Bài giảng toán giải tích pptx

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
∼∼ ∼∼
Bài Giảng
Giải Tích I
(Dùng cho sinh viên không chuyên Toán)
Đà Nẵng, tháng 03 năm 2008
Mục lục
1 Hàm số một biến số thực 4
1.1 Hàm số 4
1.1.1. Định nghĩa hàm số 4
1.1.2. Các phương pháp cho hàm số 4
1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 5
1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt 7
1.1.5. Các hàm số sơ cấp 9
1.2 Giới hạn hàm số 10
1.2.1. Giới hạn dãy số 10
1.2.2. Giới hạn hàm số 11
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 15
1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số 17
1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn 18
1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định 20
1.3 Hàm số liên tục 21
1.3.1. Các định nghĩa cơ bản 21
1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn 23
1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục 23
1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục 24
2 Đạo hàm của hàm một biến 25
2.1 Đạo hàm của hàm số một biến 25
2.1.1. Đạo hàm (cấp 1) của hàm số 25

2.1.2. þ nghĩa hình học của đạo hàm 26
2.1.3. Đạo hàm cấp cao 29
2.2 Vi phân hàm một biến 30
2.2.1. Định nghĩa vi phân của hàm số 30
2.2.2. Ý nghĩa hình học của vi phân 31
2.2.3. Cách tính vi phân 32
2.2.4. Vi phân các hàm số sơ cấp 32
2.2.5. ùng dụng vi phân vào tính gần đúng 32
2.2.6. Vi phân cấp cao 33
2.3 Các định lý về hàm khả vi 34
2.3.1. Các định lý về giá trị trung bình 34
2.3.2. Định lý Rolle 35
2.3.3. Công thức số gia giới nội. Định lý Lagrange 35
2.3.4. Quy tắc Lôpitan để khử dạng vô định 36
2.3.5. Công thức Taylor 39
2.4 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 41
2.4.1. Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số 41
1
-2-
2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 42
2.4.3. Tính lồi lõm, điểm uốn của hàm số 43
2.4.4. Xác định tiệm cận của hàm số - Sơ đồ khảo sát hàm số 44
3 Tích phân hàm một biến 47
3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 47
3.1.1. Khái niềm nguyên hàm 47
3.1.2. Tích phân bất định 47
3.1.3. Các tính chất của tích phân bất định 47
3.1.4. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản 48
3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân bất định 48
3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp 51

3.2 Tích phân xác định 55
3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong 55
3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định 56
3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định 57
3.2.4. Một số định lý về tích phân xác định 58
3.2.5. Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định 59
3.2.6. Phương pháp tích phân từng phần 60
3.3 Tích phân suy rộng 60
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 60
3.3.2. Tích phân suy rộng với cận vô hạn 61
3.3.3. Một số tiêu chuẩn hội tụ 62
3.4 ứng dụng của tích phân xác định 63
3.4.1. Diện tích hình phẳng 63
3.4.2. Thể tích vật thể 64
3.4.3. Độ dài cung phẳng 65
4 Hàm nhiều biến số 67
4.1 Các định nghĩa cơ bản và ví dụ 67
4.1.1. Không gian mêtric 67
4.1.2. Miền trong mặt phẳng 68
4.2 Hàm nhiều biến 69
4.2.1. Định nghĩa hàm hai biến 69
4.2.2. Giới hạn của hàm hai biến 69
4.2.3. Sự liên tục của hàm hai biến 70
4.3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 71
4.3.1. Đạo hàm riêng cấp một 71
4.3.2. Vi phân riêng và vi phân toàn phần. 72
4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp 73
4.3.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao 74
4.3.5. Hàm ẩn 76
4.4 Cực trị hàm hai biến 77

4.4.1. Cực trị không điều kiện 77
4.4.2. Cực trị có điều kiện 79
4.4.3. GTLN (GTNN) của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 80
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-3-
5 Phương trình vi phân 82
5.1 Phương trình vi phân cấp 1 82
5.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 82
5.1.2. Phương trình biến số phân li và phân li được 83
5.1.3. Phương trình thuần nhất 84
5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 85
5.1.5. Phương trình Bernoulli 87
5.2 Phương trình vi phân cấp 2 88
5.2.1. Định nghĩa 88
5.2.2. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 89
5.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 90
5.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 93
5.2.5. Nguyên lý xếp chồng nghiệm 96
6 Phương trình sai phân 97
6.1 Khái niệm sai phân 97
6.1.1. Bài toán mở đầu 97
6.1.2. Sai phân 97
6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 99
6.2.1. Các khái niệm chung 99
6.2.2. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 101
6.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 104
6.3.1. Các khái niệm chung 104
6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ số hằng 104
6.3.3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 105
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

Chương 1
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC

1.1 HÀM SỐ
1.1.1. Định nghĩa hàm số
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp số thực X ⊆ R. Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số
thực R là một hàm số.
Tập X được gọi là miền xác định thường được kí hiệu D
f
và tập ảnh Y = f(X) của ánh
xạ đượ c gọi là miền giá trị của hàm số f.
Hàm số thường được ký hiệu:
f : X −→ Y
x −→ f(x)=y
hoặc y = f(x). (1.1)
Ký hiệu trên cho phép ta xác định được giá trị của hàm số tại điểm x. x được gọi là biến
số độc lập và y = f(x) là giá trị của hàm số tại x.
Ví dụ 1.1. 1)
¡nh xạ
f : R −→ R
x −→ f(x)=y =
√
x, (0 ≤ x<+∞)
là một hàm số có miền xác định là D
f
= R
+
.
2)
¡nh xạ

f : R −→ R
x −→ f(x)=y =
1
x
,x=0
là một hàm số có miền xác định là D
f
=(−∞, 0) ∪(0, +∞).
3) f(x)=

1 nếu x hữu tỉ
0 nếu x vô tỉ
Miền xác định là D
f
= R, miền giá trị là tập {0, 1}
4) y = n
2
,n =1,2, 3, Miền xác định là tập mọi số tự nhiên, miền giá trị là tập mọi
số chính phương.
1.1.2. Các phương pháp cho hàm số
Có nhiều phương pháp cho hàm số, ta chỉ xét ba phương pháp thường gặp sau: cho hàm số
bằng biểu thức giải tích, bằng bảng và bằng đồ thị.
4
-5-
1.1.2.1. Phương pháp cho hàm số bằng biểu thức giải tích
Đây là phương pháp được dùng phổ biến nhất, đặc biệt trong việc nghiên cứu các vấn đề lý
thuyết. Trong phương pháp này hàm số được cho bằng một phương trình mà vế phải là giá
trị y của hàm số tại điểm x, vế trái là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. (chứa
các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, lấy căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán
lượng giác, .)

Trong phương pháp giải tích thông thường miền xác định không được chỉ rõ mà được
hiểu ngầm từ cách viết của nó. Miền xác định ở đây là tập tất cả các giá trị của x để biểu
thức có nghĩa.
Ví dụ 1.2. 1) Cho hàm số y =
√
4 − x
2
. Miền xác định là −2 ≤ x ≤ 2.
2) Hàm số y = sin x xác định trên toàn trục số.
3) Hàm số y =
1
√
5 −x
+ log
2
(x −3). Biểu thức có nghĩa khi 5 −x ≥ 0;x −3 > 0. Từ đó
miền xác định của hàm số là khoảng (3, 5).
4) Hàm số y =







2 nếu x<−1
1 − x nếu −1 <x≤ 0
1+x nếu 0 <x<1
2 nếu x ≥ 1
xác định trên toàn trục số.

