Luận văn một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
-----------------------oOo---------------------

TR Ầ N THỊ LEN

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ CỦA TRƯỜNG VÔ
HƯỚNG TRONG MÔ HÌNH CHUAN

Chuyên ngành: Vật lý lý th u y ết và Vật lý toá n
M ã số:

60 44 01 03

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ K H O A H Ọ C VẬT C H A T

Người hướng dẫn khoa học

T S. N g u y ễ n H u y T h ảo

H À N Ộ I, 08 - 2015


LỜI NÓI ĐẦU
Sau m ột thời gian học tậ p và nghiên cứu, cuối cùng tôi cũng đã hoàn th à n h
luận văn nghiên cứu của mình. Đây là thời điểm tố t n h ất tôi có dịp được bày
tỏ lòng biết ơn của m ình đến th ầy cô, những người th â n đã giúp đỡ động viên
tôi trong suốt quá trìn h tôi thực hiện luận văn này.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo,
người thầy, người hướng dẫn khoa học, người định hướng nghiên cứu cho tôi
trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.

Xin gửi lời cảm ơn chân th à n h tới quý th ầy cô trong K hoa Vật lý trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đ ạt
cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên
cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, các bạn
học viên lớp cao học K17 - chuyên ngành Vật lí lí thuyết và vật lí to án đã tạo
điều kiện th u ậ n lợi, khích lệ, góp ý cho tôi trong suốt quá trìn h học để tôi có
được như ngày hôm nay.
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn th àn h , nhưng thời gian nghiên cứu có hạn
nên luận văn của tôi khó trá n h khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý
kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn học viên và những
người quan tâm đến đề tài này.
Xin trâ n trọng cảm ơn!
Hà Nội, th án g 08 năm 2015

H ọ c viên

Trần T h ị Len


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam kết luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của tôi, được
hoàn th à n h dựa trên các kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa
học của TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong to àn bộ nội dung của luận văn, những
điều được trìn h bày hoặc là của cá nhân hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồn
tài liệu. Tất cả các tài liệu th a m khảo đều có x u ấ t xứ rõ ràng và được trích dẫn
hợp pháp. Các kết quả của nghiên cứu này chưa được dùng cho b ất cứ luận văn
cùng cấp nào khác.
Hà Nội, th án g 08 năm 2015
H ọ c v iên

T rần T h ị Len


M ôt số kí hiệu viết tắt
Hình 1.1. Tương tác của fermion và lý thuyết IVB
Hình 3.1. Higgs rã ra fermion
Hình 3.2. Higgs rã ra boson yếu A = w , z
Hình 3.3. Sơ đồ đầu tiên Higgs rã ra gluon
Hình 3.4. Higgs phân rã để gluon, sơ đồ th ứ hai
Hình 3.5. Higgs phân n hánh phân số và tốc độ phân hủy Higgs .


Mục lục
Lời nói đầu
Lời cam đoan
M ộ t số kí hiệu v iết tắt

i

ii
iii

M ỏ đầu

1

1

4

4
4

2

3

Trường vô hướng và trường ferm ion
1.1 Trường vô hương thực
1.1.1 Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ
1.1.2 Trường vô hướng thưc trong biểu diễn xung l ư ơ n g .............
1.2 Trường vô hướng phức
1.2.1 Trường vồ hướng phức trong biểu diễn tọa độ
1.2.2 Trường vồ hướng phức trong biểu diễn xung lượng
1.3 Trường íermion .............................................................................
1.3.1 Phường trin h Dirac và ma trậ n D i r a c ....................
1.3.2 Hình thức luận Lagrange ...........................................
1.3.3 Phương trìn h íermion trong biếu diễn xung lượng

5
8
8

9
10
10

15
16

M ô hình chuắn
2.1 Sắp xếp h ạt của mô hình chuẩn
2.2 Lý thuyết trường chuẩn
2.2.1 Lý thuyết gause
2.2.2 P h á vỡ đối xứng tự p h á t và cơ chế Higgs

20

M ột
3.1
3.2
3.3

27
27
28
30

số quá trìn h rã của trường vô hướng tron g m ô hình chuẩn
Q uá trình rã của trường vố hướng ra fermion và phản fermion . .
Q uá trình rã vồ hướng ra boson yếu .....................................................
Q uá trìn h rã vồ hướng ra các g l u o n .........................................................

