Mot so bai tap Luyen thi 2012-2013

WWW.ToanCapBa.Net
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC 73 HÙNGVƯƠNG
--------0O0--------

TÀI LIỆU LUYỆN THI

Biên soạn: Phan Hoàng Tâm

Lưu hành nội bộ
----- 2012------

1

WWW.ToanCapBa.Net


TÍCH PHÂN
A. Tính tích phân:
I. Các công thức cơ bản:
1. a. Công thức Newton - Leibniz.
b

∫ f (x)dx = [ F(x)]
a

b
a

= F(b) − F(a)

(F(x) là 1 nguyên hàm của f(x))

b

b

a

a

• ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ...
b.

Tính chất
a

a)

∫ f (x)dx

= 0.

a

b

b)

∫ f (x)dx
a

b

c)
d)

b

b

= k. ∫ f (x)dx .
a

b

c

a

a

b

+ ∫ f (x)dx , c ∈ (a;b).

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx
b

e)

= - ∫ f (x)dx .

∫ k.f (x)dx
a

a

∫ [f (x) ± g(x)]dx
a

c

b

b

a

a

= ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
b

f) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀ x∈ [a;b] thì ∫ f (x)dx ≥
a

2. Các nguyên hàm cơ bản.

2

b

∫ g(x)dx .
a


WWW.ToanCapBa.Net
Hàm số
Họ nguyên hàm
1.
2.
3.

4.

u’.uα , α≠-1
u'
u
u’.au ,0
u’.cosu

6.

u’.sinu

8.

ln|u|+C
au
+C
ln a

u’.eu

5.

7.

u α +1
+C
α +1

eu+C
sinu+C
-cosu+C

u'
cos 2 u
u'
sin 2 u

tanu+C
-cotgu+C

Ch ý: * Khi u=x, th u’=1. Vă ta c câc cng thức tương ứng chẳng
dx
hạn ∫ 2 = − cot gx + C .
sin x
*Tất cả các công thức về nguyên hàm đều có thể chứng
minh dễ dàng nhờ phép lấy đạo hàm.
II. Phương pháp tính tích phân:

1. Phương phâp đổi biến:
a) Đổi biến xui:
b

Để tính I =

∫ f (x)dx .

Mà biểu thức trong dấu tích

a

phân có dạng f ( x ) = g( ϕ( x )).ϕ' ( x ).

3

WWW.ToanCapBa.Net


b

Ta viết I = ∫ g[ϕ(x)]ϕ '(x)dx

-

a

-

Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ ’(x)dx.

-

Đổi cận:
+ x = a ⇒ t = ϕ (a) = α .
+ y = b ⇒ t = ϕ (b) = β .
b

β

a

α

Khi đó I = ∫ f (x)dx = ∫ g(t)dt .

b) Đổi biến ngược:

b

Để tính I = ∫ f (x)dx .
a

-

Đặt x = ϕ (t).

-

Suy ra dx = ϕ ’(t)dt.

-

Đổi cận:
+ Khi x = a thì t = α (giải phương trình a = ϕ
(t)).
+ Khi x = b thì t = β (giải phương trình a = ϕ

-

(t)).
Viết tích phân thành

b

β

β

a

α

α

I = ∫ f (x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt = ∫ g(t)dt .
*Chú ý: Đổi biến ngược thường được dùng để khử căn & phân thức
mà dưới mẫu dạng bậc 2 vô nghiệm:
 π π
a 2 − u 2 đặt u = a sin t , t ∈ − , 

 2 2
4


WWW.ToanCapBa.Net
π π
1
u = atgt , , t ∈  − ,  .
a 2 + u 2 hay 2
2 đặt
u +a
 2 2
2. Phương phâp tnh từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên [a,b] thì :
b

b

b

∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)| − ∫ v(x)u'(x)dx
a

a

a

u' (x)dx = du
Vì 
nên công thức có dạng thu gọn :

