BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

HUỲNH HỮU DINH

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT

MSSV:.....................................................................
Họ tên:....................................................................

TP.HCM - Ngày 16 tháng 3 năm 2015


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

2


Mục lục
1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT
1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . .
1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ . . . . . . . . .
1.2.1 Quan hệ kéo theo . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Tổng hai biến cố . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tích hai biến cố . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Các biến cố xung khắc . . . . . . . . . . .
1.2.6 Hiệu của hai biến cố . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Biến cố đối lập . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.8 Qui tắc De Morgan . . . . . . . . . . . . .
1.3 KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP . . . . .
1.4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển .
1.4.2 Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê
1.4.3 Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học
1.5 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT . . . . . . .
1.5.1 Công thức cộng xác suất . . . . . . . . . .
1.6 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . .
1.6.2 Sự độc lập và phụ thuộc của các biến cố .
1.6.3 Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . .
1.6.4 Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . .

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
8
8
8
9
10
10
11
11
12
13
14
14
19
22
25
25
28

30
34
38
40


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

4


Chương 1
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT
1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Các khái niệm đầu tiên trong xác suất là “phép thử” và “biến cốn sơ
cấp”. Phép thử được hiểu là một thí nghiệm, một quan sát về một hiện
tượng hay tính chất nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác
nhau, các kết quả này được gọi là các biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ
cấp). Biến cố sơ cấp thường được ký hiệu là các chữ cái in hoa đôi khi
kèm theo các chỉ số: A, B, C, . . . , A1 , A2 , . . . , An , . . .
Ví dụ 1.1. Một số ví dụ về phép thử và biến cố sơ cấp:
• Tung một đồng tiền, đó là một phép thử. Kết quả có thể xảy ra là
“xuất hiện mặt số”, đó là một biến cố sơ cấp; “xuất hiện mặt hình”,
cũng là một biến cố sơ cấp.
• Một người mua một tờ vé số, đây là một phép thử. Các biến cố
sơ cấp xuất hiện là “người mua trúng số” hoặc “người mua không
trúng số”.
• Gieo một con xúc xắc, đây là một phép thử. Các biến cố sơ cấp xuất

hiện là “xuất hiện mặt i chấm” với i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Định nghĩa 1.1. Biến cố của một phép thử là một tập hợp mà mỗi
phần tử của nó là biến cố sơ cấp của phép thử đang xét.

5


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Hình 1.1. Hai mặt của đồng tiền

Hình 1.2. Con xúc xắc

Trong Ví dụ 1.1, ta đặt
• A1 : “xuất hiện mặt 1 chấm”
• A2 : “xuất hiện mặt 2 chấm”
..
.
• A6 : “xuất hiện mặt 6 chấm”
Xét các biến cố sau:
• A : “xuất hiện mặt có số chấm ≤ 3”
• B : “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”
• C : “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”
Ta có thể biểu diễn chúng với dạng tập hợp như sau:
• A = {A1 , A2 , A3 }
• B = {A1 , A3 , A5 }
• C = {A2 , A4 , A6 }

Định nghĩa 1.2. Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử
được gọi là biến cố không, ký hiệu ∅.

Ví dụ 1.2. Một số ví dụ về biến cố không:
6


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

• Chọn ngẫu nhiên hai lá từ một bộ bài tây, biến cố “xuất hiện hai
lá át cơ” là một biến cố không.
• Biến cố “có sự sống trên sao Mộc” là biến cố không.

Hình 1.3. Sao mộc

Hình 1.4. Bài tây

Định nghĩa 1.3. Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử được
gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω.

Ví dụ 1.3. Một số ví dụ về biến cố chắc chắn:
• Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có số chấm bé hơn 7”
là biến cố chắc chắn.
• Biến cố “Barack Obama là tổng thống của Hợp chủng quốc Hoa
Kỳ” là biến cố chắc chắn.

