BÀI TẬP VỀ CÁC CƠ CẤU 4 KHÂU PHẲNG

Môn Nguyên lý máy

Nhóm 2B
BÀI TẬP VỀ CƠ CẤU THANH PHẲNG
Số câu hỏi:
20
Điểm cho 1 câu hỏi: 1,00
Câu 1:
Câu hỏi: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD, DA là đường giá. Biết
AB = 3cm, BC = x (x > 0), CD = 5cm, DA = 6cm. Hãy xác định điều kiện 1,00đ
của x để khâu AB quay toàn vòng.
Biểu diễn cơ cấu bốn khâu bản lề ABCD và các kích thước động học đã
cho như trên hình vẽ.
0,25đ

Với các kích thước đã cho, ta có thể sắp xếp thứ tự của chúng trên trục số
x như sau:

0,25đ

Theo trục số đã vẽ, ta xét các trường hợp sau:
• 0 < x < 3: ⇒ x < 3 < 5 < 6.
Trong trường hợp này, khâu BC ngắn nhất. Theo định lý Kennedy, nếu
cơ cấu có khâu quay toàn vòng thì đó chính là khâu BC. Vậy, 0 < x < 3
không thỏa mãn.
• 3 ≤ x ≤ 6: ⇒ 3 < x < 5 < 6 hoặc 3 < 5 < x < 6.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 3+6 ≤ x+5 ⇔ x ≥ 4.
Do đang xét 3 ≤ x ≤ 6 nên 4 ≤ x ≤ 6 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD. Vì vậy khâu 0,50đ
AB quay toàn vòng và 4 ≤ x ≤ 6 thỏa mãn.
• x > 6: ⇒ 3 < 5 < 6 < x.

Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 3+x ≤ 5+6 ⇔ x ≤ 8.
Do đang xét x > 6 nên 6 < x ≤ 8 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD. Vì vậy khâu
AB quay toàn vòng và 6 < x ≤ 8 thỏa mãn.
Kết hợp tất cả các trường hợp trên ta suy ra với 4 ≤ x ≤ 8 (cm) thì khâu
AB quay toàn vòng.

1


Môn Nguyên lý máy

Câu 2:
Câu hỏi: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD với AD là đường giá.
Biết AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 5cm, DA = x cm (x > 0). Hãy xác định 1,00đ
điều kiện của x để khâu AB quay toàn vòng.
Biểu diễn cơ cấu bốn khâu bản lề ABCD và các kích thước động học đã
cho như trên hình vẽ.
0,25đ

Với các kích thước đã cho, ta có thể sắp xếp thứ tự của chúng trên trục số
x như sau:

0,25đ

Theo trục số x đã vẽ, xét ba trường hợp như sau:
• 0 < x < 3: ⇒ x < 3 < 5 < 6.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: x+6 ≤ 3+5 ⇔ x ≤ 2.
Do đang xét 0 < x < 3 nên 0 < x ≤ 2 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, do khâu AD ngắn nhất và làm giá nên theo định lý Kennedy,

cả hai khâu AB, CD cùng quay toàn vòng. Vậy, 0 < x ≤ 2 thỏa mãn.
• 3 ≤ x ≤ 6: ⇒ 3 < x < 5 < 6 hoặc 3 < 5 < x < 6.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 3+6 ≤ x+5 ⇔ x ≥ 4.
Do đang xét 3 ≤ x ≤ 6 nên 4 ≤ x ≤ 6 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng. 0,50đ
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD nên nó quay
toàn vòng và 4 ≤ x ≤ 6 thỏa mãn.
• x > 6: ⇒ 3 < 5 < 6 < x.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 3+x ≤ 5+6 ⇔ x ≤ 8.
Do đang xét x > 6 nên 6 < x ≤ 8 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD. Vì vậy khâu
AB quay toàn vòng và 6 < x ≤ 8 thỏa mãn.
Kết hợp tất cả các trường hợp trên ta suy ra với 0 < x ≤ 2 (cm) hoặc 4 ≤
x ≤ 8 (cm) thì khâu AB quay toàn vòng.

2


Môn Nguyên lý máy

Câu 3:
Câu hỏi: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD với DA là đường giá.
Biết AB = 2cm, BC = 5cm, DA = 4cm, CD = x cm (x > 0). Hãy xác định 1,00đ
điều kiện của x để khâu AB quay toàn vòng.
Biểu diễn cơ cấu bốn khâu bản lề ABCD và các kích thước động học đã
cho như trên hình vẽ.
0,25đ

Với các kích thước đã cho, ta có thể sắp xếp thứ tự của chúng trên trục số
x như sau:

0,25đ

Theo trục số x đã vẽ, ta xét ba trường hợp:
• 0 < x < 2: ⇒ x < 2 < 4 < 5.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: x+5 ≤ 2+4 ⇔ x ≤ 1.
Do đang xét 0 < x < 2 nên 0 < x ≤ 1 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, do khâu CD ngắn nhất và kề với giá AD nên theo định lý
Kennedy, khâu CD quay toàn vòng, khâu AB là thanh lắc.
Vậy, 0 < x ≤ 1 không thỏa mãn.
• 2 ≤ x ≤ 5: ⇒ 2 < x < 4 < 5 hoặc 2 < 4 < x < 5.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 2+5 ≤ x+4 ⇔ x ≥ 3.
Do đang xét 2 ≤ x ≤ 5 nên 3 ≤ x ≤ 5 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng. 0,50đ
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD nên nó quay
toàn vòng và 3 ≤ x ≤ 5 thỏa mãn.
• x > 5: ⇒ 2 < 4 < 5 < x.
Cơ cấu có khâu quay toàn vòng khi và chỉ khi: 2+x ≤ 4+5 ⇔ x ≤ 7.
Do đang xét x > 5 nên 5 < x ≤ 7 thì cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Lúc này, khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD. Vì vậy, khâu
AB quay toàn vòng và 5 < x ≤ 7 thỏa mãn.
Kết hợp tất cả các trường hợp trên ta suy ra với 3 ≤ x ≤ 7 (cm) thì khâu
AB quay toàn vòng.

3


Môn Nguyên lý máy

Câu 4:
Câu hỏi: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD, trong đó DA là đường 1,00đ
giá. Biết các kích thước động học là AB = R, BC = L, CD = a = 6dm, DA =

d = 8dm. Giả sử khâu AB quay toàn vòng, khâu CD là thanh lắc và góc
ADC ứng với hai vị trí biên của thanh lắc CD lần lượt bằng 90 0 và 600.
Tính các kích thước R và L (lấy gần đúng 13 =3,6). Kiểm tra lại điều kiện
quay toàn vòng của khâu AB.
Trên hình vẽ:
+ ABCD là vị trí bất kỳ của cơ cấu,
+ AB'C'D, AB"C"D là hai vị trí biên (khi AB, BC nằm trên cùng 1
đường thẳng),
+ Các dữ kiện đầu bài đã cho được thể hiện như trên hình vẽ:
0,25đ

• Áp dụng định lý Pitago và định lý hàm số côsin cho ∆AC'D và ∆AC"D
ta được:
AC'2 = AD2 + DC'2 ⇒ (L + R)2 = 82 + 62 ⇒ L + R = 10(dm) (1)
AC"2 = AD2 + DC"2 -2AD.DC"cos600 ⇒
0,50đ
(L - R)2 = 82 + 62 - 2.8.6.cos600 ⇒ L - R = 2 13 (dm)
(2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta tìm được:
R = 5 - 13 = 5 - 3,6 = 1,4 (dm)
L = 5 + 13 = 5 + 3,6 = 8,6 (dm)
• Kiểm tra lại điều kiện quay toàn vòng của khâu AB.
Với các kích thước đã xác định được ở trên, ta có thể sắp xếp chúng
theo thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau:
1,4 < 6 < 8 < 8,6 (dm)
0,25đ
Do 1,4 + 8,6 < 6 + 8 (đúng) nên trong cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Vì khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD nên theo định lý
Kennedy, khâu AB quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.

4


Môn Nguyên lý máy

Câu 5:
Câu hỏi: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng OABC với OC là đường giá. 1,00đ
Các kích thước OA = R, AB = L, BC = a = 3dm, CO = d = 4dm. Biết khâu
OA quay toàn vòng, khâu BC là thanh lắc và góc tạo bởi các vị trí biên của
thanh lắc BC với đường giá OC lần lượt bằng 90 0 và 1200. Tính các kích
thước R và L. Kiểm tra lại điều kiện quay toàn vòng của khâu OA.
Trên hình vẽ:
+ ABCD là vị trí bất kỳ của cơ cấu,
+ AB'C'D, AB"C"D là hai vị trí biên (khi AB, BC nằm trên cùng 1
đường thẳng),
+ Các dữ kiện đầu bài đã cho được thể hiện như trên hình vẽ:

0,25đ

• Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'D và định lý Pitago cho ∆AC"D 0,50đ
ta được:
AC'2 = AD2 + DC'2 - 2AD.DC'cos1200
⇒ (L + R)2 = 42 + 32 - 2.4.3.cos1200 ⇒ L + R = 37 (dm) (1)
AC"2 = AD2 + DC"2 ⇒ (L - R)2 = 42 + 32 ⇒ L - R = 5 (dm)
(2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta tìm được:
R = ( 37 - 5)/2 = 0,54 (dm)
L = ( 37 + 5)/2 = 5,54 (dm)
• Kiểm tra lại điều kiện quay toàn vòng của khâu AB.
Với các kích thước đã xác định được ở trên, ta có thể sắp xếp chúng

theo thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau:
0,54 < 3 < 4 < 5,54 (dm)
0,25đ
Do 0,54 + 5,54 < 3 + 4 (đúng) nên trong cơ cấu có khâu quay toàn vòng.
Vì khâu AB ngắn nhất và kề với khâu làm giá AD nên theo định lý
Kennedy, khâu AB quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.

