Luận Văn thạc sĩ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Nguyễn Ngọc Giao Ngôn (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG VÀ TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG VÀ TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt
nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng” do tôi
thực hiện. Các số liệu và kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn là
trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác. Tôi xin chịu
trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Người cam đoan

Nguyễn Ngọc Giao Ngôn


LỜI CÁM ƠN



Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô: PGS.TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thị
Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn
Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Tăng Minh Dũng về những bài giảng Didactic
Toán sinh động và đầy ý nghĩa.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học
Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng
tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban giám hiệu và các thầy cô tổ Toán – Trường THPT Bắc Bình và THPT
Nguyễn Văn Trỗi, tỉnh Bình Thuận đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong vấn đề thực nghiệm
của luận văn.

- Các bạn lớp Didactic Toán K24 vì những sẻ chia trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, tôi hết lòng cảm ơn gia đình đã quan tâm và động viên suốt quá trình
học tập của tôi.
Nguyễn Ngọc Giao Ngôn


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................................... 3
LỜI CÁM ƠN ............................................................................................................................. 4
MỤC LỤC .................................................................................................................................. 5
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 6
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................................................ 6
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết ............................................. 6
2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức ............................................................................. 6
2.2. Các khái niệm chuyển hóa sư phạm .............................................................................. 6
2.3. Tổ chức toán học .......................................................................................................... 7
3. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................................... 8
4. Cấu trúc của luận văn .......................................................................................................... 8
5. Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài ............................................................... 9
Chương 1. Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông ................................ 11
1. Phân tích sách Đại số 10 nâng cao .................................................................................... 11
1.1. Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa và sách bài tập . 11
1.2. Kết luận về sách Đại số 10 nâng cao .......................................................................... 39
2. Phân tích sách Đại số và Giải tích 11 nâng cao ................................................................. 42
3. Phân tích sách Giải tích 12 nâng cao ................................................................................. 46
3.1. Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa và sách bài tập . 47
3.2. Kết luận về sách Giải tích 12 nâng cao ....................................................................... 66
4. Kết luận chương 1 ............................................................................................................. 69
Chương 2. Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển
sinh vào đại học, cao đẳng......................................................................................................... 73

1. Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông............................. 73
1.1. Cấu trúc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán ........................................... 73
1.2. Những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình chứa tham số trong đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thông môn Toán .............................................................................. 74
1.3. Kết luận về phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông ... 79
2. Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng .......................... 79
2.1. Cấu trúc đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng môn Toán ........................................ 79
2.2. Những kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình chứa tham số trong đề thi tuyển
sinh vào đại học, cao đẳng môn Toán ................................................................................ 80
3. Kết luận chương 2 ............................................................................................................. 94
Chương 3.Nghiên cứu thực nghiệm ........................................................................................... 97
1. Đối tượng và hình thức tổ chức thực nghiệm ..................................................................... 97
1.1. Đối tượng ................................................................................................................... 97
1.2. Hình thức ................................................................................................................... 97
2. Bộ câu hỏi thực nghiệm ..................................................................................................... 98
2.1. Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 10 .............................................................. 98
2.2. Câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh lớp 12 ............................................................ 100
2.3. Câu hỏi thực nghiệm đối với giáo viên...................................................................... 106
3. Kết luận chương 3 ........................................................................................................... 108
KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 112
PHỤ LỤC ............................................................................................................................... 115


6

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong chương trình toán sơ cấp, phương trình là một trong số các chủ đề quan
trọng. Đặc biệt, phương trình chứa tham số là một trong số các dạng phương trình

được giới thiệu trong sách giáo khoa và xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông, đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng.
Những dạng phương trình chứa tham số nào được giảng dạy ở trung học phổ
thông? Kỹ thuật giải và biện luận từng dạng? Những dạng phương trình chứa tham số
nào thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh vào
đại học, cao đẳng? Có hay không sự khác biệt về kỹ thuật giải và biện luận phương
trình chứa tham số giữa sách giáo khoa và đáp án các kỳ thi?

2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên
cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, đặc biệt là các khái niệm quan hệ thể
chế, chuyển hóa sư phạm, tổ chức toán học.

2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức
Lý thuyết nhân học trong didactic dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định
nghĩa là đối tượng, cá thể, thể chế.
Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng
tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ
thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá
nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I.

2.2. Các khái niệm chuyển hóa sư phạm
Tri thức là một trong ba thành phần quan trọng trong hệ thống dạy học theo quan
điểm của didactic. Tri thức là đích đến của chủ thể học tập, đồng thời là nội dung mà
thầy giáo mong muốn chuyển giao cho học sinh qua việc tạo dựng một môi trường để
học sinh chiếm lĩnh được tri thức. Tuy nhiên, từ tri thức khoa học đến tri thức dạy học
là một quá trình biến đổi phức tạp mà Yves Chevallard (1989) gọi là sự chuyển hóa sư
phạm. Trong quá trình chuyển hóa sư phạm trải qua 3 mắc xích:

7

- Thể chế tạo tri thức: Các tri thức khoa học được tạo ra từ những nghiên cứu lý thuyết,
thực nghiệm của các nhà khoa học, các tiêu chí của khoa học xác định thể chế tạo ra tri
thức khoa học. Để công bố các kết quả khoa học, các tác giả cần phi cá nhân hóa và
phi hoàn cảnh hóa. Việc này làm cho các tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử
dụng và kiểm tra trong cộng đồng các nhà khoa học cùng ngành.
- Thể chế chuyển hóa: Các tri thức trong thể chế khoa học chuyển sang để giảng dạy
cũng cần phải có một số ràng buộc trong việc chuyển hóa, trong đó có kể tới: đặc điểm
tâm sinh lý lứa tuổi học viên; khả năng chương trình hóa việc tiếp thu; đặc điểm vùng
miền.
- Thể chế giảng dạy: Đây là thể chế cực kỳ quan trọng, giáo viên có thể thiết kế một số
thể chế riêng để làm cho việc giảng dạy được tiến hành tốt đẹp