 v' (x)dx = dv
b

b

b

∫ udv = u.v| − ∫ vdu
a

a

a

• Ap dụng công thức tính phân từng phần tức là chuyển tích phân
b

b

a

a

phải tìm ∫ f(x)dx = ∫ u(x)v' (x)dx
b

về tích phân dễ hơn ∫ v(x)u'(x)dx
a

Do đó ta phải chọn v’(x) sao cho v(x) xác định dễ ràng và tích

b

phân ∫ u(x)v' (x)dx đã biết cách tính
a

• Nếu f(x) có dạng : f(x)=P(x).lnx . . . thì ta đặt u=lnx . . .
• Nếu f(x) có dạng : f(x)=P(x).eax,P(x).sinx. . , thì ta đặt u=P(x). . .
III. Câc dạng tch phđn thường gặp:
1. Dạng hữu tỉ, phđn thức:
a) Dưới mẫu bậc 2 c nghiệm: Phđn tch thănh câc phđn thức đơn
giản bằng phương phâp hệ số bất định.
1
1
1
= −
x( x + 1) x x + 1
2
1
1
• f(x)= 2
=
x − 10 x + 24 x − 6 x − 4
5 WWW.ToanCapBa.Net

• f(x)=


1
1
x

−
2 =
x(1 + x ) x 1 + x 2
A±B 1 1
= ± . . .
•
A.B
B A
b) Dưới mẫu bậc hai vô nghiệm:
Đưa về dạng u 2 + a 2 (với u=u(x)) rồi đỏi biến lượng giâc
π π
u = atgt , , t ∈  − ,  .
 2 2
2. Dạng căn thức:
a) Trong căn bậc nhất, hay chỉ c một căn thức: đặt căn thức đ
bằng t.
b) Trong căn bậc 2: Đổi biến lượng giâc
 π π
a 2 − x 2 đặt x = a sin t , t ∈ − , 
 2 2
 π π
a 2 + x 2 đặt x = a tan t , , t ∈  − ,  .
 2 2
•

f(x)=

3. Dạng lượng giâc:
a) Dạng tch: Dng các công thức biến đổi tích thành tổng:
1

[sin(a+b)+sin(a-b)]
2
[cos(a+b)+cos(a-b)]
1
sinasinb= [cos(a-b)-cos(a+b)]
2
và công thức hạ bậc:
1
cos2x= (1+cos2x)
2
1
sin2x= (1-cos2x)
2
b) Tổng quát:
sinacosb=

6

cosacosb=

1
2


WWW.ToanCapBa.Net
2t

tan x = 1 − t 2

2t

x

Đặt t = tan , th sin x =
rồi đưa về dạng hữu tỉ.
1+ t2
2


1+ t2
cos
x
=

1− t2

Bài 1. Tính bằng đổi biến:
π
2

sin x
1) ( ĐH ĐN 99) I=
∫0 1 + cos x dx ; J=
2) ( ĐHTS NT 99)Tính
π /2

A=

∫ sin 2 x(1 + sin

π /4

∫
0

1
dx
cos 4 x

π /2
2

3

x) dx

B=

0

∫ sin x cos x(1 + cos x) dx
2

0

4

dx

∫x

3) ( ĐHAN HN 99 )

x2 + 9

7

π /3

4) ( ĐH KT HN)

sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x
/4

∫
π

π /2

5) (ĐHKT HN 99)

∫
0

sin x + 7 cos x + 6
dx
4 sin x + 3 cos x + 5

π

2

6) (TN 2005) I= (x + sin2 x) cos xdx
∫
0

7) (TN 2003) Tm nguyên hàm F(x) của hăm số

f ( x) =

1
x 3 + 3x 2 + 3x − 1
, biết rằng F (1) = .
2
3
x + 2x +1

8) (TN 2006 kpb) I =

π
2

sin 2 x

∫ 4 − cos
0

ln 5

9) (TN 2006 pbA +B) I =

∫

x

dx .

(e x + 1)e x

1

dx, I = ∫ ( 2 x + 1)e x dx.

e x −1
0
WWW.ToanCapBa.Net
ln 2

7

2


e

ln 2 x
dx .
10) (TN 2007kpb) J = ∫
x
1

2

2 xdx

J =∫

11) (TN 2007 pb A+B)

x2 +1

1

3

Bài 2. Tính các tích phân sau:
2 3

i) (Toán A 2003)

∫

5

ii) (Toán B 2003)

dx
x x2 + 4

.

π
4

1 − 2 sin 2 x .
∫0 1 + sin 2 x dx
2

2
iii) (Toán D 2003) ∫ | x − x |dx.
0

2

x
dx.
x −1

∫ 1+

iv) (Toán A 2004)

1

e

v) (Toán B 2004)

1 + 3 ln x . ln x
dx .
x

∫
1

3

∫ ln( x

vi) (Toán D 2004 )

2

− x)dx.

