BẤT ĐẲNG THỨC MIN MAX THẦY TÙNG TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 19 trang )
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÀI LI U BÀI GI NG KHÓA PEN – M – 2016
GV: Nguy n Thanh Tùng
D NG CHU I B T
CHU I B T
( a b) 2
I.1) a 2 b2
2
NG TH C I
ng ta có:
a b
4
8
2ab
I.2)
1 1
2
a b
ab
4
2 2
a b
a 2 b2
nT
hi
D
a b
2
ie
CHÚ Ý:
uO
Ch ng minh
(Các b n xem cu i tài li u)
( a b) 2
2ab đúng a , b .
2
ây đ u là các b t đ ng th c c b n và quen thu c v i t n xu t có m t trong đ thi i H c –
THPTQG là khá cao. Khi s d ng trong bài thi các b n ph i ch ng minh (“nhúng” nh ng đo n
ch ng minh trong bài gi ng c a th y vào bài). Trong tài li u đ không ph i ghi l i nhi u l n
cách ch ng minh th y đ u b qua (ngh a là trong bài b n ph i thêm đo n này vào ).
v n d ng m t cách “linh ho t” các b t đ ng th c trên. Các b n c n hi u rõ cách s d ng,
c ng nh “ý ngh a” và cái hay c a t ng b t đ ng th c . Khi làm đ c đi u này vi c làm ch
chu i b t đ ng th c trên s không có gì khó kh n (th y s phân tích k trong bài gi ng).
Các chu i b t đ ng th c trên có th đ c s d ng d i nhi u hình th c khác nhau khi ta gán hai
bi n a, b b i các đ i l ng khác nhau, ví nh I.1) và I.2) có th vi t d i d ng:
s/
Ta
iL
B t đ ng th c a 2 b2
/g
om
.c
a b
2
2
w
w
w
.fa
a b
bo
ok
ce
ro
up
8
D u “=” x y ra khi a b .
01
Cho a , b, c là các s th c d
NG TH C I
ai
H
oc
BÀI 3. S
4
a4a
8
4
2 ab ;
1
1
2
4
a
b
ab
8
4
a4b
2
4
2 2
a b
a b
1 1
2
8
4
2 2
…
2
2
2
2
2
a
b
ab a b
a b
a 4 b4
Các ví d minh h a
Ví d 1. Cho x, y, z là các s th c d
ng . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
8
3
1
P
2
2
2
2( x y z 2 xz) 3 2 x y 8 yz x y z
Phân tích h
ng gi i (Bài gi ng)
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
Áp d ng b t đ ng a 2 b2
( a b) 2
hay
2
2(a 2 b2 ) a b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
2( x2 y2 z2 2 xz) 2 ( x z)2 y2 x z y
8
2( x y z 2 xz) 3
2
2
2
c:
8
x y z3
Áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab hay 2 ab a b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
3
3
3
3
hay
8 yz 2 y.2 z y 2 z
2( x y z)
2 x y 8 yz
2 x y 8 yz 2 x y y 2 z
8
3
1
8
1
8
1
v i t x y z 0
x y z 3 2( x y z) x y z x y z 3 2( x y z) t 3 2t
8
1
v i t 0
Xét hàm s f (t )
t 3 2t
3(t 1)(5t 3)
8
1
2
Ta có f '(t )
; f '(t ) 0 t 1 (do t 0 )
2
(t 3) 2t
2t 2 (t 3)2
B ng bi n thiên:
ro
3
v i t 0
2
/g
T b ng bi n thiên suy ra P f (t ) f (1)
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Khi đó P
bo
ok
.c
om
x z y 2z
1
1
D u “=” x y ra khi
x z ;y
4
2
x y z t 1
3
1
1
V y P đ t giá tr l n nh t b ng , khi x z ; y .
4
2
2
.fa
ce
Ví d 2 (A,A1 – 2014). Cho x, y, z là các s th c không âm và th a mãn đi u ki n x2 y2 z2 2 .
w
w
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P
x2
y z
1 yz
2
x yz x 1 x y z 1
9
w
Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
Áp d ng b t đ ng a 2 b2 2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
c:
2(1 yz) x y z 2 yz x ( y z) 2 x( y z) 1 yz x( y z)
2
2
2
2
2
x2
x2
x
Suy ra x yz x 1 x x x( y z) x( x y z 1) 2
x yz x 1 x( x y z 1) x y z 1
2
Khi đó P
2
x y z
1 yz
1
1 yz
1
x y z 1
x y z 1
9
9
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
( a b)
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
2
( x y z)2
( x y z)2
2(1 yz) x2 y2 z2 2 yz x2 ( y z)2
1 yz
2
4
Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2
Suy ra P
1
( x y z) 2
x y z 1 yz
1
.
9
36
x y z 1
x y z 1
t t x y z 0 .
