TIỂU LUẬN MÔN HỌC THIẾT KẾ BỘ LỌC & MÃ HÓA BĂNG CON BIẾN ĐỔI WAVELET MỘT CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay, bên cạnh phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Wavelet đang
được ứng dụng rất phổ biến trong phân tích tín hiệu nhờ những ưu điểm của phép
phân tích này so với phép biến đổi Fourier.
Phép biến đổi Wavelet có thể phân tích các loại tín hiệu phức tạp và có sự
biến thiên nhanh, đột ngột mà phép biến đổi Fourier phân tích không chính xác, đó
là nhờ sử dụng các bộ hàm Wavelet chứ không phải các hàm sin hay cos điều hòa
như Fourier.
Ngoài ra phép biến đổi Wavelet không chỉ phân tích về bản chất tần số của
tín hiệu, mà còn có khả năng giữ lại thông tin về mặt thời gian của tín hiệu.
Với nhiều ưu điểm như vậy, phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rộng rãi
trong cuộc sống. Trong đó, phân tích các tín hiệu phức tạp như âm thanh, hình
ảnh, video, ứng dụng trong chống nhiễu tín hiệu, nén các loại tín hiệu là những
ứng dụng quan trọng nhất.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 1
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Với mục đích tìm hiểu về phép phân tích Wavelet và ứng dụng trong thực
tế, nhóm em thực hiện tiểu luận này bao gồm phần lý thuyết về Wavelet và phần
mô phỏng ứng dụng Wavelet dùng phần mềm Matlab.
Tiểu luận gồm 4 chương:
Chương 1: Tổng quan về Wavelet
Chương 2: Cơ sở lý thuyết về biến đổi Wavelet
Chương 3: Tổ chức chương trình thiết kế ứng dụng Wavelet 1-D
Chương 4: Thực hiện và đánh giá kết quả
Nhóm em xin chân thành cảm ơn Thầy Ngô Văn Sỹ đã giúp nhóm em hoàn
thành tiểu luận này.
Do những hạn chế về kiến thức và thời gian thực hiện tiểu luận, không thể
tránh khỏi sai sót, nhóm em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Thầy và
các bạn.

Nhóm em xin chân thành cảm ơn.
Đà Nẵng, tháng 03 năm 2013
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 2
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI WAVELET
1.1. Tổng quan về Wavelet
Wavelet còn gọi là “sóng con’’, có thể hiểu là những tín hiệu có dao động
nhỏ, tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn, có giá trị trung bình bằng không. Đây
là thuật ngữ khoa học, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, tốt nhất
ta gọi tên là “Wavelet”.
Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để
phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu. Hiện nay, Wavelet là một trong
những đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới.
Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực
tế rất lớn.
Đối với phân tích Wavelet, ta vẫn giữ được thông tin tần số và thông tin thời
gian của tín hiệu của tín hiệu. Biến đổi Wavelet đưa ra khái niệm hệ số co giãn
(scale factor) đại diện cho tần số và hệ số dịch chuyển (shift factor) đại diện cho
thời gian để biểu diễn tín hiệu.
Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần
tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được
gọi là hàm wavelet mẫu. Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫu
được co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated).
Thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò
đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu. Wavelet đã đưa ra được mức phân giải
tốt theo miền thời gian lẫn miền tần số. Nghĩa là, nếu chúng ta quan sát tập dữ liệu
qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta
quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small). Đặc điểm này
rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng, luôn luôn biến thiên,
không ổn định (nonstationary signal analysis).

Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng
như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí
(air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 3
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
1.2. Hoàn cảnh lịch sử
1.2.1. Trước 1930
Trước năm 1930, Joseph Fourier cùng với thuyết của ông về phân tích trong
miền tần số dựa trên cơ sở toán học đã dẫn dắt đến sự ra đời và phát triển Wavelet
như là sự kế thừa và phát triển phép biến đổi Fourier. Ông khẳng định rằng bất kỳ
hàm số có chu kỳ tuần hoàn
π
2
đều được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi các
số hạng Fourier
∑
∞
=
++
1
0
sincos
k
kk
kxbkxaa
(1.1)
Các hệ số a
0
, a
k

và b
k
được tính như sau:
∫
=
π
π
2
0
0
)(
2
1
dxxfa
,
∫
=
π
π
2
0
)cos()(
1
dxkxxfa
k
,
∫
=
π
π

2
0
)sin()(
1
dxkxxfb
k
(1.2)
Lý thuyết Fourier đóng vai trò rất quan trọng và cần thiết trong vấn đề đánh
giá phân tích các hàm toán học.
1.2.2. Vào thập niên 30
Vào những năm 30, một vài nhóm làm việc độc lập nhau, nghiên cứu sự biểu
diễn của hàm số dùng các hàm cơ sở thay đổi tỷ lệ được. Hàm đó được gọi là hàm
cơ sở Haar. Nhà vật lý Paul Levy đã khám phá ra sự chuyển động Brownian, một
loại tín hiệu ngẫu nhiên. Ông đã tìm thấy sự phát triển cao hơn của hàm Haar so
với hàm cơ sở Fourier trong việc nghiên cứu những chi tiết phức tạp nhỏ trong
chuyển động Brownian.
Một nghiên cứu khác trong những năm 30 đó là nỗ lực nghiên cứu của
Littlewood. Paley và Stain về việc tính toán năng lượng của hàm số f(x):
( )
∫
=
π
π
2
0
2
2
1
dxxfenergy
(1.3)

