CHUYEN DE TOAN 12 LUYEN THI CAO DANG DAI HOC 2012 2013

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y  f x  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M  x0 ; y0    C  .
 Tính đạo hàm và giá trị f '  x0  .

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0  x  x0   y0 .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  .
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
 Giải phương trình: f '  x   k , tìm nghiệm x0  y0 .
 Phương trình tiếp tuyến dạng: y  k  x  x0   y0 .

Chú ý: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 , khi đó:
 Nếu d //   d  : y  ax  b  hệ số góc k = a.
 Nếu d     d  : y  ax  b  hệ số góc k  

1
.
a

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A  xA ; y A    C  .

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d  : y  k  x  xA   y A

 f  x   k  x  xA   y A
 Điều kiện tiếp xúc của  d  và  C  là hệ phương trình sau phải có nghiệm: 

 f ' x  k

Tổng quát: Cho hai đường cong  C  : y  f  x  và  C ' : y  g  x  . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là
 f  x   g  x 
hệ sau có nghiệm. 
.
 f '  x   g '  x 
1. Cho hàm số y  x 4  2 x 2
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
i. Tại điểm có hoành độ x  2 .
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x  y  2009  0 .
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d2 : x  24 y  2009  0 .
2. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1  x(x2 + mx + 1) = 0
(*)
Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt  g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
2

m  2
g  m  4  0


.
 m  2

 g  0  1  0
 S  xB  xC  m

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0  
.
 P  xB xC  1

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f   xC  f   xB   1

 xB xC  3xB  2m   3xC  2m   1  xB xC 9 xB xC  6m  xB  xC   4m2   1  1 9  6m  m   4m2   1
 2m2  10  m   5
(nhận so với điều kiện)

Trang 1


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

5.

2x
.
(ĐH KhốiD 2007)
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng
1
 1

ĐS: M   ; 2  và M 1;1 .
4
 2


1
m
1
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y  x3  x 2  (*)
(m là tham số).
(ĐH KhốiD 2005)
3
2
3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường
thẳng 5x  y  0
ĐS: m=4.
3
2
Cho hàm số y  x  3mx  x  3m  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành.

6.

Cho hàm số y  x 4  x3   m  1 x 2  x  m Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành.

3.

4.

Cho hàm số y 

7. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x 2  4 . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3
tiếp tuyến với (C).

8. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 4  2 x 2  1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến
(C).
9. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x  2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3
tiếp tuyến với (C).
10. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
(ĐH KhốiB 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
y
f(x)=4x^3-6x^2+1
a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1.
2

BBT :
x
y'
y


+


0
0
1

CĐ



-7

1
0

+
+
-6

CT

x
-5

+

-4

-3

-2

-1

1

b. Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
-2
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.

 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
-4
 x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
5
 5  15
 x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; y '    .
4
4 4
15
21 -6
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
x .
4
4
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô y  f x  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình f '  x   0 là hoành độ của điểm cực trị.
Trang 2

1


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

 f
 Nếu 
 f
 f
 Nếu 

 f

'  x0   0
''  x0   0
'  x0   0
''  x0   0

thì hàm số đạt cực đại tại x  x0 .
thì hàm số đạt cực tiểu tại x  x0 .

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
 Để hàm số y  f  x  có 2 cực trị
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
 Để hàm số y  f  x  có cực trị tiếp xúc với trục hoành

a  0
.

 y '  0
 yCĐ . yCT  0 .
 xCĐ .xCT  0 .

 yCĐ  yCT  0
.

 yCĐ . yCT  0
 yCĐ  yCT  0


.
 yCĐ . yCT  0
 yCĐ . yCT  0 .

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số y  ax3  bx2  cx  d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
1
1. Cho hàm số y  x3  mx 2   m  2  x  1 . Định m để:
3
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng  0;   .
c. Có hai cực trị trong khoảng  0;   .





2. Định m để hàm số y  x3  3mx 2  m2  1 x  2 b2  4ac đạt cực đại tại x = 2.
3

2

3. Cho hàm số y = x -3x +3mx+3m+4.
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số y  x3  3mx2  9 x  3m  5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

5. Cho hàm số y  x3  1  2m  x2   2  m  x  m  2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ
của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
1
6. Cho hàm số y  x3  mx 2   2m  1 x  m  2  Cm  . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
3
ĐS: m  4  2 6 .





7. Cho hàm số y   x3  3x 2  3 m2  1 x  3m2  1 (1), m là tham số.

(ĐH KhốiB năm 2007)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b m  

Trang 3

1
.
2


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:





8. Cho hàm số y  mx 4  m2  9 x 2  10

(1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.