2.3. Tổ chức toán học
Theo lý thuyết nhân học didactic, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm
hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ
T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật . Công nghệ  là những gì cho
phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật . Đến lượt mình, công nghệ  được
giải thích, biện minh bằng lý thuyết .
Bộ bốn phần tử [T/ / / ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai
từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một
praxéologie, khối [T/ ] thuộc về thực hành và khối [/ ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu
T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan tới đối tượng O cho phép ta hiểu rõ
mối quan hệ thể chế I với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X duy trì đối với
tri thức O.
Chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý
thuyết đã chọn như sau:
Q1. Những dạng phương trình chứa tham số nào có mặt trong sách giáo khoa

toán trung học phổ thông? Những kỹ thuật nào được trình bày và trong đó, những kỹ


8

thuật nào được ưu tiên? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho những kỹ thuật
đó?
Q2. Những dạng phương trình chứa tham số nào xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng từ năm 2009 đến 2014?
Những kỹ thuật có thể có và những kỹ thuật được ưu tiên?
Q3. Có hay không sự khác biệt về dạng phương trình chứa tham số và kỹ thuật
giải giữa sách giáo khoa toán trung học phổ thông và đáp án các kỳ thi?
Q4. Sự khác biệt này (nếu có) ảnh hưởng gì đến việc dạy và học toán ở trung học
phổ thông?
Luận văn tự giới hạn chỉ khảo sát đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển
sinh vào đại học, cao đẳng từ 2009 đến 2014.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, các phương pháp nghiên cứu được huy động nhằm phục vụ
cho vấn đề trung tâm là làm rõ sự khác biệt về phương trình chứa tham số giữa sách
giáo khoa và đáp án các kỳ thi. Để kiểm chứng các giả thuyết hoặc để trả lời các câu
hỏi được hình thành từ việc phân tích thể chế, chúng tôi sẽ luôn luôn huy động thực
nghiệm theo sơ đồ sau:
Phân tích thể chế  giả thuyết, câu hỏi  thực nghiệm kiểm chứng
Nghiên cứu của chúng tôi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau:
Phân tích những dạng phương
trình chứa tham số có trong
SGK-SBT ở THPT.
- Trả lời câu hỏi nghiên cứu
- Phát biểu giả thuyết

Phân tích những dạng phương
trình chứa tham số xuất hiện
trong đề thi TN THPT và tuyển
sinh đại học, cao đẳng.

4. Cấu trúc của luận văn

- Thực nghiệm kiểm chứng hoặc
bác bỏ giả thuyết
- Kết luận


9

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau:
Chương 1. Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông
Chương 2. Phương trình chứa tham số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và
tuyển sinh vào đại học, cao đẳng
Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm
Tài liệu tham khảo
Phụ lục.

5. Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài
5.1. Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan tới phương trình
chứa tham số.
Một số luận văn có liên quan đến chủ đề phương trình chứa tham số:
1. Nguyễn Thuỳ Trang (2006), Algorit và tham số trong dạy học chủ đề phương
trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, luận văn thạc sĩ,
Trường ĐH Sư phạm TPHCM.
2. Phạm Hải Dương (2011), Một nghiên cứu Didactic về phương trình bậc hai

chứa tham số ở lớp 9-10, luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm TPHCM.
3. Lê Tấn Phú (2012), Nghiên cứu Didactic việc dạy học hàm số và phương trình
chứa tham số trong môi trường CaSyopee ở bậc THPT, luận văn thạc sĩ, Trường ĐH
Sư phạm TPHCM.
4. Nguyễn Nhật Phương (2012), Thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong
giải và biện luận phương trình chứa tham số ở trường THPT, luận văn thạc sĩ, Trường
ĐH Sư phạm TPHCM.

5.2. Một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài
Trong số các luận văn kể trên, luận văn thạc sĩ của Nguyễn Nhật Phương (2012),
Thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham
số ở trường trung học phổ thông có liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi.
Trong luận văn, tác giả đã nghiên cứu điều kiện và ràng buộc của việc chuyển
đổi giữa kỹ thuật đại số và kỹ thuật đồ thị. Kết quả nghiên cứu được thể hiện qua việc
kiểm chứng hai giả thuyết dưới đây:


10

Giả thuyết H1 (giả thuyết về điều kiện và ràng buộc)
Khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ về giải và biện luận phương trình chứa tham số, học
sinh chỉ chuyển phạm vi từ đại số sang hình học (hoặc giải tích) khi có một trong các điều
kiện và ràng buộc sau:
- Đề bài yêu cầu tường minh hoặc bài toán được cho trong chủ đề khảo sát hàm số hoặc
đồ thị đã cho trước.
- Kỹ thuật đại số đã được huy động thử nhưng trở nên bế tắc; đặc biệt, khi phương trình
đang xét là phương trình bậc ba không thể nhẩm nghiệm nguyên hoặc phương trình đang
xét có chứa dấu giá trị tuyệt đối hay căn thức.
Giả thuyết H2 (giả thuyết về ứng xử của học sinh)
R1. Để giải quyết các bài toán về giải và biện luận chứa tham số, học sinh lớp 10 ưu tiên

kỹ thuật đại số hơn kỹ thuật đồ thị ngay cả khi kỹ thuật đồ thị là kỹ thuật tối ưu. Các em
chỉ thay đổi phạm vi từ đại số sang hình học khi đề bài yêu cầu tường minh là “dùng đồ
thị”.
R2. Mặc dù được đưa vào từ lớp 8 và được củng cố ở các lớp 9, 10 nhưng kỹ thuật sử
dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) chỉ “sống” được ở lớp
12 thông qua chủ đề khảo sát hàm số. Kỹ thuật này được học sinh ưu tiên ngay cả khi kỹ
thuật đại số là kỹ thuật tối ưu.

