Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm LYAPUNOV

Số hóa bởi trung tâm học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM






PHẠM THANH HUẾ





BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP
HÀM LYAPUNOV







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





PHẠM THANH HUẾ



BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP
HÀM LYAPUNOV

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH : VŨ NGỌC PHÁT






Thái Nguyên – 2013


i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Phạm Thanh Huế



ii
MỤC LỤC
Lời cam đoan i
Mục lục ii
Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn iii
LỜI MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 3
1.1 Hệ phương trình vi phân 3
1.1.1. Hệ phương trình vi phân tổng quát 3
1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 6
1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 6
1.1.4. Hệ phương trình vi phân có trễ 8
1.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 8
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân thường 8
1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 11
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov 12
1.4 Một số định lí, bổ đề bổ trợ 17
Chƣơng 2: TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO
PHƢƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 19
2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 19
2.1.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 19
2.1.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính không tôtônôm. 30
2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 34
2.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ dạng hằng. 34
2.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên 36

KẾT LUẬN 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii
MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN



: Tập các số thực không âm.

n

: Không gian vecto
n
- chiều với tích vô hướng là
,
và chuẩn của
vecto là
.
.

nm

: Không gian các ma trận
nm
chiều.

D

: Lân cận mở của 0 trong
n

.

,,
n
C a b 
: Tập các hàm liên tục trên
,ab
và nhận giá trị trong
n

.

2
,,
m
L a b 
: Tập các hàm khả tích bậc hai trên
,ab
lấy giá trị trong
m

.

T
A
: Ma trận chuyển vị của ma trận
A

.

I
: Là ma trận đơn vị.

A
: Tất cả các giá trị riêng của ma trận
A
.

max
: max :A Re A


min
: min :A Re A


0A
: Ma trận
A
xác định dương nếu
, 0, 0Ax x x
.

0A
: Ma trận
A
xác định không âm nếu
, 0,

n
Ax x x 
.

max
T
A A A
: Chuẩn phổ của ma trận
A

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
LỜI MỞ ĐẦU
Trong thực tế khi khảo sát các hệ động lực học, sự biến đổi của hệ sinh
thái học hay khảo sát sự ổn định của mật độ dân cư….các nhà khoa học thường
quan tâm đên sự tác động của các yếu tố bên ngoài tác động vào hệ có ảnh
hưởng như thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ hay không. Trong
quá trình nghiên cứu đó cho thấy có tác động làm thay đổi cả quá trình vận động
nhưng có trường hợp sự tác động không làm thay đổi quá trình vận động tiếp
theo của hệ. Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó người ta thường mô hình
hóa toán học các hệ đó. Do đó lý thuyết ổn định được hình thành và đang được
quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và được ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như: kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh học….
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính phương
trình vi phân. Hiện nay, lý thuyết ổn định đang phát triển theo hai hướng ứng
dụng và lý thuyết, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu như: Yoshizawa, S.M V.Kharitonnov, Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung,
Nguyễn Hữu Dư, Vũ Ngọc Phát, Lê Thanh Sơn….Họ đã thu được những kết
quả, tính chất quan trọng và có tính ứng dụng cao.

Chúng ta đã biết có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định
nhưng phải nói đến hai phương pháp của nhà toán học người Nga Lyapunov :
Phương pháp thứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp
thứ hai Lyapunov – phương pháp hàm Lyapunov. Trong đó phương pháp hàm
Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định của các
hệ phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp như hệ phi tuyến, hệ có trễ…
Trên cơ sở các tài liệu, kiến thức về phương trình vi phân và lý thuyết ổn
định chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
theo phƣơng pháp hàm Lyapunov” Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định hệ phương trình vi phân truyến tính có trễ bằng phương pháp hàm
Lyapunov.
Nội dung trình bày luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương.
Chƣơng 1: Cơ sở toán học
Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm cơ bản về hệ
phương trình vi phân, một số định lí về tính ổn định của lý thuyết ổn định
phương trình vi phân, một số định lí và bổ đề bổ trợ.
Chƣơng 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov.
Chương này chúng tôi trình bày về bài toán ổn định của một số dạng hệ
phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân
tuyến tính ôtônôm, hệ tuyến tính không ôtônôm và hệ phương trình vi phân có
trễ cùng với một số ví dụ minh họa.
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất tới GS.
TSKH Vũ Ngọc Phát. Thầy đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời
gian qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại
học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, động viên, tạo

điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận
văn. Cuối cùng, tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân luôn bên
cạnh ủng hộ và cổ vũ tinh thần cho tôi học tập và nghiên cứu.
Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiện không
nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản
biện của quý thầy cô và bạn đọc.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Chƣơng 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ
phương trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tính ổn định của hệ
phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ, phương pháp
hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính.
1.1 Hệ phƣơng trình vi phân
1.1.1. Hệ phƣơng trình vi phân tổng quát
Xét hệ phương trình vi phân:
0
0 0 0
,
.
, ,
, 0,
x t f t x t t t
x t x t

(1.1.1)
trong đó
,:
nn
f t x   
, với mỗi
0
, x
n
t t t 

Hàm
xt
khả vi liên tục trên

thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) được
gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được ký hiệu là
0
,x t x

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là:
0
00
,,
t
t
x t x x f s x s ds


Số hóa bởi trung tâm học liệu

4
Từ định lí sau ta khẳng định được hệ (1.1.1) luôn có nghiệm duy nhất
0
,x t x
trên
0;


Số hóa bởi trung tâm học liệu

5
Định lí 1.1.1 (Định lí Picard - Lindeloff)
Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử
( , ):
n
f t x I D 
với ( trong
đó
0
,It
và
0
,
n
D x x x a
) là hàm liên tục theo
t
và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo

x
:
1 2 1 2
0: , , , 0K f t x f t x K x x t

Khi đó với mỗi
00
,t x I D
sẽ tìm được một số
0d
sao cho hệ
phương trình (1.1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng
00
,t d t d
. Vậy qua
mỗi điểm
00
,t x I D
có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua.
Trường hợp đối với hệ tuyến tính:
.
00
, .
,
x t A t x t g t t
x t x


,A t g t
là các hàm liên tục trên


thì hệ luôn có nghiệm duy nhất trên

.
Định lí 1.1.2. (Định lí Caratheodory)
Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử hàm
( , ):
n
f t x I D 
là
hàm đo được theo
tI
và liên tục theo
xD
. Nếu tồn tại hàm khả tích
mt

trên
0
,It
sao cho:
( , ) , ,f t x m t t x I D

Khi đó hệ (1.1.1) có nghiệm trên khoảng
00
,tt
nào đó.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

6
Định lí Caratheodory với giả thiết nhẹ hơn so với Định lí Picard –
Linderloff, chỉ ra sự tồn tại nghiệm của một lớp hệ phương trình vi phân tương
đối phổ biến và có nhiều áp dụng trong lí thuyết điều khiển.
1.1.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng:
0 0 0
.
,
, 0
gtx t Ax t t
x t x t

(1.1.2)
trong đó A là
nn
ma trận hằng số,
:
n
g 
là hàm khả tích.
Khi đó hệ (1.1.2) có nghiệm duy nhất được biểu diễn bởi công thức Cauchy:
0
0
00
, , 0
t
A t t A t s
t
x t x e x e g s ds t

Ví dụ 1.1.1: Hệ phương trình:
1 1 2
2 1 2
.
2
.
23
x x x
x x x

là một hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm với:
12
23
A
,
0gt
với
0
tt
.
Xét hệ tuyến tính:
0 0 0
,,
.

, 0,
x t Ax t t
x t x t


với A là ma trận vuông cấp n.
Nghiệm của hệ xuất phát từ trạng thái ban đầu
0
xt
cho bởi :
0
00
, .
A t t
x t x e t t

1.1.3 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Số hóa bởi trung tâm học liệu

7
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng :
0 0 0
.
,
, 0
t g tx t A x t t
x t x t

(1.1.3)
trong đó
At
là
nn
ma trận các hàm số liên tục trên


,
:
n
g 
là
hàm liên tục.
Hệ phương trình (1.1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên


và nghiệm này được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản
,ts
của hệ
thuần nhất:
.
0x t A t x t t

và được cho bởi công thức tích phân:
0
00
( , ) ( , ) , 0,
t
t
x t t t x t s g s ds t

với
,ts
là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất và thỏa mãn:

, , ,

, , 0
d
t s A t t s t s
dt
s s I s
và
0
0
,
t
t
A s ds
t t e

Ví dụ 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm:
.
1
12
.
2
12
1
sin ,
2
21
cos ,
33
x x x t
t
t

x x x t

t 

Ma trận
1
1
2
21
33
t
A
t
và
sin
cos
t
gt
t


Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
1.1.4. Hệ phƣơng trình vi phân có trễ
Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian
t
,
trạng thái của hệ thống
xt

ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi của trạng
thái
xt
có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ.
Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ
h
,
(0 )h
.
Với
xt
là một hàm có trễ liên tục trên

nhận giá trị trên
n

.
Kí hiệu
,0 ,
n
ChC
là không gian các hàm liên tục từ
,0h
vào
n

với chuẩn được xác định bởi:
0
sup
ht

t
.
Với
0t
,
t
x C
. Đặt
t
x s x t s
,
s ,0h
là quỹ đạo của
xt
với
chuẩn
,0
sup s ,0 , 0
t
sh
x x t s h h

Hệ phương trình vi phân có trễ dạng tổng quát :
.
, , 0
, ,0
t
x t f t x t
x t t t h
(1.1.4)

trong đó:
:
n
f C
là hàm cho trước.
1.2. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân thƣờng
Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân dạng tổng quát:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

9
0
0 0 0
,
.
, ,
, 0,
x t f t x t t t
x t x t
(1.2.1)
trong đó
,:
nn
f t x   
, với mỗi
0
,
n
t t x t 

Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm
()xt
của hệ (1.2.1) là ổn định nếu với
0
0, 0t
, tồn tại số
0
(phụ thuộc vào
0
,t
) sao cho với bất kỳ
nghiệm
y t x t
,
00
y t y
của hệ (1.2.1) thỏa mãn
00
yx
thì bất
đẳng thức sau nghiệm đúng:
0
, y t x t t t

Nói cách khác, nghiệm
()xt
là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá
trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của
()xt

thì vẫn đủ gẫn nó trong suốt thời
gian
0
tt
.
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm
()xt
của hệ (1.2.1) là ổn định tiệm cận nếu nghiệm
đó là ổn định và tồn tại số
0
sao cho
00
yx
thì
lim 0
t
y t x t
.
Vậy nghiệm
()xt
là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm
()yt
khác
có giá trị ban đầu y
0
đủ gần với giá trị ban đầu x
0
thì sẽ tiến gần
()xt
khi

t
.
Giả sử
0
()xt
là một nghiệm ổn định của hệ (1.2.1), xét phương trình:
00

( , ( )) ( , ( ))x x f t x t f t x t

Đặt
0
z t x t x t
. thì hệ (1.2.1) sẽ đưa được về dạng:
0
0 0 0
, ,0 0
.
, ,
, 0,
z g t
z
t g t z t t t
t z t
(1.2.2)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

10
trong đó

00
, , ,g t z t f t z t x t f t x t

Khi đó
0z
là một nghiệm của hệ (1.2.2) với
00
z t z
. Vậy việc nghiên cứu
tính ổn định của nghiệm
0
xt
của hệ (1.2.1) được đưa về nghiên cứu tính ổn
định của nghiệm 0 của hệ (1.2.2)
Bây giờ ta xét hệ (1.2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là
,0 0, f t t 

Định nghĩa 1.2.3. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định nếu với
0
0, 0t
tồn
tại số
0
sao cho bất kỳ nghiệm
xt
với điều kiện ban đầu
00
x t x
thỏa
mãn

0
x
thì
()xt
với
0
tt
.
Định nghĩa 1.2.4. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và
tồn tại số
0
sao cho nếu
0
x
thì
lim 0
t
xt
.
Nếu số
0
không phụ thuộc vào
0
t
thì tính ổn định (hay ổn định tiệm
cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều).
Định nghĩa 1.2.5. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định mũ nếu
0N
và
0

sao
cho mọi nghiệm
xt
của hệ với điều kiện ban đầu
00
x t x
thỏa mãn:
0
00
( ) ,
tt
x t Ne x t t
.
Khi đó
N
được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, gọi là số mũ ổn định,
,N
là
chỉ số ổn định Lyapunov.
Vậy nghiệm 0 của hệ là ổn định mũ thì nó là ổn định tiệm cận và mọi
nghiệm ổn định tiệm cận của nó tiền tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.2.1 : Xét phương trình vi phân trong