5) Hàm số y =



1 nếu x>0
0 nếu x =0
−1 nếu x<0
xác định với mọi số thực, miền giá trị là tập {−1, 0, 1}.
Hàm số này người ta gọi là hàm dấu, ký hiệu y = signx (đọc là ” xích - num ” của x).
1.1.2.2. Phương pháp bảng
Phương pháp này thường dùng trong vật lý, kỹ thuật đặc biệt đối với những hàm: y =
x
2
;
1
x
;
√
x; log
10
x; sin x; cos x;tgx;
Nhược điểm của phương pháp này là không thể tính tất cả các giá trị của đối số và các
giá trị không có trong bảng pháp tính gần đúng.
1.1.2.3. Phương pháp đồ thị
Cho hàm số y = f(x) xác định trên X. Ta xây dựng cách biểu diễn đồ thị hàm số như sau:
Trong hệ trục toạ độ vuông góc xOy, gọi N là điểm trên trục hoàn sao cho
ON = x.
Trên đường thẳng vuông góc với Ox lấy điểm M sao cho NM = y = f(x).
Tập hợp những điểm M (xây dựng như trên), ứng với tập tất cả các giá trị của x ∈ X là
biểu diễn hình học của hàm số y = f(x). Ta gọi tập điểm này là đồ thị hàm số y = f(x).

Như vậy, đồ thị hàm số là quỹ tích mọi điểm M(x, y) trên mặt phẳng sao cho toạ độ x, y
thoả mãn phương trình y = f(x).
Đồ thị hàm số giúp ta nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số. Tuy nhiên cũng
như phương pháp bảng phương pháp đồ thị có khuyết điểm là thiếu chính xác.
1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược
1.1.3.1. So sánh hàm số
Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Ta nói f(x) bằng g(x), kí hiệu f = g,
nếu f(x)=g( x), ∀x ∈ D và f(x) khác g(x), kí hiệu f = g, nếu ∃x
0
∈ D : f(x
0
) = g(x
0
).
Hàm f(x) lớn hơn hoặc bằng g(x) (f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x)) trên D nếu
f(x) ≥ g(x)(f(x) ≤ g(x)), ∀x ∈ D. (1.2)
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-6-
Khi không tồn tại x để dấu bằng trong (1.2) xảy ra thì ta nói f(x) lớn hơn (nhỏ hơn) g(x) .
1.1.3.2. Các phép toán số học trên hàm số
Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Khi đó, các hàm số định nghĩa như sau:
(i). (f ±g)(x):=f(x) ± g(x)
(ii). (f.g)(x):=f(x).g(x)
(iii). (
f
g
)(x):=
f(x)
g(x)
khi g(x) =0

lần lượt được gọi là tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số f(x) và g(x) trên D.
1.1.3.3. Hàm số hợp
Cho hàm số u = f(x) xác định trên D ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R sao
cho f(D) ⊆ U. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.2. Hàm hợp của f và g, kí hiệu g ◦f là một hàm số xác định bởi công thức
(g ◦f)( x)=g(f(x)), ∀x ∈ X.
Chẳng hạn, y = sin(x
2
) là hàm hợp của hai hàm số y = sin u và u = x
2
. Cần chú ý rằng
(g ◦f) =(f ◦g).
1.1.3.4. Hàm số ngược
Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số
f : D −→ Y
x −→ f(x)
là một song ánh. Khi đó hàm số
f
−1
: Y −→ D
y −→ f
−1
(y)=x
sao cho f(x)=y được gọi là hàm số ngược của hàm số f.
Ví dụ 1.3.
1) Hàm số y =2
x
có hàm số ngược là x = log
2
y.

2) Hàm số y =2x − 3 có hàm số ngược là x =
y +3
2
.
Như vậy, miền xác định của hàm f
−1
chính là miền giá trị của hàm f và ngược lại. Đồ
thị của hàm số y = f
−1
(x) đối xứng với đồ thị của hàm y = f(x) qua đường phân giác thứ
nhất nếu ta dựng đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Đề-các vuông góc xOy.
Định lý 1.1.1. Nếu f là hàm số tăng nghiêm ngặt(giảm nghiêm ngặt) thì tồn tại hàm số
ngược f
−1
của f. Hàm số f
−1
cũng là hàm số tăng nghiêm ngặt( giảm nghiêm ngặt).
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-7-
1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt
1.1.4.1. Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f xác định trên X và D ⊆ X
Định nghĩa 1.1.4. Ta nói hàm số f đơn điệu tăng( hoặc đơn điệu giảm) trên D nếu với
mọi x
1
,x
2
∈ D thì từ x
1
<x

2
suy ra f(x
1
) ≤ f(x
2
) (hoặc f(x
1
) ≥ f(x
2
)).
Định nghĩa 1.1.5. Ta nói hàm số f tăng nghiêm ngặt( hoặc giảm nghiêm ngặt) trên D nếu
với mọi x
1
,x
2
∈ D thì từ x
1
<x
2
suy ra f(x
1
) <f(x
2
) (hoặc f(x
1
) >f(x
2
)).
Hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm gọi chung là hàm đơn điệu. Tính đơn điệu cho ta hình
dung dáng điệu đồ thị của hàm số trên D, đồ thị của hàm đơn điệu tăng (giảm) đi lên (đi

xuống) từ trái sang phải.
Ví dụ 1.4. 1) Hàm số f( x)=x
3
tăng nghiêm ngặt trên R.
Thật vậy, Với x
1
<x
2
ta có:
f(x
2
) − f(x
1
)=x
3
2
−x
3
1
=(x
2
− x
1
)(x
2
2
+ x
2
x
1

+ x
2
1
) > 0.
vì x
2
>x
1
và x
2
2
+ x
2
x
1
+ x
2
1
> 0.
Do đó f(x
1
) <f(x
2
).
2) Hàm số y =[x] (hàm phần nguyên) tăng trên toàn trục số nhưng không tăng nghiêm
ngặt.
3) Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên các khoảng

−
π

2
+2kπ,
π
2
+2kπ

và giảm
nghiêm ngặt trong các khoảng

π
2
+2kπ,
3π
2
+2kπ

.
4) Hàm Dirichlet χ(x)=

1 nếu x hữu tỷ
0 nếu x vô tỷ
là hàm không đơn điệu trên bất kì
khoảng nào.
1.1.4.2. Hàm số bị chặn
Định nghĩa 1.1.6. Hàm số f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trong miền D nếu tồn tại
một số M sao cho
f(x) ≤ M(hoặc f(x) ≥ M)
với mọi x ∈ D.
Nếu hàm số f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên D thì ta nói rằng f(x) bị chặn
trên D. Hay nói cách khác, hàm số f(x) bị chặn trong miền D nếu tồn tại một số dương M

sao cho
|f(x)|≤M
với mọi x ∈ D.
Ví dụ 1.5. 1) Hàm số y = sin x bị chặn vì | sin x |≤ 1.
2) Hàm số y = x
2
không bị chặn trên R nhưng bị chặn dưới vì x
2
≥ 0, ∀x ∈ R.
1.1.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ
Ta nói một tập hợp số D ⊆ R là đối xứng nếu ∀x ∈ D ⇒−x ∈ D.
Định nghĩa 1.1.7 (Hàm số chẵn). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi
là hàm chẵn nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(x)=f(−x).
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-8-
Chẳng hạn, các hàm số y = x
2
; y = cos x; y =2
|x|
, là những hàm chẵn trên R. Đồ thị
của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Định nghĩa 1.1.8 (Hàm số lẻ). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là
hàm lẻ nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(−x)=−f(x).
Các hàm số y = x
3
; y = sin x; là những hàm số lẻ trên R. Hàm lẻ có đồ thị đối xứng
qua gốc tọa độ.
1.1.4.4. Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa 1.1.9. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T =0sao cho
f(x + T )=f(x) (1.3)

với mọi x thuộc miền xác định.
Từ định nghĩa ta thấy nếu T thoả mãn (1.3) thì tất cả những số có dạng nT, n ∈ N đều
thoả mãn (1.3). Do đó tập xác định của hàm số tuần hoàn không bị chặn.
Định nghĩa 1.1.10. Số dương nhỏ nhất (nếu có) trong các số T thoả mãn (1.3) được gọi
là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f( x).
Khi khảo sát các tính chất và dáng điệu của hàm số tuần hoàn ta chỉ cần khảo sát hàm
số này trong một khoảng có độ dài bằng chu kỳ của nó.
Ví dụ 1.6. 1) Hàm số sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số tg x, cotg x tuần hoàn
với c hu kỳ π.
2) Hàm số y =

