên đề đồng nhất);
( tiên đề đối xứng);

3) d(x,y)< d(x,z) + d(z,y),(Vx,y,z e x)

( tiên đề tam giác). Khi

đó tập họp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric. Ảnh xạ d gọi là một
metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x,y.
Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu là X = (x, d) .
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric x = (x,d). Một tập con bất kỳ x0*ộ của tập
họp X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric
X0=(xo,d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho.
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳx,y EM. ta đặt:

d(x,y) = |x-y|

(1.1.1)

Từ tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập hợp số thực suy ra hệ thức (l.l.l)xác định một
metric trên M, không gian tương ứng được ký hiệu là M1 •Ta gọi metric (1.1.1) là
metric tự nhiên trên M .


-9

Ví dụ 1.1.2. Với hai phần tử bất kỳ X = (x 1 ,x 2 ,...,x k ),y = (y1,y2,...,yk) thuộc không
gian véc tơ thực k chiều M* ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt:
d ( x ’ y ) = ^ | È ( x j - y j )2

O-1-2)

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Để kiểm tra hệ thức
(1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopski:
Với 2k số thực apbj, (j = l,2,...,k) ta có
k nr nr
i>b njxJJx
j=i V j=i V j=i

(1.1.3)

Thật yậy
i i i k v =
i=i L j=i

ii-tt-2̱«W,+zixb'2
J i=i j=i i=i j=i
f kVk>n
= 2 ix z>; -2 i>Ai
V j=! AH 2 V j=!

i=i j=i
V
2

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3).
Với 3 véc tơ bất kỳ x = (x1,x2,...,xk),y = (y1,y2,...,yk),z = (z1,z2,...,zk)thuộc K1
ta có :
d(x’y) = È(xj-yj) = È[(xj-zj)+(zj-yj)]
j=i
j=i
=Z(XJ - ZJ )2+2Ề (XJ - zi )(zi - yj) ■+■ ằ(zi - yj )2
j=i

j=i

j=i

= d2 (x,z) + 2d(x,z)d(z,y) + d2 (z,y)
= [d(x,z) + d(z,y)]2
^>d(x,y)< d(x,z) +
d(z,y)


-

Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric.


-

Vì yậy hệ thức (1.1.2) xác định một metric trên không gian Rk.
Không gian metric tươg ứng vẫn ký hiệu là Rk và thường gọi là không gian Euclide,
còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide.
Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu l 2 là tập tất cả các số thực hoặc phức X = {xn}”°=i sao
n=l

„®2
cho chuôi sô dương 2jxn| hội tụ .

Với hai dãy số bất kỳ X = {xn )l=i, y = {yn )l=l ta đặt
( ’y) = ÌẺIxn-yn|2
V n=l

(1-1-4)

d x

Hệ thức (1.1.4) xác định một ánh xạ d: i2 xi2 ->E. Thật yậy, với mọi n = 1,2,...ta có
Do đó mọi số p dương đều có
p
p
p
00 00
i k - yx'-2xn.yn+y'

j £ 2 Ệ | x B | + 2£ | y n | < 2 ^ | x n | + 2 ^ | y n |
n=l
n=l
n=l
n=l
n-yj n = l
2

2

2

2

2

x

+|

2
)

Suy ra
» 2 » 2 « 2 Y l x - y l <2Y|
xl + 2Y|yl
I n * n I I n I IJ n I
n=l
n=l
n=l

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1.4) hội tụ.
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric.
Với ba dãy số bất kỳ x = {xB}“=1,y = {yB}“=1,z = {zB}“=1 thuộc í2 và với số p


11
<
nguyên dương tuỳ ý ta có:
11
, |
p
2
2
V 2~
X
< Z ^l | x n -/z n | 1+ | Iz n I- y n |1j
- y
_ n -1
1 n
00
d(x,y) = Ẻl x n
-yn|2
_ n = l

111
2 00
< Ẻk-^I 1
_ n = l

-

2

00
+ Ẻl z n -yn|2
_ n=l

= d(x,z) + d(z,y)

