Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
——————————–

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN
ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
...............***...............

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN
ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết
quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác cơng bố ở bất cứ cơng
trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.
Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm về nội dung khoa học của cơng trình này.
Nghiên cứu sinh

VŨ LÂM ĐÔNG


ii

LỜI CÁM ƠN

Với lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Phạm Đức
Chính – người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện
cho tơi hồn thành luận án này.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy, Cô đã dạy tôi trong thời gian
học chuyên đề trong khn khổ chương trình đào tạo Tiến sỹ, các anh chị trong bộ
phận đào tạo sau đại học thuộc Viện Cơ học, các bạn đồng nghiệp trong Viện Cơ
học, nhóm Seminar khoa học định kỳ đã giúp đỡ hỗ trợ tơi tài liệu, kinh nghiệm
để hồn thiện luận án.
Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và
Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).
Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn gần
gũi và là động lực sống cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận án này.

iii

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Những cơng thức và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. TỔNG QUAN

1
5

1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần . . . . . . .

5

1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô . . . . . . . .

7

1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MƠ ĐUN ĐÀN HỒI
THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

19

2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mơ vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu .

20

2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mơ vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thơng qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 26
2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . .

32

2.4.1. Mơ hình quả cầu lồng nhau hai pha . . . . . . . . . . . .

32

2.4.2. Mơ hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng
lấn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hồn dạng hình vng và lục giác đều
(trong không gian 2 chiều) . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4.4. Mơ hình quả cầu lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . .

41

2.4.5. Mơ hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46


iv

Chương 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI
TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN

47

3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu .

47

3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 63
3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện tích . . . . .

74

3.4. Áp dụng cho một số mơ hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . .

75

3.4.1. Mơ hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.4.2. Mơ hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng
lấn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hồn theo dạng hình lục giác đều . . .

82

3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN
HỒN NHIỀU THÀNH PHẦN

85

4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.3. Tính tốn cho mơ hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Các công trình đã cơng bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97


v

Danh sách hình vẽ

0.1

Tổ chức vi mơ của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than
chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ơxít sắt từ LTF
(vùng sẫm màu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Phần tử đặc trưng (RVE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1

Vật liệu cốt sợi dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2

Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng
nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . .

2.3

33

Biên của mơ đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt
ngang hình trịn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn
đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Đánh giá của Voigt, Reuss, các đánh giá của HS và đường biên
DXC 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

36

Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu
cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn(CL 3D) . . . . . . . .

2.7

34

Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu
cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn(KCL 3D) . . .

2.6

34

36

Biên HS và biên mơ đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt
ngang hình trịn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng
lấn (KCL 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

37

Biên HS và biên mơ đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt
ngang hình trịn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL
2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

37

Biên HS và đường biên mơ đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần
hồn hình vng (HV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.10 Biên HS và đường biên mơ đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần
hồn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


vi

2.11 Biên của mơ đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau
ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.12 Biên của mơ đun đàn hồi diện tích vĩ mơ vật liệu hình trịn lồng
nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.13 Biên Hashin-Shtrikman (HS) và biên mơ đun đàn hồi thể tích của
vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D) . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.14 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu ba pha tựa
đối xứng (TDX 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1

45

Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành
phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu
(DXC 3D) và biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Biên mô đun đàn hồi trượt ngang của vật liệu đẳng hướng ba thành
phần (TDX 2D), so sánh với biên HS . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

81

Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ
dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 2D) . . . . . . . . . . . .

3.7

81

Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt trịn cùng cỡ
khơng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 2D) . . . . . . . . . .

3.6

80

Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ
chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 3D) . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

78

Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ
không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 3D) . . . . . . . . . .

3.4

76

82

Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của
vật liệu tuần hồn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . .

83

4.1

Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2

Sơ đồ khối chương trình tính tốn theo phương pháp PTHH . . . .

88

4.3

Mơ hình vật liệu và nhân tuần hồn . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.4

Rời rạc hóa lưới với nhân tuần hoàn dạng lục giác trong mặt cắt
ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.5

Mối quan hệ Kef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.6

Mối quan hệ µef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.7

Mối quan hệ ν ef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.8

Mối quan hệ Eef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.9

Mối quan hệ µef f − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93


vii

Danh sách bảng

Bảng 1.1 Quan hệ giữa hệ số mô đun đàn hồi và các cặp hệ số khác
Bảng 2.1 Thơng tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn
phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên trong pha 1 (không
gian 3 chiều) (Torquato, 2002)
Bảng 2.2 Thơng tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố
ngẫu nhiên (khơng gian 2 chiều)
Bảng 2.3 Thơng tin hình học bậc ba ζ2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình trịn
sắp xếp tuần hồn hình vng và lục giác đều
Bảng 2.4 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 3); f1max
và f1min tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 2.5 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 2); f1max
và f1min tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 3.1 Biên HS (µUHS , µLSH ), biên µUDXC , µLDXC (với f1 = g1 = 0) và biên cho
tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (µUTDX , µLTDX ) ; f1max và f1min tương ứng khi
đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 3.2 Biên HS (µUHS , µLSH ) và biên vật liệu ba pha tựa đối xứng (µUTDX , µLTDX )

