Tổng hợp các chuyên đề ôn tập thi THPT quốc gia môn toán (blogtoan)

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( x0 , y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x)
* Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc của tiếp tuyến)
* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình
y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 )
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Đs:
a) y = 7.
b) y = 9 x − 11
c) y = -3x +5.
y = 6x + 6 3 + 5 .
y = 6x − 6 3 + 5 .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 2 x − 4 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Đs:
a) y = 6( x − 2)
b): y = 2 x − 4 .
2
100
c) y = x −
3
27

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3x + 1 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2.
b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N.
Đs
a) y = 9 x − 15
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y = 9 x − 15
b) N ( −4; −51) là điểm cần tìm

1
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại
3
điểm có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = 0 và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ
1


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
nhất.
ĐS
y = −x +

8
3

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y =
đường thẳng (d): y = 3x − 2 .
y = −3x − 2 và y = −3x + 10 .

x+2

tại các giao điểm của (C) với
x −1

1
m
1
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − x 2 + (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng
3
2
3
-1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Đs: m = 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + m (1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3
.
2

ĐS
m = 1 và m = - 5
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = f ( x) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
+ Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k ⇒ x = x0 , y0 = f ( x0 )
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0
 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
3
...
*) Cho trực tiếp: k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ±
7

 0 0 0 2π π 
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc α , với α ∈ 15 ;30 ;45 ; ; .... . Khi
3 3 

đó hệ số góc k = tan α .
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
−1
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ⇒ ka = −1 ⇔ k =
.
a
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc
của tiếp tuyến k = -3.
ĐS y = −3x + 1
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng y = 9x + 6.
ĐS y = 9 x − 26
2


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 10: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng y =

−1
x.
9

ĐS

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y =

1 4
x + 2 x 2 , biết tiếp
4

tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + 5 y − 2010 = 0 .
ĐS y = 5 x −

11
.
4

x+2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến
2x + 3
cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa
độ.
Đs y = − x − 2
Ví dụ 12: Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C).
x −1
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
1
5


y = − 4 x + 4
Đs: 
.
 y = − 1 x + 13

4
4
Ví dụ 13: Cho hàm số y =

1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(α ; β ) .
Cách giải
+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp
điểm).
+ Tiếp tuyến qua A(α ; β ) nên β − f ( x0 ) = f '( x0 )(α − x0 ) (*)
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y = x3 − 3x + 1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
ĐS ∆ : y = −1; ∆ : y = 9 x + 17
 Bài tập tự luyện
3


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 1. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 x − 5 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
x=1
1

2
Bài 2. Cho hàm số y = x3 − x + , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với
3
3
1
2
đường thẳng y = − x + (d )
3
3
Bài 3. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5

(C ) . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
4x − 2
Bài 4. Cho hàm số: y =
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp
x +1
tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài 5. Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng d: y =

1
x −1
6

Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y =

2x + 1
. Biết tiếp tuyến đi qua

x +1

điểm A(-1; 3).
x+2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-6,5)
x−2
Bài 8. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x 3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm
Bài 7. Cho hàm số: y =

 23

A  ; −2 ÷
 9

2. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số.
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I
Bước 1: Tìm TXĐ
/
Bước 2: Tính f ( x ) . Xác định các điểm tới

QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
/
Bước 2: Tính f ( x ) . Giải phương trình
f / ( x ) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2,... ) là các

hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.

nghiệm của nó.
//
//
Bước 3: Tính f ( x ) và f ( xi ) . Kết luận

2.1.2. Sự tồn tại cực trị
a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0:

4


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
 y '( x0 ) = 0
 y ' ( x0 ) = 0
hoặc 

 y ' ' ( x0 ) ≠ 0
 y ' dôi dau qua x 0
b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
 y '( x0 ) = 0

 y ' doi dau tu + sang − qua.x0
c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:

hoặc

y' ( x 0 ) = 0


y' ' ( x 0 ) < 0

 y '( x0 ) = 0
y '(x 0 ) = 0
hoặc y ''(x ) > 0

0

 y ' doi dau tu − sang + qua.x0
d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
a ≠ 0

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

/
e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
• Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
• Biễu diễn điều kiện của bài toán qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ
đó đưa ra điều kiện của tham số.
2.2. Ví dụ và bài tập
1
3

1
2

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số y = x 3 − x 2 − 2 x + 2 .