2

π
2

sin 2 x + sin x
dx
1 + 3 cos x
0

viii) (Toán A 2005)

ix) (Toán B 2005)

x) (Toán D 2005)

∫

π
2

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0

∫

π
2

∫ (e

sin x

+ cos x ) cos xdx

0

xi) (Toán A 2006)

π
2

∫
0

8

∫

, K = 2 x ln xdx.

sin 2 xdx
cos 2 x + 3 sin 2 x

1


WWW.ToanCapBa.Net
dx
xii) (Toán B 2006) ∫ x
e + 2e − x − 3
ln 3
ln 5

1

xiii) (Toán D 2006)

∫ ( x − 2)e

2x

dx.

0

e

3
2
xiv) (D07) I = ∫ x ln xdx.
1

Băi 3. Tnh câc tch phđn sau : (SGK)
2
5( x − 1)
dx
i) ∫ 2
ii)
x + x +1
1
1

iii)

0

2

v)

iv)

0

2

0

dx
+ x +1
dx

∫ (2 x + 1)

2

1

1

dx
2
x +4

∫

∫x
2

xdx
2
x + 3x + 2

∫

1

vi)

∫

1 − x 2 dx

0

π
4

2

vii) tgx dx
∫

∫| x

viii)

2

− 1 | dx

−2

0

π
2

π
4

ix) sin 2  π − x dx
∫0  4 

x)

∫π sin 2 x sin 7 xdx

−

π
4

2
1

dx
xi) ∫
2
π sin x cot gx

xii) ∫ ( x − 1) cos xdx
0

6
1

xiii)

∫x e

2 −x

dx

xiv)

0

π
2

∫e

x

cos xdx

0

Băi 4. Tnh câc tch phđn (Năm 2000)
9

WWW.ToanCapBa.Net


ln 2

∫

i) (ĐH BK HN)

e 2 x dx
ex +1

0

π
3

3
ii) (ĐH CT B) I= ∫ cos xdx , J=

π
6

3

∫| 2

− 4 | dx

x

0

π
4

sin 4 xdx .
sin 4 x + cos 4 x
0

iii) (ĐH CT D) I =
∫

π

1

4 x + 11
dx
iv) (ĐHSP HCM) ∫ 2
x + 5x + 6
0
2

∫x

v) (ĐH Y HN )

2

x
dx
− 7 x + 12

2

1

∫ cos

vă

4

xdx

0

π
3

4
vă ∫ tg xdx

π
4

vi) (ĐHQG HN) Tm họ nguyín hăm
2

f ( x) =

x 2001
(1 + x 2 )1002

vii)(ĐH TN) ∫ max[f(x), g(x)]dx với f ( x) = x 2 , g ( x) = 3 x − 2.
0

π
2

viii) (ĐH ĐN)

sin x − cos x

dx
∫
π sin x + cos x
4

Băi 5. Tnh câc tch phđn (2001)
10

i) (ĐH Dược HN)

∫ x lg

2

xdx

1

ii) (ĐH NT)

π
4

∫ sin
0

iii) (ĐH AN)

10

∫

3

sin 4 xdx
6
x + cos 6 x

xdx
tnh nguyín hăm.
x +1


WWW.ToanCapBa.Net
iv) (ĐH TS)

π
4

cos 2 xdx

∫ sin 2 x + cos 2 x
0

v) (ĐH SP HCM)

π
4

dx

∫ (sin x + 2 cos x)

2

0

π
3

∫π

vi) (ĐH Vinh)

−

x sin xdx
cos 2 x

3

1

2 2
vii) (ĐH NN) ∫ (1 − x − x ) dx
0

viii) (ĐH KTrc HN)

π 
 
2

3

∫ sin

3

x dx

0

B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I.CÁC CÔNG THỨC TÍNH

1. Công thức tính diện tích hình phẳng
Giả sử f(x) liên tục trên [a,b] và S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường x=a,x=b,y=0 , y=f(x) .Khi đó :
b

S = ∫ f(x)dx
a

b

• Nếu f(x)≥0 với mọi x∈[a,b] thì S= ∫ f(x)dx
a

• Nếu f1(x) , f2(x) liên tục trên [a,b] thì diện tích hình phẳng S giới
hạn bởi các đường : x=a,x=b,y=f1(x) , y=f2(x) là :
b