Bảng 3.3 Thơng tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn
phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên
Bảng 3.4 Thơng tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố
ngẫu nhiên
Bảng 3.5 Thơng tin hình học bậc ba η2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình trịn
sắp xếp tuần hồn hình lục giác đều


viii

Cơng thức và kí hiệu

βγ
Aβγ
α , Bα

các thơng tin hình học bậc ba của vật liệu

Cef f

hệ số đàn hồi vĩ mơ

d

số chiều khơng gian

δij

tốn tử Kronecker

ε

trường biến dạng

E

trường biến dạng đồng nhất

Γ(r)

hàm Green

Iα

hàm chỉ số hình học pha α

k ef f , K ef f

mô đun đàn hồi thể tích, diện tích vĩ mơ

µef f

mơ đun trượt vĩ mơ

ν

hệ số nở hơng

φα

hàm thế điều hịa

ψα

hàm thế song điều hịa

⟨.⟩

trung bình thể tích trên miền V

σ

trường ứng suất

vα

tỉ lệ thể tích pha α

CL

chồng lấn

cs

cộng sự

DXC

đối xứng cầu

KCL

khơng chồng lấn

HS

Hashin-Shtrikman

HV

hình vng

LGD

lục giác đều

PTHH

phần tử hữu hạn

RVE

phần tử đặc trưng

TDX

tựa đối xứng


1

MỞ ĐẦU
Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển trong nhiều năm
qua. Việc xây dựng các mơ hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những
mơ hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào nhiều yếu tố như
tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các
thành phần, đặc trưng hình học, . . . qua đó nói lên khó khăn trong nghiên cứu các
tính chất vĩ mô của vật liệu. Hiểu và nắm bắt được các vấn đề này đòi hỏi các
nhà khoa học phải hiểu biết được sự tương tác qua lại của các vật liệu thành phần,
các giả thiết, điều kiện cơ học sát thực với mơ hình nhằm có những khám phá, có
những kết quả tốt phục vụ cho thực tiễn. Chính vì vậy luận án được thực hiện với
mục đích xây dựng những đánh giá và tính tốn mơ đun đàn hồi vĩ mô vật liệu
nhiều thành phần đẳng hướng - một bước phát triển nối tiếp từ các kết quả đã cơng
bố trước đây.

Tính thời sự và ý nghĩa của luận án
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng
dụng nhiều trong cuộc sống hiện nay từ những ngành cơng nghiệp địi hỏi chính
xác cao như điện tử, hàng không vũ trụ . . . cho đến lĩnh vực gần gũi với cuộc sống
như sản xuất vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày. Có thể thấy vật
liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng
làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý.
Những thành phần vi mô khác nhau với những thông số đặc trưng riêng biệt
cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô của
vật liệu không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thơng tin hạn chế về
cấu trúc hình học, tính chất các vật liệu cấu thành . . .
Một ví dụ hình ảnh: Fernandino D.O [21] khi nghiên cứu tính chất đàn hồi
của vật liệu gang đúc với sự cấu thành của 3 thành phần vật liệu: Hợp kim đơng
đặc (first to freeze zones-FTF), cốt liệu than chì dạng cầu (spheroidal graphite
nodules) và thành phần ơxít sắt từ (last to freeze zones-LTF) đã sử dụng công

nghệ chụp cắt lớp quang học quan sát được tổ chức cấu tạo vi mô của các thành
phần vật liệu trong mẫu nghiên cứu, qua đó xác định được dạng hình học các thành
phần vật liệu tham gia nhằm đưa vào bước tính tốn tiếp theo. Hình 0.1 như một


2

ví dụ minh họa, mơ đun đàn hồi E của 3 thành phần là: Ethanchi = 15 ± 0.15 GPa;
EF T F = 230 ± 8.22 GPa; ELT F = 255 ± 7.77 GPa;

Hình 0.1: Tổ chức vi mơ của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng
tối) và ơxít sắt từ LTF (vùng sẫm màu)

Sau khi thực hiện đồng nhất hóa thơng qua các tính tốn, Fernandino đã tính
được tính chất đàn hồi vật liệu vĩ mơ tương đương: E ef f = 171 ± 7 GPa.
Trở lại với luận án, hướng nghiên cứu tập trung vào việc xây dựng lời giải hệ số
đàn hồi vĩ mô thông qua bài toán năng lượng với phương pháp biến phân nhằm cho
ra đánh giá tốt hơn so với các đánh giá đã cơng bố, kết hợp với tính tốn trực tiếp
một số mơ hình bài tốn cụ thể thơng qua phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)
để có kết quả so sánh. Luận án đã xây dựng được các tính tốn đưa về dạng đơn
giản để bất cứ một nhà kỹ thuật nào nếu cần thiết kế một loại vật liệu tổ hợp mới
có thể tính tốn nhanh kết quả mơ đun đàn hồi hiệu quả vĩ mô của vật liệu đó, giúp
thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu đặt ra.

Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá (biên trên và biên dưới), mô phỏng tính chất vĩ mơ vật
liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng cả các thơng tin bậc ba về hình
học pha của vật liệu vi mơ và áp dụng phương pháp PTHH để tính tốn cho các
mơ hình cụ thể so sánh với các đánh giá.

3

Đối tượng của luận án
Các mô đun đàn hồi thể tích và mơ đun đàn hồi trượt vĩ mơ (hiệu quả hay hiệu
dụng, trong luận án này tác giả sử dụng cụm từ vĩ mô - macroscopic) của vật liệu
nhiều thành phần đẳng hướng.

Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.
• Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây
dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mơ.
• Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các cơng thức,
ma trận...tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá. Chương
trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính
cho một số mơ hình vật liệu tuần hồn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá.

Những đóng góp của luận án
• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành
phần và áp dụng cho một số mơ hình hỗn độn và tuần hồn cụ thể.
• Xây dựng đánh giá bậc ba cho mơ đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần
và áp dụng cho một số mơ hình hỗn độn và tuần hồn cụ thể.
• Áp dụng phương pháp PTHH cho bài tốn đồng nhất hóa và tính tốn số cho
một số dạng hình học tuần hồn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh
giá.
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trên các tạp chí quốc tế (01 bài
SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập
các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị).

4

Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ
thể:
Chương 1: Tổng quan
Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước
và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu liên quan tới vấn đề
được nghiên cứu. Cách tiếp cận bài tốn đồng nhất hóa vật liệu thơng qua đường
lối giải trực tiếp các phương trình của bài tốn đàn hồi và đường lối biến phân
thơng qua các hàm năng lượng.
Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mơ đun đàn hồi thể tích vật liệu
tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần
Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman
được sử dụng trước đây. Đi sâu vào nghiên cứu chi tiết việc thiết lập các phương
trình để diễn giải và xây dựng biên trên và biên dưới cho mô đun đàn hồi thể tích
k ef f thơng qua ngun lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực
tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mơ hình vật liệu cụ thể.
Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu tổ
hợp đẳng hướng nhiều thành phần
Xây dựng trên và biên dưới cho mơ đun đàn hồi trượt µef f thơng qua ngun
lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá
cho một số mô hình vật liệu cụ thể.
Chương 4: Phương pháp PTHH áp dụng cho bài tốn đồng nhất hóa vật
liệu
Xây dựng chương trình tính tốn PTHH cho một số bài tốn đồng nhất hóa cụ
thể cho vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hồn, có so sánh với các đánh giá ở
hai chương trước.
Kết luận chung
Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các vấn đề cần nghiên

cứu tiếp.


5

Chương 1
TỔNG QUAN
1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần
Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu
tổ hợp (Buryachenko [11]; Hill [30]), phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu
trúc vi mơ để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải
đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mơ có ý
nghĩa.

Hình 1.1: Phần tử đặc trưng (RVE)

Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi N thành phần chiếm các không gian
Vα ⊂ V và có các hệ số đàn hồi kα , µα ; α = 1, . . . , N . Phần tử đặc trưng V (thể
tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Descartes {x1 , x2 , x3 }.
Khi chịu tác dụng của lực, trường ứng suất σ(x) (là một ten xơ bậc 2) trong vật
thể phải thỏa mãn phương trình cân bằng (liên kết lý tưởng dẫn tới cân bằng của
lực tại biên ngăn cách giữa các pha, điều kiện liên tục của chuyển vị):
∇ · σ(x) = 0 ,

x⊂V ;

(1.1)

Trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng ε(x) thông qua định luật
Hook:

σ(x) = C(x) : ε(x) ,

(1.2)


6

trong đó dấu ":" biểu thị tích vơ hướng giữa hai ten xơ hạng cao (σij = Cijkl εkl ).
Hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là đẳng hướng)
C(x) = T(kα , µα ) nếu x ∈ Vα ⊂ V, α = 1, . . . , N ; trong đó T là ten xơ đàn hồi
bậc 4 đẳng hướng:
2
Tijkl (kα , µα ) = kα δij δkl + µα (δik δjl + δil δjk − δij δkl ) ,
d

(1.3)

δij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3; trường biến dạng
ε(x) được biểu diễn qua trường chuyển dịch u(x) :
ε(x) =

]
1[
∇u + (∇u)T ;
2

x∈V .

(1.4)

Điều kiện biên trên biên ∂V của phần tử đặc trưng V thường được lấy là điều
kiện biên động học đồng nhất (homogeneous):
ui = ε0ij xj ,

ε0ij là biến dạng cho trước ;

(1.5)

hoặc điều kiện biên tĩnh học đồng nhất:
0
σ ij nj = σij
nj ,

0
σij
là ứng suất cho trước ;

(1.6)

với nj là thành phần véc tơ pháp tuyến đơn vị trên biên ∂V . Đối với vật liệu tuần
hoàn - điều kiện biên tuần hoàn cần được sử dụng (sẽ đề cập cụ thể trong chương
4).
Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau:
1
⟨σ⟩ =
V

∫
σdx ,
V

1
⟨ε⟩ =
V

∫
εdx .

