Bài giảng Xác suất Thống kê Đặng Phước Huy, Trường Đại học Đà Lạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
YZ

ĐẶNG PHƯỚC HUY

XÁC SUẤT - THỐNG KÊ
(Bài Giảng Tóm Tắt)

-- Lưu hành nội bộ -Y Đà Lạt 2008 Z


Môc lôc
PhÇn I: X¸c suÊt


PhÇn II: Thèng kª


Phần I
X¸c suÊt


Ch-ơng 1
Các khái niệm về xác suất

1.1

Phép thử ngẫu nhiên- Biến cố ngẫu nhiên

1.1.1

Phép thử ngẫu nhiên

Bên cạnh các hiện t-ợng gọi là tất định có các hiện t-ợng gọi là ngẫu nhiên. Để minh
họa cho các hiện t-ợng có tính ngẫu nhiên chúng ta xem một số ví dụ:
a. Gieo con xúc xắc, kết quả là một trong các mặt có số nút từ 1 đến 6.
b. Quan sát l-ợng khách tại một khách sạn trong một tháng cố định nào đó.
c. Đo thời gian sống của bóng đèn do một nhà máy sản xuất.
Rõ ràng ở ví dụ (a), không thể biết chắc đ-ợc mặt số nút nào sẽ xảy ra tr-ớc mỗi lần gieo.
Trong ví dụ (b) lại càng không thể đoán tr-ớc đ-ợc l-ợng khách ở tháng này trong năm là
bao nhiêu (chừng nào ngày cuối của tháng này ch-a qua). Trong ví dụ (c), ta không thể biết
giá trị về thời gian sống của bóng đèn tr-ớc mỗi lần đo.
Các hiện t-ợng trên có một đặc điểm chung là chỉ khi kết thúc hành động (gieo con xúc
xắc xong, thống kê l-ợng khách đến hết ngày cuối cùng của tháng đ-ợc quan sát, kết thúc
việc đo thời gian sống của bóng đèn) mới biết đ-ợc kết quả. Ta nói các hiện t-ợng đó là
ngẫu nhiên và hành động gieo con xúc xắc, quan sát l-ợng khách... đ-ợc gọi là phép thử
ngẫu nhiên (hay là thí nghiệm ngẫu nhiên). Tóm lại, ta quan niệm:
Phép thử ngẫu nhiên: là một phép thử mà kết cục xảy ra của nó chỉ có thể biết chắc chắn
khi phép thử kết thúc. Ta sẽ th-ờng dùng chữ E để chỉ cho một phép thử ngẫu nhiên (đôi khi
gọi ngắn gọn là phép thử).
Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của các hiện t-ợng ngẫu nhiên mang tính
ổn định (tính chất đám đông). Tính chất này thể hiện, chẳng hạn, qua ví dụ sau:
Khi gieo một đồng xu, nếu quan sát sự xuất hiện của biến cố {mặt sấp} trong từng lần
gieo thì chúng ta không thể dự đoán đ-ợc khả năng xuất hiện của biến cố này. Tuy nhiên,
3


Đặng Ph-ớc Huy

4

nếu tiến hành số lần gieo khá lớn trong những điều kiện đồng đều nhau, thì có thể xác định
tính ổn định của số lần {mặt sấp} xảy ra. T-ơng tự nh- vậy, nếu giả thiết mọi bóng đèn do
một nhà máy sản xuất là cùng một quy trình công nghệ và điều kiện môi tr-ờng (tính đồng
đều). Khi đó nếu lấy yếu tố thời gian sống của bóng đèn làm chỉ tiêu đánh giá chất l-ợng
sản phẩm sản xuất ra, chẳng hạn ta tuyên bố một bóng đèn là đạt yêu cầu khi {thời gian
sống của nó
20000 giờ}, gọi biến cố này là A. Chúng ta không thể biết đ-ợc A có xảy
ra hay không tr-ớc mỗi lần đo từng bóng đèn, nh-ng nếu tiến hành đo một số l-ợng lớn các
bóng đèn do nhà máy sản xuất thì khả năng xảy ra của biến cố A sẽ ổn định.
Nói tóm lại, lý thuyết xác suất đã mô hình hóa toán học các hiện t-ợng ngẫu nhiên
mang tính ổn định theo nghĩa đám đông nh- trên (một lời bàn khá lý thú về vấn đề này có
thể xem trong [1]).

1.1.2

Không gian biến cố của phép thử ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên: Khi thực hiện một phép thử E, có thể xảy ra các kết cục khác nhau.
Ta gọi mỗi kết cục của một phép thử ngẫu nhiên là một biến cố ngẫu nhiên (hoặc ngắn gọn
là biến cố).
Biến cố cơ bản: Một biến cố trong phép thử E gọi là cơ bản nếu nh- nó không thể phân chia
đ-ợc thành các biến cố khác (nó xảy ra không phụ thuộc vào sự xuất hiện hoặc không xuất
hiện của các biến cố khác) của phép thử.
Ví dụ 1.1.1. Phép thử E: gieo con xúc xắc. Xét các biến cố của phép thử này:
Ek = {mặt số nút k}; k = 1, 2, . . . 6,
A = {Mặt có số nút chẵn}.
Các biến cố cơ bản của phép thử là E1 , E2 , E3, E4 , E5 , E6. Biến cố A không là biến cố cơ
bản vì nó xảy ra phụ thuộc vào sự xuất hiện của một trong các biến cố hoặc E2 , hoặc E4 ,
hoặc E6 .

Không gian biến cố cơ bản: là tập hợp tất cả các biến cố cơ bản của một phép thử. Ký hiệu
là .
Ví dụ 1.1.2. Không gian biến cố cơ bản của phép thử trong Ví dụ(1.1.1) là tập {Ek }k=1,2,...6 .
Ví dụ 1.1.3. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc, không gian biến cố cơ bản là:
= {Eij | i, j = 1, 2, . . . , 6} = {(Ei , Ej ) | i, j = 1, 2, . . . , 6}
với ký hiệu Ek nh- trong Ví dụ (1.1.1). Trong tr-ờng hợp này tập có 36 biến cố.
Ví dụ 1.1.4. Trong ví dụ (b) Mục 1.1.1, không gian biến cố cơ bản là:
= {0, 1, 2, . . . , N0 }
với N0 là số nguyên d-ơng khá lớn nào đó.