Hình 1.5. Tổng thống Mỹ Barack Obama

7


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
1.2.1 Quan hệ kéo theo

Định nghĩa 1.4. Ta nói biến cố A thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ
khi A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B.

Ω
B
A

Hình 1.6.

Ví dụ 1.4. Gieo một con xúc xắc. Ta xét các biến cố:
• A : “xuất hiện mặt hai chấm”.
• B : “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”.
Ta thấy khi biến cố A xảy ra thì biến cố B sẽ xảy ra. Do đó A ⊂ B.

1.2.2 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.5. Ta nói biến cố A tương đương với biến cố B khi và
chỉ khi A ⊂ B và B ⊂ A, ký hiệu A = B.

Ví dụ 1.5. Gieo một con xúc xắc, xét các biến cố:
8


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

• A : “xuất hiện mặt năm chấm”.
• B : “xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho năm”.
Ta thấy A = B.

1.2.3

Tổng hai biến cố

Định nghĩa 1.6. Tổng hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi có ít
nhất một trong hai biến cố xảy ra, ký hiệu A + B.

Từ định nghĩa ta có thể xác định biến cố tổng A + B : “A hoặc B”
A

B

A+B
Hình 1.7.

Ví dụ 1.6. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Đặt
• A : “xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu”.
• B : “xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu”.

• C : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Ta thấy C = A + B.

Định nghĩa 1.7. Tổng các biến cố A1 , A2 , . . . , An là biến cố xảy ra
khi và chỉ khi có ít nhất một Ai xảy ra với i = 1, n, ký hiệu A1 + A2 +
· · · + An .

9


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

1.2.4 Tích hai biến cố
Định nghĩa 1.8. Tích hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi A và
B cùng xảy ra, ký hiệu AB.

Từ định nghĩa ta có thể xác định biến cố tích AB: “A và B”.

A

B

AB
Hình 1.8.

Ví dụ 1.7. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Đặt
• A : “xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu”.
• B : “xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu”.

• C : “cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Khi đó ta có C = AB.

Định nghĩa 1.9. Tích các biến cố A1 , A2 , . . . , An là biến cố xảy ra khi
và chỉ khi tất cả các biến cố Ai cùng xảy ra, ký hiệu là A1 A2 . . . An .

1.2.5 Các biến cố xung khắc
Định nghĩa 1.10. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu
chúng không thể cùng xảy ra, hay nói cách khác AB = ∅.

10


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Ví dụ 1.8. Gieo một con xúc xắc. Đặt
• A : “xuất hiện mặt một chấm”.
• B : “xuất hiện mặt hai chấm”.
Hai biến cố A và B xung khắc với nhau vì biến cố AB : “xuất hiện
mặt một chấm cùng lúc với mặt hai chấm” là biến cố không.

1.2.6

Hiệu của hai biến cố

Định nghĩa 1.11. Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi
A xảy ra nhưng B không xảy ra, ký hiệu A \ B.

A

B

A\B

Ví dụ 1.9. Gieo một con xúc xắc. Đặt
• A : “xuất hiện mặt một chấm”.
• B : “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”.
• C : “xuất hiện mặt ba chấm hoặc năm chấm”.
Khi đó ta có C = B \ A.

1.2.7

Biến cố đối lập

11


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Định nghĩa 1.12. Biến cố B được gọi là biến cố đối lập của biến cố
A nếu AB = ∅ và A + B = Ω, ký hiệu B = A.

A
A

Ω

Ví dụ 1.10. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc. Đặt
• A : “xuất hiện mặt một chấm”.
• B : “xuất hiện mặt hai chấm”.
• C : “xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn hai”.
Khi đó C = A nhưng B ̸= A.