Kết quả tính toán có sự sai lệch nếu như năng lượng được tập trung xung
quanh một vài điểm hoặc phân bố trên khoảng thời gian rộng. Kết quả này làm náo
động các nhà khoa học thời bấy giờ bởi vì điều này có nghĩa là năng lượng không
thể được bảo toàn. Các nhà nghiên cứu đã khám phá ra được một hàm số có thể
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 4
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
thay đổi thang tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán hàm năng lượng.
Công việc này đã giúp cho David Marr với thuật toán hiệu quả trong xử lý ảnh
dùng Wavelet vào đầu thập niên 1980.
1.2.3. Từ 1960 – 1980
Giữa những năm 1960-1980, hai nhà toán học Guido Weiss và Ronald
R.Coifman đã nghiên cứu các thành phần đơn giản nhất của một không gian hàm,
gọi là atoms, với mục đích tìm những atom cho một hàm chung, và tìm ra luật hội
tụ cho phép tái cấu trúc tất cả các thành phần thuộc không gian hàm số dùng
những atom này. Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã
mở rộng khái niệm Wavelet trong vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên cứu này đã đưa
ra một cách nhìn về Wavelet dựa vào khả năng trực giác tự nhiên.
1.2.4. Sau 1980
Vào năm 1985, Stephane Mallat đã đưa ra một ứng dụng về Wavelet trong
lĩnh vực xử lý ảnh. Ông đã tìm ra được mối quan hệ giữa bộ lọc gương cầu phương
(Quadrature Mirror Filter), giải thuật hình tháp, và cơ sở Wavelet trực chuẩn. Góp
một phần đáng kể vào kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng nên Wavelet đầu tiên rất
quan trọng. Không giống như Wavelet Haar, Wavelet Meyer có tính vi phân liên
tục. Hai năm sau, Ingrid Daubechies sử dụng thuyết của Mallat để xây dựng một
tập các hàm cơ sở Wavelet trực chuẩn, và đã trở thành nền tảng, cơ sở cho các ứng
dụng Wavelet ngày nay.
1.3. Phân tích Fourier
1.3.1. Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT)
Phép biến đổi Fourier là một công cụ rất mạnh được sử dụng phổ biến trong
phân tích tín hiệu. Qua phép biến đổi, các thành phần tần số không thấy được trong

miền thời gian có thể được hiển thị rõ ràng trong miền tần số. Tuy nhiên khi
chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì các thông tin về miền thời
gian lại hoàn toàn bị mất. Do đó biến đổi Fourier truyền thống không thích hợp để
phân tích các tín hiệu không dừng (nonstationary).
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 5
GVHD: T.S NGƠ VĂN SỸ
Hình 1.1 : Phép biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier (FT) của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là:
∫
+∞
∞−
−−
>=<=
)(,)()( txedtetxX
tjtj
ωω
ω
(1.1)
Với ω = 2πf là tần số của tín hiệu.
Tích phân này lấy trong tồn miền thời gian của tín hiệu f(t) với hàm mũ cơ
số e. Những kết quả của biến đổi là những hệ số Fourier F(ω) (được gọi là phổ
tần số của f(t)) mà khi nhân với 1 sóng hình sin với tần số tương ứng, sẽ cho ra
các thành phần hình sin của tín hiệu ngun mẫu.

∫
∞
∞−
−
=
ωω

π
ω
d )(
2
1
)(
tj
eFtf
(1.2)
Chuỗi Fourier là tổng các hàm chu kỳ bao gồm hàm sin và cosin theo tần số,
là bội số ngun của tần số cơ bản của hàm. Cho f(x) là hàm thực với chu kỳ T.
Ví dụ: Hàm số bất kỳ được phân tích Fourier sẽ được biểu diễn như hình
sau:
Phân tích Fourier
Các thành phần hình sin có tần số khác nhau
Hình 1.2: Phép biến đổi Fourier của tín hiệu có chu kỳ
Phép biến đổi Fourier chuyển tín hiệu từ miền thời gian t sang miền tần số ω
(hay f). X(ω) được gọi là phổ tần số của tín hiệu x(t), bao gồm tất cả các thành
phần tần số có trong tín hiệu x(t) .
Như vậy, ta thấy rằng FT cho chúng ta biết được tổng các thành phần tần số
có trong tín hiệu, chúng ta khơng thể biết được các thành phần tần số xuất hiện ở
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 6
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
những thời điểm nào trong tín hiệu. Bất kỳ một sự thay đổi đột biến biên độ nào
của tín hiệu trong miền thời gian đều được trãi rộng trên khắp trục tần số trong
biến đổi Fourier, và thời điểm đột biến của tín hiệu bị mất hoàn toàn. Xét ví dụ
biến đổi Fourier của một hàm xung x(t) xuất hiện tại thời điểm t = 0 cho kết quả là
một phổ X(ω) = 1 trên toàn trục ω, không có một thông tin nào về thời điểm xuất
hiện của xung δ(t).
Hình 1.3: FT của xung Dirac

