100 cau hoi khao sat HAM SO co huong dan va loi giai chi tiet

www.VNMATH.com

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011


www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng

MATHEDUCARE.COM

100 Khảo sát hàm số

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1
Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

Câu 1.

· Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .
(1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2
mx + 4
(1)
x+m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .

Câu 2.

Cho hàm số y =

· Tập xác định: D = R \ {–m}.

y ¢=

m2 - 4
( x + m )2

.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có -m ³ 1 Û m £ -1
Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 .

(1)
(2)

Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥; 0) .

Câu 3.

· m £ -3

Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2 m + 1) x 2 + 6 m ( m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥)

Câu 4.

· y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m 2 + m ) = 1 > 0
éx = m
y' = 0 Û ê
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥)
ëx = m +1
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1
Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
· Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m)

Câu 5.

+ m £ 0 , y ¢³ 0, "x Þ m £ 0 thoả mãn.
+ m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0,
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi

m.

m £ 1 Û 0 < m £ 1.

Vậy m Î ( -¥;1] .

Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +¥ ) .

Câu 6.

Trang 1

matheducare.com


www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

ã Hm ng bin trờn (0; +Ơ) y Â= 3 x 2 + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) 0 vi "x ẻ (0; +Ơ)
3x 2 + 2 x + 2
f ( x) =
m vi "x ẻ (0; +Ơ)
4x +1
-1 73
2(6 x 2 + x - 3)
= 0 6x2 + x - 3 = 0 x =
Ta cú: f Â( x ) =
2
12
(4 x + 1)
Lp bng bin thiờn ca hm f ( x ) trờn (0; +Ơ) , t ú ta i n kt lun:
ổ -1 + 73 ử
3 + 73

fỗ
m
ữm
ỗ 12
ữ
8
ố
ứ

KSHS 02: CC TR CA HM S
Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m 2 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã PT honh giao im ca (C) v trc honh:
ộ x = -1
x 3 + 3 x 2 + mx + m 2 = 0
(1) ờ
2
(2)
ở g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0
(Cm) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc 0x PT (1) cú 3 nghim phõn bit
ỡ Â
(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 ớD = 3 - m > 0
m<3
ợg(-1) = m - 3 ạ 0

Cõu 7.

Cho hm s y = - x 3 + (2 m + 1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x - 4 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.

2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

Cõu 8.

ã y Â= -3 x 2 + 2(2 m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) .
(Cm) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung PT y = 0 cú 2 nghim trỏi
du 3(m 2 - 3m + 2) < 0 1 < m < 2 .
1
Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m l tham s) cú th l (Cm).
3
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

Cõu 9.

ã TX: D = R ; y Â= x 2 2mx + 2 m 1 .
th (Cm) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung y Â= 0 cú 2 nghim phõn
ỡm ạ 1
ỡùDÂ = m 2 - 2m + 1 > 0
ù
bit cựng du ớ
ớ
1
ùợ2m - 1 > 0
ùợm > 2
Cõu 10. Cho hm s y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m l tham s) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng y = x - 1 .
Trang 2

matheducare.com


www.VNMATH.com
Tr n S Tựng

MATHEDUCARE.COM

100 Kho sỏt hm s

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hm s cú C, CT y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
1ử
mử
ổ1
ổ 2m
ử
ổ
Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ
ố
mử

mử
ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
mử
ổ 2m
ử ổ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
3ứ
ố 3
ứ ố
Cỏc im cc tr cỏch u ng thng y = x - 1 xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng y = x - 1
3
ổ 2m

ử
-ỗ
+ 2 ữ = 1 m = - (tha món)
2
ố 3
ứ
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng y = x - 1
y + y2 x1 + x2
mử
ổ 2m
ử
ổ
yI = xI - 1 1
=
-1 - ỗ
+ 2 ữ ( x1 + x2 ) + 2 ỗ 2 - ữ = ( x1 + x2 ) - 2
2
2
3ứ
ố 3
ứ
ố
2m
ổ 2m
ử
m=0
ỗ
+ 3 ữ .2 = 6 3
ố 3
ứ

3ỹ
ỡ
Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l: m = ớ0; - ý
2ỵ
ợ
Cõu 11. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 (m l tham s) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.
ộx = 0
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m ạ 0.
ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6 mx ; y = 0 ờ
ở x = 2m
uur
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m3), B(2m; 0) ị AB = (2m; -4 m3 )
Trung im ca on AB l I(m; 2m3)
2
ùỡ2 m - 4 m3 = 0
ỡ AB ^ d
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x ớ
ớ 3
m=
2
ợI ẻ d
ùợ2 m = m
Cõu 12. Cho hm s y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d: x + 8y - 74 = 0 .

ã y  = -3 x 2 + 6 mx ; y Â= 0 x = 0 x = 2 m .
Hm s cú C, CT PT y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 0 .
uuur
Khi ú 2 im cc tr l: A(0; -3m - 1), B(2 m; 4 m3 - 3m - 1) ị AB(2m; 4m 3 )
Trung im I ca AB cú to : I (m; 2 m3 - 3m - 1)
r
ng thng d: x + 8y - 74 = 0 cú mt VTCP u = (8; -1) .
Trang 3

matheducare.com


100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

ỡùm + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0
ỡI ẻ d
A v B i xng vi nhau qua d ớ
ớuuur r
m=2
AB
d
^
AB
.
u
0
=

ợ
ùợ
Cõu 13. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + mx

(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d: x 2 y 5 = 0 .