20

22
22
24

K ết luận

37

P h ụ lục

38

Tài liệu th a m khảo

44

V


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
T ừ khi p h á t hiện ra phân rã p của neutron, rấ t nhiều nỗ lực đã được thực
hiện để hiểu bản chất của tương tác yếu. Tương tác này đã đi qua nhiều giai
đoạn và kiểm tr a để trở th à n h m ột lý thuyết hoàn chỉnh. Mô hình đầu tiên có
khả năng mô tả th à n h công các dữ liệu thực nghiệm ở năng lượng th ấ p được đề
nghị bởi Fermi vào năm 1934:
As//(®) =
đây là sự tương tác giữa các dòng với
Jlẳ,{x ) = X I

cho bởi

- 7 s ) ỉ( z ) + p { x ) 7 ^ (1 -

7

5 )n(ar)

I
Số hạng đầu tiên là lepton và số hạng thứ hai được cho là phần mô tả sự
tương tác giữa các h ạt nucleon. Ngày nay, ta biết rằng cần phải thay th ế các
trường nucleon cho trường quark. T ừ tiết diện tá n xạ, ta có thể hình dung được
tính to án của Fermi:
ơ í[v^e - ->• veịi ) = —
lĩ

~ s

Như ta đã đề cập, lý thuyết này chỉ có thể mô tả các hiện tượng ở năng lượng
th ấp, với năng lượng đủ cao nó vi phạm tính u n ita [3.] Ngoài ra, lý thuyết này
không tái chuẩn hóa được. T ất cả hiệu chỉnh bậc cao được tìm th ấy là vô hạn.
Một lý thuyết được gọi là tái chuẩn hóa nếu t ấ t cả các phân kỳ tử ngoại có thể
được khử thông qua ở việc xác định lại các hằng số tương tác và các trường. Với
lý thuyết của Fermi là không thể. Tiếp theo là lý thuyết vectơ Boson tru n g gian
(IVB). ở đây ta giả định rằng tương tác yếu là m ột vectơ boson tru n g gian,
tương tự QED, nhưng trong trường hợp này nó phải là m ột boson khối lượng
lớn.

1


Hình 1: Tương tác của fermion và lý thuyết IVB
Lý thuyết này cũng đả không th à n h công. Người t a có thể thấy rằng lý thuyết
này m ột lần nữa vi phạm tính u n ita và không tái chuẩn hóa. Cuối cùng, vào

năm 1967, Weinberg, Salam và Glashow [11, 1 2 , 13] đề x u ất m ột lý th uyết thống
n h ấ t điện yếu, đây là lý thuyết rất phù hợp với thực nghiệm. Lý thuyết này gọi
là Mô hình Chuẩn với tương tác điện yếu. Đây là lý thuyết gauge dựa trê n các
nhóm đối xứng SU(2)L với tương tác m ạnh, ta có nhóm SU(3)c <8>SU(2)L ® ư ( l )y mô t ả mô hình chuẩn
(SM). Cơ chế sinh khối lượng cho t ấ t cả các h ạ t được gọi là cơ chế p h á vỡ đối
xứng tự p h á t (SSB - Spontaneous Sym m etry Breaking)
8 ü ( Z ) c « SU{2) l (8) u (l)y -> SU(S)c ® U{l)QED
Cho đến nay mô hình này rấ t th à n h công vì dự đoán được nhiều hiện tượng
m à sau đó đều được thực nghiệm kiểm chứng với độ chính xác cao. Ví dụ như
sự khám p h á dòng tru n g hòa điện tích của lực h ạ t nhân yếu; ba loại quark c, t, 6;
hai boson chuẩn W,Z; b a loại neutrino với khối lượng vô cùng nhỏ. Đặc biệt là
sự tìm thấy h ạ t Higgs trong thời gian gần đây ở máy gia tốc LHC càng khẳng
định sự đúng đắn của mô hình này. Theo mô hình chuẩn, khối lượng của vật
chất được tạo ra bởi sự tương tác của chúng với trường Higgs. Khỏi đ ầu tấ t
cả đều không có khối lượng, do tương tác với trường Higgs m à vật chất m ang
khối lượng, nặng hay nhẹ tù y theo cường độ tương tác của chúng, càng tác động
m ạnh với trường Higgs th ì vật chất càng cổ khối lượng lớn.
Với mục đích là khảo sát khối lượng của h ạ t vô hướng trong mô hình chuẩn
nên tôi chọn đề tài: “M ộ t sổ quá trình rã của trường vô hướng tro n g m ô