Nếu một tín hiệu không thay đổi nhiều trên toàn miền thời gian thì có thể sử
dụng được phép biến đổi Fourier này, nhưng đa số những tín hiệu trong thực tế
đều chứa đựng nhiều đặc tính động như ở trạng thái quá độ, các thay đổi đột ngột,
sự trôi (drift)… Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu,
nhưng biến đổi Fourier thì chưa mô tả đầy đủ đặc tính này.
1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms -
STFT)
Để khắc phục nhược điểm này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng một cách
linh hoạt biến đổi Fourier để phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ theo
thời gian, thì tín hiệu trong mỗi đoạn có thể xem là tín hiệu dừng; và do đó có thể
lấy biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này. Như vậy, phép biến đổi vừa có
tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier, vừa có tính định vị theo
thời gian do được tính trong từng khoảng thời gian ngắn. Đây là nguyên lý của
biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT), hay còn gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hóa
(Windowed Fourier Transform).
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 7
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Trong STFT, tín hiệu f(t) đầu tiên được nhân với một hàm cửa sổ w(t - τ) để
lấy được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh thời điểm τ. Sau
đó, phép biến đổi Fourier bình thường được tính trên đoạn tín hiệu này. Kết quả, ta
được một hàm hai biến STFTf(ω,τ) xác định bởi:
∫
+∞
∞−
−
−=
dtetftwSTFT
tj
f
ω

ττω
)()(),(
*
(1.10)
STFT tại thời điểm τ là biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) nhân với phiên bản
dịch một khoảng
τ
theo thời gian w(t-
τ
) của cửa sổ cơ bản tập trung quanh τ. Đây
là phổ cục bộ của f(t) xung quanh thời diểm τ do cửa sổ tương đối ngắn làm triệt
tiêu tín hiệu ngoài vùng lân cận xung quanh τ. Do đó, STFT có tính định vị theo
thời gian. Cửa sổ phân tích càng hẹp thì sự định vị này (hay độ phân giải theo thời
gian) càng tốt.
Hình 1.4: Biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT)
STFT thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và tần số của tín hiệu. Nó cung
cấp thông tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện. Tuy nhiên, độ chính xác
của thông tin này có hạn, và phụ thuộc thuộc vào kích thước cửa sổ.
Khuyết điểm chính của STFT là khi đã chọn hàm cửa sổ phân tích thì độ
phân giải thời gian - tần số không thay đổi trên khắp mặt phẳng thời gian - tần số.
Trong khi đó, các tín hiệu không dừng thường gặp trong thực tế đều gồm một số
thành phần tần số thấp khá ổn định (gần tuần hoàn, quasi-stationary) trong khoảng
thời gian dài và các burst tần số cao tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn. Nếu
chọn cửa sổ rộng để phân tích các thành phần ổn định với độ phân giải tần số tốt
thì không phân tích được các burst với độ phân giải thời gian tốt. Ngược lại, nếu
chọn cửa sổ hẹp để phân giải tốt các burst về thời gian thì độ phân giải tần số lại
xấu đi. Mâu thuẫn này không thể giải quyết được trong STFT.
1.3.3. Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT)
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 8
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ

Biến đổi Fourier nhanh thực chất là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier
Transform - DFT), chính là xấp xỉ một hàm số bằng cách lấy mẫu tại một số giá trị
tần số nhất định.
Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại N điểm với chu kỳ lấy mẫu là T, khi biến đổi
sang miền tần số bằng FFT N điểm, các tần số được lấy mẫu là:
N
k
k
π
ω
2
=
, với k = 0, 1, …, N-1. (1.3)
Các thành phần tần số thực tương ứng sẽ là:
(1.4)
Theo trên ta thấy, nếu tín hiệu chỉ có một thành phần tần số là
T
π
, như vậy
trong kết quả của FFT – N điểm trên ta chỉ có được một vị trí mang thông tin về
tần số này (nếu N chẵn), các vị trí khác mang thông tin về các tần số từ zero đến
cận tần số lấy mẫu, và do đó hình ảnh về phổ tín hiệu không được rõ lắm. Phương
pháp này không cải thiện độ phân giải của phổ tần số mà chỉ cho chúng ta hình ảnh
rõ ràng hơn về phổ tần số đã phân tích.
1.4. Giới thiệu về phép biến đổi Wavelet:
Lý thuyết về phép biến đổi Fourier là một trong những kết quả tốt nhất của
phép phân tích hiện đại và đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết của nhiều
ngành khoa học. Nó thường được sử dụng trong phân tích tín hiệu. Tuy nhiên,
phân tích Fourier không giải bài toán với thời gian thay đổi hoặc tín hiệu không ổn
định. Do đó cần có một phương pháp phân tích có thể đáp ứng cả trong miền thời