Tuy nhiên, tác giả chưa đi sâu vào việc phân tích từng kiểu nhiệm vụ, từng dạng
toán cụ thể, các kỹ thuật giải cũng như các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho
việc sử dụng kỹ thuật giải đó. Trong chương trình toán 12, tác giả chỉ xét những
phương trình chứa tham số trong các bài toán ở chương khảo sát hàm số.
Qua việc ghi nhận trên, chúng tôi nêu ra một vài câu hỏi: Liệu còn những kiểu
nhiệm vụ nào có trong sách giáo khoa mà tác giả chưa xét đến? Những kỹ thuật giải
nào chưa được nêu ra? Ngoài việc xuất hiện phương trình chứa tham số trong các bài
toán ở chương khảo sát hàm số, phương trình chứa tham số còn xuất hiện ở đâu trong
chương trình toán 12 nữa không? Để trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi xây dựng
chương 1. Trong chương này, chúng tôi lần lượt khảo sát từng tổ chức toán học của
các kiểu nhiệm vụ có trong các sách giáo khoa toán ở trung học phổ thông.


11

Chương 1.
Phương trình chứa tham số trong tri thức cần dạy ở trung học phổ thông
Chương này nghiên cứu những dạng phương trình chứa tham số trong sách giáo
khoa toán trung học phổ thông để trả lời câu hỏi sau:
Q1. Những dạng phương trình chứa tham số nào có mặt trong sách giáo khoa toán
trung học phổ thông? Những kỹ thuật nào được trình bày và trong đó, những kỹ thuật
nào được ưu tiên? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho những kỹ thuật đó?

Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao; Đại số và Giải tích 11 nâng cao và
Giải tích 12 nâng cao để phân tích vì ba quyển sách này trình bày bài toán giải và biện
luận phương trình chứa tham số đầy đủ hơn ba quyển sách giáo khoa cùng lớp thuộc
chương trình chuẩn.

1. Phân tích sách Đại số 10 nâng cao
1.1. Những dạng phương trình chứa tham số có mặt trong sách giáo khoa
và sách bài tập
Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn và các phương trình đưa về phương trình
bậc nhất, bậc hai một ẩn (phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình
có chứa dấu giá trị tuyệt đối, . . .) được chính thức giảng dạy ở lớp 8 và lớp 9. Tất cả
các phương trình này đều không chứa tham số .
Thuật ngữ phương trình chứa tham số được trình bày lần đầu tiên trong sách Đại
số 10 nâng cao:
Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác.
Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số.
Chẳng hạn, phương trình m( x  2)  3mx  1 (với ẩn x) là một phương trình chứa tham
số m.
[...] Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy
theo các giá trị có thể của tham số. Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình chứa tham
số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình. ( Đại số 10 nâng cao, trang 71)

Sách Đại số 10 nâng cao đã giới thiệu tường minh các khái niệm tham số,
phương trình chứa tham số, giải và biện luận phương trình.


12

[...] Trong Đại số 10 nâng cao, các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và
bậc hai cũng là một nội dung trọng tâm của chương trình. Chúng được trình bày chính

xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới. Trong đó, điều đáng lưu ý và tương
đối khó là vấn đề giải và biện luận phương trình.[...] (Đại số 10 nâng cao trang 65).
[...] Kiến thức : Biết khái niệm phương trình chứa tham số, hiểu cách giải và biện luận
phương trình ax  b  0 ; phương trình ax 2  bx  c  0 , hiểu cách giải các phương trình
quy về dạng ax  b  0 ; ax 2  bx  c  0 : phương trình có ẩn ở mẫu thức, phương trình
có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình đưa về phương trình tích. [...] (Sách giáo viên
Đại số 10 nâng cao trang 20-21)

Theo các tác giả sách giáo khoa, sự xuất hiện phương trình chứa tham số trong
sách giáo khoa ở chương trình lớp 10 với mục đích “trình bày chính xác hơn, đầy đủ
hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới” các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc
nhất và bậc hai. Và theo sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, mức độ cần đạt về kiến
thức là hiểu cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn và các
phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn.
1.1.1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
Sách Đại số 10 nâng cao trang 72 trình bày kết quả giải và biện luận phương
trình dạng ax + b = 0 trong bảng sau đây.
1) a  0

: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 

b
.
a

2) a = 0 và b  0: Phương trình vô nghiệm.
3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x  R.

Bảng 1. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0

Sách không hề giải thích tại sao có được kết quả như vậy. Điều này dễ gây thắc
mắc cho học sinh tại sao a  0; b  0 thì phương trình vô nghiệm. Để giải thích lí do tại
sao sách giáo khoa chỉ nêu ra bảng 1 mà không giải thích gì cả, theo sách giáo viên
Đại số 10 nâng cao trang 106 có nêu như sau:
Ở lớp dưới, học sinh đã được học cách giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai.
Do đó, điều chủ yếu trong bài này không phải là cách giải mà là cách biện luận các
phương trình nói trên trong trường hợp có tham số. Điều học sinh thường thắc mắc là căn
cứ vào đâu để phân chia các trường hợp. Vì vậy, giáo viên cần phân tích thêm điều này
trong mỗi ví dụ cụ thể.


