CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY HAY DÙNG

GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

CÁC TÍNH CH T HÌNH H C PH NG THU N TÚY HAY DÙNG
A. Các k n ng c n thi t

Trong r t nhi u bài toán hình h c t a đ ph ng Oxy , đôi khi “m u ch t” c a bài toán l i n m vi c phát
hi n và ch ng minh đ c m t tính ch t đ c bi t nào đó liên quan t i hình h c ph ng thu n túy. Do đó đ làm t t
đ c nh ng bài toán nh th , các b n c n trang b cho mình hai k n ng sau:
 K n ng 1: V hình chính xác. i u đó s giúp chúng ta có nh ng d đoán đúng v tính ch t đ c bi t
trong bài toán (song song, vuông góc, hai đo n th ng b ng nhau, phân giác, t giác n i ti p, t giác là
hình bình hành, ch nh t, hình thoi, hình vuông, hai góc bù nhau…).


K n ng 2: Ch ng minh đ c d đoán. Dùng ki n th c hình h c ph ng thu n túy (hình h c c p 2, h

ai
H
oc

01

th c vecto…) đ ch ra d đoán c a mình là chính xác.

hi
D

Chú ý: Vì bài toán ta đang đ c p t i thu c m ng hình h c ph ng Oxy. Vì v y trong đ thi n u d đoán đ c

chính xác các tính ch t đ c bi t, thì vi c ch ng minh th ng đ n gi n (b i n u khó thì bài toán mang “n ng”
tính thu n túy mà m t đi tính t a đ Oxy trong đó ). Vì v y m t l i khuyên, trong quá trình ôn t p các b n
không nên xa đà vào các tính ch t quá khó (các b n c ng th y rõ đ c đi u này qua đ thì các n m tr c đây).

uO

nT

B. Khai thác các tính ch t hình h c ph ng thu n túy hay dùng

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

 Chùm tính ch t 1: Cho tam giác ABC có tr c tâm H , n i ti p đ ng tròn tâm I . G i M , N, K l n
l t là trung đi m c a BC, AC, AH và D, E, F l n l t là chân đ ng cao ng v i các đ nh A, B, C .
Ch ng minh r ng:




1) AH  2IM . T đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG  2GI v i G là tr ng tâm tam giác ABC .
2) IA  EF và MK  EF (tính ch t ch t h n MK là trung tr c c a EF )
3) D là trung đi m c a HR v i R là giao đi m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I .
4) E, K, D, M , N cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính MK . T đó hãy suy ra đ ng tròn đi qua 9 đi m
(trung đi m c a các c nh, chân các đ ng cao và trung đi m c a các đo n th ng n i tr c tâm v i các đ nh c a
tam giác).
5) H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF .
6) G i V, L l n l t đ i x ng v i I qua các đ ng th ng AB, AC . Ch ng minh r ng VL // BC .
T đó hãy suy ra V, K, L th ng hàng.
CH NG MINH

x

1

w

w

w

A
E

K
N

F
GI
H
1

B

D

2

R

C

M

J

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan



 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1) AH  2IM . T đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG  2GI v i G là tr ng tâm tam giác ABC .
  IMN
 và HBA
  INM
 (góc có c nh t ng ng song song)
Cách 1 : Ta có HAB


HA HB AB
Suy ra HAB ~ IMN nên


 2  HA  2IM  AH  2IM
IM IN MN
Cách 2 : G i J là giao đi m th hai c a AI và đ ng tròn tâm I , khi đó :
 JC  AC; BH  AC  JC / / BH

 JBHC là hình bình hành, suy ra M là trung đi m c a HJ

 JB  AB; CH  AB
 JB / /CH



 AH / / IM
ng trung bình c a tam giác AHJ , suy ra 
 AH  2IM (1)
 AH  2 IM


Do K là trung đi m AH nên AH  2 AK (2)
 
T (1) và (2) , suy ra IM  AK  MIAK là hình bình hành .