S= ∫ f 2 (x) − f1 (x) dx
a

• Nếu f2(x)≥f1(x) với mọi x∈[a,b] thì :
11

WWW.ToanCapBa.Net


b

S= ∫ [f 2 (x) − f1 (x)]dx
a

2.Công thức thể tích khối tròn xoay
Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và (H) là miền phẳng được giới
hạn bởi x=a,x=b và y=f(x) thì thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
b

quay (H) quanh 0x là : V =π ∫ [f(x)] dx
2

a

II.BÀI TẬP
Bài 1 . Ứng dụng tích phân tính:
i) (Toán A 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y =| x 2 − 4 x + 3 |, y = x + 3.
ii) (Toán B 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = 4−

x2
x2
,y =
.
4
4 2

iii) (Toán D 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=

− 3x − 1
, y=0.
x −1

iv) (TN 2004) Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi

(C ) y =

1 3
x − x 2 và các đường thẳng y=0, x=0, x=3 quay quanh trục Ox.
3

v) (TN 2005) Tính diện tích vật thể giới hạn bởi trục tung trục hoành và đồ
thị (C ) y =

2x + 1
.
x +1

vi) (TN 2006 kpb) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
sô y = e x , y = 2, x = 1.
vii) (TN 2006pb) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(C) y=-x3+3x2 và trục hoành.
viii) (TN 2003) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2 x 2 − 10 x − 12
và đường thẳng y=0.
x+2
ix) (A 07) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi câc đường:

y=

(

12

)x.

x

y=(e+1)x, y= 1+e


WWW.ToanCapBa.Net
x) (B 07) Cho hnh phẳng H giới hạn bởi câc đường: y=xlnx, y=0,
x=e. Tnh thể tch của khối trn xoay tạo thănh khi quay hnh H quanh
trục Ox.
Bài 2. Ứng dụng tích phân tính:
i). Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau
đây :

a) x = 0 , y = 2 x , y = 3 − x
b) y = x. 1 + x 2 , y = 0 , x = 1
ii). Gọi (H) là miền phẳng giới hạn bởi 2 Parabol y = x 2 và y 2 = x
.Tính diện tích miền phẳng (H) và thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay (H) quanh Ox
iii). Gọi (H) là miền phẳng giới hạn bởi các đường y=0,
y = sin 6 x + cos6 x ,x=0 và x=π/2.Tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay (H) quanh Ox.
iv) ( Học viện Ngân hàng 99 )

Tính diện tích miền phẳng(H) giới hạn bởi các đường:y=x 1 + x 2
,trục 0x và đường thẳng x=1
Băi 3. (SGK)
i) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi
* y=x3, y=0, x=-1, x=2..
* y=x2+1, x+y=3.
* x=y3, y=1, x=8.
* y=x2-2x+2 với tiếp tuyến của n tại M(3,5) vă trục tung.
* y=ex, y=e-x, x=1.
ii) Tnh thể tch trn xoay quanh Ox
* y=0, y=2x-x2
π
* y=cosx, y=0, x=0, x =
4
2
2
x
y
* (E) 2 + 2 = 1 .
a
b
2
3
* y =x , y=0, y=1 (cả Ox, Oy).
13

WWW.ToanCapBa.Net


Băi 4. (Năm 2000)

i) (ĐH QG HCM) Cho D lă miền kn giới hạn bởi
y = x , y = 2 − x, y = 0 . Tnh diện tch vă thể tch trn xoay quanh Oy
của D.
ii) (ĐH Huế) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi x=1, x=e, y=0 vă
1+ ln x
.
y=
x
iii) (ĐH TC KT HN) Tnh diện tch hnh phẳn giới hạn bởi
y = e x , y = e −x ,x = 1 .
iv) (ĐH SP HN) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi y=|x2-4x+3|,
y=3.
Băi 5, (Năm 2001)
i) (ĐH BK HN) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi
y = − 4 − x 2 , y = −3 x 2 .
ii) (ĐH TC KT HN) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi
y = 2 + sin x, y = 1 + cos 2 x với x ∈ [ 0 , π ] .
iii) (HV CNBCVT) Tnh diện tch phần hnh phẳng giới hạn bởi
y = xe x , y = 0 , x = −1, x = 2 .
iv) (ĐH An Giang) Tnh thể tch của vật thể sinh ra bởi phĩp quay
quanh Ox miề giới hạn bởi y = e x , y = e − x + 2 , x = 0 , x = 2.
v) (ĐH CSND) Tnh diện tch hnh phẳng giới hạn bởi
y =| x 2 − 4 |, x = −1 vă đoạn [-1,2] của trục Ox.