(ĐH KhốiB năm 2002)
 m  3
b. ĐS : 
0  m  3

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô y  f x  có tập xác định là miền D.
 f(x) đồng biến trên D  f ' x   0 , x  D .

 f(x) nghịch biến trên D  f ' x   0 , x  D .
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c .
1. Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
b
b
2. Nếu   0 thì f(x) có nghiệm x  
và f(x) luôn cùng dấu với a khi x   .
2a
2a
3. Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu

với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
  0
  0


* x1  x2  0   P  0
* 0  x1  x2   P  0
S  0
S  0


3
2
1. Cho hàm số y  x  3  m  1 x  3  m  1 x  1 . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  2;   .

* x1  0  x2  P  0

2. Cho hàm số y  x3  3  2m  1 x 2  12m  5 x  2 .
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   .
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 .
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và
(C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng
số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm

 (C1) và (C2) không có điểm chung.

(1) có n nghiệm

 (C1) và (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1

 (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).

(1) có nghiệm kép x0

 (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
Trang 4


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

1. Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
2

2





2

b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2  1  2m  1  0 .
2. Cho hàm số y  x3  kx 2  4 .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3  kx2  4  0 có nghiệm duy nhất.
3. Cho hàm số y  x3  3x  2 .
(ĐH KhốiD 2006)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba
điểm phân biệt.
15
ĐS: b. m  , m  24 .
4
4. Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m là tham số)
(ĐH KhốiA 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
1  k  3
ĐS: b. 
, c. y  2 x  m2  m .
k

0

k

2

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB 

 xB  xA 2   yB  y A 2

.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 và điểm M(x0;y0) khi
Ax0  By0  C
đó d  M ,.  
.
A2  B 2
1. Cho hàm số y  x3  3mx2  3x  3m  2  Cm  . Định m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa
chúng là bé nhất.
2x  2
2. Cho hàm số  C  : y 
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ
x 1
nhất.
2x  2
3. Cho hàm số  C  : y 
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
x 1
1
4. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y  mx  (*) (m là tham số)
(ĐH KhốiA 2005)
x
1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4

b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng
1
.
ĐS: m=1.
2

Trang 5


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số y  f  x, m  ta đưa về dạng F  x, y   mG  x, y  . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm
 F  x, y   0
của hệ phương trình 
.
G  x, y   0

1. Cho hàm số y  x3  3  m  1 x 2  3mx  2 Cm  . Chứng minh rằng  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định khi m
thay đổi.
2. Cho hàm số  Cm  : y  1  2m x4  3mx2   m  1 . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
3. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y   m  3 x3  3  m  3 x 2   6m  1 x  m  1 Cm  luôn đi qua ba điểm
cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y

(x^3-2x^2-0.5)

y  f  x  có đồ thị (C “)

y  f  x  có đồ thị (C’)

y = f(x) có đồ thị (C)

y  f  x   0, x  D . Do đó ta phải

y  f  x  có f   x   f  x  ,

giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy
đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.

x  D nên đây là hàm số chẵn do
đó có đồ thị đối xứng qua trục tung
Oy.

y

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5

3-2x^2-0.5

f(x)=x^3-2x^2-0.5

(C)

y

(C')

(C'')

x

x

x

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  2 x3  9 x2  12 x  4 .
3

b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x  9 x 2  12 x  m .
f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

6

y

6

4

4

2

2

(ĐH Khối A2006)
y

x
-6

-16

-4

a.

-14

-2

-12

-10

2

-8

4

x
-6

-4

-2

2

-2

-2

-4

-4

Trang 6
-6

-6

ĐS: b. 4

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của đồ thị  C  : y  f  x   Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C)


 x  x '  2 x0

 x '  2 x0  x
thỏa: 



 f  x   f  x '  2 y0
 f  x   f  2 x 0  x   2 y0
Vậy I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của (C)  f  x   2 y0  f  2 x0  x  .

1. Cho hàm số y  x3  3x2  m 1 (m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.
(ĐH Khối B2003)
ĐS: a. f  x0    f   x0  , x0  0  … m>0.
x3
11
có đồ thị  C  . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung.
 x 2  3x 
3
3
3. Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c 1 . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua

2. Cho hàm số y  

điểm M(1;1).
4. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)
(ĐH Khối D2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số
(1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Lời giải:
a. D = R.
y' = 3x2  6x = 3x(x  2), y' = 0  x = 0, x = 2.
f(x)=x^3-3x^2+4
y" = 6x  6, y" = 0  x = 1.
x
y'
y"
y


+


0
0

1
 | 
 0 +

2
0

y
4

+
+
+

4
CĐ

2

+

2
CT
O

U
0
2. -16 d : y  -14
2 = k(x  1)-12 y = kx-10
 k + 2. -8
-6
-4
-2
Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2 + 4 = kx  k + 2  x3  3x2  kx + k + 2 = 0.
 (x  1)(x2  2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x2  2x  k  2 = 0.
Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!.
-2

x
2

Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

f x = 1.7x

6

g  x = 0
1. Định nghĩa:
 = lim
0 MH  0
(d) là tiệm cận của (C)h y

y

-4

M 

(d)

 M C 

2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng: lim f x     d  : x  x0 .