G i HI  AM  G ' , theo đ nh lý Ta – let ta có:

AG ' AH

 2  AG '  2G ' M  G '  G
G ' M IM

nT

hi
D



HG AH

 2  HG  2GI  HG  2GI .
GI

IM

uO

Khi đó

ai
H
oc

01

Khi đó IM là đ

up

s/

Ta

iL

ie

2) IA  EF và MK  EF .
Cách 1: Do E , F đ u nhìn BC d i m t góc vuông nên EFBC n i ti p đ ng tròn
 ) (1)
Suy ra 
ABC  
AEF ( cùng bù v i FEC

G i J là giao đi m th hai c a AI v i đ ng tròn tâm I , khi đó: 
ABC  
AJC (cùng ch n cung 
AC ) (2)
T (1) và (2) suy ra: 
AEF  
AJC

bo
ok

.c

om

/g

ro

  900  IA  EF
  900 , suy ra 
M t khác: 
AEF  JAC
AJC  JAC
Cách 2: K ti p tuy n Ax c a đ ng tròn ( I ) , khi đó: Ax  AI (*)
 ).

AB ) và 
Ta có: xAB
ACB  

AFE (cùng bù v i góc BFE
ACB (cùng ch n 

Suy ra xAB
AFE  Ax / / EF (2*)

ce

T (*) và (2*), suy ra IA  EF
Theo ý 1) , ta có MIAK là hình bình hành , suy ra MK / / IA, suy ra MK  EF .

w

w

w

.fa

Chú ý: Ta có th ch ra tính ch t ch t h n khi MK là trung tr c c a EF . C th :
AH

 KE  KF  2
 MK là trung tr c c a EF

 ME  MF  BC

2
3) D là trung đi m c a HR v i R là giao đi m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I .



 ) và B
A (cùng ch n cung RC
A (cùng ph v i góc 
Ta có B
ACB )
2

1

1

1

B
  BHR cân t i B  D là trung đi m c a HR (đpcm).
Suy ra B
2
1
4) E, K, D, M , N cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính MK . T đó hãy suy ra đ ng tròn đi qua 9 đi m
(trung đi m c a các c nh, chân các đ ng cao và trung đi m c a các đo n th ng n i tr c tâm v i các đ nh c a
tam giác).

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

A
1

K
T

1

N
E

2
3

H
P

+) Ta có MN, KN l n l

D

01

Q

1

B

C

M

ai
H
oc

F

t là đ

1

1

3

1

1

uO

nT

hi
D

ng trung bình c a tam giác ABC, AHC , suy ra: MN // AB và KN // CH
  900 (1)
Mà CH  AB  KN  MN , hay MNK
+) Ta có EK, EM l n l t là các đ ng trung tuy n c a hai tam giác vuông EBA, EBC .

B
 . Mà 
 (vì cùng ph v i góc 
E

Suy ra E
A và E
AB
ACB ), suy ra E
1

iL
Ta

  900 (3)
+) Ta có MDK
T (1), (2), (3), suy ra E, K, D, M , N cùng n m trên đ

s/

ng tròn đ

ng tròn (2*) ;

ng tròn (3*) và P , E, N, T , F cùng n m trên đ

/g

Q, T , F , N, E cùng n m trên đ

up

ng t ta có: K, T , F , D, M cùng n m trên đ

ng kính MK (*)

ro

Ch ng minh t

3

ie

E
E
E
  900 , hay MEK
  900 (2)
Suy ra E
3
2
1
2

1

om

T (*), (2*), (3*) và (4*) suy ra K, N, E, Q, M , D, P , F , T cùng thu c m t đ

ng tròn (4*)

ng tròn (đpcm).

.fa

ce

bo
ok

.c

Nh n xét: Hi n nhiên trong 1 bài hình h c Oxy s không có câu h i xu t hi n c 9 đi m này, song t đây ta có
th có nhi u cách “thi t k ” 1 bài toán hay mà đó có s tham gia c a 4 đi m b t kì, trong đó s “che d u” đi
1 trong 4 đi m đó.
5) H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF .

w

w

w

A

E
F
2

H
21

B
D

1

C

Cách 1 :

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


C1  D1
Ta có CDHE và DBFH là các t giác n i ti p đ ng tròn, do đó : 

D

 B
2
2
B
 (cùng ph v i góc BAC
)
M t khác C
1

2

 (1)
D
 hay DH là phân giác c a góc EDF
Suy ra D
1
2
Ch ng minh t

ng t ta đ

 (2)
D
 hay EH là phân giác c a góc DEF
c D
1
2

T (1) và (2), suy ra H là tâm đ

ng tròn n i ti p tam giác DEF .

