Xấp xỉ theo dung lượng của hàm chỉnh hình bởi các hàm hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH CƠNG SƠN

XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG
CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH CƠNG SƠN

XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG
CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ
Chun nghành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. NGUYỄN QUANG DIỆU

THÁI NGUN - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

i

Lời cảm ơn
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của
Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội. Em xin được bày
tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm,
Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học
tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và
các thành viên trong lớp cao học tốn K19 đã ln quan tâm, động viên,
giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và q trình làm Luận văn. Tuy có
nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên Luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Ngun, tháng 8 năm 2013
Tác giả

Đinh Cơng Sơn

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu
trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai cơng bố ở bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận văn

Đinh Cơng Sơn

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Xác nhận của trưởng khoa chun mơn

GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

1.2

1.3

Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Khái niệm dung lượng tương đối . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1

Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2

Các tính chất của dung lượng tương đối. . . . . . . . 20

Khái niệm hội tụ theo dung lượng . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ

27

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

1

Mở đầu
Ký hiệu

là tập hợp các hàm giải tích f xác định trên một lân cận

của 0 ∈ Cn sao cho tồn tại dãy các hàm hữu tỷ {rn } ,deg rn
n sao
1
cho:|f − rn | n → 0 trên một lân cận U của 0 ∈ Cn . Một ví dụ về tập là
g
các hàm phân hình f = , g và h là các hàm ngun. Trong trường hợp
h
Tn (g)

này ta có thể chọn: rn =
ở đây Tn (g), Tn (h) là các đa thức Taylor
Tn (h)
bậc n của g và h. Một kết quả quan trọng của Goncar[G3] nói rằng nếu

f ∈

thì tồn tại Wf của f là đơn trị và dãy {rn } sẽ hội tụ nhanh về f

theo độ đo trên Wf . Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một
kết quả của Bloom nói rằng khẳng định trên của Goncar vẫn còn đúng
nếu dãy {rn } chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con khơng
đa cực. Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết trong mục 1.1 trình bày khái
qt về hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới. Trong các mục tiếp
theo giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng.
Chương 2: Chứng minh rằng khẳng định của Goncar vẫn còn đúng nếu
dãy chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con khơng đa cực.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1
1.1.1

Hàm đa điều hòa dưới
Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là khơng gian tơpơ. Hàm u: X → [−∞; +∞)
gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập

Xα = {x ∈ X : u(x) < α}
là mở trong X. Hàm v: X → (−∞; +∞] gọi là nửa liên tục dưới trên X
nếu -v là nửa liên tục trên trên X.
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:
Giả sử u : X → [−∞; +∞). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x ∈ X
nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong X sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có:

u(x) < u(x0 ) + ε, nếu u(x0 ) = −∞,
1
u(x) < − , nếu u(x0 ) = −∞.
ε
Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi
x0 ∈ X .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

3

Mặt khác nếu ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X và u: E → [ − ∞; +∞) là hàm

trên E . Giả sử x0 ∈ E . Ta định nghĩa:

lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }},

(1.1)

x→x0 x∈E

ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy
rằng hàm u: X → [ − ∞; +∞) là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu

lim sup u(x)

x→x0

u(x0 ).

Định nghĩa 1.1.2.
Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u: Ω → [ − ∞; +∞) gọi là điều hòa
dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãn bất đẳng thức
dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại τ > 0 sao cho với
mọi 0

r < τ ta có:

1 2π
u(ω + reit )dt
2π 0
Chú ý: Với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là
u(ω)

hàm điều hòa dưới trên Ω. Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω
là SH (Ω). Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới.
Bổ đề 1.1.3. Nếu f: Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàm
điều hòa dưới trên Ω.
Chứng minh: Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng. Giả sử

f = 0 trên Ω. Giả sử ω ∈ Ω, nếu f (ω) = 0 thì chọn τ > 0 sao cho f = 0
trên B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } . Khi đó log |f | là hàm điều hòa
trên B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ } nên (1.1) được thỏa mãn với dấu
đẳng thức. Trường hợp f (ω) = 0, khi đó log |f (ω)| = −∞ và do đó (1.1)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

4

ln đúng.
Bổ đề 1.1.4. Giả sử u,v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong C.
Khi đó:
(i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên Ω.
(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, nghĩa là nếu u, v ∈

SH(Ω); α, β > 0 thì αu + βv ∈ SH(Ω).
Định lý 1.1.5. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trên
C. Khi đó:
(i) Nếu u đạt cực đại tồn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên

Ω.