hình chuẩn”.
2. M ục đích ngh iên cứu.
Tính bề rộng rã của m ột số quá trìn h rã trường vô hướng trong mô hình
chuẩn.

2


3. Đ ố i tượng và ph ạm vi ngh iên cứu.

Mô hình chuẩn.

4. P h ư ơ n g pháp ngh iên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết và vật lý toán.

5. D ự kiến đón g góp của đề tài
Đề tài cung cấp thêm tài liệu th am khảo cho sinh viên, học viên cao học
chuyên nghành vật lý lý thuyết và những người quan tâm đến: “Một số quá
trìn h rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn” .

3


Chương 1
Trường vô hướng và trường íermion
1.1

Trường vô hương thực

Trường vô hướng thực mô tả h ạ t có spin bằng 0 và không m ang điện.
cp* (®) = ip (®)
Hàm Lagrang £ của trường [1]
£ = 2 dfl(p{x)dIJÍ(p(x) - 1^ - i p 2(x)

( 1 .1 )

trong đó m là khối lượng của hạt.

1.1.1

Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ

Phương trìn h chuyển động của trường
d£

d£

d

ddựtpix)

—m 2ip(x) — df1dtlip(x) = 0

.

.

(1-3)

Kí hiệu
ỡ2
ổ2
ỡ2
ỡ2
_ ã ĩỊ + ã ĩ f + ã ĩ f _ ã ĩf
Phương trìn h Klein - Gordon
(□ —m 2)tp(x) = 0
Năng xung lượng của hệ

(1-4)

(dptp(x)dptp(x) - m 2p 2 (i:))

Tfiv = dlitp(x)dl/tp{x) -

Too= ^dpip(x)dpip(x) + ^ - ( p 2(x)
T0i = ổ0y?(a:)ỡjV3(a:)

(1.5)
(1.6)
(1.7)

Tenxo spin = 0 và F bằng 0
= 0,Q = 0

1.1.2

Trường vô hướng thực trong biểu diễn xung lượng

Chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lượng bằng cách khai triển
Fourier [4, 5]
(p(x) = - A _
(2tt) 2 J

I e~ikxệ{k)d4k

( 1 .8 )

T hay vào phương trìn h Klein - Gordon:

(□ - m 2)ip(x) = — ^ I ( - d„d» - m 2)e~ikx$(k)d*k
(2tt)2 J

=0
( '2
r - m 2)ệ(k) = 0
Đặt:
ậ(k) — ỗ(k 2 —m 2)a(k)
k2 — m 2 — 0
72
72
2 _ n
K
q — k —m = 0

kĩ, = k 2 + ni1 =>■ ko = ± \ Ị k

+

7712

Đồng n h ấ t ta được:
ko trù n g với năng lượng
k trù n g với xung lượng

(p(x) =

/ d4kỗ{k2 - m 2)e~ikxa(k)
(27r ) 2 J

(1.9)