ã Ta cú y = x 3 - 3 x 2 + mx ị y ' = 3 x 2 - 6 x + m
Hm s cú cc i, cc tiu y Â= 0 cú hai nghim phõn bit DÂ = 9 - 3m > 0 m < 3
ổ1
ổ2
ử
1ử
1
Ta cú: y = ỗ x - ữ y Â+ ỗ m - 2 ữ x + m
3ứ
3
ố3
ố3
ứ
Ti cỏc im cc tr thỡ y Â= 0 , do ú ta cỏc im cc tr tha món phng trỡnh:
ổ2
ử
1
y = ỗ m - 2ữ x + m
3
ố3
ứ

ổ2
ử
1
Nh vy ng thng D i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh y = ỗ m - 2 ữ x + m
3
ố3
ứ
2
nờn D cú h s gúc k1 = m - 2 .
3
1
1
5
d: x 2 y 5 = 0 y = x - ị d cú h s gúc k2 =
2
2
2
hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d ^ D
ử
1ổ2
ị k1k2 = -1 ỗ m - 2 ữ = -1 m = 0
2ố3
ứ
Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I ẻ d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0
Cõu 14. Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi

1
nhau qua ng thng d: y = x .
2

ã y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9
Hm s cú C, CT D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 m ẻ (-Ơ; -1 - 3) ẩ (-1 + 3; +Ơ)
ổ1
m +1 ử Â
2
Ta cú y = ỗ x ữ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1
3
3
ố
ứ
Gi s cỏc im cc i v cc tiu l A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I l trung im ca AB.
ị y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4 m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2 m - 2) x2 + 4 m + 1
ỡ x + x = 2(m + 1)
v: ớ 1 2
ợ x1. x2 = 3
Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l y = -2(m 2 + 2 m - 2) x + 4 m + 1
Trang 4

matheducare.com


100 Khảo sát hàm số

MATHEDUCARE.COM
A, B đối xứng qua (d): y =

1
ì AB ^ d
x Ûí
Û m = 1.
2
îI Î d

Câu 15. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 - x 2 £ 2 .

· Ta có y ' = 3x 2 - 6(m + 1) x + 9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 Û PT y '= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2 .
ém > -1 + 3
(1)
Û D' = (m + 1) 2 - 3 > 0 Û ê
m
<
1
3
ëê
+ Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi đó:
x1 - x 2 £ 2 Û ( x1 + x 2 )2 - 4 x1 x 2 £ 4 Û 4(m + 1)2 - 12 £ 4

Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1

(2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là - 3 £ m < -1 - 3 và - 1 + 3 < m £ 1.
Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2 m) x 2 + (2 - m ) x + m + 2 , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 - x2 >

1
.
3

· Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + (2 - m)

Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 )
é
5
(*)
Û D ' = (1 - 2 m )2 - 3(2 - m ) = 4 m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4
ê
ë m < -1
ì
2(1 - 2 m)
ï x1 + x2 = 3
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có: í
2
m
ïx x =
3
î 1 2
2
2

1
1
x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 >
9
3
3 + 29
3 - 29
Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12 m - 5 > 0 Û m >
Úm<
8
8
3 + 29
Kết hợp (*), ta suy ra m >
Ú m < -1
8
1 3
1
x - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực.
3
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .

Câu 17. Cho hàm số y =

· Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2)

Trang 5

matheducare.com

100 Khảo sát hàm số

MATHEDUCARE.COM

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m)
ì x + x = 2(m - 1)
ïì x = 3 - 2m
Khi đó ta có: í 1 2
Ûí 2
ïî x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2)
î x1 x2 = 3(m - 2)
Û 8m 2 + 16 m - 9 = 0 Û m =

-4 ± 34
.
4

Câu 18. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 .

· y ¢= 12 x 2 + 2mx – 3 . Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 .
ì
ï x1 = -4 x2
ï

m
ï
Khi đó: í x1 + x2 = 6
ï
1
ï
ïî x1 x2 = - 4
Câu hỏi tương tự:

Þm=±

9
2

a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; x1 + 2x2 = 3

ĐS: m = -105 .

Câu 19. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Û PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
ìa = (m + 2) ¹ 0
ïD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0
ìD ' = -m 2 - 2 m + 3 > 0
ì -3 < m < 1
ï

m
ï
ï
ï
Û íP =
>0
Û ím < 0
Û ím < 0
Û -3 < m < -2
3(m + 2)
ï
ïm + 2 < 0
ïîm < -2
î
ï S = -3 > 0
ïî
m+2
Câu 20. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 2

(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta có:
g( x A , y A ) = 3 x A - yA - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 x B - yB - 2 = 6 > 0

Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x - 2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + 2

Trang 6

matheducare.com


MATHEDUCARE.COM

100 Kho sỏt hm s

4
ỡ
x=
ù
y
=
x
3
2
ỡ
ù
ổ4 2ử
5
ớ
ị Mỗ ; ữ
Ta im M l nghim ca h: ớ
ố5 5ứ
ợ y = -2 x + 2
ùy = 2
ùợ
5

Cõu 21. Cho hm s y = x 3 + (1 2 m) x 2 + (2 m ) x + m + 2 (m l tham s) (1).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi
honh ca im cc tiu nh hn 1.

ã y Â= 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + 2 - m = g( x )
YCBT phng trỡnh y Â= 0 cú hai nghim phõn bit x1 , x2 tha món: x1 < x2 < 1 .
ỡDÂ = 4m 2 - m - 5 > 0
5
7
ù
ùg(1) = -5m + 7 > 0 < m < .
ớ
4
5
ù S = 2m - 1 < 1
ùợ 2
3
y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng 2 ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.

Cõu 22. Cho hm s

ã Ta cú

y  = 3 x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1)

Hm s (1) cú cc tr thỡ PT y  = 0 cú 2 nghim phõn bit
x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 cú 2 nhim phõn bit D = 1 > 0, "m
Khi ú: im cc i A(m - 1; 2 - 2m ) v im cc tiu B(m + 1; -2 - 2m )
ộ m = -3 + 2 2
Ta cú OA = 2OB m 2 + 6m + 1 = 0 ờ
.
ờở m = -3 - 2 2
Cõu 23. Cho hm s y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m 3 - m 2

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã y  = -3 x 2 + 6 mx + 3(1 - m 2 ) .