ĐS: hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT

= y ( −1) =

= y ( 2) =

19
6

−4
3 .

3
2
2
2
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y = 13 x + ( m − m + 2 ) x + ( 3m + 1) x + m − 5 đạt cực tiểu tại x = −2.

Đs m = 3
Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số
đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2 .
ĐS

5


/>
/>

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
−3 ≤ m < −1 − 3 hoặc −1 + 3 < m ≤ 1.
3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) = mx + 3mx − ( m − 1) x − 1 , m là tham số. Xác định các giá trị của

m để hàm số y = f ( x) không có cực trị.
ĐS: 0 ≤ m ≤ 4 là gtct
Ví dụ 5: Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − (m 2 − 3m + 2) x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
ĐS1 < m < 2 .
3
2
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số f ( x ) = 1 mx − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa
3
3
mãn x1 + 2 x2 = 1 .

Đs x1 + 2 x2 = 1 m = 2 ∨ m = 2
3
 Bài tập tự luyện
3
2
Bài 1. Cho hàm số y = 2 x − 3 ( m + 1) x + 6mx .

a) Tìm m để hàm số có cực trị.
b) Tìm m để hàm số có hai cực trị trên ( 0; +∞ ) .
c) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
d) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành
1

1
Bài 2. Cho hàm số y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
3
3
Bài 3. Tìm m để hàm số y =
x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) = 1

2 3
2
x − mx 2 − 2 ( 3m 2 − 1) x + có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho:
3
3

1
1
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3 − mx 2 + ( m 2 − 3) x có cực đại tại xCĐ cực
3
2
tiểu tại xCT sao cho xCĐ, xCT là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng

5
.
2

Bài 5. Xác định m
x1 − x2 =

3
2

để hàm số y = mx − ( 2m − 1) x − x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho

16
.
9
6


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
3
2
Bài 6. Xác định m để hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 9 x − m đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho

x1 − x2 = 2 .
3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao
3.1. Kiến thức cơ bản
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm
của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).
 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
3.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x 0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng:
y – y0 = k(x – x0).

+ Khai thác tọa độ giao điểm ( M ( xM ; yM ) của (C) và d, ta cần chú ý: xM là nghiệm của
(1);M thuộc d nên yM = axM + b
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + ... + a1 x + a0 = 0 .
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x =

p
(p, q)=1 thì q \ an và p \ a0 .
q

 Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
3.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 − 3 x 2 + m = 0 .
ĐS
m − 1 > 3 ⇔ m > 4 : Phương trình có 1 nghiệm.
m − 1 = 3 ⇔ m = 4 : Phương trình có 2 nghiệm.
3 > m − 1 > −1 ⇔ 4 > m > 0 : Phương trình có 3 nghiệm.
m − 1 = −1 ⇔ m = 0 : Phương trình có 2 nghiệm.
m − 1 < −1 ⇔ m < 0 : Phương trình có 1 nghiệm.
7


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016

Ví dụ 2.Cho hàm số y = − x 4 + 3x 2 + 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4 − 3x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
9
ĐS 0 < m <
4
2x −1
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt.
 Bài tập đề nghị.
Bài 1. (Cho hàm số y = x 3 + 3(m − 1) x 2 − 3mx + 2 và đường thẳng d : y = 5 x − 1. Tìm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 21
Bài 2. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 và đường thẳng d : y = 5 x − 1. Tìm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
b) có hoành độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15
Bài 3. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + m + 1 và đường thẳng d : y = 2 x − m − 1. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Bài 4. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m 2 − 1)
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.

