Tổng hợp lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn toán (blogtoan)

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC

I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên
quan
1.Bảng các đạo hàm
x n ′ = n.x n −1
u n ′ = n.u n −1.u ′

( )

( )

( x ) ′ = 2 1x

( u ) ′ = 2u′u

1
 1 ′
 ÷ =− 2
x
x
( x ) ′ = 1 , c′ = 0 ,

u′
 1 ′
 ÷ =− 2
u
u

( u ± v ) ′ = u ′ ± v′

+) Nếu ∆ > 0 ( ∆′ > 0 ) phương trình
y = 0 có hai nghiệm phân biệt
− b ± ∆ − b′ ± ∆ ′
, sắp xếp hai
=
2a
a
nghiệm x1 < x 2
x
−∞
x1
x2
x=

( s inx ) ′ = cos x

 u ′ u ′v − uv′
 ÷=
v2
v
( sin u ) ′ = u′.cos u

( cos x ) ′ = − s inx

( cos u ) ′ = −u′.sin u

1
u′

( tan x ) ′ = 2
( tan u ) ′ = 2
cos x
cos u
1
u′
( cot x ) = − 2
( cot u ) ′ = − 2
sin x
sin u
2. Xét dấu biểu thức.
• Định lý về dấu của nhị thức
bậc nhất y = f ( x ) =ax + b ( a ≠ 0 )
x
y

−∞
af ( x ) < 0

−

b
a
0

+∞
af ( x ) > 0

• Định lý về dấu của tam thức bậc
2

hai y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )
∆
b
2

∆ = b 2 − 4ac  ∆′ = ( b′ ) − ac = , b′ = ÷
4
2

+) Nếu ∆ < 0 ( ∆′ < 0 ) phương trình
y = 0 vô nghiệm.

/>
af ( x ) > 0

+) Nếu ∆ = 0 ( ∆′ = 0 ) phương trình y=0
b
có nghiệm kép x1,2 = −
2a
x
b
−∞
−
+∞
2a
y
af ( x ) > 0
af ( x ) > 0
0

( k.u ) ′ = k.u′
( uv ) ′ = u′v + uv′

+∞

−∞

x
y

af ( x ) > 0

y

0

af ( x ) < 0

0

•

Định lý vi-et: Khi phương trình
bậc hai
2
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm
b

 x1 + x 2 = − a
x1 ; x 2 ta có 

 x .x = c
 1 2 a
3. Phương trình tiếp tuyến ( PT 3 )
• PT 3 với đồ thị hàm số y = f ( x )
tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) có hệ số góc là
f ′( x0 )

PT 3 với đồ thị hàm số y = f ( x )
tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) có dạng :
•

y = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + y0 , y0 = f ( x 0 )

M được gọi là tiếp điểm
x 0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm
y 0 được gọi là tung độ của tiếp điểm

/>
+∞
af ( x ) > 0


Lê Trung Kiên
f ' ( x 0 ) được gọi là hệ số góc của tiếp
tuyến.
• Nếu PT 3 song song với đường
thẳng y = ax + b thì f ′ ( x 0 ) = a
•

Nếu PT 3 vuông góc với đường

1
thẳng y = ax + b thì f ′ ( x 0 ) = −
a
• Nếu PT 3 tạo với trục 0x một góc
α thì f ′ ( x 0 ) = ± tan α
• Nếu PT 3 cắt hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác vuông cân thì
f ′ ( x 0 ) = ±1
4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số
• Tính đạo hàn f ′ ( x ) , tìm các

điểm x i ( i = 1, 2...n ) mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
• Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
• Nêu các kết luận về sự đồng biến
nghịch biến của hàm số
5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số
• Tính f ′ ( x ) , tìm các

điểm x i ( i = 1, 2...n ) mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
• Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên
• Từ bảng biến thiên suy ra các
điểm cực trị của hàm số.
6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
• Tìm tập xác định

• Tính f ′ ( x ) , giải phương trình
f ′ ( x ) = 0 và kí hiệu x i ( i = 1, 2...n ) là các
nghiệm của nó.
• Tính f ′′ ( x ) và f ′′ ( x i )
• Nếu f ′′ ( x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm
cực tiểu.
• Nếu f ′′ ( x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm
/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
cực đại.
Chú ý nếu f ′′ ( x0 ) = 0 thì ta không kết
luận được về tính cực trị hàm số tại x 0
7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm
số liên tục trên một đoạn.
• Tìm các điểm x1 ; x 2 ; ...; x n trên
( a; b ) mà tại đó f ′ ( x ) = 0 hoặc không
xác định.
• Tính
f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x 2 ) ;...;f ( x n ) ;f ( b ) .
• Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m trong các số trên. Khi đó:
M = max f ( x ) , m = min f ( x )
[ a;b ]

[ a;b]

Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể
lập bảng biến thiên của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết

luận. Không phải hàm số nào cũng có
GTLN, GTNN.
8. Đường tiệm cận
• Đường tiệm cân ngang: y = y 0 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y = f ( x ) nếu: lim f ( x ) = y 0
x →±∞

• Đường tiệm cận đứng: x = x 0 là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
= ±∞
y = f ( x ) nếu xlim
→x ±
0

9. Sơ đồ khảo sát hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét chiều biến thiên của hàm số
+Tìm y’
+Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định
+Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của
hàm số (đồng biến,ngịch biến).
• Tìm cực trị
• Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có).
• Lập bảng biến thiên
• Vẽ đồ thị.

