BIỂU DIỄN SỐ PHỨC GIẢI ĐIỆN XOAY CHIỀU

Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

BIỂU DIỄN SỐ PHỨC GIẢI ĐIỆN XOAY CHIỀU
Giáo viên: ĐỖ NGỌC HÀ
(Tài liệu do thầy Đỗ Ngọc hà giáo viên HOCMAI biên soạn dành tặng học sinh ôn thi THPT quốc
gia 2016 có mục tiêu đạt 8-10 điểm Toán)

Định luật Ôm cho đoạn mạch X bất kì:
i

uX
ZX

 X chứa RLC thì: ZRLC  R  i  ZL  ZC 

 X chỉ chứ R thì: Z R  R

 X chứa RL thì: ZRL  R  iZ L

 X chỉ chứa L thì: Z L  iZ L

 X chứa RC thì: ZRC  R  iZC

 X chỉ chứa C thì: ZC  iZC

→ Máy tính để chế độ làm việc với số phức, chẳng hạn Fx 570 ES bấm MODE 2 để làm việc với số phức!
Cách biểu diễn dao động điều hòa trên máy tính dưới chế độ phức:
BiÓu diÔn trªn m¸y tÝnh
u  U0 cos  t   
 u  U0  U0 cos   U0 sin  i
a

b

Ví dụ 1(ĐH – 2013): Đặt điện áp u  220 2 cos100t vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm R = 100 Ω, tụ điện
có C 

104
1
F và cuộn cảm có L  H. Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là

2

A. i = 2,2cos(100πt +


)A
4

B. i = 2 2 cos(100πt +

C. i = 2,2cos(100πt -


)A
4

D. i = 2,2cos(100πt -


)A

4


)A
4

Hướng dẫn:

i

u
u
220 2
5 
bÊm m¸y



  . Chọn A.
4 4
Z R  i  Z L  Z C  100  i 100  200 

Ví dụ 2(ĐH – 2009): Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 10 Ω, cuộn
cảm thuần có

L

103
1
(H), tụ điện có C 

(F) và điện áp giữa hai đầu cuộn cảm thuần là
10
2

uL  20 2 cos 100t  0,5 (V). Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là ?

Hướng dẫn:

u
u uL
20 2i

bÊm m¸y

 u  L .(R i(Z L  Z C )) 
.(10  10i) 
  20 2  20 2i  40
iZ L
10i
4
Z ZL

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

Trang 1


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

Ví dụ 3(ĐH – 2011): Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở

103
F , đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R2 mắc nối tiếp
4
với cuộn cảm thuần. Đặt vào A, B điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi thì điện áp tức thời ở

thuần R1 = 40  mắc nối tiếp với tụ điện có diện dụng C 

hai đầu đoạn mạch AM và MB lần lượt là : uAM  50 2 cos(100t 
suất của đoạn mạch AB là
A. 0,86.

B. 0,84.

7
)(V) và uMB  150cos100t (V) . Hệ số công
12

C. 0,95.

D. 0,71.

Hướng dẫn:
i

u AM
Z AM

7
50 2
u AM

12  5    5   600


R1  iZ C
40  40i
4 3 4

 u AB  u AM  uMB




0
  cos33  0,8387. Chän B.

 50 2  1050  1500  148,4  270 


Ví dụ 4(ĐH-2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở
thuần R1 mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R2 mắc nối tiếp với cuộn cảm
thuần có độ tự cảm L. Đặt điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Khi
đó đoạn mạch AB tiêu thụ công suất bằng 120 W và có hệ số công suất bằng 1. Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp
hai đầu đoạn mạch AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau
AB trong trường hợp này bằng
A. 180 W.
B. 160 W.

C. 90 W.



, công suất tiêu thụ trên đoạn mạch
3

D. 75 W.

Hướng dẫn:
* Chưa nối tắt: hệ số công suất bằng 1 → ZL = ZC

uAM

* Nối tắt tụ:

uMB



Z AM
ZMB



R1
R
R 3
R
R 3
U0

 R2  iZ L  1  i 1
 R 2  1 vµ Z L  1

0
R2  iZ L
2
2
2
2
U60

U 2  R1  R2 
U2
2U 2
U2 3
Có: P1 

 P2 

 P1  90 W
2
R1  R2 3R1
 R1  R2   Z2L 2R1 4

Ví dụ 5(ĐH 2013): Đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X và tụ điện
(hình vẽ). Khi đặt vào hai đầu A, B điện áp uAB = U0cos(ωt+φ) (V) (U0, ω và φ không đổi)
thì: LCω2 = 1, UAN = 25 2 V và uMB  50 2 V, đồng thời uAN sớm pha


so với uMB.
3

Giá trị U0 là?