Cách 2 :

ng t ta đ

 (2)
D
 hay EH là phân giác c a góc DEF
c D
1
2

hi
D

Ch ng minh t

ai
H
oc

01

  

CDE  BAE  BAC
  BDF


 CDE
ng tròn nên 




 BDF  CAF  BAC
 (1)
D
  900  BDF
D
D
D
 hay DH là phân giác c a góc EDF
Mà CDE
1
2
1
2

Do ABDE và AFDC là các t giác n i ti p đ

uO

nT

T (1) và (2), suy ra H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF .
6) G i V, L l n l t đ i x ng v i I qua các đ ng th ng AB, AC . Ch ng minh r ng VL // BC .

Ta

iL

ie

T đó hãy suy ra V, K, L th ng hàng.

up

s/

A

L

/g

om

K

ro

V

I

bo
ok

.c

H

M

C

w

.fa

ce

B

w

w

Do V, L đ i x ng v i tâm I qua AB, AC nên ta có AVBI , ALCI đ u là các hình thoi.
Khi đó VLCB là hình bình hành (do VB, LC cùng song song và b ng AI )
Suy ra VL // BC .
G i K ' là hình hình chi u vuông góc c a A trên VL  AK ' // IM (1)
Ta có AVL  IBC (c – c – c )  AK '  IM (2)
 
T (1) và (2), suy ra AK '  IM (*)
 
M t khác theo tính ch t 1) ta có: AK  IM (2*)

T (*) và (2*), suy ra K '  K hay V, K, L th ng hàng.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 Chùm tính ch t 2: Cho tam giác ABC có tr c tâm H , n i ti p đ ng tròn tâm I và ngo i ti p đ ng
tròn tâm J . G i D, E, F l n l t là chân đ ng cao ng v i các đ nh A, B, C và K là giao đi m c a
AJ và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC .

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

ai
H

oc

01

 (hình 1)
  IAC
 , t đó suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI
1) Ch ng minh BAD
2) Ti p tuy n t i A c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và đ ng th ng AJ c t BC l n l t t i M và N .
a) Ch ng minh tam giác MAN cân t i M .
b) G i P , Q l n l t đ i x ng v i D qua AB, AC . Ch ng minh P , Q, E, F th ng hàng.
T đó hãy suy ra PQ // AM .
3) G i T đ i x ng I qua BC . Ch ng minh T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC .
4) Ch ng minh r ng: a) K là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ . T đó hãy suy ra K là trung đi m c a
JL v i L là tâm đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC .
b) BK là ti p tuy n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN (hình 2)
5) G i X đ i x ng v i B qua I và Z là giao đi m c a XK và AC ; S là giao đi m c a BX và AK .
Ch ng minh SZ  XC .
6) G i Y đ i x ng v i K qua I và BJ , CJ l n l t c t AY t i V, R . Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn.
7) G i G, O,U ,W l n l t là các hình chi u vuông góc c a D lên BA, BE, CF , CA. Ch ng minh G, O,U ,W
th ng hàng (hình 3).
CH NG MINH

up

s/

A

H

J

B

I
N

C

D
T
K

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

M

3 4

E

1

/g

om

P

ro

F

Q

L

Hình 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01




1) Ch ng minh BAD  IAC , t đó suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI .


AIC 1800  
AIC 2 IAC
  900  

Ta có BAD
ABC  900 


 IAC
2
2
2
.
  CAJ
  BAJ
  BAD
  CAJ
  IAC
  HAJ
  IAJ
 , suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI
M t khác, BAJ

 theo cách suy lu n sau:

Chú ý: Ta có th ch ng minh AJ là tia phân giác c a góc HAI
  IKA

  CAK
  KB  KC  IK  BC  IK // AH  HAK
+) Ta có BAK
  IAK
 , suy ra HAK
  IAK
 hay HAJ
.
  IAJ
 , suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI
+) Mà IKA

b) Ch ng minh P , Q, E, F th ng hàng. T đó hãy suy ra PQ // AM .

ai
H
oc

uO

nT

 ) (1)

+) Ta có BEFC là t giác n i ti p nên F
ACB (cùng bù v i BFE
1

hi
D

  BAM
 (cùng ch n cung 
  BAN
 ( AN là phân giác)
AB ) và CAN
Mà NCA
  BAM
  BAN
  MAN
  MAN cân t i M .
Suy ra MNA

01

2) a) Ch ng minh tam giác MAN cân t i M .
  NCA
  CAN
 (tính ch t góc ngoài tam giác)
Ta có MNA

iL

F
 (3)
M t khác, P đ i x ng v i D qua AB nên ta có F
4

3

ie


AFD ) (2)
ACD  
ACB (cùng bù v i 
AFDC là t giác n i ti p nên F
4

ng t ta đ

c Q, E, F th ng hàng, suy ra P , Q, E, F th ng hàng.

up

Ch ng minh t

s/

Ta

F
F
  BFE
F
  BFE
  1800  B, F , E th ng hàng
T (1), (2) và (3), suy ra F

1
3
3
1

ro

+) Theo chùm tính ch t 1, ta có EF  AI . M t khác, AM  AI  EF // AM hay PQ // AM .

bo
ok

.c

om

/g

3) G i T đ i x ng I qua BC . Ch ng minh T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC .
Do T đ i x ng I qua BC , suy ra BTCI là hình thoi  TB  TC  IB (1)
 
M t khác theo chùm tính ch t 1, suy ra AH  IT , khi đó AHTI là hình bình hành  TH  IA  IB (2)
T (1) và (2), suy ra TB  TC  TH hay T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC .

w

w

w

.fa

ce

4) a) K là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ . T đó hãy suy ra K là trung đi m c a JL v i L là tâm
đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC .
  JAB
  JBA
  KAC
  JBN
  KBC
  JBN
  KBJ
 , suy ra KBJ cân t i K  KB  KJ (1)
+) Ta có KJB
  CAK
  KB  KC (2)
M t khác: BAK
T (1) và (2), suy ra KB  KC  KJ hay K là tâm đ

ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ .
  900
+) Ta có BJ , BL là các phân giác trong, phân giác ngoài c a góc B  LBJ
Ta l i có BK  KJ  BK 

JL
 KJ  KL hay K là trung đi m c a JL .
2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

V
Y

A
R

1

2

1

I'

X

1

1

J

2

I

Z

1

S

1

B

C

ai
H
oc

01

N

K

1

2

1

up

2

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

Hình 2
b) BK là ti p tuy n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN
G i I ' là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN , khi đó ta có:
0


  KAC
  KAB
  NAB

  BI ' N  180  2.I ' BN  900  I
  I
' BN  KBC
' BN  900  KB  I ' B
KBC
2
2
Suy ra BK là ti p tuy n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN .
5) Ch ng minh SZ  XC .
  XASZ là t giác n i ti p, suy ra Z

X 
AA
X 
ACB  SZ // BC (1)
Ta có 
1

om



1

bo
ok

.c



/g

ro

  900 hay BC  XC (2) . T (1) và (2), suy ra SZ  XC .
M t khác BCX
6) Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn.
 

 BAC
ABC  1800  BAC
ABC 
ACB 
0
  900  J  900  

Ta có: V






 C1
A
ABJ
90



1
1
1
2
2
2
2


, C
 cùng nhìn RB d i các góc b ng nhau, suy ra BCVR n i ti p đ ng tròn.
Khi đó V
1

ce

7) Ch ng minh G, O,U ,W th ng hàng.

w

w

w

.fa

A

E
W

F
G
B

H U

O

4

1

4
1

1

D

C

Hình 3

 ,D
 cùng ph v i ODB
 nên ta có:
Ta có CDUW và DUHO là các t giác n i ti p, cùng v i DW // BE và B
1
4

