Luận văn phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

N G U Y Ễ N T H À N H B IÊ N

P H É P B IẾ N Đ Ổ I L A PL A C E H Ữ U H Ạ N
VÀ Ứ N G D Ụ N G

C huyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. N guyễn Văn Hào

H À N Ộ I - 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung
học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ
vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

N guyễn T hành B iên


Lời cam đoan
Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “P hép biến đổi Laplace
hữu hạn và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải
tích phức, đặc biệt là những khái niệm quan trọng của phép biến đổi
Laplace hữu hạn. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn
Hào.
Hà Nội, tháng 1 năm 2015
Tác giả

N guyễn T hành B iên


M ục lục
M ở đầu . . .
Chương 1. K iến thứ c chuẩn bị

5

1 . 1 . Số phức và mặt phẳng phức

5

1.1.1. Khái niệm và tính chất cơ bản

5

1 . 1 . 2 . Sự hội tụ của dãy số phức

7

1.1.3. Một số tập hợp trong mặt phẳng phức

8

1 .2 . Hàm chỉnh hình

10

1.3. Tích phân phức

13

1.4. Chuỗi lũy thừa

16

1.5. Lý thuyết thặng dư

18

1.5.1. Không điểm và cực điểm

18

1.5.2. Công thức thặng dư

20

Chương 2. P hép biến đổi Laplace hữu hạn
2 .1 . Định nghĩa và một số ví dụ

23
23

2 . 1 . 1 . Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn

23

2 . 1 . 2 . Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn

27

2 .2 . Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace hữu hạn

32


ii

Chương

3. M ột số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu

h ạ n ...........................................................................................................

37

3.1. Bài toán Cauchy

37

3.2. Bài toán dao động điều hòa đơn

38

3.3. Bài toán giá trị biên

39

3.4. Bài toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn

40

K ết luận

43

P hụ lục

44

Tài liệu tham khảo

46


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những dấu ấn đậm nét của sự xuất hiện phép biến đổi tích
phân phải kể đến một số các công trình của nhà Toán học Leonhard
Euler trong nững năm 1763 - 1769. Các nghiên cứu của ông về mặt cơ
bản là sử dụng phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược để
giải phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai. Đến năm 1910,
Bateman là người đầu tiên áp dụng phép biến đổi Laplace trong việc
giải quyết một số vấn đề của Vật lý lượng tử. Bằng cách đặt
00

P(X) = J e - * ‘P(t)dt,
0
ông đã thu được các phương trình biến đổi của các phương trình về sự
phân rã phóng xạ của Rutherford
ẹ = —XịP.
dt
Qua phép biến đổi Lappace các phép tính vi phân và tích phân được
chuyển thành các phép tính đại số (ta có thể hình dung như qua phép
tính logarỉt mà phép nhân được chuyển thành phép cộng) mà phép biến
đổi này cho ta một công cụ hiệu lực trong việc giải toán về phương trình
vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các
bài toán về xử lý mạch điện trong vật lý,... Tuy nhiên phép biến đổi này

thường được sử dụng để tìm lời giải của một hệ tuyến tính nào đó tại


2

thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = 0 và hàm nhiễu f ( t ) với t > 0.
Trong trường hợp hàm nhiễu (hay cũng còn gọi là hàm đầu vào) là hàm
f ( t ) = exp(at2);a > 0 thì phép biến đổi Laplace thông thường không
thể sử dụng trong việc tìm nghiệm của bài toán với điều kiện đầu vì biến
đổi Laplace của hàm f ( t ) không tồn tại. Theo một số cách nhìn từ khía
cạnh Vật lý, điều này là một lý do tại sao hàm f ( t ) không được sử dụng
như một hàm nhiễu chấp nhận được để giải quyết những vấn đề đặt ra.
Điều này thường chỉ đúng cho lời giải của bài toán ở thời điểm sau t
nhưng không còn hiệu lực tại chính thời điểm í. Từ thực tế này, đưa các
nhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữu
hạn trong đoạn 0 < t < T. Tính hiệu lực cũng như sự hữu ích của phép
biến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường cũng đã
được khẳng định trên nhiều lĩnh vực khác trong Toán học cũng như thực
tiễn.
Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Phép biến
đổi Laplace hữu hạn và ứng dụng" để thực hiện luận văn Thạc sĩ
Toán học chuyên ngành Toán giải tích.
Luận văn được cấu trúc thành 03 chương. Chương 1, chúng tôi trình bày
một số kiến thức chuẩn bị. Phần nghiên cứu chính được trình bày trong
chương 2 của luận văn, ở đây chúng tôi trình bày một cách hệ thống về
phép biến đổi Laplace hữu hạn. Chương 3 sẽ trình bày một số ứng dụng
của phép biến đổi Laplace hữu hạn.