/>

Lê Trung Kiên
10. Tương giao của hai đồ thị.
• Xét hai hàm số y = f ( x ) và

y = g ( x ) tọa độ giao điểm của đồ thị hai

hàm số là nghiệm của hệ phương trình.

 y = f ( x )

 y = g ( x )

Đường thẳng y = ax + b là PT 3
của đồ thị hàm số y = f ( x ) , khi và chỉ khi
•

f ( x ) = ax + b
có nghiệm.
f ′ ( x ) = a

phương trình 

II, Lượng giác
1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ
bản
sin 2 x + cos 2 x = 1
1
1
1 + tan 2 x =

,1 + cot 2 x =
2
cos x
sin 2 x
sin x
cos x
t anx =
, cot x =
, tan x cot x = 1
cos x
s inx
2.Công thức cộng lượng giác
sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b
cos ( a ± b ) = cos a cos b msin a sin b

t ana ± tan b
1 mtan a tan b
3.Công thức cung nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
tan ( a ± b ) =

cos2a = cos 2a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1
= 1 − 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a
x
Chú ý: Nếu đặt tan = t thì ta có:
2
2t

1− t2
s inx =
;
cos
x
=
1+ t2
1+ t2
2t
1− t2
t anx =
;
cot
x
=
1− t2
2t
4.Công thức hạ bậc

/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
1 + cos2a
1 − cos2a
; sin 2 a =
2
2
5. Công thức cung nhân ba
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a;
cos 2 a =

cos3a = 4 cos 3 a − 3cos a
6.Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b
cos a + cos b = 2cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
a+b a−b
cosa- cos b = −2sin 
÷sin 
÷
 2   2 
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin 
÷cos 
÷
 2 
 2 
a+b a −b
sin a − sin b = 2cos 
÷sin 
÷
 2   2 
7.Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2

1
sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2
1
sin a cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2
8.Giá trị lượng giác của các góc liên
quan.
−α
π−α
π+α
Góc
π
−α
2
GTLG

cosα
− sin α
sin α
sin
cosα
−cosα sin α
cos
− tan α
− tan α cot α
tan
− cot α
− cot α tan α
cot

9.Phương trình sinx=a
• a > 1 phương trình vô nghiệm
sin α = a

• a ≤ 1 có góc α :  π
π
 − 2 ≤ α ≤ 2
Được gọi là arcsin a
sin f ( x ) = sin g ( x )
f ( x ) = g ( x ) + k2π
⇔
,k∈¢
f ( x ) = π − g ( x ) + k2π

/>
− sin α
−cosα
tan α
cot α


Lê Trung Kiên
•

Các trường hợp đặc biệt
π
s inx = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ ¢
2
s inx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ¢
π

s inx = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ ¢
2
• Bảng sin các góc đặc biệt
Góc
π
π
π
π
−
−
−
−
2
3
4
6
0
0
0
−90
−60
−45
−300
sin
1
3
2
−
-1
−

−
2
2
2
π
π
π
π
6
4
3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
sin
1
2
3
0
1
2
2
2

10.Phương trình cosx=a
• a > 1 phương trình vô nghiệm
cosα = a
• a ≤ 1 có góc α : 
0 ≤ α ≤ π
Được gọi là arc cosa
• cosf ( x ) = cosg ( x )
Góc

0

f ( x ) = g ( x ) + k2π
⇔
,k ∈¢
f ( x ) = −g ( x ) + k2π
• Các trường hợp đặc biệt
cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ¢
π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢
2
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ¢
• Bảng cos các góc đặc biệt
Góc
π
π
π
π
0
6
4

3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
cos
1
3
2
1
0
2
2
2

/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
2π
3π
5π
π
3
4
6

1200 1350 1500
1800
cos
1
2
3
−
−1
−
−
2
2
2
11.Phương trình tanx=a
π
• Đk: x ≠ + kπ, k ∈ ¢
2
 tan α = a

• Luôn có góc α :  π
π
 − 2 < α < 2
được gọi là arctana
tan f ( x ) = tan g ( x )
•
⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ, k ∈ ¢
Góc

•
Góc

tan

Bảng tan các góc đặc biệt
π
3
−600
−

− 3

π
4
−450

−

−1

π
6
−300
− 3
3
−

0
00
0

π
π
π
6
4
3
0
0
30
45
600
tan
3
1
3
3
12.Phương trình cotx=a
• Đk: x ≠ kπ, k ∈ ¢
cot α = a
• Luôn có góc α : 
0 < α < π
được gọi là arccota
• cot f ( x ) = cot g ( x )
Góc

⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ, k ∈ ¢

/>

Lê Trung Kiên

•
Góc

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Bảng cot các góc đặc biệt
π
π
π
π
6
4
3
2
0
0
0
30
45
60
900
3
0
1
3
3

cot

π

3
−600
3
−
3

Góc

π
4
−450

−

cot

π
6
−300

−

−

−1

- 3

III, Số phức

• Số phức Z = a + bi , a là phần
thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số

i 2 = −1

• Mô đun của số phức Z = a + bi
được tính bởi công thức

Z = a 2 + b2
• Cho số phức Z = a + bi thì số
phức Z = a − bi được gọi là số phức liên
hợp của Z = a + bi
• Cho Z1 = a + bi, Z2 = c + di

Z1 ± Z2 = ( a ± c ) + ( b ± d ) i

Z1Z2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
Z2 ( ac + bd ) ( ad − bc )
= 2
+ 2
i
Z1
a + b2
a + b2
•

( Z1 ≠ 0 )

Nếu a là một số thực âm thì căn

•

Các nghiệm của phương trình
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) khi ∆ < 0
2

−b ± i ∆
2a

u'
1
 ÷' = − 2
u
u
u'
u '=
2 u
( uv ) ' = u ' v + v 'u

 u  u 'v − v'u
 ÷' =
v2
v
( s inx ) ′ = cos x

( ku ) ' = k. ( u ) '

( )

.

