Luận văn bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

PHẠM TH Ị HƯƠNG

BAI TOAN CAUCHY CHO HẸ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT

LUẬ N VĂN TH Ạ C SĨ TO Á N HỌC

HÀ N Ộ I, 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

PHẠM TH Ị HƯƠNG

BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CẤP MỘT
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã so : 60 46 01 02
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ TIEN NGOẠN

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ
vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, thắng 6 năm 2015
Tác giả

P h ạ m T h ị H ương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "B à i to á n
C a u ch y cho h ệ ph ư ơ n g tr ìn h hyperbolic cấp m ộ t " được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, thắng 6 năm 2015
Tác giả

P h ạ m T h ị H ương


4

M ục lục
M ỏ dầu
3
3
3
3
4
4
4
5
5

1 C ác k iến th ứ c ch u ẩn bị
1.1 Một số khống gian hàm
1.1.1 Khống gian L
1.1.2 Khống gian
1.1.3 Không gian Sobolev w<
1.1.4 Không gian cm([a, b], E)
1.1.5 Không gian ó? và y
1.2 Biến đối Fourier
1.2.1 Biến đối Fourier trong không gian Schwartz 5?
1.2.2 Biến đỗi Fourier trong khống gian ư
1.2.3 Biến đối Fourier trong khống gian 5?'
1.3 Toán tử làm trơn
1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị
1.5 Khái niệm nửa nhóm
1.5.1 Nửa nhổm
1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhổm
1.5.3 Phương trình vi phân trong khống gian Banach
1.5.4 Định lý Hille-Yosida

8
10
10
10
11
11

2 H ệ p hư ơ ng tr ìn h h y p erb o lic với hệ số b iến th iê n và không
p h ụ th u ộ c th ờ i gian
2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một
.
2.1.1 Đinh nghĩa ...............................................................
2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh .............
2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh
.
2.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L 2 đối với hệ đối xứng .

15
15
15
17
19
23

, /

,

9 ,

.

.

.

.

6

7
7


Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm là bình
phường khả tích
2.2.2 Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm khống bình
phương khả tích
Bài toán Caưchỵ cho hệ phương trình đối xứng vổi đạo
hàm theo t của nghiệm thuộc cữ([0, T ] , L 2)
2.3.1 Các tính chất của toán tử A ............. ...............
2.3.2 Bất đẳng thức năng lương trong L 2 ......................
2.3.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo
t của nghiệm thuộc C Q([0, T ], L 2) .........................
Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo
hàm theo t của nghiệm thuộc c° ([0, T1] , wỉ) ...................
2.4.1 Các tính chất của toán tử Ả ...................................
2.4.2 Bất đẳng thức năng lương trong W 2 ...................
2.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc c° ([0,T ] , W j) ......................
2.2.1

2.3

2.4

23
25
28

28
31
31
32
32
36
37

K ế t lu ận

39

Tài liệu th a m kh ảo

40


1

M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ
phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô
tả các quá trình truyền sóng khác nhau. Song bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với hai
biến độc lập. Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thường
được xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình là
hằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t. Việc tổng quan lý thuyết
trên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trường
hợp khác nhau.
Bố cục luận văn gồm hai chương.
Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số không
gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị,
khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối với
phương trình vi phân trong không gian Banach.
Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trình
hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian,
bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu
và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2].

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một cách hệ thống lý thuyết bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một bằng phương pháp biến đổi Fourier
và công cụ toán tử giả vi phân. Trên cơ sở đó nhận được công thức biểu
diễn nghiệm tường minh của bài toán Cauchy khi các hệ số là hằng số.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyper­
bolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đối
xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian.

5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính. Các phương pháp
định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6. Đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán Cauchy cho hệ phương
trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng và
hyperbolic mạnh.


3

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số không gian hàm

1.1.1

K h ô n g g ian L 2

Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Không gian L 2 (hay L 2 (Rn)) là không gian gồm các
hàm u đo được và có chuẩn:

N h ậ n x é t 1.1. Không gian L 2 là không gian Hilbert với tích vô hướng

1.1.2

K h ô n g g ian ẩễm

Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Không gian ẩẽm (hay ẩẽm (Rn)) là không gian bao gồm
tất cả các hàm u(x) thỏa mãn D au (x), \a\ < m liên tục và bị chặn trên
Mn với chuẩn
u (x )\m= ^ 2 sup |Dau(a;)|,
, __7_x€Rn
\a\<
71
ở đó a = (« 1 , OÍ2,
âm, |qíI =
cấp

Qố.