(ii) Nếu lim sup u(z)
z→ς

0 đối với mọi ς ∈ ∂Ω thì u

0 trên Ω

Chứng minh
(i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z0 ∈ Ω.
Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M }. Khi đó A là tập
mở vì u là hàm nửa liên tục trên. Từ bất đẳng thức dưới trung bình ta
thấy B cũng là tập mở. Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ. Do đó hoặc A = Ω
và B = Ω. Nhưng theo giả thiết B = φ nên B = Ω và (i) được chứng
minh.
(ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim sup u(z), (ς ∈ ∂Ω). Do Ω là
z→ς

tập compact nên u đạt cực đại tại ω ∈ Ω. Nếu ω ∈ ∂Ω thì do giả thiết

u(ω)

0. Do đó u

0 trên Ω.

Trường hợp ω ∈ Ω thì theo (i) u là hằng số trên Ω. Do đó nó là hằng số
trên Ω, vậy thì u

0 trên Ω.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

5

Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàm
điều hòa dưới.
Định lý 1.1.6. Giả sử Ω là tập mở trong C. Khi đó các phát biểu sau là
tương đương:
(i) u là hàm điều hòa dưới trên Ω.
(ii) Với mọi ω ∈ Ω, tồn tại τ > 0 sao cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω và với mọi

0

r < τ, 0

t < 2π ta có:
1 2π
τ 2 − r2
it
u(ω + re )
u(ω + τ eiθ )dθ.,
2π 0 τ 2 − 2τ r cos(θ − t) + r2

ở đó ∆(ω, τ > 0) = { z ∈ Ω : |z − ω|

τ } là đĩa đóng tâm ω bán

kính τ .

(iii) Với mọi miền D compact tương đối trong Ω và h là hàm điều hòa trên
D, liên tục trên D thỏa mãn:

lim sup(u − h)(z)
z→ς

0(ς ∈ ∂D)

ta có u

h trên D.

Hệ quả 1.1.7. Nếu u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω và nếu ∆(ω, τ ) ⊂

Ω thì:
1 2π
u(ω)
u(ω + τ eiθ )dθ
.
2π 0
Định lý 1.1.8. Giả sử u ∈ C2 (Ω), khi đó u là hàm điều hòa dưới trên Ω
∂ 2u ∂ 2u
khi và chỉ khi ∆u ≥ 0, ở đó ∆u =
+
là Laplace của u.
∂x2 ∂y 2
Chứng minh. Giả sử ∆u 0 trên Ω. Lấy D là miền compact tương đối
trong Ω và h điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho:

lim sup(u − h)(z)

z→ς

0(ς ∈ ∂D)

Với ε > 0 xác định

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
.


6

u(z) − h(z) + ε|z|2
, z ∈ D,
vε (z) =
ε|z|2
, z ∈ ∂D.
Khi đó, vε nửa liên tục trên D nên nó đạt cực đại trên D. Tuy nhiên
do ∆vε = ∆u + 4τ > 0 trên D nên vε đạt cực đại trên ∂D. Do đó

u−h

sup∂D ε|z|2 trên D. Cho ε → 0 ta được u

h trên D và do đó u

điều hòa dưới trên D.
Ngược lại, giả sử u là hàm điều hòa dưới trên Ω. Giả thiết tại u ∈ Ω ta có

∆u(ε) < 0. Do đó có τ > 0 sao cho ∆u
và gặp mâu thuẫn. Do đó ∆u

0 trên ∆(ω, τ ). Vậy ∆u(ε) = 0

0 và định lý được chứng minh.

Định lý 1.1.9. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω1 và v là hàm
điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 . Giả thiết lim sup v(z)
z→ς

u(ς), với mọi

ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 . Khi đó hàm u xác định trên Ω1 :
max(u, v)
tren Ω2
u=
u
tren Ω1 \Ω2
là điều hòa dưới trên Ω1 .
Chứng minh. Từ điều kiện lim sup v(z)
z→ς

u(ς), đối với mọi ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2

suy ra hàm u nửa liên tục trên trên Ω1 . Dễ thấy u thỏa mãn bất đẳng thức
dưới trung bình tại mọi ω ∈ Ω1 \Ω2 . Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.10. Giả sử u là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở

Ω trên C và u = lim un . Khi đó u là điều hòa dưới trên Omega.
n→∞

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên Ω. Với mỗi
∞

α ∈ R, tập {z ∈ Ω : u(z) < α} = ∪ {z ∈ Ω : u(z) < α} là tập mở. Vậy u
n

nửa liên tục trên trên Ω, do mỗi un thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung
bình trên ω . Do đó u là điều hòa dưới trên ω .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

7

Định lý 1.1.11. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω. Khi đó u
khả tích địa phương trên Ω, nghĩa là với mọi K

Ω ta có:

|u| dV < +∞.