CHUYÊN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
1. Kiến thức cần nhớ

1.1. Công thức lũy thừa
Cho a > 0, b > 0 và m, n ∈ ¡ . Khi đó:
a m .a n = a m+ n

( a m ) n = a m .n

(ab) n = a n .b n

8


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
am
= a m− n
n
a

n

1
= a−n
n
a

1
a = −n
a

am = a

m

am
a
=
 ÷
bm
b

m
n

n

1.2. Công thức lôgarit
Với các điều kiện thích hợp ta có:
log a b = α ⇔ aα = b

log a 1 = 0

log a a = 1

log a aα = α

a log a b = b

log a bα = α log a b

log aα b =

1
log a b
α

log am b n =

log a (m.n) = log a m + log a n
log a b =

log c b
log c a

−n

a b
 ÷ = ÷
b a

n

n
log a b
m

m
= log a m − log a n
n
1

log a b =
log b a
log a

2. Phương trình và bất phương trình mũ
2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Cho a là một số dương khác 1. Ta có:
f ( x)
= a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x )
a) a
b > 0
f ( x)
=b⇔
b) a
 f ( x ) = log a b
* Lưu ý: Với b < 0 thì phương trình vô nghiệm.
c) a f ( x ) > a g ( x ) (*)
( )
- Với a > 1 thì a f > a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )
x

( )
- Với 0 < a < 1 thì a f > a g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x )
x

d) a f ( x ) > b
- Với b ≤ 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ D, D là tập xác định của f ( x ) .
- Với b > 0 :
+ a > 1: a

f ( x)

> b ⇔ f ( x ) > log a b

+ 0 < a < 1: a

f ( x)

> b ⇔ f ( x ) < log a b .

Bài 1 . Giải các phương trình sau:
2

a )5 x +3x = 625
Lời giải

b) 2 x

2

−3 x − 6

c) 2 x +1.5 x = 200

= 16
9


/>
/>

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
x = 1
a) 
 x = −4
x = 5
b) 
 x = −2
c) x = 2
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a) 7

6 x 2 + 3 x −7

− x2 +7 x + 2

3
b)  ÷
5

≤ 49

>

9
25

Lời giải
a ) S = [-3; 1].
b) S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ )
2

Bài 3. Giải phương trình: 23 x − x −10 + 4 x
x = −2, x = 3.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải phương trình, bất phương trình:
1) 42 x +

3

x+2

+ 2 x = 42 +

x +5

x+2

3

2

− x−4

− 2x

+ 2 x + 4 x −4 ( x ∈ ¡ )

2

+ x+ 2

3) 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 = 3x − 3x −1 + 3 x−2

x +17

2) 32 x −7 = 0, 25.128 x −3
5)

1
2

x
7) 2

2

x −2 x
2

−5 x + 6

9) 9 + 9
x

4) 4 x

2

+9

−3 x + 2

+ 4x

2

+6 x+5

= 42 x

2

+3 x + 7

+1

6) ( 10 + 3) x −2 > ( 10 − 3) x + 2

+ 21− x = 2.26−5 x + 1
x+2

2

x−2

≤ 2 x −1

x +1

− 16 = 0 .

<4 +4
x

x +1

+4

8) 4 x − 3
x+2

10)

(

x−

1
2

5+2

=3

)

x −1

x+

≥

1
2

(

− 22 x −1
5−2

)

x −1
x +1

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
 Đặt t = a x , t > 0 .
 Thay vào phương trình hoặc bất phương trình để biến đổi phương trình theo t.
 Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
 Nếu có nghiệm thỏa thì thay t = a x để tìm x và kết luận.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a ) 9 x − 10.3x + 9 = 0
b) 25 x + 3.5 x − 10 = 0
10