1 nếu x hữu tỉ
0 nếu x vô tỉ
là hàm tuần hoàn, không có chu kỳ.
Thật vậy, với mọi số hữu tỉ r, ta có x + r là số hữu tỉ nếu x hữu tỷ, ngược lại x + r là
số vô tỷ. Do đó f(x + r)=f(x), ∀x ∈ R.
3) Hàm số hằng f(x)=c cũng là hàm tuần hoàn không có chu kỳ.
1.1.4.5. Hàm lồi
Định nghĩa 1.1.11. Hàm số f(x) xác định trên một khoảng D được gọi là lồi trên D nếu
bất đẳng thức
f(αx
1
+(1−α)x
2
) ≤ αf(x
1
)+(1−α)f(x
2
)
được nghiệm đúng với mọi x

1
,x
2
∈ D và mọi α ∈ [0, 1]. Hàm f(x) được gọi là lõm trên D
nếu −f(x) là hàm lồi trên D.
Ví dụ 1.7. Hàm y = x
2
,y= |x| là những hàm lồi trên R. Hàm y = x
3
là lồi trên (0, +∞)
và lõm trên (−∞, 0).
Hàm lồi có tính chất là: + Tổng của hai hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D.
+ Nếu y = g(u) là một hàm lồi đơn điệu tăng còn u = f(x) là hàm
lồi thì g ◦f cũng là một hàm lồi.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-9-
1.1.5. Các hàm số sơ cấp
1.1.5.1. Hàm số luỹ thừa y = x
α
,α là một số thực khác 0
Miền xác định của hàm số này phụ thuộc vào α.
Nếu α ∈ N thì miền xác định là R.
Nếu α ∈ Z
−
thì miền xác định là R
∗
.
Nếu α ∈ Q
+
thì miền xác định là R

+
.
Nếu α ∈ Q
−
hoặc α ∈ R \Q thì miền xác định là R
∗
+
.
Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu α>0 và giảm nghiêm ngặt nếu α<0. Đồ thị hàm số
luôn đi qua điểm (1, 1) và đi qua gốc (0, 0) nếu α>0 và không qua gốc nếu α<0.
1.1.5.2. Hàm số mũ y = a
x
, (a>0,a =1)
Miền xác đinh: X = R. Miền giá trị R
∗
+
.
Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0 <a<1.
Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0, 1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành.
1.1.5.3. Hàm số lôgarit: y = log
a
x, (a>0,a=1).
Miền xác định X = R
∗
+
, là hàm số ngược của hàm số mũ y = a
x
. Đồ thị hàm số đối xứng
với đồ thị hàm mũ y = a
x

qua đường phân giác thức nhất. Hàm số tăng nếu a>1 và giảm
nếu 0 <a<1.
Các tính chất của hàm số lôgarit:
log
a
xy = log
a
x + log
a
y
log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y, (x>0,y >0)
log
a
x
α
= α log
a
x
N = a
log
a
N

log
a
c = log
a
b. log
b
c
1.1.5.4. Các hàm số lượng giác.
a) Hàm số y = sin x; y = cos x. Miền xác định R, miền giá trị [0, 1], tuần hoàn với chu kỳ 2π.
b) Hàm số y =tgx; y = cotg x:
+ Hàm số y =tgx xác định với mọi x =(2k +1)
π
2
, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng

−
π
2
+ kπ,
π
2
+ kπ

, tuần hoàn với chu kỳ π.
+ Hàm số y = cotg x xác định với mọi x = kπ, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng
(kπ,(k +1)π), tuần hoàn với chu kỳ π.
1.1.5.5. Các hàm số lượng giác ngược
a) Hàm số y = arcsin x.
Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên đoạn [−
π

2
,
π
2
] nên có hàm ngượ c ký hiệu là
x = arcsin y. Nếu dùng chữ x chỉ biến số độc lập và biến y chỉ biến số phụ thuộc, thì hàm
số được ký hiệu là:
y = arcsin x
b) Hàm số y = arccos x.
Hàm số ngược của hàm số y = cos x trên đoạn [0,π] được ký hiệu y = arccos x.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-10-
c) Hàm số y = arctg x là hàm ngược của hàm số y =tgx trong

−
π
2
,
π
2

d) Hàm số y = arccotg x là hàm ngược của hàm số y = cotg x trong (0,π).
Các hàm số luỹ thừa, mũ, logarit, các hàm lượng giác và hàm số lượng giác ngược được
gọi chung là các hàm sơ cấp cơ bản. Từ những hàm sơ cấp cơ bản, bằng một số hữu hạn
các phép toán cộng, trừ nhân, chia và phép hợp hàm ta xây dựng được những hàm phức tạp
hơn và gọi là các hàm sơ cấp.
Ví dụ: Hàm số y =
xπ +5
2
sin(x

2
+x+1)
là một hàm sơ cấp.
1.2 GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.2.1. Giới hạn dãy số
1.2.1.1. Dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp số tự nhiên vào tập số thực là một dãy số :
u : N −→ R
n → u(n)=u
n
Người ta ký hiệu dãy số như sau: u
1
,u
2
, ,u
n
, hoặc gọn hơn (u
n
).
Mỗi số u
n
, (n =1, 2, 3, ,n, ) là một số hạng hay một phần tử của dãy; u
n
được gọi
là số hạng tổng quát của dãy còn n là chỉ số của nó.
Ví dụ 1.8. Nếu các dãy có số hạng tổng quát u
n
cho bởi một trong các công thức: u
n
=

1; u
n
=(−1)
n
; u
n
=
1+(−1)
n
n
thì các dãy sẽ tương ứng là:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ,1,
− 1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ,(−1)
n
,
0, 1, 0,
1
2
, 0,
1
3
, ,
1+(−1)
n
n
,
1.2.1.2. Giới hạn dãy số
Định nghĩa 1.2.2. Số thực  được gọi là giới hạn của dãy số (u
n
) nếu với mỗi >0, nhỏ

tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
, ta đều có |u
n
− | <. Ký hiệu
lim u
n
=  (hoặc lim
n→∞
u
n
= , hoặc u
n
→  khi n →∞)
Số n
0
nói chung phụ thuộc vào .
Nếu dãy (u
n
) có giới hạn hữu hạn là , ta nói dãy (u
n
) hội tụ về  (hoặc tiến tới ). Ngược
lại, nếu (u
n
) không có giới hạn, ta nói dãy phân kỳ.
Ví dụ 1.9.
1) Cho dãy (u
n

), trong đó u
n
=
n +1
n
. Chứng minh rằng lim u
n
=1.
Giải: Xét hiệu
|u
n
− 1| = |
n +1
n
− 1| =
1
n
Do đó, ta có |u
n
− 1| =
1
n
<⇔ n>
1

. Nếu ta chọn n
0
=

1



+1thì với mọi n>n
0
ta có
|u
n
− 1| <.Vì là số dương bất kỳ nên ta có lim u
n
=1.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-11-
2) Cho dãy (u
n
), trong đó u
n
=
1+(−1)
n
n
. Tương tự ta có lim u
n
=0.
3) Dãy (u
n
) với u
n
=(−1)
n
là một dãy phân kỳ. Thật vậy, giả sử  là giới hạn của dãy.

