Bài giảng toán giải tích 1 chương 8 tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (671.61 KB, 57 trang )

T Í C H P H AÂ N

413

414

Đònh nghóa. Cho A là một tập con khác trống của —
và f là một ánh xạ từ A vào —, ta nói f là một hàm
số thực liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu
"  > 0 , $ () > 0 sao cho
| f(x) - f(y) | < 

" x và y  A sao cho |y - x | < () .

Cho I là một khoãng trong A có chiều dài đd(I) nhỏ hơn
(). Cho x và y trong I sao cho f(x) và f(y) lần lượt là cực
tiểu và cực đại của
f trong I . Lúc đó
f(y) – f (x) < 

I

đd(I) < ()
415

Cho f là một hàm số liên tục trên khoảng [a,b]. Đặt S là
là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thò của f , trục hoành
và các đường thẳng thẳng góc với trục hoành tại các đầu

mút a và b với trục hoành.

S
a

b

Cho một số thực dương , chúng ta sẽ tính xấp xỉ S với
sai số nhỏ hơn  .
Nhưng dt(S) là gì ? Làm sao xác đònh nó ?

416

Đònh nghóa. Cho một khoảng đóng [a, b]. Cho 2n+1 số
thực a0, a1,   , an, c1,   , cn sao cho a = a0 < a1 <    <
an-1 < an = b và ck  [ak-1, ak] với mọi k =1,   , n.
Lúc đó ta nói P = a0 , a1,   , an-1 , an; c1,   , cn là
một phân hoạch của khoảng [a, b] và đặt
|P | = maxa1 - a0 , a2- a1,   , an - an-1.
Đặt P([a,b]) là tập hợp tất cả các phân hoạch của [a, b].
a
a0 c1 a1 c2

b
a2

c3 a3

a n-1

cn

an
417

Đònh nghóa. Cho một hàm số thực f trên một khoảng
đóng [a, b] và P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn là một
phân hoạch của khoảng [a, b]. Ta đặt
n

S ( f , P )   f (ck )(a k  a k 1 )
k 1

và gọi tổng số này là tổng Riemann tương ứng với phân
hoạch P.

a0 c1 a1 c2

a2

c3

a3

418

a n-1c n a n

Đònh nghóa. Cho P = a0,a1,   , an-1,an; c1,   , cn là một
phân hoạch của khoảng [a,b]. Ta đặt di = ai-1 với mọi i
trong {1,. . ., n} và P’ = a0,a1,   , an-1,an; d1,   , dn.
Ta thấy P’ là một phân hoạch của [a,b].

a

dc1

d2

a0 c1 a1 c2

d3

d4

a2

c3 a 3

dn-1
a n-1 c n

an

Bài toán TP1. Cho một hàm số thực f liên tục trên
một khoảng đóng [a, b], và  là một số thực dương.
Chứng minh có một số thực dương () sao cho

k 0

k 0

 |  [ f (ck )  f (ak )](ak 1  ak ) |   | f (ck )  f (ak ) | (ak 1  ak )
a

c1
d

d2

a0 c1 a1 c2

d3

d4

a2

c3 a 3

dn-1
a n-1

cn

an

n 1

Q = d0,d1,   , dm-1,dm; d0,   , dm-1 là các phân hoạch
của khoảng [a,b]. Ta nói P  Q nếu và chỉ nếu
a0,a1,   , an-1,an }  d0,d1,   , dm-1,dm}

a

d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10

dm-2

a0

an-11

a1

a2

a3

dm-1

dm
an

b

Bài toán TP2. Cho một hàm số thực f liên tục trên một
khoảng đóng [a, b], và  là một số thực dương. Chứng
minh có một số thực dương () sao cho

|S(f,P’) - S(f,Q’)| < 
 P, Q P ([a, b]), P’  Q’
|P| < ()
423

a

d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10

dm-2

a0

an-11

a1

a2

a3

dm-1

dm
an

b

Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho

|S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < ()
m 1

S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk )
k 0

n 1

n 1

j 0

j 0

S ( f , P ')   f (a j )(a j 1  a j )   f (a j )
n 1





j  0 a j  dk  a j 1



a j  dk  a j 1

(dk 1  dk )

f (a j )(dk 1  dk )

424

Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| <   P, Q P ([a, b]),P’  Q’ |P| < ()
m 1

S( f , Q ')   f (dk )(dk 1  dk )
k 0

n 1

S( f , P ')  



j  0 a j  dk  a j 1

n 1

S( f , Q ')  



j  0 a j  dk  a j 1

f (a j )(dk 1  dk )

f (dk )(dk 1  dk )
n 1

|S(f,U’) - S(f,V’)| < ”
 U, V P ([a, b]), U’  V’,
|U| < ”(”)
|S(f,P) - S(f,Q)|  |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| +
+ |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|
 P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) .
Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)|