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
c ) 2 x − 23 − x − 2 = 0

d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0

a ) x = 0 và x = 2.
b) x = log 5 2 .
c) x = 2.
d ) x = -1 và x = 1.
Bài 2 . Giải các bất phương trình: 4 x − 3.2 x + 2 < 0
S = (0; 1).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải phương trình và bất phương trình:
1) 4 x −

x 2 −5

− 12.2 x −1−

x 2 −5

2) ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0
x

+8 = 0

3) (3 + 5) x + 16.(3 − 5) x = 2 x+3
5) 4 x+

x −1

(

7) 3 + 5

)

− 5.2 x +

2 x − x2

(

x − 1+1

+ 3− 5

)

4) 252 x − x

+ 92 x − x

2

+1

= 34.152 x − x

2

x

2

− 21+ 2 x − x ≤ 0

8) 8.3

2 x − x2

(

1
− 2 ÷
≤3
9) 9
3
1
1
≥
11) x +1
3 − 1 1 − 3x
2.3. Phương pháp lô ga rít hóa:
Bài 1 . Giải các phương trình:
x2 −2 x

+1

6) 3x +1 − 2 2 x +1 − 12 2 < 0

+ 16 ≥ 0
2 x−x2

2

x

x+4 x

+9

)

4

x

x +1

≥9

x

(

10) 5 − 21 + 7. 5 + 21

)

x

≥ 8.2 x

x
x
12) (5 + 2 6) + (5 − 2 6) ≤ 10

4 x +1

3 x+ 2

x −1
2
1
1) 9 .7 = 1
2)  ÷ =  ÷
3) 5 x8 x = 500
5
7
2.4. Phương pháp hàm số:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v .
x

x2

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải phương trình và bất phương trình:
x−2
x−2
1) 32 x + 42 x = 25 x
2) 3.16 + ( 3 x − 10 ) .4 + 3 − x = 0
11


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
3) 2

1− x 2
x2

1− 2 x
x2

−2

x−2
=
2x

5) 2 x −1 < 2 − x

4)

21− x − 2 x + 1
<0
2x − 1

6) 16 x − 3x ≤ 4 x + 9 x

3. Phương trình và bất phương trình lôgarít:
3.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
* Nếu 0 < a ≠ 1 thì log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) > 0 .
* Nếu a > 1 thì log a f ( x) < log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x) .
* Nếu 0 < a < 1 thì log a f ( x) < log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0
Bài 1.Giải các phương trình sau
1
3

a ) log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11

b) log 5 x + log 25 x = log 0,2

c) log 22 x − log 2 x − 6 = 0

d ) 4log 22 x + log

e) 3log 32 x = 10log 3 x − 3
Lời giải
a ) x = 64.
b) x = 3 3 .

f ) ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)

2

x=2

c) x = 4 và x = 8.
1
d ) x = và x = 2
2
e) x = 27 và x = 3 3 .
f ) x = 5.
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a ) log 3 (4 x − 3) < 2

b) log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1

c) log 1 (2 x + 4) ≤ log 1 ( x 2 − x − 6)

d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x 2 − 11x + 1)

3

3

Lời giải
3 
a ) S =  ;3 ÷
4 

b) S = [ 1;2 ) ∪ ( 3;4]
c) S = ( 3;5]

 1   9
d ) S = 0; ÷∪  1; 
 10   5 
12


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 3 . Giải các phương trình:
a) log 3 ( x − 1) + log
2

3

( 2 x − 1) = 2

b) log 4 ( x + 1) + 2 = log
a) x = 2
2

(

4 − x + log8 ( 4 + x ) (2)
3

2

)

b) x = 2 hoặc x = 2 1 − 6 .
Bài 4 . Giải các bất phương trình:
1
2
a) log 3 x − 5 x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
2
3
3
b) log 1 log 5
3

)

(

x 2 + 1 + x > log 3 log 1
5

(

x2 + 1 − x

)

a) x > 10 .
 12 
b) x ∈  0; ÷
 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2) log 1 x + 2log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0

