Hệ phương trình trong các đề thi thử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.29 MB, 110 trang )
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
x 2 . 1 3 x 2 x y
y
Giải hệ phương trình:
3x
y 2 1
2x 2 y 2 4 x
y
Lần 1 – THPT QUỐC OAI
Lời giải
Điều kiện: y 0;1
3x
0.
y
x 2
3x 2 x
x 2 . 1 3x 2 x y (1)
1
. 1
y
y
y
y
y
Hệ phương trình
2
x
3x
3x
4x
2
2
2
y 1
2x y 4 x
1
2 1 2
y
y
y
y
a x
a 2b 1 3a 2a 1
y
Đặt:
. Khi đó ta có được hệ:
1 3a 2a 2 4 ab 1
1
b
y
Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được: a 2b 1 1 3a 2a 2 2a 4 ab
a 2b 1 1 3a 2a 0 a 1 2b hoặc
1 3a 2a
x
2
1 x y 2 .
y
y
Thế vào (1) ta được:
Với a 1 2b
y 1
3 2 y
y
2 2 y y 1
3 2 y
y
2 2 y
y
2 y
0
y 2 x 0
2
2 y
y
2
y
7
4
0
8
14
2 y 7
y x
y
y
11
11
y
4
8
14
vào hệ, không thỏa mãn.
;x
11
11
a 0
1 3a 2 a 2
a 1 x y
4 a 3a 1 0
Thay y
Với
Khi đó: 1 2 x 2 x x 4; y 4
Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm: x ; y 0;2;4; 4 .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 1- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
1
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
1.
6 x 1 y 7 4 x y 1
2 x 3 9 y 3 x y 2 xy 3
2.
x 2 y 2 3 xy.
x 3 x 2 y x 1 12
3. 2
x 4 x 2 y 8 0
2 4 x 4 y 1 5 x y 1 3x 7 y 1
4.
(3 x 2) 9 y 1 4 x 14 x 3 y
x 3 y 1 2 xy y y 3 x 4 y
5.
x 3 2 y 2 x 3 x 2 x 2 y 4 4
x 3 7 y 3 3xy ( x y ) 24 y 2 3 x 27 y 14
6.
3 x y 4 x 3 y 2 5
y 3 y 2 4( x y 1) xy 2
7. 2
( x 1) y 2 x 2 (2 y 1) x 2 3x 2
2 x 2 2 x x y y x y
8.
x 1 xy y 2 21
( x 2 x 2) y x 0
9. 4
( x 4 x 2 1) y 2 (2 x 3 x ) y x 2 0.
y 6 3 y 4 4 y 2 x 3 6 x 2 13 x 12
10.
x 2 3 y 2 3 4
Lần 1 – THPT SỐ 1 BẢO YÊN
Lần 2 – THPT THẠCH THÀNH 1
Lần 2 – THPT NGHỀ NHA TRANG
Lần 1 – THPT NGUYỄN TRÃI – KONTUM
Lần 1 – THPT PHẠM VĂN ĐỒNG
Lần 1 – THPT SỞ BẮC GIANG
Lần 3 – THPT BÌNH LONG
Lần 1 – THPT LỘC NINH
Lần 1 – THPT NGUYỄN DU
Lần 1– THPT TRẦN BÌNH TRỌNG
Hướng dẫn:
1. x 1
Phương trình đầu tương đương 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x 2 x x 1 3
2
4 x 2 13 x 10 0
2 x 3 x 1
x 2 y3
x 3
2
3
3
3
3
2x 9y = (x y )(2xy + 3) 2 x 9 y ( x y )(2 xy x 2 y 2 xy )
2
2.
x y 2 xy 3
x 2 + y 2 = 3 + xy
2 x 3 9 y 3 x 3 y 3
x 2 y
x 3 8y3
2
2
2
2
2
x y xy 3
x y xy 3 x y 2 xy 3
x 2 y
x 2
x 2
2
hoặc
3 y 3 y 1
y 1
- 2- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x 3 x 2 y x 1 12 3 x 2 y x 2 x 12
(1)
3. Hệ 2
x 4 x 2 y 8 0
3 x 2 y x 2 x 8
u 3 x 2 y
u.v 12
u 6 u 2
Đặt
thì hệ (1)
2
v x x
u v 8 v 2 v 6
x 1
y 3
u 6 3x 2 y 6
2
2 ;
v 2
x x 2
x 2
y 6
x 3
y 11
u 2 3x 2 y 2
2
2
v 6
x x 6
x 2
y 2
4. x 0, y 0 . Đặt a 5 x y 1, b 3 x 7 y 1, a, b 0
Phương trình đầu suy ra
2 a 2 2 b 2 a b (a b ) 2 0 a b 5x y 1 3 x 7 y 1
x 3 y . Thay vào phương trình thứ hai, ta được : (3 x 2) 3 x 1 4 x 14 x x ( a )
2
1 4
1
1
Với x 0 thì (a ) trở thành 3 3 14 . Đặt u 3 u 2 3,
x
x x
x
x
Khi đó, có phương trình: 2u 3 4u 2 3u 26 0 u 2 3
u 3
1
2 x 1 y 3.
x
x 1
5.
y 1
. Đặt a 2 x 1; b y ;a, b 0 thay vào phương trình đầu ta được:
2
x x 2 y 4 0
a 2b a 2 ab 4b 2 0 a 2b 2 y x 1 , thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 3 4 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 1 (*)
Đặt t x 3 x 1; t 0 , khi đó (*) trở thành: t 2 2t 8 0 t 4 thỏa điều kiện.
x 3
6.
y 4
Phương trình đầu tương đương ( x y ) 3 3( x y ) 2 y 2 3 2 y 2
3
2
x y 2 ( x y ) 2 ( x y ) 2 y 2 2 y 2 3 0 y x 2 .