5


Môn Nguyên lý máy

Câu 6:Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD, AD là đường giá. Biết
AD=CD=2dm, AB = ( 3 -1)dm, BC = ( 3 +1)dm. Chứng tỏ rằng khâu AB
quay toàn vòng, khâu CD là thanh lắc. Hãy tính hành trình góc Ψ của khâu CD.
Giải
• Thể hiện bằng hình vẽ một số vị trí của cơ cấu:
+ ABCD là vị trí bất kỳ,
+ AB'C'D là vị trí khi AB và BC duỗi thẳng,
+ AB"C"D là vị trí khi AB và BC chập nhau.

• Các kích thước đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
(sqrt(3)-1) < 2 = 2 < (sqrt(3)+1) (dm)
Do:
lmax + lmin = (sqrt(3)-1) + (sqrt(3)+1)) = 2.sqrt(3) ≈ 3,464(dm),
l' + l" = 2 + 2 = 4 (dm)
nên:
lmax + lmin < l' + l"
Theo định lý Kennedy, trong cơ cấu bốn khâu bản lề đã cho có khâu quay toàn
vòng. Ngoài ra, do khâu AB ngắn nhất và là khâu kề với giá AD nên cũng theo

định lý Kennedy, khâu AB quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.
• Áp dụng định lý hàm số côsin trong các tam giác AC'D và AC"D cho:
AC'2 = AD2 + DC'2 - 2AD.DC'.cosΨ1
12 = 22 + 22 - 2.2.2.cosADC' ⇒ cosΨ1 = -1/2 ⇒ Ψ1 = 1200.
AC"2 = AD2 + DC"2 - 2AD.DC".cosΨ2
4 = 22 + 22 - 2.2.2.cosΨ2 ⇒ cosΨ2 = 1/2 ⇒ Ψ2 = 600.
Hành trình góc Ψ của thanh lắc CD xác định theo hình vẽ ở trên, bằng:
Ψ = Ψ1 - Ψ2 = 1200 - 600 = 600

6


Môn Nguyên lý máy

Câu 7: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD trong đó DA là đường giá. Biết
AD = CD = 2dm, AB = R, BC = L. Giả sử khâu AB quay toàn vòng, khâu CD là
thanh lắc. Các vị trí biên của thanh lắc CD tạo với đường giá DA các góc lần lượt
bằng 1200 và 600. Tính các kích thước R, L và kiểm tra lại điều kiện quay toàn
vòng của khâu AB.
Giải
• Hình vẽ thể hiện các vị trí của cơ cấu như sau:
+ ABCD là vị trí bất kỳ,
+ AB'C'D là vị trí khi AB và BC duỗi thẳng,
+ AB"C"D là vị trí khi AB và BC chập nhau.

• Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'D và ∆AC"D ta được:
AC'2 = AD2 + DC'2 - 2AD.DC'.cosΨ1
⇔ (L + R)2 = 22 + 22 - 2.2.2.cos1200 ⇒ L + R = 2.sqrt(3).
(1)
AC"2 = AD2 + DC"2 - 2AD.DC".cosΨ2

⇔ (L - R)2 = 22 + 22 - 2.2.2.cos600 ⇒ L - R = 2
(2)
Giải hệ phương trình lập bởi (1) và (2) ta nhận được:
R = [sqrt(3) - 1] ≈ 0,732(dm),
L = [sqrt(3) + 1] ≈ 2,732(dm)
• Các kích thước đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
0,732 < 2 = 2 < 2,732 (dm)
Do:
lmin + lmax = 0,732 + 2,732 = 3,464 (dm),
l' + l" = 2 + 2 = 4(dm)
nên:
lmin + lmax < l' + l"
Vì vậy, theo định lý Kennedy, trong cơ cấu bốn khâu bản lề đã cho có khâu quay
toàn vòng. Ngoài ra, do khâu AB ngắn nhất và là khâu kề với giá AD nên khâu AB
quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.

7


Môn Nguyên lý máy

Câu 8: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD (DA là đường giá) với các kích
thước động học là AB = R, BC = L, CD = a = 50cm, DA = d = 120cm. Biết khâu
AB quay toàn vòng, khâu CD là thanh lắc và góc ADC ứng với hai vị trí biên của
thanh lắc CD lần lượt bằng 900 và 600. Tính các kích thước R và L (lấy gần đúng
sqrt(109) =10,44).
Giải
• Hình vẽ dưới đây thể hiện một số vị trí của cơ cấu:
+ ABCD là vị trí bất kỳ,
+ AB'C'D là vị trí khi AB và BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L + R,

+ AB"C"D là vị trí khi AB và BC chập nhau ⇒ AC" = L - R.

• Áp dụng định lý Pitago và định lý hàm số côsin cho ∆AC'D và ∆AC"D cho:
AC'2 = AD2 + DC'2 ⇔ (L + R)2 = 1202 + 502 = 16900
⇒ L + R = 130(cm)
(1)
2
2
2
0
AC" = AD + DC" - 2AD.DC".cos60
⇔ (L - R)2 = 1202 + 502 - 2.120.50.cos600 = 10900
⇒ L - R = 10.sqrt(109) = 104,4(cm)
(2)
Giải hệ phương trình lập bởi (1) và (2) ta nhận được:
R = 12,8cm; L = 117,2cm
• Các kích thước của cơ cấu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
12,8 < 50 < 117,2 < 120 (cm)
Do:
lmin + lmax = 12,8 + 120 = 132,8cm; l' + l" = 50 + 117,2 = 167,2cm
nên:
lmin + lmax < l' + l"
Vì vậy, theo định lý Kennedy, trong cơ cấu bốn khâu bản lề ABCD có khâu quay
toàn vòng. Ngoài ra, do khâu AB ngắn nhất và là khâu kề với giá AD nên khâu AB
quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.