(1.2)

Chứng minh. Do định lý Heine-Borel chỉ cần chứng minh với mỗi ω ∈ Ω
tồn tại τ > 0 sao cho:

|u|dV < ∞

.

∆(ω,τ )

Đặt A = {ω ∈ Ω} tại ω có tính chất (1.2) và B = Ω\∆. Ta chứng minh

A, B là các tập mở trên Ω và u = −∞ trên B . Do đó B = ∅ và định lý
được chứng minh.
Giả sử ω ∈ A. Chọn τ > 0 sao cho (1.2) đúng. Với mỗi u ∈ ∆(ω, τ ), đặt

τ = τ + |ω − ω1 |. Khi đó ∆(ω, τ ) ⊂ ∆(ω, τ ). Do đó
|u| dV < ∞.
∆(ω,τ )

Vậy ∆(ω, τ ) ⊂ A và A là tập mở. Giả sử ω1 ∈ B . Chọn τ > 0 sao cho

∆(ω1 , 2τ ) ⊂ Ω.. Do ω1 ∈ B nên
|u| dV = −∞.
∆(ω ,τ )

Ta có bất đẳng thức:

1 2π
u(ω )
u(ω + reit )dt,
(0 r τ ).
2π 0
Nhân bất đẳng thức trên với 2πr và tích phân theo r từ 0 tới τ ta được

πτ 2 u(ω )

|u| dV = −∞.
∆(ω ,τ )

Do đó u = −∞ trên ∆(ω1 , τ ). Điều này chứng tỏ B là tập mở và u = −∞
trên B .
Hệ quả 1.1.12. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ C. Khi đó
tập E = {z ∈ Ω : u(z) = −∞} có độ đo Lebesgue bằng 0.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

8

Định nghĩa 1.1.13. Giả sử −∞

a
+∞ và ψ : (a, b) → R là

hàm trên (a,b). Hàm ψ gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó thỏa mãn điều
kiện sau:

ψ((1 − λ)t1 + λt2 )
với mọi t1 , t2 ∈ (a, b), với mọi 0

(1 − λ)ψ(t1 ) + λψ(t2 ),
λ

1.

Định lý 1.1.14. (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử −∞

+∞ và ψ : (a, b) → R là hàm lồi. Nếu (Ω, µ) là

a
khơng gian đo với µ(Ω)=1 và f : Ω → (a, b) là hàm khả tích thì ta có bất
đẳng thức:

ψ ◦ f dµ

ψ( f dµ)
Ω

.

Ω

f dµ. Khi đó c ∈ (a, b). Từ định nghĩa 1.1.13 ta

Chứng minh. Đặt c =
Ω

có:

t2 − c

c − t1
ψ(t1 ) +
ψ(t2 ).
t2 − t1
t2 − t1
ψ(c) − ψ(t1 )
ψ(t2 ) − ψ(c)
sup
inf
.
t2 ∈(c,b)
c − t1
t2 − c
t1 ∈(a,c)

ψ(c)
Do đó
Do đó có M sao cho

ψ(t)

ψ(c) + M (t − c),

(t ∈ (a, b)).

Thay t = f (ω) vào tích phân theo độ đo µ ta được

ψ(f (ω))dµ
Ω

(f (ω) − c)dµ = ψ(c).