13

Vậy là nếu hiểu theo cách mà sách giáo viên vừa nêu thì việc nêu cách biện luận
các phương trình chứa tham số là công việc của giáo viên chứ không phải của sách
giáo khoa.
Sau khi nêu kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0. Sách giáo
khoa nêu ra một ví dụ (trang 72):
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

m2 x  2  x  2m (1)
Giải. Ta biến đổi tương đương

(1)  m2 x  x  2m  2
 (m2  1) x  2(m  1) (1a)
Xét các trường hợp sau đây.
1) Khi m  1 (tức là m  1 và m  1 ) ta có m2  1  0 nên (1a) có nghiệm

x

2(m  1)
2

2
m 1 m  1

Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2) Khi m  1 , phương trình (1a) trở thành 0 x  0 ; phương trình này nghiệm đúng với
mọi x  R nên phương trình (1) cũng nghiệm đúng với mọi x  R .
3) Khi m  1 , phương trình (1a) trở thành 0 x  4 ; phương trình này vô nghiệm nên
phương trình (1) cũng vô nghiệm.
Kết luận

m  1: (1) có nghiệm x 

2
 2 
(tập nghiệm là S  
 ).
m 1
 m  1

m  1 : (1) vô nghiệm (tập nghiệm là S   ).

m  1: (1) nghiệm đúng với mọi x  R (tập nghiệm là S  R ).

Ví dụ này đã cho học sinh thấy đầy đủ ba trường hợp có trong Bảng 1. Kết quả
giải và biện luận PT dạng ax + b = 0. Để đạt được mục tiêu này, tác giả đã chọn hệ số
cho a là một đa thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm làm cho b  0 và
một nghiệm làm cho b  0 . Đồng thời, từ đây về sau Bảng 1 trở thành yếu tố công

nghệ của việc giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0. Từ đây, ta
có kiểu nhiệm vụ T1 của bài toán phương trình chứa tham số đó là giải và biện luận
phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0.
Kiểu nhiệm vụ T1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 chứa tham số m


14

Kỹ thuật :
- Xét các giá trị của tham số làm cho a  0, kết luận phương trình có nghiệm duy nhất
x

b
.
a

- Xét các giá trị của tham số làm cho a = 0. Với mỗi giá trị này, xét giá trị tương ứng
của b. Nếu b  0, phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0, phương trình nghiệm đúng với
mọi x  R.
Công nghệ : Bảng 1. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0.
Xét theo hệ số a, kiểu nhiệm vụ T1 có bốn dạng đặc biệt trong sách Đại số 10
nâng cao và Bài tập Đại số 10 nâng cao:
- Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số.
- Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này có hai nghiệm (phân
biệt hoặc trùng nhau).
- Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này vô nghiệm.
- Hệ số a bằng 0 với mọi giá trị của tham số.
Dưới đây là các minh họa tương ứng cho bốn dạng đặc biệt nói trên:
 2mx = 2x + m + 4 (Bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 60, bài 3.12a): phương
trình tương đương với 2(m - 1)x = m + 4.

 m(mx - 1) = x + 1 (Đại số 10 nâng cao, trang 101, bài 54): phương trình tương
đương với (m2 - 1)x = m + 1.
 (m2 + 2)x - 2m = x - 3 (Đại số 10 nâng cao, trang 78, bài 6a): phương trình có
thể đưa về dạng (m2 + 1)x = 2m - 3.
 m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6 (Đại số 10 nâng cao, trang 78, bài 6c): phương trình
có thể biến đổi thành 0x = (m - 2)(m - 3).
Hai dạng đặc biệt 1 và 2 chỉ khác nhau về độ phức tạp. Phương trình a = 0 trong
dạng đặc biệt 2 có nhiều nghiệm hơn trong dạng đặc biệt 1 nên phải xét thêm các giá
trị tương ứng của b.
Các nhiệm vụ thuộc dạng đặc biệt 1 và 2 góp phần hình thành quy tắc hợp đồng:


15

- RE: Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0, ta xét lần
lượt các trường hợp của tham số khiến a  0, a = 0. Với những giá trị cụ thể của tham
số khiến a = 0, ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1.
Hệ số a trong dạng đặc biệt 3 là một tam thức bậc hai vô nghiệm đối với tham số.
Lời giải mong đợi của dạng đặc biệt này là chứng minh a  0 với mọi giá trị của tham
số và kết luận phương trình luôn có nghiệm duy nhất (bất chấp b). Đây là một trường
hợp phá vỡ quy tắc hợp đồng RE.
Đối với phương trình (m2 + 1)x = 2m - 3 đã nêu, biểu thức m2 + 1 khá đơn giản
và tính chất m2 + 1 > 0 (với mọi m  R) là khá quen thuộc vì đã xuất hiện từ sách
Toán 7. Trong thực tế giảng dạy, liệu giáo viên có thay m2 + 1 bằng một tam thức bậc
hai khác, luôn luôn dương (hoặc luôn luôn âm) hay không (ví dụ m2 + 3m + 4 hoặc 3m
- m2 - 4)? Phương trình dạng (m2 + 3m + 4)x = 2m - 3 có xuất hiện trong đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thông và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng?
Dạng đặc biệt 4 có thể gây ra hai trở ngại cho học sinh:
- Thay vì 0x = (m - 2)(m - 3), học sinh viết phương trình thành 0 = (m - 2)(m - 3).
- Ngay cả khi viết được 0x = (m - 2)(m - 3), quy tắc hợp đồng RE trở nên không

hợp thức.
Tiến hành thống kê số lượng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và sách
Bài tập Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận:
Dạng đặc biệt
Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với
tham số.
Hệ số a là đa thức bậc hai đối với
tham số và đa thức này có hai nghiệm
(phân biệt hoặc trùng nhau).
Hệ số a là đa thức bậc hai đối với
tham số và đa thức này vô nghiệm.
Hệ số a bằng 0 với mọi giá trị của
tham số.
Tổng cộng