.
, 0.x ax t
(1.2.3)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

11
Nghiệm
xt
với điều kiện ban đầu
00
x t x
cho bởi công thức:
0
, 0
at
x t x e t

Khi đó: + Nếu
0a
thì hệ (1.2.3) là ổn định (tiệm cận, mũ).
+ Nếu
0a
thì hệ (1.2.3) là ổn định.
Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số
0

chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu
0
t
.
Ví dụ 1.2.2 : Xét phương trình vi phân
.
, 0.x a t x t
(1.2.4)
trong đó

:at 
là hàm liên tục.
Nghiệm
xt
, với điều kiện ban đầu
00
x t x
cho bởi công thức:
0
0
t
t
a s ds
x t x e

+ Hệ (1.2.4) là ổn định nếu
0
00
,
t
t
a s ds t t t

+ Hệ (1.2.4) là ổn định đều nếu
0
t
là hằng số không phụ thuộc vào
0
t
.

+ Hệ (1.2.4) là ổn định tiệm cận nếu
0
lim 0
t
t
t
a s ds
.
1.2.2. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân có trễ
Xét hệ phương trình vi phân có trễ
.
, , 0
, ,0
t
x t f t x t
x t t t h
(1.2.5)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

12
với giả thiết
,0 0ft
tức là hệ (1.2.2) có nghiệm 0.
Định nghĩa 1.2.6.
Nghiệm
0x
của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định nếu với
0
,

0
0t

tồn tại số
0
,0t
sao cho bất kỳ nghiệm
0
,x t t
của hệ thỏa mãn
thì
00
,,x t t t t
.
Nghiệm
0x
của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định
và với mỗi
0
0t
tồn tại số
0
0t
sao cho với
C
thỏa mãn
ta có :
0
lim , 0
t

x t t
.
Nghiệm
0x
của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số
0, 0M
sao cho mọi nghiệm
0
,x t t
của hệ (1.2.5) thỏa mãn:
0
00
,,
tt
x t t Me t t

1.3. Phƣơng pháp hàm Lyapunov
Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến ôtônôm:
0
0
.
, 0
,
x t f x t t
xx
(1.3.1)
trong đó
( ( )):
nn
f x t 

là hàm vecto cho trước,
n
xt 
là vecto trạng thái
của hệ với giả thiết
0 0 f
.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm
:
n
V x D 
, với
D
là lân cận mở tùy ý của 0,
gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.3.1) nếu:
i)
Vx
là hàm khả vi liên tục trên
D
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

13
ii)
Vx
là hàm xác định dương.
iii)
: 0, .
f

V
D V x f x x D
x

Hàm
,V t x
gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và bất
đẳng thức trong điều kiện iii) là thực sự âm. Chính xác hơn là nó thỏa mãn:
iv)
0: ( ) 0, 0
f
c D V x c x t x D ‚
.
Định lí sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính ổn định của hệ phương trình vi
phân (1.3.1) và sự tồn tại hàm Lyapunov của hệ phương trình đó.
Định lí 1.3.1. Xét hệ phương trình vi phân (1.3.1)
1. Nếu hệ (1.3.1) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định.
2. Nếu hệ (1.3.1) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận.
Đối với hệ phi tuyến không ôtônôm :
0
0
.
, , 0
,
x t f t x t t
xx
(1.3.2)
trong đó
( , ( )): , ( ,0) 0 , .
nn

f t x t f t t   

thì hàm Lyapunov được định nghĩa tương tự cho hàm hai biến
,V t x
.
Trước hết ta xét K là tập các hàm liên tục tăng chặt:
. : , 0 0aa

Với mỗi hàm
, ( ) :
n
V t x t   
, ta ký hiệu:
.
, ( , ( )): ,
ff
VV
V t x t D V t x t f t x t
tx

là đạo hàm của hàm
,V t x t
theo
t
dọc theo nghiệm
xt
của hệ (1.3.2)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