(1.7)

V

Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được
biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Cef f :
⟨σ⟩ = Cef f : ⟨ε⟩ ,

Cef f = T(k ef f , µef f ) .

(1.8)

Một khi tìm được các giá trị trung bình này thì sẽ tìm được tính chất vĩ mô của
vật liệu tổ hợp đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài
tốn đàn hồi.
Ngồi ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách
tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ ε cần là trường
tương thích):


7

∫
0

ε :C

ef f

0

: ε = inf 0
⟨ε⟩=ε

ε : C : εdx ,

(1.9)

V

hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ σ cần là trường cân
bằng):
0

ef f −1

σ : (C

)

∫
0

:σ =

inf
⟨σ ⟩=σ 0

σ : (C)−1 : σdx .

(1.10)

V

Điều thú vị là cực trị của (1.9) dẫn đến điều kiện biên lực (tĩnh học) đồng nhất
còn cực trị (1.10) lại dẫn đến điều kiên biên động học đồng nhất.
Điểm nổi bật của phương pháp là trường khả dĩ lựa chọn chỉ cần thỏa mãn một
số phương trình cơ học nhất định, nếu như phiếm hàm đạt cực trị thì các phương
trình cơ học cịn lại sẽ thỏa mãn hồn tồn.
Đường lối biến phân trên nếu khơng cho được kết quả chính xác (với một số vật
liệu có mơ hình hình học pha đơn giản) sẽ cho được biên trên và biên dưới của tính
chất vĩ mơ, một kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta
khơng có được đầy đủ mọi thơng tin về hình học của vật liệu.
Với những cách tiếp cận như trên đã trình bày, các nhà nghiên cứu đã xây dựng
những hướng nghiên cứu riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây là
một số nét chính theo thời gian những cơng trình nghiên cứu của các nhà khoa học
đi trước, có nhiều đóng góp cho lĩnh vực.

1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô
Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên
tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời
đó thực hiện. Các nghiên cứu này là cơ sở xuất phát để lĩnh vực khoa học vật liệu

có những bước tiến dài cho tới nay. Năm 1892, Maxwell [36] và Rayleigh [68] đã
nhận được lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn của hỗn hợp với pha nền là chủ đạo
(vM ≃ 1: tỷ lệ thể tích pha nền) và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI ≪ 1: tỷ lệ thể
tích pha cốt liệu). Tiếp theo năm 1905 Einstein [19] đã xây dựng công thức tiệm
cận đối với hệ số nhớt hiệu quả của chất lỏng khơng nén được có chứa tỷ lệ nhỏ
các hạt cầu cứng bởi công thức (công thức đúng cho cả mô đun trượt của vật thể
đàn hồi không nén được):


8

µ∗
= 1 + 2.5v2 + O(v22 ) ,
µ1

(1.11)

trong đó µ1 là hệ số nhớt của chất lỏng không nén được, µ∗ là hệ số nhớt của chất
lỏng không nén được có chứa tỷ lệ nhỏ các hạt cầu cứng, v2 tỷ lệ thể tích của các
hạt cầu cứng, O(v22 ) là giá trị nhỏ bậc v22 .
Các tác giả Paul [48], Reuss [71] và Voigt [79] đã đưa ra các cơng thức trung
bình cộng số học và trung bình cộng điều hịa để tính xấp xỉ các hệ số dẫn và mô
đun đàn hồi của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần:
∑
∑
k ef f ≃ kV =
vα kα , µef f ≃ µV =
vα µα ,
α

(1.12)

α

hoặc:
k ef f ≃ kR =

)−1
(
∑ vα
α

kα

,

µef f

)−1
(
∑ vα
≃ µR =
.
µ
α
α

(1.13)

Tuy nhiên các kết quả này chỉ tương đối tốt khi tương quan tính chất giữa các

pha là gần nhau, khi tính chất giữa các pha khác xa nhau thì kết quả nhận được sẽ
trở nên rất xa nhau. Sau này với các xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân
Hill [30] và Paul [48] đã chứng minh rằng (1.12) và (1.13) chính là các đánh giá
trên và đánh giá dưới đối với tính chất hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng
nhiều thành phần bất kể hình học pha cụ thể có thế nào đi chăng nữa.
Trong trường hợp mơ hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu có dạng đẹp
như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha
cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vơ hạn của pha
nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng (bỏ qua sự tương tác qua
lại giữa các cốt liệu). Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một
vùng tỷ lệ thể tích vI nhỏ (các hạt cốt liệu xa nhau):
⟨ε⟩
k ef f − kM
= vI 0I ,
kI − kM
ε