PT y Â= 0 cú D = 1 > 0, "m ị th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) .
Chia y cho y ta c:
Khi ú:

ổ1
mử
y = ỗ x - ữ y Â+ 2 x - m2 + m
ố3
3ứ

y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m 2 + m

PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l y = 2 x - m 2 + m .
Cõu 24. Cho hm s y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d: y = -4 x + 3 .
Trang 7

matheducare.com


100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hm s cú C, CT y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
1ử
mử
ổ1
ổ 2m
ử
ổ
Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ
ố

mử
mử
ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
mử
ổ 2m
ử ổ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l d: y = - ỗ
3ứ
ố 3
ứ ố
ng thng i qua cỏc im cc tr song song vi d: y = -4 x + 3
ỡ ổ 2m
ử

ù - ỗ 3 + 2 ữ = -4
ù ố
ứ
ớ
m = 3 (tha món)
ùổ 2 - m ử ạ 3
ùợỗố
3 ữứ
Cõu 25. Cho hm s y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d: x + 4 y 5 = 0 mt gúc 450 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hm s cú C, CT y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
1ử
mử
ổ1
ổ 2m
ử
ổ
Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ

ố
mử
mử
ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
mử
ổ 2m
ử ổ
+ 2ữ x + ỗ 2 - ữ
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
3ứ
ố 3
ứ ố
1
ổ 2m

ử
t k = - ỗ
+ 2 ữ . ng thng d: x + 4 y 5 = 0 cú h s gúc bng - .
4
ố 3
ứ
1
1
3
39
ộ
ộ
ộ
1
=
k
1
k
k
m
+
=
=
k+
ờ
ờ
ờ
5
4
4

10
4 ờ
ờ
ờ
Ta cú: tan 45o =
1
1
1
5
ờk = ờ k + = -1 + k
ờm = - 1
1- k
ờ
ờở
ờở
4
4
4
3
2
ở
1
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m = 2
Cõu 26. Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + m

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -4 .

ã
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho AOB = 120 0 .

Trang 8

matheducare.com


MATHEDUCARE.COM

100 Kho sỏt hm s

ộ x = -2 ị y = m + 4
ã Ta cú: y Â= 3 x 2 + 6 x ; y Â= 0 ờ
ởx = 0 ị y = m
Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(-2 ; m + 4)
uur
uur
ã
1
OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) . AOB = 120 0 thỡ cos AOB = 2
ỡ-4 < m < 0
1
m(m + 4)

= - m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) ớ 2
2
ợ3m + 24m + 44 = 0
m 2 ( 4 + (m + 4)2 )
ỡ-4 < m < 0
-12 + 2 3
ù
ớ

-12 2 3 m =
3
ùợ m =
3
Cõu 27. Cho hm s y = x 3 3mx 2 + 3(m2 1) x m 3

(Cm)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -2 .
2) Chng minh rng (Cm) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.
ộx = m +1
ã y Â= 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) ; y Â= 0 ờ
ở x = m -1
ỡ x = -1 + t
im cc i M (m 1;2 3m) chy trờn ng thng c nh: ớ
ợ y = 2 - 3t
ỡx = 1+ t
im cc tiu N (m + 1; -2 m) chy trờn ng thng c nh: ớ
ợ y = -2 - 3t
1 4
3
(1)
x - mx 2 +
2
2
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3 .
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i.

Cõu 28. Cho hm s y =

ộx = 0
ã y Â= 2 x3 - 2mx = 2 x ( x 2 - m) . y  = 0 ờ 2
ởx = m
th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i PT y Â= 0 cú 1 nghim m Ê 0
Cõu 29. Cho hm s y = f ( x) = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5

(Cm ) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th (Cm ) ca hm s cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1
tam giỏc vuụng cõn.
ộx = 0
ã Ta cú f Â( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 ờ 2
ởx = 2 - m
Hm s cú C, CT PT f Â( x ) = 0 cú 3 nghim phõn bit m < 2 (*)

Khi ú to cỏc im cc tr l: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
uur
uuur
ị AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 )
Do DABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi DABC vuụng ti A
3
AB.AC = 0 (m - 2 ) = -1 m = 1 (tho (*))
Trang 9

matheducare.com


100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

Cõu 30. Cho hm s y = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5

(C m )

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
ộx = 0
ã Ta cú f Â( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 ờ 2
ởx = 2 - m
Hm s cú C, CT PT f Â( x ) = 0 cú 3 nghim phõn bit m < 2

(*)

Khi ú to cỏc im cc tr l: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
uur
uuur
ị AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 )
1
Do DABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi àA = 60 0 cos A =
2
uuur uuur
AB. AC
1
uuur uuur = m = 2 - 3 3 .
AB . AC 2
Cõu hi tng t i vi hm s: y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2 m - 1
Cõu 31. Cho hm s y = x 4 + 2 mx 2 + m 2 + m cú th (Cm) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú mt gúc bng 1200 .
ộx = 0
ã Ta cú y = 4 x 3 + 4 mx ; y = 0 4 x( x 2 + m) = 0 ờ
ờở x = - m

(m < 0)

Khi ú cỏc im cc tr l: A(0; m 2 + m ), B ( - m ; m ) , C ( - - m ; m )
uur
uuur
à
AB = ( - m ; - m 2 ) ; AC = (- - m ; -m 2 ) . DABC cõn ti A nờn gúc 120o chớnh l A .
uur uuur
à
1
1
1
AB. AC
- -m . -m + m4
o
A = 120 cos A = - uur uuur = -
=4
2
2
2
m -m
AB . AC

ộm = 0
(loaùi)
1
4
4
4
1

= - ị 2 m + 2 m = m - m 3m + m = 0 ờ
ờm = - 3
2
m4 - m
3
ởờ
1
Vy m = .
3
3
m + m4

Cõu 32. Cho hm s y = x 4 - 2 mx 2 + m - 1 cú th (Cm) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1.
ộx = 0
ã Ta cú y Â= 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m ) = 0 ờ 2
ởx = m
Hm s ó cho cú ba im cc tr PT y Â= 0 cú ba nghim phõn bit v y  i du khi
x i qua cỏc nghim ú m > 0 . Khi ú ba im cc tr ca th (Cm) l:

A(0; m - 1), B ( - m ; - m 2 + m - 1) , C ( m ; - m 2 + m - 1)
Trang 10

matheducare.com


MATHEDUCARE.COM

100 Khảo sát hàm số

1
y - y A . xC - x B = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m
2 B
ém = 1
(m 4 + m)2 m
AB. AC.BC
3
=1Û
= 1 Û m - 2m + 1 = 0 Û ê
R=
2
êm = 5 - 1
4SV ABC
4m m
ë
2
Câu hỏi tương tự:
SV ABC =

a) y = x 4 - 2mx 2 + 1

ĐS: m = 1, m =

-1 + 5
2

Câu 33. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
éx = 0
· Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 0 Û ê
2
ë g ( x) = x - m = 0
Hàm số có 3 cực trị Û y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û D g = m > 0 Û m > 0 (*)
Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0 có 3 nghiệm x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt

cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2m + m 4 ); B ( m ; m 4 - m 2 + 2m ) ; C ( - m ; m 4 - m2 + 2m ) là 3
điểm cực trị của (Cm) .
Ta có: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m Þ DABC cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC Þ M (0; m 4 - m 2 + 2 m) Þ AM = m 2 = m 2
Vì D ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
5