4

-6

(C)

x  x0

b. Tiệm cận ngang: lim f x   y 0  d  : y  y 0 .
x 

c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong đó:
f x 
  lim
;   lim  f x   x .
x  x
x 
Các trường hợp đặc biệt:
-10

-5

Trang 7

2

-8M
H

-10
x

5


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) y 

ax  b
mx  n

 n
+TXĐ: D= R\  
 m

+TCĐ: lim y    d  : x  
x 

n
m

n
m

+TCN: lim y 
x 

a
a
 d  : y 
m
m
y

1)

3
)=t

2

I
1

x
-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2
-3

x 1
-4
có đồ thị (C).
x 1
-5 số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
-6
2x  1
2. Cho hàm số y 
có đồ thị (H).
-7

2x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
-8
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho-9khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất.
HD câu b, c.
-10 . Phương trình tiếp tuyến là y  3x  1 hay 3x  y  1  0  .
* Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung M  0;1
 


1. Cho hàm số y 

-11

3 
N  x0 ; y0    H   N  x0 ; 2 
* Lấy f(x)=(2x+1)/(1-x)
 ,  x0  1 . Khi đó
1  x0 

y=3x+1
3
x(t)=1 , y(t)=t
3x0  2 
1
1  x0
f(x)=-2
3
. Đặt g  x0   3x0  3 

.
d  N, 

Series 1
1  x0
10
f(x)=-(1/3)x-13/3
-12.
-10
-8
-6
-4
d  N ,  min-14 g  x min

* Khảo sát hàm g  x0   3x0  2 
g '  x0   3 

3

1  x0 

2

y
2

M

x
-2

2

3
trên khoảng  0;   ,
1  x0

-2

 x0  0
, g '  x0   0  
, (lập bảng biến thiên
 x0  2

* Do x0  1 nên ta chỉ nhận nghiệm x0  2 thay vào N ta được

…)
H

6 10
N  2; 5 . Vậy N  2; 5 thì d  N ,  min 
.
5

Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH

-4

N(2;-5)
-6

-8

Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
Trang 8

4

-10


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

I. a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường
thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:

y

f(x
)
g(x)

b

S

 f  x   g  x  dx
a

O

Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

a

xy
d

f(x
)

b

được tính bởi công thức: V  

b

y

O

  f x  dx
2

a

(x)
b

x

c

a

x
O

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức:
d

V     y  dy



2

c

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b])

  f x  g x dx .
b

được tính bởi công thức: V  

2

2

a

*
*

*

Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phânỨng dụng.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.

Hàm số mũ
 y=ax; TXĐ D=R
 Bảng biến thiên
a>1
x

0
y
1

 Đồ thị

0x

y +

+
+

3



y
3

y=3x

2
1

7 -16 -6 -15 -5 -14-4 -13-3 -12-2 -11-1 -10
-1

2
1

x
-9 1 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1
-2

II. Hàm số lgarit -3

-3

-4

-4

Trang 9

x
1

-1

-2

-5

+

1

y

f(x)=(1/3)^x

0

-5

2

3


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:



x  0
y=logax, ĐK: 
; D=(0;+)
0  a  1

Bảng biến thiên


a>1
x
y

00

0

x
y

+
+

0
+

0

1

+

1







Đồ thị

n(x)/ln(1/3)

4

1/3)^x

y

y=3x

4

y
y=x

3

3

x

2

2

y=log3 x

1

15 -3-14 -2-13 -1-12 -11 1-10 2 -9
-1

1

x
3 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

III. Các công
-3 thức
1. Công thức lũy thừa:

-4
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
-6

(an)m =anm ;

-7

2

3

-2

-2

-5

1
-1

y=x

anam =an+m;

x

-3
-4
-5

1
an
m
0
1 1
nm
;(
=a
;
a
=1;
a
=
);

a
a
-6
an
am
n

n
 a  -7a

;
 
m
 b  -8b

(ab)n=anbn;

-8

m

a n  n am .

2. Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0)
-9
-9
Với 0-10
-10
x
loga(x1x2)=logax1+logax2 ;
loga 1 = logax1logax2;
-11
-11
x2
logax=logax;
-12
log b x
1
logax=
;(logab= -13
)

log b a
log b a

-14
-14
logba.logax=logbx;
alogbx=xlogba.
-15 trình và bất phương trình mũlogarit
-15
IV. Phương
1. Phương trình mũlogarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0 f(x)=g(x).
b  0
+ 0
.
 f x   log a b
a loga x  x-12
;
1
log a x  -13log a x ;(logaax=x);

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1)
(a1)[f(x)g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2  3 ), (7 4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có
thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0b. Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:

Trang 10


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

0  a  1

+logaf(x)= logag(x)  f x   0
 f x   g x 


0  a  1
+logaf(x)=g(x) 
g x
 f x   a

Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ:
a  0
 af(x)>ag(x)  
;
a  1 f x   g x   0
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì:
af(x)>ag(x)

f(x)
g(x)

a a

* Nếu 0af(x)>ag(x)

af(x)ag(x)

b. Bất phương trình logarit:
0  a  1

logaf(x)>logag(x)  f x   0, g x   0
;
a  1 f x   g x   0

Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì:



logaf(x)>logag(x)



+ Nếu 0
g x   0 .

a  0
 af(x)ag(x)  
.

a  1 f x   g x   0

f(x)>g(x);
f(x)g(x).
f(x)g(x);
f(x)g(x).
0  a  1

logaf(x)logag(x)  f x   0, g x   0
.
a  1 f x   g x   0

 f x   g x 
;

 g x   0
 f x   g x 
.

 f x   0

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x

2

x

 4.2 x

2

x



 22 x  4  0  2 x

2



 1 .  22 x  4   0 .

x

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành



tích: 2 x

2

x



 1 .  22 x  4   0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2  log9 x   log3 x.log3
2





2x  1  1 .





Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3 x  2log3 2 x  1  1  .log3 x  0 . Đây


là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành
tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x  2( x  2)3x  2 x  5  0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
t 2  2  x  2 t  2 x  5  0  t  1, t  5  2 x . Thay vào (*) ta tìm được x.

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log32  x  1   x  5 log3  x  1  2 x  6  0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
t 2   x  5 t  2 x  6  0  t  2, t  3  x  x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm
trong khoảng (a;b).

Trang 11


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u)  f  v   u  v .
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất
một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

c  a; b : F ' c  

F b   F a 
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
ba

c   a; b  : F '  c   0  F '  x   0 có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc
D.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2.3log2 x  3 .
Hướng dẫn: x  2.3log2 x  3  2.3log2 x  3  x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình
có nghiệm duy nhất x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x  2 x  5x  3x . Phương trình tương đương 6 x  5x  3x  2 x , giả sử phương trình có
nghiêm . Khi đó: 6  5  3  2 .

Xét hàm số f t   t  1  t  , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c   2;5 sao


 1
cho: f '  c   0    c  1
 c 1   0    0,   1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình.



Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x

2

x

 2x 1  ( x  1)2 . Viết lại phương trình dưới dạng 2x 1  x  1  2x

2

x

hàm số f t   2 t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:

 x2  x , xét

f  x  1  f  x 2  x   x  1  x 2  x  x  1 .

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x  2x  3x  2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không
còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f  x   3x  2x  3x  2  f ''  x   3x ln 2 3  2x ln 2 2  0  Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương

trình không có quá hai nghiệm.
 x
e  2007 
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 
e y  2007 



y
y  1 có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
x
2

x2  1

HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f  x   e x 

x
x2  1

 2007 .

Nếu x < 1 thì f x   e 1  2007  0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
b
a
1 
1 



a
b
Ví dụ 6: Cho a  b  0 . Chứng minh rằng  2  a    2  b  (ĐH Khối D2007)
2 
2 


1
1
1
ln  2 x  x 
ln  2a  a  ln  2b  b 
1
1
2 
2 
2 

HD: BĐT  b ln  2a  a   a ln  2b  b   
. Xét hàm số f  x   
với x

x
a
b
2
2






>0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a  b  0 ta có f (a)  f b (Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất
phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log7 x  log3 ( x  2) . Đặt t = log7 x  x  7t Khi đó phương trình trở thành:
t

t  log3 ( 7t  2)  3t 

 7
1
7t  2  1  
  2.  3  .
3
 


t

Trang 12


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình log 4 6 ( x2  2 x  2)  2log

5

Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log6  t  1  log5 t .



 x2  2 x  3  .



Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x  3log6 x  log6 x . Đặt t  log6 x , phương trình tương đương
t

3
6t  3t  2t  3t     1 .
2
logb  x  c 

 x ( Điều kiện: b = a + c )
log x 3
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 7    x . Đặt t  log
3. Dạng 3: a
t

7

 x  3  7t

 x  3 , phương trình tương đương

t

4
1
4t  7t  3     3.    1 .
7
7
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3  x5  x  4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 t 1  t
log3  x 1

Ví dụ 3: Giải phương trình 4

log3  x 1

  x  1 2

 x  0.

ax b
 c log s  dx  e    x   , với d  ac   , e  bc  
4. Dạng 4: s

Phương pháp: Đặt ay  b  log s (dx  e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình
một ta được: s axb  acx  s ay b  acy . Xét f  t   s at b  act .