Ta có t 2 ( x y z)2 3( x2 y2 z2 ) 6 0 t 6
Khi đó P 1
t2
1
f (t ) . Xét hàm s
t 1 36
f (t ) 1
t2
1
v i 0t 6
t 1 36
1
t (t 2)(t 2 4t 9)
; f '(t ) 0 t 2
(t 1)2 18
18(t 1)2
B ng bi n thiên:
Ta
5
9
s/
T b ng bi n thiên suy ra P f (t ) f (2)
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Ta có f '(t )
ro
up
5
5
Khi x y 1 và z 0 thì P . V y giá tr l n nh t c a P là .
9
9
/g
( a b) 2
hay a b 2(a 2 b2 ) trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
2
om
Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2
c:
bo
ok
.c
x y z 2 x2 ( y z)2 2(2 2 yz) 2 1 yz
t2
1
f (t )
t t 1 yz 1 , khi đó: P 1
2t 1 9
ce
1
1 yz
.
Suy ra P 1
9
2 1 yz 1
t2
1
v i t 1.
2t 1 9
2
2t 2(t 1)(4t 2 8t 9)
0 v i t 1, suy ra f (t ) ngh ch bi n v i t 1
Ta có f '(t )
(2t 1)2 9
9(2t 1) 2
5
Suy ra P f (t ) f (1)
9
5
5
Khi x y 1 và z 0 thì P . V y giá tr l n nh t c a P là
9
9
.fa
f (t ) 1
w
w
w
Xét hàm s
Ví d 3. Cho hai s th c x, y thu c kho ng (0;1) th a mãn ( x3 y3 )( x y) xy( x 1)( y 1) 0
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau P
12
36 (1 9 x2 )(1 9 y2 )
3xy
x4 y4
xy
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)
Gi i
Ta có ( x y )( x y) xy( x 1)( y 1) 0 ( x3 y3 )( x y) xy( x 1)( y 1) (*)
3
Áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
( x3 y3 )( x y) 2 x3 y3 .2 xy 4 x2 y2
xy( x 1)( y 1) xy xy ( x y) 1 xy xy 2 xy 1
T (*) và (2*) , suy ra:
c:
(2*)
4 x2 y2 xy xy 2 xy 1 4 xy xy 2 xy 1 3xy 2 xy 1 0 0 xy
Ti p t c áp d ng b t đ ng th c a b 2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
1
1
0 xy
3
9
c:
ai
H
oc
2
2
2
2
12
2 x2 y2
2
(1 9 x )(1 9 y ) 2 9 x .2 9 y 36 xy
xy
3
P
xy
4
2 2
4
4 4
xy
36
36
1
xy
xy
x y 2 x y 2x y
01
3
hi
D
uO
ie
10
2
2t 3 2
0 v i t 1;
2
t
2
2
t
t
3
iL
Ta có f '(t )
10
2 2
t 1 v i t 1;
t
3
Ta
f (t )
s/
Xét hàm s
10
1
10
2 2
hay t 1;
1 1 xy
. Khi đó P t 1
9
3
t
3
nT
t t 1 xy , do 0 xy
.c
om
/g
ro
up
10
10
6
1
1
Suy ra f (t ) đ ng bi n v i t 1;
. D u “=” x y ra khi x y
P f (t ) f
3
10 9
3
3
6
1
1
, khi x y .
V y P đ t giá tr l n nh t b ng
3
10 9
.fa
ce
bo
ok
Ví d 4 (B – 2013). Cho a , b, c là các s th c d ng. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
4
9
P
a 2 b2 c 2 4 (a b) (a 2c)(b 2c)
w
w
Phân tích h
w
Áp d ng b t đ ng th c
xy
ng gi i (Bài gi ng)
Gi i
x y
và 2xy x2 y2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
2
c:
a b 4c a 2 b2 2ab 4bc 4ca
2
2
2
2
2
2
2
2
a b a b 2(b c ) 2(c 2 a 2 )
2(a 2 b2 c 2 )
2
4
9
4
9
Suy ra P
. t t a 2 b2 c 2 4 2 , khi đó: P 2
2
2
2
t 2(t 4)
a 2 b2 c 2 4 2(a b c )
(a b) (a 2c)(b 2c) (a b).
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4
9
Xét hàm s f (t ) 2
v i t2
t 2(t 4)
Ta có f '(t )
4
9t
(4 t )(4t 3 7t 2 4t 16)
t 2 (t 2 4)2
t 2 (t 2 4)2
nT
5
khi a b c 2 .
8
uO
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
5
. D u “=” x y ra khi a b c 2
8
hi
D
T b ng bi n thiên suy ra P f (t )
ai
H
oc
01
Mà 4t 3 7t 2 4t 16 4(t 3 4) t (7t 4) 0 v i t 2 , suy ra f '(t ) 0 t 4
B ng bi n thiên
ie
Ví d 5 (B – 2014). Cho các s th c a , b, c không âm và th a mãn đi u ki n (a b)c 0 .
