Đề thi sinh giỏi toán 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
Đề 1
Câu 1( 3 đ)
x3 + 1
x2 + 1
x +1
+ 2(a − 1)
+ 4(1 − a)
+ 4a − 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
x
x x
x
Câu 2( 3 đ) giải hệ pt :
1

 3 x (1 + x + y ) = 2


 7 y (1 − 1 ) = 4 2

x+ y
Câu 3(3 đ) Giải pt :
3 log 3 (1 + x + 3 x ) = 2 log 2 x
Câu 4(2 đ) Tìm tất cả các số tự nhiên không chia hết cho 45 mà là ước của số
N = 1890.1930.1970 .Có bao nhiêu số như thế ?
Câu 5( 5 đ)
Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC .Các đường
thẳng AM,BM,CM theo thứ tự cắt BC,CA,AB tại A1,B1,C1 .Hãy xác định vị trí của M để
diện tích tam giác A1B1C1 lớn nhất .
Câu 6(2 đ)
Tìm các cặp hàm số f(x) ,g(x) xác định trên R sao cho

f(x) - f(y) = (x + y)g(x – y) ∀x, y ∈ R
Câu 7(2 đ)
Cho x > 0 , y > 0 , z > 0 , a > 0 , b > 0 , c ∈ R thỏa
1 1 1
+ + ≤ a và 9b > ca2
x y z
1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = b( x + y + z ) + c( + + )
x y z
Tìm a để pt :


HD
1/ Đặt t =

x+

1
x

đs : a < -

5
4

11 + 4 7
22 − 8 7
;y=
21
7

12 y
3/ đặt x = 2 dùng tính nghịch biến hs đs x = 212 .
4/ phân tích N thành thừa số nguyên tố lí luận đi đến có 320 ước của N không chia hết
cho 45
5/ đặt S = SABC , S1 = SMBC … M trọng tâm tam giác ABC .
6/ Thay y = -x f(x) = ax2 + b , g(x) = ax
b 9
9
9
b 9
9
9
7/ P = P + ( + + ) − ( + + )
a ax ay az a ax ay az
a 2 c + 9b
Áp dụng b đ t Cô Si min P =
khi x = y = z = 3/a
a2
2/ đs x =


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12
Đề 2
Câu 1(3 đ)
Giải pt : 2x2 + 1 − x + 2 x 1 − x 2 = 1
Câu 2(3 đ)
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ pt sau chỉ có đúng một nghiệm :
 x 2 = 2| x| + | x | − y − m
 2
2

 x = 1 − y

Câu 3(3 đ)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ,đa thức :
F(x) = x4 -2001x3 + (2000 + a)x2 - 1999x + a không thể có hai
nghiệm nguyên
( phân biệt hay trùng nhau )
Câu 4(2 đ)
Tìm các số nguyên tố p,q sao cho 2p + 2q chia hết cho p.q
Câu 5( 5 đ)
a/ Cho tam giác ABC đều cạnh a.M là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam
giác .C/mr ta luôn có : MA.MB + MB.MC + MC.MA ≥ a2 .
b/ Cho hình lập phương cạnh bằng 1 .Một góc nhị diện vuông có cạnh chứa
1 đường chéo hình lập phương .Tìm thể tích lớn nhất của phần giới hạn bởi
nhị diện với hình lập phương .
Câu 6 (2 đ)
Cho dãy số (un) với un =
2012 + 2012 + ... + 2012 (n dấu căn )
Chứng minh (un) là dãy bị chặn .
Câu 7(2 đ)
n

 1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có : 2 ≤ 1 + ÷ < 3
 n


HD
1/ chuyển vế bình phương ta có x(1- 4 1 − x 2 + 8 x 2 1 − x 2 ) = 0
5− 5

8
2/ m = 0 hệ có nghiệm duy nhất x = 0, y = 0
3/ c/m nếu x0 là 1 nghiệm nguyên của f(x) thì x0 phải là số chẵn
Xét 2 trường hợp f(x) có 2 nghiệm nguyên phân biệt ,f(x) có nghiệm kép .
4/ đs (2;2), (3;2) ,(2;3)
5/ Dùng bổ đề : Cho tam giác ABC .Mlà điểm nằm trong mp chứa tam giác .Ta có:
BC.MA2 + CA.MB2 + AB.MC2 ≥ BC.CA.AB .
b/ Vlớn nhất khi chỉ khi một nhị diện đi qua trung điểm 1 cạnh hình vuông và mặt còn lại
đi qua đỉnh của cạnh kề .
6/ c/m 45 < uk < 46 với mọi k ≥ 2 ( qui nạp )
44 < un < 46
k
1
k k2
7/ C/m 1 + ≤ (1 + ) k < 1 + + 2 (qui nạp )
n
n
n n
Thay k = n ta có bđ t cần c/m
Đs : x = 0 ; x = -