ψ(c)dµ + M
Ω

Ω

Định lý dưới đây nói rằng tích của một hàm lồi tăng với một hàm điều
hòa dưới là một hàm điều hòa dưới.
Định lý 1.1.15. Cho Ω là tập mở trong C và u : Ω → [a, b) là hàm điều
hòa dưới trên Ω, ở đó −∞

a
+∞ . Giả sử ψ : (a, b) → R là hàm

lồi tăng. Khi đó ψ ◦ u là hàm điều hòa dưới trên Ω.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

9

Chứng minh. Chọn dãy {an } ⊂ (a, b) sao cho an

a. Với mỗi n đặt

un = max(u, an ). Khi đó un là hàm điều hòa dưới trên Ω. Do ψ tăng
và un là nửa liên tục trên nên ψ ◦ un là hàm điều hòa dưới trên Ω. Nếu

∆(ω, τ ) ⊂ Ω thì từ tính điều hòa dưới của un và tính tăng của ψ cùng với
bất đẳng thức Jensen ta có:
1 2π
1
ψ ◦ un (ω) ψ(
un (ω + τ eiθ dθ))
2π 0
2π
Do đó ψ ◦ un là hàm điều hòa dưới trên Ω.
Nhưng ψ ◦ un

2π

ψ ◦ un (ω + τ eiθ dθ))
0

ψ ◦ u nên kết luận của định lý được suy ra từ Định lý

1.1.10 ở trên.
Định nghĩa 1.1.16. Giả sử Ω là tập mở của C. Với mỗi r>0 đặt

Ωr = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > r}.
Giả sử u : Ω → [ − ∞, ∞) là hàm khả tích địa phương trên Ω và giả sử

φ : C → R là hàm khả tích địa phương với suppφ ⊂ ∆(0, r). Khi đó ta
xác định được tích chập u ∗ φ : Ωr → R theo cơng thức

u ∗ φ(z) =

u(z − ω)φ(ω)dV (ω) =
C

u(ω)φ(z − ω)dV (ω) .
C

Nếu φ là hàm trơn thì u ∗ φ cũng là hàm trơn.
Định lý 1.1.17. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C với

u = −∞. Giả sử u = −∞
 là hàm cho bởi:
1

 −
2
χ(x) = ke 1 − x
neu x < 1,


0
neu x ≥ 1,
n

ở đó x =

xi 2 , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , k > 0 sao cho:

i=1

χ(x)dV = 1,

Rn
n

dV là độ đo Lebesgue trên R .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
.


10

Với n=2, R2

C, r>0 đặt

1 z
χ( ),
(z ∈ C).
r2 r
Khi đó u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trên Ωr và u ∗ χr
χr (z) =

trên Ω, khi r

u hội tụ đến u

0.

Chứng minh. Từ tính khả tích địa phương của u suy ra u ∗ χr có nghĩa
và đó là hàm trơn trên Ωr .
Ta thấy u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trên Ωr . Cố định ς ∈ Ω. Với

0 < r < d(ς, ∂Ω) ta có:
2π r

s
u(ς − seit )r−2 χ( )sdsdt
t
0 0
s
Đổi biến σ = và đặt v(z) = u(ς − z) ta được:
r
u ∗ χr (ς) =

1

u ∗ χr (ς) = 2π

Cv (rσ)χ(σ)σdσ
0

Ta lại có: Cv (rσ) giảm tới v(0) khi r

0. Dùng định lý hội tụ đơn điệu

u ∗ χr (ς) giảm tới
1

2π

v(0)χ(σ)σdσ = u(ς) χdV = u(ς).
0

Vậy u ∗ χr

1.1.2

C

u trên Ω.

Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.18. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u: Ω → [−∞, +∞) là
hàm nửa liên tục trên, khơng đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên
thơng của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω))
nếu với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặc
bằng −∞ trên mọi thành phần liên thơng của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

11

Định lý 1.1.19. Giả sử u : Ω → [ − ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên,
khơng đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thơng của Ω ⊂ Cn .
Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

{a + λb : λ ∈ C, |λ|

1} ⊂ Ω

ta có

1 2π
(1.3)
u(a)
u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b).
2π 0
Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 1.1.16 ở trên. Điều
kiện đủ: Giả sử a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω},
khi đó U là tập mở trên C. Đặt v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U . Cần chứng minh

v(λ) là điều hòa dưới trên U . Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu λ0 ∈ U tồn
tại ρ > 0 sao cho với 0

r < ρ thì
1 2π
v(λ0 )
v(λ0 + reiθ )dθ.
2π 0
Từ a + λ0 b ∈ U nếu có ρ > 0 sao cho |λ| < ρ thì a + λ0 b + λb ∈ Ω. Với
0 ≤ r < ρ ta có {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Do đó từ giả thiết
1
u(a + λ0 b) ≤

u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ,
2π 0
1
ta có v(λ0 ) ≤
v(λ0 + reiθ )dθ, đó là điều phải chứng minh.
2π 0
Định lý 1.1.20.(Định lý xấp xỉ cho các hàm đa điều hòa dưới)
Giả sử Ω ∈ P SH(Ω). Nếu ε > 0 sao cho Ωε := {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε} =