+ Nếu  =1thì | −1|=0. Ta chọn  =
1
2
| − 1| > 0. Ta có dù chọn n
0
như thế nào ta
cũng có những chỉ số n>n
0
sao cho u
n
=1, do đó |u
n
− | = | −1| >.Vậy không thể
là giới hạn của dãy.
+ Nếu  =1lý luận tương tự ta cũng thấy u
n
không thể hội tụ đến .
4) Dãy (u
n
) với u
n
= n cũng là một dãy phân kỳ.
1.2.1.3. Các tính chất của dãy hội tụ
Sau đây ta liệt kê một số tính chất cơ bản của dãy số.
Tính chất 1.2.1. Giới hạn của một dãy số nếu có là duy nhất.
Tính chất 1.2.2. Nếu dãy (u
n
) có giới hạn là  và >p (<q) thì ∃n
0
: ∀n>n

0
⇒
u
n
>p (u
n
<q).
Tính chất 1.2.3. Nếu dãy (u
n
) có giới hạn là  và u
n
≥ p (u
n
≤ q) thì  ≥ p ( ≤ q) .
Tính chất 1.2.4. Nếu dãy (u
n
) có giới hạn thì bị chặn, nghĩa là ∃M>0:| u
n
|≤ M,∀n.
Tính chất 1.2.5. Nếu hai dãy có giới hạn ( u
n
) và (v
n
) thoả mãn u
n
= v
n
, ∀n ∈ N thì
lim u
n

= lim v
n
.
Tính chất 1.2.6. Nếu hai dãy có giới hạn ( u
n
) và (v
n
) thoả mãn u
n
≤ v
n
, ∀n ∈ N thì
lim u
n
≤ lim v
n
.
Tính chất 1.2.7. Nếu ba dãy (u
n
), (v
n
) và (w
n
) thoả mãn u
n
≤ v
n
≤ w
n
, ∀n ∈ N và nếu

lim u
n
= lim w
n
=  thì dãy (v
n
) cũng có giới hạn và lim v
n
= .
Tính chất 1.2.8. Nếu các dãy (u
n
)(v
n
) có giới hạn thì các dãy (u
n
±v
n
), (u
n
.v
n
), và

u
n
v
n

(lim v
n

=0)cũng có giới hạn và ta có:
lim(u
n
± v
n
) = lim u
n
± lim v
n
lim u
n
.v
n
= lim u
n
. lim v
n
lim
u
n
v
n
=
lim u
n
lim v
n
Điều kiện cần và đủ để một dãy số hội tụ được cho bởi tiêu chuẩn hội tụ Cauchy phát
biểu như sau:
Định lý 1.2.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số thực (u

n
) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε>0
cho trước, tìm được n
0
∈ N
∗
sao cho với mọi m, n ≥ n
0
ta có |u
m
− u
n
| <ε.
1.2.2. Giới hạn hàm số
1.2.2.1. Giới hạn hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1.2.3. Cho một điểm x
0
∈ R, ta gọi khoảng số thực dạng (x
0
− , x
0
+ ) với
>0 là −lân cận của x
0
. Một tập hợp chứa một −lân cận nào đó của x
0
được gọi là một
lân cận của x
0
, ký hiệu là U(x

0
).
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-12-
Định nghĩa 1.2.4. Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x
0
) (có thể trừ x
0
). Ta
nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x
0
(hoặc tại điểm x
0
) nếu với
mọi ε>0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ>0 sao cho
|f(x) − L| <ε
với mọi x ∈U(x
0
) mà 0 <| x −x
0
|<δ.Ký hiệu
lim
x→x
0
f(x)=L hay f(x) → L khi x → x
0
.
Khi đó ta viết
lim
x→x

0
f(x)=L ⇔

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x ∈U(x
0
):0<| x −x
0
|<δ⇒|f(x) − L| <ε

.
Ví dụ 1.10.
1) Ta có lim
x→0
x
2
=0. Thật vậy, Ta có


x
2
− 0


<ε ⇔|x − 0| <
√
ε.
Do đó, với mọi ε>0, nhỏ tuỳ ý cho trước, ta tìm được số δ =
√
ε>0 sao cho |x
2

− 0| <ε
với mọi x ∈ R mà 0 <| x −0 |<δ.Như vậy lim
x→0
x
2
=0.
2) Xét hàm số y = x sin
1
x
trong khoảng ( −1, 1). Ta thấy hàm số không xác định tại x =0
nhưng vẫn tồn tại giới hạn
lim
x→0
x sin
1
x
=0.
Thật vậy, với mỗi ε>0 nhỏ tuỳ ý cho trước, chọn δ = ε.Do|sin α|≤1, ∀α ∈ R nên với
mọi x ∈ (−1, 1) mà 0 <| x −0 |<δ, ta có




x sin
1
x
− 0





= |x|.




sin
1
x




≤|x| <ε.
Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số có mối liên hệ được cho bởi định lý sau:
Định lý 1.2.10. lim
x→x
0
f(x)=L khi và chỉ khi với mọi dãy số (x
n
) ⊂U(x
0
) \{x
0
} hội tụ về
x
0
ta có dãy số (f( x
n
)) hội tụ về L.

Khi đó ta viết
lim
x→x
0
f(x)=L ⇔

∀(x
n
),x
n
= x
0
,x
n
→ x
0
khi n →∞⇒f(x
n
) → L khi n →∞

⇔

∀(x
n
),x
n
= x
0
, lim x
n

= x
0
⇒ lim f(x
n
)=L.

Chứng minh định lý 1.2.10 này dành cho đọc giả. Định lý 1.2.10 không chỉ cho ta hình dung
giới hạn hàm số thông qua ngôn ngữ giới hạn của dãy số, mà nó còn rất tiện lợi khi ta cần
chứng minh không tồn tại giới hạn hàm số. Muốn vậy, ta chỉ cần xây dựng 2 dãy (x
n
) và
(x

n
) cùng dần đến x
0
nhưng limf(x
n
) = lim f(x

n
).
Ví dụ 1.11.
1) Chứng minh rằng lim
x→0
x cos
1
x
=0.
Ta có với mọi dãy ( x

n
)(x
n
=0)là dãy hội tụ đến 0 thì
0 ≤| f(x
n
) |=| x
n
cos
1
x
n
|≤| x
n
|
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-13-
⇒ lim | f(x
n
) |=0(vì lim x
n
=0).
2) Hàm số y = sin
1
x
không có giới hạn tại điểm 0. Thật vậy, chọn x
n
=
1
nπ

và
x

n
=
1
π
2
+2nπ
,n∈ N. Khi đó các dãy (x
n
) và (x

n
) cùng tiến về 0, nhưng
lim sin x
n
=0= 1 = lim sin x

n
.
1.2.2.2. Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.5. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x
0
(hoặc tại điểm x
0
) nếu với mọi ε>0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho
| f(x) − L |<ε
với mọi x ∈U(x
0

) mà 0 <x− x
0
<δ(ε).
Khi đó ta ký hiệu lim
x→x
+
0
f(x)=L hay f(x) → L khi x → x
+
0
Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được phát biểu tương tự.
Định nghĩa 1.2.6. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x
0
(hoặc tại điểm x
0
) nếu với mọi ε>0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho
| f(x) − L |<ε
với mọi x ∈U(x
0
) mà 0 <x
0
−x<δ(ε).
Ký hiệu lim
x→x
−
0
f(x)=L hay f(x) → L khi x → x
−
0
.