3

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn
sau đó nêu ra một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến Laplace hữu hạn
và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực
Vật lý.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép biến đổi Laplace hữu hạn và một số ứng dụng của phép biến đổi
Laplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường trong việc giải
quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý như: bài toán Cauchy, bài
toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn, bài toán giá trị biên,
bài toán dao động điều hòa đơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của
người hướng dẫn.


4

6. Đ ón g góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn; trình
bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực
Vật lý.

5

Chương 1
K iến thức chuẩn bị
1.1. s ố phức và m ặt phẳng phức
1.1.1. K hái niệm và tín h chất cơ bản
Số phức là số có dạng
z = X + i y ; x , y £ Ш;

trong đó ỉ là đơn vị ảo mà i2 = —1. Ta gọi X là phần thực và y là phần
ảo, kí hiệu tương ứng bởi
X —

Rez, y — Im z.

Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi

c. Tập hợp các số phức được đồng

nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
С

M2

z = X + ỉy I-» (ж, у).
Một cách

tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy làtrục ảo. Phép

cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường

như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = —1. Ta có
^1 + ^2 = (zi + x 2) + i(yi + y2)


6

và
Zị . Z2 =

( X ị + i y i ) ( x 2 + i y 2) = X ị X 2 + г х х У 2 + i y i X 2 + i 2y i V2

= (хгх 2 - У1 У2) + г{ххУ2 + У1 Х2).

Một số tính chất của phép cộng và nhân số phức
+ Tính chất giao hoán
Zi+ z2 = z2 + Zi'Zi.Z2 = Z2 .Z1 .
+ Tính chất kết hợp
(z \ +

Z2 )

+

=

Z\ +

(z 2 + 2 3 );

=

2 11. ( 2:2 . 2:3 ) .

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z l -{z 2 +

Với mỗi số phức

z

=

X

+

ỉy ,

zĩ) =

z l -z 2 +

Z \ .z $ .

ta xác định modul của số phức 2 là
\z\ = л / X2 + у2.

Modul của số phức có các tính chất đơn giản dưới đây
(г) Iz + w\ < \z\ + \w\ ; V-г, w e c ,

(гг) \\z\ —|ги|| <

\z — w\ ; V z ,w

e c,

(Ui) ỊRe2:Ị < \z\ ; Ịlm^l < \z\ ;V2 G с .

Số p h ứ c liên hợp của số phức z = X + ỉy được ký hiệu là z = X —iy.
Không khó khăn ta có thể kiểm tra được
R e z = ^ ;Im z = ^
2
2i


số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực
z = r.eị9\ với r > 0,0 € M.
Trong biểu diễn trên 9 được gọi là argument của số phức z (argument
của số phức 2 được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội
nguyên của 27r) và
ei6 = cosỡ + ỉ sin 9
Bởi vì ỊeiớỊ = 1, nên r = \z\ và 9 là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng z = r.ei9 và w = s.eiự> thì
z.w = r.s.ei^ +'p')
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w €
w = lim zn <=> lim \zn — w\ = 0.
Dễ dàng kiểm tra rằng

Dãy số phức {zn} được gọi là dãy Cauchy nếu

c

và viết là


8

Điều đó, tương đương với mọi £ > 0 tồn tại N = N(e) G N* sao cho
\zn ~ zmI < £; với mọi n , m > N.