Đưa vào kí hiệu gián đoạn

0(ko) = i 1

* ; °> 0

0 k0 < 0

1 = e(ko) - e(-ko)
Suy ra

(p(x ) = ----- Y ị d^kỗ(k 2 — m 2 ) 9 (ko)e ikxa(k )
(27t)3 J

+ —^ / d4fcổ(Ả;2 - m2)0{—ko)e~ikxa(k)
(27r)2 J
=—
+

/ dị kỗ{k2 - m2)9(k0)e~ikxa{k)

J d4kS(k2 - m2)0(ko)e-ikxa(-k)

Ta lại có

ỏ(x2 —a2) = —— [ố(x —a) +

2 a

+ a)]

Do đó

ổ(fc2 —m ) —ỏ(kQ —ọ j k + m2) )
ố(fco + \/ k + m2) + ô(ko —\J k + m2)
2 |A:o|
00

------------------------

1 r -V r
ip{x) = ---- J- I dk dkoỏíko + \ k + m2)—;—-e~ikxa(k)

I

(2tt)’ '

2 im

J
0

00

-

H

J- I dk I dkoỏ(ko — V k + m2)—!—-e~ikxa(—k)
(2ir)ĩ J

¥>(*) =

-^ -r

2 Fol

J

0

í

w r * ~ ikx< k ) +

—“ y í t r e~ikXa{~k
(2 tt )2

(1.10)


—>2
(vì k0 = ± y j k + m 2)

«’’ M = - ^ - 3 /

Í2/co
T ' - “ ' “* « + — ^"3 /

(2tt )2

2&0

(2 tt)2

Cho
a(— k ) = a*( /c )

f ' ệ - \ e - i í I o , ( ì ) + eií‘ o , ' ( ỉ )

fW = A

(2i ĩ ý J

(với u = ko =

\J

—>2

(1.12)

2u} 1

+ m2).

Năng lượng:
p ° = / T 00d ^

>0^ /

° = J -------/co a( k )a*( k ) + a*( k )a( k )

(1.13)

Xung lượng:
p - . / r - r ì - /

í

ổ<£ Ỡyp
d~ắ
dx° dxi

—^

Ể= I -------/ũ* a( Ả: )a*( k ) + a*( k )a( k )
J 2 2 L

(1.14)

—^
-------a( k )a*( k ) + a*( k )a( k )
J 2u 2
L
r

Pt í =

pn = Jf —2lj k» a (k)a* C k)

(1.15)

Do đó có thể coi ---- a( k ) a * ( k ) là số h at tru n g bình có xung lương k , năng
2

&

0

__________

/ ~*2
lượng k0 và khối lượng 771 = Y - k + &Q, không có đ iện tích và spin.

7


1.2

Trường vô hướng phức

Trường vô hướng phức mô tả h ạt không có spin nhưng có điện tích.
Lagrange của trường:

£ = d fl( p * ( x ) d IẤ( p ( x ) — m

1.2.1

(1.16)

( p * ( x)

Trường vô hướng phức trong biểu diễn tọa độ

Phương trìn h chuyển động của trường
d£
d < p (x )

d£
ddựipix)

(1.17)

= 0

— m 2 í p * ( x ) — d ụ, d t i i p * ( x ) = 0 —> ( —m 2 ) ( p * ( x ) = 0
— m 2 i p ( x ) — d ị l d ụ' ( p ( x ) = 0 —> ( —m 2 ) ( p ( x ) = 0

Tensor năng xung lượng:
=

__d£
ddn
a z . , d v ip*{x) ddptpix)

+

/" £

T ạv = a Ịt
-

(1.18)

9^ (dp(p*{x)dp(p{x) - m 2(x))

T 00 = dịiíp* (x)dfí
(1.19)

T ũi = d ũip*{x)di
( 1 .20 )

Vectơ m ật độ dòng:

mu • /
d£
T = ie ( da ad ^ * ./
{x)