1.2.8 Qui tắc De Morgan
Định lý 1.1. (Qui tắc De Morgan). Xét hai biến cố A, B ⊂ Ω. Khi
đó ta có
• A+B =AB
• AB = A + B

12


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Ví dụ 1.11. Kiểm tra chất lượng bốn sản phẩm. Đặt Ai : “sản phẩm thứ
i tốt” với i = 1, 4. Hãy biểu diễn qua Ai các biến cố sau:
1. Tất cả các sản phẩm đều tốt.
2. Tất cả các sản phẩm đều xấu.
3. Có ít nhất một sản phậm tốt.
4. Có ít nhất một sản phẩm xấu.
5. Có đúng một sản phẩm tốt.
Giải. 1. Xét biến cố A : “tất cả các sản phẩm đều tốt”. Ta thấy A xảy ra
khi các biến cố Ai , i = 1, 4 xảy ra. Do đó A = A1 A2 A3 A4 .
2. Xét biến cố B : “tất cả các sản phẩm đều xấu”. Ta thấy B xảy ra khi
tất cả các biến cố Ai , i = 1, 4 đều không xảy ra. Do đó A = A1 A2 A3 A4 .

3. Xét biến cố C : “có ít nhất một sản phẩm tốt”. Ta thấy C xảy
ra khi ít nhất một trong các biến cố Ai , i = 1, 4 xảy ra. Do đó C =
A1 + A2 + A3 + A4 .
4. Xét biến cố D : “có ít nhất một sản phẩm xấu”. Ta thấy D xảy
ra khi ít nhất một trong các biến cố Ai , i = 1, 4 không xảy ra. Do đó
D = A1 + A2 + A3 + A4 .
5. Xét biến cố E : “có đúng một sản phẩm tốt”. Ta thấy E xảy ra khi có
một biến cố trong các biến cố Ai , i = 1, 4 xảy ra, ba biến cố còn lại không
xảy ra. Do đó E = A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 .

1.3

KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP

Định nghĩa 1.13. Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử được gọi
là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu Ω.

Có thể thấy rằng không gian các biến cố sơ cấp là tập hợp các kết quả
loại trừ lẫn nhau, không thể tách nhỏ hơn, sao cho bất kỳ biến cố nào
của phép thử đều có thể biểu diễn duy nhất qua các phần tử của tập
hợp đó.
13


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Ví dụ 1.12. Gieo một con xúc xắc. Không gian các biến cố sơ cấp là
Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 }

với Ai : “xuất hiện mặt có i chấm”, i = 1, 6.
Ví dụ 1.13. Tung một đồng xu. Không gian các biến cố sơ cấp ở đây là
Ω = {N, S}
với N : “xuất hiện mặt ngửa” và S: “xuất hiện mặt sấp”.
Ví dụ 1.14. Tung đồng thời hai đồng xu. Không gian các biến cố sơ cấp
ở đây là
Ω = {N N, SN, N S, SS} .
Ví dụ 1.15. Tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa thì
dừng. Không gian các biến cố sơ cấp ở đây là
Ω = {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, . . .} .
Ví dụ 1.16. Tung đồng thời hai con xúc xắc. Không gian các biến cố sơ
cấp ở đây là
Ω = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} .

1.4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.4.1 Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển
Xét không gian các biến cố sơ cấp hữu hạn phần tử có đồng khả năng
xảy ra
Ω = {A1 , A2 , . . . , Am } .
Xét biến cố A ⊂ Ω. Ký hiệu n(A) là số biến cố sơ cấp chứa trong A.

Định nghĩa 1.14. (Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển).
Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), được tính bằng công thức
P (A) =

14

n(A)
.
n(Ω)

Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Ví dụ 1.17. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất biến
cố “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”.
Giải. Khi gieo một con xuc xắc, không gian các biến cố sơ cấp có đồng
khả năng xảy ra là
Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 } .
Đặt A: “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”. Khi đó
A = {A2 , A4 , A6 } .
Ta suy ra được P (A) =

n(A)
3
1
= = .
n(Ω)
6
2

Ví dụ 1.18. Tung một đồng xu cấn đối, đồng chất. Tính xác suất biến
cố “xuất hiện mặt ngửa”.
Giải. Khi tung một đồng xu, không gian các biến cố sơ cấp có đồng khả
năng xảy ra là Ω = {N, S} .
Đặt A : “xuất hiện mặt ngửa” ≡ N .
Khi đó P (A) =