Cho p ->■ 00 ta được
Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric.
Vì yậy hệ thức (1.1.4) xác định một metric trên ¿2. Không gian metric tương ứng vẫn
ký hiệu là i2 . Không gian metric i2 đôi khi còn gọi là không gian Euclide vô hạn chiều.
Ví dụ 1.1.4. Ta ký hiệu C[ b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục
trên đoạn [a,b] , (-00 < a < b < +00) . Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t)eC[a b] ta đặt
d(x,y) = max|x(t)-y(t)|.
(1.1.5)
v 7 aátáb 1 v 7 v 7I
Vì các hàm x(t),y(t) liên tục trên đoạn[a,b], nên hàm số |x(t)-y(t)| cũng liên tục trên
đoạn [a,b] .Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b]. Suy ra hệ thức (1.1.5)
xác định một ánh xạ từ Cj b]xC( b] -> M.
Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric.
Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là b].
Ví dụ 1.1.5. Ta ký hiệu b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực và khả tích Lebesgue trên
đoạn [a,b] .Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t)e b j ta đặt
d(x,y) = J|x(t)-y(t)|dt
Hê thức (1.1.6) xác đinh môt ánh xa từ Lr X Lr -> M .
v J [a>b] [a>b]

(1.1.6)

Với hai hàm số bất kỳ x(t),y(t)e Lj bj ta có |x(t)-y(t)| > 0, vt e [a,b] =>
d(x,y) = J|x(t)-y(t)| > 0

a

b
d(x,y) = 0 <=> J|x(t)-y(t)| = 0
a
<=>|x(t)-y(t)| = 0 h.k.ntrên [a,b]
<=>x(t) = y(t) h.k.ntrên [a,b].
Vì tích phân Lebesgue của một hàm số không thay đổi khi ta thay đổi giá tri của hàm số
đó trên tập có độ đo Lebesgue bằng 0, nên trong không gianL[a,b]
ta đồng nhất hai hàm số khi chúng chỉ khác nhau trên một tập có độ đo Lebesgue bằng
0. Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric.
Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6) thoả mãn
các tiên đề 2), 3) về metric. Vì yậy ánh xạ (1.1.6) xác định một metric trên tập L[ b] .
Không gian tương ứng vẫn ký hiệu là L[ b] .
Định nghĩa 1.1.3.Cho không gian metricX = (x,d),dãy điểm (xn}cX, điểm x0eX. Dãy
điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian X khi n—»00, nếu Vs>0,3n0
eN*,Vn>n0 ,d(xn,x0)<£ .
Kí hiệu: limX—»00
xn = x0 hay xn ->xo(n-»oo)
Điểm xo còn gọi là giới hạn của dãy Ịxn Ị trong không gian X.
Ví dụ 1.1.6. Sự hội tụ của một dãy điểm Ịxn} trong không gian M1 là sự hội tụ của dãy
số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.1.7. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides Mk tương
đương với sự hội tụ theo toạ độ.

Thật yậy, giả sử dãy điểm x (n) =(xỊ n) ,x ( 2 n) ,...,x ( k n) ),n = l,2,... hội tụ tới điểm x =
(xpx2,...,xk) trong M* . Theo định nghĩa , Vs>0,3n0 eN*,Vn>n0 , ta có:
d(x(n)’x)=^È(xỉn)-xj)2

<
n)
Các bất đẳng thức (1.1.7) chứng tỏ , với mỗi j = I,2,...,k dãy số thực Ịxị j hội tụ tới số
Suy ra (n)
(1.1.7)
< e, Vn > n 0 , Vj =
X X
j j .Sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ . Ngược lại, giả sử
thực Xj khi n -»00
dãy điểm x(n) =(xjn),x(2n),...,x[n)),n = l,2,... hội tụ theo toạ độ tới điểm x =
(xlsx2,...,xk) . Theo định nghĩa , Vs>0, với mỗi j = i,2,...,k ,
(n)
3nj e N*,Vn > nị}
j j
V => Ề (xín) - xj)2 < => JỀ (xín) - xj)2 <e5Vn>n0.
=> (xín) - xj)2 ^ ^->(j = 1>2>->k)
n
j=i
]Ị j=i
(n)
< I—,gian
J —
Do
điểm đã
cho khội

tụ theo
Euclide
j j của không
Đặtđón0dãy
= max{n
j , thì
Vn>nmetric
pn2,...,n
0,
1,2, ...,k M* .
Vn
Ví dụ 1.1.8. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian b] tương đương
x

x

X

X

với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b] .
Thật vậy, giả sử dãy hàm (xn (t))e bj hội tụ tới hàm x(t) trong không gian b]. Theo định
nghĩa
Vs > 0,3n0 G N*, Vn > n0,d(x ,x) = max|x (t)-x(t)|<8