( )

( sin u ) ′ = cos u. ( u ) ′

( cos x ) ′ = − s inx ( cos u ) ′ = − sin u.( u ) ′
1
cos 2 x
1
( cot x ) ′ = − 2
sin x
x
x
(e )'=e

( t anx ) ′ =

(a )'=a
x

x

ln a

( ln x ) ' = 1x
( log

a

x )'=

1
( u)′
2
cos u
1
( cot u ) ' = − 2 ( u ) ′
sin u
u
u
( e ) ' = e .u '

( tan u ) ′ =

( a ) ' = a .ln a.u '
u

( ln u ) ' = uu'
1
x ln a

( log

α

= a α bα

a loga b = b
log a ( a α ) = α

( x)′ =1

lg b = log b = log10 b

/>
a

u )'=

u'
u ln a

α

aα
a
=
 ÷
bα
b
3. Các công thức Loogarít
log a b = α ⇔ a α = b ,
log a 1 = 0

IV, Mũ, Lô-ga
1. Bảng các đạo hàm
( x α ) ' = αx α−1
( u α ) ' = αu α−1.u '
c′ = 0

u

2. Các công thức lũy thừa
a n = a.a...a
{ , a 0 = 1 a −n = 1
n
an
m
a α a β = a α+β
a n = n am
α β
aα
α−β
a
= a αβ
(
)
=
a
aβ

( ab )

bậc hai của a là: ±i a

là: x =
1,2

1
1

 ÷' = − 2
x
x
1
x '=
2 x
( u + v ) ' = u '+ v '

ln a = log e a;

/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

log a ( b1b 2 ) = log a b1 + log a b 2
b 
log a  1 ÷ = log a b1 − log a b 2
 b2 
log a b α = α log a b
1
log a n b = log a b
n
log c b
log a b =
;log a b.log b c = log a c ,
log c a
1
log a b =

log b a
1
log a α b = log a b ,
α
4. Phương trình- Bất phương trình
mũ.
a)Phương trình mũ
• Dạng cơ bản:
x
a = b ( a > 0, a ≠ 1)
nếu b ≤ 0 phương trình vô nghiệm, nếu
b>0 phương trình có nghiệm duy nhất
x = log a b
•

Đưa về cùng cơ số
f (x)
a
= a g( x ) ⇔ f (x) = g(x)
• Đặt ẩn phụ
Dạng 1: A.a 2x + B.a x + C = 0 đặt
t = a x ( t > 0 ) phương trình trở thành
A.t 2 + Bt + C = 0
Dạng 2:
x
A.a 2x + B ( ab ) + C.b 2x = 0
2x

x

a
a
⇔ A.  ÷ + B  ÷ + C = 0
b
b
x

a
Đặt t =  ÷ ( t > 0 )
b
Dạng 3:
A.a x + B.b x + C = 0 với ab = 1
x
hoặc a x .b x = 1 ta đặt t = a ( t > 0 ) . Khi
1
x
đó b =
t
• Loogarít hóa
/>
Với M, N > 0 và a > 0, a ≠ 1
M = N ⇔ log a M = log a N
a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = log a M
• Dùng tính đơn điệu:
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng
tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó
là duy nhất.
b)Bất phương trình mũ
f (x)
g( x )

⇔ f (x) ≥ g(x)
• a > 1: a ≥ a
• 0 < a <1
a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f (x) ≤ g(x)
• Chú ý b = a loga b
5. Phương trình- Bất phương trình
lôgarít
a)Phương trình lôgarit
•

Dạng cơ bản

log a x = b ⇔ x = a b ( a > 0, a ≠ 1)
Chú ý: điều kiện log a f (x) là
f (x) > 0

a > 0; a ≠ 1
• Đưa về cùng cơ số
f (x) = g(x)
log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f ( x ) > 0
f (x) = g(x)
⇔
g ( x ) > 0
• Đặt ẩn phụ
Dạng 1:
A(log a x) 2 + B ( log a x ) + C = 0
đặt t = log a x ⇔ At 2 + Bt + C = 0 ,
chú ý ( log a b ) = log a2 b
2

Dạng 2:
A log a x + Blog x a + C = 0 đặt

/>

Lê Trung Kiên
t = log a x ⇔ log x a =
•

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
1
( x > 0, x ≠ 1)
t

Mũ hóa
log a b = c ⇔ b = a c
• Dùng tính đơn điệu
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng
tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó
là duy nhất.

− b ± ∆ − b'± ∆ '
=
2a
a

∆=0

( ∆ ' = 0)

∆<0

( ∆ ' < 0)

(2) có nghiệm kép

x=−

b
b'
=−
2a
a

(2) vô nghiệm

4. Định lý Vi-ét
• Nếu phương trình bậc hai
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( 2 ) có hai nghiệm
b
c
x1 ; x 2 thì x1 + x 2 = − , x1x 2 =
a
a
• Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và
tích P=uv thì u và v là các nghiệm
của phương trình x 2 − Sx + P = 0
• (2) có hai nghiệm phân biệt
a ≠ 0
⇔

∆ > 0 ( ∆ ' > 0 )
• (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
2
2
2
2
( A + B + C ) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC• (2) có hai nghiệm cùng âm
a ≠ 0
A 2 − B2 = ( A − B ) ( A + B )

∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )
3
3
2
2
⇔
( A ± B ) = ( A ± B) ( A mAB + B )
 x1 x 2 > 0
3
( A ± B ) = A3 ± 3A 2 B + 3AB2 ± B3
x + x < 0
 1
2
2. Phương trình ax + b = 0
• (2) có hai nghiệm cùng dương
ax + b = 0 ( 1)
a ≠ 0

Hệ số
Kết luận

∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )
a≠0
⇔
b
(1) có nghiệm duy nhất x = −
 x1 x 2 > 0
a
x + x > 0
 1
2
a = 0 b ≠ 0 (1) vô nghiệm
3. Phương trình bậc cao
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình
3. Phương trình bậc hai
2
Phương trình:
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)
2
∆ = b – 4ac
a n x n + a n −1x n −1 + ...a1x + a 0 = 0 với các
b

Kết luận
2
p
 ∆ ' = b ' − ac, b ' = ÷
hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ
thì p
2


q
(2) có hai nghiệm
∆>0
là ước của a 0 và q là ước của a n
phân biệt
( ∆ ' > 0)
Dạng 2: Phương trình trùng phương
x1,2=
b)Bất phương trình lôgarit
• a>1
f (x) ≤ g(x)
log a f (x) ≤ log a g(x) ⇔ 
f (x) > 0
• 0 < a <1
f (x) ≥ g(x)
log a f (x) ≤ log a g(x) ⇔ 
g(x) > 0
V, Phương trình, bất phương trình đại
số
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
2
( A ± B ) = A 2 ± 2AB + B2