n(A)
1
= .
n(Ω)
2

Ví dụ 1.19. Tung đồng thời hai đồng xu cân đối, đồng chất. Tính xác
suất biến cố “xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu”.
Giải. Không gian các biến cố sơ cấp của phép thử này là
Ω = {N N, SS, N S, SN } .
Đặt A : “xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu”.
Khi đó ta có P (A) =

n(A)
1
= .
n(Ω)
4

Ví dụ 1.20. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tìm xác
suất các biến cố sau:
1. Chỉ xuất hiện một mặt 6 chấm.
15


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

2. Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

3. Tổng số chấm trên hai con xúc xắc chia hết cho 5.
4. Tích số chấm xuất hiện trên hai con chia hết cho 5.
Giải. Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất ta được
không gian các biến cố sơ cấp là
Ω = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} .
1. Đặt A : “chỉ xuất hiện một mặt 6 chấm”. Khi đó, A = {(6, j) : 1 ≤ j ≤ 5}∪
{(i, 6) : 1 ≤ i ≤ 5}. Ta suy ra n(A) = 10. Vậy
P (A) =

n(A)
10
5
=
= .
n(Ω)
36
12

2. Đặt B : “có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”. Khi đó, B =
{(6, j) : 1 ≤ j ≤ 6} ∪ {(i, 6) : 1 ≤ i ≤ 6}. Ta suy ra n(B) = 11. Vậy
P (B) =

11
n(B)
= .
n(Ω)
36

3. Đặt C : “tổng số chấm trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”. Khi đó,
{

}
C = (i, j) : i + j chia hết cho 5 = {(i, j) : i + j = 5}∪{(i, j) : i + j = 10}.
Ta thấy rằng
• {(i, j) : i + j = 5} = {(1, 4) ; (4, 1) ; (2, 3) ; (3, 2)}.
• {(i, j) : i + j = 10} = {(4, 6) ; (6, 4) ; (5, 5)}.
Từ đây suy ra P (C) =

7
n(C)
= .
n(Ω)
36

4. Đặt D : “tích số chấm trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”. Khi đó,
{
}
D = (i, j) : ij chia hết cho 5 . Ta thấy D xảy ra khi có ít nhất một trong
hai số i, j là số 5. Do đó, D = {(5, j) : 1 ≤ j ≤ 6} ∪ {(i, 5) : 1 ≤ i ≤ 6}. Ta
n(D)
11
suy ra P (D) =
= .
n(Ω)
36
16


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Tính chất 1.1. Xác suất theo nghĩa cổ điển có các tính chất sau:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 và P (∅) = 0, P (Ω) = 1.
2. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B).
3. Nếu A, B xung khắc thì P (A + B) = P (A) + P (B).
4. P (A) = 1 − P (A).
Chứng minh. 1. Theo Định nghĩa 1.14, ta có P (A) =
A ⊂ Ω nên n(A) ≤ n(Ω) hay 0 ≤ P (A) ≤ 1. Hơn nữa,
P (∅) =

n(A)
. Mặt khác,
n(Ω)

n(∅)
0
n(Ω)
=
= 0; P (Ω) =
= 1.
n(Ω)
n(Ω)
n(Ω)

2. Vì A ⊂ B nên n(A) ≤ n(B). Do đó
P (A) =

n(A)
n(B)
≤

= P (B).
n(Ω)
n(Ω)

3. Vì A, B xung khắc nên n(A + B) = n(A) + n(B). Ta suy ra
P (A + B) =

n(A + B)
n(A) + n(B)
=
= P (A) + P (B).
n(Ω)
n(Ω)

4. Vì A + A = Ω nên P (A + A) = 1. Mặt khác A, A xung khắc nên
1 = P (A + A) = P (A) + P (A). Do đó P (A) = 1 − P (A).
Nhận xét 1.1. Tính chất 3 có thể mở rộng cho trường hợp n biến cố đôi
một xung khắc. Cụ thể hơn, nếu n biến cố A1 , A2 , . . . , An đôi một xung
khắc thì P (A1 + A2 + · · · + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ).
Ví dụ 1.21. Từ một lô hàng gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lấy ngẫu
nhiên 3 sản phẩm. Tìm xác suất để
1. Lấy được đúng một phế phẩm.
2. Lấy được ít nhất một phế phẩm.
3
= 120 khả năng đồng
Giải. Khi lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm thì có C10
xảy ra.