1) log 5 x + log 25 x = log 0,2 3

2

4

3) log (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x )
2
1
2

4) log

2

2

x + 1 − log 1 (3 − x) − log 8 ( x − 1) 3 = 0
2

5) log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =

(

7) log x log 3 ( 9 x – 72

2
3

) ) ≤1

2
9) log 1 ( x − 6 x + 8) + 2log 5 ( x − 4) < 0
5

6)
8)

log 4

1
log(5 x − 4) + log x + 1 = 2 + log 0,18
2
1
1
<
x 2 − 4 x + 3 log 4 ( x − 3)
1

10) log 2 x 2 − 3 x + 1
1
3

2
11) 2log 25 ( x − 1) ≥ log 5

>

1
log 1 ( x + 1)
3

1
.log 1 ( x − 1) 12) log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x
2x −1 −1
5

3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
 Đặt t = log a x .
 Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.
 Giải phương trình tìm t.
 Thay t = log a x tìm.
13


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 1 : Giải phương trình: log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0
x = 3 3 và x = 3− 3
Bài 2 . Giải các phương trình:
a) ( 2 − log 3 x ) log 9 x 3 −

4
=1
1 − log 3 x

log x x 2 − 14log16 x x 3 + 40.log 4 x x = 0

2
b)
a) x = 4; x = 81 .

b) x = 4, x = 1
2
3
 32 
4
2  x 
2
log
x
−
log
Bài 3 . Giải bất phương trình
÷+ 9log 2  2 ÷ < 4log 1 x
2
1 
8
x 
2 
2

1 1
 , ÷∪ ( 4,8 ) .
8 4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2) log 4 ( x –1) + log 2 ( x – 1) = 25

2

1) log 32 x = 3 3 2 + 3log 2 x + 2 .
3) log x 2.log x 2 >
16

1
log 2 x − 6

2
4) log 1 ( x − 5) + 3log 5 5 ( x − 5) + 6log 1 ( x − 5) − 2 ≤ 0
5

x
x
5) log 2 ( 5 − 1) .log 2 ( 2.5 − 2 ) = 2

7) 2log 5 x − log x 125 < 1
9) log 3

(

)

x + 2 = log 2

(

3

)

x +1

25

 x
2
6) log 2 x  ÷+ log 2 x ≥ 1
8
1
2
+
<1
8) 5 − log 2 x 1 − log 1 x
2

x
x
10) log 2 ( 5 − 1) .log 2 ( 2.5 − 2 ) = 2

CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình đưa về dạng tích
1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng
thành tích, công thức hạ bậc,…
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
(1)
ĐS:
14

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
k 2π

x = 7

 x = π + k 2π ; k ∈ Z

3
3

 x = ± 2π + k 2π
3

*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu
các góc bằng nhau
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =

2−3 2
8

(2)

ĐS:

x=±

π kπ
+
( k ∈Z)
16 2

*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng
công thức nhân 3

π

− 2 x ÷+ 3 cos 4 x = 4cos 2 x − 1 (3)
4


2
Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos 

ĐS

x=

π
π kπ
+ kπ ∨ x =
+
,k ∈¢
12
36 3

1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác

Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử
chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

⊕ sin 2 x = ( 1 − cos x ) ( 1 + cos x )

,

cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )
⊕1 + sin 2 x = ( sin x + cos x )

2

1 − sin 2 x = ( sin x − cos x )

2

cos 2 x = ( 1 − sin x ) ( 1 + sin x )
1 + cos 2 x + sin 2 x = 2cos x(sin x + cos x)
1 − cos 2 x + sin 2 x = 2sin x(sin x + cos x)

sin x + cos x
cos x
π

⊕ 2 sin  x + ÷ = sin x + cos x
4

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin x(1 + cos 2 x) + sin 2 x = 1 + 2cos x (4)
⊕1 + tan x =

