BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP(BẢI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN TH&TT SỐ ĐS9)_2

Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp

Ngày soạn: 1/6/2013

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)

BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP

--------

G

LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre)

iải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên
trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức
Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:

I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP , NHỊ THỨC
NEWTON.
* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có
các công thức sau:
1) Công thức hoán vị
Pn  n !  n(n  1)(n  2).......3.2.1.
( n giai thừa, n > 1).
2) Công thức chỉnh hợp:
n!
Ank 
(1  k  n)
(n  k )!
3) Công thức Tổ hợp:

n!
Cnk 
(0  k  n)
k !(n  k )!
* Một số tính chất số Tổ hợp:
Cnk  Cnk 1  Cnk1 , Cnk11  Cnk1  Cnn  k
*Khai triển nhị thức Newton:
n

n

P (a, b)   a  b    Cnk .a n  k .b k (I)
k 0

+ Có n + 1 số hạng trong khai triển.
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số
hạng bằng số mũ của nhị thức.
4) Các công thức biến đổi với số mũ.
m
an
1)  a n   a n.m , 2) m  a n  m , 3) a n .a m  a n  m ,
a
n

m

1
4)    a  n , 5) n a m  a n .
a

II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
 Phương trình tổ hợp là phương trình (PT)
có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh
hợp, hoán vị.
Ví dụ 1: Giải phương trình :
7
C1x  Cx2  Cx3  x (1)
2
Lời giải:
Điều kiện: x  ; x  3 .
Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy

1 

x!
x!
x!
7


 x
1! x  1 ! 2! x  2  ! 3! x  3 ! 2

x( x  1) x  x  1 x  2  7

 x
2
6
2

 6 x  3x  x  1  x  x  1 x  2   21x

 x

 x3  16 x  0  x  x 2  16   0
Do x  3 nên x 2  16  0  x  4 hoÆc x  4
So lại với ĐK PT (1) có nghiệm duy nhất x  4 .
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
Cx31  Cx21  . Ax22 (2)
3
Lời giải:
Đk: x  4, x   .Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:
 x  1 !   x  1!  2 .  x  2 !
(2) 
3! x  4  ! 2! x  3 ! 3  x  4  !

 x  1 x  3   x  1  2 .

 x  3
6
2
3
 x 2  11x  18  0  x  9 hoÆc x  2
So với ĐK đầu bài PT (2) có nghiệm duy nhất x = 9.


Ví dụ 3: Giải phương trình:
Ax3  2C xx11  3Cxx13  3 x 2  P6  159 (3)
Lời giải:

Đk : x  3, x   .
2  x  1 ! 3  x  1 !
x!
(3) 


 3 x 2  6! 159
 x  3! 2! x  1! 2! x  3!
3
 x  x  1 x  2  x  x  1   x  1 x  2  3x 2  879
2
3
2
 2 x  13x  15x  1764  0

  x  12  2 x2  11x  147   0  x  12.

v« nghiÖm

Từ ĐK x  3, x   nên PT (3) có một nghiệm x = 12.

Trang 1


Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp
Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n):
Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn8 2

Ngày soạn: 1/6/2013

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)

Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6

(4)

Lời giải:
Đk: n  9, n   ,theo tính chất số Tổ hợp
Cnk  Cnk 1  Cnk1 , ta có
Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  Cn6  Cn7  2  Cn7  Cn8   Cn8  Cn9
 Cn71  2Cn81  Cn91  Cn82  Cn92  Cn93
Vậy, theo giả thiết tương đương với:
 n  3 !  2  n  2  !
Cn93  2Cn8 2 
9! n  6  ! 8! n  6  !

n3

 2  n  15
9
Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy nhất một
nghiệm là n = 15.
 Lưu ý:
Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ
hợp thì 0  k  n , ví dụ: Cn83 thì đk của n là:
n38  n  5.
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì
phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất.

Ví dụ: Cn91  Cn7 2 thì đk là:

n  1  9  n  8
 n8.

n  2  7  n  5
+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ
hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến
đổi, rút gọn và giải PT.
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán
để kết luận.