14
Định nghĩa 1.3.2 Hàm
, ( ) :
n
V t x t   
,
,0 0, 0V t t
khả vi liên
tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.3.2) nếu:
i

,V t x t
là hàm xác định dương theo nghĩa:

. : , , , .
n
a K V t x a x t x 

ii
.
, , 0 , , ( )
n
f
VV
V t x t f t x t t x t
tx

.
Nếu
,V t x t

là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm 2 điều kiện:
iii
. : , ( ) ( ) , ,
n
b K V t x t b x t t x 
.
iv
.
. : , ( ) ( ) , , 0c K V t x t c x t t x
thì ta gọi hàm
, ( )V t x t

là hàm Lyapunov chặt.
Đối với hệ phi tuyến không ôtônôm (1.3.2) ta cũng có định lí về tính ổn
định, ổn định tiệm cận tương tự như Định lí 1.3.1.
Ví dụ 1.3.1: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ sau:
22
1 1 2 1 2
22
2 1 2 1 2
.
2 1 3
.
2 1 3
x x x x x
x x x x x

Giải: Chọn hàm xác định dương
22
12

, 0 0 và ,0 0V t x x x x V t
.
Ta có :
1 1 2 2

, , 2 2
f
VV
D V t x f t x x x x x
tx


2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
=2 2 1 3 2 2 1 3
= 2 1 3 0
x x x x x x x x x x
x x x x


Số hóa bởi trung tâm học liệu

15
với
,xy
đủ bé. Vậy nghiệm tầm thường
0xt
của hệ đã cho là ổn định.

Ví dụ 1.3.2: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ sau:
3
1 1 2
3
2 1 2
.
25
.
53
x x x
x x x

Giải: Chọn hàm
22
12
, 0 0 và ,0 0V t x x x x V t

Hàm
22
12
,V t x x x
có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi
0x
và
1 1 2 2
33
1 1 2 2 1 2
44
1 1 2 1 2 2
44

12

, , 2 2
=2 2 5 2 5 3
= 4 10 10 6
= 4 6 0
f
VV
D V t x f t x x x x x
tx
x x x x x x
x x x x x x
xx

,0 0
f
D V t
. Do đó nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Định lí sau đây cho ta điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ (1.3.2).
Định lí 1.3.2. Giả sử hệ (1.3.2) tồn tại hàm
,:
n
V t x   
thỏa mãn:
22
1 2 1 2
) 0, 0: , , ,
n
i x V t x x t x 
.

) 0: , 2 ,
.
f
ii V t x t V t x t
với mọi nghiệm
xt
thì hệ là ổn định mũ
với
2
1
,N
là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Đối với hệ phương trình vi phân có trễ :

Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
.
, , 0
, ,0
t
x t f t x t
x t t t h
(1.3.3)
Ta kí hiệu
,xt
là một nghiệm của hệ (1.3.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
, ,0x t t t h
.
Ký hiệu:

.
, : , ,
t
f
t t t
t
d V V
V t x V t x f t x
dt t x
.
trong đó:
0
,,
: lim
t h t
h
t
V t x V t x
V
xh


Định lí 1.3.3. Nếu hệ (1.3.3) có hàm
,:
t
V t x C
thỏa mãn:
22
1 2 1 2
) 0, 0: , , 0

t
i x t V t x x t t
.
.
) , 0
t
ii V t x
với mọi nghiệm
xt
của hệ (1.3.3) thì hệ là ổn định và mọi
nghiệm
xt
bị chặn, tức là:
0: , , 0N x t N t

Nếu điều kiện
)ii
được thay thế bằng điều kiện:
33
.
) 0: ,
f
t
iii V t x x t
với mọi nghiệm
xt
của hệ (1.3.3) thì hệ là ổn
định tiệm cận.
Nếu điều kiện
)ii

được thay thế bằng điều kiện:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

17
.
) 0: , 2 ,
f
tt
iv V t x V t x
với
xt
của hệ (1.3.3) thì hệ là ổn định mũ
với
2
1
và N=
là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Ví dụ 1.3.3. Xét hệ vi phân có trễ :
2
1 2 1 2
2
2
1 2 1
.
.
1
1
x x t x t x t
x x t x t x t