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

5

Ví dụ 1.1.5. Trong ví dụ (c) Mục 1.1.1, không gian biến cố cơ bản là:
= [0, ).
Ví dụ 1.1.6. Để kiểm tra chất l-ợng một lô hàng gồm N sản phẩm, ng-ời ta dùng ph-ơng
pháp lấy mẫu ngẫu nhiên. Tiến hành lấy ngẫu nhiên k sản phẩm trong lô (k N ), số phế
phẩm ghi nhận đ-ợc trong mẫu lấy ra sẽ làm cơ sở cho việc đánh giá chất l-ợng của lô
hàng. Nh- vậy, trong tr-ờng hợp này phép thử E chính là một lần lấy ngẫu nhiên ra từ lô
hàng k sản phẩm. Một biến cố cơ bản của phép thử chính là một bộ gồm k sản phẩm sau
một lần lấy ra. Số l-ợng biến cố cơ bản của phép thử này bằng chính số lần lấy ra k sản
phẩm không kể thứ tự trong N sản phẩm, tức là bằng
CNk =

N!
k!(N k)!

Ghi chú. Dựa vào không gian biến cố cơ bản có thể định nghĩa biến cố của một phép thử E

nh- sau: Một biến cố ngẫu nhiên của phép thử E là một tập con của .
Với định nghĩa này có thể mô tả tốt hơn các biến cố của một phép thử ngẫu nhiên. Thật
vậy, nhằm minh họa ta xét phép thử gieo con xúc xắc trong Ví dụ (1.1.1):
- Không gian biến cố cơ bản là: = {E1 , E2, E3 , E4 , E5, E6 }. Vì bản thân cũng là tập
con của chính nó nên là một biến cố ngẫu nhiên của phép thử (mệnh đề t-ơng ứng cho
biến cố ngẫu nhiên này là: một trong các mặt có số nút từ 1 đến 6 xảy ra. Đây là biến cố
luôn xảy ra khi thực hiện phép thử).
- Mệnh đề Mọi mặt có số nút từ 1 đến 6 là không xảy ra, sự kiện này luôn luôn không xuất
hiện khi thực hiện phép thử. Nó thể hiện cho một biến cố không thể xảy ra và nếu xem tập
trống (ký hiệu ) cũng là tập con của một tập hợp, thì mệnh đề trên t-ơng ứng với một biến
cố chính là tập . Biến cố này gọi là biến cố trống.
- Mệnh đề Mặt có số nút chẵn xảy ra t-ơng ứng với tập con {E2 , E4, E6 } của nên nó
cũng là một biến cố của phép thử trên.

1.1.3

Quan hệ trên các biến cố

Xét phép thử E với không gian biến cố cơ bản . Ta có các khái niệm sau:
Biến cố hợp: Với E và F là hai biến cố bất kỳ của (tức là hai tập con của ), thì tập E F
cũng là một biến cố của phép thử và gọi là biến cố hợp của hai biến cố trên. Nh- vậy, E F
xảy ra khi và chỉ khi hoặc E hoặc F xảy ra.
Biến cố giao: Cũng với hai biến cố nh- trên, thì tập E F đ-ợc gọi là biến cố giao của hai
biến cố E và F. Nó xảy ra khi và chỉ khi đồng thời cả E và F cùng xảy ra.
Biến cố trống: Là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu là (xem ghi
chú mục tr-ớc).
Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta dùng cùng ký hiệu
không gian các biến cố cơ bản để chỉ cho biến cố này.

Đặng Ph-ớc Huy

6

Hai biến cố xung khắc: Với E và F là hai biến cố bất kỳ của , hai biến cố này gọi là xung
khắc nhau nếu nh- E F = . Nghĩa là, E và F không đồng thời xảy ra khi thực hiện phép
thử.
Chú ý:
+ Nếu hai biến cố E và F xung khắc ta dùng ký hiệu E + F thay cho E F (gọi là tổng
của hai biến cố xung khắc). Đôi khi, để cho tiện ta viết EF thay cho E F (và gọi là tích
của hai biến cố).
+ Các định nghĩa hợp và giao hai biến cố đ-ợc mở rộng tự nhiên cho tr-ờng hợp có nhiều
biến cố.
Hai biến cố đối lập: Với E là biến cố bất kỳ của , ta gọi E là biến cố đối lập của E nếu
nh-:
EE =
và
E + E = .
Nghĩa là, khi tiến hành phép thử, chỉ có thể E xảy ra và E không xảy ra, hoặc E xảy ra và
E không xảy ra.
Ví dụ 1.1.7. Trong ví dụ (1.1.1) Mục 1.1.2, xét hai biến cố sau:
E = { Mặt có số nút 1 hoặc 3 }= {E1, E3 }
F = { Mặt có số nút 1 hoặc 5 }= {E1, E5 }.
Khi đó biến cố
a).
E F = {E1, E3 , E5 } = E1 E3 E5
nh- vậy E F xảy ra khi và chỉ khi E1 , hoặc E3 , hoặc E5 xảy ra.
b). Nếu lấy
E = {E1, E3 , E5 }

và

F = {E1 , E2 , E3 }

thì biến cố giao
E F = {E1 , E3 } = E1 E3 .
Vậy E F xảy ra khi và chỉ khi E1 xảy ra hoặc E3 xảy ra.
c). các biến cố trống của phép thử, chẳng hạn
= Ei Ej ; i = j
= AB,

A = {Mặt số nút chẵn}; B = {Mặt số nút lẻ}.

d). Biến cố đối lập, chẳng hạn
A = {Mặt số nút chẵn}, A = B = {Mặt số nút lẻ}
C = E2 ,

C = C = {E1, E3 , E4 , E5, E6 }.


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

7

1.2

Xác suất

1.2.1

Các định nghĩa về xác suất của biến cố

Hệ biến cố đầy đủ: Xét phép thử E và không gian biến cố cơ bản của nó. Với một hệ các
tập con của là {H1 , H2 , . . . , Hn }(Hk , k = 1, 2, . . . , n), ta nói hệ này là đầy đủ nếu
nh- các biến cố trong hệ thỏa mãn các điều kiện:
Hi Hj = ;

i = j

(Tính xung khắc)

và H1 + H2 + ã ã ã + Hn =

(Tính đầy đủ).