Ví dụ: Giải phương trình 7 x1  6log7 (6 x  5)  1 . Đặt y  1  log7  6 x  5 . Khi đó chuyển thành hệ
x 1
x 1



7  6  y  1  1
7  6 y  5

 7 x 1  6 x  7 y 1  6 y . Xét hàm số f  t   7t 1  6t suy ra x=y, Khi đó:

 y 1

 y  1  log 7  6 x  5
7  6 x  5


7 x 1  6 x  5  0 . Xét hàm số g x   7 x 1  6 x  5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của
phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
8
2x
18
Ví dụ: Giải phương trình x1
 x
 x 1 1 x
2 1 2  2 2  2  2
8
1
18
HD: Viết phương trình dưới dạng x1
, đặt u  2x1  1, v  21 x  1.u, v  0 .
 1 x
 x1 1 x
2 1 2  2 2  2  2

18
8 1
  
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:  u v u  v
u.v  u  v
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:

a.  2  3    2  3   4  0
x

b.



x

 
x

2 3

2 3



x

4

c.  7  4 3   3  2  3   2  0
x

x

d.  3  5   16  3  5   2x3
x

e.



x

 
x

2 1 



x

2  1  2 2  0 (ĐH_Khối B 2007)

f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006)
g. 2

x2  x
x2  x

 4.2

x2  x

ĐS: x=1, x=1.
ĐS: x=1.

 2  4  0 (ĐH_Khối D 2006)

ĐS: x=0, x=1.

2x

2 x  x2

2
 3 (ĐH_Khối D 2003)
k. 2
x
x
i. 3.16  2.8  5.32x

ĐS: x=1, x=2.

Trang 13


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

1

1

1

j. 2.4 x  6 x  9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
5 x  y  125

b. 
2
4( x  y ) 1  1

4 x  y  128
a. 
53 x 2 y 3  1

2 x  2 y  12
c. 
 x  y  5
2
2

log 2  x  y   1  log 2  xy 
d.  2
x  xy  y 2
 81


3

(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2)


 x 1  2  y 1
e. 
2
3

3log 9  9 x   log 3 y  3
1

log 1  y  x   log 4 y  1
f.  4
 x 2  y 2  25

 23 x  5 y 2  4 y

g.  4 x  2 x 1
y
 x
 2 2
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).

(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)

(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).

a .  m  2  .2 x  m.2 x  m  0 .

b . m.3x  m.3 x  8 .

Bài 4: Cho phương trình log32 x  log32 x  1  2m  1  0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  .







Bài 5: Cho bất phương trình 4 x1  m. 2 x  1  0
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x  log5  x  6   log5  x  2 



b. log5 x  log 25 x  log0,2 3



x3
0
x 1
(ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
(ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.

d. lg( x 2  2 x  3)  lg

c. log x 2 x 2  5 x  4  2
e. log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4
f. log 22  x  1  6 log 2 x  1  2  0
g. log 2  4 x  15.2 x  27   2 log 2

ĐS: a. x  3 3 , b. 0  m  2
16
a. Giải bất phương trình khi m= .
9
b. Định m để bất phương trình thỏa x  R .

1
4.2  3
x

0

Bài 7: Giải bất phương trình:
a. 2 log3 (4 x  3)  log 1  2 x  3  2

(ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23.
(ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3.

3


x2  x 

b. log 0,7  log 6
0
x4 


c. log5  4x  144  4 log5 2  1  log5  2x2  1

(ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8.
(ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.

Trang 14


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

x 2  3x  2
0
x

d. log 1
2

  2; 2 

(ĐH_Khối D 2008) ĐS:  2  2;1

2  .



Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp

 dx  x  C


x  dx 

x  1
 C   1
 1

 x  ln x  C x  0
 e dx  e  C
dx
x

ax
a dx 
 C 0  a  1
ln a
cos xdx  sin x  C



 sin xdx   cos x  C
x

1
2

x

1

 sin

2

x





x

 cos








dx  tan x  C



dx   cot x  C



Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
1
d ax  b   ax  b   C
a
 1
ax  b dx  1 ax  b  C   1
a  1
dx
1
 ln ax  b  C x  0
ax  b a
1
e axb dx  e axb  C
a
1
cosax  b dx  sin ax  b   C
a
1
sin ax  b dx   cosax  b   C
a
1

1
dx  tanax  b   C
2
a
cos ax  b 
1
1
dx   cotax  b   C
2
a
sin ax  b 

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

 du  u  C


u  du 

u  1
 C   1
 1

 u  ln u  C u  0
 e du  e  C
du
u

u

au
 C 0  a  1
ln a
cos udu  sin u  C



 sin udu   cos u  C
1
 cos u du  tanu  C
a u dx 

2

1

 sin

2

u

du   cot u  C

I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
b

f[u(x)]u/ (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Để tính tích phân
a

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt
Bước 2. Đổi cận: x
a
t

u/ (x)dx .
u(a)
, x

b

t

u(b)

.

b

f[u(x)]u/ (x)dx

Bước 3.

f(t)dt .

a
e2

Ví dụ 7. Tính tích phân I
e

dx
.
x ln x
Giải
Đặt t

x

e

ln x

t
2

I
1

dt

1, x
dt
t

e2

ln t

Trang 15

2
1

dx
x
t
ln 2 .