1. Đặt A : “lấy được đúng một phế phẩm”. Khi đó n(A) = C41 C62 = 60.
17

Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

1
60
= .
120
2
2. Đặt B : “lấy được ít nhất một phế phẩm”. Khi đó B : “không lấy
được phế phẩm nào”. Áp dụng tính chất 3 ta được
Vậy P (A) =

P (B) = 1 − P (B) = 1 −

C63
5
= .
3
C10
6

Ví dụ 1.22. Từ một hộp đựng 5 bi đỏ, 4 bi vàng, 6 bi xanh và 9 bi trắng,
chọn ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất có ít nhất hai bi cùng màu.
Giải. Ta đặt biến cố A : “có ít nhất hai bi cùng màu trong 4 bi lấy ra”.
Khi đó A : “cả bốn bi lấy ra đều có màu khác nhau”. Áp dụng tính chất
( )
4×5×6×9

3 ta được P (A) = 1 − P A = 1 −
= 0, 8984.
4
C24
Ví dụ 1.23. Một lớp học có n sinh viên. Tính xác suất có ít nhất hai
sinh viên trong lớp trùng ngày sinh nhật.
Giải. Ta đặt A : “có ít nhất hai sinh viên trong lớp học trùng ngày sinh
nhật”. Rõ ràng nếu ta tính trực tiếp P (A) thì rất khó khăn vì lúc đó có
quá nhiều trường hợp xảy ra, tuy nhiên nếu ta tính P (A) thì công việc
n(A)
đơn giản hơn nhiều. Ta có P (A) =
.
n(Ω)
Vì lớp học có n sinh viên, một năm lại có 365 ngày nên n(Ω) = 365n ,
và n(A) = 365 × 364 × · · · × (365 − n + 1). Vậy
P (A) = 1 −

365 × 364 × · · · × (365 − n + 1)
.
365n

Ví dụ 1.24. Liễu cần hỏi bao nhiêu người để có 50:50 cơ hội tìm được
một người có cùng ngày sinh?
Giải. Giả sử số người Liễu cần hỏi là n, đặt biến cố A : “ tìm được một
người có cùng ngày sinh với Liễu”. Ta cần xác định n để P (A) = 0, 5. Áp
dụng tính chất 3 ta được
P (A) = 1 − P (A) = 1 −
Cho P (A) = 0, 5 ta tìm được n = 253.
18

364n
.
365n


Huỳnh Hữu Dinh

1.4.2

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê

Muốn xác định xác suất của biến cố A theo nghĩa cổ điển thì ta phải
xác định không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp có đồng khả năng xảy
ra. Điều đó không phải khi nào cũng tồn tại (ví dụ như đồng xu không
đồng chất), để khắc phục nhược điểm trên người ta đưa ra định nghĩa
xấc suất theo quan điểm thống kê.
Xét phép thử ℘ và biến cố A nào đó trong phép thử. Lặp lại phép thử
nA
n lần, gọi nA là số lần biến cố A xuất hiện. Tỷ số fnA =
được gọi là
n
tần suất xuất hiện biến cố A khi thực hiện n phép thử ℘.

