HƯỚNG DẪN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 DÀNH CHO SINH VIÊN

Chương 1
Ma Trận - Định Thức
 Ma trận
 Định thức của ma trận vuông
 Ma trận nghịch đảo
 Hạng của ma trận


ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN
Một bảng số chữ nhật có m dòng, n cột gọi
là một ma trận cỡ m × n
A = ( aij )

m× n

 a11 K a1 j K a1n 

÷

÷
=  ai1 K aij K ain ÷

÷

÷
a K a K a ÷
mj
mn 
 m1

Dòng thứ nhất

Dòng thứ i

Cột thứ j

aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của
dòng i cột j
Thay cho dòng trên ta có thể viết A∈ Mm×n


MA TRẬN BẰNG NHAU

 A, B ∈ M m×n
A= B ⇔ 
aij = bij , ∀i, j
Ví dụ

1
3


2  1
=
÷
−4   c

b
÷
d

MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT
Ma trận không: Là ma trận mà tất cả
các phần tử đều bằng 0
Ma trận vuông: Khi m = n, bảng số
thành hình vuông, ta có ma trận vuông
n dòng, n cột, ta gọi là ma trận cấp n
 a11
a
 21
K

 an1

a12
a22
K
an 2

K
K
K
K

a1n 
÷
a2 n ÷
K÷
÷
ann 

Phần tử chéo
Đường chéo
chính


MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT
Ma trận tam giác trên (dưới): Là ma trận
vuông mà các phần tử nằm phía dưới
(trên) đường chéo chính bằng 0.
 a11

0

A=


 0

a12 K a1n 
÷
a22 K a2 n ÷
÷
K
÷
0 K ann 

Ma trận tam giác trên

Ma trận chéo: Là ma trận vuông mà mọi
phần tử không nằm trên đường chéo

chính đều bằng 0


MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT
Ma trận đơn vị: Là ma trận chéo mà mọi
phần tử nằm trên đường chéo chính đều
bằng 1
1 0 K 0
0 1 K 0÷

÷= I
K K K K ÷ n

÷
0 0 K 1

Ma trận hàng: m =1
Ma trận cột: n =1


CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
+ PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN:

Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n
A+B = [aij+bij]m×n
+ PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN:
Cho A = [aij]m×n, k∈ R.
kA =[kaij]m×n

CÁC TÍNH CHẤT
Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mmxn, k, h ∈ R,
ta có
i. A + B = B + A
(tính giao hoán)
ii. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)
iii. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn)
iv. A + (−A) = 0
v. h(kA) = (hk)A
vi. h(A + B) = hA + hB
vii. (h + k)A = hA + kA
viii. 1.A = A


PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Cho hai ma trận A =[aij]mxp, B =[bij]pxn. Ta
định nghĩa tích AB là ma trận C=[cij]mxn,
mà phần tử cij được xác định bởi công
p
thức

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + K + aipbpj = ∑ a ik b kj
ai1

ai 2 K aip

b1 j
b2 j
M
bpj

k=1


PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Ví dụ:

3 
a)  ÷( 1 4 )
2 

 1 2
 1 2 3 
÷
c) 
3
2
÷

÷
4
5
6

  1 4÷



 3
b) ( 1 4 )  ÷

 2

CÁC TÍNH CHẤT

(i) Tính kết hợp: A(BC) = (AB)C
(ii) Tính phân bố: (A+B)C = AB + BC
(iii) h(AB) = (hA)B = A(hB)


PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Chú ý:
i. An = A.A… A (n lần) A là ma trận vuông
ii. Để có thể nhân ma trận A với ma trận B,
số cột của A phải bằng số dòng của B
Với hai ma trận A, B cho trước, không nhất
thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại,
không chắc tích BA tồn tại
iii. Tích của hai ma trận nói chung không
giao hoán, nghĩa là tổng quát AB ≠ BA


MA TRẬN CHUYỂN VỊ
Xét ma trận A = [aij]mxn. Đổi dòng thành cột,
cột thành dòng ta được ma trận mới gọi là
ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT.
Ta có AT = [aji]nxm
 −4