Đ ịn h lý 1.1. Tập hợp С là không gian đầy (nghĩa là mọi dãy Cauchy
đều hội tụ).
1.1.3. M ột số tập hợp trong m ặt phẳng phức
Cho zữ е С và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm zữ bán kính r là tập hợp
Dr(z0) = {z e с : ịz —z0\ < r } .
Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr(z0) = {z G С : \z — z0\ < r} .
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn Cr (z0) — ị z e с : Ịz —zữ\ — r}.
Đĩa có tâm zữ = 0 và bán kính bằng 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là
D = {z € С : \z\ < 1} .
cho tập hợp Q С С, điểm zữ G

được gọi là điểm trong của

nếu tồn

tại r > 0 sao cho
Dr(z0) С Q.

Phần trong của tập ri С С ký hiệu là intfi gồm tấ t cả các điểm trong
của íỉ. Tập íĩ được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó là điểm trong.
Tập Q được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó c \ í ỉ là tập mở.
Điểm z e С được gọi là điểm giới hạn của tập íĩ nếu tồn tại một dãy
các điểm zn £ Q sao cho zn Ф z và lim zn — z. Chúng ta có thể kiểm
n —¥00


9

tra được rằng một tập íĩ là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập ri là hợp của Q và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu
là íì. Biên của íỉ ký hiệu và được xác định bởi ỡíỉ = íỉ\in tíỉ.
Tập ri là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho \z\ < M với mọi z £ ri.
Nếu íỉ là bị chặn, ta xác định được đường kính của nó bởi
diam(rỉ) = Slip \z —w \ .
z,w€fi

Tập ri được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn.
Đ ịn h lý 1.2. Tập íĩ С С là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {zn} с ri
đều chứa một dãy con {zUk} hội tụ tới một điểm z G íỉ.
Một phủ mở của ri là một họ các tập mở {Ua}aeI sao cho Q с LJ Ua.
a£l
Đ ịn h lý 1.3. Tập íỉ là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của íĩ có
một phủ con hữu hạn.
M ệnh đề 1.1. Nếu íĩi D ÍỈ2 3 • • • D £ìn D . . . là một dẫy cấc tập
compact khác rỗng trong с mà
diam(rỉn) —> 0; khi n

oo

thì tồn tại duy nhất điểm cư G с sao cho Lú € fỉn với mọi

n.

C h ứ n g m in h . Với mỗi n chọn điểm zn G íỉn. Bởi vì
D rỉ2 Э . . . Э

D ...

nên zn, z m G Qn với mọi m , n > N. Như vậy, ta thấy dãy
Cauchy. Do đó lim zn = w. Bởi vì

compact, nên ta

{zn} là dãy

có CƯG íỉn vối


10

mọi п.
Thêm nữa, nếu tồn tại vu' € íỉn với mọi n thì ta có
0 < \w — w'\ < diam(rĩn) —»• 0.
Như vậy UI là điểm chung duy nhất của mọi tập íìn.
Tập mở íỉ С С được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập
mở khác rỗng ÍỈ1 và fỉ2 rời nhau sao cho
rỉ = rỉi и
Một tập mở liên thông trong с được gọi là một miền. Tập đóng F là

liên thông nếu không thể viết F = Fị и F2 ở đó Fị và F2 là các tập đóng
không rỗng rời nhau.

1.2. H àm chỉnh hình
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho hàm phức f ( z ) xác định trên tập mở ri. Hàm
f ( z ) được gọi là С - khả vi tại điểm z0 £ íỉ nếu tồn tại giới hạn của biểu
thức
/(Zb + h ) - / ^ ) . khi h ^ 0j
Ịb

(L1)

ở đó о Ф h € С sao cho z0 + h £ íỉ.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f ' ( z 0) và gọi là đạo hàm của hàm f ( z )
tại điểm zq. Như vậy, ta có
г ы

= И т/(* +
- /(4
0
h

Hàm f ( z ) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là с - khả vi
tại một lân cận nào đó của điểm z0.