Giải
Cách 1:
Cách 2:

( 2cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) = 0
⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos 2 x − cos x + sin x ) = 0
15


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 5.Giải phương trình: cos 2 x + 3sin 2 x + 5sin x − 3cos x = 3 (5)
Giải

⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = 0
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều quan trọng nhất
của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng
giác để loại nghiệm. Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot. Khi đó, có thể sử dụng một
số công thức

sin ( a ± b )
cos a cos b
cos ( a − b )
⊕ tan a + cot b =
cos a sin b
2
⊕ tan a + cot a =
sin 2a

cos ( a − b )
⊕1 + tan a tan b =
cos a cos b

sin ( b ± a )
cos a cos b
−cos ( a + b )
⊕ tana-cotb=
cos a sin b

⊕ tan a ± tan b =

⊕ cota ± cotb=

⊕ cot a − tan a = 2cot 2a
⊕ 1 − tan a tan b =

−cos ( a + b )
cos a cos b

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
Ví dụ 6. Giải phương trình: cot x = tan x +
Đs: x = ±

π
+ lπ , l ∈ Z
3

Ví dụ 7. Giải phương trình:
Đs: x =

2cos 4 x
(6)
sin 2 x

4cos3 x + 2cos 2 x ( 2sin x − 1) − sin 2 x − 2 ( sin x + cos x )
= 0 (7)
2sin 2 x − 1

m 2π
,m∈ Z
3

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3tan 3 x + cot 2 x = 2 tan x +
Giải

cos3x ≠ 0
π kπ

x≠ +
sin2x ≠ 0



6 3 ,k ∈ Z
⇔
ĐK: 
(*)
cos
x

≠
0
k
π

x ≠
sin 4 x ≠ 0

4
1
 −1 
x = ± arccos  ÷+ mπ , m ∈ Z
2
 4 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

16

2
(8)
sin 4 x


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
1)cos3 x + cos2 x − cos x − 1 = 0
3)(1 − tan x)(1 + sin 2 x) = 1 + tan x

π 


2) 2 2 sin  x − ÷cos x = 1
12 

1
1
4)sin 2 x + sin x −
−
= 2cot 2 x
sin 2 x 2sin x

5)sin 2 x + cos2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0
x

6) tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan ÷
2


π

7)2 2cos 3  x − ÷− 3cos x − sin x = 0
4


8)

1
=
tan x + cot 2 x

2 ( cos x − sin x )
cot x − 1

1
2
π 
π

10)sin 3 x − cos3 x = cos2 x tan  x + ÷tan  x − ÷
4 
4

11) tan x + tan 2 x = − sin 3 x cos 2 x
9) cos x cos 2 xcos3 x + sin x sin 2 x sin 3 x =

π x  7
12)sin x cos 4 x − sin 2 2 x = 4sin 2  − ÷−
 4 2 2
x
x
π x 
13)sin sin x − cos sin 2 x + 1 = 2cos 2  − ÷
2
2
 4 2
14)2sin x + cot x = 2sin 2 x + 1
15)sin 2 x +

sin 2 3 x
cos3 x sin 3 x + sin 3 x cos 3 x ) = sin x sin 2 3 x

(
3sin 4 x

3. Tính các giá trị lượng giác biểu thức lượng giác
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

4
a) cos a = , 2700 < a < 3600
5
5 π
c) sin a = , < a < π
13 2
3π
e) tan a = 3, π < a <
2

b) cos α =

2

,−

π
<α < 0
2

5
1
d) sin α = − , 1800 < α < 2700
3

π
f) tan α = −2, < α < π
2
3π
g) cot150 = 2 + 3
h) cot α = 3, π < α <
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
cot a + tan a
3
π
25
a) A =
ĐS:
khi sin a = , 0 < a <
cot a − tan a
5
2
7
17


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
b) B =

c) C =

8 tan 2 a + 3cot a − 1

1
khi sin a = , 900 < a < 1800
tan a + cot a
3
sin2 a + 2sin a.cos a − 2 cos2 a
2