Hệ đầy đủ này gọi là đồng khả năng nếu nh-: khi tiến hành phép thử E, mỗi biến cố Hi có
khả năng xảy ra nh- nhau.
Định nghĩa xác suất cổ điển: Giả sử {H1 , H2 , . . . , Hn } là một hệ các biến cố đầy đủ và
đồng khả năng của một phép thử E. Với A biến cố bất kỳ của phép thử (tức là A ) có
tính chất: A là biến cố hợp của m biến cố nào đó trong hệ trên (ta nói có m tr-ờng hợp
thuận lợi để A xảy ra) (m n). Khi đó, khả năng để A xảy ra đ-ợc xác định bằng một giá
trị gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A) và cho bởi:
P (A) =

số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra
m
=
.
n
số biến cố trong hệ đầy đủ

(1.2.1)

Ví dụ 1.2.1. Gieo một con xúc xắc cân đối trong Ví dụ (1.1.1) Mục 1.1.2.
-Lấy hệ đầy đủ và đồng khả năng là:
{E1 , E2, E3 , E4 , E5, E6 }.
Xét biến cố A = {Mặt số nút chẵn}. Rõ ràng:
A = E2 E4 E6 = E2 + E4 + E6

(có 3 tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra)

nên xác suất của A đ-ợc tính:
1
3
= .
6
2
-Lấy A biến cố đối lập của A, tức là A = {Mặt số nút lẻ}. Rõ ràng hai biến cố này lập
thành hệ đầy đủ và đồng khả năng {A, A}. Do đó có thể tính xác suất A từ hệ này:
P (A) =

1
P (A) = .
2
Ví dụ 1.2.2. Trong Ví dụ (1.1.3) Mục 1.1.2, khi gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối) ta
biết không gian biến cố cơ bản của phép thử là một hệ gồm 36 biến cố nh- sau:
= {Eij | i, j = 1, 2, . . . , 6} = {(Ei , Ej ) | i, j = 1, 2, . . . , 6}.
Để ý rằng cũng là một hệ các biến cố đầy đủ và đồng khả năng của phép thử. Xét biến cố
A = {Tổng số nút mặt xuất hiện của hai con xúc xắc là 7}.

Đặng Ph-ớc Huy

8
Khi đó
A = E16 + E25 + E34 + E43 + E52 + E61

(có 6 tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra)

nên

1
6
= .
36
6
Bây giờ nếu gọi Bk = {Tổng số nút mặt xuất hiện của hai con xúc xắc là k}(k = 2, 3, . . . , 12).
Hiển nhiên khi thực hiện phép thử kết quả xảy ra khi lấy tổng số nút 2 mặt xuất hiện của 2
con xúc xắc chỉ có thể là một số thuộc {2, 3, . . . , 12}, nghĩa là hệ {B2 , B3, . . . , B12} đầy đủ
(dễ dàng kiểm tra
Bi Bj = (i = j)
P (A) =

12

Bk = (là biến cố chắc chắn)).
k=2

Khi đó biến cố A = B7 (tức là trong hệ đầy đủ này có 1 tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra).
Tuy nhiên xác suất của A không thể là

1
P (A) =
11
vì các biến cố trong hệ trên không đồng khả năng xảy ra (chẳng hạn, xét B2 và B3 . Để B2
xảy ra chỉ khi nào E11 xảy ra, nh-ng để B3 xảy ra thì hoặc E12 hoặc E21 xảy ra, tức là khả
năng xảy ra của B3 không đồng đều nh- B2 . Điều này đ-ợc thể hiện từ xác suất t-ơng ứng
của chúng, vì ta có
1
2
1
P (B2 ) = 36
= P (B3 ) = 36
= 18
).
Bạn đọc thử tìm một hệ đầy đủ khác cho ví dụ này mà có tính đồng khả năng để có thể
tính P (A) thông qua đó?
Ví dụ 1.2.3. Một lô hàng có N sản phẩm, trong đó có r phế phẩm (r < N ). Lấy ngẫu nhiên
trong lô hàng n sản phẩm (n < N). Hãy tính xác suất của biến cố
A = {có k phế phẩm trong n sản phẩm đó}.
Ta xem mỗi sản phẩm đều có thể có mặt trong n sản phẩm lấy ra với khả năng nhnhau, khi đó mỗi biến cố cơ bản của phép thử chính là một bộ gồm n sản phẩm đ-ợc lấy ra
và tập hợp các biến cố cơ bản này chính là một hệ các biến cố đầy đủ và đồng khả năng với
số l-ợng các biến cố của hệ là:
CNn
(xem Ví dụ (1.1.6) Mục 1.1.2).
Biến cố A xảy ra chỉ khi trong n sản phẩm lấy ra có k phế phẩm phải đ-ợc lấy từ số
r phế phẩm (và có Crk khả năng lấy đ-ợc nh- vậy), đồng thời (n k) sản phẩm còn lại là
tốt và chúng phải đ-ợc lấy từ (N r) sản phẩm tốt của lô hàng (có CNnk
r khả năng lấy nhvậy). Do đó số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra sẽ bằng tích của hai số khả năng trên, tức
là xác suất của A cho bởi:
C k C nk

P (A) = r nN r .
CN


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

9

Ví dụ 1.2.4. Một đoàn tàu gồm 25 toa, trong đó có 6 toa chở hàng. Tại một ga nào đó ng-ời
ta muốn cắt lại một toa một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để toa đó là toa hàng?
Gọi A = {Toa cắt ra là toa hàng}. Dễ dàng thấy có 6 tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy
ra (t-ơng ứng với số toa chở hàng). Số l-ợng toa của đoàn tàu chính là số biến cố trong hệ
đầy đủ và đồng khả năng của phép thử, vậy:
P (A) =

6
.
25

Trong nhiều bài toán thực tế, các kết cục xảy ra của phép thử ngẫu nhiên không thể là
tập hữu hạn các biến cố. Chẳng hạn, phép thử gieo cây kim rơi trên một mặt bàn, vị trí điểm
gãy khi kiểm tra sức chịu lực của một thanh dằn...Đối với các tr-ờng hợp nh- vậy, công thức
xác suất (1.2.1) không thể áp dụng đ-ợc. Tuy nhiên một mở rộng của định nghĩa xác suất
trên đ-ợc xây dựng nh- sau:
Định nghĩa xác suất hình học: Giả sử phép thử E đ-ợc tiến hành và kết quả của nó là một
điểm nào đó nằm trong miền hình học S (mọi điểm trong S đều có thể là kết quả của phép
thử với khả năng xảy ra nh- nhau, không gian biến cố cơ bản của phép thử trong tr-ờng hợp
này là miền S). Gọi A là một tập con của S (nên A là một biến cố). Khi đó xác suất của A
cho bởi:
Mes(A)

số đo A
P (A) =
=
(1.2.2)
Mes(S)
số đo S
ở đây, Mes = độ dài, diện tích, thể tích...nếu nh- miền S là miền trên đ-ờng thẳng, trong
không gian 2 chiều, trong không gian 3 chiều t-ơng ứng...
Ví dụ 1.2.5. Gieo ngẫu nhiên một cây kim trên một mặt bàn S. Trên mặt bàn có đánh dấu
một chấm cố định. Tính xác suất biến cố A = {đầu mũi kim chạm trúng chấm cố định}?
Rõ ràng trong tr-ờng hợp này phải dùng công thức (1.2.2):
P (A) =

dt(A)
0
=
= 0.
dt(S)
dt(S)