429

Ta ước lượng |S(f,P’) - S(f,Q’)|
Cho ” > 0, có ”(”) > 0 sao cho
|S(f,U’) - S(f,V’)| < ”
 U, V P ([a, b]), U’  V’,
|U| < ”(”)
Nếu P và Q là các phân hoạch của [a,b] thành các đoạn
có đầu mút lần lượt là {a0,a1, . . .,an} và {d0,d1, . . .,dm},
chọn V là một phân hoạch của [a,b] thành các đoạn có
đầu mút là {a0,a1, . . .,an,d0,d1, . . .,dm}.
S(f,P’) - S(f,Q’)|  S(f,P’) - S(f,V’)| + S(f,Q’) - S(f,V’)|
S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”
 P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”)
430

Cho  > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| <   P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ()
|S(f,P) - S(f,Q)|  |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| +
+ |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|

 P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) .
S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”
 P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”)
S(f,P) - S(f,Q)| < 2’ + 2”
 P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < min{’(’) , ”(”)}
Cho  > 0, ñaët ’= ” = 4-1 , vaø () = min{’(’),”(”)}
431

Đònh nghóa. Cho một khoảng đóng [a, b], đặt
an,k = a + n-1k(b-a)  n  , k = 0,1, . . ., n.
Pn = {an,0 , an,1,. . .,b; an,0 , an,1,. . ., an,n-1}
Ta gọi Pn là phân hoạch đều thứ n của đoạn [a,b]

a

b

Bài toán TP4. Cho một hàm số thực f liên tục trên một
khoảng đóng [a, b], đặt sn = S(f,Pn) với mọi số nguyên n.
Chứng minh {sn} hội tụ về một số thực s.
Cho một  > 0, tìm một số nguyên N sao cho
|sn – sm | < 

n>m N
432

Cho một  > 0, tìm một số nguyên N() sao cho
|sn – sm | < 

 n > m  N()

Cho một  > 0, tìm một số nguyên N() sao cho
|S(f,Pn) – S(f,Pm) | < 

 n > m  N()

Cho ’ > 0, có ’(’) > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < ’  P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’)
|Pk | = k-1(b-a) Chọn M(’) sao cho M(’)-1(b-a) < ’(’)
|Pn| , |Pm| < ’(’)
|S(f,Pn) – S(f,Pm) | < ’

 n > m  M(’)
 n > m  M(’)

433
Cho  > 0, chọn ’ = . Ta có M(’). Đặt N() = M(’)

Bài toán TP5. Cho một hàm số thực f liên tục trên một
khoảng đóng [a, b], đặt s như trong bài toán TP4. Chứng
minh :   > 0 ,  () > 0 sao cho
| S(f,P) – s | < 
 P P ([a, b]), |P| < ().
Cho một  > 0, tìm một () > 0 sao cho
|S(f,P) – s | < 

 P P ([a, b]), |P| < ().

Cho một ’ > 0, tìm một số nguyên N(’) sao cho
|S(f,Pn) – s | < ’

 n  N(’)

Cho ” > 0, tìm ’(”) > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| <   P, QP ([a, b]), |P| , |Q| < ’(”)
434

Cho một  > 0, tìm một () > 0 sao cho
|S(f,P) – s | < 
 P P ([a, b]), |P| < ().
Cho một ’ > 0, tìm một số nguyên N(’) sao cho
|S(f,Pn) – s | < ’

 n  N(’)

Cho ” > 0, tìm ’(”) > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < ”  P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(”)
|S(f,P) – s |  |S(f,P) – S(f,Pn)| + |S(f,Pn) – s | < ” + ’
 n  N(’),  PP ([a, b]), |P| , |Pn| < ’(”)
Cho  > 0, đặt ’ = ” = 2-1 . Chọn () = ’(”) và một
số nguyên n sao cho n  N(’) và |Pn| = n-1(b-a) < ’(”) :
|S(f,P) – s | < 

 P P ([a, b]), |P| < ().
435

Đònh nghóa. Cho một hàm số thực f trên một khoảng
đóng [a,b]. Ta nói f khả tích Riemann nếu có một số
thực  sao cho với mọi số  > 0, ta có một  > 0 để cho
|  - S(f,P) |  
 P  P([a, b]) với |P |  

a0 c1 a1 c2

a2

c3

a3

a n-1c n a n

|P | = maxa1 - a0 , a2- a1,   , an - an-1.
Lúc đó ta gọi  là tích phân của f trên [a, b] và ký
436
hiệu  là b f ( t ) dt
a

z

Ta ký hiệu



a

b

b

f (t )dt    f (t )dt
a

Đònh lý. Cho f là một hàm số thực liên tục trên một
khoảng đóng [a, b] . Lúc đó f khả tích .
Integrate[f(x),x,a,b] : tính tích phân Riemann
NIntegrate[f(x),x,a,b] : tính xấp xỉ tích phân
3

In[1]:= Integrate x * ArcTan x , x , 0 , 1
Out[1]= 1

6

z

1
0

x arctgxdx 
3

1
6

437

Bài giảng toán giải tích 1 chương 8 tích phân

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về