∅ thì u ∗ χε ∈ C∞ ∩ P SH(Ωε ). Họ {u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi
ε ↓ 0 và
lim u ∗ χε (z) = u(z)

ε→0

xảy ra với mọi z ∈ Ω.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

12

Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.21.Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ L1loc (Ω). Khi đó với mọi

z ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {z + λb : λ ∈ C, |λ|

1} ⊂ Ω, ta có

(l(u, ., b) ∗ χε )(z) = l(u ∗ χε , z, b)
Chứng minh. Ta có:

(l(u, ., b) ∗ χε (z) =
Cn

2π

1
=
2π

(

1
2π

u(z + eiθ b − ω)dθ)χε (ω)dλ(ω)

u(z + eiθ b − ω)χε (ω)dλ(ω))dθ

(
0 Cn
2π

=

1
2π

(u ∗ χε )(z + eiθb )dθ
0

= l(u ∗ χε , z, b)
Chứng minh định lý 1.1.20. Từ cách xác định tích chập, rõ ràng u∗χε ∈
C∞ (Ωε ). Giả sử a ∈ Ωε , b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ|
Khi đó với ε ∈ Cn , |ω| < ε, a − ω ∈ Ω, {a − ωλb : |λ|

1} ⊂ Ωε .

1, λ ∈ C} ⊂ Ω.

Theo Bổ đề 1.1.21 ta có:
l(u ∗ χε ; a, b) = (l(u, ., b) ∗ χε )(a)
2π

1
(
2π

=
Cn

u(z + eiθ b − ω)dθ)χε (ω)dλ(ω)
0

u(a − ω)χε (ω)dλ(ω) = (u ∗ χε )(a).
Cn

Định lý 1.1.19 cho ta u ∗ χε ∈ P SH(Ωε ).

Do đó u ∗ χε ∈ C∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε ).
Ta chứng minh họ {u ∗ χε } giảm khi ε ↓ 0 và với mọi z ∈ Ω, lim(u ∗
ε→0

χε )(z) = u(z).
Giả sử 0 < ε2 < ε1 . Khi đó Ωε1 ⊂ Ωε2 ; u ∗ χε1 , u ∗ χε2 ∈ C∞ (Ωε1 ). Ta chứng

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

13

minh với z ∈ Ωε1 thì

u ∗ χε1 (z)

(1.4)

u ∗ χε2 (z).

Bất đẳng thức (1.4) được chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 1
thì (1.4) được chứng minh ở Định lý 1.1.17. Khi đó có thể viết (1.4) dưới
dạng:

u(z + ε1 ω)χ(ω)dλ(ω)
C

u(z + ε2 ω)χ(ω)dλ(ω).
C

với z ∈ Ωε1 , ω ∈ C.
Ta chứng minh trường hợp n = 2. Trường hợp với n tùy ý được chứng
minh bằng quy nạp. Nếu (z1 , z2 ) ∈ Ωε1 , (ω1 , ω2 ) ∈ C2 thì

u ∗ χε1 (z1 , z2 ) =

(
C

(
C

u(z1 + ε1 ω1 , z2 + ε1 ω2 )χ(ω1 , ω2 )dλ(ω1 ))dλ(ω2 )
C

u(z1 + ε2 ω1 , z2 + ε1 ω2 )χ(ω1 , ω2 )dλ(ω1 ))dλ(ω2 )
C

u(z1 + ε2 ω1 , z2 + ε2 ω2 )χ(ω1 , ω2 )dλ(ω1 ))dλ(ω2 )
CX C

= u ∗ χε2 (z1 , z2 ) u(z1 , z2 ).
Tiếp theo ta chứng minh lim u ∗ χε (z) = u(z), z ∈ Ω. Giả sử z ∈ Ω, bởi
ε→0

tính nửa liên tục trên tại z nên với η > 0 có ε1 > 0 sao cho z ∈ Ωε1 và

u(z) < u(z) + η, y ∈ B(z, ε1 ). Từ đó nếu ε < ε1 ta có
u(z)

u ∗ χε (z) =

u(z − y)χε (y)dλ(y)
B(0,ε)

< (u(z) + η)

χε (y)dλ(y) = u(z) + η

.