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
1
1
3
2
x 2 3 x x x 4 x 1 x 2 ( x 4) 3 x (x 5) ( x 2 x 2)( x 2)
3
3
x 2
1
1
0 x 2 x 1 0
x 2 x 23 x 2
x 1
3 x 2 x 4 3 3 x 5 x
7. Phương trình đầu tiên viết lại
2
y 2 8 x 3x 6 0
( y 2)( y 2)( y 1 x ) 0 y 2 3 x 6 0 x 2
1
1
5
y x 1 x 4 x 3 0 ( x 2 ) 2 ( x ) 2 0 (vn )
2
2
2
- 3- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
8. x 1, x y 0
2 x 2 2 x x y y x y 2 x 2 xy y 2 2 x x y 0
1
0 x y 2 x y
0
2x x y
2 x x y
Do x 1, x y 0 2 x y 0 , từ đó suy ra x y . Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x y 2 x y
xy
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
1
x 2
0 x 2
x 2
x 2
x 1 1
x 2 21 5
vì x 2
1
x 21
0
10 x 2 91
x 21 5
x 2
2
9. ( x ; y ) (0;0) là nghiệm hệ, mọi cặp nghiệm ( x ;0),(0; y ) với x 0, y 0 đều không là nghiệm
x 2 y xy 2 y x 0
x ( xy 1) 2 y xy
Với x 0, y 0 thì 4 2
x 2 ( xy 1) 2 xy ( xy 1) y 2 5 x 2 y 2
x y 4 x 2 y 2 y 2 2 x 3 y xy x 2 0
1
2
1
x ; y 1;
( x ) 1
y
x
4
a 2b 1
a x 1 , b 1
,
2
a 2 ab b 2 5
1
y
x
4
1
1 1 1
x x 2 5
x ; y ;
4 29
y
y x x
x 2
x 2 y 3
x 5
10. x 2 y 1 0, t x 2 y 1 (t 0) 2
1
2
x 4 y 3xy 6 y
y 1
2
Bài 2.
3 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 0
Giải hệ phương trình: 2
5 x 2 xy 5 y 2 3 x 3 y 2 0
Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU
Lời giải
3 x 2 2 xy 2 y 2 3x 2 y 0
(1)
. Lấy (1).3 (2) theo vế, ta được:
5 x 2 2 xy 5 y 2 3x 3 y 2 0 (2)
4 x 2 4 xy y 2 6 x 3 y 2 0 (2 x y ) 2 3(2 x y ) 2 0 2 x y 1 hoặc 2 x y 2
x 0 y 1
Với 2 x y 1 thì y 1 2 x , thay vào (1) ta được: 7 x 2 5 x 0
5
3
x y
7
7
x 1 y 0
2
Với 2 x y 2 thì y 2 2 x , thay vào (1) ta được: 7 x 11x 4 0
4
6
x y
7
7
5 3 4 6
Vậy, hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là 0;1;1;0; ; ; ; .
7 7 7 7
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 4- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x ( x y ) y 2 4 x 1
1.
x ( x y ) 2 2 y 2 7 x 2
2
504 y 2 y 1008
2016 x x
2.
x 6 x 4 xy 1 8 xy 6 x 1
3.
4.
5.
6.
7.
x x 2 y y x 4 x 3 x
x y x 1 y ( y 1) 9
2
6 x 3 3 x 2 y y 2 xy 3 x 2
4 x 2 y 2 x 1 y 1
x 3 y 2 xy y 2 x y 0
3 8 x 4 y 1 x 2 14 y 12
y x y 1 x 3 3 y ( x 2 xy y 1) 1
2
y y 5 x 5
5 x 3 26 x 2 44 x 20 51 y y 1 4 y 0
x 2 x 6 3 x 1 6 x 3 y 4 0
2 x y 1 3 y 1 x x 2 y
8.
x 2 x 3 y 17 6 x 7 2 x 3 y 1 0
2 y 2 3 y 1 y 1 x 2 x xy
9.
2 x y 2 y 3x 4 3 x 2 14 x 8 0
x x 2 y y x 4 x 3 x
10.
x y x 1 y ( x 1) 9
2
Lần 2 – THPT GDTX NHA TRANG
Lần 2 – THPT HỒNG QUANG
Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP
Lần 1 – THPT HỒNG QUANG
Lần 1 – SỞ QUẢNG NAM
Lần 2 – THPT BÌNH LONG
Lần 1 – THPT THỪA LƯU
Lần 2 – THPT THUẬN THÀNH 1
Lần 1 – THPT THANH HOA
Lần 2 – THPT THANH HOA
Hướng dẫn:
1. Nhận thấy x 0 không là nghiệm của hệ
2
x y y 1 4
x
Với x 0 , hệ cho tương đương
(*) .
y2 1
( x y ) 2 2
7
x
x y a
a b 4
Đặt y 2 1
, hệ (*) trở thành hệ phương trình 2
, hệ này có nghiệm
a 2b 7
b
x
x 2 x 5
Từ đó ta tìm được
.
y 1 y 2
2. Phương trình đầu tương đương:
a 3 a 5
b 1 b 9
2016 x 2 x 2016 2 y 2 y y
2
( x 2 a x x x 2 a x 0 a 0 để đảm bảo khác 0 khi liên hợp).
- 5- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x
2
x
vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x 2 6 x 1 4 x 2 6 x 1 0
2
1
x 1 y
2
2
2
2 x 6 x 1 3x
25 x
x
2
2 x 2 6 x 1 0
2
4
2
3 11
3 11
2 x 6 x 1 2 x
x
y
2
4
Thay y
3. x 1; y 0
Phương trình đầu tương đương: x x 2 y y x x 2 x x x
x
y x
1 0 x y vì
x 2 y x 2 x
x2 y x2 x x y
x
x y x2 x
2
1 0 với x 1; y 0
Thay x y vào phương trình thứ hai, ta được: x x x 1 x ( x 1)
2
x x 1 2
x x 1 8 0 x
9
2
25
25
y
6
6
4. Phương trình đầu tương đương: y 3 x 2 y 2 x 1 0 y 3 x 2 hoặc y 2 x 1 .
Phương trình thứ hai ta có: y 1 nên y 3 x 2 không thỏa mãn.
Thay y 2 x 1 vào phương trình thứ hai ta được
4 x 2 2 x 3 x 1 2 x , phương trình này có
nghiệm x 2 y 5 .
x y ( x y )( y 1) 2( y 1) 0 (1)
5.
3 8 x 4 y 1 x 2 14 y 12 (2)
(1)
xy
xy
2 0
y 1
y 1
xy
xy
1
1 x 2 y 1 . Thay vào (2) ta được:
y 1
y 1
3 7 2 y 4 y 1 (2 y 1) 2 14 y 12 4 y 1 3 7 2 y 4 y 2 10 y 11 0
4( y 1 2) 3( 7 2 y 1) 4 y 2 10 y 6 0
7
2
3
( y 3)
2 y 1 0 (3) y 3 0 y 3 , vì : 1 y nên
y 1 2
2
7 2 y 1
2
y 1 2
2 2
32 2
,
3
3
, 2 y 1 0
7 2 y 1 4
2
y 1 2
3
7 2 y 1
2 y 1 0
y 0
6.
vì y 0 không thỏa hệ
x y 1
Phương trình thứ nhất tương đương
( x 1)
y x y 1
( x 1)( x 2 x 1) 3 y ( x 1)( x y 1)
( x 1)[ x 2 x 3 xy 3 y 2 3 y 1
( x 1)[ x 2 (3 y 1) x 3 y 2 3 y 1
1
y x y 1
]
1
y x y 1
] (*)
A x 2 (3 y 1) x 3 y 2 3 y 1 0, 3( y 1) 2 0, x
- 6- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
Với x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được y 2 y 5 5 y
7. Phương trình đầu tương đương 5 x 2 4 x 2 5
3
Thay vào phương trình thứ hai, ta được
ta tìm được x
2
3
y 1 4
1 17
2
y 1
2
y x2 4x 5
x 2 x 6 3 x 1 3 x 2 6 x 19 0 , đặt ẩn phụ, từ đó
23 341
353 19 341
23 341
353 19 341
y
hoặc x
y
.