Khi khảo sát một thí nghiệm ngẫu nhiên, tính qui luật về sự xuất hiện của một biến cố
(nào đó) không thể đ-ợc phát hiện ở từng thí nghiệm riêng lẻ, mà ng-ời ta phải tiến hành thí
nghiệm với số lần lặp lại (trong cùng điều kiện) khá lớn, gọi là loạt thí nghiệm (hoặc loạt
phép thử). Nói khác đi, trong thực nghiệm th-ờng ng-ời ta quan tâm đến một đại l-ợng gọi
là tần suất của một biến cố theo nghĩa sau
Tần suất: Tiến hành n lần độc lập một thí nghiệm để quan sát sự xuất hiện của một biến cố
A (trong mỗi lần thí nghiệm, A chỉ có thể xảy ra không quá một lần). Gọi f là số lần A xảy
ra trong n lần thí nghiệm đó. Tần suất của biến cố A là tỉ số:
f
.

n


Đặng Ph-ớc Huy

10

Chính tần suất này là giá trị mà trong thực nghiệm ng-ời ta có thể nhận đ-ợc và khi
quan sát với các loạt phép thử khác nhau, mỗi loạt phép thử với số lần tiến hành thí nghiệm
khá lớn, ng-ời ta nhận thấy tỉ lệ trên là ổn định (tức là nó giao động quanh một số cố định
nào đó). Số cố định này biểu thị cho khả năng xuất hiện của biến cố A và đ-ợc gọi là xác
suất của A. Nh- vậy có thể quan niệm xác suất của biến cố A nh- sau:
Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê: Xác suất của biến cố A là giá trị ổn định của
tần suất của nó khi số phép thử đ-ợc tiến hành đủ lớn.
Theo quan niệm này một biến cố trống (tức là biến cố không thể xảy ra khi tiến hành phép
thử) sẽ có xác suất 0 vì tần suất của nó luôn bằng 0. Chẳng hạn biến cố A = {Mặt có số nút 7}
trong phép thử gieo con xúc xắc thì A là biến cố trống, tần suất của A luôn bằng 0 nên xác
suất A bằng 0. Tuy nhiên một biến cố có xác suất 0 ch-a hẳn là không xảy ra khi tiến hành
phép thử. Điều này dễ hiểu vì tần suất của nó có thể chỉ là xấp xỉ 0 (khi tiến hành phép thử
với số lần khá lớn), do vậy vẫn có thể trong một lần nào đó của loạt thử này biến cố xảy ra.
Chẳng hạn, phép thử gieo cây kim trong Ví dụ (1.2.5) biến cố A có xác suất 0, nh-ng vẫn
có khả năng A xảy ra trong một lần gieo nào đó (tuy điều này khá hãn hữu).

1.2.2

Các tính chất của xác suất

Để đ-a ra các tính chất tổng quát của xác suất, ta trở lại Ví dụ (1.1.1) Mục 1.1.2 khi
gieo con xúc xắc cân đối. Không gian biến cố cơ bản là = {Ek | k = 1, 2, . . . , 6}. Có các
nhận định sau đây:

+ Với A là một biến cố bất kỳ của phép thử này: A là tập con của nên A là hợp của một
số nào đó các biến cố trong . Số tr-ờng hợp thuận lợi để A xảy ra chính bằng số các biến
cố cơ bản hợp thành A. Nếu gọi k là số này thì k không thể quá 6 và không ít hơn 0, suy ra:
0

k

6

0

k
6

6
=1
6

nên 0

P (A)

1.

+ Rõ ràng là biến cố chắc chắn và số tr-ờng hợp thuận lợi để nó xảy ra bằng 6 nên
P () =
t-ơng tự P () =

0
6

=0

6
=1
6

(vì không có tr-ờng hợp nào để xảy ra).

+ Xét hai biến cố xung khắc
A = {Ei , Ej , Ek }
(i = j = k)
B = Em
(m {1, 2, . . . , 6} {i, j, k}).
Dễ thấy
P (A + B) = P ({Ei , Ej , Ek , Em } =

3 1
4
= + = P (A) + P (B).
6
6 6

Từ trên ta thấy xác suất của một biến cố có tính chất nh- sau
Tính chất của xác suất: Với là không gian các biến cố cơ bản của một phép thử, E là
một biến cố bất kỳ của nó (E là tập con của ). Ta có:


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất
(a) 0

P (E)

11

1

(b) P () = 1, P () = 0
(c) Với E, F là hai biến cố xung khắc:
P (E + F ) = P (E) + P (F ).
Chú ý: tính chất (c) có thể đ-ợc mở rộng cho một dãy các biến cố xung khắc. Cụ thể, nếu
dãy các biến cố E1 , E2 , . . . là xung khắc từng đôi (nghĩa là: En Em = ; n = m) thì
Ek = P

P
k

Ek =
k

P (Ek ).
k

Ví dụ 1.2.6. Với A là biến cố bất kỳ của một phép thử E, ta biết A và A là đối lập nên chúng
cũng xung khắc do đó:
P (A + A) = P (A) + P (A).
Hơn nữa = A + A nên
P (A) = 1 P (A).

(1.2.3)

Ví dụ 1.2.7. Với E và F là hai biến cố bất kỳ của phép thử, ta tìm công thức cho P (E F ).
Gọi là không gian các biến cố cơ bản của phép thử thì E và F là hai tập con của . Nếu
quan niệm theo tập hợp ta có thể biểu diễn:
E F = E + (F \ E).
Để ý E và (F \ E) xung khắc nên
P (E F ) = P (E) + P (F \ E).
Hơn nữa có thể viết
F = EF + (F \ E)
và ta cũng có EF xung khắc với (F \ E) nên
P (F \ E) = P (F ) P (EF ).
Từ đó ta có công thức
P (E F ) = P (E) + P (F ) P (EF ).

(1.2.4)

Ví dụ 1.2.8. Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối, không gian các biến cố cơ bản của phép
thử này là: = {(S, S), (S, N), (N, S), (N, N )}. Gọi E = {Đồng xu thứ 1 là mặt S}, F =
{Đồng xu thứ 2 là mặt S}. Tính P (E F )?
Dễ dàng thấy
E = {(S, S), (S, N)}

và

F = {(S, S), (N, S)}.


