Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế Đoàn Hồng Chương

XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ
Đoàn Hồng Chương
1
1
Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Chương 1
NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1.1 Qui tắc cộng
Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A
1
,A
2
,A
k
và mỗi
phương án có n
i
(i =1, 2, ,k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công
việc là
n = n
1
+ n
2
+ + n
k
. (1.1)
Ví dụ 1.1. Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40.Cỡ39 có hai màu đen
và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn
mua giày? (Đáp số: n =2+3=5).
Trang 1
1.2 Qui tắc nhân

Nếu một công việc bao gồm k giai đoạn và mỗi giai đoạn có n
i
(i =1, 2, , k)
cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là
n = n
1
.n
2
n
k
(1.2)
Ví dụ 1.2. Trong một trò chơi, mỗi thí sinh phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm có sẵn
của ban tổ chức, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu phương
án trả lời? (Đáp số: n =4
5
= 1024).
1.3 Hoán vị
Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách sắp xếp n phần
tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị.
Trang 2
Tính chất 1.1. Số hoán vị của n phần tử là
P
n
= n! (1.3)
• Qui ước: 0! = 1.
Ví dụ 1.3. Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?
Giải. Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách
xếp là P
4
=4!=24. 

Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết
rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau?
Giải. Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo
2 bước sau đây:
• Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người. Khi đó số cách xếp là số
hoán vị của 4 phần tử
P
4
=4!=24.
Trang 3
• Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của
2 phần tử
P
2
=2!=2.
Vậy số cách xếp là n = P
4
.P
2
=48.
Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường
hợp trên. Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách
xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau
n = P
5
− 48 = 5! − 48 = 72.
1.4 Chỉnh hợp
Định nghĩa 1.2. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách xếp k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp
chập k của n.

Tính chất 1.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
A
k
n
=
n!
(n −k)!
. (1.4)
Trang 4
Ví dụ 1.5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
3 chữ số đôi một khác nhau?
Giải. Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù. Gọi Ω là tập hợp các
số gồm 3 chữ số
abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là
tập hợp các số thỏa đề bài. Khi đó
A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các
số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0. Mỗi phần tử của Ω là một
cách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của
Ω là n(Ω) = A
3
6
. Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần
tử của
A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7}. Số phần
tử của
A là n(Ω) = A
2
5
. Khi đó số phần tử của A là
n(A)=A

3
6
− A
2
5
= 100.
Trang 5
1.5 Tổ hợp
Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách chọn k phần tử
(1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n.
Tính chất 1.3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là
C
k
n
=
n!
k!(n −k)!
. (1.5)
Tính chất 1.4.
C
k
n
= C
n−k
n
. (1.6)
C
k
n
+ C

k+1
n
= C
k+1
n+1
. (1.7)
Ví dụ 1.6. Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần lập ra một đội
văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách thực
hiện việc này? (Đáp số: n = C
5
30
.C
5
20
).
Ví dụ 1.7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4
chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần?
Trang 6
Giải. Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng
gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp
{1, 2, 3, 6, 7}.
   
Như vậy, bài toán có thể chia thành 2 bước như sau:
• B1: Chọn 2 ô trong4ôđểxếpchữsố8.Sốcách chọn sẽ là C
2
4
.
• B2: Chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Số cách chọn là A
2
5

.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C
2
4
.A
2
5
= 120. 
1.6 Tổ hợp lặp
Định nghĩa 1.4. Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm k phần tử
không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho.
Chú ý:cóthểk<nhoặc k = n hoặc k>n.
Ví dụ 1.8. Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a
1
,a
2
,a
3
. Một khách hàng muốn mua
2 sản phẩm của cửa hàng. Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có
Trang 7
thể mua 2 sản phẩm a
1
, hoặc 2 sản phẩm a
2
hoặc 1 sản phẩm a
1
và 1 sản phẩm a
3
.

Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử.
Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán:
a
1
a
1
,a
2
a
2
,a
3
a
3
,a
1
a
2
,a
1
a
3
,a
2
a
3
.
Tính chất 1.5. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là

C

k
n
= C
k
n+k−1
. (1.8)
Ví dụ 1.9. Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6
chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6).
Giải. Vì khách hàng chọn 6
chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một
màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4
. Số cách chọn là

C
6
4
= C
6
4+6−1
= C
6
9
=84.
Ví dụ 1.10. Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau. Nam muốn xếp các viên
bi này vào 5 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n =

C
8
5
= C

8
13
= 1287)
Trang 8
BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Trang 9
Chương 2
XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
§1. Phép thử và biến cố
1.1 Phép thử và biến cố
Định nghĩa 1.1. Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình thực hiện một nhóm
các điều kiện để quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được.
Định nghĩa 1.2. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không
gian mẫu, kí hiệu Ω.
Ví dụ 1.1. Xét phép thử tung hai đồng xu, nếu xét kết quả xuất hiện là mặt "sấp"
S hay "ngửa" N thì không gian mẫu sẽ là
Ω={SS,SN,NS,NN}.
Quy ước: "ngửa" là mặt hiện giá trị của đồng xu và "sấp" là phía ngược lại.
Ví dụ 1.2. Trong ví dụ (1.1), nếu xét kết quả là tổng số mặt sấp S thì không gian
mẫu sẽ là
Ω={0; 1; 2}.
Trang 10
Ví dụ 1.3. Xét phép thử tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt sấp S. Không
gian mẫu của phép thử này sẽ là
Ω={1; 2; 3; 4; }.
Định nghĩa 1.3. Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu. Các biến cố
thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C,
Định nghĩa 1.4. Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp nếu A chỉ chứa một phần tử của
không gian mẫu Ω.
Định nghĩa 1.5. Biến cố chắc chắn là Ω; Biến cố không thể là ∅.

Ví dụ 1.4. Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1). Khi đó
• Biến cố "có ít nhất một mặt S" là A = {SS,SN,NS}.
• Các biến cố sơ cấp là A
1
= {SS},A
2
= {SN},A
3
= {NS},A
4
= {NN}.
• Biến cố Ω={SS,SN,NS,NN} là biến cố chắc chắn.
• Biến cố "có 3 mặt sấp" là biến cố không thể.
Trang 11
1.2 Quan hệ giữa các biến cố
1. Biến cố giao
Định nghĩa 1.6. Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∩B hoặc A.B, là biến
cố "A và B đồng thời xảy ra".
Ví dụ 1.5. Xét phép thử tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt sấp
ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai". Khi đó
A ∩B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu".
Ví dụ 1.6. Một lớp có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh văn
hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn.
Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn. (Đáp số: n =5).
2. Biến cố hợp
Định nghĩa 1.7. Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố "có ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra".
Trường hợp A ∩ B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.
Trang 12
Ví dụ 1.7. Xét phép thử tung ba đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai

mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "cả 3 mặt đều sấp". Khi đó A ∪B là biến
cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu".
3. Biến cố kéo theo
Định nghĩa 1.8. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, nếu A ⊂ B.
4. Biến cố xung khắc
Định nghĩa 1.9. Biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời
xảy ra trong một phép thử, nghĩa là A ∩B = ∅.
Trang 13
Ví dụ 1.8. Xét phép thử trong ví dụ (1.7). Biến cố A ∩ B = ∅ nên A và B là hai
biến cố xung khắc
Ví dụ 1.9. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối đồng chất. Các biến cố nào
sau đây là xung khắc với nhau?
A: "xuất hiện mặt chẵn".
B: "xuất hiện mặt nhị".
C: "xuất hiện mặt lẻ".
D: "xuất hiện mặt nhất hoặc tam".
5. Biến cố bù
Định nghĩa 1.10. Biến cố bù của biến cố A, kí hiệu
A hoặc A
c
, là biến cố "A
không xảy ra".
Ví dụ 1.10. Xét phép thử tung một đồng xu 2 lần và A là biến cố "mặt sấp S xuất
hiện ít nhất một lần". Khi đó biến cố bù
A là "mặt sấp không xuất hiện".
Ví dụ 1.11. Bắn lần lượt ba viên đạn vào một bia. Gọi A
i
là biến cố "viên đạn thứ
i trúng bia" (i =1, 2, 3). Khi đó biến cố
1. "có đúng một viên đạn trúng bia" là A = A

1
.A
2
.A
3
∪ A
1
.A
2
.A
3
∪ A
1
.A
2
.A
3
.
Trang 14
2. "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A
1
A
2
A
3
∪ A
1
A
2
A