Suy ra :xn ( t) - X ( t)| < 8, Vn > n 0, vt e [ a, b]

(1.1.8)

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (x„ (t)) hội tụ đều tới hàm số
x(t) trên đoạn [a,b].
Ngược lại, giả sử hàm số (x„ (t))c c[ab] hội tụ đều tới hàm số x(t) trên đoạn [a,b],
nghĩa là x(t) e c[a b] . Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm Ve > 0,3n0 e N*,
Vn > n0, V t e [a,b],|xn (t)- x(t)| < e Suy ra: max |xn (t) - X ( t ) | < s, Vn > n0 Hay:
d(xn,x)<E,Vn>n0
Do đó dãy số (x„(t)) hội tụ tới hàm số x(t) theo metric của không gian CM'
Ví dụ 1.1.9. Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian metric rời rạc X = (X, d)
tương đương với sự hội tụ của dãy dừng.
Thật yậy, giả sử dãy điểm {x„}cX hội tụ đến điểm X trong không gian X. Theo định
nghĩa, Ve> 0,e<l,3n0 eN*,Vn>n0,d(xn,x)Suy ra d(xn,x) = 0,Vn>n0 =>xn =x,Vn>n0 .
Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng.
Ngược lại, dãy điểm {xn}cX là dãy dừng, nghĩa là 3n0 GN ,Vn>n0, xn =xno , thì
hiển nhiên dãy đó hội tụ theo metric của không gian x .
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric X = (x, d), a e X , r > 0,
Tập hợp S(a,r) = jxeX:d(x,a)Tập hợp S'(a,r) = jxeX:d(x,a)Mỗi hình cầu mở S(a,r) được gọi là một lân cận của phần tử a trong X .
Định nghĩa 1.1.5.Ơ10 hai không gian metric X^Xjdj) , Y = (Y,d2).
Ánh xạ f : X -> Y được gọi là liên tục tại điểm x0 e X nếu như Ve > 0,35 > 0, sao
choVxeX thoảmãn d1(x,x0)<5thì d2(f(x),f(x0))Hay nói cách khác Ảnh xạ f :X ->Y gọi là liên tục tại điểm x0 eX , nếu với lân cận
cho trước tuỳ ý uf(x J = s(y0,e) c Y của điểm y0 = f ( x o) trong Y tìm được lân cận


V x =s(x0,5)của điểm x0 trong X sao chof(Vx )cUy.
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ f :X ->Y gọi là liên tục tại điểm x0 eXnếu với mọi dãy
điểm (xn} c X hội tụ tới điểm x0 trong X kéo theo dãy điểm (f(xn)) hội tụ tới điểm f
(x0) trong Y.

Như vậy nếu: lim xn = x0 và fix) là hàm liên tụctại điểm x0eXthì
n 00
' '
limf(xn)-f(x0).
n-»00
Định nghĩa 1.1.7.Ảnh xạ f gọi là liên tục trên tập AcX nếu ánh xạ f liên tục tại
mọi điểm x G A.
Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.1.8. Ảnh xạ f gọi là liên tục đều trên tập AcX nếu Ve >0,
3ô>0saocho Vx,x'eA thoảmãn dj(x,x')<ô thì d2(f(x),f(x'))<8.
Định nghĩa 1.1.9.Một dãy điểm Ịx } trong không gian metric x = (x,d)gọi
là một dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu: lim d(xn,xm) = 0Nghĩa là Vs >0,
3n0 G N* sao cho d(xn, xm) < 8, Vn, m > n0
( Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy).
Định nghĩa l.l.lO.Không gian metric x= (X,d) là một không gian đầy (hay đủ) nếu
mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.