2


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Vậy I
4

Ví dụ 8. Tính tích phân I
0

ln 2 .

cos x
dx .

(sin x cos x)3

Hướng dẫn:
4

4

cos x
dx
3
(sin
x
cos
x)
0
3
ĐS: I
.
8

1
(tan x

I

0

3

Ví dụ 9. Tính tích phân I

dx
x) 2x

(1

1
2

dx
. Đặt t
.
1)3 cos2 x

3

tan x

1

.

Hướng dẫn:
Đặt t
ĐS: I

2x
3
ln .
2

3

1

3
1

Ví dụ 10. Tính tích phân I
0

x
dx .
x

Hướng dẫn:

3
1

Đặt t
ĐS: I

3

3

x
x

8
1

3

t2 dt
; đặt t
(t2 1)2

tan u

2.

Chú ý:
1

3
1

Phân tích I
0

x
dx , rồi đặt t
x

1

x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1
b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

 f ( x)dx ta thực hiện các bước sau:
a

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   .
/

b

Bước 3.





 f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt .
/

a

1
2

Ví dụ 1. Tính tích phân I
0

1
1

x2

dx .
Giải

Đặt x

sin t, t

x

0

2

t

;

dx

2

0, x

Trang 16

1
2

t

cos tdt

6


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:
6

6

cos t
dt
1 sin2 t

I
0

0

6

cos t
dt

cos t

Vậy I

6

dt

t 06

0

6

.

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I

x2 dx .

4
0

Hướng dẫn:
Đặt x
2 sin t
ĐS: I
.

1

dx
.
1 x2

Ví dụ 3. Tính tích phân I
0

Giải
Đặt x

tan t, t

x

2

0

t
4

I
0

;

3 1

Ví dụ 4. Tính tích phân I

x

0

dx
2x

2

2

2

0, x

1

4

.

Hướng dẫn:
3 1

I
0

Đặt x

ĐS: I

x

dx
2x

2

1

3 1

2

1

0

tan t

12

.
2

dx
.
4 x2

Ví dụ 5. Tính tích phân I
0

ĐS: I

2

dx
.
(x 1)2

.
3 1

Ví dụ 6. Tính tích phân I
0

ĐS: I

12

x

2

dx
2x

2

.

.

3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
2

cos2 x sin 3 xdx .

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I
0

Hướng dẫn:
Trang 17

t

4

4

tan2 t 1
dt
1 tan2 t
Vậy I

(tan2 x

dx

dt
0

.

4

.

1)dt

0

6

.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Đặt t

cos x
2
.
15

ĐS: I

2

cos5 xdx .

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I
0

Hướng dẫn:
Đặt t
sin x

8
.
15

ĐS: I

2

cos4 x sin2 xdx .

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I
0

Giải
2

0

1
16

2

1
4

cos4 x sin2 xdx

I

cos2 x sin2 2xdx
0

2

(1
0

Ví dụ 14. Tính tích phân I
0

x
16

0

dx
cos x sin x

1

1
4

cos 4x)dx

0

sin2 2xd(sin 2x)
Vậy I

2

(1

2

1
8

cos 4x)dx

2

1
16

2

cos 2x sin2 2xdx
0

sin3 2x
24

1
sin 4x
64

2

32

0

.

.

32

.

Hướng dẫn:

x
.
2

Đặt t

tan

ĐS: I

ln 2 .

Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan

2t
1 t2
2t
a
;
cos
a

; tan a 
.
: sin a 
2
2
2
1 t
1 t
1 t2

3.2. Dạng liên kết

Ví dụ 15. Tính tích phân I
0

xdx
.
sin x 1
Giải

x
0

I

(
sin(

t)dt
t) 1
dt

2

0

t
sin
2

t
cos

2

0

sin t

0

2

Đặt x

4

0

t
dx
, x

t

1

dt
t
cos2
2

t

sin t

1

dt
t 0

dt
0

t
d
2
4

2

Vậy I
Tổng quát:
Trang 18

0

.

cos

2

dt

sin t 1

I

4
t
2

2
4

tan

I

t
2

2

4

0

dt
sin t 1

.
0

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

xf(sin x)dx

2

0
2

Ví dụ 16. Tính tích phân I
0

f(sin x)dx .
0

sin2007 x
dx .
sin2007 x cos2007 x
Giải
Đặt x

x
sin2007

0

I
2

0

sin2007

2

t

2

t
2
cos2007

t

t

2

dx

, x

dt
t

2
2

t

2

dx
0

0

cos2007 t
dx
sin2007 t cos2007 t

2

Mặt khác I

J

dx

2

0

(2). Từ (1) và (2) suy ra I

4

.