/>
/>

Lê Trung Kiên
2
ax 4 + bx 2 + c = 0 đặt x = t ( t ≥ 0 )

chuyển về phương trình bậc hai.
Dạng 3: Phương trình hồi quy:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 với a ≠ 0 và
2

e d
= ÷ ,e≠0
a b
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của
phương trình, chia hai vế cho x 2 ta có:
e 1 
b 1


a  x 2 + × 2 ÷+ b  x + × ÷+ c = 0
a x 
d x


b 1
Đặt t = x + × phương trình trở thành
d x
phương trình bậc hai.
Dạng 4: Phương trình:
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = m , với
a + b = c + d . Biến đổi phương trình về
dạng:
 x 2 + ( a + b ) x + ab   x 2 + ( c + d ) x + cd  = m
2
Đặt t = x + ( a + b ) x + ab biến đổi về

phương trình bậc hai.
Dạng 5: Phương trình:
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = mx 2 với
a.b = c.d . Biến đổi phương trình về:

 x 2 + ( a + b ) x + ab   x 2 + ( c + d ) x + cd  = mx 2

xét x = 0 ; x ≠ 0 chia hai vế cho x 2 ta
có :
ab  
cd 

 x + ( a + b ) + x   x + ( c + d ) + x  = m

ab
biến đổi phương trình về
x
phương trình bậc hai.
4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối:
Để giải các phương trình có chứa dấu giá
trị tuyệt đối ta tìm cách phá dấu giá trị
tuyệt đối của phương trình, có hai cách
phá dấu giá trị tuyệt đối của phương
trình là xét dấu biểu thức trong dấu giá
trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế của
phương trình, khi bình phương hai vế
Đặt t = x +

/>

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
của phương trình ta cần phải chú ý điều
kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0.
A, A ≥ 0
2
A =
; A = A2
− A, A < 0
f ( x ) = g ( x )
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x ) = −g ( x )

⇔ ( f ( x) ) = ( g( x) )
2

2

g(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇔ 
 f(x) = ±g(x)
g(x) ≥ 0
⇔
2
2
( f(x) ) = g ( x )
5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn.
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thông thường ta bình phương hai vế
của phương trình, khi bình phương hai

vế của phương trình ta cần chú ý điều
kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0
g(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇔ 
2
f(x) = g ( x )
f(x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
f(x) = g(x)

(

(

)

)

g(x) ≥ 0
⇔
f(x) = g(x)
6. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn
x, y là hệ phương trình gồm các phương
trình không thay đổi khi ta thay x bởi y
và y bởi x
Đối với hệ phương trình dạng này ta
thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ
S = x + y
, điều kiện: S2 − 4P ≥ 0


 P = xy
7. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ
phương trình nếu thay đổi x cho y và y
cho x thì phương trình này chuyển về
phương trình kia của hệ.
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Đối với hệ phương trình này ta thường
trừ từng vế của phương trình cho nhau,
bao giờ cũng phân tích được thành nhân
tử ( x − y )

x
y

8. Hệ phương trình đẳng cấp:
Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
a1x 2 + b1xy + c1 y 2 = d1
 2
2
a 2 x + b 2 xy + c 2 y = d 2
Cách giải:
• Cách 1: Đặt x = ty tìm t và giải
phương trình.

• Cách 2: Chuyển phương trình về
dạng
2
Ax + Bxy + Cy 2 = 0
Xét y = 0 thay vào phương trình
Xét y ≠ 0 chia 2 vế của phương trình ta
x
được phương trình bậc hai với
y
9. Định lý về dấu của nhị thức bậc
nhất:
y = f ( x ) =ax + b ( a ≠ 0 )
x

−∞
af ( x ) < 0

y

−

b
a
0

−

af ( x ) > 0

b

2a
0

+∞
af ( x ) > 0

+) Nếu ∆ > 0 ( ∆′ > 0 ) phương trình
y = 0 có hai nghiệm phân biệt
− b ± ∆ − b′ ± ∆ ′
, sắp xếp hai
=
2a
a
nghiệm x1 < x 2
x −∞
x1
x2
x=

y

af ( x ) > 0

0

af ( x ) < 0

0

•

+∞

af ( x ) > 0

∆
b
2

∆ = b − 4ac  ∆′ = ( b′ ) − ac = , b′ = ÷
4
2

+) Nếu +) Nếu ∆ < 0 ( ∆′ < 0 ) phương
trình y = 0 vô nghiệm.
2

af ( x ) > 0

•

•

 g(x) < 0
  f(x) coù nghóa

f(x) > g(x) ⇔  g(x) ≥ 0

   f(x) < −g(x)
   f(x) > g(x)


Với B > 0 ta có :
A < B ⇔ −B < A < B ;
 A < −B
A >B⇔ 
.
A > B
Ta thường dùng cách bình phương
hai vế của phương trình để phá dấu
giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần
chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu.

+∞

−∞

+∞

11. Bất phương trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối
g(x) > 0
• f(x) < g(x) ⇔ 
 −g(x) < f(x) < g(x)

10. Định lý về dấu của tam thức bậc
2
hai: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )

x
y

−∞

af ( x ) > 0

+) Nếu ∆ = 0 ( ∆′ = 0 ) phương trình y=0
b
có nghiệm kép x1,2 = −
2a

12. Bất phương trình chứa ẩn trong
căn

/>
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

 f(x) ≥ 0
f(x) < g(x) ⇔ g(x) > 0
 f(x) < g(x)2




•

 g(x) < 0
  f(x) ≥ 0


f(x) > g(x) ⇔  g(x) ≥ 0
•

  f(x) > g(x)2


 
Ta thường dùng cách bình phương
hai vế của phương trình để phá dấu
giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần
chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu.