Ví dụ l.l.lO.Không gian metric R1 là không gian đầy, điều đó suy ra từ tiêu chuẩn
Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.1.11. Không gian Rk là không gian đầy.
Thật yậy, giả sử x(n) = (xjn),x(2n),...,x(kn)),n = 1,2,... là dãy cơ bản tuỳ ý trong không
gian EuclideRk . Theo định nghĩa dãy cơ bản,
VE> 0,3n0 eN’,Vm,n>n0,d|x^,x^jCác bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi j = I,2,...,k , dãy (x^j là dãy số thực cơ bản,
x(n) _
< E, Vm,n > n0, Vj =
(1.1.9
x(m)
nên phải tồn tại giới hạn:

limx(n) = x , (j = l,2,...,k).
ũ-¥co
J

J

Đặt x = (x p x 2 ,...,x k ) , ta nhận được dãy |x (n) |cM k đã cho hội tụ theo toạ độ
tới X . Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide Rk tương đương với sự hội tụ theo
(n)

toạ độ, nên dãy cơ bản Ịx j đã cho hội tụ tới X trong không
gian Rk .Vậy không gian Euclide Rk là không gian đầy.
Ví dụ 1.1.12. Không gian b] là không gian đầy.
Thật vậy, giả sử (xn (t)) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian b] , theo định nghĩa dãy
cơ bản:
Ve > 0, 3n0 E N*, Vm,n > n0, d ^x^n\ x^j = max |x (t)-x (t)| < e
=>|xn(t)-xm(t)|<EJVmJn>n0JVte[a,b].

(1.1.10)

Các bất đẳng thức (1.1.10) chứng tỏ , với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn [a,b] , dãy (xn
(t)) là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn


-

limxn(t) = x(t),te[a,b]
n-»00
Ta nhận được hàm số *(í) xác định trên đoạn [a,b] . Vì các đẳng thức
(1.1.10) không phụ thuộc t, nên qua giới hạn trong các đẳng thức này khi n-»00 ta

được:
|xn(t)-x(t)|<E,Vn>n0,Vte[a,b]

(1.1.11)

Các bất đẳng thức (1.1.11) chứng tỏ dãy hàm số (xn (t)) c C[ b] hội tụ đều tới hàm số
X(t) trên đoạn [a,b] nên x(t)eCj b] . Nhưng sự hội tụ trong không gian b] tương đương
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b] , nên dãy cơ bản (xn (t)) đã cho
hội tụ tới x(t) trong không gian b]. Vậy C[ b] là không gian đầy.
Ví dụ 1.1.13. Không gian i 2 là không gian đầy.
Thật yậy, giả sử x (n) = (xỊ n) ,x ( 2 n) ,...,x ( k n) ),n = 1,2,... là dãy cơ bản tuỳ ý trong i2 , theo
định nghĩa dãy cơ bản :
Ve > 0,3n0 e N*,Vm,n > n0,d(x(n),x(m)Ị = ^|x(xkn) - xím)) < ESuy ra

k k
<8,Vm,n > n0,Vk = 1,2,...
A

A

jẺ(4n)-4m)) <£,Vm,n>n0,Vp-l,2,...
(1.1.12)
(1.1.13)

Các bất đẳng thức (1.1.13) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy (x(kn)) là dãy số cơ
bản, nên phải tồn tại giới hạn:

lim(x(kn) ) = xk, k = 1,2,...
n—»00 V /

-

Đặt x = (xpx2,...,xk,...) = (xk) . Vì các bất đẳng thức (1.1.12) không phụ thuộc vào p ,
nên có thể cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi m-»00 ta được:
(1.1.14)
<E,Vn>n0,Vp
Tiếp tục cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức (1.1.14) khi p-»00 ta được
< E(1.1.15
, Vn > n0
Mặt khác
< 2 |x^ní I +2|xỊ.n)-xk| 2,Vk,n = 1,2,...
(1.1.16)
)
X|2
+
Từ các bất đẳng thức (1.1.15), (1.1.16) suy ra:
k=l
Doĩ đó dãy X = (x k ) e i 2 .Các bất đẳng thức (1.1.15) chứng tỏ, dãy cơ bản (x^) đã
k
k
cho hội tụ tới XẼ!2 trong không gian £2 .
+ 2s2 5 với n2
Vì vậy không gian i2 là không gian đầy.
k=l
k=l

k

=

l

+ 2a2 5 với nj > n0


-

1.1.2.