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
0











U1  D1  B1  D4  U 4 hay U1  U 4  U1  CUO  U 4  CUO  180 , suy ra O,U ,W th ng hàng (1)
Ch ng minh t ng t ta đ c G, O,U th ng hàng (2)
T (1) và (2), suy ra G, O,U ,W th ng hàng.
 Chùm tính ch t 3: Cho tam giác ABC vuông t i A và có đ ng cao AH .
Hình 1
1) G i M , N l n l t là các đi m thu c AH và BH . Ch ng minh r ng: CM  AN n u th a mãn:
a) M , N l n l t là trung đi m c a AH , BH .
.
b) CM , AN l n l t là các đ ng phân giác c a 

ACH , BAH

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

ai
H
oc

01

2) G i D là đi m đ i x ng c a B qua H ; K là hình chi u vuông góc c a C trên đ ng th ng AD .
Ch ng minh r ng HI là đ ng trung tr c c a đo n th ng AK .
3) Trên m t ph ng b BC ch a đi m A , d ng tia Bx vuông góc v i BC và c t AC t i E . G i F là
đi m thu c đo n BE ( F  B, F  E ) và CF c t đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i P . Ch ng
minh r ng A, E, F , P cùng n m trên m t đ ng tròn.
Hình 2
4) T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và R là đi m thu c đo n TC . G i Q là giao đi m th hai

c a AR v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và J là trung đi m c a AQ . Bi t tia By vuông góc v i
AQ và c t CJ t i L . Ch ng minh r ng:
a) AL  BQ ( hay L là tr c tâm c a tam giác ABQ ).
  900 n u R là trung đi m c a TC .
b) BLT

om

/g

ro

up

CH NG MINH

.c

B

K

H
1

D

M

P

.fa

F

ce

bo
ok

N

2

w

w

w

1

E

1

A

I

C

x

Hình 1
1)
a) M , N l n l

t là trung đi m c a AH và BH , suy ra MN là đ

ng trung bình trong tam giác ABH

Khi đó MN // AB , suy ra MN  AC (do AB  AC ), suy ra M là tr c tâm c a tam giác ANC  CM  AN .

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
AM
AC
BN BA
 , suy ra:
b) CM , AN l n l t là các đ ng phân giác c a 
và
(1)



ACH , BAH
MH CH
NH AH
AC BA
(2)
M t khác, CAH ~ ABH 

CH AH
AM BN
T (1) và (2), suy ra

 NM MN // AB , suy ra MN  AC (do AB  AC )
MH NH
Suy ra M là tr c tâm c a tam giác ANC  CM  AN .

K
 (cùng ch n cung AH ) và C

2) Ta có C
A1 (cùng ph v i góc 
ABC )
1
1
1
ng cao và v a là trung tuy n trong tam giác ABD nên 
A1  
A2



Suy ra K
A2 nên tam giác AHK cân t i H  HA  HK . Mà IA  IK , nên HI là đ
1

01

M t khác, AH v a là đ

ng trung tr c c a AK .

ai
H
oc

 ). Suy ra 
3) Ta có 
AEB  
ABC (cùng ph v i EBA
APC  
AEB (1)
APC  
ABC (cùng ch n cung 
AC ), l i có 
0
M t khác, 
APC  
APF  180 (2)
ng tròn

nT

hi
D

T (1) và (2), suy ra 
AEB  
APF  1800 hay 
AEF  
APF  1800  suy ra AEFP n i ti p đ
Hay A, E, F , P cùng n m trên m t đ ng tròn.