Hướng dẫn:


LCω = 1 → ZL = ZC → uAM = – uNB → uAB = uMN.




Lại có: uAN + uMB – uMN = uAB → 2uAB = uAN + uMB → 2uAB = 50  1000 → U0  25 7 V
3

2

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

Trang 2


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

Ví dụ 6(ĐH-2014): Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp
(hình vẽ).Biết tụ điện có dung kháng ZC, cuộn cảm thuần có cảm kháng ZL và 3ZL = 2ZC. Đồ
thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp giữa hai đầu đoạn
mạch AN và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB như hình vẽ. Điện áp
hiệu dụng giữa hai điểm M và N là ?
A. 173 V.
B. 122 V.
C. 86 V.
D. 102 V.
Hướng dẫn:



3ZL = 2ZC → 2uAM = – 3uNB → uAB = –0,5.uNB + uMN

3uMB  2u AN
= … 20 37... → UMN = 10 74 V. Chọn C.
5
Ví dụ 7: Cho đoạn mạch điện AB gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với một tụ điện C và một cuộn dây theo đúng



→ uMN =

thứ tự. M là điểm nối giữa điện trở thuần và tụ điện, N là điểm giữa tụ điện và cuộn dây. Đặt điện áp xoay chiều có
giá trị hiệu dụng 120 3 không đổi vào đoạn mạch AB. Khi đó, điện áp giữa hai điểm A và N lệch pha với điện áp


, lêch pha với điện áp giữa hai điểm A, B là ; điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M, B là là
2
3
120 V, đoạn mạch AB tiêu thụ công suất 360 W. Nếu nối tắt hai đầu cuộn dây công suất tiêu thụ của đoạn mạch trong

giữa hai điểm M, B là

trường hợp này là
A. 810 W.

B. 540 W.

C. 240 W.

D. 180 W.

Hướng dẫn:
Khi chưa nối tắt ta có:
uAN  U0AN 0 ; uMB  120 2900 ; uAB  120 6600 → uAM  uAB  uMB  120 2300

→ pha ban đầu dòng điện là 300 → tan  uAN  i  

uAM
uMB



Z AM
ZMB

P1  360 



120 2300
120 290

0



R
1

3
R
R 3
 R
iR  r  i  Z L  Z C   r  vµ  Z L  Z C  
r  i  ZL  ZC 
2
2
2
2

U2

 R  r    ZL  ZC 
2

Z C
 R  ZC 3 .
R

. R  r 
2 

U2
U2
3U 2
 P2  2
.R

 540 W. Chän B

2R
4R
R  Z2C

Ví dụ 8(ĐH-2013): Đặt điện áp u = U0cosωt (V) (với U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây
không thuần cảm mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C (thay đổi được). Khi C = C0 thì cường độ dòng điện trong
mạch sớm pha hơn u là φ1 ( 0  1 


) và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là 45 V. Khi C = 3C0 thì cường độ
2

dòng điện trong mạch trễ pha hơn u là 2 
gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 130 V.
B. 64 V.
Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI


 1 và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây là 135 V. Giá trị của U0
2

C. 95 V.

D. 75 V.
Trang 3


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

Hướng dẫn:
Trong 2 trường hợp điện áp 2 đầu dây luôn nhanh pha hơn cường độ dòng điện một lượng  .
Ta có định luật Ôm biểu diễn dạng số phức: ud 

u
.Z d
Z


U 0 .  R  iZ L 
Z 

R  i  ZL  C 
1
C 0 : 45 2  1    
i
3 
R  i  ZL  ZC 


 
Z  Z C  3R

3 R  i  ZL  ZC 
Cho R

 L
U 0 .  R  iZ L 




3Z L  Z C  R
3C 0 :135 2  1     
2

 R  i  Z  Z C    Z L  Z C  iR  R  i  Z  Z C 

 L 3 
 L 3 

3
3




U 1  2i  U0 2
Z L  2
U 2
=1→ 
. Thế vào (1): 45 2  1    0

1350.  0
 45 2  U0  90 V. Chän C
Z

5
1

3i

2
2
 C
Ví dụ 9(ĐH-2013): Đặt điện áp u = U0cosωt (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở
R, tụ điện có điện dung C, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Khi L = L1 và L = L2: điện áp hiệu dụng ở
hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị; độ lệch pha của điện áp ở hai đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện lần lượt là
0,52 rad và 1,05 rad. Khi L = L0: điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại; độ lệch pha của điện áp ở hai
đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện là φ. Giá trị của φ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 0,41 rad.
B. 1,57 rad.
C. 0,83 rad.
D. 0,26 rad.
Hướng dẫn:

Solution: Nhớ: Z L0 

R2  Z 2C
thì UL cực đại! Các trở, kháng trong bài không cần tính chính xác, cho luôn R = 1!
ZC

U O .iZ L
u
→ tan(φu – φi) = Z L  ZC ; u L  .Z L 
Z
1  i  ZL  ZC 
Z L1 600 1  i 3
1

.