11

Hàm / gọi là chỉnh hình trên íĩ nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của íĩ.
Hàm / chỉnh hình trên

c

V í dụ 1.1. Hàm f ( z ) — z

c

được gọi là hàm nguyên.
chỉnh hình trên một tập con mởbất kỳ trong

và f'(z ) = 1. T hật vậy, ta có
/'( ,„ ) = lim /( z ° + h ) /i->0

h

= lim (» + * ) - * = 1.
h^o
h

Từ đó, ta suy ra đa thức P ( z ) = aữ + a\Z + • ■ • + anznchỉnhhình trên
toàn m ặt phẳng phức

c

và

p ' ( z ) = ữi + 2a2z + • • • + nflnzn_1.
Điều đó được suy ra từ mệnh đề L2 được trình bày sau phần này.
1
V í d ụ 1.2. Hàm f ( z ) — - là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ D không

z
chứa điểm gốc và f ' ( z ) = — T hật vậy, ta có
/■(,„) = lim / ( * + * ) - / ( * )
fc->0
h
1
1
h->ữ

h

TAÔ \

z(z + h)

z2

V í d ụ 1.3. Hàm f ( z ) = z là không chỉnh hình. T hật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
f ( z ữ + h) — f ( z 0)
h
Bằng

z + h —z
h

z + ĩi — z
h

h

h

việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy

ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi

h —>0.

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f ( z ) là chỉnh hình tại zữ £ íĩ nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f ( z Q+ h) - f ( z Q) - a.h = h.ĩị){h)

(1.2)


12

với ф{К) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim Ip(h) = 0. Dĩ nhiên,
h—
У0
ta có а = f ' ( z 0).
N h ậ n x é t 1.1. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm / chỉnh hình
trên Q thì / là liên tục trên đó.
Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng
tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau
M ệnh đề 1.2. Nếu cấc hầm f , g chĩnh hình trên íì, thì
(*) ỉ + 9 chỉnh hình trên гì và ( f + gy = f ' 4- g',

vầ Ự.gỴ = ĩ ' g + f.g',

(ii) f.g chỉnh hình trên

/ ^ , f ' -9 - f-g'
{ill) Nếu g(zữ) ф 0, thì — chỉnh hình tại Zq g íỉ và I —I =
9
Vd /
2
1
Thêm nữa, nếu f : íỉ
ит va g : и
с1 lầ cấc hàm
chỉnh
hình, thì hầm
ГГТ7- Ạ

_

X

P

,

т

ч

_

тт

/Г

14

/

\ _______ 1

7_

hợp go f : ri —> с cũng lầ hầm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của
hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f ( z ) =

Z

tương ứng như ánh xạ của

một hàm hai biến thực F : (X, y) !-»■ (X, —y). Hàm này khả vi theo nghĩa
hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các
đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm / khả vi phức,
ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều
kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải được
điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f ( z ) = u ( x , y ) + iv (x,y), trong đó
hàm u ( x , y ) và v(x,y ) xác định trong miền ri, được gọi là M2 - khả vi

13

tại z = X + iy nếu các hàm của hai biến thực u ( x , y ) và v ( x , y ) khả vi

tại điểm (x,y).
Đ ịn h lý 1.4 (Điều kiện Cauchy - Riemann). Để hàm f ( z ) là c - khả
vi tại điểm z € D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f ( z ) là M2 khả vi và thỏa mẫn điều kiện Cauchy - Riemann.
du
d x K ,yy

dv
dyy

du
d y y :yj

dv
dxK ’

1.3. T ích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] —> c

t H-» z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z'(t) liên tục trên đoạn
[a, 6] và z'(t) Ỷ 0) với mọi t G [a, 6]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z'(a) và z'(b) được hiểu như các giới hạn một phía
z(a + h ) - z ( a ) x //7\ _ 1- z(b + h) - z(b)
z (a) = lim -------------------- và z (o) = lim --------------------- .
/i->0+

h
h^oh
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < a,ị < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ajfe, ữjfc+i]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ữfc có thể
khác nhau với mọi k = 1,2,

n — 1.