3
∪ A
1
A
2
A
3
.
3. "có 3 viên đạn trúng bia" là C = A
1
A
2
A
3
.
4. "không có viên đạn nào trúng bia" là D =
A
1
.A
2
.A
3
.
6. Tính chất
Tính chất 1.6. Giả sử A, B, C là các biến cố trong không gian mẫu Ω. Khi đó ta
có các tính chất sau:
1. Tính chất giao hoán A.B = B.A và A ∪B = B ∪ A.
2. Tính chất kết hợp (A.B).C = A.(B.C) và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
3. Luật De-Morgan
a)

A ∪B = A.B.
b)
A.B = A + B.
c)
A
1
∪ A
2
∪ ∪ A
n
= A
1
.A
2
A
n
.
d)
A
1
.A
2
A
n
= A
1
∪ A
2
∪ A
n

.
Trang 15
4. A + A =Ωvà A.A = ∅.
Ví dụ 1.12. Cho A, B là các biến cố. Chứng minh rằng A ∪ B = A + B.
A.
Giải.TacóB.
A ⊂ B,dođóvớimỗix ∈ A + B.A, suy ra x ∈ A hoặc x ∈ B.
Vậy A + B.
A ⊂ A ∪ B. Ngược lại, nếu x ∈ A ∪ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B\A.
Do đó x ∈ A + B.
A. 
Trang 16
§2. Xác suất và công thức tính
Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít
khi) của một biến cố. Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất
của biến cố A.
2.1 Định nghĩa xác suất
Định nghĩa 2.1. Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử gồm có n(Ω) biến cố
sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp. Khi đó xác suất của
biến cố A là
P (A)=
n(A)
n(Ω)
. (2.1)
Ví dụ 2.1. Xét phép thử tung hai đồng xu cân đối, đồng chất. A là biến cố "có
đúng một mặt sấp S", nghĩa là
A = {SN,NS}.
Khi đó xác suất của biến cố A là
P (A)=
n(A)

n(Ω)
=
2
4
=
1
2
.
Trang 17
Ví dụ 2.2. Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên
5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt.
Giải. Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt". Không gian mẫu của bài toán
trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm. Khi đó
n(Ω) = C
5
50
. Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47
sản phẩm tốt. Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A)=C
5
47
. Vậy xác suất chọn
được 5 sản phẩm tốt là P (A)=
C
5
47
C
5
50
=
1419

1960
. 
Ví dụ 2.3. Một nhóm học sinh gồm 3 nam và 4 nữ xếp thành một hàng dài. Hãy
tính xác suất để 3 bạn nam
a) Đứng cạnh nhau.
b) Không đứng cạnh nhau.
c) Không có ai đứng cạnh nhau.
Giải. Nếu xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ một cách tùy ý thì mỗi cách xếp là
một hoán vị của 7 người. Vậy n(Ω) = 7! cách xếp.
Trang 18
a) Gọi A là biến cố "3 bạn nam đứng cạnh nhau". Chúng ta thực hiện như
sau:
• Bước 1: Xem 3 bạn nam là một người. Khi đó số cách xếp là P
5
=5!.
• Bước 2: đổi chỗ của 3 bạn nam. Số cách xếp là P
3
=3!.
Số cách xếp 3 bạn nam cạnh nhau là n(A)=3!.5!.
Vậy xác suất để 3 bạn nam đứng cạnh nhau là P (A)=
3! ×5!
7!
=
1
7
.
b) Gọi B là biến cố "3 bạn nam không đứng cạnh nhau". Khi đó B là biến
cố bù của A nên số phần tử của B là hiệu của n(Ω) và n(A).Vậy
n(B)=7!− 5!.3! = 4320.
Xác suất để 3 nam không đứng cạnh nhau là

P (B)=
4320
7!
=
6
7
.
c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai
đứng cạnh nhau, chúng ta thực
hiện như sau:
Trang 19
• Bước 1: Hoán vị 4 bạn nữ, số cách xếp là 4! cách.
• Bước 2: Xếp 3 bạn nam vào các chỗ trống giữa hai bạn nữ hoặc hai
đầu dãy (minh họa bằng hình dưới, các ô tròn tượng trưng cho các
bạn nữ)
   