SD ABC =

1
1
AM .BC = .m 2 . 4m = 4 Û m 2 = 4 Û m 5 = 16 Û m = 5 16

2
2

Vậy m = 5 16 .
Câu hỏi tương tự:
a) y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 , S = 32

ĐS: m = ±2

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO
3

2

Câu 34. Cho hàm số y = x + 3x + mx + 1 (m là tham số)

(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x 3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 Û x ( x 2 + 3 x + m) = 0
9
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m < , m ¹ 0
4
Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2 + 3 x + m = 0 Þ x B + xC = -3; x B . xC = m
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3 x B2 + 6 xB + m và tại C là k2 = 3 xC2 + 6 xC + m
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 4m 2 - 9m + 1 = 0

Û m=

Trang 11

9 - 65
9 + 65
Ú m=
8
8

matheducare.com


www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

MATHEDUCARE.COM

Câu 35. Cho hàm số y = x 3 – 3 x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 – (m + 3) x – m – 2 = 0
é x = -1 ( y = 3)
Û ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x - x - m - 2 = 0
9

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m > - , m ¹ 0
4
Khi đó: xN , xP là các nghiệm của PT: x 2 - x - m - 2 = 0 Þ x N + x P = 1; x N . x P = - m - 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 = 3 x N2 - 3 và tại P là k2 = 3 x P2 - 3
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 9m 2 + 18m + 1 = 0

Û m=

-3 + 2 2
-3 - 2 2
Ú m=
3
3

Câu 36. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4

(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
· PT đường thẳng (d): y = k ( x - 2)
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 3 x 2 + 4 = k ( x - 2)

é x = 2 = xA
Û ( x - 2)( x 2 - x - 2 - k ) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x - x - 2 - k = 0
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
ìD > 0
9

Û í
(*)
Û- 4
î f (2) ¹ 0
ì x + xN = 1
+ Theo định lí Viet ta có: í M
î xM xN = - k - 2
+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau Û y ¢( x ).y ¢( x ) = -1
M

N

Û (3 xM2 - 6 xM )(3 xN2 - 6 xN ) = -1 Û 9k 2 + 18k + 1 = 0 Û k =

-3 ± 2 2
3

(thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số y = x 3 - 3 x (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
éx +1 = 0
· PT hoành độ giao điểm ( x + 1)( x 2 - x - 2 - m ) = 0 (1) Û ê 2
ëx - x - 2 - m = 0
(1) luôn có 1 nghiệm x = -1 ( y = 2 ) Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).

Trang 12

(2)

matheducare.com


Trn S Tựng

100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

9
ỡ
ùm > (d) ct (C) ti 3 im phõn bit (2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 1 ớ
4 (*)
ùợm ạ 0
Tip tuyn ti N, P vuụng gúc y '( xN ). y '( xP ) = -1 m =

-3 2 2
(tho (*))
3

Cõu 38. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) ( m l tham s)

(1).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh
dng.
ã THS (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng, ta phi cú:
ỡ(1) coự 2 cửùc trũ
ùù y .y < 0
(*)
ớ Cẹ >CT
>
0,
0
x
x
CT
ù Cẹ
ợùa.y(0) < 0
Trong ú: + y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) ị y = 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1)
+ Dy  = m 2 - m 2 + 1 = 0 > 0, "m
ộ x = m - 1 = xCẹ
+ y Â= 0 ờ
ở x = m + 1 = xCT
ỡm - 1 > 0
ùù m + 1 > 0
3 < m < 1+ 2
Suy ra: (*) ớ 2
2
2
(
1)(
3)(
2

1)
0
<
m
m
m
m
ù
2
ợù-(m - 1) < 0
1 3
2
x - mx 2 - x + m + cú th (Cm ) .
3
3
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm ) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú tng bỡnh phng cỏc honh ln
hn 15.

Cõu 39. Cho hm s y =

1 3
2
x - mx 2 - x + m + = 0 (*) cú 3 nghim phõn bit tha x12 + x22 + x32 > 15 .
3
3
ộx = 1
Ta cú: (*) ( x - 1)( x 2 + (1 - 3m ) x - 2 - 3m ) = 0 ờ
2
ở g( x ) = x + (1 - 3m) x - 2 - 3m = 0

ã YCBT

Do ú: YCBT g( x ) = 0 cú 2 nghim x1 , x2 phõn bit khỏc 1 v tha x12 + x22 > 14 .
m >1
Cõu hi tng t i vi hm s: y = x3 - 3mx 2 - 3x + 3m + 2
Cõu 40. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m , trong ú m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi m = 0 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s ó cho ct trc honh ti 3 im
phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.
ã th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng
Phng trỡnh x 3 - 3 x 2 - 9 x + m = 0 cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng
Trang 13

matheducare.com


100 Khảo sát hàm số

MATHEDUCARE.COM

Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x = - m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Û Đường thẳng y = - m đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
Û -m = -11 Û m = 11.
Câu 41. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 .
2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

· Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 = 0
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m

(1)

Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1)
é
êm = 1
ê
-1 + 15
Þ -2m 3 + 9m - 7 = 0 Û ê m =
ê
2
ê
-1 - 15
êm =
ë
2
-1 - 15
là giá trị cần tìm.
2

Thử lại ta có m =

Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1 .
2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.
· Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:

x 3 - 3mx 2 - mx = x + 2 Û g ( x ) = x3 - 3mx 2 - ( m + 1) x - 2 = 0
Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp
số nhân. Khi đó ta có: g ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 )