Đặng Ph-ớc Huy

12

Từ công thức (1.2.4) ta có
P (E F ) =P (E) + P (F ) P (EF )
2 2
= + P ({(S, S)})
4 4
3
1
=1 = .
4
4
Chú ý rằng xác suất của biến cố trên cũng có thể tính trực tiếp từ
3
P (E F ) = P ({(S, S), (S, N), (N, S)}) = .
4

1.2.3

Xác suất có điền kiện- công thức nhân xác suất

Ví dụ mở đầu
Ta xét phép thử gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối. Không gian các biến cố cơ
bản của phép thử này là tập gồm 36 phần tử dạng Eij (xem Ví dụ (1.1.3) Mục 1.1.2). Gọi
E = {Con xúc xắc 1 có số nút
2}, F = {Tổng số nút trên hai con xúc xắc là 7}. Khi đó
E ={E11 , E12, E13, E14 , E15, E16,
E21, E22, E23 , E24, E25, E26 } (gồm 12 phần tử)
F ={E16 , E25, E34, E43 , E52, E61} (gồm 6 phần tử)
EF ={E16 , E25}.
Theo công thức xác suất cổ điển ta có
P (EF ) =

2
.
36

Nếu tính liên quan đến xác suất của biến cố E thì
P (EF ) =

12
2
2
ì
= P (E) ì .
36 12
12

()

Để ý rằng nếu đặt điều kiện biến cố E là đã xảy ra, thì với điều kiện này biến cố F xảy ra
chỉ khi EF xảy ra. Nói khác đi, nếu biết E đã xảy ra thì số tr-ờng hợp thuận lợi để F xảy
ra trong điều kiện này chỉ còn bằng số biến cố cơ bản trong tập EF . Ta gọi xác suất của
biến cố F (xảy ra) biết rằng biến cố E đã xảy ra là xác suất có điều kiện của F cho biết E,
2
ký hiệu là P (F | E) và xác suất này bằng 12
. Từ (*) ta có công thức
P (EF ) = P (E)P (F | E).
Từ đó ta có thể định nghĩa về xác suất có điều kiện nh- sau


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

13

Định nghĩa xác suất có điều kiện: Cho E và F là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử.
Xác suất có điều kiện của biến cố F biết rằng E đã xảy ra (đọc là xác suất của F khi biết
E) ký hiệu P (F | E) đ-ợc cho bởi
P (F | E) =

P (EF )
P (E)

(1.2.5)

để (1.2.5) có nghĩa phải có P (E) > 0.
Ví dụ 1.2.9. Một túi có chứa 10 tấm thẻ đ-ợc đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên từ túi ra
một tấm. Hãy tính xác suất để lấy ra đ-ợc tấm số 10, biết rằng tấm lấy ra có số không bé
hơn 5.
Gọi E = { tấm lấy ra có số
P(F/E).

5 } và F = { lấy ra tấm số 10 }. Xác suất cần tính là

Vì EF xảy ra khi và chỉ khi tấm lấy ra đồng thời
đó theo công thức (1.2.5) ta có
P (F/E) =

1
10
6
10

5 và có số là 10, tức là EF = F. Từ

1
= .
6

Công thức nhân xác suất: Từ công thức xác suất điều kiện suy ra
P (EF ) = P (E)P (F | E)
và gọi là công thức nhân xác suất.
Tổng quát ta có công thức nhân xác suất trên n biến cố nh- sau:
Giả sử A1, A2 , . . . , An là n biến cố trong một phép thử E. Khi đó
P (A1A2 ã ã ã An ) = P (A1 )P (A2 | A1)P (A3 | A1A2) ã ã ã P (An | A1A2 ã ã ã An1 ).

(1.2.6)

Ví dụ 1.2.10. Một hộp có 7 bi đen và 5 bi trắng. Lấy hú họa liên tiếp từ hộp ra 2 bi (không
hoàn lại). Tính xác suất để 2 bi lấy ra đều đen?
Gọi E và F theo thứ tự là biến cố bi lấy ra lần thứ nhất và thứ hai là đen. Vì lần thứ
6
nhất lấy ra bi đen nên trong hộp còn 6 bi đen và 5 bi trắng, do đó P (F | E) = 11
, còn xác
7
suất P (E) = 12 . Vậy xác suất cần tìm là P(EF)
P (EF ) =P (E).P (F/E)
42
7 6
.
= . =
12 11

132
Ví dụ 1.2.11. Có 3 lọ giống nhau đựng các thuốc loại a, b, c nh-ng không có nhãn. Một
ng-ời ghi hú họa nhãn thuốc cho mỗi lọ bằng các chữ a, b, c (nhãn trên mỗi lọ đ-ợc ghi
khác nhau). Tính xác suất sao cho không có nhãn nào đúng với loại thuốc có trong lọ của
nó?


Đặng Ph-ớc Huy

14

Gọi A, B, C t-ơng ứng là các biến cố lọ ghi nhãn a, b, c đúng với loại thuốc có trong
nó. Tr-ớc tiên ta tính xác suất của biến cố có ít nhất một lọ đ-ợc ghi đúng, xác suất này là
P (A B C). Ta có
P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC)
(công thức trên xem nh- bài tập).
Tính các xác suất trong tổng trên nh- sau:
Dễ thấy: P (A) = P (B) = P (C) =

1
3

P (AB) = P (A)P (B | A), xác suất B biết rằng A đã xảy ra, nghĩa là sau khi có
một lọ ghi đúng thì chỉ còn 2 lọ nên khả năng ghi đúng lọ tiếp theo chỉ còn 1, vậy
P (B | A) = 12 , tức là P (AB) = (1/3)(1/2) = 1/6 . T-ơng tự cho các xác suất của
giao hai biến cố khác cũng bằng 1/6
Để tính P(ABC) ta viết
P (ABC) =P {(AB)C} = P (AB)P (C | AB)
1
= P (C | AB)

6
tuy nhiên khi AB đã xảy ra, tức là có 2 lọ đã ghi đúng nhãn, nên lọ còn lại luôn đúng nhãn,
nghĩa là P (C | AB) = 1, vì thế
1
P (ABC) =
6
do đó
P (A B C) =1

1 1
+
2 6

2
= .
3
Vậy xác suất để không có lọ nào ghi đúng nhãn là 1 P (A B C) = 1

1.2.4

2
3

= 13 .

Các biến cố độc lập

Hai biến cố E và F (của một phép thử) đ-ợc gọi là độc lập nếu nhP (EF ) = P (E)P (F ).
Chú thích: từ công thức (1.2.5), dễ thấy E và F độc lập nếu P (E | F ) = P (E) (t-ơng tự
cho P (F | E) = P (F )). Nghĩa là, E và F độc lập nếu việc xảy ra của biến cố E không ảnh

h-ởng gì đến biến cố F có xảy ra hay không. Tr-ờng hợp hai biến cố E và F không độc lập
ta nói chúng là phụ thuộc.