III/ NHỊ THỨC NEWTON.
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là :

1 

A  x    2 x  2  , ( x  0) .
x 


Lời giải:
Với a  2 x ; b 

1
; n  6 , Từ (I) ta có:
x2

6
k

6

A  x    C . 2 x 

 1 
. 2 
x 

6 k

k 0
6

k

6

k

  C6k .26 k .(1) k .x 6  k .x 2 k   C6k .26 k .  1 .x 6 3k
k 0

k 0

Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho
6  3k  0  k  2

Vậy số hạng cần tìm là C62 .26  2.( 1)2  240
Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển
12

 1

B  x    3  x 5  , ( x  0) .
x


Lời giải:
5
1
3
5
2

x
;
b

x

x
, n  12
x3
Từ (I) ta có:

Ta có a 

k

12

B  x    C . x
k
12

3 12  k



k 0

72 11k
12
 5
.  x 2    C12k .x 2
  k 0

72  11k
8 k 8
2
Vậy số hạng cần tìm là : C128  495 .
Tìm k sao cho

15

Ví dụ 4: Xét khai triển C  x, y    x3  xy  .
Tìm hệ số chứa x 21 y12 .
Lời giải:

Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta

Ở đây, ta có a  x3 , b  xy, n  15

xét cụ thể các ví dụ sau:

Từ (I) ta có
15

Ví dụ 1:
5

Khai triển  x  y  thành tổng các đơn thức.
Lời giải:
Theo công thức Nhị thức Newton ta có:

 x  y

5

5

0

15 k

C  x, y    C15k .  x 3 
k 0

15

.( xy ) k   C15k .x 45 2 k . y k
k 0

45  2k  21
 k  12 .
Đến đây, ta tìm k sao cho 
k  12
2

  x    y    C50 x 5   y   C51 x 4   y   C52 x 3Vậy
  yhệ
 số chứa x 21 y12 là C1512  455 .
3

4

5

 C53 x 2   y   C54 x   y   C55 x 0   y  .

 x5  5 x 4 y  10 x3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5 .
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy

Trang 2


Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp

Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa x7 trong khai triển
n

2

D  x    x 2   ,  x  0, n    , biết n thỏa mãn
x


hệ thức sau: 4C

3
n 1

2
n

Ngày soạn: 1/6/2013

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)

3
n

 2C  A .

Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton
n

G ( x)  1  ax  ta được số hạng thứ hai là 24x ; số

hạng thứ ba là 252x 2 . Hãy tìm a và n.(a R; n N*).

Lời giải:

Lời giải:
Đk: n  2; n  .
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :
 n  1!  2. n !  n !
4.
3! n  2  !
2! n  2  !  n  3 !

Từ (I) ta có:

4
 .  n  1  1  n  2  2n  22  n  11
6
2
 2.x 1 , n  11
Ta có a  x 2 , b 
x
Từ (I) ta có

k  1
Cnk .a k .x k  24 x   1
Cn .a  24 (1)

11

11 k

D  x    C11k  x 2 

k 0

11

k

n

k

k 0

k 0

*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên:

*Theo đề bài số hạng thứ ba là 252x 2 nên:

k

.  2 x 1    C11k .  2  .x 223k
k 0

Tìm k sao cho 22  3k  7  k  5
5

Vậy số hạng cần tìm là : C115 .  2   14784 .

k  2
Cnk .a k .x k  252 x 2   2 2

Cn .a  252 (2)
*Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình sau:
1
Cn .a  24 (1)
 2 2
Cn .a  252 (2)

Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai
n

2 

triển E  x    3 x 
 , biết rằng n thỏa mãn hệ
x

thức: Cn93  2Cn8 2 ,  x  0, n    .

PT(1)  a 

2

 24 
Cn2
252 7
PT  2   C .  1   252 
 2 
2
 Cn 
 Cn1  24 16



Đk: n  6; n   .

24
thay vào (2) ta được:
Cn1

2
n

Lời giải:

Cn2 7
n!
7n2



n 2 16
2! n  2  ! 16
n  1 7n

2
16
 2n  16  n  8

Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :



 n  3!  2.  n  2 !  n  3  2
9! n  6  !
8! n  6  !
9!
8!
 n  15
1
3

1
2
 2.x 2 , n  15
Ta có a  x  x , b 
x
3

n

G ( x)   Cnk .1n  k .  ax    Cnk .a k .x k

* Với n = 8 thay vào (1) a 

24
3
C81

Vậy a  3, n  8 .