Vì yêu cầu các bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau nên giữa
hai bạn nữ chỉ xếp được một nam và mỗi đầu dãy chỉ xếp được một
nam. Như vậy có 5 vị trí có thể xếp được các bạn nam vào đó. Do chỉ
có 3 bạn nam và các cách xếp phân biệt thứ tự nên số cách xếp 3 nam
vào 5 vị trí là A
3
5
cách.
Vậy số cách xếp 3 nam không có ai
đứng cạnh nhau là 4!×A
3
5
và xác suất
để 3 bạn nam không có ai

đứng cạnh nhau là
4! ×A
3
5
7!
=
2
7
. 
Lưu ý: Trong ví dụ (2.3) các biến cố "3 bạn nam xếp hàng cạnh nhau" và "3
bạn nam không có ai
xếp hàng cạnh nhau" không phải là hai biến cố đối
lập (biến cố bù).
Trang 20
2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê
Trong thực tiễn nhiều khi chúng ta không thể xác định được số phần tử
n(Ω) của không gian mẫu Ω, số phần tử n(A) của biến cố A hoặc việc xác
định các thông số trên là có thể nhưng khó khăn hoặc gây thiệt hại về kinh
tế (chẳng hạn như: xác định tỉ lệ (xác suất) hộp sữa hỏng trong một kho,
xác định xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ, ). Do đó người ta
đưa một cách tính xác suất theo quan điểm thống kê như sau:
Giả sử một phép thử được tiến hành N lần và biến cố A xuất hiện m lần.
Xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê là số
P (A) = lim
N→+∞
f
A
, (2.2)
trong đó f
A

=
m
N
, số này gọi là tần suất của biến cố A.
Ví dụ 2.4. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối, đồng chất và A là biến cố
"xuất hiện mặt một chấm". Thực hiện phép thử 30 lần và 600 lần, ta thu được 2
bảng sau:
Trang 21
Số chấm 1 2 3 4 5 6
Tần số 4 5 4 7 4 6 n =30
Tần số 96 107 98 103 97 99 n = 600
Tần suất của biến cố A lần lượt trong hai lần thực hiện là f
A
=
4
30
≈ 0, 13 (tương
ứng với việc thực hiện phép thử 30 lần) và f
A
=
96
600
=0, 16 ≈
1
6
(tương ứng với
việc thực hiện phép thử 600 lần). Hai kết quả trên cho thấy việc thực hiện phép thử
càng nhiều lần thì tần suất của biến cố A càng gần với xác suất tính theo công thức
cổ điển. 
2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Định nghĩa 2.2. Giả sử một điểm được gieo ngẫu nhiên vào một miền D và A là
một miền con của D. Khi đó xác suất của biến cố "điểm đó rơi vào miền A"là
P (A)=
S(A)
S(D)
, (2.3)
trong đó S(.) là số đo miền (.) (số đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích ).
Trang 22
Ví dụ 2.5. Gieo ngẫu nhiên một điểm M vào trong hình vuông có cạnh là a. Tìm
xác suất để điểm đó rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông.
Gọi A là biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông. Khi đó
P (A)=
S
hình tròn
S
hình vuông
=
π ×

a
2

2
a
2
=
π
4
.
Ví dụ 2.6. Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm vào khoảng từ 11 giờ đến 12

giờ. Họ quy ước: người đến trước sẽ đợi 20 phút, nếu không gặp sẽ bỏ đi. Giả sử
việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất hai người gặp nhau.
Giải. Gọi x, y (đơn vị: phút) là thời điểm đến điểm hẹn của người thứ nhất
và người thứ hai. Để đơn giản ta giả sử 0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60. Biểu diễn
Trang 23
x, y lên mặt phẳng tọa độ Oxy. Không gian mẫu là tập hợp các điểm
Ω={(x; y)

0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}.
Đặt A là biến cố "hai người gặp nhau". Vì hai người chỉ gặp nhau khi thời
điểm đến điểm hẹn của cả hai không lệch quá 20 phút, nghĩa là |x −y|≤20,
do đó A chính là tập hợp các điểm trong phần tô đậm,
A = {(x; y) ∈ Ω

|x − y|≤20}.
Xác suất để hai người gặp nhau là
P (A)=
S(A)
S(Ω)
=
60
2
− 40
2
60
2
=
5
9
.

Trang 24