14


WWW.ToanCapBa.Net

GIẢI TCH TỔ HỢP

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Qui tắc nhân -Quy Tắc cộng :
♦ Để thực hiện một công việc A nào đó ta phải tiến hành nhiều
bước :
Bước 1 : Có m cách lựa chọn
Bước 2 : Có n cách lựa chọn
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước k : Có p cách lựa chọn
Khi đó,để thực hiện một công việc A sẽ có : (m.n. . .p) cách lựa
chọn .
Ví dụ : Từ Cần thơ đi Sài gòn phải qua các tỉnh : Vĩnh long,Tiền
giang,
Long an .
Từ Cần thơ đi Vĩnh long có 3 con đường
Từ Vĩnh long đi Tiền giang có 4 con đường
Từ Tiền giang đi Long an có 5 con đường
Từ Long an đi Sài gòn có 8 con đường
Khi đó: Từ Cần thơ đi Sài gòn sẽ có : 3.4.5.8=480 (con đường)
♦ Qui tắc nhân có thể phát biểu dưới dạng khác như sau :
Với k tập hợp cho trước :M1,M2,. . .,Mk trong đó MI có nI phần tử
Giả sử phải chọn k phần tử (x 1,x2, . .,xk) mà xI ∈MI (i=1,2, . . ,k) thế
thì ta sẽ có (n1.n2. . .nk) cách chọn khác nhau
Ví dụ : Một trường có 4 lớp chuyên : Toán , Tin học,Lý ,Hoá và sĩ số các
lớp lần lượt là : 8,10,9,12. Khi đó nếu phải chọn một đội tuyển 4 em thi
Quốc gia 4 môn :Toán,Tin học,Lý ,Hoá thì sẽ có : (8.10.9.12) cách chọn
.Tất nhiên ta không chọn học sinh thi trái môn chuyên của mình

2. Hoán vị
• Cho tập M gồm n phần tử: M={ a1 , a 2 ,..., a n }.Mỗi cách sắp xếp
tập M theo 1 thứ tự nhất định gọi là 1 hoán vị của n phần tử

a1 , a 2 ,..., a n
Ví dụ M={ a, b, c } các hoán vị của M={ a, b, c } là:
abc,acb,bca,bac,cab,cba.
• Kí hiệu Pn chỉ số các hoán vị của n phần tử
15

WWW.ToanCapBa.Net


Ta có Pn = n ! (1)
Cho tập X có n phần tử .Một chỉnh hợp chập k của n phần tử
( 0 < k ≤ n ) là bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã
cho.
Ví dụ : Các chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử {a,b,c,d}
là:ab,ac,ad,bc,bd,ba,cd,cb,ca,da,db,dc.
k
• Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu An .
n!
k
k
Định lý : An =n(n-1)...(n-k+1) (2) Hay An =
(2’)
(n − k )!
4.Tổ hợp
Cho tập X gồm n phần tử .Mỗi tập con gồm k phần tử của X
(0 ≤ k ≤ n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử {a,b,c} là {a,b},{a,c},{b,c}
k
• Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu C n .
n!

Ak
k
k
Định lý: C n = n (3) Hay C n =
(3’)
k! (n − k )!
k!
Chứng minh
Cho tập X gồm n phần tử
Nếu xét mốt tổ hợp chập k của n phần tử : {a 1,a2,...,ak}ta sẽ có k!
Ank
k
k
k
chỉnh hợp chập k của n ,suy ra : An =k! C n ⇔ C n =
(3)
k!
n!
k
Hay C n =
(3’)
k! (n − k )!
Một số hệ thức thường dùng:
0
n
1. C n = C n =1
n!
1
n −1
=n

2. C n = C n =
( n − 1)!
k
n−k
3. C n = C n

p
q
( 0 ≤ k ≤ n ) ⇒ C n = C n nếu p+q=n

k
k −1
k
4. C n + C n = C n +1

(1 ≤ k ≤ n )

k −2
k −1
k
k
Ap dụng : CMR: Cn + 2.Cn + Cn = Cn + 2 (2 ≤ k ≤ n)
5. Nhị thức Newton

16


WWW.ToanCapBa.Net
(a + b) = C a + C a n −1 b+ C n2 a n − 2 b 2 +..+ C nk a n − k b k +..+
n

0
n

1
n

n

n

Hay

( a + b) = ∑ C n a
k

n

n−k

bk

k =0
1
n

(a − b) = C a - C a n −1 b+ ..+ (−1) k C nk a n − k b k + ..+
n

0

n

n

C nn bn.