A = 3
 2



Tính chất

1
÷
0÷
7÷

T T
(i ) ( A ) =A

( ii )

 −4
A =
1
T

T
T
A+B
=A
+B
(
)

( iii ) ( AB)

T

T

T

=B A

T

3
0

2
÷
7


MA TRẬN BẬC THANG THEO DÒNG
Ma trận bậc thang theo dòng thỏa 2 điều kện:
• Các dòng không (dòng chứa toàn số hạng 0), nếu có,
phải nằm phía dưới dòng khác 0 (có ít nhất một số hạng
khác 0)
• Với hai dòng khác không bất kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên
của dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 của
dòng trên
1
A =
0
0


0
C =
0
0


0
0
0
2
3
0

2
3÷
÷
0÷

7
4÷
÷
5÷


1

0
B = 0

0

0


0
2
0
0
0

2
4
0
0
0

0
4
1
0
0

9 6
÷
7 −1÷
0 3÷
÷
0 8÷
0 0÷


 2 3 5
D =  0 0 0 ÷
÷
 0 1 3÷




CÁC PHÉP BĐSC TRÊN DÒNG
(i) Đổi chỗ hai dòng i và j: di = dj
(ii) Nhân dòng i với một số thực α ≠ 0: di = αdi
(iii) Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng j:
di = di + αdj
Ví dụ: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để
đưa ma trận sau về ma trận đơn vị
 1 −1 1

÷
a) A =  −1 2 1÷
 − 2 3 1÷



1 2 3 4 
 2 1 0 −1 ÷
÷
b) B = 
3 0 3 0 ÷

÷

 4 −1 −6 7 


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
 a11
 M

A ij =  ai1

L
a
 n1

L
L

a1 j
M

L
L

ai 2
M

aij
M

K
L

M

anj

L

a1n 
M÷
÷
ain ÷
÷
M÷
ann ÷


Ma trận bù : Ký hiệu : Aij , là ma trận nhận được
từ A sau khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Cho A ∈ Mn. Định thức của A, ký hiệu detA hay
|A|, là số thực được định nghĩa quy nạp theo n
như sau:
Với n =1, A = (a11), detA = a11
Với n ≥ 2, A = (aij)nxn, ta định nghĩa
det A = ( − 1) a11 det A11 + ( − 1) a12 det A12 + ... + ( − 1)
1+ 1

n

= ∑ ( − 1) a1 j det A1 j
j =1

1+ j

1+ 2

1+ n

a1n det A1n


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Nhận xét
 a11
A=
 a 21

a12 
÷
a 22 

det A = (− 1)1+ 1 a11 det (a 22 ) + (− 1)1+ 2 a12 det (a 21 ) = a11a 22 − a 21a12
 a1 a 2 a 3 
b2 b3
b1 b3
b1 b2

÷

B =  b1 b2 b3 ÷, B = a1
− a2
+ a3
c2 c3
c1 c3
c1 c 2
c c c ÷
 1 2 3

= a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a2 ( b1c3 − b3c1 ) + a 3 ( b1c2 − b2c1 )

= a1b2c3 + a2 b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a 2 b1c3 − a 3b2c1


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus
Xây dựng ma trận A‘3x5 từ A3x3 bằng cách
bổ sung thêm vào A cột 1 và cột 2
A 3×3

 a1

=  b1
c
 1

a2
b2
c2

a3 
 a1 a 2
÷
b3 ÷ A / 3×5 =  b b
1
2

c c
c3 ÷

2
 1

a 3 a1 a 2 
÷
b3 b1 b2 ÷
c3 c1 c2 ÷


3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là
tích các phần tử nằm trên ba đường song
song với đường chéo chính
3 số hạng mang dấu âm trong định thức là
tích các phần tử nằm trên ba đường song
song với đường chéo phụ