Ta
iL
a
b
c
bc
a c 2(a b)
s/
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P
c:
om
/g
ro
up
Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
x y
V i a 0 , áp d ng b t đ ng th c x y 2 xy hay xy
trong chu i b t đ ng I.1, ta đ
2
bo
ok
.c
a
a
a
2a
(1)
bc
a (b c) a b c a b c
2
a
2a
(2) . T (1) và (2), suy ra
bc a bc
.fa
c:
a
2a
.
bc a bc
b
2b
a c a bc
w
ng t ta đ
w
T
ce
V i a 0 ta có
w
Áp d ng b t đ ng th c x y 2 xy trong chu i b t đ ng I.1, suy ra:
P
2(a b) a b c 1
2(a b)
c
2(a b) a b c 1 3
.
2
a b c 2(a b) a b c 2(a b) 2
a b c 2(a b) 2 2
3
3
. V y giá tr nh nh t c a P b ng
2
2
Chú ý: bài toán này ta có th d n bi n đ dùng hàm s hàm s nh sau:
c
2(a b)
c
2
c
2
0
P
2t f (t ) v i t
a b
a b c 2(a b) 1 c
2(a b) 1 t
a b
Khi a 0, b c 0 thì P
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví d 6. ( minh h a BGD – 2015). Xét s th c x . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau:
3(2 x2 2 x 1)
1
1
P
3
2 x2 (3 3) x 3
2 x2 (3 3) x 3
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
1
1
2 2
trong chu i b t đ ng th c I.2). Khi đó:
a
b
a b
Áp d ng b t đ ng th c :
1
2 x (3 3) x 3
2
1
2 x (3 3) x 3
2
2 2
4x 6x 6
2
01
3(2 x2 2 x 1) 6 x2 6 x 3 4 x2 6 x 3
M t khác, ta có:
hi
D
ai
H
oc
4 x2 6 x 3
2 2
Suy ra P
2
3
4x 6x 6
Cách trình bày 1:
t 3 2 2
3 15 15
f (t )
t t 4 x 6 x 6 4 x , khi đó: P
3
4
4
4
t
2
t 3 2 2
15
v i t .
3
4
t
ie
f (t )
iL
Xét hàm s
uO
nT
2
s/
Ta
1
2 t t 6 2(t 3)
(t 6)(t 2 6t 36)
Ta có f '(t )
6 t 3 t t
6t t (t 3)
6t t (t 3) t t 6 2(t 3)
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
15
f '(t ) 0 t 6 ; , t đây ta có b ng bi n thiên:
4
3.
w
w
w
T b ng bi n thiên ta có P f (t ) f (6) 3 . D u “=” x y ra khi x 0 . V y giá tr nh nh t c a P là
Cách trình bày 2:
t2 3 2 2
3 15
15
f (t )
t t 4 x2 6 x 6 4 x
, khi đó: P
t
3
4
4
2
Xét hàm s
2
t2 3 2 2
t
2 2 t 3 6 2(t 2 3)
15
f (t )
v i t
. Ta có f '(t )
;
2
t
3
2
t
3 t2 3
3t 2 t 2 3
15
f '(t ) 0 t 3 6 2(t 2 3) 0 t 6 72(t 2 3) (t 2 6)(t 4 6t 2 36) 0 t 6
;
2
T đây ta có b ng bi n thiên:
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
T b ng bi n thiên ta có P f (t ) f ( 6) 3 . D u “=” x y ra khi x 0 . V y giá tr nh nh t c a P là
ng th a mãn:
1 1 2
.
x y z
x2 y2
2z
.
2
z
x y
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
1 1 2
2 xy x y
2 xy ( x y) z 2
, khi đó:
x y z
z
z
01
Ví d 7. Cho x, y, z là ba s th c d
hi
D
nT
x2 y2
2z
( x y)2 2 xy
2z
2z
2z
x y 2 xy
x y x y
2
2
2
z
x y
z
x y z
z
x y z
z
x y
2
ie
uO
2
P
ai
H
oc
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
T
3.
iL
2 1 1
4
x y
1 1
4
2
trong chu i b t đ ng th c I.2), ta có:
z x y x y
z
a b a b
2
x y
, khi đó P t 2 t f (t ) v i t 2 .
t t
t
z
up
s/
Ta
Áp d ng b t đ ng th c
.c
om
/g
ro
2 2t 3 t 2 2 (t 2)(2t 2 3t 6) 10
0 v i t 2 .