•

VI, Tích Phân và ứng dụng
1. Bảng các nguyên hàm- tích phân
• Các nguyên hàm cơ bản
α
∫ x dx =

xα +1
+ C, α ≠ −1, α ∈ ¡
α +1

1

∫ xdx = ln x + C , ∫ dx = x + c ,
1

∫x

2

dx = −

1
+C
x

1
2

x

1

∫ sin

2

x

1

1

1

∫ co t(ax + b)dx = a ln sin(ax + b) + C

∫e

ax + b

∫α

∫

αx
+ C , α > 0, α≠ 1
ln α
Các nguyên hàm thường dùng
1 (ax + b)
α +1

∫ (ax + b) dx = a
α

α +1

∫

+ C, α ≠ −1, α ∈ ¡

/>
dx =

ax + b

dx

dx =

1 ax + b
e
+C
a

α ax + b
+ C , α > 0, α≠ 1
a ln α

=2 x +C

x

2

x
∫ α dx =

1

∫ tan(ax + b)dx = − a ln cos(ax + b) + C

∫a

+C

1

2

dx = −co t x + C

x

cos(ax + b)
+C
a

∫ sin (ax + b)dx = − a co t(ax + b) + C

2

∫ e dx = e
•

1

∫x

x

sin(ax + b)
+C
a

2

dx = tan x + C

∫ co t xdx = ln sin x + C

+C

∫ cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) + C

2

∫ tan xdx = − ln cos x + C

a

∫ sin(ax + b)dx = −

∫x

∫ sin xdx = − cos x + C

ln ax + b

∫ cos(ax + b)dx =

∫

∫ cos xdx = sin x + C
∫ cos

1

∫ ax + bdx =

dx
1
x
= arctan + C
2
a
a
+a
dx
1
x−a
=
ln
+C
2
2a
x+a
−a
dx
1
a+x
=
ln
+C
2
2a
a−x

−x
dx

x ±p
2

dx
a 2 − x2

= ln x + x2 ± p + C
= arcsin

x
+C
a

b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì
b

b

∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F(b) − F(a)
a

c) Tính tích phân.
• Phương pháp đổi biến số
dạng 1
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
d) Ứng dụng của tích phân.

b

I = ∫ f ( ϕ ( x ) ) .ϕ′ ( x ) dx
b

Đặt t = ϕ ( x ) . Khi đó
b

ϕ( b )

b

ϕ( a )

I = ∫ f ( ϕ ( x ) ) .ϕ′ ( x ) dx =
Chú ý:

∫ f ( t ) dt

t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ′ ( x ) dx

g(t) = ϕ ( x ) ⇒ g′ ( t ) dt = ϕ′ ( x ) dx

• Phương pháp đổi biến số
dạng 2.
b

I = ∫ f ( x ) dx

• Diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục
và trục hoành,x=a; x=b (ab

công thức: S =

a

•

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và
các đường thẳng x=a, x=b. Khi đó diện tích
S của D được tính bởi công thức:
b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx .

Đặt x = ϕ ( t ) . Với ϕ là hàm số có đạo hàm
liên tục trên [ α; β] , trong đó

a = ϕ ( α ) ; b = ϕ ( β ) .Khi đó
b

β

a

α

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ ϕ(t) ] ϕ′ ( t ) dt

x2 − a2

x = asint

a=tant
a
x=
sin t

•

Phương pháp tích phân từng
phần
b
b b
udv
=
uv
− vdu
∫a
a ∫a
Chú ý:
 u = f ( x )
du = f ′ ( x ) dx
⇒



dv = g ( x ) dx  v = ∫ g ( x ) dx
P(x)cosx
dx P(x)sinx

∫

u
dv

P(x)
Sinxdx

∫ dx

P(x) e x

u
dv

P(x)
e x dx

Cho hai hàm số y = f ( x ) và

y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Gọi D là hình

a

a2 − x2
1
2
a + x2

∫ f ( x ) dx

P(x)
Cosxdx
P(x)lnx
lnx
P(x)dx

/>
a

•

Hàm số y = f ( x ) − g ( x ) không

đổi dấu trên đoạn [ a; b ] thì :
b

∫
a

b

f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

• Thể tích V của khối tròn xoay
khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f (x) trục 0x và hai đường
thẳng x=a, x=b xung quanh trục 0x được
b

2
tính: V = π f ( x ) dx

∫
a

VII, Hình học không gian

1. Công thức tính diện tích các hình:
• Công thức tính thể tích hình hộp
chữ nhật: V = abc (a,b, c là ba kích
thước)
• Công thức tính thể tích khối lăng
trụ : V = Bh (B: là diện tích đáy, h: là
độ dài đường cao)
• Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ
3
dài đường cao)
• Công thức tính thể tích hình chóp
h
cụt: V = B + BB' + B' (B, B’: là

3
diện tích đáy, h: là độ dài đường cao)
• Hình, khối nón tròn xoay

(

)

/>

Lê Trung Kiên

1
Sxq = πrl,Stp = πrl + πr 2 , V = πr 2 h
3
2
2
2
·
Chú ý: l = h + r . Góc ASB được gọi
là góc ở đỉnh của hình chóp.
• Hình, khối trụ tròn xoay

Sxq = 2πrl;Stp = 2πrl + 2πr 2 ; V = πr 2 h
Chú ý: l=h
• Hình, khối cầu.
4
S = 4πr 2 , V = πr 3
3
Chú ý:

+ Để tính diện tích,thể tích các
hình, khối nhiều khi ta phân chia hoặc
thêm các hình, khối để được hình,khối
mới có diện tích, thể tích dễ tính hơn.
+ Với những bài toán về tính thể tích
khối chóp đôi khi ta sử dụng định lý:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA,
SB, SC ta lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:
VS.A 'B'C ' SA '.SB'.SC '
=
(bài tập 4 trang
VS.ABC
SA.SB.SC
25 sgk.)
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P).
/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Đặt h = d(O, (P)).
• h > r ⇔ (P) và (S) không có điểm
chung.
• h = r ⇔ (P) tiếp xúc với (S).
• h < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn
tâm H, bán kính r′ = r 2 − h2 .
Chú ý:
• Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với
S(O; r) tại H là (P) vuông góc với OH
tại H và OH=r . Khi đó ta gọi H là tiếp
điểm và mặt phẳng (P) đượng gọi là mặt
phẳng tiếp xúc hay mặt phẳng tiếp diện

của mặt cầu.
• Nếu h = 0 thì (P) cắt (S) theo đường
tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này
đgl đường tròn lớn và (P) đgl mặt
phẳng kính của mặt cầu (S).
3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp
• Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện
nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các
mặt của hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại
tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của
hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
• Một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn
ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là giao của đường thẳng qua tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông
góc với mặt phẳng đa giác đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên.
4. Các hình thường gặp:
• Hình chóp là hình có đáy là một
đa giác và đỉnh là một điểm không nằm
trên mặt phẳng chứa đáy. Tùy theo đáy
là tam giác, tứ giác… mà ta gọi là hình
chóp tam giác, hình chóp tứ giác…
• Hình chóp được gọi là hình chóp
đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có
chân đường cao trùng với tâm của đáy.
• Hình chóp cụt là hình tạo bởi
thiết diện song song với đáy cắt các cạnh
bên của hình chóp và đáy.

• Hình chóp cụt đều là hình chóp
cụt hình thành do cắt hình chóp đều.
• Hình tứ diện là hình chóp tam
/>

Lê Trung Kiên
giác
•

Hình tứ diện đều là hình chóp
tam
giác có bốn mặt là các tam giác đều.
• Hình lăng trụ là hình gồm hai
đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên
hai mặt phẳng song song, các cạnh bên
song song và bằng nhau. Tùy theo đáy
của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác
....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác…
• Hình lăng trụ có đáy là hình bình
hành được gọi là hình hộp.
• Hình lăng trụ đứng là hình lăng
trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt
đáy. Độ dài cạnh bên là chiều cao của
hình lăng trụ đứng.
• Tùy theo đáy của hình lăng trụ
đứng là tam giác, tứ giác… ta có
hình lăng trụ đứng tam giác, hình
lăng trụ đứng ngũ giác…
• Hình lăng trụ đứng có đáy là đa
giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.

• Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình bình hành được gọi là hình hộp
đứng.
• Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ
nhật
• Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình vuông các mặt bên đều là hình
vuông được gọi là hình lập phương.
Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các
cạnh và các góc bằng nhau.
5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc
• Để chứng minh một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh
nó vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau nằm trong mặt phẳng
• Hai mặt phẳng vuông góc khi
mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt
phẳng vuông góc thì đường thẳng nào
nằm trong mặt này vuông góc với giao
tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
• Cách xác định khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
+) Để tính khoảng cách từ một điểm
M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện:
B1: Chọn trong (P) một đường
thẳng a và dựng mặt phẳng (Q) qua M

và vuông góc với a
B2: Xác định giao tuyến b của (Q)
và (P).
B3: Dựng MH vuông góc với b thì
MH là khoảng cách từ M đến (P).
+) Chú ý:
. Trước khi thực hiện chọn a và mặt
phẳng (Q) ta cần xem đường thẳng a và
(Q) đã có trong hình chưa.
. Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt
phẳng (Q) dễ dựng nhất.
. Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc
với (P) thì ta chỉ cần kẻ đường thẳng
qua M và song song với đường thẳng
đó.
VIII, Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng
1. Tọa độ véc tơ, các phép toán véc tơ
• Cho hai điểm A ( x A ; y A ) và

B ( x B ; y B ) . Ta có:
uuur
AB = ( x B − x A ; y B − y A )
r
r
• Cho u ( u1 ; u 2 ) , v(v1 ; v 2 ) . Khi đó
r r
r
u ± v ( u1 ± u 2 ; v1 ± v 2 ) ; ku = ( ku1; ku 2 ) , k ∈ ¡

r r  u = v1
u=v⇔ 1
u 2 = v2
2. Tọa độ trung điểm, trọng tâm
• Cho A, B, C.
A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C(x C ; y C ) .
Tọa độ trung điểm I của AB, trọng
tâm G của tam giác ABC được tính
theo công thức.
x + xB + xC
xA + xB


xG = A

 x I =

3
2
, 

 y = yA + yB
 y = y A + yB + yC
I

 G
2
3
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

• Trong mặt phẳng tọa độ cho
r
r
a = ( a1;a2 ) và b = ( b1; b2 ) . Khi đó tích
r
r
vô hướng của hai véc tơ a và b là:
rr
a.b = a1.a2 + b 1.b 2
r
• Hai véc tơ a = (a1;a2 )
r
r
và b = ( b1; b2 ) ≠ 0 vuông góc với nhau
rr
khi và chỉ khi a.b = a1.a2 + b 1.b 2 = 0
r
• Độ dài của véc tơ a = ( a1;a2 )

3.

được tính theo công thức:
r
a = a12 + a22
• Khoảng cách giữa hai điểm

A ( x A ; y A ) ;B ( x B;y B ) được dính bởi
công thức:
AB =

(x

− xA ) + ( yB − yA )
2

B

2

r
r
r
Cho a và b đều khác véc tơ 0
a1 .b1 + a2 .b2
rr
c
os
a;
b =
thì ta có:
a12 + a22 . b12 + b22
•

( )

4. Phương trình tham số của đường

thẳng.
• Đường thẳng ∆ qua điểm
M ( x 0 ; y0 )
r
có VTCP u ( u1 ; u 2 ) thì ∆ có phương
 x = x 0 + u1 t
, t∈¡
trình tham số ∆ : 
 y = y0 + u 2 t
(1)
• Một số chú ý:
r
1.
VTCP là véc tơ ≠ 0 có
giá song song hoặc trùng với đường
thẳng.
2. r
Nếu ∆ có VTPT
n = ( a; b ) thì ∆ có VTCP
r
u = ( − b;a )
/>
Nếu ∆rcó hệ số góc k thì
∆ có một VTCP u = ( 1; k )
4.
Nếu phương trình đường
thẳng cho
ở
dạng (1) thì nó có một
r

VTCP u = ( u1 ; u 2 )
5.