Oín) là kí hiệu đa chỉ số với aj là các số nguyên không

ữị và D au = 7r)/r>
— ---u đươc goi là đao hàm suy rông
1 r)/T* n

4

1.1.3

K h ô n g g ian Sobolev w 2m

Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Không gian w 2™ (hay W2m (Mn)) là không gian bao
gồm tấ t cả các hàm u (x) € í/2, sao cho D au (z) G L 2 với mọi \a\ < m
và được trang bị bởi chuẩn

N h ậ n x é t 1.2. Không gian w 2m là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u (x) , V (x))Wm =

^ 2 j D auD avdx.
0<\a\
Không gian \W™Ỵ là không gian đối ngẫu của w 2m.
1.1.4

K h ô n g g ian c m ([a, 6], E)

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Giả sử E là không gian Banach. Không gian c m ([ữ, 0], E )
gồm các hàm u (t ) xác định trên [a, 6], nhận giá trị trong E, khả vi liên
tục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau
771

ll“ (í )llc»(Ml,E) = sup S I K M L «<<<4 t _0
1.1.5

K h ô n g g ian y

và SP'

Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Không gian s? (hay 5? (Mn)) là không gian véc tơ gồm
tất cả các hàm u (x) xác định trên
khả vi vô hạn và thỏa mãn
sup \x^ (D au (x))| < 00
Rn
với mọi đa chỉ số a,ị3 G Nn, trong đó Xp = x ^ x ị 2...x^n.
Dãy
(x )}^°=1 c ổ? được gọi là hội tụ về 0 trong không gian 5? nếu
dãy {x aD a(pk (x )}^=1 hội tụ đều về 0 trên
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Không gian y (hay y (Rn) là không gian vec tơ
gồm tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên SP.
Mỗi phần tử của không gian 5?' được gọi là một hàm suy rộng tăng
chậm.


5

1.2

Biến đổi Fourier

1.2.1

B iến đổi F o u rier tro n g k h ô n g gian S chw artz s?

Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho u e 5?. Biến đổi Fourier của hàm u , kí hiệu là
hay ủ (£), là hàm được xác định bởi

(£) = (2tt)“ " J e~l^x'^u (X) dx,

( 1 -2)

R”

à đó f = ( f i , . v à (x,Z) =
3=1

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngUỢc của hàm u, kí hiệu là & ~ 1UÌ
là hàm được xác định bởi
* - M * ) = (2 * ) - i / < « ' * * ( № .

(1.3)

R”

Đ ịn h lý 1.1. Cho u G y , khi đó ta có các tính chất sau:
i)
Gy .
ii) & [D%u\ (£) = {ỉ£)a& [lí] (£) với mọi đa chỉ số a.
Ui) D£[u] (£) = (—iỷ a\& [x au] (£) với mọi đa chỉ số a.
iv) & [u * v] (£) = -/» J
[w
L ]J (£)
vsy •^ [ĩ;]
LƯJ (£),
v s y ; trong
u' ^,v3 đó
('u * V) (rr) =

J u {x — y)v (y ) dy

(1.4)

R"
9

1

V

_______

V

được gọi là tích chập của hàm u và

V.

Đ ịn h lý 1.2. p/ỉép òáến đới Fourier & là một đẳng cấu tuyến tính trên
ó? với ánh xạ ngược chính là phép biến đổi Fourier ngược
.
Đ ịn h lý 1.3. Đối vói mỗi u,v G y , ta có các đẳng thức sau:
1)

J u ( x ) v ( x ) d x = j <^u (£) & v (£)á"

(1-5)

R"

2)

j
R"

u{x)v{x)dx=

J ù{x)v{x)dx.
R"

( 1 -6)


6

N h ậ n x é t 1.3. Từ Định lí 1.3, chọn u = V ta nhận được

Ị
Ẽn

\u(x)\2dx =

Ị

I

(1. 7)

ĩ"

với mọi u € y . Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.
1.2.2

B iến đổi F o u rier tro n g k h ô n g gian L 2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ
không gian Schwartz y lên không gian rộng hơn L 2.
Giả sử u (X) G L 2. Do s? trù mật trong không gian L2, vì vậy tồn tại
dãy { U j (x)}°l 1 c y sao cho
IIUj (X) —u (x)||L2 —¥ 0 khi j —>■00.