B(0,ε)

Một đặc trưng của tính đa điều hòa dưới đối với các hàm lớp C2 trên tập
mở Ω ⊂ Cn .
Định lý 1.1.22. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ C2 (Ω). Khi đó

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

14

∂ 2u
u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi Hessian Hu (z) =
của u tại z xác
∂zj ∂zk
định dương, nghĩa là với mọi ω = (ω1 , ω2 , ..., ωn ) ∈ Cn ,
n

∂ 2u
Hu (z)(ω, ω) =
(z)ωj ωk 0.
j,k=1 ∂zj ∂zk
Chứng minh. Chứng minh định lí được suy ra từ đẳng thức:
Với mọi z ∈ Ω, ω ∈ Cn , ξ ∈ C ta có
n
1
∂ 2u
∆ξ u(z + ξω)|ξ=0 =
(z)ωj ω k .
4
∂z
∂z
j
k
j,k=1
Định nghĩa 1.1.18 và Định lý 1.1.8.
Định lý sau đây mơ tả tính đa điều hòa dưới của u qua đạo hàm theo
nghĩa phân bố và cần dùng cho việc chứng tỏ ddc u là dòng dương đóng
song bậc (1,1).
Định lý 1.1.23. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ P SH(Ω). Khi đó với
mọi b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn ta có
n
∂ 2u
(z)bj bk 0
j,k=1 ∂zj ∂z k
tại mọi z ∈ Ω theo nghĩa suy rộng, nghĩa là với mọi ϕ ∈ C∞
0 (Ω), ϕ

u(z) L(ϕ(z)b, b) dλ(z)

(1.5)

0

0,

Ω

∂ 2u
(z)bj bk là dạng Levi của ϕ tại z. Ngược
∂z
∂z
j
k
j,k=1
Ω
1
lại, nếu v ∈ Lloc (Ω) sao cho với ∀z ∈ Ω, ∀b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn
n
∂ 2u
(z)bj bk 0.
j,k=1 ∂zj ∂z k
Theo nghĩa phân bố thì hàm u = lim(v ∗ χε ) là hàm đa điều hòa dưới trên
n

ở đó

L(ϕ(z)b, b) =

ε→0

Ω và v hầu khắp nơi trên Ω.
Chứng minh. Giả sử u ∈ P SH(Ω) và đặt uε = u ∗ χε . Khi đó u ∈

P SH(Ωε ) ∩ C0∞ (Ω). Lấy ϕ ∈ C0∞ (Ω), ϕ

0 và b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn .

Từ định lý hội tụ chặn Lebesgue cùng với tích phân từng phần và Định lý

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

15

1.1.20 và 1.1.21 cho ta
u(z) L(ϕ(z)b, b) dλ(z) = lim

uη (z) L(ϕ(z)b, b) dλ(z)

ε→0

Ω

Ω

=

ϕ(z) L(ϕ(z)b, b) dλ(z)

.

0

Ω

Ngược lại, giả sử z ∈ L1loc (Ω) và thỏa mãn (1.5). Đặt vε = v ∗ χε , ε > 0.

0 với mọi z ∈ Ω và ω ∈ Cn . Định lý

Theo định lý Fubini, Hvε (z)(ω, ω)

1.1.22 kéo theo vε ∈ P SH(Ωε ), ∀ε > 0.
Mặt khác, theo Định lý Fubini và Định lý 1.1.20, với 0 < ε1 < ε2 , z ∈ Ωε2
ta có:

vε2 = lim(v ∗ χε2 ) ∗ χδ (z) = lim(v ∗ χδ ) ∗ χε2 (z)
δ→0

δ→0

.
lim(v ∗ χδ ) ∗ χε1 (z) = lim(v ∗ χε1 ) ∗ χδ (z) = vε1 (z)

δ→0

Vậy họ { vε (z)}

δ→0

ε>0

là dãy giảm. Đặt u(z) = lim vε (z). Khi đó u nửa liên
ε→0

tục trên trên Ω. Do định lý hội tụ đơn điệu và tính đa điều hòa dưới của vε
trên Ωε kéo theo u ∈ P SH(Ω). Mặt khác, từ định nghĩa của tích chập và
đẳng thức
Cn

χε (ω)dλ(ω) = 1 suy ra họ { vε } hội tụ tới v trong L1loc (Ω).