8


Môn Nguyên lý máy

Câu 9: Cho cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD với đường giá DA. Biết AB = R
= 2cm. Khi AB vuông góc với AD thì CD cũng vuông góc với AD, đồng thời
∆BCD là tam giác đều. Hãy tính các kích thước BC, CD, DA và kiểm tra lại điều
kiện quay toàn vòng của các khâu AB, CD.
Giải
• Hình vẽ biểu diễn vị trí của cơ cấu bốn khâu bản lề đã cho khi AB⊥AD. Lúc đó,
theo giả thiết ta cũng có CD⊥AD, đồng thời ∆BCD là tam giác đều.

• Theo hình vẽ ta xác định được:
∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 900 - 600 = 300 ⇒ ∠ABD = 600.
Theo ∆ABD (vuông tại A) ta xác định được:
AD = AB.tg600 = 2.tg600 = 2.sqrt(3) ≈ 3,4641 (cm)
BD = AB/cos600 = 4 (cm)
Vì ∆BCD là tam giác đều nên ta có: BC = CD = BD = 4cm.
Vậy:
AB = 2cm, BC = CD = 4cm, AD = 3,4641 cm
• Kiểm tra điều điều kiện quay toàn vòng của các khâu AB, CD.
Với các kích thước đầu bài cho và các kích thước đã xác định được ở trên, ta sắp
xếp chúng theo thứ tự tăng dần như sau:
2 < 3,4641 < 4 = 4 (cm)
Do:
lmin + lmax = 2 + 4 = 6cm;
l' + l" = 3,4641 + 4 = 7,4641cm
nên:
lmin + lmax < l' + l"
Vì vậy, theo định lý Kennedy, trong cơ cấu bốn khâu bản lề đã cho có khâu quay
toàn vòng. Ngoài ra, do khâu AB ngắn nhất và là khâu kề với giá AD nên khâu AB
quay toàn vòng, còn khâu CD là thanh lắc.

9


Môn Nguyên lý máy

Câu 10: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học e = 9cm,
AB = R = 13cm, BC = L = 28cm. Chứng tỏ rằng khâu AB có khả năng quay toàn
vòng. Hãy xác định hành trình H của con trượt.
Giải
• Do giả thiết:
e = 9cm, AB = R = 13cm, BC = L = 28cm
nên điều kiện quay toàn vòng của khâu AB (R + e ≤ L) được thỏa mãn. Vậy khâu
AB có khả năng quay toàn vòng.
• Hình vẽ biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt đã cho ứng với hai vị trí biên của
con trượt:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 41cm,
+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 15cm.

• Từ tâm khớp quay A, hạ AK⊥xx. Theo các tam giác vuông AKC' và AKC" ta lần
lượt xác định được:
KC'2 = AC'2 - AK2 = (L+R)2 - e2 = 412 - 92 = 1600 ⇒ KC' = 40cm
KC"2 = AC"2 - AK2 = (L-R)2 - e2 = 152 - 92 = 144 ⇒ KC" = 12cm
H = KC' - KC" = 40 - 12 = 28(cm)
• Để xác định hệ số tăng tốc k, cần tính được góc lệch θ giữa hai vị trí biên của
thanh truyền BC. Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'C" ta được:
C'C"2 = AC'2 + AC"2 - 2.AC'.AC"cosθ
⇔ H2 = (L + R)2 + (L - R)2 - 2.(L + R)(L - R)cosθ
⇒ cosθ = [(L + R)2 + (L - R)2 - H2]/[2(L + R)(L - R)]
= [412 + 152 - 282]/[2.41.15] = 0,9122
θ = 24,190.

Từ đó tìm được:
k = (1800+θ)/(1800-θ) = (1800 + 24,190)/(1800 - 24,190) ≈ 1,3105

10


Môn Nguyên lý máy

Câu 11: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học e =
63mm, AB = R = 31mm, BC = L = 256mm. Chứng tỏ rằng khâu AB có khả năng
quay toàn vòng. Hãy xác định hành trình H của con trượt.
Giải
• Do giả thiết:
e = 63mm, AB = R = 31mm, BC = L = 256mm
nên điều kiện quay toàn vòng của khâu AB (R + e ≤ L) được thỏa mãn.
Vậy khâu AB có khả năng quay toàn vòng.
• Hình vẽ dưới đây biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt ABC ứng với hai vị trí biên
của con trượt, trong đó:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 287mm,
+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 225mm.