Vậy dãy {Uj (x)}°l 1 là dãy Cauchy trong L 2. Từ đây và do đẳng thức
Parseval suy ra dãy {ủj (a;)}0!=1 cũng là dãy Cauchy trong L 2. Do L 2 là
đầy đủ, nên dãy {ủj (z)}0^ hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu
là & u hay ù (£) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u (X).
Đ ịn h lý 1.4. Cho u, V £ L 2, khỉ đó ta có

j u{x)v{x)dx = J &u{£) &v {Qd^.
R"

18

( -)

R"

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parseval trong L 2.

Khi cho u = V ta suy ra & u G L 2. Tương tự ta định nghĩa được phép
biến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L 2.
Giả sử u{£) G L 2 và {Uj (£)}°li c ^ hội tụ đến u(£) trong L 2. Nhờ
đẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {Uj (£)}°li
là dãy {Uj (£)}°liJ đây là dãy Cauchy trong L 2. Do đó {Uj (rr)} hội tụ
đến một hàm nào đó thuộc I/2, kí hiệu hàm này là u (x) và được gọi là
phép biến đổi Fourier ngược của hàm u(Ệ).
Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 tương tự như các tính
chất của biến đổi Fourier trong y .


7

1.2.3

B iến đổi F o u rier tro n g k h ô n g gian 5?'

Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Cho и € у . Biến đổi Fourier của hàm и , kí hiệu là
hay Û (£), là hàm được xác định bởi
(^ w , ip) — (u, <^tp) , v v e У .

Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Cho и £ у . Biến đổi Fourier ngược của hàm и , kí
hiệu là ß '~ 1u, là hàm được xác định bởi
( J Ê - y ip) — (и,

1.3

, Vtp e У .

Toán tử làm trơn

Mục này mô tả phép toán xấp xỉ các hàm cho trước bởi hàm trơn.
Giả sử ip (X) là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ip (x) > 0, ip G ỉ&, giá của (f (x) nằm trong hình cầu đơn vị: |x| < 1 ,
trong đó giá của hàm ip (X) kí hiệu là suppy?, là tập hợp
supp<£ = {x; ip (x) Ф 0}.
ii) f (p (x ) d x = 1.
Chẳng hạn, ip được xác định như sau
^ ) = Ị C ex p ( - ĩ q ^ ) ’W < 1
^ 0
, |x| > 1
thỏa mãn i) và ii), ở đó hằng số с được chọn sao cho
j v №

= 1.

Sau đó, lấy £ > 0 là một tham số và đặt
Vc{x) = { ỹ j \ Q Chú ý rằng ip£ (X) cùng thỏa mãn i) và ii), nhưng trong trường hợp này,
giá của ip£ (X) nằm trong hình cầu |ж| < E. Bây giờ, cho и £ L\oc ta định


8

nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của (fe vhu.
Ta có
{ip£ *u) {x) =

J

(pe (x - y)u(y)dy.

(1.9)

Ta có các tính chất sau:
Đ ịn h lý 1.5. Cho u G L]oc, tích chập của ip£ và u được xấc định bởi
(1.9) có các tính chất:
(a) (p£ * u G c °°, tức là hàm khả vi vô hạn.
(b) Giá của ựĩ£ * u nằm trong miền e-ỉẫn cận của giá của u.
(c) Khi u £ cmvà £ —y 0, ta có (p£ * u —ì u trong cm.
(d) Khi u £ Lp,p > 1, ta có ip£ * u —¥ u trong Ư .
Từ trên ta thấy rằng (p£* được xem như phép xấp xỉ các hàm bởi các
hàm trơn trong các không gian hàm khác nhau. Tích chập này được đưa
vào đầu tiên bởi Priedrichs. Ông gọi là toán tử làm trơn
1.4

Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị

Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng p (X, D) được cho bởi công
thức
P ( x , D) =

(x )Da,

(1-10)

|a|
ở đó a là đa chỉ số, aa là các hàm số trơn xác định trên Rn.
Nếu thay thế D a ở công thức (1.10) bằng đơn thức

(£a = £^£ 22■■•£«")
thì ta được đa thức tương ứng sau
P(x,0= £
|a|< ra

a„ (*)«"■

( 1 .1 1 )