Tổng quát:
2

0

2

sinn x
dx
sinn x cosn x
6

Ví dụ 17. Tính tích phân I
0

cosn x
dx
sinn x cosn x

0

6

sin2 x
dx và J
sin x
3 cos x

4

,n

.

cos2 x
dx .
sin x
3 cos x

0

Giải

I

3J

1

3 (1).

6

I

J
0

Đặt t

x

dx
sin x

3

Từ (1) và (2) I

3 cos x

dt

dx

1
2

6

0

dx
sin x

3

1

ln 3 (2).
4
1
3
1
, J
ln 3
4
16
1
ln(1 x)
dx .
1 x2
0

dx  I

3
ln 3
16

Ví dụ 18. Tính tích phân I

J

1

3
4

.

Giải
Đặt x

x
4

I
0

tan t

dx

(1

t

0, x

1

0

ln(1 tan t)
1
1 tan2 t
Đặt t

4

tan2 t)dt

t

4
4

tan2 t dt

ln(1
0

u

dt

Trang 19

du

tan t)dt .

J (1).


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

t

0

u

4

, t

u

4

0

0

4

I

ln(1

tan t)dt

ln 1

tan

u du

4

0
4
4

1
1

ln 1
0

4

ln
0

2
du
tan u

1

4

ln 2du

ln 1

0

tan u du

4

0

Vậy I
4

4

tan u
du
tan u

8

ln 2

I.

ln 2 .

cos x
dx .
2007 x 1

Ví dụ 19. Tính tích phân I
4

Hướng dẫn:
Đặt x
t
ĐS: I

2
.
2

Tổng quát:
Với a > 0 ,

0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn

f(x)
a
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên

x

1

dx

;

thì

f(x)dx .
0

và thỏa f( x)

2f(x)

cos x .

2

Tính tích phân I

f(x)dx .
2

Giải
2

Đặt J

f( x)dx , x

t

dx

dt

2

x

t

2

2

, x

2

I

t

2

2

2

f( t)dt

J

3I

J

2I

2

f( x)
2

2

2

cos xdx
2

2

cos xdx
0

Trang 20

2.

2f(x) dx


CHUYấN ấ TOAN 12 LUYN THI CAO NG AI HOC
0937 944 688 Email:

2
.
3

Vy I
3.3. Cỏc kt qu cn nh

a

f(x)dx

i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

0.

a
a

a

f(x)dx

ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

2

a

f(x)dx .

0

iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2

(n

1)!!
, neỏu n leỷ
n !!
.
(n 1)!!
. , neỏu n chaỹn
n !!
2

2

cosn xdx

sin n xdx

0

0

Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:

6!!

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5;
2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 .

2

Vớ d 21.

cos11 xdx

10 !!
11!!

sin10 xdx

9 !!
.
10 !! 2

0
2

Vớ d 22.
0

2.4.6.8.10
1.3.5.7.9.11

256
.

693

1.3.5.7.9
.
2.4.6.8.10 2

63
.
512

II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú

uv

/

u/ v

uv/

uv

/

u/ vdx

dx

b

d uv

vdu

udv

d(uv)

uv

b
a

a

b

vdu
a

b

vdu

a
b

uv/ dx

b

a
b

b

udv

udv

a

udv

uv

a

b
a

vdu .
a

Cụng thc:
b

b

udv

uv

b
a

vdu (1).

a

a

Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b

b
/

f(x)g (x)dx

f(x)g(x)

b
a

a

a

2. Phng phỏp gii toỏn
b

f(x)g(x)dx ta thc hin

Gi s cn tớnh tớch phõn

f / (x)g(x)dx (2).

a

Cỏch 1.

Trang 21


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Bước 1. Đặt u

f(x), dv

g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
b

du

/

vdu phải tính được.

u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
a

Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b

b

P(x) sin axdx,

i/ Nếu gặp

b

a
b

a

a

P(x) ln xdx thì đặt u

ii/ Nếu gặp

eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u

P(x) cos axdx,
ln x .

a

Cách 2.
b

b

f(x)G/ (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).

f(x)g(x)dx

Viết lại tích phân
a

a
1

xex dx .

Ví dụ 1. Tính tích phân I
0

u
Đặt

Giải

x

du

ex dx

dv

dx
ex

v

1

(chọn C

0)

1
x

xe dx

xe

x 1
0

ex dx

0

1)ex

(x

1
0

1.

0

e

Ví dụ 2. Tính tích phân I

x ln xdx .
1

Giải
Đặt

u
dv

e

xdx

1

x2
2

v
e

x ln xdx

dx
x

du

ln x

x2
ln x
2
1

1
2

e

xdx

e2

1

1
4

.