gian lẫn tần số. Phép biến đổi Wavelet được phát triển như một công cụ thay thế
STFT trong phân tích tín hiệu không dừng.
Hình 1.5 Phép biến đổi wavelet
Những điểm khác nhau của biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier là các riêng
các hàm wavelet được khoanh vùng trong không gian (localized in space). Đặc
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 9
T
k
N
k
NT
k
k
.
22
==Ω
π
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
tính này cùng với đặc tính định vị trong miền tần số của Wavelet tạo điều kiện tốt
cho nhiều hàm số và toán tử sử dụng phép rời rạc hoá Wavelet khi biến đổi sang
miền Wavelet. Sự rời rạc hoá này lần lượt được ứng dụng và cho kết quả tốt trong
một số lĩnh vực như: nén dữ liệu, phát hiện các tính chất của ảnh, hay loại nhiễu,
rada …
Để thấy sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet, xem mức độ
bao phủ mặt phẳng của hàm cơ sở trong miền thời gian – tần số được biểu diễn ở
các hình sau.
Hình 1.6 - Biến đổi Fourier STFT hay biến đổi Fourier cửa sổ hoá, sử dụng
chỉ một cửa sổ duy nhất dạng hình vuông, cửa sổ này sẽ cắt tín hiệu hình sin, cosin
để vừa với chiều rộng cửa sổ. Cửa sổ này được dùng cho tất cả các thành phần tần
số trong biến đổi Fourier STFT, do đó thuật toán phân tích giống nhau cho tất cả

các vị trí trong mặt phẳng thời gian – tần số.
Hình 1.6: Biểu diễn các hàm cơ sở Fourier, viên ngói (ô) thời gian – tần số và mặt độ bao phủ
trong mặt phẳng thời gian – tần số.
Đối với Wavelet thì thuận lợi hơn, đó là cửa sổ thay đổi được. Để tách biệt
các tín hiệu không liên tục, sẽ có một số hàm cơ sở ngắn, tại cùng thời điểm, để có
được phân tích tần số chi tiết, sẽ có một số hàm cơ sở dài. Để đạt được điều này,
có những hàm cơ sở chứa thành phần tần số cao và thành phần tần số thấp. Khác
với biến đổi Fourier chỉ có một tập hàm cơ sở như hàm sin, cosin, biến đổi
Wavelet có tập vô hạn các hàm cơ sở.
Phân tích Wavelet có thể đáp ứng trong miền thời gian lẫn tần số, vì vậy thích
hợp để phân tích tín hiệu không ổn định. Biến đổi wavelet trực chuẩn có thể được
xem như một phép phân tích đa phân giải của tín hiệu, các đặc tính tốt của tính
hiệu được phân tích với độ phân giải tốt, các tín hiệu kém được phân tích với độ
phân giải kém. Biến đổi wavelet trực chuẩn thích hợp để phân tích tín hiệu ứng
dụng trong phân tích mẫu và trong bài toán nhận dạng.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 10
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 1.7: Biểu diễn mức độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số với Wavelet mẫu là
Daubechies
Hình 1.8: Rời rạc hóa mặt phẳng thời gian tần số bằng các viên ngói định vị trong CWT và
các hàm wavelet tương ứng (với trường hợp hàm Morlet wavelet)
Hình 1.9: So sánh các phép biến đổi tín hiệu
Một wavelet là một sóng tồn tại trong khoảng thời gian có h và có giá trị
trung bình bằng không. So sánh Wavelets với những sóng hình sin, là cơ sở của
Biến đổi Fourier. Những hình sin không có giới hạn về thời gian - chúng mở rộng
từ trừ đến cộng vô hạn. Và trong khi những hình sin là mịn và có thể đoán trước,
các Wavelets có khuynh hướng bất thường và không cân đối.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 11
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 1.10: So sánh sóng sin và một wavelet

Biến đổi Fourier chia một tín hiệu vào trong những sóng hình sin của nhiều
tần số. Tương tự, biến đổi Wavelets chia tín hiệu vào trong những phần dịch và co
dãn của Wavelets nguyên bản hay Wavelets mẹ (mother Wavelets). Chỉ cần xem
những hình ảnh của Wavelets và những sóng hình sin, có thể nhìn thấy trực giác
rằng tín hiệu với hình dạng thay đổi thì có thể được phân tích tốt hơn với một
Wavelets bất thường so với một hình sin mịn. Nó cũng cho cảm giác là những đặc
tính địa phương có thể được mô tả tốt hơn với Wavelets.
1.5. Giới thiệu một số họ Wavelet
Để đáp ứng các ứng dụng thực tế, người ta đã xây dựng rất nhiều hàm
wavelet cơ sở. Tùy theo ứng dụng cụ thể mà ta sử dụng hàm wavelet thích hợp .
Sau đây là một số hàm wavelet thông dụng trong phân tích wavelets liên tục.
1.5.1. Biến đổi Wavelet Haar
Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi
Wavelet. Hình 1.13 cho thấy dạng của hàm
)(t
ψ
với biến đổi Haar. Do tính chất
đơn giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đổi nhiều trong nén ảnh,
khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một số
điểm khác với công thức toán học của biến đổi Haar.
Hình 1.11: Hàm
)(t
ψ
của biến đổi Haar
1.5.2. Biến đổi Wavelet Meyer
Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến
đổi Wavelet. Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 12
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
thông dụng, biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến

đổi Haar. Dạng của
)(t
ψ
với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:
Hình 1.12: Hàm
)(t
ψ
của biến đổi Meyer
1.5.3. Biến đổi Wavelet Daubechies
Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn
trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet. Biến đổi Daubechies là
một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet. Họ biến đổi
này được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi này được ứng dụng trong JPEG2000
là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies. Dưới đây là hàm
)(t
ψ

trong họ biến đổi Wavelet Daubechies.
Hình 1.13: Hàm
)(t
ψ
của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 13
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
CHƯƠNG 2: CỞ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BIỂN ĐỔI WAVELET
2.1 Cơ bản về phép biến đổi Wavelet:
Trong thực tế thì ta thường hay gặp các tín hiệu không tĩnh (nonstationary).
Đối với những tín hiệu này thì người ta thường dùng phép biến đổi Wavelet. Biến
đổi wavelet có thể đáp ứng trong cả miền thời gian và miền tần số nên rất thích
hợp với các tín hiệu không ổn định.

Độ phân giải thời gian tần số và nguyên lý bất định
Khi phân tích các loại tín hiệu không dừng (nonstationary), chúng ta không
những chỉ cần các thông tin về tần số của tín hiệu mà còn cần biết thời gian xuất
hiện các tần số đó, tức có thể biểu diễn tín hiệu trên cả hai trục thời gian và tần số
(theo trục thứ 3 là biên độ). Như vậy, một phép phân tích (biến đổi) được gọi là
thích hợp với tín hiệu không dừng phải đồng thời tính định vị thời gian và tính
định vị tần số. Tính định vị của một phép phân tích lệ thuộc vào tính định vị của
các hàm cơ sở của phép phân tích đó. Do đó các hàm cơ sở được sử dụng để phân
tích tín hiệu không dừng phải định vị tốt trong thời gian và tần số.
Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa tính định vị của một hàm cơ sở,
nhưng tất cả đều liên quan đến việc "trải rộng" hàm theo thời gian và tần số. Ví dụ,
cho một hàm cơ bản f(t) có phổ là F(ω), ta có thể xác định các khoảng It và I
ω

chứa
90% năng lượng của các hàm miền thời gian và tần số tập trung quanh trọng tâm
của |f(t)|
2
và |F(ω)|
2
. Khối (It x I
ω
) được gọi là một viên ngói trong mặt phẳng thời
gian - tần số, như mô tả trên hình 4.3. Viên ngói này chính là định vị của hàm cơ
sở f(t) theo thời gian và tần số.
Hình 2.1 Viên ngói định vị thời gian - tần số của hàm cơ sở f(t), nơi chứa 90% năng lượng của các hàm
miền thời gian và miền tần số (F(
ω
))
Bây giờ ta xét đến các phép toán cơ bản trên hàm cơ sở và ảnh hưởng của

chúng lên viên ngói định vị.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 14
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
• Dịch hàm một khoảng τ theo thời gian làm viên ngói cũng bị dịch đi một
khoảng τ theo trục thời gian.
• Biến điệu (nhân) hàm bởi
tj
o
e
ω
làm viên ngói dịch chuyển một knoảng ωo
theo trục tần số (hình 2.2a).
• Nhân tỉ lệ (scaling) hàm bởi một hệ số a, tức f’(t) = f(at) , ta được một vỉên
ngói mới xác định bởi I’t = (l/a)It và I’ω = aIω (theo tính chất củ a biến đổi
Fourier). Như vậy cả hình dạng và vị trí của viên ngói đều bị ảnh hưởng (hình
2.2b).
Hình 2.2: Các phép toán cơ bản trên hàm1 cơ sở làm ảnh hưởng lên viên ngói thời gian - tần
số
(a) Dịch thời gian một khoảng
τ
của f ta được f’ và biến điệu f bằng
tj
o
e
ω
cho ra f’
(b) Nhân tỉ lệ f bởi a = 1/3, f’(t) = f(at)
Như vậy thao tác dịch và biến điệu hàm cơ sở không làm thay đổi kích thước
của viên ngói, chỉ làm viên ngói tịnh tiến theo theo trục thời gian và tần số. Nếu ta
chọn các giá trị τ và ω thích hợp thì toàn bộ mặt phẳng thời gian - tần số có thể

được bao phủ hoàn toàn. Trong khi đó phép nhân tỉ lệ làm thay đổi độ rộng của
viên ngói theo thời gian và tần số, I
t
và I
ω
nhưng tích của chúng không thay đổi.
Ta thấy rõ ràng tính định vị của một hàm cơ sở theo thời gian - tần số càng tốt
nếu kích thước của viên ngói, l
t
và I
ω

càng nhỏ. Nếu It càng nhỏ thì hàm định vị
càng tốt theo thời gian. Tương tự, I
ω
càng nhỏ thì tính vị tần số càng tốt. Kích
thước của viên ngói định vị của từng hàm cơ sở quy định nên độ nét của sự phân
tích theo thời gian - tần số, kích thước này càng nhỏ thì độ nét của phép phân tích
càng lớn. Độ nét này còn được gọi là độ phân giải theo thời gian và tần số. Độ
phân giải thời gian càng tốt nếu độ rộng thời gian It