Ta

iL

ie

uO

4)

up

s/

B

Q

T

R

J
C

y

.fa

ce

A

bo
ok

.c

om

/g

ro

L

ng kính – dây cung)  TJ // By hay TJ // BL

w

w

a) Ta có By  AQ . M t khác, TJ  AQ (quan h đ

w

Suy ra TJ là đ ng trung bình trong tam giác BLC , suy ra J là trung đi m c a LC
Khi đó J đ ng th i là trung đi m c a AQ và LC nên ALQC là hình bình hành  AL // CQ (1)

  900 hay CQ  BQ (2)
Ta l i có: CQB
T (1) và (2), suy ra AL  BQ .
Nh n xét: Th c ra tính ch t này đã đ c “bi n t u” t tính ch t 1) trong chùm tính ch t 1.
b) Khi R là trung đi m c a TC thì RJ là đ ng trung bình trong tam giác LTC
  900 .
Suy ra TL // RJ hay TL // AQ (3) . M t khác, BL  AQ (4). T (3) và (4), suy ra BL  TL hay BLT

 Chùm tính ch t 4: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ
vuông góc c a B trên đ ng th ng AI .

ng tròn tâm I . G i E là hình là hình chi u

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1) G i T là giao đi m c a BE v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Ch ng minh r ng: AC là
.
phân giác c a góc BCT
2) G i M là trung đi m c nh BC và D là giao đi m c a ME và AC . Ch ng minh r ng BD  AC .
Gi i

A

I

01

D

ai
H
oc

T
E
B

C

hi
D

M

iL

ie

uO

nT

1) Ta có AI vuông góc v i BT t i E  E là trung đi m c a BT  tam giác ABT cân t i A  AB  AT
 1 sđ 
  1 sđ 
AB ; TCA
AT
M t khác BCA
2
2
  TCA
 hay AC là phân giác c a góc BCT
 (đpcm).
Suy ra BCA

ro

up

s/

Ta

  IMB

  900 , suy ra IBME n i ti p đ ng tròn  BIM
  BEM
 (1)
2) Ta có IEB
 (2) . M t khác BEM
  BED
  1800 (3)
  1 BIC
  1 sđ BC
  BAC
Ta có: BIM
2
2
  BED
  1800  ABED n i ti p đ ng tròn  
T (1), (2) và (3) suy ra BAC
ADB  
AEB  900

om

/g

Hay BD  AC (đpcm).

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

 Chùm tính ch t 5: Cho hình vuông ABCD có M , N l n l t là trung đi m c a AB, BC và I là giao
đi m c a PM và CN .
1) Ch ng minh CM  DN .
2) Ch ng minh AD  AI .
3) P là đi m thu c đo n AC . G i H , K l n l t là hình chi u vuông góc c a P lên AB, BC .
a) Ch ng minh DP  KH .
b) Cho CP  3PA. Ch ng minh tam giác DPN vuông cân.
  450 .
4) G i T là đi m thu c đo n CD sao cho CT  2TD . Ch ng minh TAN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CH NG MINH
M

H

A

B

3
1

P

Q

K

1

3

3

1

N
1

3
1

C

T

nT

1) Ch ng minh CM  DN .

ai
H
oc

1

hi
D

D

01

I

uO

D
 C
N
D
N

  900  CIN
  900 hay CM  DN .
Ta có BCM  CDN (c – g – c )  C
1
1
1
1
1
1

Ta

iL

ie

  DAM
  900  ADIM n i ti p đ ng tròn
2) Ch ng minh AD  AI .
Ta có DIM
  I (cùng ch n cung AM ) . L i có BCM  ADM  C
D
 , khi đó :
D
3
1
1
3

G i Q là giao đi m c a PK và AD , khi đó AHPQ là hình vuông

up

3)a) Ch ng minh DP  HK .

s/


  900  C
  900  D
  900  I  
ADI  900  D
AID , suy ra AID cân t i A AD  AI .
1
1
3
1

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

 PQ  PH

 DQP  KPH  DP  KH .
QD  PK
b) Cho CP  3PA. Ch ng minh tam giác DPN vuông cân.