⟨ε12 ⟩
µef f − µM
= vI 0 I ,
µI − µM
ε12

(1.14)

với kI , µI , kM , µM là các hệ số đàn hồi của hạt cốt liệu và nền; ε0 , ε012 là các biến
dạng tại miền xa vô cùng.
Biểu thức tiệm cận của k ef f và µef f có thể được cho như sau:
k ef f = kM + vI (kI − kM )K (kI , kM , µI , µM ) + O(vI2 )
µef f = µM + vI (µI − µM )M (kI , kM , µI , µM ) + O(vI2 )

,

(1.15)


9

trong đó K, M biểu diễn qua tenxơ Eshelby, O(vI2 ) là vô cùng nhỏ bậc 2, tương
tác giữa hai hạt cốt liệu gần nhau được tính đến để chính xác hóa các biểu thức
tiệm cận trong các trường hợp cụ thể [3],[12],[15],[23] và [27]. Ở một thái cực
khác khi tỷ lệ thể tích của cốt liệu tiến tới sát giá trị giới hạn, trong một số trường
hợp cụ thể người ta cũng xây dựng được các biểu thức tiệm cận xấp xỉ các tính
chất hiệu quả (xem [24] và [38]).
Đối với mơ hình vật liệu thực có các thành phần phân bố hỗn độn và tỷ lệ thể
tích khơng nhỏ - hình học pha khơng hồn tồn xác định gây khó khăn cho cách
giải phương trình trực tiếp, một số phương pháp mơ hình được đề xuất mà tiêu
biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) trong các nghiên cứu
của các tác giả (xem [37],[46],[69-70]) với nội dung tính dần ứng suất và biến
dạng với pha nền chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả
Eshelby) và tính mơ đun vĩ mơ của hỗn hợp. Bước sau lấy hỗn hợp đó làm pha
nền và thêm vào tỷ lệ nhỏ pha cốt liệu rồi lại tính mơ đun vĩ mơ của hỗn hợp thứ
hai... và cứ như thế tính cho tới bước thứ N khi ta nhận được tỷ lệ thể tích phải có
của pha cốt liệu, cơng thức mơ tả các bước được thể hiện như sau, qua hệ phương
trình vi phân:
N
∑
dk
1
=

vIα (kIα − k)Kα (kIα , k, µIα , µ)
dt
1 − vI t α=1
,
N
∑
dµ
1
=
vIα (µIα − µ)Mα (kIα , k, µIα , µ)
dt
1 − vI t α=1

với điều kiện ban đầu k(0) = kM , µ(0) = µM , vI =

N
∑

(1.16)

, Kα và Mα xác định từ

α=1
ef f

(1.15). Lời giải của phương trình sẽ cho k ef f = k(1), µ

= µ(1).
1
−→ ∞ , bởi vậy:

Trong trường hợp khơng có pha nền tức là vI = 1 nên
1−t
N
∑
vIα (kIα − k)Kα (kIα , k, µIα , µ) = 0
α=1
,
(1.17)
N
∑
vIα (µIα − µ)Mα (kIα , k, µIα , µ) = 0
α=1

gọi là phương pháp tự tương hợp (self-consistent) theo các tác giả (xem [9-10],[16],
[29],[32],[33] và [82]). Đây cũng có thể được coi là trường hợp riêng của phương
pháp sơ đồ vi phân. Nội dung ban đầu của phương pháp này là tính trường biến
dạng và ứng suất của 1 pha nào đó thì xem xét đại diện của pha đó như hạt cốt liệu
cầu hay bầu dục nằm trong một nền đồng nhất vơ hạn với tính chất trùng với tính
chất hiệu quả mà ta chưa biết, sử dụng kết quả của Eshelby, từ đó dẫn đến phương


10

trình xác định mơ đun đàn hồi vĩ mơ. Điểm thuận lợi nhận thấy ở sơ đồ này bao
gồm một quan niệm đơn giản và tương ứng với mơ hình có trật tự chính xác nhất
định (xem Noris [46]). Cách làm này có vẻ gọn tuy nhiên có phần áp đặt, các tính
tốn cũng như phân tích về sau cho thấy kết quả này (sơ đồ vi phân luôn tuân thủ
đánh giá của Hashin-Shtrikman) có khi vơ lý mà một trong số tác giả của phương
pháp [10] đã chỉ ra chẳng hạn với vật liệu có chứa các lỗ rỗng - hệ số trượt hiệu
quả sẽ bằng 0 khi tỷ lệ thể tích của các lỗ rỗng tiến gần tới giá trị 1/2 khi các hạt