Trong cách viết giới hạn một bên kí hiệu x → x
+
0
có nghĩa là x dần đến x
0
nhưng luôn
có x>x
0
, tương tự x → x
−
0
có nghĩa là x dần đến x
0
nhưng luôn có x<x
0
.
Ví dụ 1.12. Hàm dấu S(x) = sign x có lim
x→0
−
S(x)=−1. Vì với mọi ε>0 ta đều có
| S(x)+1|=0<εnếu x<0. Ta cũng có lim
x→0
+
S(x)=1
Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa giới hạn và giới hạn một phía của hàm số
Định lý 1.2.11. Điều kiện cần và đủ để lim
x→x
0
= L là lim
x→x

+
0
f(x) = lim
x→x
−
0
f(x)=L.
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0
f(x)=L. Khi đó với mọi ε>0,từ lim
x→x
+
0
f(x)=L suy ra
tồn tại δ
1
> 0 sao cho | f(x) − L |<εvới mọi x ∈U(x
0
) mà 0 <x− x
0
<δ
1
. Tương

tự, từ lim
x→x
−
0
f(x)=L suy ra tồn tại δ
2
> 0 sao cho | f(x) − L |<εvới mọi x ∈U(x
0
)
mà 0 <x
0
− x<δ
2
. Đặt δ = min {δ
1
,δ
2
} ta có | f(x) − L |<εvới mọi x ∈U(x
0
) mà
0 < |x − x
0
| <δ.Vậy lim
x→x
0
= L.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-14-
1.2.2.3. Giới hạn hàm số khi x dần ra vô cùng
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x có giá trị tuyệt đối lớn tuỳ ý.

Định nghĩa 1.2.7. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần ra vô cùng nếu
∀ε>0, ∃N>0: | x |>N ⇒|f(x) −L |<ε.
Ký hiệu: lim
x→∞
f(x)=L hoặc f(x) → L khi x →∞.
Ví dụ 1.13. Hãy chứng minh lim
x→∞
1
x
=0.
Thật vậy



1
x
− 0



=


1
x


<ε⇔|x| >
1
ε

Nên ∀ε>0, ∃N =

1
ε

: |x| >N⇒



1
x
− 0



<ε
Định nghĩa 1.2.8. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần tới dương vô
cùng nếu
∀ε>0, ∃N>0: x>N ⇒|f(x) − L |<ε.
Ký hiệu: lim
x→+∞
f(x)=L hoặc f(x) → L khi x → +∞.
Định nghĩa 1.2.9. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x dần tới âm vô cùng
nếu
∀ε>0, ∃N>0: x<−N ⇒|f(x) − L |<ε.
Ký hiệu: lim
x→−∞
f(x)=L hoặc f(x) → L khi x →−∞.
1.2.2.4. Giới hạn hàm số bằng vô cùng
Định nghĩa 1.2.10. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bằng +∞ (−∞) khi x dần đến x

0
(hoặc tại điểm x
0
) nếu
∀M>0, ∃δ>0, ∀x ∈U(x
0
): 0< |x − x
0
| <δ ⇒ f(x) >M (f(x) <M).
Ký hiệu:
lim
x→x
0
f(x)=+∞; hoặc f( x) → +∞ khi x → x
0

lim
x→x
0
f(x)=−∞; hoặc f(x) →−∞khi x → x
0

.
Định nghĩa 1.2.11. Cho f là hàm số xác định trên tập không bị chặn. Ta nói hàm số f(x)
có giới hạn bằng +∞ (−∞) khi x dần ra +∞ nếu
∀M>0, ∃N>0: |x| >N ⇒ f(x) >M (f(x) <M).
Ký hiệu:
lim
x→+∞
f(x)=+∞;


lim
x→+∞
f(x)=−∞

.
Hoàn toàn tương tự cho
lim
x→−∞
f(x)=+∞; lim
x→−∞
f(x)=−∞.
Ví dụ 1.14. Xét hàm mũ y = a
x
.Vớia>1 ta có:
lim
x→+∞
a
x
=+∞; lim
x→−∞
a
x
=0.
Với 0 <a<1 ta có:
lim
x→+∞
a
x
= 0; lim

x→−∞
a
x
=+∞.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-15-
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số
Định lý 1.2.12 (Cauchy-Bolzano). Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Điều kiện ắt có
và đủ để lim
x→x
0
f(x)=L là với mỗi ε>0, tồn tại δ>0 sao cho
| f(x
1
) − f(x
2
) |<ε
với mọi cặp x
1
,x
2
∈ D thoả mãn bất đẳng thức:
0 <| x
1
− x
0
|<δ;0<| x
2
− x
0

|<δ.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử lim
x→x
0
f(x)=L. Theo định nghĩa, với mọi ε>0, ∃δ>0
sao cho
|f(x) − L| <
ε
2
, ∀x ∈ D, 0 < |x − x
0
| <δ.
Khi đó với mọi x
1
,x
2
∈ D thoả mãn 0 <| x
1
− x
0
|<δ;0<| x
2
−x
0
|<δ,ta có
| f(x
1
) − f(x
2

) |< |f(x
1
) − L| + |f(x
2
) − L| <ε
Điều kiện đủ: Với mọi ε>0, lấy dãy (x
n
) ⊂ D \{x
0
} bất kì, mà lim x
n
= x
0
. Ta sẽ chứng
minh lim f(x
n
) tồn tại.
Thật vậy, do lim x
n
= x
0
nên ∃n
0
> 0 sao cho với mọi m, n ≥ n
0
thì 0 <| x
m
− x
0
|<δ;

0 <| x
n
−x
0
|<δ, từ giả thiết ta có | f(x
m
) −f(x
n
) |<ε.Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội
tụ của dãy số suy ra tồn tại giới hạn lim f(x
n
)=L.
Với mọi dãy (x

n
) ⊂ D\{x
0
} mà lim x

n
= x
0
, ta có limf(x

n
)=L

. Ta chứng minh L

= L.

Giả sử ngượ c lại L

= L. Đặt ε = |L − L

| > 0, tồn tại n
0
> 0 sao cho với mọi n ∈ N,n>n
0
,
ta có
|f(x
n
) − L| <
ε
3
; |f(x

n
) − L

| <
ε
3
; |f(x
n
) − f(x

n
)| <
ε

3
.
Suy ra
|L − L

|≤|f( x
n
) − L| + |f(x
n
) − f(x

n
)| + |f(x

n
) − L

| <ε= |L − L

|.
Điều vô lý đó cho phép ta kết luận rằng L

= L. Từ Định lý 1.2.10, ta có lim
x→x
0
f(x)=L.
Định lý này vẫn còn đúng khi thay x
0
bởi vô cùng, chứng minh hoàn toàn tương tự.
1.2.3.1. Các tính chất của hàm số có giới hạn

Giả sử U(x
0
) là một lân cận nào đó của x
0
và D là miền xác định của hàm f. Tương tự
như giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số cũng có những tính chất sau:
Tính chất 1.2.13 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của hàm số f khi x dần về x
0
nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Suy từ tính tồn tại duy nhất của giới hạn dãy số và Định lý 1.2.10.
Tính chất 1.2.14 (Tính bị chặn). Nếu có hai số thực A, B sao cho A<f(x) <B, ∀x ∈
U(x
0
) và tồn tại lim
x→x
0
f(x)=L thì A ≤ L ≤ B.
Đảo lại, nếu tồn tại lim
x→x
0
f(x)=L và A<L<B thì ∃δ>0: ∀x ∈ D, |x − x
0
| <δ⇒
A<f(x) <B.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-16-
Chứng minh. Phần thuận được suy ra từ định nghĩa.
Đảo lại, chọn ε = min {L − A, B − L}. Do lim
x→x
0

f(x)=L nên tồn tại δ>0 sao cho
L − ε<f(x) <L+ ε với mọi x ∈ D mà 0 < |x −x
0
| <δ.Suy ra
A = L − (L − A) <f(x) <B− L + L = B.
Tính chất 1.2.15 (Bảo toàn thứ tự). Nếu f(x) ≥ g(x) với mọi x ∈U(x
0
) và tồn tại
lim
x→x
0
f(x)=L
1
, lim
x→x
0
g(x)=L
2
thì L
1
≥ L
2
.
Đảo lại, nếu tồn tại lim
x→x
0
f(x)=L
1
, lim
x→x