Định nghĩa 1.15. (Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê)
Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức
P (A) = lim fnA .
n→∞

Ví dụ 1.25. Để xác định xác suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi
tung đồng xu, Buffon và Pearson đã tiến hành tung đồng xu nhiều lần.
Sau đây là bảng kết quả:
Người thí nghiệm
Buffon
Pearson
Pearson

Số lần tung
4040
12000
24000

Số lần sấp
2048
6019
12012

Tần suất
0,5080
0,5016
0,5005

Với kết quả thu nhận được, ta chấp nhận xác suất của biến cố “xuất
hiện mặt sấp” là 0, 5.
Ví dụ 1.26. Vấn đề tính xác suất sinh con trai hay con gái từ lâu được
các nhà sinh lý học, nhân chủng học nghiên cứu. Người Trung Hoa cổ
đã thống kê và đưa ra tỷ lệ sinh con gái là 0, 5. Laplace đã nghiên cứu
vấn đề này ở London, Petecburg, Berlin trong 10 năm và đưa ra tỷ số
21

. Dacnon nghiên cứu sinh đẻ ở Pháp và cho số liệu sau:
sinh con gái là 43
Năm
Tần suất sinh con gái

1806
0,485

1816 1836
0,484 0,485
19

1856
0,487

1903
0,488

1920
0,489


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Ví dụ 1.27. Trong những năm 1989 - 1999, trên toàn thế giới, trung
bình mỗi năm có 18 triệu chuyến bay, 24 tai nạn máy bay chết người,
và 750 người chết trong tai nạn máy bay. Cũng trong khoảng thời gian
đó ở nước Pháp, trung bình mỗi năm có khoảng 8000 người chết vì tai

nạn ô tô, trên tổng số 60 triệu dân. Từ các số liệu trên, chúng ta có thể
tính: xác suất để một người ở Pháp chết vì tai nạn ô tô trong một năm là
8000
= 0, 0133%; xác suất để đi một chuyến bay gặp tai nạn chết người
60000000
24
là 18000000 = 0, 00013%, chỉ bằng một phần trăm xác suất bị chết do tai
nạn ô tô trong 1 năm (ta tạm coi tỉ lệ tai nạn ô tô Pháp tương tự như trên
thế giới). Nếu một người một năm bay 20 chuyến, thì xác suất bị chết
vì tai nạn máy bay trong năm bằng khoảng 20 × 0, 000133% = 0, 00266%,
tức chỉ bằng 15 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong năm.
Ví dụ 1.28. Ông Gregor Mendel (1822 - 1884) là một tu sĩ người Áo
thích nghiên cứu sinh vật. Ông ta trồng nhiều giống đậu khác nhau
trong vườn của tu viện, và ghi chép tỉ mẫn về các tính chất di chuyền
và lai giống của chúng. Năm 1866, Mendel công bố một bài báo về các
hiện tượng mà ông quan sát được, và lí thuyết của ông để giải thích các
hiện tượng. Một trong những quan sát trong đó là về màu sắc: Khi lai
đậu hạt vàng với đậu hạt xanh (thế hệ thứ nhất) thì các cây lai (thế hệ
thứ hai) đều ra đậu hạt vàng, nhưng tiếp tục lai các cây đậu hạt vàng
thế hệ thứ hai này với nhau, thì đến thế hệ thứ ba xác suất ra đậu hạt
xanh là 41 . Con số 41 là do Mendel thống kê thấy tỉ lệ đậu hạt xanh ở thế
hệ thứ ba gần bằng 14 . Từ đó Mendel xây dựng lí thuyết di truyền để
giải thích hiện tượng này: màu của đậu được xác định bởi một gen, và
gen gồm có hai phần. Thế hệ đầu tiên, cây đậu hạt vàng có gen thuần
chủng “YY”, còn hạt xanh có gen thuần chủng “yy”. Khi lai nhau, thì
một nữa gen cây này ghép với một nữa gen của cây kia để thành gen
của cây con. Các cây thế hệ thứ hai đều có gen “Yy” và màu hạt của gen
“Yy” cũng là màu vàng. Đến thế hệ thứ ba, khi lai “Yy” với “Yy” thì có
bốn khả năng xảy ra: “YY”, “Yy”, “yY”, “yy”. Về lí thuyết, có thể coi bốn
khả năng trên là có xác suất xảy ra bằng nhau. Bởi vậy xác suất để cây

thứ ba có gen “yy” (hạt màu xanh) là 41 . Trong rất nhiều năm sau khi
công bố, công trình của Mendel không được các nhà khoa học quan tâm
đến, nhưng ngày nay Mendel được coi là cha tổ của di truyền học.