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian metric x = (X,d) .Ảnh xạ A:X-»X được gọi là
ánh xạ co nếu tồn tại số a, 0Định lý 1.1.1.( Nguyên ỉỷ Banach về ánh xạ cò)
Mọi ánh xạ co A từ không gian metric đầy x = (X,d)vào chính nó đều có một điểm
bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X* e X sao cho Ax* = X*;
điểm X* là giới hạn của dãy {xn} được xây dựng bởi công thức:
n n-i, x0 tuỳý,x0 e X
và công thức đánh giá sai số
x

= Ax

d(xn,x ) - T“-d(xi>xo)> n = 1,2,...
1-a
d(xn,x*)<-^—d(xn,xn_!) ,n = 1,2,...
1- a
Trong đó a là hệ số co của ánh xạ co A.
Chứng minh.

Lấy một điểm bất kỳ x0 e X . Xây dựng dãy Ịxn} xác định bởi công thức:
X = Ax ,
,n =1 2
n
n-1 5 11 ±Ị ...
Ta được
d(x2, Xj) = d(Axj, Ax0) < ad(Xj, x0) = ad(Ax0, x0)
d(x 3 ,x 2 ) = d(Ax 2 , Axj) < ad(x 2 ,Xj) <
a 2 d(Ax 0 ,x 0 )

d(xn+1,xn) - d(Axn, Axn j) < ad(xn,xn j) < ... < and(Ax0,x0) ,vớin
= 1,2,... Từ đó ta suy ra Vn,p = 1,2,... ta có
d(Xn+p-Xn)^d(X n+l’xn) + d(Xn+2> xn+1) +... + d(Xn+p,Xn+p_j)

< (a11 +an+1 +... + an+pl)d(Ax0,x0)


-

Nghĩa là dãy {xn} là dãy cơ bản trong không gian metric đầy X = (X,d)
Từ đó tồn tại l i m X = Xn * E X
X -> X
Ta có
d(Ax*,x*) < d(Ax*,xn) + d(xn,x*) = d(Ax*, Axn_j) + d(xn,X*)

< ad(x*, xn_j ) + d(xn, X*), V n = 1,2,...
Cho n —»■ 00, ta được d(Ax*,x*) = 0 hay Ax* =x* , nghĩa là X* là điểm bất động của
ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y’eX cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì d(x\ y ) = d(Ax*, Ay
) < <xd(x\ y ) => ( 1 - a) d ( X*, y* ) < 0

Do0< a<l =>d(x\y*) = 0 =>x* =y\
Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Ta có
dmd(Xn+p>Xn)^7^-d(X*>Xn)>
d(xn,x*)<-^—d(x1;x0);
1 -a
d(xn, X*) - d(Axn_j, Ax*) < d(Axn_j, Axn)+d(Axn, Ax*) < ad(xn_!,
xn)+ad(xn, X*);
=^d(xn,x*)<-^-d(xn,xn ,).
1-a
Định lý được chứng minh.


-22

1.2 .Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường p (p là trường
số thực R hoặc trường số phức c ). Khi đó ánh xạ A:X-»Y được gọi là tuyến tính, nếu
ánh xạ A thoả mãn các điều kiện
1) A(Xj+x2) = AXj+AX2, VXJ,X2 eX
2)

A (ax) = aA(x), Va eP , Vx E X .

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều
kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A
gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa
1.2.2.( Không gian định chuẩn)
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường p (p = Rhoặc p = c ), Ánh xạ ||.||: X

—> M. xác định trên X (đọc là chuẩn), lấy giá trị trên
R: ||x|| E R, Vx E X , thoả mãn các điều kiện( tiên đề) sau đây

1) ||x|| >0 , Vx E X; ||x|| = 0<=> x = 0(kí hiệu phần tử không là 0 )
2) ||a.x|| = |a|.||x||VxEX , VasP,
3) ||x + y|| < ||x|| + ||y|| Vx, y e X.
được gọi là một chuẩn trên X, số ||x|| gọi là chuẩn của véc tơ X, các tiên đề

1) , 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn ||.| được gọi là một không gian định
chuẩn( hay không gian tuyến tính định chuẩn).
Định lý 1.2.1 .Cho X là không gian định chuẩn, đối với hai véc tơ bất kỳ X, y e X, ta
đặt d(x, y) = ||x - y|| . Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.2.3.(»sv hội tụ trong không gian định chuẩn)


-23

Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm X E X , nếu
lim||xn -x|| = 0 . Kí hiệu limxn = X hay xn->x
n-»00
* n-»00

( n-»00 ).