Ta có f '(t ) 2t 1 2
t
t2
t2
Suy ra f (t ) đ ng bi n trên 2; , khi đó f (t ) f (2) 3 hay P 3 .
bo
ok
x y
D u “=” x y ra khi
x y z . V y giá tr nh nh t c a P là 3.
x y 2z
w
w
w
.fa
ce
Ví d 8. Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a b c 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
bc
ca
ab
P
3a bc
3b ca
3c ab
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
T đi u ki n a b c 3 3a bc (a b c )a bc a (a b ) c (a b ) (a b )(a c )
Áp d ng b t đ ng th c
1 1
2
hay
x y
xy
1
11 1
trong chu i b t đ ng th c I.2), ta đ
xy 2 x y
c:
bc
1
bc 1
1
bc.
3a bc
(a b)(a c) 2 a b a c
Ch ng minh t
ng t
ca
ca 1
1
và
2 bc ba
3b ca
ab
ab 1
1
.
3c ab 2 c a c b
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
bc 1
1 ca 1
1 ab 1
1
Khi đó P
2 a b a c 2 bc ba 2 c a c b
1 bc ca ab ca ab bc a b c 3
3
hay P .
2 a b
bc
ca
2
2
2
3
3
V i a b c 1 thì P . V y giá tr l n nh t c a P là .
2
2
Ví d 9. Cho x, y, z là các s th c d
x yz y2 zx z2 xy
y zx z xy x yz
01
Phân tích h
ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
ai
H
oc
P
ng th a mãn x y z 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
2
hi
D
P
x2 yz
y2 zx
z2 xy
3 3 y 3zx 3z 3xy 3x 3 yz
Ta có
Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2 2ab hay 2ab a 2 b2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
c:
2
2
2
ng t ta có: 3z 3xy x2 y2 z2 xy yz zx và 3x 3 yz x2 y2 z2 xy yz zx
uO
T
2
nT
3 y 3zx ( x y z) y zx 2 zx ( x y z) y zx z x x y z xy yz zx
2
ie
P x2 yz y2 zx z2 xy
1 P 3 . D u “=” x y ra khi x y z 1
3 x2 y2 z2 xy yz zx
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 3 , khi x y z 1.
up
s/
Ta
iL
Khi đó
ng th a mãn x2 y2 z2 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
1
1
32
P 4
4
2 2
2 2
x x y
y x y (1 z)3
om
/g
ro
Ví d 10. Cho x, y, z là các s th c d
ce
1 1
4
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
x y x y
c:
.fa
Áp d ng b t đ ng th c
bo
ok
.c
Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)
Gi i:
T đi u ki n ta có x, y, z (0;1) .
w
w
w
1
1
4
4
4
4
4
2
2 2
2 2
2 2
4
2 2
2 2
x x y
y x y
x x y y x y
(x y )
(1 z2 )2
4
32
4
32
f ( z) . Xét f ( z)
Suy ra P
v i z (0;1)
2 2
3
2 2
(1 z ) (1 z)3
(1 z ) (1 z)
4
Ta có f '( z)
16 z
96
16(6 z3 17 z2 19 z 6) 16(2 z 1)(3z2 7 z 6)
(1 z2 )3 (1 z)4
(1 z)3 (1 z) 4
(1 z)3 (1 z) 4
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
Suy ra f '( z) 0 z do z (0;1) . B ng bi n thiên:
2
nT
6
448
1
, khi x y
và z .
4
27
2
uO
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
hi
D
ai
H
oc
01
x y
6
x y
1
1
448
4
. D u “=” x y ra khi z
T b ng bi n thiên ta có P f ( z) f
2
2 27
z 1
x2 y2 z2 1
2
s/
ng gi i (Bài gi ng)
Gi i
up
Phân tích h
Ta
iL
ie
Ví d 11. Cho a , b, c là đ dài ba c nh tam giác th a mãn đi u ki n abc b 2c .
3
4
5
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
b c a a c b a b c
.c
om
/g
ro
1 2
T đi u ki n ta suy ra a
c b
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c
trong chu i b t đ ng th c I.2 và x y 2 xy trong chu i b t đ ng th c I.1,
x y x y
4
4
4
3
3
1 2 3
2. 3. 2 2 a 2.2 a. 4 3 hay P 4 3
a
a
2c
2b
2a
c b a
.fa
1
1
1
1
1
1
2
3
bc a a c b
bc a a bc a cb a bc
bo
ok
c: P
ce
ta đ
w
w
D u “=” x y ra khi a b c 3 .
w
Ví d 12. Cho a , b, c là các s th c d ng . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
3(b c) 4a 3c 12(b c)
P
2a
3b
2a 3c
Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)
Gi i
3(b c)
4a 3c
12(b c)
4a 3b 3c 4a 3b 3c 4(4a 3b 3c)
Ta có P 11
2
1
8
2a
3b
2a 3c
2a
3b
2a 3c
1
4
1
(4a 3b 3c)
2a 3b 2a 3c
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta có:
x y x y
1
4
1
1
1
4
16
1
4
2a 3b 2a 3b
1
(4a 3b 3c)
16
16
2a 3b 2a 3c 4a 3b 3c
2a 3b 2a 3c
4 4
2a 3b 2a 3c 4a 3b 3c
c:
nT
1 1
4
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
x y x y
1
1
4
4
x y y z x y y z x 2y z
ie
uO
Áp d ng b t đ ng th c
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
hi
D
Phân tích h
ai
H
oc
Ví d 13. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x2 y2 z2 3 . Ch ng minh r ng:
1
1
1
4
4
4
2
2
2
x y y z z x x 7 y 7 z 7
01
Hay P 11 16 P 5 . D u “=” x y ra khi 2a 3b 3c 0
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 5 khi 2a 3b 3c 0 .