20


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

yy

YY

F1
Yy

F2

Yy

Yy

Yy

Y

y

YY

Yy

Yy

yy

Y

y

Hình 1.9. Lí thuyết di truyền của Mendel và xác suất trong lai giống
đậu Hà Lan

Hình 1.10. Gregor Mendel (1822 - 1884)

21


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Tính chất 1.2. Cũng giống như xác suất theo nghĩa cổ điển, xác suất
theo nghĩa thống kê cũng có các tính chất sau:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 và P (∅) = 0, P (Ω) = 1.
2. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B).
3. Nếu A, B xung khắc thì P (A + B) = P (A) + P (B).
4. P (A) = 1 − P (A).

Chứng minh. 1. Vì 0 ≤ nA ≤ n nên 0 ≤ fnA ≤ 1. Từ đây ta suy ra
0 ≤ limn→∞ fnA ≤ 1 hay 0 ≤ P (A) ≤ 1. Hơn nữa,
0
n∅
= lim = 0.
n→∞ n
n→∞ n

P (∅) = lim fn∅ = lim
n→∞

nΩ
n
= lim = 1.
n→∞ n
n→∞ n

P (Ω) = lim fnΩ = lim
n→∞

2. Ta thực hiện n phép thử ℘. Vì A ⊂ B nên nA ≤ nB . Từ đây ta suy
ra fnA ≤ fnB hay P (A) ≤ P (B).
nC
. Vì
3. Đặt C = A + B. Thực hiện n phép thử ℘. Khi đó ta có fnC =
n
hai biến cố A, B xung khắc nên nC = nA + nB . Do đó fnC = fnA + fnB . Từ
đây ta suy ra P (A + B) = P (A) + P (B).
4. Áp dụng tính chất 3 cho B = A.
Nhận xét 1.2. Tính chất 3 có thể mở rộng cho trường hợp n biến cố đôi

một xung khắc. Cụ thể hơn, nếu n biến cố A1 , A2 , . . . , An đôi một xung
khắc thì P (A1 + A2 + · · · + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ).

1.4.3 Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học
Như đã biết, định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển có hai hạn chế lớn:
• Số biến cố sơ cấp của phép thử là hữu hạn.
• Các biến cố sơ cấp của phép thử phải có cùng khả năng xuất hiện.
Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê khắc phục được hạn chế
thứ hai. Để khắc phục hạn chế thứ nhất (đồng thời vẫn giữ giả thiết
22


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

các sự kiện đồng khả năng) người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo
nghĩa hình học. Xét một phép thử ℘ có vô hạn các biến cố sơ cấp đồng
khả năng xảy ra. Giả sử ta có thể biểu diễn không gian các biến cố sơ cấp
Ω thành một miền hình học Γ nào đó. Ở đây Γ có thể là một đoạn thẳng,
một miền phẳng, một khối không gian, v.v.... Những biến cố thuận lợi
cho biến cố A có thể hợp thành một miền con ΓA ⊂ Γ.

Định nghĩa 1.16. Độ đo của miền ΓA , kí hiệu là m(ΓA ), được hiểu
là độ dài nếu ΓA là đoạn thẳng; là diện tích nếu ΓA là miền phẳng;
là thể tích nếu ΓA là khối không gian.