U 0 iZ L1
1

0
0
Z C  1
Z L2 30 1  i
; U 0L 60 
3
L  L1 : tan  0,52   Z L1  Z C 

i
3
1
3

1

 Z L1  1 
3 

1

3


Z L1  Z C 
U 0 iZ L2

0

L  L 2 : tan 1,05  Z L2  Z C  3; U 0L 30 
Z  3  1
3

 L2
1 i 3

Z 3  Z  3
C
 L1


R 2  Z 2C

 Z C  1    . Chän C.
ZC
4
Ví dụ 10: Cho 3 linh kiện gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C. Lần lượt đặt điện áp xoay chiều có
giá trị hiệu dụng U vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp RL hoặc RC thì biểu thức cường độ dòng điện trong nạch lần lượt

7 


là i1  2 cos  100t   A và i 2  2 cos  100t   A. Nếu đặt điện áp trên vào hai đầu đoạn mạch RLC nối
12 
12 


tiếp thì dòng điện trong mạch có biểu thức là ?



A. i = 2 2 cos(100πt + ) A
B. i = 2 2 cos(100πt + ) A
6
4


C. i = 2 cos(100πt + ) A
D. i = 2cos(100πt + ) A
3
4
Hướng dẫn:
 L  L 0 : tan   Z L0  Z C 

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

Trang 4


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi



Dễ thấy tổng trở 2 trường hợp đầu bằng nhau, do đó ZL = ZC, đặt = 1!




u
 i1 

Ri


u
2 1 1
    i3  i3
i 2 
Ri
i 3 i1 i 2


u
i 3 
R


Ví dụ 11: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120 V vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp gồm điện trở R, tụ
điện C và cuộn cảm thuần L. Ở hai đầu cuộn cảm có mắc một khóa K. Khi K mở dòng điện qua mạch là




i1  4 2cos  100t   (A); khi K đóng thì dòng điện qua mạch là i 2  4cos  100t   (A). Giá trị R, L, C là?
6
12 



Solution: Điện áp không đổi nên tổng trở phức tỉ lệ nghịch với dòng điện phức khi K mở và đóng!
R  i  ZL  ZC 

R  iZ C



415o
4 2  30

o



1 i
 R  Z L  Z C → Khi K mở có cộng hưởng, Z = R = 30 Ω → L,C!
2

Ví dụ 12(ĐH-2014): Đặt điện áp u  180 2 cos t (V) (với ω không đổi) vào hai đầu đoạn
mạch AB (hình vẽ). R là điện trở thuần, tụ điện có điện dung C, cuộn cảm có độ tự cảm L
thay đổi được. Điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch MB và độ lớn góc lệch pha của cường độ dòng điện so với
điện áp u khi L = L1 là U và φ1, còn khi L = L2 thì tương ứng là
A. 60 V.

B. 180 V.

8U và φ2. Biết φ1 + φ2 = 90o. Giá trị U bằng
C. 90 V.
D. 135 V.
Hướng dẫn:

Pha ban đầu u là 0.
Khi L = L1, giả sử mạch có tính dung kháng thì pha ban đầu dòng điện là 1 .

→ Khi L = L2, mạch có tính cảm kháng thì pha ban đầu dòng điện là 1 


.
2

Ta có: uAB  uAM  uMB



2
2
2
180 20  U 0R11  U 2  1  2 
U0R1  8U 2  8U 2  U 2  180 2






U0R2  U 2
180 20  U        8U 2

 U  60 V. Chän A.
0R2
1
 1 2





Ví dụ 13: Đặt điện áp u = U0cosωt (V) (với U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây không thuần
cảm mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C (thay đổi được). Khi C = C1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện là



 

 



40 V và trễ pha hơn u là φ1. Khi C = C2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện là 40 V và trễ pha hơn u là φ2 = φ1 +

. Khi C = C3 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại và công suất bằng 50% công suất cực đại mạch
3
điện có thể đạt được khi C thay đổi. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch có giá trị là

A.

40
6

V.

B.

80
3

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

V.

C.

80
6

V.

D.