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

15

Ví dụ 1.2.12. Trong ví dụ (1.1.3) mục (1.1.2), khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, nếu gọi
E1 = {Tổng số nút trên 2 mặt xảy ra là 6}
F = {số nút con xúc xắc một xảy ra là 4}.
Khi đó
P (E1 F ) = P {(E4 , E2)} =

1
36

trong khi
5
5 6
. =
.
36 36
216
Vậy E1 và F không độc lập. Điều này có thể lý giải nếu chúng ta để ý khi con xúc xắc
một xảy ra mặt có số nút bé hơn 6, thì cơ hội cho biến cố tổng hai mặt bằng 6 xảy ra là
có hy vọng. Nói cách khác, nếu con xúc xắc một xảy ra mặt số nút 6 thì không còn khả
năng nào để biến cố E1 sẽ xảy ra. Nh- vậy cơ hội xảy ra sự kiện tổng hai mặt bằng 6 phụ
thuộc vào mặt xảy ra của con xúc xắc thứ nhất, nên E1 và F không thể độc lập. Bây giờ gọi
E2 = {tổng số nút trên mặt xảy ra của hai con là 7}. Ta có

P (E1 )P (F ) =

P (E2 F ) = P {(E4 , E3 )} =

1
.
36

Trong khi
1
6
vậy E2 và F độc lập. (Có thể lý giải tại sao hai
phép thử?)
P (E2 )P (F ) =

1
1
=
6
36
biến cố trên là độc lập dựa vào bản chất
ã

Chú ý: Định nghĩa về tính độc lập có thể mở rộng cho số biến cố lớn hơn hai. Cụ thể: bộ các
biến cố E1 , E2 , . . . , En trong một phép thử đ-ợc gọi là độc lập nhau (độc lập trong toàn bộ)
nếu nh- mọi bộ gồm k biến cố bất kỳ E1 , E2 , . . . , Ek lấy từ n biến cố trên (k n), thỏa
P (E1 E2 ã ã ã Ek ) = P (E1 )P (E2 ) ã ã ã P (Ek ).
Ví dụ 1.2.13. Một hộp có 4 viên bi đ-ợc đánh số từ 1 đến 4. Lấy hú họa từ hộp ra một bi.
Đặt E = {1, 2}, F = {1, 3}, G = {1, 4}. Khi đó dễ thấy
P (EF ) = P (E)P (F ) =

1
4

1
4
1
P (F G) = P (F )P (G) =
4

P (EG) = P (E)P (G) =

tuy nhiên
1
= P (EF G) = P (E)P (F )P (G).
4
Từ đó, mặc dù E, F, G độc lập từng đôi nh-ng chúng không độc lập toàn bộ.


Đặng Ph-ớc Huy

16

1.2.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Công thức xác suất đầy đủ
Tính xác suất qua hệ đầy đủ: Cho hai biến cố E và F của một phép thử nào đó. Chúng
ta có thể biểu diễn E nh- sau:
E = EF EF .
Chú ý rằng hai biến cố hợp thành biến cố E ở trên là xung khắc nên ta có
P (E) =P (EF ) + P (EF )

=P (E | F )P (F ) + P (E | F )P (F )

(do công thức(1.2.6))

từ công thức (1.2.3) suy ra
P (E) = P (E | F )P (F ) + P (E | F )(1 P (F )).

(1.2.7)

Công thức (1.2.7) có thể phát biểu là: xác suất của biến cố E là trung bình có trọng số giữa
xác suất có điều kiện của E cho biết F và xác suất có điều kiện của E cho biết F , với trọng
số của mỗi xác suất có điều kiện này chính là xác suất để điều kiện t-ơng ứng của nó xảy
ra. Công thức này còn gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Ví dụ 1.2.14. Có hai hộp, hộp I gồm 2 bi trắng và 7 bi đen, hộp II gồm 5 bi trắng và 6 bi
đen. Ng-ời ta gieo một đồng xu cân đối, sau đó lấy hú họa một bi từ hộp I hoặc II phụ thuộc
vào việc mặt S hay N xảy ra. Biết rằng bi lấy ra là trắng. Tính xác suất để tr-ớc đó mặt S
xảy ra?
Gọi W là biến cố bi lấy ra màu trắng, H là biến cố mặt S xảy ra. Xác suất cần tính là
P (H | W ) đ-ợc tính nh- sau:
P (W | H)P (H)
P (HW )
=
PW
P (W )
P (W | H)P (H)
=
P (W | H)P (H) + P (W | H)P (H )
2 1
ã
22

= 2 1 9 25 1 = .
67
ã + 11 ã 2
9 2

P (H | W ) =

(do (1.2.7))

Ví dụ 1.2.15. Để trả lời một câu hỏi dạng trắc nghiệm nhiều ph-ơng án lựa chọn (MCQMultiple choice query) một sinh viên hoặc biết câu trả lời hoặc đoán hú họa. Gọi p là xác
suất mà anh ta biết câu trả lời và (1-p) là xác suất anh ta đoán hú họa. Giả sử rằng xác
suất sinh viên đoán hú họa đúng câu trả lời là 1/m, với m là số khả năng lựa chọn của câu
hỏi. Một sinh viên trả lời một câu hỏi, biết rằng anh ta trả lời đúng. Tính xác suất sinh viên
đó biết câu trả lời đối với câu hỏi này?
Đặt C và K t-ơng ứng là biến cố sinh viên trả lời câu hỏi đúng và biến cố anh ta thật