2
2
2
2
x 0
y 1
8.
. Phương trình đầu viết lại
3
2 x y 1 0
x 2 y 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y 0
2 x y 1 x 0; 3 y 1 x 2 y 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y 0
x y 1
2 x y 1 x
x y 1
3 y 1 x 2 y
0
x y 1 0
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
TH1: x y 1 0 y x 1 . Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
x 2 4 x 14 6 x 7 2 x 3 x 2 0 (a ) , điều kiện: x
2
3
(a ) 2 6 x 7 x 16 x 4 3 x 2 3 x 2 x 2 4 x 4 0
2
9x
x 2 4 x 4
1 0
6 x 7 x 16 4 3 x 2 3 x 2
2
6 x 2 4 3 x 2
2
x 2
0
6 x 7 x 16 4 3x 2 3 x 2
2
2 3x 2 1
2
0 x 2 y 1
x 2
6 x 7 x 16 4 3x 2 3 x 2
2
TH2:
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
2 x y 1 3 y 1 x x 2 y
Ta có:
2 x y 1 x 3 y 1 x 2 y
Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình ta được: x 3 y 1 3 y x 1 . Thay vào phương
trình thứ hai, ta được: x 2 2 x 16 6 x 7 2 x x 0 (b ) , điều kiện x 0
x 7 3 0 x 2
2
2
(b ) x 7 3 x x 0
(vô lý) phương trình vô nghiệm
x x 0
x 0
x 0
9. y 1
vì ( x ; y ) (0;1) không là nghiệm hệ.
2 y 3 x 4 0
- 7- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
y 1 x
Phương trình đầu viết lại: 2 y 2 3 y 1 y 1 x 2 x xy
( y x 1)(
1
y 1 x
x 2 y 1) 0 y x 1;
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
y 1 x
x 2 xy 2 y 2 3 y 1
x 0
x 2 y 1 0,
y 1
y 1 x
1
2 x y 2 y 3 x 4 3x 2 14 x 8 0
3 x 1 6 x 3 x 2 14 x 8 0 ( 3 x 1 4) (1 6 x ) ( x 5)(3 x 1) 0
( x 5)(
3
3x 1 4
1
1 6 x
3 x 1) 0 x 5
x 1
10.
. Phương trình đầu tương đương x ( x 2 y x 2 x ) ( x y ) 0
y 0
yx
x
x y 0 ( x y )( x 2 y x 2 x x ) 0
2
2
x y x x
x 1
9
Vì
suy ra x y . Thay vào phương trình thứ hai : x x x 1 x ( x 1)
y 0
2
Đặt t x x 1(t 0) t 2 2 x 1 2 x ( x 1) , tìm được t 2 x 1 x 2
5
x
25 25
25
2 x ( x 1) 5 2 x
x
( x ; y ) ; .
2
2
16 16
16
2
4 x 4 x 25 20 x 4 x
Bài 3.
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
Giải hệ phương trình:
6 x 1 y 7 4 x y 1
Lần 3 – THPT PHƯỚC BÌNH
Lời giải
Điều kiện: x 1
Phương trình đầu tương đương: 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay y x 1 vào phương trình sau ta được:
6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x 2 x x 1 3 với x 1
2
4 x 2 13 x 10 0
x 2 thì y 3
Với x 1 2 x 3
x 3
2
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) (2;3) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2
2 xy
x y 2
1
xy
1.
x y x 2 y
x 2 x y 4 x 3 x 2 y 3
2. 2
x x x y 3 2 x 2 x y 1
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1 – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC
- 8- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
( x y )( x 2 xy y 2 3) 3( x 2 y 2 ) 2
3.
4 x 2 16 3 y x 2 8
y 1 2 y 2 1 x x 2 xy 3 y
4.
x 2 y 3 y 2 3 x 7
(1 y )( x 3 y 3) x 2 ( y 1)3 . x
5.
x 2 y 2 3 x 3 4 2( y 2)
Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1– THPT TÔN ĐỨC THẮNG
2 x 2 2 x x y y x y
6.
x 1 xy y 2 21
x 2 xy 2 y 1 2 y 3 2 y 2 x
7.
6 x 1 y 7 4 x y 1
xy y 2 2 y x 1 y 1 x
8.
3. 6 y 3. 2x 3 y 7 2x 7
y
x 1 3 2 y 1
9. x
2x
4
2
x y 3 y 1
4 x 2 y x 9 1 3 x y x 2 5 x 8
10.
x 4 x 3 11x 2 y x 2 y 12 x 12 y
Hướng dẫn:
1. x y 0
Lần 1– THPT TRẦN PHÚ
Lần 2 – THPT TRẦN PHÚ
Lần 3 – THPT TRẦN QUANG KHẢI
Lần 1 – THPT VĂN GIANG
Lần 2 – THPT VIỆT TRÌ
1
2
2
Phương trình đầu tương đương: ( x y ) 2 1 2xy 1
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
x y
x y 1 0 vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0
x 1 y 0
Thay x 1 y vào phương trình sau ta được: 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0
x 2 y 3
x y 4 0
2.
x y 4 0
Phương trình (2) y x 1 , thế vào phương trình (1) ta được: x 2 2 x 3 x 3 x 2 x 2
Từ đó có: x 1
2
3. x 2, y
2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0 x 1 hoặc x 2 .
16
3
Phương trình đầu tương đương ( x 1)3 ( y 1)3 y x 2
Thay y x 2 vào phương trình thứ hai, ta được:
- 9- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
4 x 2 22 3 x x 2 8
x 2 hoặc
4
x 2 2
4( x 2)
x 2 2
( x 2)
( x 2)( x 2)
3
22 3x 4
3( x 2)
22 3 x 4
0
22
Nhận thấy VT là hàm số đồng biến trên đoạn 2; , suy ra x 1 là nghiệm duy nhất của
3
4
3
phương trình, với VT
( x 2)
x 2 2
22 3x 4
2
4. y 1, x 0, y 3 x
1
Phương trình thứ hai biến đổi về dạng: y x 1
2 y 1 x 0 , thay y x 1 vào
y 1 x
phương trình đầu, ta được:
x 2 x 1 x 2 x 1 7 3
Hàm số f ( x ) x 2 x 1 x 2 x 1 đồng biến và f (2) 7 3
x 2 y 0
x 2 y
5.