Hai đường cong tham số z : [a, 6] —¥ c và Z : [c,đ\ —¥ c được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s —>t(s) từ [c, d] đến


14

[a,tí\ sao cho t'(s) > 0 và z(s) = 2: (t(s )). Điều kiện t'(s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s ) chạy từ a đến b. Họ
của tấ t cả các đường cong tham số tương đương với z (t) xác định một
đường cong trơn 7 c c . Đường cong 7 “ là đường cong thu được từ 7
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của 7 “ được xác định như
sau
: [a, b] —> R2
z~(t) = z(b + a — t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
í ^ s thì z(t) Ỷ z is ) (trá ra khi s = a và t = b). Ta thường gọi đường
cong đơn và kín là một chu tuyến. Một chu tuyến 7 giới hạn một miền
trong m ặt phẳng phức c được gọi là miền đơn liên và thường được ký
hiệu bởi Dry.

V í d ụ 1.4. Xét đường tròn Cr (z0) tâm tại Zq, bán kính r
c r (20) = {z e c : \z - z0\ = r } .

Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số

027

z ( t ) = z0 + reu, t e [ , r]

và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = zữ + re~tí, t e [0, 2tĩ] .
Ta ký hiệu c là đường tròn định hướng dương.


15

Đ ịnh nghĩa 1.2. Cho đường cong trơn 7 được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, 6] —
> c và / là hàm liên tục trên 7 . Tích phân của hàm /
dọc theo 7 được xác định bởi
b

Ị

f{ z ) d z =

7

Ị

f(z{t)).z'(t)dt.

a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với 7 . T hật vậy, giả sử z là một tham số hóa tương
đương xác định như trên thì
6

d

Ị f(z{t)).z'(t)dt = Ị f{z{t{s))).z'{t(s)).t'{s)ds
a

c

d
= Ị ĩ{z{s)).z'{s)ds.
c

Nếu 7 là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong 7 được tính bởi công
thức

Đ ịnh lý 1.5. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong 7 có các
tính chất sau

(i) I
7

( a f + ạ g)dz = a

Ị
7

f ( z ) d z + ị3 Ị g{z)dz; a,P7

c.


16

(ii) Nếu 7

là đường cong ngược hướng với 7 thì
Ị f{ z ) d z = - J f(z)dz.
7

(iii) Ta có Ị ĩ{z)dí

7

< sup \f(z) \ length(7 ).
ze 7

7

Đ ịn h lý 1.6. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên ũ, và

7 là một đường cong trơn từng khúc nằm trong ri có điểm đầu là CÚI và
điểm cuối UJ2 , thì
/

f{ z ) d z = F ( u}2) - F ( u i).

H ệ q u ả 1.1. Giả sử 7 ỉằ đường cong đóng nằm trong tập mở íỉ. Nếu
hầm liên tục f và có nguyên hầm trong íì thì
/

f( z ) d z = 0.

H ệ q u ả 1.2. Nếu f chỉnh hình trong miền íỉ vầ f ' = 0, thì f ỉà hầm
hằng.

1.4. Chuỗi lũy thừ a
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
00

(1.3)

y ^ a nz n,
n=0

trong đó an G C; n = 0,1, 2,....
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm

Zq

nào đó, thì

nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa \z\ < 1^01- Việc tìm miền hội tụ của
chuỗi lũy thừa được xác định bởi định lý dưới đây.


17
00

Đ ịn h lý 1.7 (Cauchy - Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa

anzn. Khi
n=0

đó, tồn tại số 0 < R < +oo sao cho
(ỉ) Nếu \z\ < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu \z\ > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = oo và l/o o = 0, thì số R được
tính bởi công thức
i = lim sup |a„|”.
ỉx

n -¥ 0 0

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền \z\ < R được gọi là
đĩa hội tụ của chuỗi.
C h ú ý. Trên biên của đĩa hội tụ \z\ = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn m ặt phẳng phức là các
hàm lượng giác
00

= Y
n= 0

2n

7 2n+l

1 (2n)\ và sin^ = yn = 0 ( - ! ) "’- (2n
\ + l)f

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
e i z _|_ e - i z

e iz _

e -iz

cosz = ------------ và SÌĨ12 = ------------- .
2

2

00

Đ ịn h lý 1.8. Chuỗi lũy thừa f ( z ) = XI anzĩl xấc định một hàm chỉnh
n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f ( z ) cũng là một chuỗi lũy

thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f( z ) ,
tức là
00

f '(z) =

naJlz n~1.
71=0

Hơn nữa, f ' ( z ) có cùng bán kính hội tụ với f ( z ) .