Vậy vε hội tụ hầu khắp nơi tới v trên Ω. Do đó u = v hầu khắp nơi trên

Ω.
Bổ đề 1.1.24. Giả sử Ω1 ⊂ Cn , Ω2 ⊂ Cm là các tập mở và f : Ω1 → Ω2
là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử u ∈ P SH(Ω2 ). Khi đó u ◦ f ∈ P SH(Ω1 ).
Chứng minh. Chỉ cần xét trường hợp u ∈ C 2 (Ω2 ). Trường hợp tổng qt
suy ra từ trường hợp này và Định lý xấp xỉ 1.1.20. Với z ∈ Ω1 và ω ∈ Cn
dạng Levi của u tại z với vectơ ω là

∂ 2u
(Lu) (z, ω) =
(z)ωj ω k .
j,k=1 ∂zj ∂z k
Khi đó L(u ◦ f )(z, ω) = L(u(f (z), f (z))(ω))
0.

n

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

16

Do u ∈ P SH(Ω2 ) ∩ C 2 (Ω2 ). Vậy u ◦ f ∈ P SH(Ω1 ).

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

17

1.2
1.2.1

Khái niệm dung lượng tương đối
Các định nghĩa.

Giả sử Ω là một tập mở trong Cn , hàm u: Ω → R ∪ {−∞} là hàm đa
điều hòa dưới (p.s.h) nếu u là nửa liên tục và giới hạn theo dòng điều hòa
dưới.
Ta kí hiệu P (Ω) là hàm đa điều hòa dưới trên Ω. Tập con E ⊂ Ω là đa
cực nếu tồn tại u ∈ P (Ω) mà E ⊂ {z ∈ Ω|u(z) = −∞}.
Giả sử E là một tập con Borel đầy của một miền siêu lồi mở Ω (miền
siêu lồi mở bao gồm tất cả các tập lồi, bị chặn; chỉ cần xem xét các khơng
gian Euclide trong luận văn này. Dung lượng tương đối của E trong Ω

được định nghĩa bởi:

(ddc u)N |u ∈ P (Ω), 0 < u < 1 .

Cap(E, Ω) := sup

(2.1)

Ω
c

N

Ở đây (dd u)

biểu thị phi tuyến của tốn tử Monge - Ampere trên

u ∈ C 2 (Ω),(ddc u)N .
Đặc biệt, cho u =

2
N
c N
i=1 |zi | , (dd u)

= cN λ(1.11),(ddc u)N là một tập

Borel địa phương hữu hạn đo [K,chương 3].
Hàm cực trị tương đối của E trong Ω được định nghĩa:

uE,Ω := sup {v|v ∈ P (Ω), v ≤ −1, v < 0}

(2.2)

và chính quy nửa liên tục trên:

u∗ E,Ω (z) = limuE,Ω (ξ).

(2.3)

ξ→z

Nó được suy ra từ:
(2.4)

(ddc u∗E,Ω )N .

Cap(E, Ω) =
Ω

Sau đây là những điều kiện tương đương trên một tập Borel địa phương

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

18

hữu hạn đo E ⊂ Ω:
(i)

E là đa cực;

(ii)

Cap(E, Ω) = 0;

(iii)

u∗ E,Ω ≡ 0.

Trong trường hợp K là tập hữu hạn:

supp(ddc u∗K,Q )N ⊆ K .

(2.5)

Do đó trong trường hợp này

(ddc u∗K,Ω )N .

Cap(E, Ω) =

(2.6)

K

Nếu E =

∪m

j=1 Ej

, mỗi Ej là một tập Borel, từ (1.1) ta có
m

Cap(E, Ω) ≤

(2.7)

Cap(Ej , Ω).
j=1

Đặc biệt, nếu Fn là một dãy các tập con Borel của E với

lim Cap(E\Fn , Ω) = 0 thì

n→∞

lim Cap(Fn , Ω) = Cap(E, Ω).

(2.8)

n→∞

Từ (1.1) cho Ω1 ⊂ Ω2 là các miền siêu lồi mở trong CN , với E là tập
compact trong Ω, thì

Cap(E, Ω2 ) ≤ Cap(E, Ω1 ).