.Nhận xét x 1, y 1 không là nghiệm của hệ. Xét y 1 phương trình
x 0, y 1
x 1, y 1
2
x
x
x
đầu viết lại x 2 x ( y 1) 3( y 1) 2 ( y 1) x ( y 1) 0
3
0
y 1
y 1
y 1
t
x
, t 0 . Khi đó, ta có t 4 t 2 t 3 0 t 1t 3 t 2 2t 3 0 t 1.
y 1
Với t 1 , thì
x
1 y x 1 , thế vào phương trình thứ hai, ta được
y 1
x 2 x 1 2 3 x 3 4 2 x 1 x 2 x 1 2 3 x 3 4 x 1 0
x 2 x 1
0
x 2 x 1 6
2
2
3
3
3
3 x 4 x 1 x 4 x 1
6 x 2 x 1
2
0
x x 1 1
2
2
3
3
3
3
x
4
x
1
x
4
x
1
x 2 x 1 0 x
1 5
3 5
.
x 1 y
2
2
6. x 1, x y 0
2 x 2 2 x x y y x y 2 x 2 xy y 2 2 x x y 0
x y 2 x y
1
0 .
0 x y 2 x y
2x x y
2 x x y
xy
Do x 1, x y 0 2 x y 0 , từ đó suy ra x y
.Thay vào phương trình thứ hai, ta được
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
- 10- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x 2
1
0 x 2
x 2
x 2
x 1 1
x 2 21 5
x 2
1
0
Vì x 2
x 21
10 x 2 91
x 2 21 5
7. x 1 . Phương trình đầu tương đương 2 y 2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2 y 2 x 0, x 1
Thay vào phương trình thứ hai, ta được 6 x 1 x 8 4 x 2
2
x 1 3 2 x
2
4 x 2 13 x 10 0
x 2 y3
2 x x 1 3 2 x 3 x 1
x 3
2
x 0
8. x 0, 1 y 6, 2x 3 y 7 0 (*) .
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
Phương trình đầu viết lại x ( y 1) ( y 1) 2
1
0
( x y 1) y 1
y 1 x
y 1 x
y 1 x
x y 1 0 y x 1 do (*). Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 , điều kiện
4
x 5
5
1
3
0
(7 x ) 3 5 x 3( x 5x 4 ) 0 (4 5x x 2 )
3 5 x (7 x )
5x 4 x
x 1 y 2
4 5x x 2 0
x 4 y 5
1
y
1
2 y 1
9. x 0; y . Phương trình đầu viết lại x
3
2 y 2 x 2 1 3 x 2 y 1
2
x
2x
4
2 y 1
x 2 y 1
1
x
2 y 1
2 y 1
2
2 y 1 3 x 2 y 1 2 x 0
3
2 0
2
x 1 2 y 1
x
x
2 y 1 2
2
x
Với x 2 y 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được:
y 1
5 17
y
3 y 1 y 1
, suy ra x 4 17 ( thoả mãn)
2
y 5 y 2 0
2
1
y 1
1
y 1
Với x
2 y 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được 3 y 1 . Do y 0 .
2
2 4
2
2 4
Vậy phương trình vô nghiệm
10. Phương trình thứ hai tương đương x 2 x 1 y 12 x 2 0 y 12 x 2
Thay vào phương trình đầu, ta được: 3 x 2 x 3 3 x 1 5 x 4
3x 2 x x 1 3x 1 x 2 5x 4 0
1
1
0
x 2 x 3
x 1 3 x 1 x 2 5 x 4
- 11- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 .
Bài 4.
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
Giải hệ phương trình:
2
2
9
2x y 9
3 2 x y 3 4 5 x
Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3
Lời giải
4
Điều kiện: x ;2 x y 0
5
Phương trình đầu tương đương:
2 x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 12x y 3 0 y x 1
Thay y x 1 vào phương trình thứ hai ta được:
2
3 x 1
2
3 4 5x
9
, quy đồng rồi rút gọn ta được:
x 10
2 x 10 6 x 1 4 5 x 9 9 3 x 1 3 4 5 x x 1 4 5x
x 1 4 5 x 3 9 x 1 9 4 5 x 4 x 41 0 (*)
4
Vì x 1; nên 9 x 1 9 4 5 x 4 x 41 0
5
Khi đó (*) x 1 4 5 x 3 0
x 1 4 5 x 3 2 x 1. 4 5x 4 4 x
x 1 0
x 1 y 2
x 1. 4 5 x 2 x 1 0
x 0 y 1
4 5x 2 x 1
Đối chiếu với điều kiện và thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm :
( x ; y ) (0;1),(1;2)
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2 x 3 xy 2 x 2 y 3 4 x 2 y 2 y 1
1.
4 x 2 x 6 5 1 2 y 1 4 y 2
y 3 5 y 2 y 5 8 xy 2 8 x 2 xy 3 x
2. 2
4 x 5 x 3 x 1 y 0
x 2 x y 3 x y y
3.
2 x 2 y 2 3 2 x 1 11
2 x 2 5 2 2 y x 2
4.
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
5.
4 y 2 x 2 y 1 x 1
Lần 1 – THPT ĐỨC THỌ
Lần 2 – THPT NGUYỄN SIÊU
Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
Lần 2 – THPT PHAN BỘI CHÂU
Lần 1– THPT THANH CHƯƠNG 3
- 12- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
9 y 2 2 y 3 y x 4 xy 7 x
6.
2 y 1 1 x 2 y 1 1 x 2 y
x y x 1 x y y
1
7.
x 3 6 x 2 20 171 y 40 y 1 5 y 1 2
2 x 1 x 2 2 xy 4 y 1 3 y 2 2 y 1
8.
x x 2 xy 1 2 x 2 3 y 2 xy x 9
Lần 1 – THPT THANH CHƯƠNG 1
Lần 3 – THPT YÊN THẾ
Lần 1 – THPT HÙNG VƯƠNG
Hướng dẫn:
1. 1 ( x 2 y )(2 x 2 y 2 1) 0 x 2 y .