0
g(x)=L
2
và L
1
>L
2
thì ∃δ>0: ∀x ∈
D, |x − x
0
| <δ⇒ f(x) ≥ g(x).
Chứng minh.
Phần thuận: Giả sử ngược lại L
1
<L
2
. Chọn L sao cho L
1
<L<L
2
. Theo
Tính chất 1.2.14, tồn tại các số δ
1
,δ
2
> 0 sao cho
f(x) <Lvới mọi x ∈ D, 0 < |x −x
0
| <δ
1

và
L<g(x) với mọi x ∈ D, 0 < |x − x
0
| <δ
2
.
Đặt δ = min {δ
1
,δ
2
}, ta có
f(x) <L<g(x) với mọi x ∈ D, 0 < |x − x
0
| <δ.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(x) ≥ g(x), cho nên ta phải có L
1
≥ L
2
.
Phần đảo: Suy ra từ phần đảo của Tính chất 1.2.14.
Tính chất 1.2.16. Nếu lim
x→x
0
f(x)=L thì lim
x→x
0
|f(x)| = |L|.
Chứng minh. Với ε>0,và lim
x→x
0

f(x)=L nên tồn tại số δ>0 sao cho
|f(x) − L| <εvới mọi x ∈ D, 0 < |x − x
0
| <δ.
Do || f(x)|−|L|| ≤ |f(x) −L| <εsuy ra lim
x→x
0
|f(x)| = |L|.
Đảo lại là không đúng, chẳng hạn lim
x→0
|sign x| =1, tuy nhiên lim
x→0
sign x không tồn tại.
Các phép toán số học của giới hạn hàm số cho bởi tính chất sau:
Tính chất 1.2.17. Nếu tồn tại các giới hạn lim
x→x
0
f(x)=L
1
; lim
x→x
0
g(x)=L
2
thì các hàm số
f ± g; f.g; và
f
g
(L
2

=0)cũng có giới hạn khi x → x
0
và ta có:
lim
x→x
0

f(x)+g(x)

= lim
x→x
0
f(x) + lim
x→x
0
g(x)
lim
x→x
0
f(x).g(x) = lim
x→x
0
f(x). lim
x→x
0
g(x)
lim
x→x
0
f(x)

g(x)
=
lim
x→x
0
f(x)
lim
x→x
0
f(x)
Chứng minh. Suy từ các tính chất của giới hạn dãy số và Định lý 1.2.10.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-17-
Tính chất 1.2.17 vẫn còn đúng nếu thay x
0
bởi vô cùng. Nó cũng đúng cho giới hạn một
phía và cho phép ta tính giới hạn của các hàm phức tạp thông qua các hàm đơn giản hơn,
tuy nhiên nó đòi hỏi các giới hạn của f và g phải tồn tại hữu hạn. Từ tính chất đó ta cũng
có
lim
x→x
0
a.f(x)=a. lim
x→x
0
f(x), lim
x→x
0

f(x)


n
=

lim
x→x
0
f(x)

n
.
Tính chất 1.2.18. Cho f và g là hai hàm số sao cho miền giá trị của f nằm trong miền
xác định của g. Ngoài ra, lim
x→x
0
f(x)=A, lim
y→A
g(y)=L. Khi đó
lim
x→x
0
g(f(x)) = L.
Chứng minh. Dành cho bạn đọc xem như bài tập.
1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số
Định lý 1.2.19 (Nguyên lý kẹp). Cho f,g,h là các hàm số cùng xác định trên tập D chứa một
lân cận nào đó của điểm x
0
và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D. Nếu lim
x→x
0

g(x) = lim
x→x
0
h(x)=L
thì lim
x→x
0
f(x)=L.
Chứng minh. Với ε>0,do lim
x→x
0
g(x) = lim
x→x
0
h(x)=L nên tồn tại δ
1
,δ
2
> 0 sao cho
|g(x) − L| <ε ∀x ∈ D,0 < |x − x
0
| <δ
1
|h(x) − L| <ε ∀x ∈ D, 0 < |x − x
0
| <δ
2
.
Đặt δ = min {δ
1

,δ
2
}. Do tính bị kẹp của f nên với mọi x ∈ D, 0 < |x −x
0
| <δta có
L − ε<g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) <L+ ε =⇒|f(x) −L| <ε.
Vậy lim
x→x
0
f(x)=L.
Định lý 1.2.20 (Giới hạn của hàm đơn điệu bi chặn).
(i). Nếu f là một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên khoảng (a, +∞) thì lim
x→+∞
f(x)=L
(hữu hạn).
(ii). Nếu f là một hàm đơn điệu giảm và bị chặn trên khoảng (−∞,b) thì lim
x→−∞
f(x)=L
(hữu hạn).
Chúng ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo chứng minh định lý
này trong [1].
Từ hai định lý trên, chúng ta có một số hệ quả như sau:
lim
x→x
0
C = C lim
x→∞
1
x
α

=0(α>0)
lim
x→0
sin x
x
= 1 lim
x→0

1+
1
x

x
= e
lim
x→x
0
e
x
− 1
x
= 1 lim
x→∞

1+x

1
x
= e
Ví dụ 1.15.

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-18-
1). lim
x→0
tg x
x
=1.
2). lim
x→0
1 − cos x
x
2
=
1
2
.
3). lim
x→0

x
x +1

x
= e
−1
.
1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn
Định nghĩa 1.2.12.
(i). Hàm α( x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x
0

nếu lim
x→x
0
α(x)=0.
(ii). Hàm u(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → x
0
nếu lim
x→x
0
| u(x) |=+∞.
Ví dụ 1.16.
1). Các hàm sin x, ln(1 + x),x
2
, tg x, cos x −1, là các VCB khi x → 0, đại lượng
1
x
là VCB
khi x →∞, còn cotg x là VCB khi x →
π
2
.
2). Các hàm e
x
,lnx,x
p
(p>0) là những đại lượng VCL khi x → +∞, đại lượng (−1)
x
x là
VCL khi x →∞còn tg x là VCL khi x →
π

2
.
Định lý 1.2.21. Điều kiện cần và đủ để hàm f là hàm có giới hạn L khi x → x
0
là
α(x)=f(x) −L là một vô cùng bé khi x → x
0
.
Tính chất 1.2.22.
(i). Nếu α(x),β(x) là các VCB khi x → x
0
thì cα(x); α(x)+β(x); α(x).β(x) cũng là các
VCB khi x → x
0
.
(ii). Nếu α(x) là VCB khi x → x
0
và f(x) là hàm bị chặn trong một lân cận nào đó của
x
0
(có thể trừ x
0
) thì thì α(x).f(x) cũng là một VCB khi x → x
0
.
(iii). Nếu u(x),v(x) là các VCL khi x → x
0
thì c.u(x); u(x).v( x) cũng là các VCL khi
x → x
0

.
(iv). Nếu u(x) là VCL khi x → x
0
và f(x) là hàm bị chặn trong một lân cận nào đó của x
0
(có thể trừ x
0
) thì thì u(x)+f(x) cũng là một VCL khi x → x
0
.
Các tính chất suy ra trực tiếp từ định nghĩa giới hạn và VCB, VCL.
1.2.5.1. So sánh các VCB và các VCL
(i). Giả sử α(x),β(x) là các VCB khi x → x
0
và lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= k. Khi đó
+ k =1ta nói α(x),β(x) là các VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x).
+ k là một số hữu hạn,(k =0)ta nói α(x),β(x) là hai VCB cùng bậc, ký hiệu
α(x)=O(β(x)).
+ k =0( hay tỉ số
α(x)
β(x)
cũng là một VCB khi x → x
0
) ta nói α(x) là VCB bậc cao
hơn so với β(x), ký hiệu α(x)=o(β(x)).