ỡ£
(*) _ ữữ
t
d d ịl í p { x\)V(X)

= ie (dụ‘(p(x)(p* (x) — d 1*(p*(x)ip(x))

8

(1.21)


1.2.2

Trường vô hướng phức trong biểu diễn xung lượng

Tương tự như trường vô hướng thực ở trên hàm trường có dạng:

( 1 .22 )

1

í rì k

'P*(x) = - Ĩ - Ẹ /

(2 *) 2 J

—ì

—ì

-a £ - [ e - i k * b ( k ) + e i k * b { - k ) ]

(1.23)

2u

Lấy liên hợp phức của ip(x) rồi so sánh với

a*(—k ) = ỏ( k ), a* ( k ) = ft(—k )
Vậy:

t> w = T ^ T /
(2ný J

+ 6a * »*(t)]

(1.24)

e - ‘< - b (ỉ) + eií‘ a ' ( Ì ) }

(1.25)

2u

V' ( x ) = - ^ [ Ặ
(2 t t )
Năng lượng:

p ° = Ị T ữữd Ỹ = Ị

— k0 a * ( k ) a ( k ) + b * ( k ) b ( k )

(1.26)

"a * ( t ) a ( t ) + b * ( ỉ ) b ( t )

(1.27)

Xung lượng:

Pi =

Ị

T 0id Ỹ =

Ị

— é

p r = / — *<■ |o(ì?)i>*(ì?) + 4*(ì?)4 ( ĩ )
J 2u>
1
J
Điện tích:
Q —J

— ie J

d l ẽ ( x )

—

(1.28)


(1.29)
T ừ biểu thức của p v và Q ta đoán nhận như sau:
+ ) a*( k ): toán tử sinh h ạ t có xung lượng k , năng lượng k0, khối lượng m, điện
tích e.
+ ) a( k): to án tử hủy h ạt có xung lượng k , năng lượng ko, khối lượng m, điện
tích e.
+ ) b*(k ): to án tử sinh h ạt có xung lượng k , năng lượng k0, khối lượng m, điện
tích -e.
+ ) 6( k): toán tử hủy h ạt có xung lượng k , năng lượng ko, khối lượng m, điện
tích -e.

1.3

Trường fermion

Trường spinor mô tả chung cho các fermion, nên trường fermion hay còn gọi là
trường spinor.

1.3.1
1.3.1.1

Phương trinh Dirac và ma trận Dirac
Phương trình Dirac

Phương trìn h Klein-Gordon:

(□ —m2) ĩỊj = 0

(1.30)
Dirac biến đối phương trìn h này th à n h phương trìn h vi phân hạng n h ấ t đối với
tọa độ và thời gian [8]

/—
—2
y ~ P o

^2
+

O tlP x

^2

^2
+

O L2Py

+

O l3 P z

10

\
+

O tQ m }

ẹ

=

0

(1.31)


=> « 0, « 1 , « 2 , «3 là những to án tử
Tác dụng từ phải trá i phương trìn h (1.31) với ^ - P ()2 + Oiiỹx2 + a 2 ỹ'y2 + OLzVz + «om)
rồi so sánh với phương trìn h Klein-Gordon ta có

Nếu

CLo2 — ã {2 = ấ 22 = ấ 32 = 1

(1.32)

àịỉàv + â„â^ — 28HJ,

(1.33)

— —a^ơu = —IaựOív

th ì

I: m a trậ n đơn vị

det {atla v) = det ( - / a ^ a , , )
=>■ det

det av — det (—1) det a„ det ũịi
=>■ det (—7) = 1

Giả sử

những m a trậ n hạng n

-I =

} n hàng

-1
-V
71cọt

( - l ) n = 1 tức n chẵn
+ ) Khi n = 2 có 4 m a trậ n độc lập (3 m a trậ n Pauli, 1 m a trậ n đơn vị)

— &y®X
GyG z
I ơ

y

=

ơ

G z&y
y

l

(í = 0, 3 )