18

H ệ quả 1.3. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa ỉầ m ột chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của chuỗi đã cho.
Một hàm f ( z ) xác định một tập con mở

được gọi là giải tích (hoặc

có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm zữ & Q nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
00

^2 an(z —zữ)n tâm tại zữ với bán kính hội tụ dương sao cho

n=0

00

f (z) =

- zoY
n=0

với mọi 2 trong lân cận của điểm z0. Nếu f ( z ) có khai triển chuỗi lũy
thừa tại mọi z G íỉ, thì ta nói rằng f ( z ) giải tích trên íĩ.
Từ Định lý L8, ta thấy rằng một hàm giải tích trên íĩ thì cũng chỉnh
hình trên đó.

1.5. Lý th u yết th ặn g dư
1.5.1. K hông điểm và cực điểm
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f ( z ) nếu
/ (^o) = 0.

Đ ịn h lý 1.9. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mở
liên thông ri, có một không điểm tại zữ € Q và không đồng nhất bằng
không trong íĩ. Thế thì, tồn tại một lân cận u c íỉ của zữ và một hàm
chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên u với một số nguyên dương


19

lớn nhất n sao cho
f ( z ) = (z — z0)n g(z); với mọi z € u.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói / có không điểm bậc n (hoặc
bội ĩì) tại điểm z0. Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng zữ là
không điểm đơn.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Điểm z0 G c được gọi là điểm bất thường cô lập của
hàm f ( z ) nếu tồn tại m ột lân cận thủng { z & c : 0 < \z — Zq\ < R } của

điểm zữ sao cho tại lân cận này hàm / chỉnh hình nhưng không chỉnh
hình tại zữ.
V í d ụ 1.5. Hàm f ( z ) = —-— nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô

z

1

lập.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim f ( z ) = f lẽ C ;
z - >z0

(ii) cực điểm nếu lim f ( z ) = oo;
z - >z0

(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f ( z ) không có giới hạn khi
z —>• Zq.
V í d ụ 1.6. Hàm số f ( z ) = -——nhận điểm z = 0 là điểm bất thường
bỏ được bởi vì
lim /(* ) = lim —
z->0
z-¥0 z

=1.

Hàm số f ( z ) = - nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
lim f ( z ) = lim —= 00.
0

z->0 z


20

Hàm số f ( z ) = ò nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
lim f ( z ) =

z-¥ 0

lim e* = lim e* = 00,
z-¥ 0
x->0+
y=0,;c>0

lim f ( z ) — lim

z-¥ 0

z-¥ 0
y = 0, x < 0

e* = lim e* = 0.
x-ìữ~

Đ ịnh lý 1.10. Nếu f ( z ) có một cực điểm tại Zq G ri, thì trong một
lãn cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số
nguyên dương n lớn nhất sao cho
h{z)
{z - ZữỴ

№

số nguyên dương n trong Định lý 1.10 được gọi là bậc (hoặc bội) của
cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0. Nếu
cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Đ ịn h lý 1.11. Nếu f có cực điểm bậc n tại z0, thì
a~n
I
a -n+ 1
ữ-in
ĩ \ z )\ —
— 7 -------7--- b 7 -------- 7 —: + • • • + 7 --------r + G{z),
(z - zữ)n
(z - z 0)n~1
(z - Zo)

!X

ở đó G (z ) ỉà hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm zữ.
1.5.2. C ông thức thặn g dư
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Hệ số a_i trong khai triển
f(

\ __

a -n

f{z} -

a -n+ 1

+Ẹ -

ữ-l

+ ' ■' + ( ĩ ^ o ) +

của hàm / tại cực điểm zữ của nó được gọi là thặng
điểm đó, ký hiệu là res /. Như vậy res / = a_ 1 .
z = z0

Ị

z = z0

N

( )

dư của / tại cực