Định nghĩal.2.4.Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ
bản, nếu lim ||xn - xm II = 0
n,m-»co
Định nghĩa 1.2.5.( Không gian Banach)
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong

X đều hội tụ.
( Trong định lý 1.2.1. nếu với metric d(x, y) = ||x - y|| , X là không gian đủ thì X
được gọi là không gian Banach).
Ví du 1.2.1.
Xét không gian véc tơ k chiều M* , với mỗi xelk , x = (x1,x2,...,xk)
Đặt ||x|| = ^^ịxiị2 ■ Khi đó Rk là không gian Banach.
Thật yậy, dễ dàng kiểm tra được Rk là không gian định chuẩn Lâý {xn} là dãy cơ bản
trong Rk, xn =(x1(n),x(2n),...,xkn))
Ta có lim ||x„ -xj| = 0:
nm
'
n,m—»co
Nghĩa là Vs>0, 3M e N* , Vm,n>M ||xn-xm||< 8
Suy ra với mỗi 1 < j < k cố định , Ve >
kj=l

0, 3M. = M E N*, Vm,n>Mj

Vậy với mỗi j cố định thì dãy Ịx^Ị là dãy cơ bản trong M nên nó hội tụ.


-24

Kíhiêu x. = limx(.n) , j = l,k , nghĩa làVe> 0, Vj = l,k, 3M e N* , Vn>M.:
J n->00 J
J

J

Đặt x = (xj),j = l,k . Ta sẽ chứng minh{xn} hội tụ đến X Đặt M0

(n)
X
J
=max{M1,M2,...Mk}thì
2 e < (n)
k Xj Xj
^Èixỉn)-xj|
j=i


=> J è Ixỉn)-xj


\ j=i

Vậy {x n } hội tụ đến X .
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tuyến tính X và II ,\\\\ là hai chuẩn cùng xác định
trên X . Hai chuẩn II và |||2 gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương a và p sao cho
a-14 -hí -P-Nli >VxeX
Ví dụ 1.2.2. Trên không gian véc tơ Rk , ngoài chuẩn |x| = ^XIxi|2 ch° chuẩn ||x|| =
maxlx.Lx = (x,,x,,...,x, ) e M k .
11
I’
Các chuẩn||x|| = ^XIxif và ||x|| =max|xj| là tương đương vì
||x0||< ||x||< Vk ||x||0,Vx e Mk.
1.3. Phép tính vỉ phân trong không gian Banach
Định nghĩa 1.3.l.( Không gian các toán tử)

Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu L(X, Y) là tập hợp các toán
tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .


-25

Với AEL(X,Y), đặt||A|| = sup ||Ax||
1*1=1
Thì L(X,Y) là không gian định chuẩn.
Định lý 1.3.1. Neu không gian Y là không gian Banach thì không gian L(X,Y) cũng là
không gian Banach.
Chứng minh.
Giả sử dãy {A„} là dãy cơ bản trong không gian L(x, Y) .
Ta có
HAnX - AmXH = ||(An - Am ) x|| ^ ||An - Am II' 1*1, Vx E X. (1.3.1)
ChonênvớixeX cho trước, ||A„x-Amx|| ->0 (n,m -> co)
Vậy dãy { A n x } là dãy cơ bản trong Y

5

mà theo giả thiết Y là không gian Banach, nên

dãy đó phải dần đến một giới hạn.
Ta đặt Ax = limAnx và chứng minh AEL(X,Y).
Thật yậy, A là toán tử tuyến tính;
Mặt khác với e> 0 cho trước, ta có thể chọn N đủ lớn để
||AB - Am|| < E, Vn,m > N
Khi đó theo (1.3.1) ta CÓ ||A X-A x||Chorno00 tađược||A x-Ax||<e||x||,Vn>N => An - A E L(X,Y) và ||AB - AJI < 8, Vn
> N,

Nhưng A = An -(An -A)EL(X,Y) và IIAn -A||->0
Vậy dãy An có giới hạn A E L(X,Y). Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.2. ( Đạo hàm Fréchei)
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ f :X —»Y được gọi là khả vi
tại điểm X E Y nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : X -» Y ( tức 3A E
L(X,Y)) sao cho:
f(x + h)-f(x) = A(h) + a(x,h), Vh E X
Trongđó a(x,h) = o(||h||), nghĩa là lim

=o