ì x1 + x2 + x3 = 3m
ï
Suy ra: í x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = - m - 1
ïx x x = 2
î 1 2 3
Vì x1 x3 = x22 Þ x23 = 2 Þ x2 = 3 2 nên ta có: -m - 1 = 4 + 3 2.3m Û m = Đk đủ: Với m = Vậy m = -

5
3 2 +1
3

5
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
3 2 +1
3

5
3 2 +1
3

Câu 43. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:

x 3 + 2 mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4 Û x( x 2 + 2 mx + m + 2) = 0
Trang 14

matheducare.com


Trần Sĩ Tùng

MATHEDUCARE.COM

100 Khảo sát hàm số

é x = 0 ( y = 4)
Ûê
2
ë g( x ) = x + 2 mx + m + 2 = 0 (1)
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
2
ì /
ì m £ -1 Ú m ³ 2
(*)
Û íD = m - m - 2 > 0 Û í
îm ¹ -2
î g(0) = m + 2 ¹ 0
Khi đó: xB + xC = -2m; xB . xC = m + 2 .
Mặt khác: d (K , d ) =
SDKBC = 8 2 Û

1- 3 + 4
2

= 2 . Do đó:

1
BC.d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û BC 2 = 256
2

Û ( x B - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 Û ( x B - xC )2 + (( x B + 4) - ( xC + 4))2 = 256
Û 2( xB - xC )2 = 256 Û ( x B + xC )2 - 4 x B xC = 128
Û 4 m 2 - 4(m + 2) = 128 Û m 2 - m - 34 = 0 Û m =
Vậy m =

1 ± 137
(thỏa (*)).
2

1 ± 137
.
2

Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k (k Î ¡ ) . Tìm k để đường
thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .
· Ta có: dk : y = kx + k Û kx - y + k = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
x 3 - 3 x 2 + 4 = kx + k Û ( x + 1) éë( x - 2)2 - k ùû = 0 Û x = -1 hoặc ( x - 2)2 = k
ìk > 0

dk cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û í
îk ¹ 9

Khi đó các giao điểm là A(-1; 0), B ( 2 - k ;3k - k k ) , C ( 2 + k ;3k + k k ) .
BC = 2 k 1 + k 2 , d (O, BC ) = d (O, dk ) =

k
1+ k2

1
k
.2 k . 1 + k 2 = 1 Û k k = 1 Û k 3 = 1 Û k = 1
SDOBC = .
2 1+ k2
Câu 45. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y = k ( x - 1) .

2.

PT hoành độ giao điểm của (C) và D: ( x - 1)( x 2 - 2 x - 2 - k ) = 0

D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT x 2 - 2 x - 2 - k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
Trang 15

matheducare.com

100 Kho sỏt hm s

k > -3
1
SDOAB = d (O, D). AB = k
2

MATHEDUCARE.COM
k +3 ị k

Trn S Tựng

ộ k = -1
k +3 = 2 ờ
ở k = -1 3

Vy cú 3 ng thng tho YCBT: y = - x + 1; y = ( -1 3 ) ( x - 1) .
Cõu 46. Cho hm s y = x 3 + mx + 2

cú th (Cm)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 3.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht.
ã Phng trỡnh honh giao im ca (Cm) vi trc honh:
2
x 3 + mx + 2 = 0 m = - x 2 - ( x ạ 0)
x
Xột hm s: f ( x ) = - x 2 Ta cú bng bin thiờn:

2

2 -2 x 3 + 2
ị f '( x ) = -2 x +
=
x
x2
x2
-Ơ

f Â( x)
f (x)

+Ơ

+Ơ

-Ơ
-Ơ
-Ơ
th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht m > -3 .
Cõu 47. Cho hm s y = 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2

cú th (Cm)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht.

ã 1- 3 < m < 1+ 3
Cõu 48. Cho hm s y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 cú th l (C).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) nh m ng thng (d ) : y = mx - 2m - 4 ct th (C) ti ba im phõn bit.

ã PT honh giao im ca (C) v (d): x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 = mx - 2m - 4
ộx = 2
( x - 2)( x 2 - 4 x + 1 - m ) = 0 ờ
2
ở g( x ) = x - 4 x + 1 - m = 0
(d) ct (C) ti ba im phõn bit PT g( x ) = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc 2 m > -3
Cõu 49. Cho hm s y = x 3 3 x 2 + 1 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm m ng thng (D): y = (2 m - 1) x 4 m 1 ct th (C) ti ỳng hai im phõn
bit.

ã Phng trỡnh honh giao ca (C) v (D): x 3 3 x 2 (2 m 1) x + 4 m + 2 = 0
ộx = 2
( x - 2)( x 2 x 2 m 1) = 0 ờ
2
ở f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 (1)
ộ 2 ạ x1 = x2
(D) ct (C) ti ỳng 2 im phõn bit (1) phi cú nghim x1 , x2 tha món: ờ
ở x1 = 2 ạ x2
Trang 16

matheducare.com


Trn S Tựng

MATHEDUCARE.COM

100 Kho sỏt hm s

ộ ỡD = 0
ộ ỡ8m + 5 = 0
ộ
5
ờ ùớ b
ờ ùớ 1
ờm = - 8
ờ ùờù ạ 2
ạ2
ờ ợ 2a
ờợ 2
ờ
ờm = 1
ờỡD > 0
ờ ỡ8m + 5 > 0
ở
2
ờ ớợ f (2) = 0
ờ ớợ-2 m + 1 = 0
ở
ở
5
1
Vy: m = - ; m = .
8
2
Cõu 50. Cho hm s y = x3 - 3m 2 x + 2m cú th (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit.
ã (Cm) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit thỡ (Cm) phi cú 2 im cc tr
ị y  = 0 cú 2 nghim phõn bit 3x 2 - 3m 2 = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 0
Khi ú y ' = 0 x = m .
(Cm) ct Ox ti ỳng 2 im phõn bit yC = 0 hoc yCT = 0
Ta cú:
+ y (- m) = 0 2m3 + 2m = 0 m = 0 (loi)
+ y (m) = 0 -2m3 + 2m = 0 m = 0 m = 1
Vy: m = 1

( )

Cõu 51. Cho hm s y = x 4 - mx 2 + m - 1 cú th l Cm

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 8 .
2) nh m th (Cm ) ct trc trc honh ti bn im phõn bit.
ỡm > 1
ã ớ
ợm ạ 2