Đại số 10
nâng cao

Tổng cộng

7

Bài tập Đại số
10 nâng cao
5

4

6

10

1

0

1

1

0

1

13

11

24

12

Bảng 2. Số lượng các dạng đặc biệt của T1 trong hai quyển sách

Bảng 2 cho thấy dạng đặc biệt 1 và 2 có số lượng bài tập nhiều nhất trong cả hai
quyển sách, thậm chí chiếm tuyệt đại đa số (22/24) trong các bài tập kiểu T1. Các dạng


16

đặc biệt 3 và 4 có số lượng không đáng kể, mỗi loại chỉ có một bài. Điều này là kết
quả lựa chọn của các tác giả nhằm thể hiện vai trò quan trọng của hai dạng đặc biệt
đầu tiên và vai trò thứ yếu, thậm chí mờ nhạt của hai dạng đặc biệt sau cùng. Sự lựa
chọn này một mặt nhất quán với bảng 1 và ví dụ 1 (trang 72, Đại số 10 nâng cao) đã
nêu, mặt khác góp phần củng cố quy tắc RE.
Trong Đại số 10 nâng cao, dạng đặc biệt 1 có lượng bài tập nhiều nhất. Điều này
cho thấy việc giải quyết dạng đặc biệt 1 là điều mà các tác giả mong đợi hơn cả ở học
sinh.
Trong Bài tập Đại số 10 nâng cao mà học sinh sử dụng như một tài liệu mở rộng
của Đại số 10 nâng cao, số bài tập của dạng đặc biệt 2 nhiều hơn của dạng đặc biệt 1
chút ít. Điều này cho thấy các tác giả xem việc giải quyết dạng đặc biệt 2 cũng là một
yêu cầu cơ bản nhưng mang tính nâng cao so với dạng đặc biệt 1.
1.1.2. Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
Sách Đại số 10 nâng cao trang 73 trình bày kết quả giải và biện luận phương
trình dạng ax2 + bx + c = 0 trong bảng sau đây.
1) a = 0: Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0.
2) a  0:
  > 0: phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
x=

b 
b 
và x =
;
2a
2a

  = 0: phương trình có một nghiệm (kép) x = 

b

;
2a

  < 0: phương trình vô nghiệm.
Bảng 3. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = 0

Tương tự với việc trình bày giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0, sách
không hề giải thích tại sao có được kết quả như vậy. Và theo như phần trích dẫn trong
sách giáo viên Đại số 10 nâng cao trang 106 đã nêu ở trên thì việc nêu cách biện luận
các phương trình chứa tham số là công việc của giáo viên chứ không phải của sách
giáo khoa.


17

Sau khi nêu kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Sách
giáo khoa nêu ra một ví dụ (trang 73):
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m
mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0.
(2)
Giải. Với m = 0, phương trình (2) trở thành 4x – 3 = 0; nó có nghiệm x =

3
.
4

Với m  0, (2) là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn là
’ = (m – 2)2 – m(m – 3) = 4 – m.
Do đó:
- Nếu m > 4 thì ’ < 0 nên (2) vô nghiệm;

- Nếu m = 4 thì ’ = 0 nên (2) có một nghiệm x =

m2
1
= ;
2
m

- Nếu m < 4 và m  0 thì ’ > 0 nên (2) có hai nghiệm
x=

m2 4m
m2 4m
và x =
.
m
m

Kết luận.
m > 4: (2) vô nghiệm;
m = 0: (2) có nghiệm x =

3
;
4

0  m  4: (2) có hai nghiệm x =

m2 4m
m

(hai nghiệm này trùng nhau và bằng

1
khi m = 4).
2

Ví dụ này minh họa đầy đủ các trường hợp có thể có khi biệt thức  chứa tham
số. Để đạt được mục tiêu này, tác giả đã chọn hệ số cho a có chứa tham số và là một
đa thức bậc nhất. Vì học sinh chưa học cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn nên
việc chọn các hệ số a, b, c chứa tham số phải đảm bảo là khi tính biệt thức  = b2 4ac,  là một đa thức có bậc không lớn hơn một.
Đồng thời, từ đây về sau Bảng 3 trở thành yếu tố công nghệ của việc giải và biện
luận phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0. Từ đây, ta có kiểu nhiệm vụ T2
là giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0.
Kiểu nhiệm vụ T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 chứa tham số.
Kỹ thuật :


18

- Xét các giá trị của tham số làm cho a = 0. Với mỗi giá trị này, xét giá trị tương ứng
c
b

của b, c. Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x   . Nếu b = 0; c  0 thì
phương trình vô nghiệm. Nếu b = 0; c = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x 
R.
- Xét các giá trị của tham số làm cho a  0, Tính biệt thức  = b2 - 4ac.
a  0
thì

  0

+ nếu 

phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x =

b 
và x =
2a

b 
.
2a
a  0
b
thì phương trình có một nghiệm (kép) x =  ;
2a
  0

+ nếu 

a  0
thì phương trình vô nghiệm.
  0

+ nếu 

Công nghệ :
- Bảng 1. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax + b = 0
- Bảng 3. Kết quả giải và biện luận PT dạng ax2 + bx + c = 0

Tiến hành xem xét các dạng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập
Đại số 10 nâng cao, chúng tôi nhận thấy:
Đối với kiểu nhiệm vụ T2: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
chứa tham số m. Xét theo hệ số a và biệt thức  , kiểu nhiệm vụ T2 này có sáu dạng
đặc biệt trong cả hai quyển sách:
Dạng

Đặc điểm của hệ số a và

Các minh họa tương ứng cho từng

đặc

biệt thức 

dạng đặc biệt

biệt
Dạng

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối (m - 1)x2 + 7x - 12 = 0 (Đại số 10 nâng

đặc

với tham số, biệt thức  là đa cao, trang 80, bài 16a): a = m - 1,
 = 48m + 1.

biệt 1

thức bậc nhất đối với tham số.