(−1) n C nn bn.

n

Hay

k
k n−k k
(a − b) n = ∑ (−1) Cn a b
k =0

Đặc biệt:

(1 + x) n = C no + C n1 x + C n2 x 2 + .... + C nn x n .

(1)

(1 − x) n = C no − C n1 x + C n2 x 2 − .... + (−1) n C nn x n (2)
6. Các kết quả đơn giản
n
n
0
1
n

1. 2 = (1 + 1) = C n + C n + ... + C n
n
0
1
n
n
2. 0 = (1 − 1) = C n − C n + ... + (−1) C n
0
2
4
1
3
5
3. C2 n + C2 n + C2 n + ... = C2 n + C2 n + C2 n + ...
0
1
2
n
(1= Cn chỉ số tập không có phần tử nào ( tập rỗng ) Cn , Cn ,..., Cn
lần lượt chỉ số các tập có 1,2, . . ,n phần tử .Vậy từ 1. suy ra : Số các
tập con của tập gồm n phần tử là 2n )

Bài Tập về lựa chọn và sắp xếp

Bài 1. (HVCNBCVT) Từ các số {0,1,..,9} có thể thành lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong 6 chữ số đó phải có mặt chữ số 0
và 1.
Bài 2. (ĐH QGTP.HCM)
Cho A={1,2,3,4,5,6,7,8}
a. Có bao nhiêu tập con X của A thỏa diều kiện X chứa 1 mà không

chứa 2.
b. Có bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A
mà không bắt đầu bởi 1,2,3.
Bài 3. (SGK)
17

WWW.ToanCapBa.Net


(a) Từ tập A={1,2,3,4,5,6} có thể thành lập bao nhiêu:
i) số có 4 chữ số đôi một khác nhau.
ii) số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
iii) số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
iv) số có 4 chữ số khác nhaucó mặt chữ số 4.
v) số có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 4000.
vi) số có 4 chữ số khác nhau có tổng các chữ số là 8.
(b) Với các yêu cầu giống câu (a) nhưng tập A={0,1,2,3,4,5}.
Bài 4. Các đề thi về số năm 2000:
i) (ĐH SPHN II) Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chứ số khác nhau
đôi một được lập thành từ 6 chữ số 1,3,4,5,7,8.
ii) (ĐH GTVT) Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên trong đó phải có mặt
chữ số 4.
iii) (ĐH NT TP HCM) Từ các số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có sáu
chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai
chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
iv) (HV NH) Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu sso chẵn có 5
chữ số đôi một khác nhau.
v) (ĐH TN) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ
1,2,3,4,5. Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 345?

vi) (ĐH CT) Cho X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Từ X có thể lập được bao nhiêu số
chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và đứng đầu là số 2. Trong các
số trên có bao nhiêu chữ số gồm đúng 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
vii) (ĐH QGHN B 1999) Từ 5 chữ số 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
viii) (ĐHCT 1999) Với các chữ số 1,2,3,4,5,6 ta lập các số có 5 chữ số
trong đó các chữ số đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số phải có mặt chữ số
1 và 6.
Bài 5. a) (Toán B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác
nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể
lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho
mỗi đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ, trung bình) và số câu hỏi
dễ không ít hơn 2?
b) (Toán B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12
nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện
đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?
Bài 6. Các đề thi năm 2000, 2001 về lưa chọn.

18


WWW.ToanCapBa.Net
i) (HVKTQS 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung
bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ mỗi tổ 8 người sao
cho trong mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
ii) (ĐH Huế 2001) Từ một nhó gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5
em tham dự lễ với yêu cầu có cả nam lẫn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
iii) (HV CT) Một đội văn nghệ có 10 người: 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu
cách chia đội thành hai nhomcs số người bằng nhau và số nữ là như nhau.
Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong đó không quá một nam.

iv) (ĐHCT 99) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích
thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có
đúng 2 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh
bằng bi đỏ.
v) (ĐH Huế 99) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 nữ. Có 6 học sinh được
chọn ra để tập quốc ca. Có bao nhiêu cách chọn nếu: chọn tùy ý, phải có ít
nhất 2 nữ.
vi) (ĐH Y HN 99) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật
lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người trong đó có cả nam lẫn nữ, cần có
cả toán và lý. Có bao nhiêu cách chọn.
Bài 6. (ĐH HHải)
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh {A,B,C,D,E} vào 1 ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngôi chính giữa.
b. Hai bạn A,E ngồi ở hai đầu ghê.