Giải: Ta chọn hàm:
2
22
12
,
t
V t x x t x t x t
là hàm liên tục.
1 1 2 2
22
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2
1 2 2 1
. . .
, 2 2
2 1 2 1
2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 0
t
V t x x t x t x t x t
x t x t x t x t x t x t x t x t
x t x t x t x t x t x t x t x t
x t x t x t x t

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
1.4 Một số định lí, bổ đề bổ trợ
Định lí 1.4.1: (Công thức Sylvester). Cho

A
là ma trận
nn
chiều với các
giá trị riêng
1 2 3
, , , ,
n
khác nhau. Cho
f
là hàm đa thức bậc
n
nào đó
dạng
0
n
k
k
k
fc
. Khi đó:
0
n
kk
k
f A Z f
trong đó
k
Z
xác định bởi :

1 2 1 1
1 2 1 1
1


=
k k n
k
k k n
n
j k j
j
jk
A I A I A I A I A I
Z
AI


Số hóa bởi trung tâm học liệu

18
Bổ đề 1.4.2. (Bổ đề Schur)Cho các ma trận hằng số, đối xứng
,XY
trong đó
0Y
và ma trận
Z
. Khi đó
1
0

T
X Z Y Z
khi và chỉ khi :
0
T
X
Z
Z
Y

Bổ đề 1.4.3. (Bất đẳng thức ma trận Cauchy). Cho ma trận
nn
S 
là một ma
trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi ma trận
nn
Q 
ta có:
1
2 , , , , ,
Tn
Qy x Sy y QS Q x x x y 

Hệ quả 1.4.4. (i)
22
2 , , , ,
n n n
Qy x y Qx x y Q

(ii)

1
2 , , , , , , 0
n
x y x x y y x y 




Số hóa bởi trung tâm học liệu

19
Chƣơng 2

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP HÀM
LYAPUNOV

Trong chương này chúng tôi trình bày về bài toán ổn định của một số
dạng hệ phương trình vi phân như: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương
trình vi phân tuyến tính ôtônôm, hệ tuyến tính không otonom và hệ phương trình
vi phân có trễ theo phương pháp hàm Lyapunov cùng với một số ví dụ minh họa.

2.1 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
2.1.1. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm
Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:
0
.
,
0
x t Ax t t

xx

(2.1.1)
trong đó
A
là
nn
ma trận hằng số.
Từ trạng thái ban đầu
0
0xx
, nghiệm của hệ (2.1.1) cho bởi:
0
At
x t x e


Số hóa bởi trung tâm học liệu

20
Định lí dưới đây cho ta một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ vi
phân tuyến tính ôtônôm (2.1.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số
Lyapunov.
Định lí 2.1.1 : Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1.1) là ổn định mũ khi và
chỉ khi tất cả các giá trị riêng của
A
có phần thực âm, tức là
0, ( )Re A

Chứng minh: Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp dụng cho

fe
, ta có:
12
1
1

k
k
t
k
k k k
q
At
k
e Z Z Z t e

trong đó
k
là các giá trị riêng của
A
,
k
la chỉ số mũ bội của các
k
trong
phương trình đa thức đặc trưng của
A
. Và
i
k

Z
là các ma trận hằng số xác định
bởi công thức Sylvester. Do đó ta có đánh giá sau:
11
1 1 1 1
kk
kk
ii
qq
Re t Re t
At i i
kh
k i k i
e t e Z t e Z

Vì
0 nên 0 khi
k
Re x t t
.
Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm
xt
của hệ (2.1.1)
thỏa mãn điều kiện
0
00
,
tt
x t x e t t
, với

0, 0
nào đó.
Giả sử phản chứng rằng
0
A
sao cho
0
0Re
. Khi đó với vecto
riêng
0
x
ứng với
0
này ta có:
0 0 0
Ax x

Nghiệm của hệ với
0
0 0 0 0
là 0
t
x t x x x e
, lúc đó ta có:
0
00
Re t
x t x e

Nghiệm
0
khi x t t
, vô lý với :
0
00
,
tt
x t x e t t