Dạng

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối (m - 1)x2 - (m - 3)x - m - 3 = 0 (Đại số 10

đặc

với tham số, biệt thức  là đa nâng cao, trang 222, bài 8b): a = m - 1,


19

biệt 2

thức bậc hai đối với tham số và  = 5m2 + 2m - 3.
đa thức này có hai nghiệm
(phân biệt hoặc trùng nhau).

Dạng

Hệ số a là hằng số khác 0, biệt 2x2 - 6x + 3m – 5 = 0 (Bài tập Đại số 10

đặc

thức  là đa thức bậc nhất đối nâng cao, trang 60, bài 3.14b): a = 2,

biệt 3

với tham số.

' = -6m + 19.

Hệ số a là hằng số khác 0, biệt x2 - 4(m + 3)x + 6(m2 - 5m + 6) = 0 (Đại số
Dạng
đặc
biệt 4

thức  là đa thức bậc hai đối 10 nâng cao, trang 222, bài 8a): a = 1,
với tham số và đa thức này có ' = -2m2 + 54m.
hai nghiệm (phân biệt hoặc
trùng nhau).
Hệ số a là đa thức bậc hai đối (m2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0 (Bài

Dạng
đặc
biệt 5

với tham số và đa thức này có tập Đại số 10 nâng cao, trang 60, bài
hai nghiệm (phân biệt hoặc 3.14d): a = m2 - 5m - 36, ' = 13m + 52.
trùng nhau), biệt thức  là đa
thức bậc nhất đối với tham số.
Hệ số a là đa thức bậc hai đối (mx - 2)(2mx – x + 1) = 0 (Đại số 10 nâng
với tham số và đa thức này có cao, trang 80, bài 16d): phương trình

Dạng
đặc
biệt 6

hai nghiệm (phân biệt hoặc tương đương với m(2m-1)x2 - (3m - 2)x – 2
trùng nhau), biệt thức  là đa = 0, a = m(2m - 1),  = 25m2 - 20m + 4.

thức bậc hai đối với tham số và
đa thức này có hai nghiệm
(phân biệt hoặc trùng nhau).
Bảng 4. Phân loại các dạng đặc biệt của T2 trong hai quyển sách

Hai dạng đặc biệt 1 và 2 chỉ khác nhau về độ phức tạp. Khi a  0 thì biệt thức 
trong dạng đặc biệt 2 là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên kiến thức
cần phải có là biết xét dấu tam thức bậc hai của  . Bài tập thuộc dạng đặc biệt 2 chỉ
xuất hiện trong phần ôn tập cuối năm. Điều này cho thấy, bài tập thuộc dạng đặc biệt 2
được nói đến khi kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai được giới thiệu.


20

Các nhiệm vụ thuộc dạng đặc biệt 1, 2 của T2 góp phần mở rộng (và củng cố)
quy tắc hợp đồng RE thành:
- RE: Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số dạng ax + b = 0 hoặc ax2
+ bx + c = 0, ta xét lần lượt các trường hợp của tham số khiến a  0, a = 0 (nếu a có
chứa tham số). Với những giá trị cụ thể của tham số khiến a = 0, ta thay giá trị tương
ứng vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1 (đối với phương trình chứa tham số
dạng ax + b = 0) hoặc vào biểu thức của  để biện luận theo bảng 3 (đối với phương
trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0).
Hai dạng đặc biệt 3 và 4 chỉ khác nhau về độ phức tạp vì biệt thức  trong dạng
đặc biệt 3 là một đa thức bậc nhất, còn biệt thức  trong dạng đặc biệt 4 là một tam
thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Với hệ số a là hằng số khác 0, việc giải và biện
luận phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0 chỉ biện luận dựa vào dấu biệt
thức  .
Hệ số a trong dạng đặc biệt 5 và 6 là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân
biệt nên với hai giá trị cụ thể của tham số khiến a = 0, ta thay từng giá trị tương ứng
vào biểu thức của b để biện luận theo bảng 1. Tuy nhiên lời giải mong đợi của dạng

a  0
vô nghiệm nên không xảy ra trường hợp phương
 '  0

đặc biệt 5 là chứng mình hệ 

trình có nghiệm kép và lời giải mong đợi của dạng đặc biệt 6 là chứng minh biệt thức
 không âm với mọi giá trị của tham số khi mà kiến thức xét dấu tam thức bậc hai

chưa được giới thiệu đến và khi đó phương trình không xảy ra trường hợp vô nghiệm.
Đây là hai trường hợp phá vỡ quy tắc hợp đồng RE.
Đối với phương trình (mx - 2)(2mx – x + 1) = 0 đã nêu, đây là một phương trình
tích, tích của hai đa thức bậc nhất. Chính vì vậy, có thể giải phương trình này bằng
cách khai triển để đưa về giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 hoặc
là đưa phương trình về dạng tuyển và tiến hành giải và biện luận hai phương trình
dạng ax + b = 0. Tuy nhiên, theo hướng dẫn trong sách giáo viên Đại số 10 nâng cao
trang 114 thì ưu tiên cách khai triển để đưa về giải và biện luận phương trình dạng ax2
+ bx + c = 0.


21

Tiến hành thống kê số lượng bài tập ở cả hai sách Đại số 10 nâng cao và Bài tập
Đại số 10 nâng cao, chúng tôi ghi nhận:

Dạng đặc biệt

Đại số 10
nâng cao

Bài tập
Đại số 10
nâng cao

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số, biệt thức

Tổng
cộng

4

2

6

1

0

1

3

1

4

1

0

1

0

1

1

1

0

1

10

4

14

 là đa thức bậc nhất đối với tham số.