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-19-
+ k = ∞ ( hay tỉ số
α(x)
β(x)
cũng là một VCL khi x → x
0
) ta nói α(x) là VCB bậc thấp
hơn so với β(x) hay β(x) là VCB bậc cao hơn so với α(x).
Nếu tỉ số
α(x)
β(x)
không có giới hạn thì α(x) và β(x) là hai VCB không so sánh được với
nhau.
Chú ý rằng nếu α(x) là một VCB thì
1
α(x)
là một VCL.
(ii). Giả sử u(x),v(x) là các VCL khi x → x
0
và lim
x→x
0
u(x)
v(x)
= k. Khi đó
+ k =1ta nói u(x),v(x) là các VCL tương đương, ký hiệu u(x) ∼ v(x).
+ k là một số hữu hạn,(k =0)ta nói u(x),v(x) là hai VCL cùng bậc, ký hiệu u(x)=
O(v(x)).
+ k = ∞ ta nói u(x) là VCL bậc cao hơn so với v(x), ký hiệu u(x)=o(v(x)).

+ k =0ta nói u(x) là VCL bậc thấp hơn so với v(x).
Nếu tỉ số
u(x)
v(x)
không có giới hạn thì u(x) và v(x) là hai VCL không so sánh được với
nhau.
Ví dụ 1.17.
1). Vì lim
x→0
sin x
ln(1 + x)
= lim
x→0
sin x
x
.
x
ln(1 + x)
=1nên sin x và ln(1 + x) là các VCB tương
đương khi x → 0. Ta viết sin x ∼ ln(1 + x) khi x → 0.
2). Ta có lim
x→0
1 − cos x
x
= lim
x→0
2 sin
x
2
. sin

x
2
2
x
2
=0nên 1 − cos x là VCB cấp cao hơn x khi
x → 0. Mặt khác
lim
x→0
1 − cos x
x
2
= lim
x→0
2 sin
x
2
. sin
x
2
2
x
2
.2
x
2
=
1
2
.

nên 1 − cos x và x
2
là hai VCB cùng cấp khi x → 0.
3). Xét hai đại lượng cotg x và
1
x
khi x → 0, cả hai là những VCL, mặt khác
1
x
cotg x
=
tg x
x
=
sin x
x cos x
và lim
x→0
1
x
cotg x
=
sin x
x cos x
=1.Vậycotg x và
1
x
là các VCB tương đương
khi x → 0.
1.2.5.2. Phần chính của các VCB, VCL

Chọn các VCB cơ sở là x, x − x
0
,
1
x
trong quá trình x → 0,x→ x
0
,x→∞, Các
VCL cơ sở là x,
1
x
,
1
x − x
0
trong quá trình x →∞,x→ 0,x→ x
0
.
Ta gọi α(x) là VCB cấp m khi x → 0(so sánh với x) nếu α(x)=O(x
m
). Nếu lim
x→0
α(x)
x
m
= k
thì kx
m
được gọi là phần chính của α(x)
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long

-20-
Tương tự, ta gọi u(x) là VCL cấp m khi x →∞(so sánh với x) nếu u(x)=O(x
m
). Nếu
lim
x→∞
u(x)
x
m
= k thì kx
m
được gọi là phần chính của u(x).
Chẳng hạn: 1 − cos x là VCB cấp 2 khi x → 0 và phần chính của 1 −cos x là
1
2
x
2
.
Ta định nghĩa tương tự như trên cho các quá trình khác (x → 0,x→ x
0
,x→∞).
1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định
Tính chất 1.2.23. (i). Nếu β(x) là VCB bậc cao hơn VCB α(x) khi x → x
0
thì α(x)+
β(x) ∼ α(x) khi x → x
0
(ii). Nếu u(x) là VCL bậc cao hơn VCL v( x) khi x → x
0
thì u(x)+v(x) ∼ u(x) khi x → x

0
(iii). Nếu các VCB (hay VCB) A(x) ∼ A
1
(x),B(x) ∼ B
1
(x) khi x → x
0
thì
lim
x→x
0
A(x)
B(x)
= lim
x→x
0
A
1
(x)
B
1
(x)
.
Kiểm tra tính chất này dành cho bạn đọc, nó là một tính chất có ứng dụng quan trọng
trong việc tìm giới hạn của hàm số. Đặc biệt, nó được sử dụng để khử một số dạng vô định
trong quá trình tính giới hạn hàm số.
1.2.6.1. Dạng vô định
0
0
,

∞
∞
Nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
g(x)=0thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
có dạng vô định
0
0
.
Nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
g(x)=±∞ thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
có dạng vô định
∞

∞
.
Cách khử:
c1). Phân tích thành tích hoặc nhân lượng liên hợp.
c2). Dùng giới hạn cơ bản và nguyên tắc thay thế VCB, VCL.
c3). Dùng quy tắc lôpitan (phần sau).
Ví dụ 1.18.
1). lim
x→−1
2x
2
+ x − 1
x
2
− 1
= lim
x→−1
(x + 1)(2x −1)
(x + 1)(x −1)
= lim
x→−1
2x − 1
x − 1
=
3
2
.
2). lim
x→4
3 −

√
5+x
1 −
√
5 −x
= lim
x→4
(4 − x)(1 +
√
5 − x)
(x − 4)(3 +
√
5+x)
= −
1
3
.
3). lim
x→0
1 − cos 2x
x sin x
= lim
x→0
2 sin
2
x
x sin x
=2.
4). lim
x→0

e
x
2
− cos x
x
2
= lim
x→0
(e
x
2
− 1) + (1 − cos x)
x
2
= lim
x→0
x
2
+
x
2
2
x
2
=
2
3
. Vì các VCB e
x
2

− 1 ∼
x
2
, 1 − cos x ∼
x
2
2
khi x → 0.
5). lim
x→+∞
3x +3
5x +
3
√
x
2
= lim
x→+∞
3x
5x
=
3
5
.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-21-
1.2.6.2. Dạng vô định 1
∞
Giả sử lim
x→x

0
u(x) = 1; lim
x→x
0
v(x)=±∞. Khi đó lim
x→x
0
u(x)
v(x)
là dạng vô định 1
∞
.
Cách khử: Thông thường người ta sử dụng giới hạn hàm hợp ln,e
x
và đưa về dạng vô định
0
0
,
∞
∞
, hoặc sử dụng công thức
lim
u(x)→∞

1+
a
u(x)

u(x)
= e

a
(a = 0); lim
α(x)→∞

1+α(x)

1
α(x)
= e
a
(a =0).
Ví dụ 1.19.
1). lim
x→∞

x − 1
x +3

x+2
= lim
x→−1


1 −
4
x +3

x+3
.


x − 1
x +3

−1

= e
−4
2). lim
x→∞

2x +1
2x +3

x+2
. Đặt y =

2x +1
2x +3

x+2
⇒ ln y =(x + 2) ln

2x +1
2x +3

. Khi đó, ta có
ln

2x +1
2x +3


=ln

1 −
2
2x +3

∼
−2
2x +3
(VCB tương đương) khi x →∞.Dovậy
ln lim
x→∞
y = lim
x→∞
ln y = lim
x→∞
(x + 2) ln