c:
Ta
iL
Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2 2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
x 1 2x
2
4
8
2
2
2
2
2
2( y 1) 2.2 y 4 y 2( x 2 y z) x 2 y z 4 y 7
x 2y z y 7
z2 1 2 z
1
1
8
1
1
8
2
2
và
z x x y
x 7
y z z x
z 7
1
1
1
4
4
4
2
2
2
c:
x y y z z x x 7 y 7 z 7
ng t ta có
om
1
1
8
2
.T
x y y z y 7
.c
Suy ra
/g
ro
up
s/
2
bo
ok
C ng theo v ba b t đ ng th c trên ta đ
.fa
ce
D u “=” x y ra khi x y z 1
w
w
w
Ví d 14 (A – 2005). Cho x, y, z là các s th c d
ng th a mãn
1 1 1
4 . Ch ng minh r ng :
x y z
1
1
1
1
2x y z x 2 y z x y 2z
Phân tích h
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
1
11 1
1 1
4
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
Áp d ng b t đ ng th c
hay
a b 4 a b
a a a b
c:
1
1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
.
2 x y z ( x y) ( x z) 4 x y x z 4 4 x y 4 x z 16 x y z
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
1 1 2 1
1
1 1 1 2
T ng t ta có:
và
x 2 y z 16 x y z
x y 2 z 16 x y z
1
1
1
1 1 1 1
.4. 1
2 x y z x 2 y z x y 2 z 16 x y z
D u “=” x y ra khi x y z
3
.
4
Ví d 15 Cho x, y, z là các s th c d
ng th a mãn x y 1 z .
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P
x
y
z2 2
x yz y zx z xy
01
Suy ra
Phân tích h
hi
D
ng t ta có: y zx ( x y)( x 1)
nT
T
ai
H
oc
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
Ta có: z xy x y 1 xy ( x 1)( y 1)
x yz x y( x y 1) x y y( x y) ( x y)( y 1)
uO
x
y
z2 2
x2 y2 x y
z2 2
Khi đó P
( x y)( y 1) ( x y)( x 1) ( x 1)( y 1) ( x y)( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1)
ie
iL
s/
( x y)2
( x 1 y 1)2 ( x y 2)2
và ( x 1)( y 1)
4
4
2
up
x2 y2
( a b) 2
( a b) 2
và ab
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta có:
4
2
Ta
Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
( x y)2
x y
2
4( z2 2)
2
4( z2 2)
z2 2
2
Suy ra P
f ( z) v i z 1
( x y 2) 2 ( x y 2) 2 x y 2 ( x y 2) 2 z 1 ( z 1) 2
( x y).
4
4
2
2
4( z 2)
2
8( z 2) 6( z 3)
Xét hàm s f ( z)
v i z 1 . Ta có f '( z)
; f '( z) 0 z 3
2
2
z 1 ( z 1)
( z 1)
( z 1)3 ( z 1)3
B ng bi n thiên
T b ng bi n thiên, suy ra P f ( z)
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
x y; z 3 x y 1
13
. D u “=” x y ra khi
4
x y 1 z
z 3
13
, khi x y 1 và z 3 .
4
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
2
Ví d 16. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x y z 1 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( y z x) 9 xyz
Phân tích h
Áp d ng b t đ ng th c a 2 b2
b t đ ng th c I.1, ta đ
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
a 2 b2
( a b) 2
hay a b 2(a 2 b2 ) và a 2 b2 2ab hay ab
trong chu i
2
2
c:
2
9
2(1 x2 ) x x.(1 x2 )
2
9
5
2 2(1 x2 ) x3 x f ( x)
2
2
Xét hàm s
ai
H
oc
01
P 2( y z x) 9 xyz 2
y2 z2
2( y z ) x 9 x.
2
2
2
9
5
f ( x) 2 2(1 x2 ) x3 x v i 0 x 1
2
2
2 2 x
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
27 2 5
4 2 x (27 x2 5) 1 x2
x
2
1 x2 2
2 1 x2
0 x 1
1
2
2
Khi đó f '( x) 0 4 2 x (27 x 5) 1 x 27 x2 5 0
x
3
(3x2 1)(9 x2 1)(27 x2 25) 0
B ng bi n thiên
Ta có f '( x)
.fa
ce
bo
ok
1 10
T b ng bi n thiên suy ra P f ( x) f .