của các hàm cơ sở càng nhỏ.
Trong khi đó độ phân giải tần số càng tốt nếu độ rộng tần số ω càng nhỏ. Tuy
nhiên chúng ta không thể cùng một lúc đạt đươc độ phân giải tốt trong cả hai miền
thời gian và tần số vì chúng tuân theo nguyên lý bất định.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 15
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Nguyên lý bất định
Nguyên lý bất định cho thấy rằng trong phân tích tín hiệu chúng ta không thể
xác định chính xác tần số nào xảy ra ở thời điểm nào, mà chỉ có thể biết được

khoảng tần số nào xảy ra ở một khoảng thời gian nào mà thôi, tức không thể xác
định một điểm mà chỉ có thể xác định được một viên ngói trong mặt phẳng thời
gian - tần số.
Nguyên lý đặt ra một điểm chặn trên cho độ phân giải tối đa theo thời gian và
tần số của bất kỳ một phép biến đổi tuyến tính nào. Không thể đạt được độ phân
giải tốt trên cả hai miền thời gian và tần số. Nếu tăng độ phân giải tần số tốt thì độ
phân giải thời gian sẽ giảm, và ngược lại. Chỉ có thể đạt được độ phân giải tối ưu
nếu sử dụng các hàm Gauss làm các hàm cơ sở của phép biến đổi.
Phép co giãn và dịch chuyển
Cho f(x) là hàm giá trị thực bất kỳ xác định trên R. Một hàm f
ab
(x) được định
nghĩa như sau:






−
=
a
bx
fxf
ab
)(
, a
≠
0
Trong đó : a : là hệ số co giãn; b: hệ số dịch chuyển.

Hàm f
ab
(x) chính là hàm f(x) được co giãn với hệ số a và được dịch chuyển
với hệ số b. Đối với hàm số f(t) = sint, t là biến thời gian, tuần hoàn có chu kỳ T,
thực hiện phép co giãn và phép dịch chuyển cũng tương tự.
Hàm f có chu kỳ T là tuần hoàn nếu: f(t+T) = f(t),
∀
t
∈
R.
Ví dụ : Hàm sint có chu kỳ
π
2
, sin
π
2
t có chu kỳ là 1. Tổng quát, hàm f(t) có chu
kỳ T thì hàm co giãn sẽ là






=
a
t
ftf
a
)(

có chu kỳ là aT, chu kỳ không thay đổi
trong phép dịch chuyển,
a
bt
tf
ab
−
=
sin)(
có chu kỳ
π
2
a
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 16
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
2.2. Biến đổi wavelet liên tục (CWT)
2.2.1. Giới thiệu
Biến đổi wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa là tổng trong miền thời
gian của tín hiệu được nhân bởi các phiên bản dịch chuyển (position) và co giãn
của hàm Wavelet:
( ) ( ) ( )
∫
+∞
∞−
=
dttpositionscaletfpositionscaleC ,,,
ψ
(2.1)
Kết quả của CWT là nhiều hệ số Wavelet C, các hệ số này là một hàm theo
tỉ lệ và vị trí. Việc nhân mỗi hệ số bởi những Wavelet được co giãn và dịch

chuyển cho ta các Wavelet liên tục của tín hiệu ban đầu.
Hình 2.3: Minh họa phép biến đổi Wavelet
Cho hàm g theo thời gian t, xét phép co giãn của g bởi hệ số a : ga(t) = g(t/a)
và phép dịch chuyển bởi hệ số b : gb(t) = g(t-b).
Nếu g được dịch chuyển, sau đó được co giãn , trở thành: gab(t) = g((t-b)/a)
Nếu g được co giãn sau đó dịch chuyển, trở thành: gab(t) = g(t/a-b).
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 17
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Định tỷ lệ
Định tỷ lệ một Wavelet đơn giản là kéo giãn hay co các các wavelet đó. Việc
kéo giãn hay co lại một wavelet thực ra là thay đổi các hệ số tỷ lệ (thường được ký
hiệu là a) của chúng. Xét sóng sin dưới đây để thấy được ý nghĩa của hệ số tỷ lệ a.
Hình 2.4: Sự co giãn của sóng sin.
Rõ ràng ta thấy rằng đối với sóng sin(ωt), hệ số tỷ lệ a tỷ lệ nghịch với tần số
ω. Đối với các Wavelet thì các hệ số tỷ lệ cũng có ý nghĩa như vậy. Hệ số tỷ lệ
càng nhỏ thì Wavelet càng bị co lại, và ngược lại hệ số tỷ lệ càng lớn thì Wavelet
càng giản ra. Điều đó cũng có nghĩa là, hệ số tỷ lệ của các Wavelet tỷ lệ nghịch với
tần số của tín hiệu.
Sự dịch chuyển
Việc dịch một Wavelet đơn giản có nghĩa làm trễ (hoặc sớm) sự bắt đầu của
nó. Về mặt toán học là làm trễ hàm f(t) đi một hệ số k được biểu diễn bởi f(t-k).
Hình 2.5: Sự dịch chuyển của wavelet
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 18
1
0
1
π/2 π 3π/2 2π
1
0
1