• Từ tâm khớp quay A, hạ AK⊥xx. Theo các tam giác vuông AKC' và AKC" ta lần
lượt xác định được:
KC'2 = AC'2 - AK2 = (L+R)2 - e2 = 2872 - 632 = 78400 ⇒ KC' = 280mm
KC"2 = AC"2 - AK2 = (L-R)2 - e2 = 2252 - 632 = 46656 ⇒ KC" = 216mm
H = KC' - KC" = 280 - 216 = 64(mm)
Vậy hành trình H của con trượt bằng 64mm.
• Để xác định hệ số tăng tốc k, cần tính được góc lệch θ giữa hai vị trí biên của
thanh truyền BC. Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'C" ta được:
C'C"2 = AC'2 + AC"2 - 2.AC'.AC"cosθ

⇔ H2 = (L + R)2 + (L - R)2 - 2.(L + R)(L - R)cosθ
⇒ cosθ = [(L + R)2 + (L - R)2 - H2]/[2(L + R)(L - R)]
= [2872 + 2252 - 642]/[2.287.225] = 0,998
θ = 3,580.
Từ đó tìm được:
k = (1800+θ)/(1800-θ) = (1800 + 3,580)/(1800 - 3,580) ≈ 1,0406

11


Môn Nguyên lý máy

Câu 12:Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC, khâu AB nối giá bằng khớp quay A
và có khả năng quay toàn vòng. Biết AB = R = 11cm, BC = L = 37cm, hành trình
của con trượt H = 26cm. Hãy tính độ lệch tâm e của cơ cấu. Từ đó, hãy kiểm tra lại
khả năng quay toàn vòng của khâu AB.
Giải
• Trước hết ta biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt ABC ở các vị trí ứng với hai vị
trí biên của con trượt:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 48cm,
+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 26cm.

• Do AC" = C'C" = H = 26cm nên ∆AC'C" cân tại C". Vì vậy, nếu đặt ∠AC'C" =
α thì ta có:
AC' = 2Hcosα ⇔ L + R = 2Hcosα
Từ đó suy ra:
cosα = (L + R)/(2H) = 48/52 = 12/13 ⇒ sinα = 5/13
Theo tam giác vuông AKC' ta xác định được:
e = AK = AC'.sinα = (L+R).sinα = 48.(5/13) = 240/13 ≈ 18,46(cm)
• Kiểm tra điều kiện quay toàn vòng của khâu AB.

Theo giả thiết và theo kết quả tính toán ở trên, ta có:
e = 18,46cm, AB = R = 11cm, BC = L = 37cm
Hiển nhiên ta có: R + e ≤ L.
Vậy điều kiện quay toàn vòng của khâu AB được thỏa mãn và khâu AB có khả
năng quay toàn vòng.

12


Môn Nguyên lý máy

Câu 13: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học e =
15cm, AB = R = 44cm, BC = L = 69cm. Chứng tỏ rằng khâu AB có khả năng quay
toàn vòng. Hãy xác định hành trình H của con trượt và hệ số tăng tốc k của cơ cấu.
Giải
• Do giả thiết:
e = 15cm, AB = R = 44cm, BC = L = 69cm
nên điều kiện quay toàn vòng của khâu AB (R + e ≤ L) được thỏa mãn.
Vậy khâu AB có khả năng quay toàn vòng.
• Hình vẽ dưới đây biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt ABC ứng với hai vị trí biên
của con trượt:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 113cm,
+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 25cm.

• Từ tâm khớp quay A, hạ AK⊥xx. Theo các tam giác vuông AKC' và AKC" ta lần
lượt xác định được:
KC'2 = AC'2 - AK2 = (L+R)2 - e2 = 1132 - 152 = 12544 ⇒ KC' = 112 cm
KC"2 = AC"2 - AK2 = (L-R)2 - e2 = 252 - 152 = 400 ⇒ KC" = 20cm
H = KC' - KC" = 112 - 20 = 92 (cm)
• Để xác định hệ số tăng tốc k, cần tính được góc lệch θ giữa hai vị trí biên của

thanh truyền BC. Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'C" ta được:
C'C"2 = AC'2 + AC"2 - 2.AC'.AC"cosθ
⇔ H2 = (L + R)2 + (L - R)2 - 2.(L + R)(L - R)cosθ
⇒ cosθ = [(L + R)2 + (L - R)2 - H2]/[2(L + R)(L - R)]
= [1132 + 252 - 922]/[2.113.25] = 0,8726
θ = 29,240.
Từ đó tìm được:
k = (1800+θ)/(1800-θ) = (1800 + 29,240)/(1800 - 29,240) ≈ 1,3879

13


Môn Nguyên lý máy

Câu 14: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học e =
24cm, AB = R = 17cm, BC = L = 57cm. Chứng tỏ rằng khâu AB có khả năng quay
toàn vòng về mặt hình học. Hãy xác định hành trình H của con trượt và hệ số tăng
tốc k của cơ cấu.
Giải
• Do giả thiết:
e = 24cm, AB = R = 17cm, BC = L = 57cm
nên điều kiện quay toàn vòng của khâu AB (R + e ≤ L) được thỏa mãn.
Vậy khâu AB có khả năng quay toàn vòng.
• Hình vẽ dưới đây biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt ABC ứng với hai vị trí biên
của con trượt:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 74cm,
+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 40cm.