là cốt liệu tròn (lỗ rỗng là pha thứ 2 có mơ đun đàn hồi bằng 0).
Một phương pháp khá nổi tiếng là Mori-Tanaka [44] được áp dụng cho kỹ thuật
và kim loại học khi xem xét vật liệu nhiều pha dạng nền-cốt liệu. Nội dung của
phương pháp là để tính trường ứng suất và biến dạng của các pha, tác giả xem xét
riêng một hạt cốt liệu hình bầu dục trong pha nền xa vô cùng với các điều kiện
biên ở vô cùng được lấy từ các trung bình của ứng suất và biến dạng trong pha nền
(chưa biết) và sử dụng kết quả của Eshelby.
Từ những nhược điểm đã nêu ở trên, các phương pháp mơ hình đều có những
hạn chế khơng cho trước được sai số có thể, chỉ áp dụng cho một số lớp vật liệu
nhất định.
Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thơng qua việc giải phương trình (mà
điều này rất khó khăn khi cấu hình hỗn hợp phức tạp) thì có một cách đi khác
cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mơ của vật liệu tổ hợp đó là đường
lối biến phân, đây là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù
khơng tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm
cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ ta cũng nhận được tương
ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính
chất vĩ mơ của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể. Điều khó khăn là ta
phải giải bài toán biến phân trên miền V với cấu trúc phức tạp mà chúng ta thường
khơng có đầy đủ thơng tin về nó.
Theo hướng nghiên cứu này từ rất sớm một số nhà khoa học như Hill [30] lần
đầu tiên nghiên cứu về tính chất vĩ mơ của đa tinh thể đã chọn trường khả dĩ là bất
biến, Paul [48] đã chứng minh được rằng các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp
đẳng hướng dù cho hình học pha có thế nào thì cũng ln ln nằm trong phạm vi


11

trung bình cộng điều hịa và trung bình cộng số học:
(

)
∑ vα −1
∑
≤ k ef f ≤ vα kα
k
α
( α α )−1
.
∑ vα
∑
ef f
≤ µ ≤ vα µα
α µα
α

(1.18)

Một bước tiến nữa trong nghiên cứu mà được coi là đã để lại dấu ấn khi Hashin
Shtrikman [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ
phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha
khác nhau. Kết quả của Hashin và Shtrikman (HS) cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng
là tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul khi nó nằm trong đánh giá này. Biên của HS
cho đánh giá mô đun đàn hồi thể tích và mơ đun trượt vĩ mô trong trường hợp tổng
quát không gian d chiều được biểu diễn như sau:
(
Pk

2(d − 1)
µmin
d

)

(
≤ k ef f ≤ Pk

2(d − 1)
µmax
d

)
(1.19)

d2 k + 2(d + 1)(d − 2)µ
2dk + 4dµ
(1.20)
(
)−1
(
)−1
∑ vα
∑ vα
Pk (k∗ ) =
− k∗ , Pµ (µ∗ ) =
− µ∗
α kα + k∗
α µα + µ∗
kmin = min {k1 , . . . , kN } , kmax = max {k1 , . . . , kN } ,

Pµ (µ∗min ) ≤ µef f ≤ Pµ (µ∗max )

,

µmin = min {µ1 , . . . , µN } ,

µ∗ (k, µ) = µ

µmax = max {µ1 , . . . , µN } .

Có thể thấy rằng chỉ với các tính chất thành phần của vật liệu cho trước κα , µα
và tỷ lệ thể tích pha vα ta cũng nhận được biểu thức đánh giá. Ý nghĩa của phương
pháp là xây dựng toán học khéo léo một trường khả dĩ trên miền V , trong khi
miền V khơng hồn tồn xác định, để nhận được các biểu thức đánh giá có thể
tính được.
Để có được (1.19) và (1.20) thì HS đã giả thiết kmin , µmin (kmax , µmax ) thuộc
về cùng một pha và sau này Walpole [80] đã chứng minh được rằng các kết quả
của HS đúng trong cả trường hợp tổng quát. Với những mơ hình hình học cụ thể
hai pha thì đánh giá HS cho những kết quả chặt nhất có thể, khi đặc trưng pha nền
là lớn hơn pha cốt liệu dạng hạt thì đặc trưng vĩ mơ hướng tới biên trên cịn khi
ảnh hưởng của nó ít hơn pha cốt liệu thì nó tiến tới tiệm cận biên dưới. Riêng với
mơ hình quả cầu lồng nhau hai pha thì đánh giá HS trên (hoặc dưới) cho mơ đun
thể tích là đạt tới được.


12

Một vấn đề đặt ra là liệu có tìm được đánh giá tốt hơn đánh giá HS hay không,
đây cũng là vấn đề được các nhà khoa học quan tâm và rất nhiều cơng trình nghiên
cứu sau này được cơng bố và chứng minh tính đúng đắn cũng như tìm ra kết quả
tốt hơn cho một số vật liệu cụ thể. Milton & Phan-Thien [42] đã xây dựng được