Với những giả thiết và định nghĩa trên, ta định nghĩa xác suất theo
nghĩa hình học như sau:

Định nghĩa 1.17. (Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học)
Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức
P (A) =

m(ΓA )
.
m(Γ)

Ví dụ 1.29. Một xạ thủ bắn vào một tấm bia hình tròn có tâm O và bán
kính R. Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng bia sao cho khoảng cách từ
điểm trúng tới tâm O không quá số r cho trước (r < R). Ở đây ta giả
thiết xạ thủ luôn bắn trúng bia.
Giải. Ta xem hình vẽ sau:
Γ
r
ΓA

23

R


Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Đặt biến cố A : “điểm trúng cách O một khoảng không vượt quá r”.
Khi đó A có thể được biểu diễn bằng hình tròn tâm O bán kính r. Mặt
khác, tập tất cả các điểm trúng tạo thành hình tròn tâm O bán kính R.
Từ đó, ta suy ra

P (A) =

r2
m(ΓA )
πr2
=
.
=
m(Γ)
πR2
R2

Ví dụ 1.30. Bẻ gẫy ngẫu nhiên thành ba đoạn một đoạn thẳng có chiều
dài là a. Tính xác suất để ba đoạn đó tạo thành một tam giác.
Giải. Ta xem hình vẽ sau:
y
B
Γ
P

N

ΓA
A

O

x

M

Không giảm tổng quát ta giả sử a = 1. Gọi x, y là độ dài lần lượt
của đoạn chia thứ nhất và đoạn chia thứ hai. Khi đó ta có x > 0, y > 0
và x + y < 1 nên miền các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra là
Γ = ∆OAB.
Đặt biến cố A : “ba đoạn tạo thành một tam giác”. Ta sẽ xác định ΓA .
Vì hai đoạn đầu có độ dài lần lượt là x, y nên đoạn thứ ba sẽ có độ
dài là 1 − x − y. Ba đoạn này tạo thành một tam giác khi và chỉ khi


1
 y > 2 −x
 x+y >1−x−y
x + (1 − x − y) > y ⇔
y < 12


y + (1 − x − y) > x
x < 12
Ta thấy miền ΓA chính là ∆M N P . Khi đó
P (A) =

S∆M N P
1
m(ΓA )
=
= .
m(Γ)
S∆OAB
4
24

Huỳnh Hữu Dinh

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Nhận xét 1.3. Các tính chất của xác suất theo nghĩa hình học cũng
tương tự như tính chất của xác suất theo nghĩa cổ điển và theo nghĩa
thống kê nên ta không nêu ra ở đây. Bạn đọc tự ghi nhận và chứng minh
như một bài tập.
Đối với xác suất theo nghĩa cổ điển, nếu A ̸= ∅ thì P (A) > 0. Nhưng
đối với xác suất theo nghĩa hình học thì điều đó không chính xác. Chẳng
hạn, trong Ví dụ 1.29 nếu ta đặt biến cố B : “xạ thủ bắn trúng tâm” thì
B)
rõ ràng B ̸= ∅ nhưng P (B) = m(Γ
= m({O})
= 0.
m(Γ)
m(Γ)
Một câu hỏi đặt ra là từ đẳng thức P (A + B) = P (A) + P (B) ta có
thể suy ra A, B xung khắc với nhau không ? (Xem xét bài này theo cả
ba nghĩa của xác suất).

1.5
1.5.1

CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
Công thức cộng xác suất

Định lý 1.2. Với hai biến cố A, B ⊂ Ω, ta có

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).

(1.1)

Chứng minh. Trước hết, ta có
• A = AΩ = A(B + B) = AB + AB.
• B = BΩ = B(A + A) = BA + BA.
(
)
Do đó, P (A) = P AB + AB = P (AB) + P (AB) (vì các biến cố
AB, AB xung khắc).
(
)
Tương tự, ta được P (B) = P BA + BA = P (BA) + P (BA).
(
)
Ta suy ra P (A) + P (B) = 2P (AB) + P (BA) + P AB . Mặt khác,
)
(
P (A + B) = P AB + AB + BA + AB
(
)
= P AB + AB + AB
)
(
)
(
= P (AB) + P AB + P AB .
25