• Từ tâm khớp quay A, hạ AK⊥xx. Theo các tam giác vuông AKC' và AKC" ta lần
lượt xác định được:

KC'2 = AC'2 - AK2 = (L+R)2 - e2 = 742 - 242 = 4900 ⇒ KC' = 70cm
KC"2 = AC"2 - AK2 = (L-R)2 - e2 = 402 - 242 = 1024 ⇒ KC" = 32cm
H = KC' - KC" = 70 - 32 = 38 (cm)
• Để xác định hệ số tăng tốc k, cần tính được góc lệch θ giữa hai vị trí biên của
thanh truyền BC. Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'C" ta được:
C'C"2 = AC'2 + AC"2 - 2.AC'.AC"cosθ
⇔ H2 = (L + R)2 + (L - R)2 - 2.(L + R)(L - R)cosθ
⇒ cosθ = [(L + R)2 + (L - R)2 - H2]/[2(L + R)(L - R)]
= [742 + 402 - 382]/[2.74.40] = 0,9514
θ = 17,950.
Từ đó tìm được:
k = (1800+θ)/(1800-θ) = (1800 + 17,950)/(1800 - 17,950) ≈ 1,2215

14


Môn Nguyên lý máy

Câu 15: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học e =
33mm, AB = R = 64mm, BC = L = 119mm. Chứng tỏ rằng khâu AB có khả năng
quay toàn vòng về mặt hình học. Hãy xác định hành trình H của con trượt và hệ số
tăng tốc k của cơ cấu.
Giải
• Do giả thiết:
e = 33mm, AB = R = 64mm, BC = L = 119mm
nên điều kiện quay toàn vòng của khâu AB (R + e ≤ L) được thỏa mãn.
Vậy khâu AB có khả năng quay toàn vòng.
• Hình vẽ dưới đây biểu diễn cơ cấu tay quay con trượt ABC ứng với hai vị trí biên
của con trượt:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = 183mm,

+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = 55mm.

• Từ tâm khớp quay A, hạ AK⊥xx. Theo các tam giác vuông AKC' và AKC" ta lần
lượt xác định được:
KC'2 = AC'2 - AK2 = (L+R)2 - e2 = 1832 - 332 = 32400 ⇒ KC' = 180mm
KC"2 = AC"2 - AK2 = (L-R)2 - e2 = 552 - 332 = 1936 ⇒ KC" = 44mm
H = KC' - KC" = 180 - 44 = 136 (mm)
• Để xác định hệ số tăng tốc k, cần tính được góc lệch θ giữa hai vị trí biên của
thanh truyền BC. Áp dụng định lý hàm số côsin cho ∆AC'C" ta được:
C'C"2 = AC'2 + AC"2 - 2.AC'.AC"cosθ
⇔ H2 = (L + R)2 + (L - R)2 - 2.(L + R)(L - R)cosθ
⇒ cosθ = [(L + R)2 + (L - R)2 - H2]/[2(L + R)(L - R)]
= [1832 + 552 - 1362]/[2.183.55] = 0,895
θ = 26,480.
Từ đó tìm được:
k = (1800+θ)/(1800-θ) = (1800 + 26,480)/(1800 - 26,480) ≈ 1,345

15


Môn Nguyên lý máy

Câu 16: Cho cơ cấu tay quay con trượt ABC với các kích thước động học AB = R,
BC = L, độ lệch tâm là e. Đặt λ=L/R. Giả sử khâu AB có khả năng quay toàn vòng.
Hãy xác định các kích thước R và L trong trường hợp H=123mm, e=18mm và λ=3;
đồng thời hãy kiểm tra lại điều kiện quay toàn vòng của khâu AB.
Giải
• Do giả thiết khâu AB quay toàn vòng nên ta có thể biểu diễn được các vị trí của
cơ cấu tương ứng với hai vị trí biên của con trượt như hình vẽ. Trong đó:
+ AB'C': vị trí của cơ cấu khi AB, BC duỗi thẳng ⇒ AC' = L+R = (λ+1)R,

+ AB"C": vị trí của cơ cấu khi AB, BC chập nhau ⇒ AC" = L-R = (λ-1)R.

• Để xác định các kích thước R và L, ta đặt KC" = X. Theo các tam giác vuông
AKC' và AKC" ta lần lượt xác định được:
AC'2 = KC'2 + AK2 ⇔ (L+R)2 = (X+H)2 + e2
⇔ (λ+1)2.R2 = (X+H)2 + e2
(1)
2
2
2
2
2
2
AC" = KC" + AK ⇔ (L-R) = X + e
⇔ (λ-1)2.R2 = X2 + e2
(2)
Chia từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
[(λ+1)/(λ-1)]2 = [(X+H)2 + e2]/[X2 + e2]
(3)
Thay các giá trị λ=3 vào phương trình (3) ta nhận được phương trình bậc hai:
3X2 - 2HX + 3e2 - H2 = 0
(4)
Giải phương trình (4) với ẩn số X>0 ta nhận được
X = [H+sqrt(4H2-9e2)]/3 = 121(mm)
Theo phương trình (2) ta xác định được:
(λ-1)2.R2 = X2 + e2 ⇔ 4R2 = 1212 + 182 = 14965
⇒ R = sqrt(3741,25) = 61,166(mm)
⇒ L = λR = 3.sqrt(3741,25) = 183,5(mm)
• Với các kích thước R = 61,166mm, L = 183,5mm, e = 18mm, hiển nhiên điều
kiện R + e ≤ L được thỏa mãn. Vậy khâu AB có khả năng quay toàn vòng.