Hai đường thẳng song
song có cùng VTCP
6.
Hai đường thẳng vuông
góc thì VTPT của đường này là
VTCP của đường thẳng kia.
7.
Phương trinh các trục
tọa độ:
x = t
x = 0
0x : 
; 0y : 
y = 0
y = t
5. Phương trình tổng quát của đường
thẳng
• Phương trình ∆ : ax+by+c=0 (2)
đgl
phương trình tổng quát của đường thẳng
• Đường thẳng ∆ qua điểm
M ( x 0 ; y0 )
r
có VTPT n = ( a; b ) thì ∆ có phương
trình tổng quát
∆ : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 ) = 0
•

Một số chú ý:
r
1.
VTPT là véc tơ ≠ 0 và
vuông góc với VTCP.
2. r
Nếu ∆ có VTCP
u = ( a; b ) thì ∆ có VTPT
r
n = ( − b;a ) .
3.
Nếu ∆r có hệ số góc k thì
∆ có một VTPT u = ( k; −1)
Phương trình đường thẳng ∆ qua
M ( x 0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng
y = k ( x − x 0 ) + y0
4.

Nếu phương trình đường
thẳng cho
ở
dạng (2) thì nó có một
r
VTPT n = ( a; b )
5.
Hai đường thẳng song
song có cùng VTPT.
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Phương trình ∆ : ax+by+c=0 , nếu
∆ P∆ ' thì phương trình
∆ ' : ax+by+m=0 , m ≠ c
6.
Hai đường thẳng vuông
góc thì VTCP của đường này là
VTPT của đường thẳng kia.
7.
Phương trình các trục
tọa độ:
0x : y = 0; 0y : x = 0
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng:
∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y +
c2 = 0
Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆ 2 là
nghiệm
của
hệ
:
 a1 x + b1y + c1 = 0
a x + b y + c = 0 (I )
 2
2
2

• ∆1 cắt ∆2 ⇔ (I) có 1 nghiệm
• ∆1 // ∆2 ⇔ (I) vô nghiệm
• ∆1 ≡ ∆2 ⇔ (I) có VSN.
Chú ý: Trong trường hợp có một hoặc
cả hai phương trình cho ở dạng tham số
ta vẫn xét hệ phương trình và có ba
trường hợp trên.
7. Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là
góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇒ (∆1, ∆2) = 900
+ ∆1 // ∆2 ⇒ (∆1, ∆2) = 00
00 ≤ (∆ 1, ∆ 2) ≤ 900
• Cho ∆1: a1x + b1y + c1 = 0
∆2: a2x + b2y + c2 = 0
ϕ = (∆1, ∆2).
r r
n1.n 2
r r
cosϕ = cos(n1,n 2 ) = r r
n1 . n 2

⇒ cosϕ =

a1a2 + b1b2
a12 + b12 . a22 + b22

• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0
8. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng

Cho ∆: ax + by + c = 0 và M0(x0; y0).
ax + by 0 + c
d ( M; ∆ ) = 0
a 2 + b2
d ( M;0x ) = y0 ; d ( M;0y ) = x 0

9. Phương trình đường tròn
• Phương trình đường tròn (C) tâm
I(a; b), bán kính R:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
• Phương trình đường tròn (C) tâm
O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2
Phương trình:
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2
với a + b2 – c > 0 là phương trình
đường tròn tâm I(a; b), bán kính R =
a2 + b2 − c .

• Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0) ∈
(C). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
M0(x0; y0):
(x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0
• Nhận xét :
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, ∆) = R
10. Phương trình Elip
Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài
không đổi 2a lớn hơn F1F2.
M ∈ (E) ⇔ F1M + F2M = 2a
F1, F2: các tiêu điểm

F1F2 = 2c: Tiêu cự .
Phương trình
2
2
2
x 2 y2
E
:
( ) 2 + 2 = 1 (b = a – c )
a
b
Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0)
B1(0; –b), B2(0; b)
A1A2 = 2a : Trục lớn
B1B2 =2b trục nhỏ
F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 )

IX, Phương pháp tọa độ trong không gian
1.Các công thức véc tơ

r
r
a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ) .
/>
/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

r r
a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )
r r
a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )
r
ka = k (a1; a2 ; a3 ) = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R)

( x − a)

a = b
r r  1 1
• a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3
3
r r
• Với b ≠ 0 :
rr
a , b cuøng phöông
 a1 = kb1

⇔ ∃k ∈ R : a2 = kb2
 a = kb
 3
3

uuur
AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )

xA + xB + xC


x G =
3

y + yB + yC

;  yG = A
3

z A + z B + zC

z G =
3


2. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

r

• a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ) .

rr
a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3

r
• a = a12 + a22 + a32
• AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2

a1b1 + a2b2 + a3b3
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
3. Tích có hướng của hai véc tơ
•

r

+ ( y − b) + ( z − c) = R 2
2

2

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

là trung điểm AB, G là trọng tâm của tam giác ABC
thì ta có:

rr
cos(
a
,b) =
•

2

r
M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTPT n = ( A; B;C ) là

A ( x A ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; z B ) , C ( x C ; yC ; zC ) M

r

uur

5. Phương trình mặt phẳng:
• Phương trình mặt phẳng α qua

•Nếu:

xA + xB

x M =
2

yA + yB

 yM =
2

zA + zB

z M =
2


r

Là véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ n và n '
4. Phương trình mặt cầu

• Phương trình mặt cầu tâm
I ( a; b;c ) bán kính R là:

r

Cho a ( a1 ;a 2 ;a 3 ) và p b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) .

rr a a a a a a 
a; b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷
 
 b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 
/>
Chú ý:
r
.VTPT là véc tơ ≠ 0 có giá vuông góc với mặt
phẳng,
. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì
VTCP của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng
. Mặt phẳng qua A, B , C thì nó có một VTPT

r uuur uuur
n =  AB; AC 

.Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT
. Phương trình mặt phẳng đặc biệt.