3 3
1
2
10
10
Khi x ; y z thì P . V y giá tr l n nh t c a P là
.
3
3
3
3
ng th a mãn x y z 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
w
w
w
Ví d 17. Cho x, y, z là các s th c d
P
2
3
x
y2
( x y)2
2
2
( y z) 5 yz ( z x) 5 zx 4
Phân tích h
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
( a b) 2
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
Áp d ng b t đ ng th c (a b)2 4ab hay ab
4
y2
4 y2
x2
x2
4 x2
(1)
.
T
ng
t
ta
có:
(2)
( z x)2 5 zx 9( z x) 2
( y z) 2 9( y z) 2
( y z)2 5 yz
2
( y z) 5.
4
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
C ng (1) và (2), k t h p b t đ ng th c a 2 b2
( a b)
( a b)
và ab
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
4
2
c:
2
2
2
x2
y2
4 x y 4 1 x
y
.
( y z) 2 5 yz ( z x) 2 5 zx 9 y z z x 9 2 y z z x
2
2
( x y) 2
(1 z) 2
2
2
z
x
y
z
z
(
)
(1
)
2
2
2 x y z( x y)
2
2
8 z 1
2
2
9 xy z( x y) z2
9 ( x y)2
9 (1 z) 2
9 z 1
2
2
z( x y) z
z(1 z) z
4
4
8 z 1 3
2
Khi đó P
(1 z) f ( z) (*) .
9 z 1 4
01
2
8 z 1 3
2
Xét f ( z)
(1 z) v i c (0;1)
9 z 1 4
ai
H
oc
2
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
( z 1) 43 (3z 31)3
16 z 1
2
3
1
.
( z 1)
Ta có f '( z) .
; f '( z) 0 z (vì z (0;1) )
2
3
9 z 1 ( z 1) 2
18( z 1)
3
ro
1
v i z (0;1) (2*)
9
/g
D a vào b ng bi n thiên : f ( z)
om
1
1
. D u “=” x y ra khi x y z
9
3
1
V y giá tr nh nh t c a P là .
9
bo
ok
.c
T (*) và (2*) suy ra P
ng th a mãn x2 y2 z2 26 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
z
z(9 x y)
P
32 xy
xy 13
w
w
w
.fa
ce
Ví d 18. Cho x, y, z là ba s th c d
Phân tích h
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
2
2
Áp d ng b t đ ng th c a b 2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
2( xy 13) 2 xy x2 y2 z2 ( x y)2 z2 2( x y) z hay xy 13 ( x y) z
Suy ra
z
xy 13
Ta s ch ng minh
z2
z2
xy 13
( x y) z
z
.
x y
9x y
1
(xem cách phân tích trong bài gi ng đ bi t đ
32 xy 2( x y)
c vì sao ta có đánh giá này)
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Th t v y, b t đ ng th c t ng đ ng:
(9 x y)( x y) 16 xy 9 x2 6 xy y2 0 (3x y)2 0 (luôn đúng).
Khi đó P
Xét hàm s
z
z
.
x y 2( x y)
f (t ) t
t t
t2
z
,
suy
ra
P
t
f (t )
0
2
x y
t2
v i t 0 . Ta có f '(t ) 1 t ; f '(t ) 0 t 1
2
nT
1
1
. V y P có giá tr l n nh t b ng .
2
2
uO
Khi x 1; y 3; z 4 thì P
1
.
2
hi
D
T đây suy ra P f (t ) f (1)
ai
H
oc
01
B ng bi n thiên:
t2
1
1 1
(t 1)2 .
2
2
2 2
Ta
iL
ie
Chú ý: Có th tìm giá tr l n nh t c a f (t ) b ng cách bi n đ i: f (t ) t
ng x, y, z th a mãn x4 y2 1 z4 3.
2
s/
Ví d 19. Cho các s th c d
1
.
x y z2 1
2
2
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
.c
Phân tích h
om
/g
ro
up
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2 y x z
a 2 b2
( a b) 2
a 2 b2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
và
2
2
bo
ok
Áp d ng b t đ ng th c ab
c:
ce
2 y x z
1
1
a b) 2
.
2
y2 x2 z2 2
2ab ) : P
(suy ra t a b
2
2
2
2
x y z 1
x y z2 1
2
2
2
1
T gi i thi t ta có 3 x4 y2 1 z4 x2 y2 z2 1 , suy ra 0 x2 y2 z2 4.
3
2
2
2
t t x y z 1 1 t 5.
2
2
2
w
w
w
.fa
2
1
1
Xét hàm s f t t 1 ; t 5. Ta có f ' t 1 2 0 v i t 1;5 .
t
t
1 21
Suy ra f (t ) đ ng bi n trên 1;5 , khi đó P f (t ) f 5 4 .
5 5
21
x z 1
ng th c x y ra khi
. V y max P .