Ch-ơng 1. Các khái niệm về xác suất

17

sự biết câu trả lời. Xác suất cần tính là P (K | C).
P (C | K)P (K)
P (KC)
=
P (C)
P (C | K)P (K) + P (C | K)P (K)
p
=
p + (1/m)(1 p)

mp
.
=
1 + (m 1)p

P (K | C) =

Chẳng hạn, nếu m = 5, p = 1/2 thì xác suất sinh viên biết câu trả lời đối với một câu hỏi
với điều kiện anh ta trả lời đúng là: 5/6.
Ví dụ 1.2.16. Một ph-ơng pháp xét nghiệm máu, hiệu lực phát hiện đúng ng-ời mắc bệnh
nh- sau: xác suất kết luận có d-ơng tính đối với ng-ời có bệnh là 95 phần trăm, xác suất
kết luận có d-ơng tính đối với ng-ời khỏe mạnh là 1 phần trăm (tức là, nếu một ng-ời
khỏe mạnh đ-ợc xét nghiệm thì với xác suất 0,01 kết quả xét nghiệm theo ph-ơng pháp này
sẽ suy rằng anh ta là có bệnh). Biết rằng tỉ lệ ng-ời mắc bệnh là 0,5 phần trăm. Một ng-ời
đ-ợc kiểm tra, kết quả xét nghiệm ng-ời đó là d-ơng tính. Tính xác suất ng-ời đó thật sự
có bệnh?
Gọi E là biến cố kết quả xét nghiệm một ng-ời nào đó là d-ơng tính, D là biến cố
gặp ng-ời có bệnh thật sự. Xác suất cần tính là P (D | E).
P (DE)
P (E | D)P (D)
=
P (E)
P (E | D)P (D) + P (E | D)P (D)
(0, 95)(0, 005)
=
(0, 95)(0, 005) + (0, 01)(0, 995)
95
0, 323.
=
294

P (D | E) =

Chú ý: Công thức (1.2.7) có thể phát triển tổng quát hơn. Giả sử F1 , F2, . . . , Fn là một hệ
đầy đủ các biến cố (xem Mục 1.2), với E là biến cố bất kỳ (trong cùng phép thử với hệ các
biến cố trên) ta có:
n

P (E) =

P (E | Fi )P (Fi ).

(1.2.8)

i=1

(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh công thức trên khi phân tích biến cố E nh- sau)
E = (EF1) (EF2) . . . (EFn )
là hợp của n biến cố xung khắc, phần còn lại đ-ợc suy ra t-ơng tự cách làm trong chứng
minh công thức (1.2.7). Về ý nghĩa công thức này hoàn toàn giống công thức (1.2.7), P(E)
là trung bình có trọng số của tập n điểm {P (E | Fi)} t-ơng ứng tập trọng số {P (Fi)}(cũng
cần để ý rằng tổng các trọng số này bằng 1).
Công thức Bayes


Đặng Ph-ớc Huy

18

Cũng từ chú ý trên, nếu biết biến cố E đã xảy ra, ng-ời ta quan tâm khả năng để một

trong số các biến cố trong hệ đầy đủ là có thể xảy ra. Từ công thức (1.2.8) và định nghĩa
xác suất có điều kiện ta có
P (EFk )
P (E)
P (E | Fk )P (Fk )
;
= n
i=1 P (E | Fi )P (Fi )

P (Fk | E) =

k = 1, 2, . . . , n

(1.2.9)

công thức (1.2.9) đ-ợc gọi là công thức Bayes. (Các ví dụ trên là ứng dụng của công thức
này).


Bài tập ch-ơng 1

19

Bài tập ch-ơng 1
1. Một hộp có 3 banh: 1 đỏ, 1 xanh, 1 trắng. Lấy hú họa một banh từ hộp sau đó trả
trở lại hộp và lấy tiếp ngẫu nhiên từ hộp ra một banh lần thứ hai. Không gian biến cố
cơ bản của phép thử này là gì? Biết rằng mọi banh trong hộp đều có khả năng rút nhnhau. Hãy tính xác suất của các biến cố cơ bản của phép thử.
2. Nh- Bài tập 1 nh-ng sau mỗi lần lấy banh thứ nhất ta không trả trở lại hộp.
3. Gieo một đồng xu tới khi thấy mặt S xảy ra hai lần thì ngừng. Không gian biến cố cơ
bản của phép thử này là gì? Giả sử đồng xu cân đối, tính xác suất để phép thử ngừng

ở lần thứ t-.
4. Cho E, F, G là các biến cố của một phép thử. Hãy tìm biểu thức cho các biến cố sau
(a) Chỉ có F xảy ra trong ba biến cố trên.
(b) Cả E và F xảy ra nh-ng G không xảy ra.
(c) Có ít nhất một biến cố xảy ra.
(d) Có ít nhất hai biến cố xảy ra.
(e) Cả ba biến cố điều xảy ra.
(f) Không có biến cố nào xảy ra.
(g) Có nhiều nhất một biến cố xảy ra.
(h) Có nhiều nhất hai biến cố xảy ra.
5. Nếu P (E) = 0, 9 và P (F ) = 0, 8, chứng tỏ rằng P (EF )
minh rằng
P (EF ) P (E) + P (F ) 1.

0, 7. Tổng quát chứng

6. Ta nói biến cố E là kéo theo biến cố F nếu nh- E xảy ra thì F cũng xảy ra và ký hiệu
E F (nếu quan niệm nh- tập hợp thì một điểm thuộc E thì thuộc F ). Chứng tỏ rằng
nếu E F thì
P (F ) P (E).
7. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số nút hai mặt xuất hiện là k (k =
2, 3, . . . , 12)?
8. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tìm xác suất sao cho:
(a) Tổng số nút ở mặt trên hai con xúc xắc bằng 8.
(b) Hiệu số nút ở mặt trên hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
(c) Số nút ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau.


Đặng Ph-ớc Huy

20

9. Một lô hàng gồm N sản phẩm. Để quyết định có nhận lô hàng hay không ng-ời ta lấy
ngẫu nhiên từ lô ra n sản phẩm (n N) và kiểm tra: nếu số sản phẩm xấu trong mẫu
lấy ra kiểm tra bé hơn m thì ng-ời ta nhận lô hàng. Tính xác xuất lô hàng đ-ợc nhận
biết rằng số sản phẩm xấu trong lô hàng là k.
10. Dùng phép chứng minh quy nạp để chứng minh công thức xác suất sau
P (E1 E2 ã ã ã En ) = P (E1 )P (E2 | E1)P (E3 | E1 E2 ) ã ã ã P (En | E1E2 ã ã ã En1 ).
11. Một lô hàng gồm 150 sản phẩm, trong đó có 6 phần trăm phế phẩm. Ng-ời ta dùng
ph-ơng pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và quy -ớc: kiểm tra lần l-ợt 6 sản phẩm,
nếu có ít nhất một trong 6 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng. Tìm xác suất
chấp nhận lô hàng.
12. Các nhân viên của một phòng thí nghiệm đều có mỗi ng-ời một số thẻ khác nhau để
trong một hộp. Phòng thí nghiệm có 15 nhân viên nam và 6 nữ. Lấy lần l-ợt từ hộp ra
3 thẻ. Tìm xác suất để các số thẻ lấy ra đều là số thẻ ứng với nhân viên nam.
13. Cho ba hộp mỗi hộp đều có 5 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy hú họa một bi từ hộp một và bỏ
vào hộp thứ hai, sau đó lấy hú họa một bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp ba, cuối cùng lấy
từ hộp ba ra một bi. Tính xác suất đó là bi trắng.
14. Một nhà máy sản xuất bút máy có 90 phần trăm sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
Trong quá trình kiểm nghiệm, xác suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ
thuật là 0,95 và xác suất để chấp nhận một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn là 0,08. Tìm
xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm đ-ợc chấp nhận.
15. Tìm xác suất sao cho khi rút hú họa 13 con bài từ một cổ bài tú lơ khơ 52 con thì đ-ợc
2 con bài màu đỏ. Hãy so sánh xác suất đó với xác suất t-ơng ứng của biến cố có đúng
hai lần mặt S xuất hiện trong 13 lần gieo độc lập một đồng xu cân đối.
16. Có hai hộp, hộp I gồm 10 bi trong đó có 8 bi trắng và hộp II gồm 20 bi trong đó có
4 bi trắng. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một bi, sau đó trong hai bi thu đ-ợc lại rút hú
họa một bi. Tính xác suất để bi đó là trắng.
17. Có 5 hộp kim trong đó có 3 hộp loại I, mỗi hộp chứa 9 kim tốt và 1 kim xấu. Hai hộp
loại II, mỗi hộp có 4 kim tốt và 2 kim xấu. Lấy hú họa một hộp và từ đó rút ra một