2x +1
2x +3

= lim
x→∞
−2(x +2)
2x +3
= −1=⇒ lim
x→∞
y = e
−1

.
3). lim
x→0
(1 + sin x)
1
x
= lim
x→0
e
1
x
. ln(1+sin x)
= e
lim
x→0
1
x
. ln(1+sin x)
= e
lim
x→0
sin x
x
= e.
4). lim
x→∞

x +1
2x +3


x+2
=0(Vì lim
x→∞
x +1
2x +3
=
1
2
).
Trong dạng vô định 1
∞
người ta thường dùng công thức
lim
x→x
0
u(x)
v(x)
= e
lim
x→x
0
(u(x)−1).v(x)
.
1.2.6.3. Dạng vô định ∞−∞, 0.∞, 0
0
, ∞
0
Các dạng vô định này thường được biến đổi để đưa về dạng vô định 1.2.6.1.
Ví dụ 1.20.
1). lim

x→0
ln(1 + 2x).
1
e
3x
− 1
= lim
x→0
2x
3x
=
2
3
.
2). lim
x→∞

√
x
4
+3x
2
−
√
x
4
−1

.
3). lim

x→∞
x(
√
x
2
+1− x).
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.3.1. Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số y = f(x) xác định trên D được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu
f(x) xác định tại x
0
và
lim
x→x
0
f(x)=f(x
0
).
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-22-
Ký hiệu: ∆x = x −x
0
gọi là số gia của biến số x.
∆y = f(x) − f(x
0
)=f(x
0
+∆x) −f(x

0
) gọi là số gia của hàm số tại điểm x
0
(
ứng với số gia ∆x).
Khi đó, định nghĩa trên tương đương với các định nghĩa:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu lim
x→x
0
∆y =0.
Theo ngôn ngữ ε − δ:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu với mọi ε>0 tồn tại số δ>0 sao cho
với mọi x ∈ D: |x − x
0
| <δta có |f(x) − f(x
0
)| <ε.
Khi f(x) liên tục tại x
0
thì x
0
gọi là điểm liên tục của f(x).
Định nghĩa 1.3.2. Cho hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm
x
0
nếu f(x) xác định tại x

0
và
lim
x→x
−
0
f(x)=f(x
0
) ( lim
x→x
+
0
f(x)=f(x
0
)).
Mối liên hệ giữa liên tục và liên tục một phía tại một điểm được thể hiện bởi định lí sau:
Định lý 1.3.1. Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại x
0
là nó liên tục trái và
liên tục phải tại điểm đó. Khi đó
lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0
f(x)=f(x
0

).
Ví dụ 1.21.
1). Các hàm số y = sin x; y = cos x liên tục tại x =0.
2). Xét tính liên tục của hàm số
f(x)=

x
2
+1 nếu x = −1
1
2
nếu x = −1
tại điểm x = −1.
Ta có lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
(x
2
+1)=2=
1
2
= f(−1). Do đó hàm số f không liên tục tại
x = −1.
3). Xét tính liên tục của hàm số
f(x)=

x
2
+1 nếu x ≤ 1

x +1 nếu x>1
tại điểm x =1.
Ta có lim
x→1
−
f(x)=2=f(1) = lim
x→1
+
f(x) nên f liên tục tại x =1.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục
tại mọi điểm x thuộc khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a, b] nếu nó liên tục tại mọi
điểm x thuộc khoảng (a, b) và liên tục trái tại điểm b, liên tục phải tại a.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-23-
1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 1.3.4. Những điểm mà tại đó hàm số y = f(x) không lien tục (tức là không
tồn tại lim
x→x
0
f(x) hoặc giới hạn đó tồn tại ma không bằng f(x
0
)) được gọi là điểm gián đoạn
của f.
Ta có thể phân loại điểm gián đoạn theo nguyên nhân gây ra sự gián đoạn đó. Giả sử x
0
là một điểm gián đoạn của f. Khi đó
(i). Hàm số f( x) được gọi là gián đoạn loại I tại điểm x
0
nếu tồn tại hữu hạn các giới hạn

một bên lim
x→x
−
0
f(x) và lim
x→x
+
0
f(x).
(ii). Nếu lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x)=L = f(x
0
) thì ta nói f có gián đoạn bỏ được tại điểm x
0
(hay x
0
là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số f). Nếu f có gián đoạn bỏ được tại x
0
thì thay giá trị của f tại x
0
bằng L ta được một hàm liên tục tại x
0
.

(iii). Hàm số f gián đoạn tại x
0
nhưng không phải là gián đoạn loại I thì ta nói f gián đoạn
loại II tại điểm x
0
.
Ví dụ 1.22.
1). Hàm số f(x)=
x
|x|
gián đoạn loại I tại x =0.Vì lim
x→0
+
f(x)=1= −1 = lim
x→0
−
f(x).
2). Hàm số f(x)=

sin x
x
nếu x =0
0 nếu x =0.
Vì lim
x→0
+
f(x) = lim
x→0
−
f(x) = lim

x→0
sin x
x
=1= f(0) nên điểm x
0
=0là điểm gián đoạn bỏ
được của f.
3). Hàm số f(x)=



1 nếu x>0
0 nếu x =0
−1 nếu x<0
Vì lim
x→0
+
f(x)=1= f(0) và lim
x→0
−
f(x)=−1 = f(0) nên x =0là điểm gián đoạn loại I.
4). Hàm số f(x)=

1
x
2
nếu x =0
0 nếu x =0.
Rõ ràng f(x) gián đoạn loại II tại điểm x =0.
1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục

Từ định nghĩa liên tục của hàm số và tính chất của hàm số có giới hạn, người ta chứng minh
được rằng:
Mệnh đề 1.3.2. Tổng, hiệu, tích, thương(mẫu số khác 0) của hai hàm số liên tục tại cùng
một điểm x
0
nào đó cũng là một hàm số liên tục tại x
0
.
Mệnh đề 1.3.3. - Nếu hàm số f(x) liên tục tại x
0
và hàm số g(y) liên tục tại điểm y
0
= f(x
0
)
thì hàm hợp g ◦ f cũng liên tục tại x
0
.
- Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu ngặt thì tồn tại hàm số ngược f
−1
và f
−1
cũng là
hàm liên tục, đơn điệu.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long
-24-
1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục
Các định lý sau ta công nhận mà không chứng minh.
Định lý 1.3.4 (Định lý Bolzano - Cauchy 1). Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]
và f(a).f(b) < 0 thì có ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c)=0.

Định lý 1.3.5 (Định lý Bolzano - Cauchy 2). Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]
và f( a) = f(b), chẳng hạn f(a) <f(b). Khi đó nếu γ là một giá trị trung gian giữa f(a) và
f(b), tức là f(a) <γ<f(b) thì có ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c)=γ.
Định lý này thể hiện rõ tính liên tục của hàm số: đã lấy hai giá trị thì phải trải qua mọi
giá trị trung gian giữa hai giá trị đó. Hơn nữa, người ta cũng chứng minh được:
Định lý 1.3.6 (Định lý Weierstrass). Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó sẽ
đạt giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó, nghĩa là có hai điểm c
1
,c
2
∈ [a, b] sao
cho f(c
1
) ≤ f(x) ≤ f(c
2
), ∀x ∈ [a, b].
Hệ quả 1.3.7. Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là:
∃M>0, ∀x ∈ [a, b]: |f(x)|≤M.
Kết hợp với định nghĩa giới hạn hàm số và dựa vào tính chất của các phép toán, các tính
chất của hàm ngược, hàm hợp của các hàm liên tục, ta chứng minh tính chất rất có ích sau
đây:
Định lý 1.3.8. Hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
Bỡi vậy, khi tính giới hạn của một hàm số sơ cấp f(x) khi x dần tới một giá trị hữu hạn
x
0
thuộc tập xác định, ta chỉ cần thay trong f(x) bởi x
0
.
Ví dụ 1.23.
1). Hàm số f(x)=e

x
liên tục tại mọi điểm, do đó lim
x→x
0
e
x
= e
lim
x→x
0
x
= e
x
0
.
2). Hàm ln x liên tục với mọi x>0, do đó
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= ln lim
x→0
(1 + x)
1
x

=lne =1.
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long