9

Đa thức p (x,£) được gọi là biểu trưng của toán tử p (x,D).
Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:
p (x, D ) u{x) = ^ 2 a\ a \ < m

Ị

= ^ 2 aa (x) (2ĩĩ)~n/2 ei[xẲ)D au (£)
\a\2£n
= (2 Tr)-"/2 Y , a<*M / e ^ ỉ ^ ù (ỉ) dỆ
\a\£
„

(27r)“n/2

J

ei{x’t

R»

ủ (?) dí
|_|a|
(2tt )-"/2 y eW > P ( x ,Ệ)ú(Ệ)dỆ.
R”

Khi hàm số p (x, £) không là đa thức theo biến £, ta có thể định nghĩa
toán tử giả vỉ phân p (X, D ) theo công thức sau

J

p (x, D) u (x) = (2tĩ) â

ei{x’° p (x,£) ủ (£)(!£.

(1.12)

ủn
Hàm số p (x,£) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân p (X, D ).
V í d ụ 1.1. Khi p (£, £) = |£| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kí
hiệu là A, tức là

J

Au = (2tt) *

Rn

(1.13)

Khi biểu trưng p (^,£) là hàm thuần nhất bậc 0 theo biến £, tức là
P ( x , k £ ) = P ( x , Z ) y k > 0,
thì toán tử giả vi phân tương ứng p (x,D) được gọi là toán tử tích phân
Kí hiệu: K (x, y ) =
Khi đó

p (z, 0 •

p (x, D ) u (x) = (27r) 2

J

Mn

K ( x, x — y ) u (y ) dí/.

(1.14)


10

V í d ụ 1.2. Giả sử j G N, 1 < j < n là cố định và biểu trưng p (x,£)
được xác định bởi
P ( x ,i ) = | | -

(115)

K ( x , y ) = < ? - ^ p ( x , ỉ ) = cn- l ệ ĩ ĩ ,

(1.16)

Khi đó

_ ^1 - r (ỉ* (»" ;+ц !)) .
trong đ ó c n =
7Ị-2V"1^
Toán tử p (x, D) tương ứng được gọi là toán tử Riesz, được kí hiệu là
Rj.
Ta có
RjU (ж) = (27r ) '" c n f
J \x - у I
Rn

1.5

Khái niệm nửa nhóm

1.5.1

N ửa nhóm

{y) dy.

Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Cho E là một không gian Banach, Tt, ( t > 0) là họ
các toán tử tuyến tính bị chặn trên E. Khi đó họ Tt được gọi là nửa
nhóm nếu:

i) Tq = I, với I là toán tử đồng nhất trên E.
ii) Tị+S = TtTs, t, s > 0.
iii) Tập hợp
D = ị u e E - t 3 (l i m ^ p Ị

(1.17)

là trù mật trong E.
1.5.2

T oán t ử sin h c ủ a n ử a nh ó m

Cho toán tử Ả có miền xác định @ (A) là tập hợp D trong (1.17).
Toán tử A cho bởi
Au = lim —-----------------------------------------и (1-18)
t“ o+ t
v
}


11

được gọi làtoán tử sinh của nửa nhóm Tị.
N h ậ n x é t 1.4. Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định @ (A)
là trù mật trong E, nhưng nói chung Ả không là toán tử bị chặn.
1.5.3

P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n tro n g k h ô n g gian B an ach

Ta xét bài toán Cauchy sau

d^ -

= A u ( t ) , t > 0,
u (0) = u0.

trong đó Uq £ E,

ả

(1.19)
( 1 .20)

là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E.

Đ ịn h lý 1.6. Bài toán Cauchy (|1.19|), (|1.20[) có nghiệm duy nhất u (t )
được cho bởi công thức
u(t) = Ttu0,

(1-21)

trong đó Tị là nửa nhóm có A là toán tử sinh.
1.5.4

Đ ịn h lý H ille-Y osida

Giả sử Ả là toán tử đóng trong không gian Banach E. Định lý HilleYosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinh
của nửa nhóm nào đó. Trước khi xét định lý ta nhắc lại các khái niệm
sau:
Cho A là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach E. Tập
các A G c sao cho (XI — A)~ không tồn tại và bị chặn được gọi là phổ

của toán tử A.
Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính quy của toán tử A. Nếu A
thuộc tập chính quy của toán tử A thì (XI — A Ỵ l được gọi là giải thức
của A.
Đ ịn h lý 1.7. (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác định
trù mật trong E. Giả sử tồn tại số thực ß sao cho với mọi X > ß, tồn
tại giải thức (XI — A Ỵ l của Ả thỏa mẫn
||( A / - A r " || <

_c

, A > ß ,m = 1,2,....