(2.9)

Một tập hữu hạn K ⊂ Ω1 ∩ Ω2 , với Ω1 , Ω2 là các miền siêu lồi mở, theo
bổ đề 3.5 của [A-T] có các hằng số A1 , A2 sao cho với mọi tập Borel E ⊂ K
ta có:

Cap(E, Ω1 ) ≤ A1 Cap(E, Ω2 ) ≤ A2 Cap(E, Ω1 ).

(2.10)

Với tập siêu lồi mở Ω1 ⊂⊂ Ω2 có một hằng số A > 0 sao cho với mọi
tập Borel E ⊂ Ω1 :

λ(E) ≤ ACap(E, Ω2 ).

(2.11)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

19

Cho z0 ∈ CN ta kí hiệu B(z0 , R) là hình cầu tâm z0 , bán kính R. Khi
đó B(z0 , R) = z ∈ C N | |z − z0 | < R . Mặt khác tập hàm dung lượng ta
sẽ sử dụng là một tập compact K ⊂ B(0, R):

TR (K) := exp(− sup VK∗ (z)),

(2.12)

|z|≤R

trong đó

VK∗

theo quy tắc là tồn bộ các hàm cực trị đa điều hòa dưới của

K , xem[K ,Chương 5]. VK∗ được định nghĩa là chính quy, nửa liên tục trên
của

VK (z) := M ax(0, sup

log |p(z)|
| p
deg(p)

1 và p là đa thức chỉnh hình

K

có bậc ≥ 1.
Bao lồi của K , kí hiệu K , được định nghĩa bởi

ˆ := {z ∈ CN |p(z)
K

K}

p

(với p là đa thức chỉnh hình). Khi đó cho z nằm ngồi bao lồi đa thức của

K , VK (z) > 0 nên VK∗ (z) > 0, khi đó TR (K) < 1.
Theo một kết quả của Siciak [Si, Chương 9], chúng ta có mối liên hệ
giữa dung lượng TR (K) và độ lớn của đa thức trên K :
Đặt:

Md :=inf pd

(2.13)

với pd là một đa thức có bậc ≤ d và pd

B(0,R)

K|

= 1.

Khi đó:
(2.14)

1/d

TR (K) = lim Md
d→∞

1/d

= inf Md .
d≥1

Do đó với đa thức pd tùy ý có bậc ≤ d ta có ước lượng:
pd K
(2.15)
pd B(0,R) ≤
.
(TR (K))d
Ngồi hai hàm có dung lượng trên, có thể so sánh với kết quả của Alexan-

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

20

der và Taylor [A-T](xem [Ko]).
Giả sử K là một tập con của B(0, p). Đặt B := B(0, R) với p < R. Khi
đó có hằng số A(p) > 0 sao cho:

1
−
≤ TR (K) ≤ exp −2πCap(K, B) N .


exp −A(p)Cap(K, B)−1

(2.16)

1.2.2

Các tính chất của dung lượng tương đối.

Tính chất 1. Cho Ω ⊂ Cn là tập mở, bị chặn và E ⊂ Ω là tập Borel. Nếu

Ω ⊂ B(0, r) thì
4n n!
Cap(E, Ω) ≥ 2n λ2n (E), với mọi tập Borel E.
r
Chứng minh:
(ddc u)n : u ∈ P SH(Ω), −1 < u < 0 .

Ta có Cap(E, Ω) = sup
K

2

|z|
− 1. Ta có: u0 ∈ P SH(Ω), −1 < u < 0. Khi đó:
r2
n
1
4n n!
n
Cap(E, Ω) ≥ 2n (ddc |z|2 ) = 2i
dzj ∧ dzj = 2n λ2n (E).
r K
r
j=1

n
Tính chất 2. Cho Ω ⊂ C là tập mở, bị chặn và E ⊂ Ω là tập Borel. Nếu
Đặt u0 (z) =

{Ej } ⊂ Ω thì
Cap(

Ej , Ω) ≤

j≥1

Cap(Ej , Ω).
j≥1

Chứng minh:
Ta thấy u ∈ P SH(Ω), −1 < u < 0, ta có

(ddc u)n ≤

Ej , Ω) ≤

Cap(
j≥1

∪Ej

(ddc u)n ≤
j≥1 Ej

Cap(Ej , Ω).

j≥1

Tính chất 3. Cho Ω ⊂ Cn là tập mở, bị chặn và E ⊂ Ω là tập Borel. Nếu

Ej ↑ E thì Cap(Ej , Ω) ↑ Cap(E, Ω).
Chứng minh:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>