Thay vào (2) ta có phương trình
4 x 2 x 6 2 x 1 5 x 1 (3)
4 x 2 x 6 (1 2 x ) 5 x 1
x 1 0 x 1 hoặc
x 1
4 x x 6 1 2 x
2
x 1
4 x 2 x 6 1 2 x x 1 (4)
1
x
2 7
x
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x 1 2 x 1
2
2
2
4 x 8 x 3 0
2. x
1
3
Phương trình đầu tương đương: y 2 x 1 y 8 x 5 0 y 2 x 1 0 (vn) hoặc y 8 x 5
y 8 x 5 thay vào phương trình thứ hai, ta được:
4 x 2 3 x 1 13 x 5 0 2 x 3 3 x 1 x 4 *
2
Đặt
3x 1 2t 3, t
Với t x thì
3
, kết hợp * ta được hệ:
2
2 x 32 2t x 1
t x
x t 2 x 2t 5 0
2
2 t 3 3x 1
2t 5 2 x
3
x
15 97
3x 1 3 2 x
x
y 10 97
2
2
8
4 x 15 x 8 0
Với 2t 5 2 x thì
x 1
11 73
3x 1 2 x 2 2
x
y 6 73
4 x 11x 3 0
8
x 2 x y 3 x y y 1
3.
2 x 2 y 2 3 2 x 1 112
Từ (1) suy ra y 0 , vì nếu y 0 thì x y 0 khi đó VT (1) VP (1)
1 x 2 x y 3 x y 1 x 2 x y y 0
- 13- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x y 1
x 2 x y
3
x y 3 x y 1
2
x 2 x y y2
x2 x y y
0
x 2 x y
xy
x y 1
0 x y 1 0
2
2
3 x y 3 x y 1
x x y y
Thay y x 1 vào (2) ta được: 4 x 2 4 x 2 3 2 x 1 11 2 x 1 3 2 x 1 10 0
2
Đặt t 2 x 1, t 0 , từ đó có phương trình t 4 3t 10 0, t 0 t 2t 3 2t 2 4 t 5 0
t 2 . Khi đó
2 x 1 2 x
5 3
5
3
y . Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; .
2 2
2
2
4. xy x y 2 y 0 , y 0
Phương trình thứ hai viết lại: x 2 y 1 3
xy x y 2 y y 1 0
3 y 1
3 y 1
0 vì 1
x 2 y 1 1
0 ( xem thêm ý 5 )
2
xy x y y y 1
xy x y 2 y y 1
Thay 2 y x 1 vào phương trình đầu, ta được :
2 x 2 5 2 x 1 x 2 2
Vì x 1 nên
x2 5 3 2
x 1 1 x 2 4
x 2
2
1
x 2
x 2 0 x 2 y
2
2
x 1 1
x 5 3
x 2
2
1
2
x 2 x 2
1
0
2
2
x
1
1
x
1 1
x 5 3
x 5 3
xy x y 2 y 0
5. 4 y 2 x 2 0
. Phương trình đầu tương đương x y 3 x y y 1 4( y 1) 0
y 1 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 ), từ đó có u 2 3uv 4v 2 0 u v
Với u v ta có x 2 y 1 , thay vào phương trình thứ hai ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
4 y 2 2 y 3 y 1 2 y
y 1 1 0
2
1
0
0 y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1
y
1
1
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
1
y 1 1
6. 9 y 2 2 y 3 y x 0; xy 0;1 x 1.
Từ phương trình thứ nhất, ta có được: x 0 y 0
x 0
Xét
, thỏa mãn hệ phương trình.
y 0
- 14- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
0 y 1
Xét x , y không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với:
9 y 2 2 y 3 y x 3 x 4 xy 4 x 0
9 y 2 2 y 3 y x 9 x 2
9 y 2 2 y 3 y x 3 x
4 xy x 2
xy x
0
9 x y 2 y 3
4x
y x
0
9 y 2 2 y 3 y x 3 x
xy x
yx
Thay y x vào phương trình thứ hai, ta được:
2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 x
2x
1 x 1 x 1
1 x 1 x 0
a 1 x ; a 0
Đặt
2x a2 b2 .
b 1 x ; b 0
Phương trình trở thành: a 2 b 2 a b 1 a b 0 .
a b
a b
a b a b a b 1 1 0
2
a b 1 5
a b a b 1 0
2
Với a b 1 x 1 x x 0 ( không thỏa)
Với a b
1 5
1 5
5 5
5 5
1 x 1 x
x
y
.
2
2
8
8
7. Phương trình 1 x y x 1 y x y 0
1 y
1
x y
0 x y
x y x 1 y
x y
3
2
Thay vào phương trình (2) ta được: x 6 x 20 171x 40 x 1 5 x 1
x 1 2 5 x 1 2 x 8 5 x 1 x 2 27 x 12 0
x 1 2 5 x 1 0 x 11 2 29 y 11 2 9
x 1
2
2 x 1 0
1
8. 2 y 1 0
y
2
2
x xy 1 0 2
x xy 1 0
Phương trình đầu tương đương
2 x 1 2 y 1 x 2 2 xy 4 y 3 y 2 1 0
2
x y 1 x 3 y 1 0 x y 1
x 3 y 1 0
2 x 1 2 y 1
2 x 1 2 y 1
2 x y 1
- 15- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
x y 1 0
1
1
, Vì x , y x 3 y 1 0 nên (*) vô nghiệm.
2
x 3 y 1 0 (*)
2
2
2 x 1 2 y 1
Với x y 1 0 y x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x 2 x 1 4 x 2 4 x 6
x 2x 2 x 1 2x 4 x 2 2x 6 x
2 x 2 x 1 2 2 2 x 2 2 x 3
2 x 2 x 3 0
2 2 x 2 x 3 0
x
2
2 x 2 x 1 2
2
2 x x 1 2
x 1
x 1
Với 2 x 2 x 3 0
3 Hệ có nghiệm
x (l )
y 2
2
x 4
x 4
x
2
2 2 2 x x 1 x 4 2
Với
7 x 12 x 12 0 x 6 2 30 ( l )
2x 2 x 1 2
7
Bài 5.