π/2 π 3π/2 2π
1
0
1
π/2 π 3π/2 2π
f(x) = sin(x) a=1
f(x) = sin(2x) a=1/2
f(x)=sin(4x) a=1/4
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
2.2.2. Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục
Biến đổi Wavelet liên tục là tổng cả miền thời gian cuả tín hiệu nhân với
những phiên bản được dịch và co giãn của Wavelet. Quá trình này tạo ra những
hệ số Wavelet là một hàm của co giãn và vị trí.
Có năm bước dễ dàng tạo ra một CWT:
- Lấy một Wavelet và so sánh nó với một đoạn ở vị trí bắt đầu của tín hiệu
nguyên bản.
- Tính toán hệ số C, đặc trưng cho sự tương quan giữa Wavelet với đoạn này
của tín hiệu. Hệ số C càng cao, hai tín hiệu càng giống nhau càng nhiều hơn. Chú
ý rằng những kết quả sẽ phụ thuộc vào Wavelet mà bạn đã chọn.
- Chuyển Wavelet sang bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao trùm
toàn bộ tín hiệu.
- Co giãn Wavelet và lặp lại từng bước từ 1 đến 3
- Lặp lại từ bước 1 đến bước 4 cho tất cả các co giãn của Wavelet
Khi thực hiện xong, ta sẽ có những hệ số được tạo ra bởi những co giãn khác
nhau với những đoạn khác nhau của tín hiệu. Những hệ số cấu thành những kết
quả của hồi quy của tín hiệu nguyên bản thực hiện trên Wavelet.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 19
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Ta có thể một vẽ mà trục hoành là vị trí của tín hiệu (thời gian), trục tung là
co giãn, và màu ở mỗi điểm x-y biễu diễn sự độ lớn của hệ số Wavelet C. Sau đây

là các hình vẽ bởi công cụ đồ hoạ.
Hình 2.5: Minh hoạ các hệ số Wavelet
Những hình vẽ hệ số này được nhìn ở trên xuống. Nếu có thể xem từ bên
cạnh, ta sẽ thấy hình như sau:
Hình 2.6: Các hệ số Wavelet ba chiều
Những hình vẽ hệ số biến đổi Wavelet liên tục là hình ảnh chính xác của tín
hiệu theo thời gian mà chúng ta đề cập ở trên. Nó là một cách nhìn khác về tín
hiệu so với thời gian mà chúng ta đề cập ở trên. Nó là một cách nhìn khác về tín
hiệu so vơi cách nhìn thời gian - tần số Fourier, nhưng nó không phải là không
liên quan với nhau.
Sự co giãn và tần số
Nhớ lại là những hệ số co giãn càng cao tương ứng với Wavelet càng trải ra.
Wavelet càng trải ra, tương ứng với phần so sánh tín hiệu càng dài ra, và như vậy
các đặc tính tín hiệu đo được bởi những hệ số Wavelet càng thô hơn.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 20
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 2.7: So sánh các Wavelet co giãn khác nhau
Như vậy có một sự tương ứng giữa những co giãn Wavelet và tần số như
biến đổi Wavelet cho thấy:
- Độ co giãn thấp a → Wavelet bị nén → những chi tiết thay đổi nhanh
chóng → tần số cao.
- Độ co giãn cao a → Wavelet bị trải → những chi tiết thô, thay đổi chậm →
tần số thấp.
2.2.3. Biểu diễn toán học
Biến đổi wavelet liên tục của một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm wavelet
mẹ
)(t
ψ
. Hàm wavelet mẹ
)(t

ψ
có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên
tục nào thỏa mãn các tính chất sau đây:
Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm
)(t
ψ
là bằng 0. Tức là:
( )
∫
∞
∞−
=
0t
ψ
(2.2)
Tích phân năng lượng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là:
( )
∫
∞
∞−
∞<
2
t
ψ
(2.3)
Điều kiện (2.3) có nghĩa là hàm
)(t
ψ
phải là một hàm bình phương khả tích
nghĩa là hàm

)(t
ψ
thuộc không gian
)(
2
RL
các hàm bình phương khả tích.
Sau khi hàm Wavelet
)(t
ψ
được lựa chọn, biến đổi Wavelet liên tục của một
hàm bình phương khả tích f(t) được tính theo công thức sau:
dt
a
bt
a
tf






−
=
∫
∞
∞−
*
1

)(b)W(a,
ψ
(2.4)
Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b. Dấu * ký hiệu là liên
hiệp phức của
)(t
ψ
. Nếu chúng ta định nghĩa một hàm
)(
,
t
ba
ψ
theo biểu thức:






−
=
a
bt
t
ba
ψψ
a
1
)(

,
(2.5)
Chúng ta có thể viết được:
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 21
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
∫
∞
∞−
= dtttfbaW
ba
)()(),(
,
ψ
(2.6)
Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng của hai hàm
)(tf
và
)(
,
t
ba
ψ
. Giá trị
a
1
là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo rằng tích phân năng lượng của hàm
)(
,
t
ba

ψ
sẽ
độc lập với a và b:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
= dttdtt
ba
2
2
,
)()(
ψψ
(2.7)
Với mỗi giá trị của a thì
)(
,
t
ba
ψ
là một bản sao của
)(
0,
t
a
ψ
được dịch đi b đơn
vị trên trục thời gian. Do đó b được gọi là tham số dịch. Đặt tham số dịch b = 0 ta

thu được:






=
a
t
t
a
ψψ
a
1
)(
0,
(2.8)
Điều đó cho thấy rằng a là tham số tỷ lệ
Khi a > 1 thì hàm Wavelet sẽ được trải rộng còn khi 0 < a < 1 thì hàm sẽ
được co lại. Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngược của biến đổi
Wavelet liên tục. Gọi
)(
ω
Ψ
là biến đổi Fourier của
)(t
ψ
:
∫

∞
∞−
−
=Ψ
dtet
tj
ω
ψω
)()(
(2.9)
với giá trị C được định nghĩa là:
∫
∞
∞−
Ψ
=
ω
ω
ω
dC
2
)(
(2.10)
Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn. Do đó C được gọi là điều
kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều
kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn hàm Wavelet.
2.2.4. Các tính chất của CWT
Tính tuyến tính
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 22
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ

Nếu hai tín hiệu f(t) và g(t) có biến đổi wavelet liên tục lần lượt là CWTf(a,b)
và CWTg(a,b), thì hàm x(t) = c.f(t) + d.g(t), với c, d là hằng số có CWT được xác
định:
CWTx(a,b)= c. CWTf(a,b) + d. CWTg (a,b) (2.11)
Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính tuyến tính của tích vô hướng.
Tính dịch thời gian (shift property)
Nếu f(t) có biến đổi wavelets liên tục là CWTf(a,b) thì f’(t) = f(t-b’) có biến
đổi:
CWTf’(a,b) = CWTf (a,b-b’) (2.12)
Hình 2.8: Sự dịch thời gian của tín hiệu phân tích dẫn đến sự dịch thời gian tương ứng của CWT.
Vùng xám trên mặt phẳng (a,b) là vùng ảnh hưởng của phép biến đổi
Tính chất thay đổi thang độ (scaling property)
Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWTf (a, b) thì hàm






=
s
t
f
s
tg
1
)(

có biến đổi:
),(),(

s
b
s
a
CWTbaCWT
fg
=
(2.14)
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 23
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 2.9: Tính thay đổi thang độ.
a. Thay đổi thang độ với hệ số 2
b. Hai khối vuông có cùng năng lượng trước và sau khi thay đổi thang độ
Tính bảo toàn năng lượng
CWT có tính bảo toàn năng lượng giống như đẳng thức Parserval của biến
đổi Fourier.
∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
2
2
2
),(
1
)(

b
dbda
baCWT
C
dttf
f
ψ
(2.15)
Tổng quát hơn, ta có:
∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
2
**
),(),(
1
)()(
b
dbda
baCWTbaCWT
C
dttgtf
g
f
ψ

(2.16)
Tính định vị thời gian
Xét một xung Dirac ở thời điểm to, δ(t-to), và một hàm wavelet ψ(t). Biến
đổi wavelet liên tục của xung Dirac là:
)(
1
)()(
1
),(
0
0
a
bt
a
dt
a
bt
tt
a
baCWT
f
−
=
−
−∂=
∫
∞
∞−
ψψ
(2.17)

Vớí một giá trị a
o
đã cho, tức ứng với một đường ngang trong miền biểu diễn
bởi CWT, phép biến đổi bằng với hàm wavelet (đã thay đổi scale và chuẩn hóa)
tập trung ở vị trí của xung Dirac. Rõ ràng với giá trị scale a nhỏ, phép biến đổi
"phóng đại " xung Dirac với một sự định vị thời gian rất tốt.
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 24
GVHD: T.S NGÔ VĂN SỸ
Hình 2.10: Tính định vị thời gian của CWT của hàm f(t) =
δ
(t - to).
Vùng hình nón ảnh hưởng có độ rộng ao/2 ở mỗi bên của to
Tính định vị tần số
Hàm wavelet mẫu ψ(t) có tính chất như một lọc thông dải. Giả sử khoảng
thông dải là [ω
min
, ω
max
] (Ψ(ω) suy giảm nhanh ở ngoài khoảng [ω
min
, ω
max
]). Khi
đó, với mỗi giá trị của a, dãy thông của hàm wavelet







−
=
−
a
bt
at
ba
ψψ
2/1
,
)(
là
[ω
min
/a, ω
max
/a].
Ta thấy rằng nếu tín hiệu f(t) có tần số ω
i
nằm trong khoảng [ω
min
/a, ω
max
/a]
thì sẽ có ảnh hưởng lên phép biến đổi wavelets. Hay nói cách khác, với mỗi giá trị
của scale a, phép biến đổi wavelet sẽ “cho qua” các thành phần tần số nằm trong
khoảng [ω
min
/a, ω
max

/a] và ngăn cản các thành phần khác. Rõ ràng với giá trị a càng
lớn thì khoảng [ω
min
/a, ω
max
/a] càng nhỏ, do đó tính định vị tần số càng tốt.
Ngược lại, với một tín hiệu f(t) có tần số ω
i
, giá trị scale nhỏ nhất và lớn nhất
tương ứng mà CWT cho tín hiệu qua là:
i
a
ω
ω
min
min
=
và
i
a
ω
ω
max
max
=
(2.18)
HVTH: BẠCH NGỌC VINH – PHAN VĂN VĨNH Trang 25