đánh giá tốt hơn HS cho µef f vật liệu 2 pha khi kmin và µmin khơng thuộc cùng 1
pha. Pham [49] nhận được kết quả tương ứng trong trường hợp nhiều pha. Trường
hợp vật liệu có nhiều hơn 2 pha vẫn chưa tìm được đánh giá tối ưu.
Một loại vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên là sự kết hợp của các vật liệu thành phần
phân bố ngẫu nhiên (hỗn độn) trong khơng gian với hình học pha tựa như nhau
(loại vật liệu được gọi là vật liệu đối xứng theo Miller [40] hay vật liệu có thể đổi
chỗ cho nhau Bruno [8]). Đánh giá trên và dưới các đặc trưng vĩ mô của vật liệu
nhiều thành phần phân bố ngẫu nhiên tựa đối xứng đầu tiên cho vật liệu hai pha
đưa ra bởi Miller [40]. Trong bài báo này Miller đã giới thiệu các lớp tổ hợp xác
định đặc tính vi hình học bao gồm vật liệu các dạng khác nhau từ cầu tới đĩa mà
được tạo bởi toàn bộ các phần tử đồng nhất có dạng cầu tới đĩa và kích cỡ đa dạng.
Ơng đã tìm được được đánh giá trên và dưới một cách đặc biệt cho hệ số dẫn và
mơ đun đàn hồi thể tích của vật liệu 2 pha tựa đối xứng phụ thuộc 1 tham số hình
học. Lớp bài tốn này sau này được phát triển bởi bởi Silnutzer [72] cho mô đun
đàn hồi trượt; Milton [41],[43].
Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính [49-58] đã xét đến bài toán
cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể tích pha, hình học
vi mơ của các thành phần cấu thành được đặc trưng bởi các tham số hình học bậc
ba, kết quả là tìm được biên tường minh cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật
liệu, trong một số trường hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mơ
hình hình học cụ thể).
Để có những đánh giá tốt hơn so với đánh giá HS sau này các tác giả đã nghiên
cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa các hàm ngẫu nhiên mô tả
thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể. Các hàm ngẫu nhiên bậc
n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được
lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định giữa chúng) rơi vào cùng một pha. Việc đo
đạc thực nghiệm và tính tốn các hàm ngẫu nhiên là phức tạp đặc biệt với các hàm
bậc cao. Hàm ngẫu nhiên bậc nhất chính là tỷ lệ thể tích của các thành phần tham
gia trong vật liệu tổ hợp. Hàm bậc hai ảnh hưởng đến tích chất vĩ mô của vật liệu
dị hướng nhưng không ảnh hưởng tới vật liệu đẳng hướng. Hiện nay với những

13

phương tiện kỹ thuật hiện đại người ta cũng mới chỉ tính được các tham số hàm
ngẫu nhiên bậc hai và bậc ba cho những trường hợp cụ thể (với một số mơ hình
vật liệu hai thành phần ngẫu nhiên hoặc tuần hồn các tham số đã được tính tốn
và lập bảng, xem [77]). Trường hợp vật liệu hai thành phần hàm ngẫu nhiên bậc
ba được thiết lập với 2 thơng số hình học vật liệu ζ1 (hoặc ζ2 ) và η1 (hoặc η2 ) đưa
ra bởi Milton & Phan-Thien [42], Torquato [77]. Với hàm ngẫu nhiên bậc cao thì
thực sự khó khăn trong việc xác định chúng và gần như không thể xác định được
tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc ∞, xem Phan-Thien & Milton [66]; Phan-Thien
& Pham [67].
Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu
và xây dựng trường khả dĩ phân cực tương tự trường HS, Pham [49-62] đã tìm
được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thơng tin bậc ba về hình
học pha của vật liệu. Thay vì tìm trực tiếp phiếm hàm (1.9) hay (1.10), Pham [49]
đã tách phiếm hàm ra 2 phần là phần chính và phần nhiễu và chỉ tìm cực trị phần
chính, rồi lấy nó làm trường khả dĩ cho tồn phiếm hàm. Q trình xây dựng đã
dẫn dắt tác giả tới trường phân cực dạng HS (xem Phạm Đức Chính [1]). Cho đánh
giá trên từ (1.9) trường khả dĩ có dạng (Pham [49]):
3k0 + µ0 ∑ α α
1 ∑ α α
+
pkl ψ,ijkl −
(pmi φ,jm + pαmj φα,im ) , (1.21)
µ0 (3k0 + 4µ0 ) α
2µ0 α
N

εij =

ε0ij

N

trong đó k0 và µ0 là các hệ số đàn hồi của vật liệu so sánh theo phương pháp
Hashin-Shtrikman; p là trường phân cực:


−1 


N


∑
−1
α
α
∗ −1 
β
∗

p = I − (C + C ) :
vβ (C + C )
(C0 + C∗ ) : ε0 ,





β=1
C0 = T(k0 , µ0 ),
C∗ = T(k∗ , µ∗ ),

1 1
I = T( , ) ,
3 2
4
9k0 + 8µ0
k∗ = µ0 , µ∗ = µ0
;
3
6k0 + 12µ0

(1.22)

cịn φα và ψ α là các hàm thế điều hòa và song điều hịa có dạng:
∫
α
φ (x) = Γφ (x − y)dy ;
∇2 φα (x) = δαβ , x ∈ Vβ ; (1.23)
V

α
− 1 ln( 1 ) , d = 2
2π
r
Γφ (r) =
,

− 1 ,
d=3
4πr

∇2 Γφ = δ(r) ;