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
Giải hệ phương trình:
Lần 1 – THPT PHƯỚC BÌNH
4 y 2 x 2 y 1 x 1
x 2 x 2 x 3
Lời giải
xy x y 2 y 0
Điều kiện: 4 y 2 x 2 0
y 1 0
Phương trình đầu tương đương: x y 3 x y y 1 4( y 1) 0 (1)
Để đơn giản lời giải, ta đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó (1) trở thành: u 2 3uv 4v 2 0 , phương trình này có u v thỏa mãn hoặc u 4v không
thỏa mãn u 0, v 0
Với u v thì x 2 y 1 , thay vào phương trình thứ hai ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
y 1 1 0
y 2
0
y 1 1
4 y 2 y 3 2 y 1
2
1
0
y 2
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y
1
1
2
y 2 x 5 vì
4 y 2 2 y 3 y 1 2 y
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) 5;2 .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
- 16- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
1
y 1 1
0, y 1
x y x y 2
1.
x 2 y 2 1 3 x 2 y 2
2 x 2 1 5 xy y 2
2.
y y ( x 2 y ) y (4 y x ) 1
Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lần 2 – THPT QUẢNG HÀ
Hướng dẫn:
1. x y 0; x y 0
u v 2 (u v )
u v 2 uv 4
2
2
2
2
u v 2 uv 3 u v 2 uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v ) 2 2uv 2
.
uv
3
(2)
2
u x y
Đặt:
ta có hệ:
v x y
Thế (1) vào (2) ta được: uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
Kết hợp (1) suy ra :
u 4, v 0 do u v
u v 4
2. 4 y x 2 y 0
Trừ vế với vế ta được : 2 x 2 5 xy y 2 y ( xy 2 y 2 4 y 2 xy ) 0
Nhận thấy y 0 không thỏa mãn hệ.
Do y 0 ta chia hai vế của phương trình cho y 2 ta được :
x
x
x
x
2
5 1
2 4 0
y
y
y
y
Đặt
x
t t 2; 4 . Khi đó ta được:
y
2t 2 5t 1 t 2 4 t 0
2t 2 6t t 2 ( t 2 1) (1 4 t ) 0
2 t(t 3)
(t 3) t 2
t 3
0
1 4 t
t 2
1
(t 3) 2t
0
t 2 1 1 4 t
t 3 vì 2t
Bài 6.
t 2 1
t 2
t 2 1
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
Giải hệ phương trình:
x 3 y 3 12 x 3 y 3 y 2 6 x 2 7
Lời giải
x 3
Điều kiện :
y 1
- 17- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
1
1 4 t
0, t 2; 4
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay (3) vào phương trình thứ nhất ta được:
3 x x 2 x 3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x 3 2 x 2 5x 3 3 x x 2 3 x 3 2 x 2 5x 6
2( (3 x )( x 2) 2)
3 x x 2 3
x 3 2 x 2 5x 6
2(x 2 x 2)
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
2(x 2 x 2)
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
( x 2 x 2)(
( x 1)( x 2)( x 3)
( x 2 x 2)( x 3)
2
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
Do điều kiện 2 x 3 nên
( x 3)) 0
2
( 3 x x 2 3)( (3 x )( x 2) 2)
( x 3) 0
Suy ra x 2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 thỏa điều kiện.
Khi x 2 y 3 thỏa điều kiện.
Vậy, nghiệm của phương trình là ( x ; y ) (1;0),(2;3) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2(4 x 3 y 3 ) 12 x 2 y 2 2 x ( y 2 3) 1 0
1.
y 2. 3 x 5 x 2 x 6
2 x 2 y 2 xy 5x y 2 y 2 x 1 3 3 x
2.
x 2 y 1 4 x y 5 x 2 y 2
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
3. 3
x 2 xy y 1 5 x 10 y 4 y 2 ( y 1)
x 2 xy 2 y 2 3 y 1 y 1 x
4.
3 6 y 2 x 3 y 7 2 x 7
Lần 2 – THPT HOÀNG HOA THÁM
Lần 2 – THPT LÊ LỢI
Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lần 1 – THPT ĐỒNG ĐẬU
Hướng dẫn:
1. y 2
Phương trình đầu tương đương: phương trình : (8 x 3 12 x 2 6 x 1) y 2 (2 x 1) 2 y 3 0
2 x 1 y 3 (2 x 1) y 2 y 3 0
3
2 x 1 y (2 x 1) 2 y (2 x 1) 2 y 2 0
y
7 y 2
(2 x 1 y ) (2 x 1 ) 2
0
2
4
- 18- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
y
7 y2
y 2 x 1 hoặc (2 x 1 ) 2
0
2
4
Với y 2 x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta được 2 x 1 3 x 5 x 2 x 6
2 x 3 0
Điều kiện : 2
x 2
x x 6 0
Phương trình viết lai: x 2 x 6 2 x 3 3 x 5 0
x 2x 3
3
x 5 x x 1 3 x 5 2 x 6 0
( x 2 x 3) x 5
2
3
x ( x 3 x 2 2 x 6)
3
2x 6 0
x 2x 3
( x 1) 2 ( x 1) 3 x 5 ( 3 x 5) 2
2
( x 1) 3 x 5
x
(
x
2)
0
x 3
2
2
2
x 2 x 3 3 x 5 x 1 3( x 1)
2
4
x 3 Vì x 2
x 1 2 x 3
x 2x 3
3
x ( x 2 2)
4 0 .
2
x 1
3( x 1) 2
x 5
2
4
y
2 x 1 0
1
x
y
7y
2
Với 2 x 1
0
2
2
7 y
2
4
0
y 0
4
2
Thay vào phương trình thứ hai:
2
y 2 3 x 5 x 2 x 6 2. 3
9 1 1
6 vô lý.
2 4 2
2. y 2 x 1 0,4 x y 5 0, x 2 y 2 0, x 1
y 2 x 1 0 x 1 0 0
* Xét trường hợp:
(không thỏa mãn hệ)
3 3 x 0
y 1 1 10 1
* Xét trường hợp: x 1, y 1 . Đưa phương trình đầu về dạng tích ta được
( x y 2)(2 x y 1)
x y 2
y 2 x 1 3 3x
1
( x y 2)
y 2 x 1 0 .
y 2 x 1 3 3 x
1
Vì y 2 x 1 0 nên
y 2x 1 0 x y 2 0
y 2 x 1 3 3x
Thay y 2 x vào phương trình thứ hai ta được x 2 x 3 3 x 7 2 x
x 2 x 2 3 x 7 1 2 2 x ( x 2)( x 1)
3x 6
3x 7 1
3
1
( x 2)
1 x 0 x 2 0
3x 7 1 2 2 x
- 19- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
2 x
2 2x
3
(vì x 1 nên
3x 7 1
x 2 y 1 0
3.
5 x 0
1
2 2 x
1 x 0 )
Hệ cho viết lại:
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
(*)
x 2y 0
x 2 y x 2 2 xy 2 y 2 2 y 5 0
2
2
x 2 xy 2 y 2 y 5 0
x 2 2 xy 2 y 2 2 y 5 0 x 2 2 xy y 2 y 2 2 y 1 4 0
x y y 1 4 0 : vô nghiệm với x , y .