40
3

V.
Trang 5


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

Hướng dẫn:
Khi C = C3 điện áp hiệu dụng trên C cực đại, do đó:
Z C3 

R2  Z 2L
U2
U2

U2
→P 


50%P

 R  Z L . Chọn luôn R = ZL = 1!
max
2
ZL
2R
R3
R2   Z L  Z C3 
R 2
ZL

Ta có định luật Ôm biểu diễn dạng số phức: uC 

U0 .  iZC 
U0 .  iZC 
u
.ZC 

R  i  Z L  Z C  1  i 1  Z C 
Z

U 6
Z C1 1  i 1  Z C 2  

U 0 .  iZ C1 

0
1  40 2  1  0
  150



60


C
:
40
2




1

 1
2
1
Z C 2 1  i 1  Z C1  
1  i 1  Z C1 

80


Z C1  3  3
U 0 

C : 40 2   600  U 0 .  iZ C 2 

3 . Chän C.

1
 2
1

i
1

Z


0

C
2

Z C 2  3  3
1  15





Ví dụ 14: Một đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM chứa cuộn dây không thuần
cảm, MB gồm điện trở R nối tiếp với tụ điện C. Đặt điện áp xoay chiều u  80 6 cos  t (V) vào hai đầu đoạn mạch
AB. Khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là 1 A; điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M, B gấp hai lần điện
áp hiệu dụng trên R; điện áp tức thời giữa M, B lệch pha 0,5π với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AB. Gọi x = ZL –

ZC. Công suất trên AB và x có giá trị là ?
Hướng dẫn:
UMB  2UR  ZMB  2R  ZC  3R
uMB
uAB



Z AM
Z AB



R 2  900
80 600

2

R  iZ C
R  r  120  P  I  R  r   120 W


 R  r   i  Z L  ZC  Z L  ZC  40 3 

Ví dụ 15: Đặt vào hai đầu mạch AB điện áp xoay chiều, L thuần cảm thì thấy điện áp
các đoạn mạch uAN  xU0cos(t    )(V) ; uMB  U0cos(t  )(V) . Biểu thức A
điện áp đặt vào hai đầu AB là ?

R

L
M

C
N

B

Hướng dẫn:
Chọn R = 1!
u AN
uMB



Z AN
Z MB

x  cos 

ZL 

xsin    x  1 cos   1
xsin 
1  iZ L

 x 

 u AB 
U 0 

1  iZ C
x  sin   cos    1
Z  1  x cos 
 C
xsin 

Ví dụ: Đặt vào hai đầu mạch AB điện áp xoay chiều, L thuần cảm thì thấy điện áp các đoạn mạch

uAN  100 2cos(100t)(V) ; uMB  100 6cos(t  )(V) . Điện áp cực đại đặt vào hai đầu AB là
2

u AN
uMB



Z AN
Z MB

1

1  iZ L
u
Z L 
3  u AB  AN .Z AB  50 14  790 .Vậy U0  50 14 V

90 

1  iZ C
Z AN

3
Z  3
 C
1

0

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

Trang 6


Tài liệu hay cho học sinh khá – giỏi

Ví dụ 16: Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R, tụ điện C và cuộn dây
thuần cảm L có độ tự cảm thay đổi được mắc nối tiếp nhau theo thứ tự, M là điểm nằm giữa tụ điện và cuộn dây. Khi
R = Ro, điều chỉnh L đến giá trị L1 thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại thì UAM = U1.
Khi tăng giá trị biến trở thêm Rx thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây đạt cực đại khi L = L2, khi đó UAM
= U2. Biết dòng điện trong hai trường hợp lệch pha nhau góc α (tanα = 1/3), U1 = 2U2. Xác định hệ số công suất của
mạch trong trường hợp đầu.
A.

2
5

.

B.

1

5

.

C.

1
2

.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn:
Nhớ: Z L 

R2  Z 2C
Z  ZC
R2
R
thì UL cực đại! Hiển nhiên: Z L  Z C 
→ tanφ = L

ZC
ZC
R
ZC

→ dòng điện TH2 chậm pha TH1 lượng α. Chọn luôn ZC = 1 là đại lượng không đổi trong bài!
Theo định luật Ôm ta có:


U 0 u 2U 2 2
R2  iR22
R22  1  3
i 
1
=
0
R1 , L1 :


2

, do tan = !
2
2


2
2
R

iR
R1  1
1
1
3
R1  iR1
R1  1  10


10 

R  ...  tan 1  cos 2
U 0 u
U2 2

  1
R2 , L 2 : R  iR2 =
2
R2  1
2
2
R2  ...  tan 2  cos 2


P/s: Bài này nên vẽ giản đồ vecto!

Giáo viên: Đỗ Ngọc Hà - HOCMAI

Trang 7