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Ví dụ
1

2

3

detA = 3

4

0

−1 −2 5

1 2 3 1 2

÷
A/ =  3 4 0 3 4 ÷
 −1 −2 5 −1 −2÷



detA = 1.4.5 + 2.0. ( − 1) + 3.3. ( − 2 ) − 3.4. ( − 1) − 1.0. ( − 2 ) − 2.3.5 = − 16
Lưu ý
Công thức tính định thức của ma trận vuông
được trình bày ở mục định nghĩa là công thức
tính định thức khai triển theo dòng thứ 1.
Định thức của ma trận vuông không đổi khi ta
khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Định lý: Cho ma trận A = (aij)nxn. Khi đó
n

det A = ∑ (− 1)i0 + j ai0 j det Ai0 j

( 1)

det A = ∑ (− 1)i + j0 ai j 0 det Ai j0

( 2)

j =1
n

i =1

với mọi 1 ≤ i0, j0 ≤ n
(1) gọi là công thức khai triển theo hàng i0,
(2) gọi là công thức khai triển theo cột j0.
Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau
1
0
A =
3

0

0
2

2
3

3
−2
0
0

−2 
0 ÷
÷
1 ÷
÷
0 


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Tính chất:
(i) Khi tất cả các phần tử của một dòng (một
cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức
có thể phân tích thành tổng hai định thức.
(ii) Khi nhân các phần tử của một dòng (một
cột) với cùng một số k, thì được định thức mới
bằng định thức cũ nhân với k


ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Định lý
(i) Nếu
(ii) Nếu

(i) : (j)
A 
→B

(i) + k (j)
A  (i):=

→B

thì detB = −detA
thì detB = detA (i≠j)

(iii) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử
thuộc đường chéo chính.
(iv) Định thức của ma trận có hai dòng bất kỳ tỷ lệ với
nhau thì bằng 0.
(v) detA = det(AT), ∀ A ∈ Mn
(vi) |AB| =|A| × |B|
Ví dụ: Tính định thức của các ma trận sau
1

A = 4
3


2
9
2

3
÷
6÷
0÷


2
1
B =
3

5

0
−
2
−
2
−
2

3
2
5
8

−
1
−
3÷

÷
−
4÷
÷
−
5


MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
 1 − 1 1
 −1 4 −3

÷

÷ Tính A.B và B.A
A =  − 1 2 1÷ B =  − 1 3 − 2 ÷
 − 2 3 1÷
 1 −1 1 ÷




Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn
tại ma trận B cùng cấp sao cho A × B = B × A = In
thì chúng ta nói A là ma trận khả nghịch và B là ma
trận nghịch đảo của ma trận A.
Chú ý: Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất
Ví dụ: Cho hai ma trận
 1 3 7


÷
A =  2 1 2÷ B =
 −7 1 4 ÷



1 
 −2 5

÷
22
−
53
−
12

÷
 − 9 22
÷
5



1 0 0

÷
AB = BA =  0 1 0 ÷
0 0 1÷



MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
TÍNH CHẤT
A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0
TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO BẰNG ĐỊNH THỨC
Cho A ∈ Mn, đặt

bij = ( -1) detA ij ∈ M n
i+j

 b11

1 T
1  b 21
-1
⇒A =
B =
detA
detA  K

 b n1

Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1

A =2
1


2
5
0

3
÷
3÷
8÷


T

b12 K b1n 
÷
b 22 K b 2n ÷
K K K÷
÷
b n2 K b nn 


MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO BẰNG PHÉP BĐCS
Biến đổi (A | In)    → ( In | B)
Khi phần chứa ma trận A trở thành ma trận đơn vị In
thì phần còn lại là ma trận nghịch đảo A-1 của A
Lưu ý: Khi biến đổi, nếu có 1 dòng bằng 0 ở một
trong hai bảng thì dừng lại và kết luận: Ma trận A
không khả nghịch
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

BĐSC dòng

2 1 2 

÷
a) A =  1 − 2 − 1÷
1 2 3 ÷



 1 3 −4 
b) A =  1 5 −1 ÷÷
 3 13 −6 ÷