2
2
x 2 y 1 5 x 2 x 2 8 x 2 y 6 0
2 x 1 5 x 2 x 2 7 x 6 0
Do đó có hệ (*)
x 2 y
x 2 y
1
Giải phương trình: 2 x 1 5 x 2 x 2 7 x 7 0, với x 5
2
2x 8
x 4
2 x 1 3 1 5 x 2 x 2 7 x 4 0
( x 4)(2 x 1) 0
2x 1 3 1 5 x
x 4 0 x 4 y 2
2
1
2
1
(2 x 1) 0,
(2 x 1) 0
2x 1 3 1 5 x
2
x
1
3
1
5 x
x 0
4. 1 y 6
2 x 3 y 7 0
y 1 x
Phương trình đầu tương đương:
y 1 x
( y 1 x )( y 1 x ) y ( y 1 x ) 0
1
( y 1 x )
y 1 x y 0 y x 1 hoặc
y 1 x
1
y 1 x
y 1 x y 0 (*)
x 0
Với
, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
1 y 6
Với y x 1 thay vào (2) ta được 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 (3)
Điều kiện
4
x 5 thì (3) 7 x 3 5 x 3( x 5 x 4 ) 0
5
2
2
7 x 9 5 x 3 x 5 x 4
1
3
0 x 2 5 x 4
0
7 x 3 5 x x 5x 4
7 x 3 5 x
x 5x 4
x 1
1
3
0 ( vô nghiệm ) hoặc x 2 5 x 4 0
x 4
7 x 3 5 x x 5x 4
- 20- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
xy y 2 2 y x 1 y 1 x
Tương tự:
3 6 y 3 2 x 3 y 7 2 x 7
Lần 1 – THPT LÝ THÁI TỔ
Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2 x 3 y 7 0 (*)
x 0
Nhận thấy
không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
Khi đó phương trình đầu x ( y 1) ( y 1) 2
( y 1)( x y 1)
Bài 7.
y 1 x
y 1 x
1
0 x y 1 0 y x 1
( x y 1) y 1
y 1 x
y 1 x
y 1 x
( x 2) x 2 4 x 7 y y 2 3 x y 2 0
Giải hệ phương trình:
x 2 y 1 x y 1
Lần 1 – THPT NGHỀ NHA TRANG
Lời giải
Phương trình đầu viết lại: ( x 2) ( x 2) 2 3 x 2 y ( y ) 2 3 y (*)
Xét hàm số f (t ) t t 2 3 t t có f '(t ) t 2 3
t2
1 0 t f ( t ) đồng biến trên
t2 3
. Phương trình (*) có dạng f ( x 2) f ( y ) x 2 y , thay vào phương trình thứ hai, ta được:
3
3
x
x
x x 1 2 x 3
2
2
2
2
2
2
x x 1 4 x 12 x 9 x x 1 4 x 12 x 9
3
x
3
2
x
x 1 x 1 y 1 ( thỏa mãn )
2
2
3 x 13x 10 0 x 10
3
2
Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm ( x ; y ) (1;1) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
x 4 x 2 8x 17 y y 2 1
1.
x y y 21 1 2 4 y 3x
xy 2 y x 2 2
2.
2
2
2
y (2 x 3) x 2 x 3 y 2 x 5 x .
xy 2 y x 2 2
3.
y 2 2( x 1) x 2 2 x 3 2 x 2 4 x
Lần 1 – THPT NGHỀ NINH HÒA
Lần 1 – THPT NGUYỄN SIÊU
Lần 1 – THPT PHAN BỘI CHÂU
- 21- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
2 x 3 xy 2 x 2 y 3 4 x 2 y 2 y
4. 2 y 2 x 2 y 16
1
y x 1 3
x 2 8 y 7
2
Lần 2 – THPT MINH CHÂU
Hướng dẫn:
1. y 0
x 4 x 2 8x 17 y y 2 1 ( x 4) ( x 4) 2 1 y y 2 1 (a )
Xét hàm số f (t ) t t 2 1 với t 0 có f '(t ) 1
t
0, t 0 f (t ) đồng biến t 0 .
t 1
Phương trình (a ) có dạng f ( x 4) f ( y ) x 4 y , thay vào phương trình thứ hai, ta được:
2
x x 4 x 25 1 2 x 16 (b )
Với x 4 không phải là nghiệm phương trình (b )
Với x 4 , xét hàm số g ( x ) x x 4 x 25 1 2 x 16 , có:
g '( x ) 1
1
1
1
1
1
x 16 1
2 x 4 2 x 25
x 16 2 x 4 2 x 25
x 16
1
1
x 15
Hay g '( x )
0 với mọi x 4 g ( x ) đồng biến trên
2 x 4 2 x 25
x 16( x 16 1)
khoảng (4; ) , do đó phương trình g ( x ) 0 nếu có nghiệm trên khoảng (4; ) thì nghiệm đó
là duy nhất, dự đoán g (0) 0 x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (b ) ( x ; y ) (0;4) .
2. Phương trình đầu viết lại:
2
y( x 2 2 x ) 2 y
x 2 2 x vì x 2 2 x x
2
x 2 x
Thay vào phương trình thứ hai, ta được :
2 x 2 2 2 x x 2 2 (2 x 3) x 2 2 x 3 x x 2 2 2 x 2 5 x
2( x 1) 1 ( x 1) 2 2 2( x 1) (1 2 x ) (x ) 2 2 2(x ) (*)
Xét hàm số: f (t ) (2t 1) t 2 2 2 t, t có f '(t ) 2 t 2 2 (2t 1)
t
2 0 t
t 2
1
f (t ) đồng biến trên . (*) có dạng f ( x 1) f (x ) x 1 x x y 1
2
2
2
2
2
3. y ( x 2 x ) 2 y
x 2 x vì x 2 x x
x2 2 x
Thay vào phương trình thứ hai, ta được :
x2 2 x
2( x 1)
2
2
x 2 2 x 3 2 x 2 4 x 1 x x 2 2 2 x ( x 1) x 2 2 x 3 0
( x 1) 1 ( x 1) 2 2 (x ) 1 (x ) 2 2 (*)
Xét hàm số f (t ) t (1 t 2 2 ), t có f '(t ) 1 t 2 2
t2
t2 2
0, t f ( t ) đồng biến
1
trên . Phương trình (*) có dạng f ( x 1) f (x ) x 1 x x y 1
2
- 22- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
4. x 1
Phương trình đầu viết lại: ( x 2 y ) (2 x 3 4 x 2 y ) ( xy 2 2 y 3 ) 0 ( x 2 y )(1 2 x 2 y 2 ) 0
x 2 y Vì 1 2 x 2 y 2 0, x , y Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
x
2( ) 2 x x 16
x 1
2
2
2 2
x 4x 7
x 8 x 4
x 4x 7
2
x 1 x 8
Phương trình a
x 1 3
x 1 3
x 8 y 4 hoặc
x 1 3
x 2 4 x 32
x 1
x2 4x 7
x 1 3
x 4
x 1
x 4x 7
x 1 3
2
a
x 1 3 x 4 x 1 x 2 4 x 7
2
2
x 1 3 x 2 3 . x 2 3 b
Xét hàm số f t t 3t 2 3 với t có f ' t 3 t 1 0, t
2
nên f t đồng biến trên . b có dạng: f
x 1 f x 2
x 2
x 2
5 13
11 13
x 1 x 2
x
y
x 1 x 2 4 x 4
x 2 5 x 3 0
2
4
Bài 8.