(không th ỏ a m ãn)
=>n= 2 không th ỏ a m ãn
+ ) Khi n = 4
Thiết lập các m a trậ n a

11


/l
0
«0 —
0
\0

«2

— a y —

0 0
1 0
0 -1
0 0

^0 0
0 0
0 -i
\* 0

0^
^0 0 0
0
0 0 1
,ai = ax =
0
0 1 0
VI 0 0
-1 /
0 -i'
^0 0
i 0
0 0
, «3 = «2 =
1 0
0 0
0 0ị
\0 -1

l\
0
0
V
1 0\

0 -1
0 0
0 0/

ao, a i, « 2 , «3 độc lập tuyến tính với nhau và th ỏ a m ãn các yêu cầu trên, song để
th u ận tiện ta dùng các m a trậ n
7° = «0

7 = a 0«i
(¿ = 1 ,3 )
Các 7 ^ (/i = 0, 1 , 2 ,3) th ỏ a m ãn t ấ t cả các điều kiện trên, phương trìn h (1.31)
có dạng:

(7 °Po - - 7 2 P y

-

7 3Â - m)V> = 0

A

A

(7°Po - 7

Các

(1.34)

p

— ‘>rn ) ' ệ

=

(1.35)

0

th ỏ a m ãn điều kiện:

( Ỳ ) 2 =

- l . ( 7 0)2 = 1

-

7V

= 2g*v

7 * = V i = (°_„,S‘)

(7")+ = 7 0,(7 ‘)+ = - 7 ‘

Toán tử xung lượng 4 chiều:

12

p ) - (*ỡx 0 ’*v )

P p-ự o,
Phương trìn h (1.34) có dạng:

(1.36)

{PịxY - m ) ^ = 0

(1.37)

dxV ~ m ^ = 0

Nếu 7 = 7 + 7 ° thì
Q _

_

(1.38)

7^ + m-ệ — 0

dx ^

Ta có:
( ýì)
_
ỷL=

^2‘

Vz
\v>4 Ị

được gọi là lưỡng spinor
Khi đó:

(í.
Và ip,ỵ được gọi là các spinor.
A A

°*

^

AA
p0(p = rrup + ờ p X

[ • phương trình Dirac đối với h ạ t chuyển động tự do

J

Đối với h ạt chuyển động trong trường điện từ:
P q — eA 0

Pq
A

A

p ->■ p -

—ỷ

eÁ

[7 {Pịi - e Ali) - m \ ý { x ) = 0

Phương trìn h Dirac b ất biến với phép biến đối U nita

s s + = s +s = 1, s + = 5 _1
S ( P ^ - m)

(pfis^tis + (pụ ,7

s +Sìp(x)

=0

S m S +) SiỊ>(x) = 0

- rrìj ý (x) = 0

13


1.3.1.2

M a tr ậ n D irac
W

+ 7 V = 2 < r (ụ.,v = 0,1,2,3)
Y

_►7V =

S7/iS “ 1S7 ỉ/S “ 1 + s ^ s ^ s ^ s - 1 = S2ỡ/i,/S “ 1
7 V7 " + W " = 2 ^ "

-y5 = 'yO-yi-y2^3 J -y5 = 70717273 : có 1 m a trậ n độc lập
7 ° 7 1 7 2>7 °7 1 7 3>7 ° 7 27 3)- . .

có 4 m a trậ n độc lập

7 07 1 >7 ° 7 24 ,- . . : có 6 m a trậ n độc lập

T0) ? 1)? 2)? 3: có 4 m a trậ n độc lập
Và m a trậ n đơn vị
=> có 16 m a trậ n độc lập
Ta thường quan tâm :
75 =

T°=c

7

V

7

V , (75) 2 = 1

_°,)^ = (_°,

ó‘) • • ' • = ( - ,

~0

• — 7 m7 5 (tích của 3 m a trận)
•
= í
_ 7"7M)

• 7^1 ĩ
Có 2 m a trậ n A và B phản giao hoán AB = - BA —>• Tr{v4ổ} = —T r ị B A }
=►T r { A B } = 0
ĩ>
*

= E
ij

= Ẹ
ij

=►T r { A B } = 0
=> vết 7 5, d^,

, 7 ^ bằng không.