14

∫
Γψ (x − y)dy ;

α

ψ (x) =

∇4 ψ α (x) = δαβ ,

x ∈ Vβ ; (1.24)

V

α
 1 r2 ln( 1 ) , d = 2
r
,
Γψ (r) = 8π
− 1 r ,
d
=

3
8π
(∇2 φα (x) = ∇4 ψ α (x) = δαβ ,

∇4 Γψ = δ(r) .
x ∈ Vβ );

Với trường khả dĩ này, Pham [49] nhận được đánh giá trên như sau:
kc ≤ Pk (k∗ ) + k∗∗
µc ≤ Pµ (µ∗ ) + µ∗∗ ,

(1.25)

trong đó:
Pk (k∗ ) =

(
∑
α

(
∑

vα
kα + k∗

)−1
− k∗ ,
)−1

vα
− µ∗ ,
µ
+
µ
α
∗
α
∑
2
β γ
k∗∗ =
(µα − µ0 )Aβγ
α Y Y ,
2
(3k0 + 4µ0 )
α,β,γ
∑
9
β γ
µ∗∗ =
(kα − k0 )Aβγ
α Z Z ,
10(3k0 + 4µ0 )2
α,β,γ
[
]
2
2
−

27k
24µ
(3k0 + µ0 )2 ∑
0
0
(µα − µ0 ) Bαβγ + Aβγ
+ 2
Z β Z γ , (1.26)
α
2
2
5µ0 (3k0 + 4µ0 )
4(3k0 + µ0 )
α,β,γ

(
)−1 
∑ vα
 ,
Y β = (k∗ + k0 ) 1 − (kβ + k∗ )−1
k
+
k
α
∗
α

(
)−1 
∑ vα

 ;
Z β = (µ∗ + µ0 ) 1 − (µβ + µ∗ )−1
µ
+
µ
α
∗
α
Pµ (µ∗ ) =

βγ
trong đó Aβγ
α , Bα là các thơng tin hình học bậc ba của vật liệu:
∫
∫
1
βα γα
βα
β
βγ
Aα = φij φij dx , φij = φ,ij −
φβ,ij dx ,
vα
Vα
Vα
∫
∫
1
β
βα

γα
β
βα
dx .
ψ,ijkl
Bαβγ = ψijkl ψijkl dx , ψijkl = ψ,ijkl −
vα
Vα

Vα

(1.27)
(1.28)


15

Đối với đánh giá dưới mô đun đàn hồi, trường phân cực có dạng:
˜α = C0 : qα ,
(1.29)
σ(x) = σ 0 − C0 : [ε′ (x) + q(x)] , q
N
N
3k0 + µ0 ∑ α α
1 ∑ α α
′
α
εij (x) =
q˜kl ψ,ijkl −
(˜

qmi φ,jm + q˜mj
φα,im ) ,
µ0 (3k0 + 4µ0 ) α=1
2µ0 α=1


−1 


N


∑
[
]
α −1
∗ −1 −1
β
−1
∗
−1
−1
α
:
vβ [(C ) + (C ) ] 
q = I − (C ) + (C ) )





β=1
[
]
: (C0 )−1 + (C∗ )−1 : σ 0 .
Pham [49] nhận được đánh giá dưới như sau:
[
]
−1 −1
kc ≥ Pk−1 (k∗ ) + k∗∗
]−1
[
µc ≥ Pµ−1 (µ∗ ) + µ−1
,
∗∗

(1.30)

Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu
đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường
khả dĩ động học. Tuy nhiên cũng có các trở ngại chính: rất khó để tìm được trường
khả dĩ đơn giản trên tồn bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ
phương trình lớn và phức tạp. Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế
là các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải thích hợp
và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi tính tốn phù hợp với
khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao. Kỹ thuật xấp xỉ phần tử thông minh
(element-wise) đã được cơng nhận ít nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17]. Đã
có nhiều phương pháp xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất
là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). Ý nghĩa của phương pháp này là phân
vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử. Quá trình này
được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản lý tính tốn bộ nhớ hiệu quả

nhất có thể. Việc thực hiện, lý thuyết và ứng dụng của PTHH là một chủ đề rất
rộng. Tài liệu tham khảo chung về chủ đề này có thể xem [4],[5],[31],[73] và [83].
Phương pháp phần tử hữu hạn yêu cầu rời rạc hóa miền khơng gian vật thể chính
vì vậy bước đầu tiên cần xây dựng chia lưới phần tử. Về cơ bản có hai cách chia
lưới cấu trúc vi mơ theo phương pháp phần tử hữu hạn. Đó là xấp xỉ cấu trúc vi
mô không đồng dạng và xấp xỉ cấu trúc vi mô đồng dạng. Điều này dẫn đến gián
đoạn vật liệu trong phần tử hữu hạn. Với cách chia xấp xỉ không đồng dạng không
yêu cầu biên của phần tử phải trùng với bề mặt phân cách của vật liệu khi chia lưới