x 3 y 3 3( x y ) 6 y ( y 2) 14
Giải hệ phương trình:
27 x 3 27 x 2 20 x 4 4. 3 y 2 x 1
Lần 1 – THPT THỐNG NHẤT
Lời giải
Phương trình đầu tương đương x 3 3 x y 3 6 y 2 15 y 14 x 3 3 x 2 y 32 y (*)
3
Xét hàm số: f (t ) t 3 3t trên , có f '(t ) 3t 2 3 0 với t f (t ) đồng biến trên .
Phương trình (*) có dạng f ( x ) f (2 y ) x 2 y y 2 x . Thay vào phương trình thứ hai, ta
được:
27 x 3 2 x 2 20 x 4 4 3 1 x 3 x 1 4(3 x 1) x 1 4 3 x 1 (**)
3
Xét hàm số: g (t ) t 3 4t trên , có g '(t ) 3t 2 4 0 với t g (t ) đồng biến trên .
Phương trình (**) có dạng g (3 x 1) g ( 3 x 1) 3 x 1 3 x 1 27 x 3 27 x 2 9 x 1 x 1
x 0 y 2
27 x 3 27 x 2 8 x 0
27 x 2 27 x 8 0(vn )
Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) (0;2) .
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:
2 x 3 4 x 2 3 x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
1.
x 2 3 14 x 3 2 y 1
1
2
Lần 2 – THPT HẬU LỘC
- 23- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
2.
3.
4.
5.
6.
2 x 2 y 2 2 x 1 x 2 2 x 3 4 x 2 y 1
Lần 1 – THPT THỰC HÀNH CAO NGUYÊN
xy 2 y 1 x 2 2 x
8 2 x 1 2 x 2 x 1 y y 2 2 y 4
Lần 1 – THPT KHOÁI CHÂU
4 xy 2 y 2 y 2 x 5 y 12 x 6
2 y 3 y 2 x 1 x 3 1 x
Lần 1 –SỞ GD QUẢNG NGÃI
9 4 y 2 2 x 2 6 y 2 7
2 x 2 6 xy 5 y 2 2 x 2 2 xy 13 y 2 2( x y ) (1)
Lần 1 – THPT BÌNH LONG
( x 2 y ) x 2 4 y 2 . y 8 y 4 . y 2 x 2
(2)
2
2
2
2
2 x 5 xy y y xy 2 y 4 y xy
Lần 1 – THPT CHUYÊN BIÊN HÒA
2
2
3
y
x
2
x
x
x
2
9
y
0
Hướng dẫn:
1. Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x 3 ta được
4 3
1
1 2 2 3 2 2 y 3 2 y
x x
x
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y *
x x
1
Xét hàm f t t 3 t luôn đồng biến trên * 1 3 2 y
3
x
Thế (3) vào (2) ta được x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
111
1
1
x 7
0 x ; y 7;
.
2
98
x 2 3 4 2 3 x 15 3 x 15
0
2. Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: y 1 x 2 2 x
2
2
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: x 1 1 x 1 2 x 1 x 2
2
t
f t t 1 t 2 2 t f ' t 1 t 2 2
0, t
2
t 2
1
1
Cho ta x 1 x x y 0 . Nghiệm của hệ : x ; y ;0
2
2
1
x
3.
2
. Từ phương trình đầu, suy ra để phương trình cớ nghiệm thì y 0
y 2 y 2 x 0
3
2
Phương trình đầu tương đương 2 2 x 1 2 2 2 x 1 4 2 2 x 1 y 3 2 y 2 4 y (*)
- 24- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
2
Xét hàm số f t t 3 2t 2 4 t t 0 có f t 3t 2 4t 4 2t 2 t 2 0 t 0 f ( t ) đồng
biến với t 0
Phương trình (*) có dạng f 2 2 x 1 f y 2 2 x 1 y .Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
y 2 y 2 y 2 3 y y 2 , đặt z y 2 ta được
3
y 3 2 z 3 3 yz 2 y z y 2 z 0 y z y y 2 y 2 x 1 hoặc y 2 z
2
3 3
4. x 1; y ;
2 2
Phương trình đầu tiên tương đương 2 y 3 y 2 1 x 2 x 1 x 1 x
2 y 3 y 2(1 x ) 1 x 1 x (*)
Xét hàm số f (t ) 2t 3 t , có f '(t ) 6t 2 1 0, t f (t ) đồng biến trên .
y 0
Phương trình (*) có dạng f ( y ) f ( 1 x ) y 1 x 2
. Thay vào phương trình thứ
y 1 x
hai, ta được: 4 x 5 2 x 2 6 x 1 2 4 x 5 4 x 2 12 x 2
4 x 5 2 x 3(vn )
2
2
4 x 5 1 2 x 2
4 x 5 1 2 x
1
x
2
x 1 2 (l )
x 1 2
x 2
5. y 0
. Xét y 0 , hệ cho vô nghiệm. Xét y 0 , chia cả hai vế phương trình đầu cho y, ta
x y 0
x
x
x
x
x
x
2 6 5 2 2 13 2( 1) (*) đặt t 1
y
y
y
y
y
y
2
được:
2
(*) : 2t 2 6t 5 2t 2 2t 13 2(t 1)
t 4 2t 3 3t 2 4 t 4 0 t 1 t 2 0 t 2 (t 1)
2
2
Với t 2 x 2 y thay vào phương trình thứ hai, ta được 4 y 2 y 2 4 y 2 . y 8 y 4 . y 2 2 y 2
4 y 2 y 2 2 2 y 2 8y 4. y 4 y2. y
4
2
2
2
y
y
2
2 8 y3 4 y
y
2
2
2
3
2
2 2
2 2 y 2.2 y (a )
y
y
y
Xét hàm số f (u ) u 3 2u, u 0 có f '(u ) 3u 2 2 0, u 0 f (u) đồng biến với mọi u 0 .
2
2
2 f 2 y
2 2 y 4 y3 2 y 2 0 y 1
Phương trình (a ) có dạng f
y
y
6. 4 y x 2 y 0
Với y 0 thì x 0 .
- 25- Lương Văn Huy - Face : Thầy Huy - 0969141404