Kí hiệu:

Tị (í = M 5 )

Tị = -eijfcCT^

14

= £

(S '4) « = T r {ÌL4}
j


1.3.2

Hình thức luận Lagrange
£ = —{ip ( x ) ^ dvip (x) — dvĩị}{x)')vĩị}{x)} —mip(x)ip(x)
2

(1.39)

Tensor năng xung lượng:
nkl _

d £ dưị _
d u ik d x t

kl

(1.40)

T feỉ = ^I p(x )ik~é ìp(x)
vectơ dòng:

(1.41)
™

= i ( ề L a i ~ ẵ L u')

4 J n {x) — ĩị){x)*Ịn,ệ(x)
Tensor spin:

s L - - ị

\ d x kJ
s *

=

-------------d £

A * (x ),lm

_

d *

d Í dv>(a)A

/ di/>(x)
\ dxk

Vdxk )
Công thức biến đổi Lorentz vô cùng bé:
■ệ (x ) = ị i - -l ơ lmip{xỶj 1p(x)
ĩị) ( x ) = lỊỉịx) ( l + -%ơ lmtrong đó: ơlm là Tensor m a trậ n spin
_ l m

ơ

,7 7

771

-.771-

- 7 7
2

= ỉ -------------------

15


Do đó:
I ^ k ơ lm + ơỉm7 fc| ^

S k,lm =

(1.42)

■ộ (x ) = ĩp(x) + FaỗU)a
M ặt khác:
v> (x ) = 1p{x) - -l ơ lmUim'ệ{x)
F lm = - -l a lm^(x)(ÔLOa = LOlm)
F lm =

5“

= £ ijf e S 0jfc =

- ^ + (x )

^ (x ),

l

=

i

^ £ ijfe ơ jfe =

^

Ị ^ fc

\ U c
x

Si = £iịkSjk = -V>+(z) ^ 2 ý(x)
ỉ

1.3.3

Phương trình íermion trong biểu diễn xung lượng
— m ) ÌP(X) = 0

Giả sử h ạt có giá trị xung lượng xác định (nghiệm có dạng sóng phẳng)
iK*) = - ¡ - r í í ỉ t K “
(2iĩý
k'2 = (koÝ — k

= m 2 —> ko = ± \ / k

+

7712

Nghiệm ứng với năng lượng dương:
ý+( x ) ~ Ư
(2iĩý

+í , r ) e - ih

ikx = ikoXQ — i k ~ ằ
u +( k ,r) là hàm sóng đặc trư ng cho trạn g th ái spin của hạt.
Nghiệm ứng với năng lượng âm:

ý - ( x ) = —^ - ỉ / _ ( l ? , r ) e i*oieo+i'^ , f c o = \ ! ~ k 2 + m 2

(2-7t) 2

16


C huẩn hóa:
1 ^
^
Tĩl
u ĩ ( k , r)u+ ( k , s) = — ỗrs
k0
tí í ( k , r ) u - ( k ,s) = — ôrs
ko

u+( t ,r) =

1 dk

v>(a:)

e~ikxu +( k , r ) a ( k ,r) + eikoXo+ik^ U - ( k , r ) c ( k ,r)

r = l J

L

Ị dk

v>(a:)

m(k° + m )

e~ikxu +( k , r ) a ( k ,r) + eikoXo+ik^ U - ( k , r ) c ( k ,r)

r = l J

L

2

.
x) =
Ip(x)
= ------ ^Y ___ Ị d k

e~ikxu +( k ,r)a( k ,r) + eikxU-( k ,r)c( k ,r)

(1-43)

e_ífca:í;+ ( Ả: ,r)ỏ( k ,r) + e+ikxV-( k ,r)d( k ,r)