Từ (I) ta có:

15  k

 1
E  x   C  x3 
k 0
 
15

k
15

Ta tìm k sao cho

k

30  5 k
15
 1 
.  2.x 2    C15k .2k .x 6
k 0



30  5k
0k 6
6

Vậy số hạng cần tìm là: C156 .26  320320 .
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy

Trang 3


Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)

Ví dụ 8:
6

3

Khi khai triển H ( x)   a  x   b  x  (*) ta được
hệ số chứa x7 là 9 ; không có số hạng chứa x8 .
Hãy tìm a và b. (a,bR).
Lời giải:
Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: nhị thức
bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo ra số hạng x7
thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến
x 4 , x 5 , x 6 nhân với các biến số tương ứng trong nhị
3

2

thức bậc 3 là x , x , x .
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:
6

C

k
6

.a 6 k .x k số hạng chứa x 4 , x 5 , x 6 tương ứng với

k 0

k lần lượt là 4, 5,6.  C64 .a 2 , C65 .a , C66 .a 0
*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:
3
k
3

C

.b3 k .x k số hạng chứa x3 , x 2 , x tương ứng với

k 0

k lần lượt là 3, 2, 1.  C33 .b 0 , C32 .b , C31.b 2
*Hệ số chứa x7 là 9 vậy:
C64 .C33 .a 2  C65 .C32 .ab  C66 .C31.b 2 = 9 (1)
(với quy ước a 0  1 )
*Tương tự trên,đối với x8 ta cũng có:
C66 .C32 .b  C65 .C33 .a  0 (2)
Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình sau:
C64C33 .a 2  C65 .C32 .ab  C66 .C31.b 2  9
 6 2
5
3

C6 .C3 .b  C6 .C3 .a  0

Ngày soạn: 1/6/2013

* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức P( x) ,
ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT
chứa ẩn n, F (n)  0 để tìm bậc của P( x) , sau đó ta
thực hiện các bước như trên.

IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
1) Giải các phương trình sau:
a ) Cnn  Cnn 1  Cnn  2  79
3
n
n 1
n4

Đs: n = 12

2
n

Đs: n = 4

b) A  A  12
n
n3

Đs: n = 12

c) C  C  7( n  3)
1
1
7
d) 1  2 
C x Cx 1 6.Cx1 4

Đs: x = 8 & x = 3.
n

1 

2) Tìm số hạng chứa x trong khai triển  x3  2 
x 

4
2
biết rằng n thỏa mãn hệ thức: Cn  13Cn , n   ,
Đs: n = 15; k = 7; -6435.
10

12

 x 3
3) Cho khai triển nhị thức   
3 x

55
.
9

b) Tìm số hạng không chứa x
Đs: k  6; 924 .
4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
a) Tìm số hạng chứa x4 .

Đs: k  4;

n

 3
1 
 x. x  15 28  , biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
x 

n
n 1
Cn  Cn  Cnn  2  79,  x  0, n    .
Đs: 792
5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n

15a  18ab  3b  9
5a  6ab  b  3


3b  6a  0
b  2a

1 


 x. x  4  , biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
x 

2
1
Cn  Cn  44,  x  0, n    . Đs: n = 11, k = 3, 165.

5a 2  6a  2a    2a 2  3 a 2  1


b  2a
b  2a
Vậy có hai kết quả là:
a  1, b  2 và a  1, b  2
 Lưu ý:

6)
a) Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển và rút gọn của
3
4
7
đa thức: P ( x)   2 x  1   3 x  1   x  1
Đs:..

2

2

2

2

Để tính hệ số của số hạng x (α là một số hữu tỉ
cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của

P( x)  ( f ( x))n ta làm như sau:

b) Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển và rút gọn của
10
12
đa thức: Q ( x)   2  x    2  x 
Đs: 1740
7) Xét khai triển

n

+ Biểu diễn P ( x)   ak x g ( k )
k 0

+ Số hạng chứa α tương ứng với g (k )  
+ Giải phương trình g (k )   ta tìm được k.

1 x  x

2

x

3 6



thành đa thức

P ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  .....  a18 x18 .

Tìm hệ số a9 .

Đs: – 580
----HẾT----

+ Nếu k  , k  n, hệ số phải tìm là ak .
Nếu k   hoặc k  n thì trong khai triển không có
số hạng chứa x hệ số cần tìm bằng 0.
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy

Trang 4