( 0xy ) : z = 0; ( 0yz ) : x = 0; ( 0xz ) : y = 0 6.

Phương trình đường thẳng
• Phương trình đường thẳng qua

r
M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTCP u = ( u1 ; u 2 ; u 3 ) là

 x = x 0 + u1 t

d:  y = y 0 + u 2 t là phương trình tham số
z = x + u t
0
3

x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
hoặc
là phương trình
u1
u2
u3
chính tắc; ( u1 , u 2 , u 3 ≠ 0 ) ,

Chú ý:
r
.VTCP là véc tơ ≠ 0 có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng.
uuur
. Đường thẳng qua A, B thì nó có một VTCP là AB
. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó có
VTCP là VTPT của mặt phẳng,
. Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP.

. Phương trình đường thẳng đặc biệt:

x = t
x = 0
x = 0



0x :  y = 0; 0y :  y = t ; 0z :  y = 0
z = 0
z = 0
z = t



/>

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
•

Khoảng cách từ M ( x 0 ; y0 ; z o )

đến mặt phẳng ( α ) :Ax + By + Cz + D = 0 là

d ( M; ( α ) ) =
8. Góc

•

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A 2 + B2 + C 2

Nếu ( α ) :Ax + By + Cz + D = 0

r

thì ( α ) có một VTPT n = ( A; B;C )

 x = x 0 + u1 t

• Nếu d:  y = y 0 + u 2 t hoặc
z = x + u t
0
3

x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
thì d có một VTCP
u1
u2
u3
r
u = ( u1 ; u 2 ; u 3 )
r r
• cos ( d;d ' ) = cos u d ; u d '
r r

• cos ( ( α ) ; ( β ) ) = cos n ( α ) ; n ( β )
r r
• sin ( d; ( α ) ) = cos u d ; n α

(

(

(

)

)

)

9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Để xét vị trí tương đối của hai
đường thẳng

 x = x 0 + u1t
r

d :  y = y 0 + u 2 t , có VTCP u = ( u1 ; u 2 ; u 3 ) , qua
z = z + u t
0
3

M ( x 0 ; y0 ; z0 )

 x 0 + u1t = x '0 + u '1 t '

 y 0 + u 2 t = y '0 + u '2 t '
z + u t = z ' + u ' t '
3
0
3
 0
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ chéo
nhau
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất t, t’
thì hai đường thẳng cắt nhau.
 x = x 0 + u1t

• Cho d :  y = y 0 + u 2 t và
z = z + u t
0
3

( α ) :Ax + By + Cz + D = 0 để xét vị trí tương đối
của d và ( α ) ta xét hệ phương trình

 x = x 0 + u1 t
y = y + u t

0
2

z = z 0 + u 3 t
 Ax + By + Cz + D = 0

-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song
( α)
-Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm
trong ( α )
-Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt
( α)

 x = x '0 + u '1 t '
r

d ' :  y = y '0 + u '2 t ' ,có VTCP u ' = ( u '1 ; u '2 ; u '3 )
z = z ' + u ' t '
0
3

ta làm theo các bước:

r
r
 u ' = ku
Bước 1. Nếu 
thì d trùng d’
 M ∈ d '
r
r
 u ' = ku
Nếu 
thì d song song với d’.
 M ∉ d '
r

r
Nếu u ' ≠ ku chuyển sang bước 2.
Bước 2. Xét hê phương trình

/>
X, Tổ hợp xác suất
1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong
hai hành động. Nếu hành động này có m cách
thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện
không trùng với bất kì cách nào của hành động
thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện
2. Quy tắc nhân
/>

Lê Trung Kiên
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành
động liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách
thực hiện hành động thứ hai có m.n cách hoàn
thành.
3. Hoán vị
Cho tập hợp a gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi kết
quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp
A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là
Pn = n ( n − 1) ...2.1 = n!
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Kết quả
của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp

chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp
chập k của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
k
là: A n =
( n − k) !
5. Tổ hợp
Giải sử tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi tập
con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
n!
C kn =
k!( n − k ) !

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

( ab )

α

= a α bα

α

aα
a
=
 ÷

bα
b
7. Phép thử và biến cố
Kí hiệu
Ngôn ngữ biến cố
Ω
Không gian mẫu
A là biến cố
A⊂Ω
A=∅
A là biến cố không
A là biến cố chắc chắn
A=Ω
C = A∪B
C là biến cố: “A hoặc B”
C = A∩B
C là biến cố: “A và B”
A∩B = ∅
A và B xung khắc
B = A = Ω \ A A và B đối nhau
8. Xác suất của biến cố
n ( A)
P ( A) =
•
n ( Ω)
P ( A ) : Xác suất của biến cố A.

n ( A ) : Số phần tử của A; n ( Ω ) : số các kết quả
xảy ra của một phép thử.
• P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1

•
•

0 ≤ P ( A) ≤ 1

A, B xung khắc:
P ( A ∪ B) = P ( A ) + P ( B)

( )

•

P A = 1− P ( A)

•

A và B là hai biến cố độc lập:
⇔ P ( A.B ) = P ( A ) .P ( B )

C kn = C nn −k ; Ckn −−11 + C kn −1 = C kn
6. Công thức nhị thức Niu-Tơn
n
( a + b ) = C0n a n + C1n a n −1b + ... + Cnk a n − k bk + ...
n

+C nn −1ab n −1 + C nn b n = ∑ C kn a n − k b k
k =0

• Nhắc lại các công thức lũy thừa
n

a = a.a...a
{ , a 0 = 1 a −n = 1
n
an
m
a α a β = a α+β
a n = n am
α β
aα
α−β
a
= a αβ
(
)
=
a
aβ
/>
/>