5
y 2
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
2
Ví d 20. Cho x, y, z là các s th c th a mãn x y z 9 và xyz 0 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( x y z) xyz
Phân tích h
ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
Không m t tính t ng quát, gi s x min x; y; z , do xyz 0 x 0
M t khác x2 y2 z2 9 x2 9 x 3;0
y2 z 2
( x z)2
hay y z 2( y2 z2 ) và yz
trong chu i b t đ ng I.1, ta
2
2
y2 z2
9 x2 x3 5 x
đ c: P 2( x y z) xyz 2 x 2( y2 z2 ) x.
2 x 2(9 x2 ) x.
2 2(9 x2 )
2
2
2 2
3
x 5x
Xét hàm s f ( x) 2 2(9 x2 ) v i x 3;0
2 2
Áp d ng b t đ ng th c y2 z2
ai
H
oc
hi
D
3x2 5 2 2 x (3x2 5) 9 x2 2 2 x
2 2
9 x2
2 9 x2
nT
Ta có f '( x)
01
3x2 5 0
Khi đó f '( x) 0 (3x 5) 9 x 2 2 x 2
2
2
2
(3x 5) (9 x ) 8 x
5
1
Ta
3x2
2
2
x
3x 5 0
6
2
4
2
9 x 111x 327 x 225 0
x
2
x
ie
uO
2
iL
2
/g
ro
up
s/
2
25 x 1 x 1 3;0
3
3
om
Ta có f (3) 6 ; f (1) 10 và f (0) 6 2 f ( x) f (1) 10
ce
bo
ok
.c
x 1; y z 0
x 1
D u “=” x y ra khi 2
2
2
y z 2
x y z 9
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , khi x 1 ; y z 2
w
w
.fa
Chú ý:
bài toán này có th không c n đi u ki n xyz 0 . Khi đó các b n tham kh o nh ng b c gi i chính sau:
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ c tìm hi u k các bài h c sau), ta có:
w
2( x y z) xyz x(2 yz) ( y z).2 ( x2 ( y z) 2 (2 yz) 2 4 (2 yz 9)( y2 z2 4 yz 8)
t t yz , suy ra: P 2( x y z) xyz (2t 9)(t 2 4t 8) f (t )
Gi s
x max x , y , z 3x2 x2 y2 z2 9 x2 3 y2 z2 6 yz
Ta d dàng ch ng minh đ
c
y2 z2
3 hay t 3
2
(2t 9)(t 2 4t 8) 10 v i t 3 . Khi đó ta suy ra đ
c đáp s bài toán.
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
BÀI LUY N THÊM
Bài 1. Cho các s th c x, y th a mãn 2 x y 2 . Ch ng minh r ng xy(4 x2 y2 ) 1 .
Bài 2. Cho các s th c x, y 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M
ng a , b, c, d . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
(a b)(a b c)(a b c d ) 2
abcd
Bài 4. Cho a , b c 0 . Ch ng minh r ng:
01
M
c(a c) c(b c) ab
uO
nT
hi
D
Bài 5. Cho hai s th c x, y th a mãn đi u ki n x4 16 y4 2(2 xy 5)2 41 .
3
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P xy 2
x 4 y2 3
ai
H
oc
Bài 3. Cho các s th c d
x3 y3 ( x2 y2 )
( x 1)( y 1)
s/
Ta
iL
ie
Bài 6. Cho x, y, z là các s th c d ng. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
4
4
5
P
x2 y2 z2 4 ( x y) ( x 2 z)( y 2 z) ( y z) ( y 2 x)( z 2 x)
1
1
1
1
th a mãn:
2
4
a 1 b 1 c 1
1
1
1
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P
4a 1 4b 1 4c 1
om
/g
ro
up
Bài 7. Cho a , b, c là các s th c l n h n
bo
ok
.c
Bài 8. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x y z 3 . Ch ng minh r ng:
1
1
1
1
1
1
x 3 y y 3z z 3x x 3 y 3 z 3
w
w
.fa
ce
Bài 9. Cho a , b, c là các s th c không âm đôi m t phân bi t và th a mãn ab bc ca 4 .
1
1
1
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P
2
2
(a b) (b c) (c a ) 2
w
Bài 10. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x2 y2 z2 2 xyz 1 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P xy yz zx 2 xyz
Bài 11. Cho các s th c d
ng a , b, c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
2
P
.
a 2 b2 c 2 1 a 1 b 1 c 1
ng th a mãn a 2b c 0 và a 2 b2 c2 ab bc ca 2 .
a c2
a b 1
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P
a (b c) a b 1 (a c)(a 2b c)
Bài 12. Cho a , b, c là các s th c d
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CHU I B T
Cho a , b, c là các s th c d
I.1) a 2 b2
( a b)
2
2
NG TH C I
ng ta có:
a b
4
2ab
8
I.2)
1 1
2
a b
ab
8
a b
2
4
2 2
a b
a 2 b2
D u “=” x y ra khi a b .