16


Môn Nguyên lý máy

Câu 17: Cho cơ cấu culít ABC với các kích thước động học AB = R = 20cm, AC =
L = 40cm (khâu AC là giá, culít là khâu nối giá bằng khớp quay C). Chứng tỏ rằng
khâu AB có khả năng quay toàn vòng, khâu nối giá còn lại là thanh lắc. Hãy xác
định hành trình góc Ψ của thanh lắc (culít), hệ số năng suất k của cơ cấu và khoảng
cách H giữa hai vị trí biên của điểm đầu thanh lắc E, biết CE = b = 70cm.
Giải
• Với các dữ kiện đã cho trong đầu bài ta suy ra khâu AB là khâu nối giá mà trên
đó có hai khớp quay. Ngoài ra, do AB = R = 20cm, AC = L = 40cm nên R < L.
Điều kiện này chứng tỏ khâu AB có khả năng quay toàn vòng, khâu nối giá còn lại
là thanh lắc.
• Các vị trí biên AB'C và AB"C của cơ cấu được biểu diễn như trên hình vẽ.

• Do tính chất đối xứng nên theo hình vẽ trên ta xác định được:
sin(Ψ/2) = AB'/AC = R/L = 20/40 = 1/2
⇒ Ψ/2 = 300, Ψ = 600
Vậy hành trình góc của culít bằng 600.
• Hệ số năng suất của cơ cấu:
k = (1800+Ψ)/(1800-Ψ) = (1800+600)/(1800-600) = 2
Khoảng cách H giữa hai vị trí biên E', E" của điểm đầu thanh lắc E bằng:
H = E'E" = 2bsin(Ψ/2) = 2.70.sin300 = 70(cm)

17

Môn Nguyên lý máy

Câu 18: Trình bày phương pháp vẽ để xác định các kích thước động học chưa biết
của cơ cấu bốn khâu bản lề trong trường hợp biết chiều dài và ba vị trí của thanh
truyền. Biện luận các trường hợp đặc biệt.
Giải
Xét cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng ABCD, với AD là đường giá.
Giả sử biết chiều dài L và 3 vị trí B1C1, B2C2, B3C3 của thanh truyền BC (hình a).
Khi đó, các kích thước động học chưa biết của cơ cấu là: R=lAB, a=lCD và d=lDA.

Gọi µL là tỷ lệ xích theo chiều dài của hình vẽ.
Do AB=R=const, CD=a=const, A và D cố định nên quỹ đạo điểm B là đường tròn
tâm A, bán kính R, quỹ đạo điểm C là đường tròn tâm D, bán kính a. Từ đó, suy ra:
A là tâm đường tròn đi qua 3 điểm B1, B2, B3 và điểm D là tâm đường tròn đi qua 3
điểm C1, C2, C3 (hình b).
Nhờ đó ta xác định được:
+ A là giao điểm 2 đường trung trực của B1B2 và B2B3.
+ D là giao điểm 2 đường trung trực của C1C2 và C2C3.
Sau khi tìm được các điểm A và D, bằng cách đo trực tiếp trên hình vẽ, ta xác định
được độ dài các đoạn thẳng ABk, CkD và DA. Đó là độ dài đoạn biểu diễn của các
kích thước động học R=lAB, a=lCD và d=lDA theo tỷ xích µL. Từ đó xác định được:
R=lAB= µL×ABk, a=lCD=µL×CkD; d=lDA=µL×DA (k = 1, 2, 3)
Có ba trường hợp đặc biệt:
+ (B1, B2, B3) không thẳng hàng, (C1, C2, C3) thẳng hàng. Lúc này, D→∞, khâu
CD chuyển động tịnh tiến ⇒ cơ cấu tay quay con trượt.
+ (B1, B2, B3) thẳng hàng, (C1, C2, C3) không thẳng hàng. Lúc này, A→∞, khâu
AB chuyển động tịnh tiến ⇒ cơ cấu tay quay con trượt.
+ (B1, B2, B3) thẳng hàng và (C1, C2, C3) thẳng hàng. Lúc này, A→∞ và D→∞ ⇒
các khâu AB, CD chuyển động tịnh tiến ⇒ cơ cấu có cấu trúc như cơ cấu ellip.

18


Môn Nguyên lý máy

Câu 19:
Trình bày phương pháp vẽ để xác định chiều dài R của tay quay, chiều dài
L của thanh truyền trong cơ cấu tay quay con trượt khi biết hành trình H
của con trượt, độ lệch tâm e và hệ số tăng tốc k.