Bài 7. (ĐHQG TP.HCM A,B)
Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta
muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp trong các trường hợp sau:
a. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau và đối diện nhau phải khác
trường nhau.
b. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Bài 8. (ĐHQG TP.HCM D)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2
cuốn toán, 4 cuốn văn, 6 cuốn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất
cả các cuốn sách lên 1 kệ sách dài, nếu những cuốn sách cùng môn được
xếp kề nhau.
Bài 9. Các đề thi năm 99-2000 về sắp xếp:
19

WWW.ToanCapBa.Net


i) (ĐH ĐL 99) Có 5 thí sinh nam và 5 thí sinh nữ. Có bao nhiêu cách sắp
xếp các thí sinh này thành một hàng sao cho hai thí sinh cùng giới không
đứng liền nhau.
ii) (HVQY 99) Có 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh
khác nhau xếp vào một dãy 7 ô trống. Có bao nhiêu cách xếp. Có bao nhiêu
cách xesp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cậnh nhau và 3 viên bi xanh
xếp cậnh nhau.
iii) (ĐHNN I 2000) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo 1 hàng
dọc. Có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ.
iv)(ĐH CT 2000) Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho
7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
Bài 10. (Toán B 2006) Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 4 ). Biết

rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k ∈ {1,2,..., n} sao cho số tập con gồm k phần tử
của A là lớn nhất.
Bài 11. (Toán D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ
thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3
học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học
sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn như vậy?

Bài Tập về Các Công Thức Tính & Nhị Thức Newton
Bài 1. (Toán A 2002) Cho khai triển nhị thức Newton
n

n −1

n −1

−x
−x
x −1
x −1
 x2−1

 −x 
 −x 
 x −1 
 2 + 2 3  = Cn0 2 2 + Cn1  2 2  2 3 + ... + Cnn −1 2 2  2 3  + Cnn  2 3 

















3
1
với n là số nguyên dương. Biết rằng trong khai triển đó Cn = 5Cn và số
hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

Bài 2. a) (Toán D 2002)
20

n


WWW.ToanCapBa.Net
0
1
2
n
n
Tìm số nguyên dương n sao cho C n + 2C n + 4C n + ... + 2 C n = 243.
b) (Toán A 2005) Tìm sao nguyên dương n sao cho
C 21n+1 − 2.2C 22n+1 + 3.2 2 C 23n+1 − 4.2 3 C 24n +1 + ... + (2n + 1).2 2 n C 22nn++11 = 2005
1 1 1 3
1 2 n −1 2 2 n − 1
C 2 n + C 2 n + ... +
C 2n =
.
2
4
2n
2n + 1

c) (A 07) Chứng minh rằng

Bài 3. (Toán A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị
n

1

n+1
n
thức Niutơn của  3 + x 5  , biết rằng Cn+ 4 − Cn+3 = 7(n + 3) (n là số
x

k
nguyên dương, x>0, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Bài 4. a) (Toán B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

C n0 +

2 2 − 1 1 23 − 1 2
2 n+1 − 1 n
Cn +
C n + ... +
Cn .
2
3
n +1

An4+1 + 3 An3
b) (Toán D 2005) Tính giá trị của biểu thức M =

, biết rằng
(n + 1)!
C n2+1 + 2C n2+ 2 + 2C n2+3 + C n2+ 4 = 149 .
c) (B 07) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức
n
0
n −1 1
n
n
Niutơn của (2 x)n , biết: 3 C n − 3 C n + ... + ( −1) C n = 2048.
d) (D 07) Tìm hệ số của x5 trong khai triển x(1 − 2 x ) 5 + x 2 (1 + 3x )10 . .
Bài 5. (Toán D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3
trong khai triển thành đa thức của ( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm n để a3n-3=26n.
Bài 6. (Toán A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của
[1 + x 2 (1 − x )]8 .
Bài 7. (Toán D 2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị
7

1 

thức Niutơn của  3 x +
 với x>0.
4
x

Bài 8. Các đề thi tuyển sinh năm 2000.
i) (ĐHQGHN B) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
17

4 3

1 
 x +
 x>0.