Khỉ đó tồn tại một nửa nhóm Tị mà có toán tử sinh là A.

(1.22)


12

Chứng minh. Cho Ay — A — /31. Từ (1.22) ta có
ỵxi-A,)-

<

c
Xm

, À > 0.

(1.23)

Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm st có toán
tử sinh là Aị, và nếu \\st \\ < c , khi đó Tị = e^S ị thỏa mãn điều kiện
của định lý.
Do đó, không mất tính tổng quát, giả sử Ị3 = 0 trong (1.22), tức là

c

(1.24)

Cho
-1

A > 0.

- ( ' - í '

(1.25)

Khi đó ta có:
( 1 ) ||,7J“ ||< 0
= 1 , 2 ,....
(2) Cho X G @ ( Á ) , A J \ X = A J \ X = À ( J \ — I ) X. Từ đó với mỗi X € E
ta có

Thật vậy, cho X e

A J \ X = À ( J \ — I ) X,

(1.26)

J \ X —> X (À —> 00) , X G E .

(1.27)

(A), ta có

(J\ — I) X = (1/A) J \A x —>0 khi À —>+ 00.
Vì vậy từ IIJ\ịị < c, @ (A) trù mật, do đó (|1.27|) đúng.
Nói chung, khi A là toán tử bị chặn thì ta định nghĩa
exp

^

Ai

3=0 J

Trong trường hợp này ta có
||exp(i4)|| < exp \\A\\.
Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có
exp (A + B) = exp (A) exp (B )


13

— exp (tA ) = A exp (tA ) = exp (tA ) A.
Mặt khác, A J \ = A (Ja — I) là toán tử bị chặn. Vì vậy, từ
exp (tAJ\) = exp {tx (Jx — I)}

= exp (í AJa) exp (—txi)

và từ ( 1 ), (2), với t > 0 ta có
||exp (L4Ja)|| < С exp (tx) exp (—tx) = с.

(1.28)

Hơn nữa,
^ exp (tAJx) = A J Xexp (tAJx)
= exp (tA J \ ) A J\
= exp (tA J \ ) J\A.
Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với X €
(A).
Ta có J\ , Jß (Л, Ị1 > 0) là giao hoán, vì thế A J ß (= Ị1 (Jß —/)) và exp (t A J \ )
g i a o h o á n . T a v i ế t T ị X^ = e x p ( t A J \ ). C h o X G ф ( A ) , t a c ó

T (X) _

Tw = х I
/ ấ K
о

= I

4

“ T*

ds

(Л - J„) Axds.

о
Từ (1.27) và (1.28), hàm này hội tụ đều trong một khoảng hữu hạn với
t > 0 khi Л, /J, —>- + 00.
Hơn nữa, từ X G & (A ) trù mật và (1.28) ta có Tị X^x — T ị ^ x hội tụ
đều trong một khoảng hữu hạn với t > 0 với mọi X G E bất kỳ.
Ta viết giới hạn của sự hội tụ là TịX. Có TịX liên tục với t > 0 và
(1) \\Ttx \\< C \\x \\.
(2) Tt+S — TtTs.
Ta chứng minh ( 2 ): Có Tt+S^ = T t^ T g^ khi л —> +00. Ta cũng có
TqX = X, vì thế
(3) TịX —> X k h i t —> 0 + .


14

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tị. Để làm được, ta
gọi A' là toán tử sinh của Tị và chỉ ra A' D A.
Thật vậy, cho A > 0, (XI — A') là một song ánh từ @ (A ') lên E. Do
đó, (XI — A ) cũng là một song ánh từ @ (Ả ') lên E. Vậy @ (^4)= @ {A1)Để chứng m i n h A' D A ta làm như sau. Với X e @ (A ) ta có

0
Vì vậy
TịX — X

— j TịAxdt khi A —>+ 00.
0

Do đó

lim (TịX — x) / t = Ax.
t->0+
Chứng minh tính duy nhất. Cho Tt là một nửa nhóm bất kì có toán tử
sinh cực tiểu A. Trong trường hợp này ta giả sử Tt chưa là một toán tử
tuyến tính thỏa mãn lỊTíll < Ceßt. Ta có
Ttx — exp (tAJ\) x =

Tt-S exp (sAJ\) (A — A J\) xds (x e @ (A)),

0
ở đó ta áp dụng A J \ D J \A thu được bất đẳng thức. Từ đó
exp (tA J \ ) X —ì TịX khi A —>+ 00.