2

ex sin xdx .

Ví dụ 3. Tính tích phân I
0

Đặt

u
dv

sin x

Giải

x

e dx

du

cos xdx

v

x

2

2

ex sin xdx

I

e

ex sin x

ex cos xdx

2
0

0

0

u

Đặt

dv

cos x
x

e dx

du
v

Trang 22

sin xdx
ex

e2

J.

P(x) .


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:
2

2
x

J

x

e cos xdx

e cos x

e x sin xdx

2
0

0

1

0

I

e2

( 1

I)

e2

I

1
2

.

Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
2

4

Ví dụ 7. Tính tích phân I

cos xdx .
0

Hướng dẫn:
2

Đặt t

x

I

2

t cos tdt

2.

0

e

Ví dụ 8. Tính tích phân I

sin(ln x)dx .
1

ĐS: I

(sin1

cos1)e
2

1

.

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

Giả sử cần tính tích phân I

f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x
f(x)
b

Bước 2. Tính I

a

x1
0

x1

f(x) dx

x2

f(x)dx

a

b

x2
0

a

b

f(x)dx

f(x)dx .

x1

x2

2

x2

Ví dụ 9. Tính tích phân I

3x

2 dx .

3

Giải
Bảng xét dấu

x2

x
3x

3

1

2

I

x

2

3x

x2

2 dx

3

1

Vậy I

59
.
2

2

Ví dụ 10. Tính tích phân I

2
0

1
0

2

5

4 cos2 x

4 sin xdx .

0

Trang 23

3x

2 dx

59
.
2

I


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

ĐS: I

2 3

2

6

.

2. Dạng 2
b

Giả sử cần tính tích phân I

f(x)

g(x) dx , ta thực hiện

a

Cách 1.
b

Tách I

b

f(x)

b

g(x) dx

f(x) dx

a

g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

a

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

Ví dụ 11. Tính tích phân I

x

x

1 dx .

1

Giải
Cách 1.
2

2

I

x

x

1
0

1 dx

x dx
1

2

xdx

(x

0

0

1

1)dx

1

2

x2
2

0

1 dx

(x

1)dx

1

1

x2

2

x
1
2

1

xdx
1

x2
2

2

2

x2
2

x
1

x

0.
1

Cách 2.

Bảng xét dấu
–1

x
x
x–1

–
–

0

0
0

1
+ 
– 0

2
+
+

1

I

x

x

1 dx

1

2

x

x

1 dx

0

x2

x 01

x

x

1 dx

1

1

x

Vậy I

x 12

0

0.

0.

3. Dạng 3
b

Để tính các tích phân I

b

max f(x), g(x) dx và J
a

min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các bước sau:
a

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)
Bước 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)

f(x)

g(x) trên đoạn [a; b].

f(x) và min f(x), g(x)
g(x) và min f(x), g(x)

g(x) .
f(x) .

4

max x2

Ví dụ 12. Tính tích phân I

1, 4x

2 dx .

0

Giải
Đặt h(x)

x2

1

4x

Bảng xét dấu
Trang 24

2

x2

4x

3.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

x
h(x)

0

1
0

+

1

3
0

–

4
+

3

I

x

2

4

1 dx

4x

0

x2

2 dx

1

80
.
3

1 dx

3

80
.
3

Vậy I
2

min 3x , 4

Ví dụ 13. Tính tích phân I

x dx .

0

Giải
x

Đặt h(x)

3

4

–

1
0

3x

x

x

4.

Bảng xét dấu
x
h(x)
1

0

2
x

I

3 dx

4

0

2
+

3x 1
ln 3 0

x dx

1

2

x2
2

4x

1

2
ln 3

Vậy I

2
ln 3

f(x)dx

0 ) ta chứng minh f(x)

5
.
2

5
.
2

IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

b

f(x)dx

Để chứng minh

0 (hoặc

a

x

0 (hoặc f(x)

a

a; b .
1
3

Ví dụ 14. Chứng minh

x 6 dx

1

0.

0

Giải
1

x

Với

0; 1 : x

6

1

3

1

x

6

3

0

x 6 dx

1

0.

0

2. Dạng 2
b

b

f(x)dx

Để chứng minh

g(x)dx ta chứng minh f(x)

a

g(x) với x

a; b .

a
2

Ví dụ 15. Chứng minh
0

1

2

dx
sin10 x

dx
.
sin11 x

1

0

Giải
Với

1

x

0;

:0

2

sin10 x

sin x

sin11 x

1
2

Vậy
0

1

1

0

0

dx
sin10 x

3. Dạng 3
Trang 25

1
2

0

1

sin11 x

1
sin10 x
dx
.
sin11 x

sin10 x

1

1
.
sin11 x

0 ) với