(1.44)

(2tt) 2 r=i
2 „
'ệ(x) = —'““¡“5 2 /
{2ir)ĩ r=1 J

Lấy liên hợp (1.43) nhân với 7 ° rồi đem so sánh với (1.44)
_y

_^

_y

_y

v+( k ,r) = ũ _ ( — k , r ) , u ( k ,r) = — u + ( k ,r)
m

_y

_y

_y

__y

V - ( k ,r) = ũ + ( k ,r ) ,v ( k ,r) = — U - (—k , r )
m
—ỳ
—y
d(— k ,r) = a+( k ,r)
b( k ,r) = c+ (— k ,r)
Ta được:

2

ý M ==

-----1 /■y~l
-¡r / e

2
■ệ(x)

=

p

1

3

—>
yT
“ *«("?,
e~iỉa:u
r)a(t,
( ĩ ,r)a(ỉ
r) + eiklv
,r) +(eiklv
ĩ ,r)b*( ĩ(,r)b+(ỉ
ỉ ,r) ,r)

—>■

y ! / -TỈ- e~ikxv ( t , r ) b ( t , r ) + e+ikxũ ( k , r)a+( k ,r)

(2TT) ^ - 7

£

L

17


ở đ ây u ( k ,r) và v ( k , r) th ỏ a mãn:
^

^

u +( k , r)u( k ,r) — — ỏr <
m
y

y

v +l'( k ,r)v( k ,r) = ~—Sr s
m
Sử dụng các hệ thức trên đối với phương trìn h Dirac có
A
—y
(p — m)u( k ,r) — 0 (r là chỉ số phân cực)
A

—

(k + m)v( k , r) = 0

_ —>
A
u( k , r)(k - m) = 0
—y
A
v ( k ,r)(k + m) — 0
u+ ( k , r)v( k , s) = 0
=> v +( k , r)u( k , s) = 0
ũ( k , r)u( k ,s) — ỗrs
v( k , r)v( k ,s) — —õrs
—y

—^

u( k , r)v( k , s) = 0
v( k , r)u( k ,s) = ỗrs
y

ịaa ( k ,r)ũạ ( k ,r) - va ( t , r ) v ạ ( k ,r)

=

r = 1,2

A

y ! ua ( k ,r) uạ ( k ,r) = í
r = l,2

V

y ! va ( t , r ) v p ( t , r ) = í
r = l,2

p /í = J

R + m

2m

a

A
p —m

'

T 0» d l t = i

Ị

d Ỹ ^ ( x ) d > ẤJ ữ' ệ ( x )

Năng lượng:
p° = %
- J d ~ ỉ { - dQ'ệ{x)^ữiị){x) + iị){x)^ữdQ‘ệ ( x ) }


Xung lượng:
Pi = —

J d~Ẻ ịip(x)'Ỵữd i 'ộ(x) — d i iị)(x _7°V’(a:)]

ĩ d~k

P i — — I —j^~

kl a+ ( k ,r)a( k ,r) — b( k ,r)b+ ( k ,r)

m

pi = - j

/

r

^ ỉ r Y , pÌ [a+ ( p , r ) a ( p , r ) - b ( p , r ) b + ( p , r )
m r

dp V >

1 —y

—ỳ

—y 1 —ỳ

E z 2 Pi* a ( p ’ r )a ( p ’r ) - b( p , r )b ( P , r )
m

r

{ 7 V m + ơ ỉm7 fc} ^ ( x )

S k,lm =

SpinS — —Ị 'ệ(x)ơ'ệ(x)d!ề
( a ữữ a ũl


\ ơ s0

ơ s2

ơ =
ơ sl

ơ s3/

Điện tích
Q=

J J ữ{x)d~ẳ = Ị

ĩỊ)(x)ĩỊ)(x)đlè

Q = y ] d k Ịa+ ( k , r)a( k , r) + b* ( k , r)a( k , r)