Hệ số a là đa thức bậc nhất đối với tham số, biệt thức
 là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này

có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau).
Hệ số a là hằng số khác 0, biệt thức  là đa thức bậc
nhất đối với tham số.
Hệ số a là hằng số khác 0, biệt thức  là đa thức bậc

hai đối với tham số và đa thức này có hai nghiệm
(phân biệt hoặc trùng nhau).
Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức
này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau), biệt
thức  là đa thức bậc nhất đối với tham số.
Hệ số a là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức
này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau), biệt
thức  là đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức
này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau).
Tổng cộng

Bảng 5. Số lượng các dạng đặc biệt của T2 trong hai quyển sách

Bảng 5 cho ta thấy số lượng bài tập thuộc kiểu T2 có sự chệch lệch rất lớn ở hai
quyển sách. Trong Đại số 10 nâng cao, các bài tập tập trung ở dạng đặc biệt 1 và dạng
đặc biệt 3. Điều này cho thấy việc giải quyết dạng đặc biệt 1 và 3 là điều mà các tác
giả mong đợi hơn cả ở học sinh. Trong khi đó, Bài tập Đại số 10 nâng cao chỉ có hai
bài ở dạng đặc biệt 1 và ở dạng đặc biệt 3, dạng đặc biệt 5 mỗi trường hợp có một bài.


22

Số lượng khiêm tốn này cho thấy các tác giả không tập trung đi sâu vào các bài tập
thuộc kiểu T2 này.
Dạng đặc biệt 1 chiếm số lượng bài tập nhiều nhất (6/14 bài) trong sáu dạng đặc
biệt. Điều này là kết quả lựa chọn của các tác giả nhằm thể hiện vai trò quan trọng của
dạng đặc biệt 1. Sự lựa chọn số lượng bài tập của dạng đặc biệt 1 vượt trội hơn các
dạng đặc biệt khác một mặt nhất quán với bảng 3 và ví dụ 2 (trang 73, Đại số 10 nâng
cao) đã nêu, mặt khác góp phần củng cố quy tắc RE.
Bên cạnh đó, các trường hợp có biệt thức  là đa thức bậc hai đối với tham số và

đa thức này có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) chiếm số lượng bài tập rất ít,
mỗi trường hợp chỉ góp một bài trong tổng số các bài tập kiểu T2 một phần là do kiến
thức về xét dấu tam thức bậc hai chưa được giới thiệu.
Trong cả hai quyển sách, không hề thấy sự xuất hiện dạng đặc biệt mà hệ số a
hay biệt thức  là một đa thức bậc hai đối với tham số và đa thức này vô nghiệm.
Trong thực tế giảng dạy, liệu giáo viên có giới thiệu cho học sinh bài tập thuộc dạng
đặc biệt này không? Ví dụ: giải và biện luận phương trình (m2 + 1)x2 + 2mx - 1 = 0? (
có a = m2 +1, ' = 2m2 + 1).
Trong phần này ngoài việc giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
dựa vào yếu tố công nghệ ở bảng 3, Đại số 10 nâng cao còn giới thiệu một kiến thức
mới trong việc biện luận số nghiệm phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 bằng đồ thị
thông qua ví dụ 3 trang 74.
Ví dụ 3. Cho phương trình
3x + 2 = -x2 + x + a

(3)

Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tùy theo các giá trị của tham
số a.
Giải. Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng
x2 + 2x + 2 = a

(4)

Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của
phương trình (4) và bằng số giao điểm của parabol (P):
y = x2 + 2x + 2 với đường thẳng (d): y = a. Quan sát đồ thị
(h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểm M(-1; 1), khi a

23

thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với
trục hoành. Từ đó, ta suy ra:
- Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm
chung);
- Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm (kép) (đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol
(P));
- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt).
CHÚ Ý
Khi viết phương trình (3) dưới dạng x2 + 3x + 2 = x + a, ta thấy kết quả trên còn cho biết
số giao điểm của parabol y = x2 + 3x + 2 với đường thẳng y = x + a.

Phân tích về ví dụ 2 và ví dụ 3 của Đại số 10 nâng cao trang 73-74, trong luận
văn của Nguyễn Nhật Phương (2012), tác giả có viết:
Về mặt tổ chức toán học, ví dụ 2 và 3 đều là hai nhiệm vụ cụ thể cùng thuộc một
kiểu nhiệm vụ lớn là giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Tuy nhiên,
cách phát biểu, yêu cầu và kỹ thuật được huy động trong mỗi ví dụ có những điểm khác
nhau.
Ví dụ 2 yêu cầu giải và biện luận một phương trình chứa tham số nhưng không
hạn chế kỹ thuật sử dụng. Khi đó, kỹ thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm
gọi là kỹ thuật đại số – dựa trên yếu tố công nghệ đã trình bày trong bảng 3. Kỹ thuật này
không những chỉ ra số nghiệm mà còn chỉ ra giá trị của từng nghiệm theo các giá trị của
tham số.
Trái lại, ví dụ 3 chỉ yêu cầu biện luận một phương trình chứa tham số, không yêu
cầu giải nhưng lại hạn chế kỹ thuật sử dụng thông qua nhóm từ “bằng đồ thị”. Khi đó, kỹ
thuật mà sách giáo khoa huy động – chúng tôi tạm gọi là kỹ thuật đồ thị – dựa trên yếu tố
công nghệ được phát biểu ngay trong lời giải của ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình
đang xét cũng là số giao điểm của parabol với đường thẳng. Yếu tố công nghệ này không

chỉ biện minh cho lời giải của ví dụ 3 mà còn chuyển bài toán đang xét từ phạm vi 1 đại số
(biện luận số nghiệm của phương trình) sang phạm vi hình học (xét số giao điểm của hai
đồ thị). Từ đó, một yếu tố công nghệ khác xuất hiện và can thiệp vào lời giải: đồ thị
trong hình 3.1. Ở đây, đồ thị vừa là một phần của lời giải, vừa tham gia vào lời giải với
tư cách yếu tố công nghệ (thể hiện qua cách diễn đạt “Quan sát đồ thị (h.3.1), ta thấy...”
hoặc những chữ trong dấu ngoặc đơn mô tả vị trí tương đối giữa (P) và (d) nhằm giải
thích vì sao phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt). Cuối