( )

Cõu 52. Cho hm s y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 cú th l Cm .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho khi m = 0 .
2) nh m th (Cm ) ct trc honh ti 4 im phõn bit cú honh lp thnh cp s
cng.
ã Xột phng trỡnh honh giao im: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0

(1)

t t = x , t 0 thỡ (1) tr thnh: f (t ) = t - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 .
2

2

(Cm) ct Ox ti 4 im phõn bit thỡ f (t ) = 0 phi cú 2 nghim dng phõn bit
ỡD ' = m 2 > 0
1
ỡ
ù
ùm > ớ S = 2 ( m + 1) > 0 ớ
2 (*)
ù P = 2m + 1 > 0
ùợm ạ 0
ợ
Vi (*), gi t1 < t2 l 2 nghim ca f (t ) = 0 , khi ú honh giao im ca (Cm) vi Ox ln
lt l: x1 = - t2 ; x2 = - t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
x1 , x2 , x3 , x4 lp thnh cp s cng x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 t2 = 9t1
ộm = 4
ộ 5m = 4 m + 4
m + 1 + m = 9 ( m + 1 - m ) 5 m = 4 ( m + 1) ờ
ờ
ờm = - 4
=
+
m
m
5

4
4
ở
9
ở
Trang 17

matheducare.com


www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s

MATHEDUCARE.COM

Trn S Tựng

4ỹ
ỡ
Vy m = ớ 4; - ý
9ỵ
ợ
Cõu hi tng t i vi hm s y = - x 4 + 2(m + 2) x 2 - 2 m - 3

S: m = 3, m = -

13
.
9

Cõu 53. Cho hm s y = x 4 (3m + 2) x 2 + 3m cú th l (Cm), m l tham s.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m ng thng y = -1 ct th (Cm) ti 4 im phõn bit u cú honh nh
hn 2.
ã Phng trỡnh honh giao im ca (Cm) v ng thng y = -1 :
ộ x = 1
x 4 (3m + 2) x 2 + 3m = -1 x 4 (3m + 2) x 2 + 3m + 1 = 0 ờ 2
ở x = 3m + 1 (*)
ng thng y = -1 ct (Cm) ti 4 im phõn bit cú honh nh hn 2 khi v ch khi
phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit khỏc 1 v nh hn 2
ỡ 1
ỡù0 < 3m + 1 < 4
ù- < m < 1
ớ
ớ 3
ùợ3m + 1 ạ 1
ùm ạ 0
ợ
Cõu 54. Cho hm s y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 cú th l (Cm), m l tham s.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti 3 im phõn bit u cú honh nh hn 3.
ã Xột phng trỡnh honh giao im: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0
(1)
t t = x 2 , t 0 thỡ (1) tr thnh: f (t ) = t 2 - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 .
(Cm) ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh nh hn 3
ộ 0 = t1 < t2 < 3
f ( t ) cú 2 nghim phõn bit t1 , t2 sao cho: ờ
ở 0 < t1 < 3 Ê t2

ỡD ' = m 2 > 0
2
ỡD ' = m > 0
ù
ù
1
ù f ( 3) = 4 - 4m Ê 0
ớ f (0) = 2m + 1 = 0 ớ
m = - m 1
2
ù S = 2 ( m + 1) < 3 ù S = 2 ( m + 1) > 0
ợ
ù P = 2m + 1 > 0
ợ
1
Vy: m = - m 1 .
2
Cõu 55. Cho hm s y = x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m (1), vi m l tham s.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 ..
2) Chng minh th hm s (1) luụn ct trc Ox ti ớt nht hai im phõn bit, vi mi
m < 0.
ã Phng trỡnh honh giao im ca th (1) v trc Ox:
x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m = 0 (1)
t t = x 2 ( t 0 ) , (1) tr thnh : t 2 - 2m 2t + m4 + 2m = 0
(2)
Ta cú : D ' = -2m > 0 v S = 2m2 > 0 vi mi m > 0 . Nờn (2) cú nghim dng
ị (1) cú ớt nht 2 nghim phõn bit ị th hm s (1) luụn ct trc Ox ti ớt nht hai
im phõn bit.
Trang 18

matheducare.com


www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng

MATHEDUCARE.COM

100 Khảo sát hàm số

2x +1
có đồ thị là (C).
x+2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
2x +1
· PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
= -x + m
x+2
ì x ¹ -2
Û í
2
î f ( x ) = x + (4 - m ) x + 1 - 2 m = 0 (1)

Câu 56. Cho hàm số y =

Do (1) có D = m 2 + 1 > 0 và f (-2) = (-2)2 + (4 - m).(-2) + 1 - 2 m = -3 ¹ 0, "m
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.

Ta có: y A = m - x A ; yB = m - xB nên AB 2 = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 = 2(m 2 + 12)
Suy ra AB ngắn nhất Û AB 2 nhỏ nhất Û m = 0 . Khi đó: AB = 24 .
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
x -1
1
x-2
a) y =
ĐS: m = 2
b) y =
ĐS: m =
x -1
2x
2
x-3
.
x +1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (-1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
· Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + 1

Câu 57. Cho hàm số y =

x -3
= kx + k + 1 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 .
x +1
Û f ( x ) = kx 2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
ìk ¹ 0
ï
Û íD = -4k > 0 Û k < 0

ï f (-1) = 4 ¹ 0
î
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û

Mặt khác: xM + xN = -2 = 2 xI Û I là trung điểm MN với "k < 0 .
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx + k + 1 với k < 0 .
2x + 4
(C).
1- x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho MN = 3 10 .
· Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x - 1) + 1.
Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt

Câu 58. Cho hàm số y =

sao cho ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 90
2

ì 2x + 4
= k ( x - 1) + 1
ï
í -x +1
ïî y = k ( x - 1) + 1

2

(a)

ìkx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0
(I). Ta có: ( I ) Û í
y = k ( x - 1) + 1
î
Trang 19

matheducare.com


www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số

MATHEDUCARE.COM

Trần Sĩ Tùng

(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT kx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0 (b) có hai nghiệm phân biệt.
3
Û k ¹ 0, k < .
8
2
2
Ta biến đổi (a) trở thành: (1 + k 2 ) ( x2 - x1 ) = 90 Û (1 + k 2 ) éë( x2 + x1 ) - 4 x2 x1 ùû = 90 (c)
2k - 3
k +3
Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 + x2 =
, x1 x2 =
, thế vào (c) ta có phương
k
k