□


15

Chương 2
H ệ phương trình hyperbolic với hệ
số biến th iên và không phụ thuộc
thời gian
2.1
2.1.1

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một
Đ ịn h n g h ĩa

Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một có dạng tổng quát là
õu

^

X—

.

>

. Õu

k=i

" Ui ( x , t )

ở đó

u (x, t ) =

,

-

.

.

= 2 2 A k { x , t ) ^ - + B { x , t ) u + f ( x , t ),

\

(2.1)

k

'

•

'

/l (z, í)

, /(M ) =

. UN ( X , t ) .

'

•

. Ỉ N (x, t) _

A k (x, t ) và B (x, t ) là các ma trận vuông cấp N.
Dưới đây ta xét hệ phương trình với hệ số biến thiên và không phụ
thuộc thời gian. Kí hiệu nghiệm của phương trình đặc trưng

P(\-,Z) = d e t ị \ I - i ị AÁ - B j = 0

(2.2)

là Ai (Í),...,A S (í).
Xét hệ phương trình gồm phần chính
, , r ! du
" [ “] = *

A:=l

* du
=

°-

/n
(2 -3)


16

Xét các nghiệm đặc trưng Àj (£) của
p (A; í) = det ị x i - ị

A & ' j = 0,

(2.4)

ở đó Àj (£) là các hàm thuần nhất bậc một.
Đ ịn h n g h ĩa 2.1. Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic nếu
tồn tại một hằng số c >0, sao cho V£ e Rn thì
|ReÀj (£)| < Ơ, i = 1 , 2 ,

N,

(2.5)

ở đó Aj (£), ỉ = 1, 2, N
là các nghiệm của (2.2).
Điều kiện (2.5) được gọi là điều kiện Hadamard.
V í d ụ 2.1. Xét hệ phương trình

d_

Ui
dt _ u2
với Aị

'

0 1
1 2

d
dxi

'

_

Ui
u2

( 2 .6 )
_

0 1
1 2

Ta có
A

-*&

-i£ i

A - 2ifi

= A2 - A*à - i2g = 0.
Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = ỉti1 ± ỉ£i\/2Do đó ReAx 2 (£i) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5)
Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic.
V í d ụ 2.2. Xét hệ phương trình

d_
dt
với Ai
Ta có

1 1
-1 0

Uị

_u2

1 1
-1 0

'

a

Wi
_u2 _

(2.7)


17

P(A ,& ) = det [A7 —i£iAi\ =

A - if 1
A

= A2—i£iA +
Phương trình có nghiệm Ai>2 (6 ) =

1

±

= 0.

%/3f?

Vã
2

Ta có |ReAi 2 (£i)| = ——|£i1. Do đó không thỏa mãn điều kiện Hadamard
(2,5).
Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic.
Đ ịnh nghĩa 2.2. Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic mạnh
nếu ta cộng thêm hạng tử B bất kì vào toán tử M [u] =

Ỡĩl
ỡt

n

Ỡĩl

— ^2/Aỵk=i
1dxi

thì hệ vẫn là hyperbolic.
Đ ịnh nghĩa 2.3. Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ đối xứng nếu các
ma trận A k là các ma trận Hermitian, tức là (Ak) T = A k, k = 1 , 2 , n.
2.1.2

Đ iều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh

Đ ịnh lý 2.1. Diều kiện cần để (Ị2.3Ị) là hệ hyperbolic mạnh đó là các
n
nghiệm Aj (£) của (2.4) đều là thực, và với £ £ Mn bất kì, Ỵ2
ỉà ma
k= 1

trận chéo hóa được.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra rằng với £* và Aj nào đó (ở đây ta giả
sử đó là Ai), nếu ImÀi (£*) 7^ 0, tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu không còn đúng. Thật vậy, ta giả sử
—ImAi (£*) = c > 0

( 2 .8 )

Với ma trận B bất kì thì (2.2) tương đương với
P(\,ii) = p (X ,ii)+

'V i

(I.