 DP  PN
Ta có DQP  PKN  
 DPN vuông cân t i P .
N
P
P
1  N
P
 1  900  DPN
  900
P
3
3
3
3

  450 .
4) G i T là đi m thu c đo n CD sao cho CT  2TD . Ch ng minh TAN

w

.fa

Xét tam giác DAT và BAN , ta có: tan 
A1 

DT 1
BN 1
 và tan 
A3 

DA 3
AB 2

w



w

A1  tan 
A3  1 1   1 1 
tan 
  450 .
Suy ra: tan 
A1  
A3 
A1  
A3  450  TAN
    : 1  .   1  


1  tan A1.tan A3  3 2   3 2 



 Chùm tính ch t 6: Cho hình ch nh t ABCD .
1) G i H là hình chi u vuông góc c a B trên AC . Trên tia đ i c a tia BH và CB l n l
đi m E, M sao cho BE  AC ; CM  BC . Bi t BH giao DM t i N .

t l y hai

a) Ch ng minh r ng BN  DM và AN  CN
b) Ch ng minh DE là phân giác c a 
ADC .
c) O, K l n l t là trung đi m c a AH , CD . Ch ng minh BO  KO (hãy t ng quát tính ch t này).
  900 . Ch ng minh AF  CF .
2) Trên m t ph ng b BD ch a đi m A d ng đi m F sao cho DFB
3) Trên đo n BD l y đi m T sao cho DT  4BT . L y R đ i x ng v i A qua T và g i P , Q l n l t
là hình chi u vuông góc c a R trên BC, DC . Ch ng minh T , P , Q th ng hàng.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i
L

V

E

A

ai
H
oc

01

F

T

G

P

ie

H
D

C

Q

up

s/

Ta

iL

K

R

uO

I

nT

O

hi
D

B

/g

ro

N

om

G i I là giao đi m c a AC và BD , khi đó I là tâm c a đ

M

ng tròn ( S ) có đ

ng kính là AC, BD

ce

bo
ok

.c

1) a) Ch ng minh r ng BN  DM và AN  CN .
  
Ta có AD  BC  CM , suy ra ACMD là hình bình hành  AC // DM
M t khác BN  AC , suy ra: BN  DM (*)
  900  N  (S)  
ANC  900 hay AN  CN .
T (*) ta có BND

w

w

w

.fa

b) DE là phân giác c a 
ADC .
G i L là hình chi u c a E lên AD và CB c t EL t i V , khi đó:
  CBH
  BAC

VBE

 BVE  ABC (c nh huy n – góc nh n)


 BE  AC

VE  BC  AD
Suy ra 
 LE  VE  VL  AD  AL  DL hay LE  DL , suy ra DEL vuông cân t i L
VL  BA  BV  AL

  450  ADC hay DE là phân giác c a 
Suy ra LDE
ADC .
2
c) Ch ng minh BO  KO .
HB BC
HB
BC
HB BC
  tan BKC
  BOH

  BKC

Ta có: AHB ~ ABC 





 tan BOH
AH AB
OH KC
2OH 2KC
  1800  BCK
  900 hay BO  KO .
Suy BCKO là t giác n i ti p, khi đó BOK

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
T ng quát:
T cách ch ng minh ta nh n th y đ BO  KO thì ch c n
  BKC
  tan BOH
  tan BKC
  HB  BC (*) . Mà ta luôn có HB  BC (vì AHB ~ ABC )

BOH
AH AB
OH KC
OH  kAH
AH DC
V y đ có (*) (hay có đ c BO  KO ) ta ch c n “thi t k đ ” sao cho 


OH KC
 KC  kAB  kDC
Hay nói cách khác là O, K chia các đo n AH , DC theo các t s b ng nhau.
2) Ch ng minh AF  CF .
  900  F  (S)  
Ta có DFB
AFC  900 hay AF  CF .

01

3) Ch ng minh T , P , Q th ng hàng.

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

ai
H

oc

BD
BG 2



TB AB AT
TG  TB 
G i G là giao đi m c a RP v i BD 


1 
BD 5
5
TG GR TR

 AB  GR
GP BP BG 2
M t khác, GP // DC 



DC BC BD 5
GP  2a , QC  PR  3a
 AB  CD  5a
t 
, khi đó ta có: 
 BT  2b, TI  3b, ID  BI  5b
 BD  10b

BT 2b 2 BP
TI 3b 3 3a QC
Ta có

 
 TP // IC (1) . L i có

 

 TQ // IC (2)
BI 5b 5 BC
ID 5b 5 5a CD
T (1) và (2), suy ra T , P , Q th ng hàng.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01