1,00đ

Giả sử xét cơ cấu tay quay con trượt ABC: AB=R, BC=L, A là khớp nối
tay quay AB với giá. Gọi xx là đường trượt của con trượt và biểu diễn
các vị trí AB'C', AB"C" của cơ cấu ứng với hai vị trí biên của con trượt
như hình 1.

0,25đ

Hình 1.

Hình 2.

Từ hình vẽ trên ta suy ra cách giải bài toán như sau (hình 2):
+ Do k đã biết và k = (1800+θ)/(1800-θ) ⇒ θ = 1800×(k-1)/(k+1).
+ Chọn một tỷ lệ xích chiều dài µL thích hợp và vẽ đường thẳng xx.
Trên xx đặt đoạn C'C" tương ứng với hành trình H theo tỷ lệ xích µL.
+ Do đã biết độ lệch tâm e nên có thể vẽ được đường thẳng tt song
song với xx và cách xx một khoảng tương ứng với độ lệch tâm e theo tỷ
lệ xích µL. Tâm quay A của tay quay AB sẽ nằm trên đường thẳng tt này.

+ Do điểm A nhìn đoạn thẳng C'C" dưới một góc θ nên điểm A nằm
trên một cung tròn, ký hiệu là (α). Cung này là quỹ tích những điểm nhìn
đoạn thẳng C'C" theo góc θ. Tâm O của cung này là giao điểm của 2
đường thẳng: a) đường trung trực của đoạn thẳng C'C"; b) đường thẳng
đi qua C' và tạo với đường thẳng C'C" một góc δ = (900-θ).
+ Xác định A là giao điểm của đường thẳng tt với cung tròn (α).
+ Đo trên hình vẽ độ dài các đoạn thẳng AC', AC" và xác định được:
L + R = µL×AC', L - R = µL×AC"
+ Giải hệ phương trình trên và tìm được:
L = 0,5µL×(AC'+AC"), R = 0,5µL×(AC'-AC")
Biện luận. Có thể vẽ được 2 đường thẳng tt và 2 cung chứa góc (α) về
hai phía của đường thẳng xx. Bài toán có lời giải ⇔ tt cắt xx. Trong
trường hợp tìm được 2 (hoặc 4) điểm A thì cả 2 (hoặc 4) điểm A này
cùng cho một kết quả.

19

0,50đ

0,25đ


Môn Nguyên lý máy

Câu 20:
Câu hỏi: Trình bày phương pháp vẽ để xác định chiều dài R của tay
quay, chiều dài L của thanh truyền trong cơ cấu tay quay con trượt khi 1,00đ
biết hành trình H của con trượt, hệ số tăng tốc k và tỷ số λ = L/R.
Xét cơ cấu tay quay con trượt ABC: AB=R, BC=L, A là khớp nối tay
quay AB với giá. Biểu diễn các vị trí AB'C', AB"C" của cơ cấu ứng với

hai vị trí biên của con trượt như hình 1.

0,25đ

Hình 1.

Hình 2.

Từ hình vẽ trên ta suy ra cách giải bài toán như sau (hình 2):
+ Do k đã biết và k = (1800+θ)/(1800-θ) ⇒ θ = 1800×(k-1)/(k+1).
+ Chọn một tỷ lệ xích chiều dài µL thích hợp và vẽ đường thẳng xx.
Trên xx đặt đoạn C'C" tương ứng với hành trình H theo tỷ lệ xích µL.
+ Do điểm A nhìn đoạn thẳng C'C" dưới một góc θ nên điểm A nằm
trên một cung tròn, ký hiệu là (α). Cung này là quỹ tích những điểm
nhìn đoạn thẳng C'C" theo góc θ. Tâm O của cung này là giao điểm của
2 đường thẳng: a) đường trung trực của đoạn thẳng C'C"; b) đường
thẳng đi qua C' và tạo với đường thẳng C'C" một góc δ = (900-θ).
+ Vì AC'=(L+R)=(λ+1).R, AC"=(L-R)=(λ-1).R, với λ=L/R đã biết,
⇒ AC'/AC"=(λ+1)/(λ-1) là một số ε đã biết ⇒ A nằm trên đường tròn
Apônôliut - quỹ tích những điểm có tỷ số khoảng cách đến 2 điểm cố
định C', C" là một số không đổi ε. Đường tròn này có đường kính EF∈
C'C"; E, F là 2 điểm chia trong và chia ngoài đoạn C'C" theo tỷ số ε.
+ Xác định A = đường tròn (EF) ∩ (α).
+ Đo trên hình vẽ độ dài các đoạn thẳng AC', AC" và xác định được:
L + R = µL×AC', L - R = µL×AC"
⇒ L = 0,5µL×(AC'+AC"), R = 0,5µL×(AC'-AC")

0,50đ

Biện luận. Có thể vẽ được 2 cung chứa góc (α) về 2 phía của xx. Bài

toán có lời giải ⇔ tt có điểm chung với (α). Trong trường hợp tìm được
2 điểm A thì cả 2 điểm A này cùng cho một kết quả.

0,25đ

20