01
Ch ng minh
ai
H
oc
( a b) 2
ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh 3 b t đ ng th c a b
;
2
2
4
4
2
4
2ab
ie
a b
8
s/
Ta
( a b) 2
2
1) Ch ng minh: a 2 b2
iL
Chu i b t đ ng th c I.1)
( a b) 2
a 2 b2
2
uO
nT
hi
D
a b
a b
( a b) 2
2ab . Song đ ti n cho vi c làm trong các ví d và bài t p, ta s ch ng
và
8
2
8
minh “đ y đ ” 6 b t đ ng th c đ c t o ra t chu i b t đ ng th c I.1) và t ng t ta c ng s đi ch ng minh 10
b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) .
up
( a b) 2
2(a 2 b2 ) (a b)2 (a b) 2 0 luôn đúng a , b (đpcm).
Ta có a b
2
a b
4
/g
( a b) 2
2) Ch ng minh:
2
ro
2
om
2
8
8
4
w
w
w
Áp d ng AM – GM ta có:
4) Ch ng minh: a 2 b 2
2
2
( a b) 2
a b
4
4
( a b) 2
2
a b
8
4
(đpcm)
ce
a b
a b
2ab
.fa
3) Ch
ng minh:
bo
ok
.c
V i a , b 0 áp d ng 1) ta có a b
a b 2 4 ab
a b
8
a b
4
16ab
a b
4
. T 1) và 2) suy ra a 2 b 2
a b
8
8
4
2ab (đpcm).
4
.
( a b) 2
2ab
5) Ch ng minh:
2
( a b) 2
2ab (a b)2 4ab 0 (a b)2 0 (đpcm).
Ta có:
2
6) Ch ng minh: a 2 b2 2ab
Ta có: a 2 b2 2 a 2b2 2 ab 2ab (ho c ch ng minh a 2 b2 2ab a 2 b2 2ab 0 (a b)2 0 ).
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Chu i b t đ ng th c I.2)
a b
2
4
2 2
a b
a 2 b2
1 1
2
.
a b
ab
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có :
Áp d ng bđt AM – GM ta có:
8
a b
2
.
a b 2 4 ab
a b
2
4 ab
2
ab
8
(đpcm).
01
a b
2
a b
2
ai
H
oc
8
1 1
2
(đpcm).
a b
ab
4
.
a b
a b
2
8
a b
2
4
(đpcm).
a b
uO
Áp d ng bđt AM – GM ta có: a b 2 ab 2(a b)
hi
D
2
ab
2) Ch ng minh:
3) Ch ng minh:
8
nT
1) Ch ng minh:
1 1
2
a b
ab
4
2 2
.
a b
a 2 b2
4
2 2
16
8
Ta có
2
2(a 2 b2 ) (a b)2 (a b) 2 0 luôn đúng (đpcm)
2
2
2
2
a b
(
a
b
)
a
b
a b
1 1
8
5) Ch ng minh:
.
2
a b
a b
ro
/g
up
s/
Ta
iL
ie
4) Ch ng minh:
1 1
2
a b
ab
a b
2
.c
a b 2 4 ab
bo
ok
M t khác:
om
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có :
2
ab
4 ab
a b
2
, suy ra
1 1
a b
8
a b
2
(đpcm).
2
4
.
ab a b
.fa
ce
6) Ch ng minh:
2
4
(đpcm).
ab a b
w
w
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : a b 2 ab
w
7) Ch ng minh:
8
8
a b
2
2 2
a 2 b2
.
Ta có a 2 b2 2ab 2(a 2 b2 ) (a b) 2 a 2 b 2
Áp d ng (*) ta có: a b
T (*) và (2*), suy ra a 2 b2
a b
2
2
( a b) 2
2
a b
8
( a b) 2
(*)
2
a b
8
4
(2*)
4
1
a b
2
2
2 2
a b
2
8
a b
2
2 2
a 2 b2
(đpcm).
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1 1
4
.
a b a b
1 1
4
Ta có:
(a b)2 4ab (a b)2 0 luôn đúng (đpcm).
a b a b
2
2 2
9) Ch ng minh:
.
ab
a 2 b2
8) Ch ng minh:
2
2 2
4
8
2
a 2 b2 2ab (a b)2 0 luôn đúng (đpcm).
2
2
2
ab a b
ab
a b
1 1
2 2
10) Ch ng minh:
.
a b
a 2 b2
nT
uO
N CÁC B N Ã
C TÀI LI U
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
C M
hi
D
1 1
2 2
(đpcm).
a b
a 2 b2
ie
Suy ra
1 1
2
4
8
2
2 2
và a 2 b2 2ab
2
2
a b
ab a b
ab
ab
a 2 b2
ai
H
oc
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:
01
Ta có
GV: Nguy n Thanh Tùng
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