Chúng tôi tạm dịch các thuật ngữ cadre và registre là phạm vi và hệ thống biểu đạt. Liên quan đến nội dung
này, độc giả có thế đọc, chẳng hạn, bài viết của Raymond Duval (2002) Cadres et registres: comment décrire et
analyser l'activité mathématique? (Phạm vi và hệ thống biểu đạt: mô tả và phân tích hoạt động toán học như thế
nào?).
1


24

cùng, kỹ thuật đồ thị – như ví dụ 3 đã chứng tỏ – chỉ cho phép biện luận số nghiệm mà
không chỉ ra được giá trị chính xác của nghiệm theo các giá trị của tham số. Việc sử dụng
đồ thị để tìm nghiệm gần đúng của phương trình không được đề cập trong sách giáo khoa.
[20, trang 12-13]

Ngoài ra, ở dưới lời giải ví dụ 3 có phần CHÚ Ý, ta ghi nhận được hai điều. Thứ
nhất: ta có thể dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương trình và ngược lại
có thể dùng phương trình để biện luận số giao điểm của hai đồ thị. Thứ hai: ngoài cách
biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào việc biện luận số giao điểm của parabol
(P) và đường thẳng song song với trục hoành ta còn có thể biện luận dựa vào số giao
điểm của parabol (P) và đường thẳng không cùng phương với trục hoành. Nhằm khắc
sâu hơn kiến thức dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình dạng ax2 + bx
+ c = 0, Đại số 10 nâng cao đã có một bài tập 7 trang 78, với yêu cầu: “Dựa vào hình

3.1 (trang 74), tìm giá trị của a để phương trình (3) cho trong ví dụ (3) có nghiệm
dương.” Với yêu cầu này, học sinh biết được ngoài việc dùng đồ thị để biện luận số
nghiệm của phương trình ta còn có thể dùng đồ thị để tìm nghiệm của phương trình
thỏa một yêu cầu nào đó.
Việc biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị, đây không hẳn là một
kiến thức mới đối với học sinh vì thực tế, ở lớp 9, các em đã làm quen với việc tìm số
giao điểm của hai đường thẳng dựa vào việc giải hệ phương trình và tìm số nghiệm
của hệ phương trình dựa vào việc đưa hai phương trình bậc nhất đó về hai hàm số bậc
nhất rồi biểu diễn chúng trên hệ trục tọa độ để kết luận số nghiệm của hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
Từ ví dụ 3, ta có kiểu nhiệm vụ T3 dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số dạng ax2 + bx + c = 0.
Kiểu nhiệm vụ T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số
m dạng ax2 + bx + c = 0.
Kỹ thuật :
- Đưa phương trình cần biện luận về dạng f(x) = g(m), trong đó: f(x) là hàm số bậc hai
có đồ thị là parabol (P), g(m) là hàm số có đồ thị là đường thẳng (d) song song với trục
hoành.
- Vẽ các đồ thị (P): y = f(x); (d): y = g(m).


25

- Dựa vào đồ thị, xét số giao điểm giữa (P) và (d) theo các giá trị m.
- Sử dụng kết quả ở bước ba để kết luận về số nghiệm của phương trình đã cho.
Công nghệ :
- Các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả.
- Cách vẽ đồ thị Parabol (P), đường thẳng (d).
- Số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) chính là số giao điểm của (P) và (d).
Đối với kiểu nhiệm vụ T3: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

chứa tham số m dạng ax2 + bx + c = 0. Xét theo đặc điểm của ẩn số x trong phương
trình, kiểu nhiệm vụ T3 này có hai dạng đặc biệt trong cả hai quyển sách:
Dạng

Đặc điểm của

Các minh họa tương

đặc biệt

ẩn số x trong

ứng cho từng

phương trình

dạng đặc biệt

Dạng
đặc biệt
1

Đại số 10
nâng cao

Bài tập
Đại số 10
nâng cao

Tổng

cộng

Ẩn số x không x2 + 3x – m + 1 = 0
nằm trong dấu (Đại số 10 nâng cao,
giá trị tuyệt trang 102, bài 59a):

2

3

5

0

1

1

2

4

6

đối.

Dạng
đặc biệt
2

Ẩn số x nằm x2 - 3 x - k + 1 = 0
trong dấu giá (Bài tập Đại số 10
trị tuyệt đối.
nâng cao, trang 68, bài
3.62b)

Tổng cộng

Bảng 6. Số lượng các dạng đặc biệt của T3 trong hai quyển sách

Trái ngược với kiểu nhiệm vụ T2, từ bảng 6 ta thấy số lượng bài tập thuộc kiểu
T3, sách Bài tập Đại số 10 nâng cao chiếm số lượng nhiều hơn sách Đại số 10 nâng
cao. Và số lượng bài tập có mặt ở cả hai dạng đặc biệt. Điều này cho thấy việc giải
quyết bài tập kiểu T3 là điều mà các tác giả mong đợi hơn cả ở học sinh và đó là yêu
cầu mang tính nâng cao. Trong khi đó, Đại số 10 nâng cao chỉ góp hai bài ở dạng đặc
biệt 1 cho thấy với bài tập kiểu T3 này, các tác giả chỉ yêu cầu ở mức độ cơ bản, chỉ ở