kim. Tìm xác suất kim rút ra là kim xấu. Thấy kim rút ra là kim xấu, khả năng kim
này thuộc hộp loại nào nhiều nhất?
18. Bắn ba viên đạn vào cùng một bia. Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, thứ hai và
thứ ba t-ơng ứng là 0,4; 0,5; 0,7.
(a) Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có đúng một viên trúng đích.
(b) Tìm xác suất để có ít nhất một viên trúng đích.
19. Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp. Ai gieo đ-ợc mặt sấp đầu tiên sẽ thắng
cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé. Biết rằng đồng tiền là cân đối.


Bài tập ch-ơng 1

21

20. Tiến hành ba phép thử độc lập. Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử là
p = 0, 1. Xác suất xuất hiện biến cố B tùy thuộc vào số lần xuất hiện của A. Nếu A
xuất hiện k lần (k = 0, 1, 2, 3), thì xác suất xuất hiện biến cố B t-ơng ứng là 0, k. Tìm
số (chỉ số lần xuất hiện biến cố A) có khả năng nhất, nếu giả sử biến cố B đã xuất hiện.


Ch-ơng 2
Biến ngẫu nhiên

2.1

Biến ngẫu nhiên

Trong các vấn đề thực tiễn khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên nào đó, điều chúng
ta th-ờng quan tâm không phải chính các kết quả trực tiếp xảy ra từ phép thử mà là sự tác
động trên các kết quả của phép thử thông qua một quy luật xác định nào đó. Chẳng hạn khi

gieo hai con xúc xắc, ta qua tâm sự kiện tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của chúng, đó
là quy luật xác định sự t-ơng ứng của mỗi biến cố thật sự (biến cố cơ bản) của phép thử với
duy nhất một số thực, ví dụ tổng số nút trên hai mặt xuất hiện bằng 4, nghĩa là các biến
cố E13, E22 , E31(xem ký hiệu Mục 1.1.2 Ch-ơng 1) của phép thử t-ơng ứng với số thực là 4.
Nói cách khác, với sự kiện tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của hai con xúc xắc, tức là ta
quan tâm đến khả năng xảy ra của các số 2, 3, . . . , 12.
Do đó, có thể quan niệm một hàm có giá trị thực xác định trên không gian biến cố cơ
bản của phép thử đ-ợc gọi là một biến ngẫu nhiên, và vì thế có thể xét xác suất để biến ngẫu
nhiên này nhận giá trị nào đó. Các ví dụ:
Ví dụ 2.1.1. Gọi X là biến ngẫu nhiên xác định tổng số nút trên hai mặt xuất hiện của hai
con xúc xắc trong phép thử trên. Khi đó X nhận giá trị nguyên d-ơng từ 2 đến 12. Ta có thể
tính các xác suất:
P {X = 2} =P {E11 } =

1
36

P {X = 3} =P {E12 , E21} =

2
36

P {X = 4} =P {E13 , E22, E31} =

3
36

P {X = 5} =P {E14 , E23, E32, E41} =
22

4
36


Ch-ơng 2: Biến ngẫu nhiên

23

P {X = 6} =P {E15, E24 , E33, E42, E51 } =

5
36

P {X = 7} =P {E16, E25 , E34, E43, E52 , E61} =
P {X = 8} =P {E26, E35 , E44, E53, E62 } =
P {X = 9} =P {E36, E45 , E54, E63} =

P {X = 12} =P {E66} =

(2.1.1)

5
36

4
36

3
36

P {X = 10} =P {E46, E55 , E64} =
P {X = 11} =P {E56, E65 } =

6
36

2
36

1
.
36

Từ ph-ơng trình (2.1.1) có thể thấy các biến cố {X = k}(k = 2, 3, . . . , 12) là xung khắc,
biến ngẫu nhiên X có tính chất: X nhận giá trị k (k=2,3, . . . , 12) mỗi giá trị với xác suất
t-ơng ứng xác định bởi (2.1.1) và tổng các xác suất này bằng
12

1=P

12

X=k
k=2

=

P X=k .
k=2

Ví dụ 2.1.2. Gieo hai đồng xu (cân đối). Gọi Y là số lần mặt S xảy ra. Khi đó Y là biến
ngẫu nhiên nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất t-ơng ứng
P {Y = 0} =P {(N, N )} =

1
4

P {Y = 1} =P {(S, N), (N, S)} =
P {Y = 2} =P {(S, S)} =

2
4

1
4

dễ thấy tổng các xác suất trên bằng 1.
Ví dụ 2.1.3. Giả sử rằng xác suất xảy ra mặt S của một đồng xu không cân đối là p. Tiến
hành gieo đồng xu cho tới khi mặt S xuất hiện. Gọi N là số lần gieo này, giả thiết các lần
gieo là độc lập (với cùng điều kiện nh- nhau trong các lần gieo và kết quả lần gieo này không
ảnh h-ởng bởi lần gieo tr-ớc đó). Khi đó N là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên
d-ơng 1, 2, 3, . . . , với các xác suất t-ơng ứng
P {N = 1} =P {S} = p
P {N = 2} =P {(N, S)} = (1 p)p
P {N = 3} =P {(N, N, S)} = (1 p)2 p
..
.
P {N = n} =P {(N, N, . . . , N , S)} = (1 p)n1 p,
n1

(n

1).