8k 3 + 27k 2 + 8k - 3 = 0 Û (k + 3)(8k 2 + 3k - 1) = 0
trình:
-3 + 41
-3 - 41
; k=
.
16
16
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Û k = -3; k =

2x - 2
(C).
x +1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

Câu 59. Cho hàm số y =

AB = 5 .
2x - 2
= 2 x + m Û 2 x 2 + mx + m + 2 = 0 ( x ¹ -1)
x +1
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1

· PT hoành độ giao điểm:

(1)

Û m2 - 8m - 16 > 0

(2)
m
ì
ïï x1 + x2 = - 2
. Gọi A ( x1; 2 x1 + m ) , B ( x2 ; 2 x2 + m ) .
Khi đó ta có: í
+
2
m
ï x1 x2 =
ïî
2
AB2 = 5 Û ( x1 - x2 )2 + 4( x1 - x2 )2 = 5 Û ( x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 1 Û m2 - 8m - 20 = 0
é m = 10
Ûê
ë m = -2
Vậy: m = 10; m = -2 .

(thoả (2))

x -1
(1).
x+m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại

Câu 60. Cho hàm số y =

hai điểm A và B sao cho AB = 2 2 .

· PT hoành độ giao điểm:

ì x ¹ -m
x -1
= x+2 Û í 2
x+m
î x + (m + 1) x + 2 m + 1 = 0

(*)

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m
ì 2
ì
ìD > 0
(**)
Ûí
Û ím - 6 m - 3 > 0 Û ím < 3 - 2 3 Ú m > 3 + 2 3
î x ¹ -m
îm ¹ -1
îm ¹ -1
ì x + x = -(m + 1)
Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm của (*), ta có í 1 2
î x1. x2 = 2m + 1
Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1 + 2), B( x2 ; x2 + 2) .
Trang 20

matheducare.com


www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

MATHEDUCARE.COM

100 Khảo sát hàm số

Suy ra AB 2 = 2( x1 - x2 )2 = 2 é( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 ù = 2(m2 - 6 m - 3)
ë
û
é m = -1
Theo giả thiết ta được 2(m 2 - 6 m - 3) = 8 Û m 2 - 6m - 7 = 0 Û ê
ëm = 7
Kết hợp với điều kiện (**) ta được m = 7 là giá trị cần tìm.
2x - 1
(C).
x -1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vuông tại O.

Câu 61. Cho hàm số y =

· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x 2 + (m - 3) x + 1 - m = 0,

x ¹ 1 (*)

(*) có D = m 2 - 2 m + 5 > 0, "m Î R và (*) không có nghiệm x = 1.
ì x + xB = 3 - m
Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A , xB . Theo định lí Viét: í A
î x A .xB = 1 - m

Khi đó: A ( x A ; x A + m ) , B ( x B ; x B + m )
uur uur
DOAB vuông tại O thì OA.OB = 0 Û x A xB + ( x A + m )( xB + m ) = 0
Û 2 x A x B + m( x A + x B ) + m 2 = 0 Û m = -2

Vậy: m = –2.
x+2
.
x-2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
ì x - yA + m = 0
của (C) và thỏa í A
.
î x B - yB + m = 0

Câu 62. Cho hàm số: y =

ì x - yA + m = 0
ìy = xA + m
· Ta có: í A
Ûí A
Þ A, B Î (d ) : y = x + m
î x B - yB + m = 0
î yB = x B + m
Þ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x+2
Û f ( x ) = x 2 + (m - 3) x - (2 m + 2) = 0 ( x ¹ 2)
(*).
x+m =

x-2
(*) có D = m2 + 2m + 17 > 0, "m Þ (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Và 1. f (2) = -4 < 0 Þ x A < 2 < x B hoặc xB < 2 < x A (đpcm).

KSHS 04: TIẾP TUYẾN
Câu 63. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (1)

(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0
1
góc a , biết cos a =
.
26
Trang 21

matheducare.com


www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số

MATHEDUCARE.COM

r
· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; -1)
r
Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) .

Trần Sĩ Tùng

é
3
r r
k=
n1.n2
ê
1
k -1
2
Ta có cos a = r r Û
=
Û 12 k 2 - 26 k + 12 = 0 Û ê
2
n1 . n2
26
êk = 2
2 k +1
ë
3
YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
3
é 2
é ¢ 3
+
+
=
3
2
(

1
2
)
2
x
m
x
m
y
=
ê
ê
é D/ 1 ³ 0
é8m 2 - 2m - 1 ³ 0
2
2
Ûê
Ûê /
Ûê 2
ê
ê3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 2
ê y ¢= 2
ëê D 2 ³ 0
ëê 4m - m - 3 ³ 0
êë
ë
3
3
1
1

é
êm £ - 4 ; m ³ 2
1
1
Û ê
Û m £ - hoặc m ³
4
2
êm £ - 3 ; m ³ 1
êë
4
Câu 64. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

· Giả sử A(a; a3 - 3a2 + 1), B(b; b3 - 3b2 + 1) thuộc (C), với a ¹ b .
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:
y ¢(a) = y ¢(b) Û 3a2 - 6a = 3b2 - 6 b Û a 2 - b2 - 2(a - b) = 0 Û (a - b)(a + b - 2) = 0
Û a + b - 2 = 0 Û b = 2 - a . Vì a ¹ b nên a ¹ 2 - a Û a ¹ 1
Ta có: AB = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + 1 - a3 + 3a2 - 1)2 = (b - a)2 + (b3 - a3 - 3(b2 - a2 ))2
= (b - a)2 + éë(b - a)3 + 3ab(b - a) - 3(b - a)(b + a) ùû
= (b - a)2 + (b - a)2 éë(b - a)2 + 3ab - 3.2 ùû

2

2

2

= (b - a)2 + (b - a)2 éë(b + a)2 - ab - 6 ùû = (b - a)2 + (b - a)2 (-2 - ab)2
AB 2 = (b - a)2 éë1 + (-2 - ab)2 ùû = (2 - 2a)2 éë1 + (a2 - 2a - 2)2 ùû
2ù
é
= 4(a - 1)2 ëê1 + éë(a - 1)2 - 3ùû ûú = 4(a - 1)2 éë(a - 1)4 - 6(a - 1)2 + 10 ùû

= 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2
Mà AB = 4 2 nên 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32
Û (a - 1)6 - 6(a - 1)4 + 10(a - 1)2 - 8 = 0

(*)

Đặt t = (a - 1)2 , t > 0 . Khi đó (*) trở thành:
é a = 3 Þ b = -1
t 3 - 6t 2 + 10t - 8 = 0 Û (t - 4)(t 2 - 2t + 2) = 0 Û t = 4 Þ (a - 1)2 = 4 Û ê
ë a = -1 Þ b = 3
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(-1; -3) .