(2.9)

\v\+jCho À* (£) là nghiệm của fl2.9p. Ta xét
UỊ (x, t) = exp (A* (£) t) exp (i£x), £x = tiX 2 + ... + £nXn-

(2.10)

18

thỏa mãn Mĩi£ — 0, ở đó £ là một tham số thực.
Đặt £ = TỆ* trong (2.9), với r > 0 đủ lớn. Ta sẽ chứng minh trong số
các nghiệm Aj* (r£*), i = 1, 2, . . . ,171 của p (A,ỈT£*) = 0, tồn tại một
A* (t£*) thỏa mãn
ReÀ* ( t ệ *) >

-C T

Ẩi

khi T —>+ 00.

(2 . 11 )

Thật vậy, nếu ta đặt ^/T = A' thì ta có thể viết (2.9) là:
T ' |p (A ',ií* ) + Ì Q ( À ', r ) | = ũ,
ở đó Q (A', r) là một đa thức có bậc nhỏ hơn (ra —1) đối với X', và những
hệ số của nó là những đa thức của 1 /r. Với những giả thiết ban đầu,
p(À',«£*) = 0 có một nghiệm iÀi (£*). Do đó, khi T —> + 00, «Ai (£*) có
một nghiệm iÀi (£*) + £, ở đó £ hội tụ đến 0 khi 1 / r —>0.
Do đó, nếu T > r0, thì phần thực của nghiệm íAx (£*) + £ lớn hơn
— ImAx (£*). Vì vậy nếu T > r 0 thì (|2.9Ị) có A* ( t £ ) thỏa mãn
ReA* (t£*) > - ir lm A i (£*) = ịc r.
Từ đó (Ị2.9Ị) được chứng minh.
Tiếp theo, nếu (2.9) đúng, ta thấy tính liên tục của nghiệm với giá trị ban
đầu của M không đúng. Thật vậy, nếu nó đúng thì với một tập compact
bất kì K của D s , tồn tại một số thực dương c và một số nguyên dương
l, và cho u (£, t) G c thỏa mãn M u = 0

sup \u (x, i)| <

(x , t ) e K

c

(ẳ)

( ì r ) u( x, 0) ,
u { x ’ 0 )

ở đó |-|z là chuẩn của 3ễl (Mn).
Ta lấy K chứa điểm (0, tữ) c Dỹ, t0 > 0. Khi đó
UT ( x ,

t) = exp [A* (t£*) t ] exp (ir£*x)

là một nghiệm trong c thỏa mãn M u T = 0.
Do đó, từ |A* (t£*)| < c ' t ( t > T0), (2.11) và (2.12) ta có
exp Q c tÍq j < exp [ReÀ* ( r C ) t 0] = \uT (0,í0)| < CTm+ỉ~l ,

(2 . 12 )


19

ở đó T > r0. Nếu r —>■+00 thì bất đẳng thức này là sai.
Tiếp theo, nếu ^2 ^-kík không chéo hóa được thì tồn tại một ma trận
thường N sao cho

Ai 0 0
1 Ai 0

N

. .

. .

0
0

*
Ta xác định B thỏa mãn

NBN~l =

0 10

... 0

0 0

...

0

0

0

0

Để đơn giản ta viết
Ả • £ — ^ 2 A k£k.
Nếu đặt £ =

t £*,t

(2.13)

> 0 trong (|2.2|), ta có

det (XI - ỈA ■t C - B ) = det (XI - i r N (A • C ) N ' 1 - N B N -1)
A -irA i( r) -1
0 ... 0
—ỈT
X — ỈTẰ1 (£*) 0 ... 0

= 0.

*
Vì vậy nó có một nghiệm (À —ỈTẰ1 (£*))2 —ÍT = 0.
Trong trường hợp này A± (t£*) = ÌTẰi (£*) ± y /Jrr) , ở đó Ằị (£*) là
thực, vì vậy tồn tại ReA± (t£*) nào đó tương tự với T2 khi T —y + 00.
Điều này cho thấy điều kiện của Hadamard không thỏa mãn. Do đó (2.1)
không phải là một hệ hyperbolic. Vậy định lý được chứng minh.
□
2.1.3

Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ đối với tính hyperbolic mạnh của
hệ phương trình đối xứng.
Đ ịnh lý 2.2. Cho A k là các ma trận Hermitian, khi đó hệ phương trình
(2.3) là hệ hyperbolic mạnh.