3
x2 

21

WWW.ToanCapBa.Net


1

∫

n
ii)(ĐHSPHCM D) Cho n là một số nguyên dương. Tính I = (1 + x) dx .
0

1 1
1
0
Cnn .
Áp dụng tính tổng S = Cn + C n + ... +
2
n +1
iii) (ĐHKTế) Chứng minh rằng

2 n−1 Cn1 + 2 n−1 Cn2 + 3.2 n−3 Cn3 + 4.2 n−4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1.
0
1
2
2000
iv) (ĐH ANND) Tính tổng S = C2000 + 2C2000 + 3C2000 + ... + 2001C2000 .
1

n
v) (ĐH CSND) Tính tích phân I = ∫ (1 + x) dx .
0

1 1 1 2
1
2 n+1 − 1
n
Từ đó chứng minh rằng 1 + C n + C n + ... +
.
Cn =
2
3
n +1
n +1

vi) (ĐH YDTpHCM) Với n là số nguyên dương chứng minh rằng

C21n + C23n + C25n + ... + C22nn−1 = C20n + C22n + ...C22nn .
vii) (ĐHNN I) Tính hệ số của x31 trong khai triển của
40

1 

f ( x) =  x + 2  .
x 

viii) (ĐHTL) Cho đa thức P ( x) = (1 + x) 9 + (1 + x)10 + ... + (1 + x)14 có
2
14
dạng khai triển là P ( x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a14 x . Hãy tính hệ số a9 .
Bài 8. Đề thi năm 2001
i) (ĐHBKHN) Giải hệ phương trình

2 Axy + 5C xy = 90
.
 y
5 Ax − 2C xy = 80

ii) (ĐHHH) Chứng minh đẳng thức

C20n + C22n .32 + C24n .34 + ... + C22nn .32 n = 2 2 n−1 (2 2 n + 1).
iii) (ĐHQGHN B) Giải phương trình

Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ).
iv) (ĐHĐN A) Với n là số tự nhiên, tính tổng:

1
1
1
1
C n0 + C n1 2 + C n2 2 2 + C n3 2 3 + ... +

C nn 2 n.
2
3
4
n +1

v) (ĐHĐN D) Với n là số tự nhiên, tính tổng

22


WWW.ToanCapBa.Net
1
1
1
Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + (−1) n
Cnn .
2
3
n +1

Bài 9.
y
y +1
y −1
(a) (TN 2003) Giải hệ phương trình sau: C x +1 : C x : C x = 6 : 5 : 2.

Pn+5
≤ 60 Ank++32 .
(n − k )!

5 2
n −1
n
(c) (TN 2005) Giải bất phương trình: C n = 2 + C n+ 2 > An .
2
(b) (TN 2004 ) Giải bất phương trình

(d) (TN 2006) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1+x) n,
biết tổng hệ số của khai triên trên bằng 1024.
4
5
6
(e) (TN 2007 kpb 1) Giải phương trình C n + C n = 3C n +1 .
3
2
2
(f) (TN 07 kpb 2) Gải phương trình 3C n + 2C n = 3 An .

Bài 10. Tính tổng
n+2
32 − 2 2 1
33 − 2 3 2
− 2 n + 2 n +1
n +1 3
a) A = C −
C n +1 +
C n +1 −  + (−1)
C n +1 .
2
3

n+2
2 n +1 0
2n
1
2 n −1 2
2
2 n +1 2 n +1 2 n +1
2 C 2 n +1 .
b) B = 3 C 2 n+1 − 3 .2C 2 n +1 + 3 .2 C 2 n+1 −  + (−1)
0
n +1

1
2
2
3
2 n −1
2n.32 n −1 C 22nn .
c) C= C 2 n − 2.3C 2 n + 3.3 C 2 n +  + (−1)

Bài 11. (Toán A 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển
n

 1

nhị thức Niutơn của  4 + x 7  biết rằng
x

1
2

n
20
C 2 n +1 + C 2 n +1 + ... + C 2 n+1 = 2 − 1.
k
(n nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Bài 12. Giải
4
5
4
a. (TN 2007) C n + C n = 3C n+1
b. (TN 2006) Tính hệ số của x5 trong khai triển (1+x)5, biết tổng các
hệ số trong khai triển bằng 1024.
y
y +1
y −1
c. (TN 2003) Giải hệ C x =1 : C x : C x = 6 : 5 : 2.
n −1
n
d. (TN 2005) C n + 2 + C n+ 2 >

23

5 2
An .
2

WWW.ToanCapBa.Net

e. (TN2004)

24

Pn+5
≤ 60 Ank++32 .
(n − k )!