Trang 22

matheducare.com


www.VNMATH.com
Trn S Tựng

MATHEDUCARE.COM

100 Kho sỏt hm s

y = 3 x - x 3 (C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d): y = - x cỏc im m t ú k c ỳng 2 tip tuyn phõn bit
vi th (C).
ã Cỏc im cn tỡm l: A(2; 2) v B(2; 2).

Cõu 65. Cho hm s

Cõu 66. Cho hm s y = - x 3 + 3 x 2 - 2

(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn ng thng (d): y = 2 cỏc im m t ú k c 3 tip tuyn phõn bit vi
th (C).
ã Gi M ( m;2) ẻ ( d ) .
PT ng thng D i qua im M v cú h s gúc k cú dng : y = k ( x - m ) + 2
2
ỡ 3
(*).
D l tip tuyn ca (C) h PT sau cú nghim ùớ- x 2+ 3 x - 2 = k ( x - m) + 2 (1)
(2)
ùợ-3 x + 6 x = k

Thay (2) v (1) ta c: 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 4 = 0 ( x - 2) ộở2 x 2 - (3m - 1) x + 2 ựỷ = 0
ộx = 2

ờ

2

ở f ( x ) = 2 x - (3m - 1) x + 2 = 0 (3)

T M k c 3 tip tuyn n th (C) h (*) cú 3 nghim x phõn bit
5
ỡ
ỡD > 0
ù m < -1 hoặc m >
(3) cú hai nghim phõn bit khỏc 2 ớ
ớ
3 .
ợ f (2) ạ 0 ù m ạ 2
ợ
5
ỡ
ùm < -1 hoặc m >
Vy t cỏc im M(m; 2) ẻ (d): y = 2 vi ớ
3 cú th k c 3 tip tuyn
ùợm ạ 2
n (C).
1 3
mx + (m - 1) x 2 + (4 - 3m) x + 1 cú th l (Cm).
3
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho trờn th (Cm) tn ti mt im duy nht cú honh õm m
tip tuyn ti ú vuụng gúc vi ng thng (d): x + 2 y - 3 = 0 .

Cõu 67. Cho hm s y = f ( x ) =

ã (d) cú h s gúc -

1
ị tip tuyn cú h s gúc k = 2 . Gi x l honh tip im thỡ:
2

f '( x ) = 2 mx 2 + 2(m - 1) x + (4 - 3m) = 2 mx 2 + 2(m - 1) x + 2 - 3m = 0
YCBT (1) cú ỳng mt nghim õm.
+ Nu m = 0 thỡ (1) -2 x = -2 x = 1 (loi)
2 - 3m
+ Nu m ạ 0 thỡ d thy phng trỡnh (1) cú 2 nghim l x = 1 hay x=
m
ộm < 0
2 - 3m
Do ú (1) cú mt nghim õm thỡ
<0ờ
ờm > 2
m
ờở
3
Vy m < 0 hay m >

(1)

2
.
3
Trang 23

matheducare.com

www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số
Câu 68. Cho hàm số

MATHEDUCARE.COM
2

y = ( x + 1) . ( x - 1)

Trần Sĩ Tùng

2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

· Ta có y = x 4 - 2 x 2 + 1 .
Phương trình đường thẳng d đi qua A(a; 0) và có hệ số góc k : y = k ( x - a)
ìï x 4 - 2 x 2 + 1 = k ( x - a)
d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: ( I ) í
4 x3 - 4 x = k
ïî
ìï4 x ( x 2 - 1) = k
ìk = 0
Ta có: ( I ) Û í 2
hoặc í
( B)
( A)
2
ïî f ( x ) = 3 x - 4 ax + 1 = 0 (1)

îx -1 = 0
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .
+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải
có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ¹ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân
2
ì ¢
3
3
biệt khác ±1 Û íD = 4 a - 3 > 0 Û -1 ¹ a < hoÆc 1 ¹ a >
2
2
î f (±1) ¹ 0

Câu 69. Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 - 2 x 2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

· Ta có: f '( x ) = 4 x 3 - 4 x
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f '(a) = 4 a3 - 4 a, kB = f '(b) = 4b3 - 4 b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y = f ¢(a)( x - a) + f (a) Û y = f ¢(a) x + f (a) - af ¢(a)
y = f ¢(b)( x - b) + f (b) Û y = f ¢(b) x + f (b) - bf ¢(b)
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k A = kB Û 4 a 3 - 4 a = 4b 3 - 4 b Û (a - b)(a2 + ab + b2 - 1) = 0

(1)

(2)

Vì A và B phân biệt nên a ¹ b , do đó (1) Û a2 + ab + b 2 - 1 = 0
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:
ìï a2 + ab + b2 - 1 = 0
ïì a2 + ab + b2 - 1 = 0
Ûí
( a ¹ b) Û í
4
2
4
2
ïî f (a) - af ¢(a) = f (b) - bf ¢(b)
îï -3a + 2 a = -3b + 2 b

Giải hệ này ta được nghiệm là (a; b) = (-1;1) hoặc (a; b) = (1; -1) , hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (-1; -1) và (1; -1)
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:
ìa2 + ab + b 2 - 1 = 0
í
îa ¹ ±1; a ¹ b
2x
(C).
x+2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Câu 70. Cho hàm số y =

Trang 24

matheducare.com