2

khi cot a = −3

ĐS:

8
3

ĐS: −

2sin a − 3sin a.cos a + 4 cos a
sin a + 5cos a
khi tan a = 2
d) D = 3
sin a − 2 cos3 a
8cos3 a − 2sin3 a + cos a
e) E =
ĐS:
khi tan a = 2
2 cos a − sin3 a
cot a + 3tan a
2

g) G =
ĐS:
khi cos a = −
2 cot a + tan a
3
sin a + cos a
h) H =
ĐS:
khi tan a = 5
cos a − sin a
5
Bài 3. Cho sin a + cos a = . Tính giá trị các biểu thức sau: A = sin a.cos a
4
9
ĐS:
32
Bài 4. Cho tan a − cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
ĐS: 11
A = tan2 a + cot 2 a

23
47

3
2
19
13
3
−
2

−

Bài 5.

3
. Tính A = sin 4 x + 3cos4 x .
4
1
b) Cho 3sin 4 x − cos4 x = . Tính B = sin 4 x + 3cos4 x .
2
a) Cho 3sin 4 x + cos4 x =

ĐS: A =

7
4

ĐS: B = 1

Bài 6.

1
và 900 < x < 1800 . Tính sin x , cos x , tan x, cot x .
5
4 3 4
3
ĐS: ; − ; − ; −
5 5 3
4
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức lượng giác khi biết


π
3 π
38 − 25 3
a) tan  α + ÷ khi sin α = , < α < π
ĐS:

3
5 2
11
π

12 3π
(5 − 12 3)
< α < 2π
b) cos  − α ÷ khi sin α = − ,
ĐS:
3

13 2
26
1
1
119
c) cos(a + b).cos(a − b) khi cos a = , cos b =
ĐS: −
3
4
144
8

5
d) sin(a − b), cos(a + b), tan(a + b) khi sin a = , tan b =
và a, b là các góc nhọn.
17
12
Cho sin x + cos x =

18


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
21 140
21
;
;
.
221 221 220
Bài 8. Tính giá trị của biểu thức lượng giác khi biết
5
3π
a) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi cos α = − , π < α <
13
2
cos
2
α
,
sin

2
α
,
tan
2
α
khi
tan
α
=
2
b)
ĐS:

4 π
3π
c) sin α , cos α khi sin 2α = − , < α <
5 2
2
7
d) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi tan α =
8

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC
1. Kiến thức cơ bản.
1.1. Các khái niệm

19

/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016

1.2. Các phép toán trên số phức.
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i
zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i
* Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
1
1
z-1= a 2 + b 2 z = 2 z
z
Thương

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
z
z'
z '.z
= z.z −1 = 2
z
z

2. Các dạng bài tập.

2.1. Dạng 1: Các phép toán trên số phức.
3 1
− i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2
2 2
1
Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i ) +
3+i
53 9
số phức liên hợp của z là: z = − i
10 10

Ví dụ 1: Cho số phức z =

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết z =

(

2 +i

Phần ảo của số phức z = − 2
Ví dụ 4: Tìm mô đun của số phức z =

(1 + i )(2 − i)
1 + 2i

26
5

20

) ( 1 − 2i )
2


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
1 − 3i )
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z = (
1− i

3

. Tìm môđun của số phức z + iz.

8 2

Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:
a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.
c) x ( 3 + 5i ) + y ( 1 − 2i ) = −35 + 23i
3

1

 x = − 7
a) 
y = 4

7

9

x
=

11
b) 
y = 4

11

x = 3
y = 4

c) 

 Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
Bài 2. Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực
x(3 − 2i )
+ y (1 − 2i )3 = 11 + 4i
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:
2 + 3i
Bài 4. Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i ; z 2 = 3 − 4i . Xác định phần thực, phần ảo của số phức
z1.z2
Bài 5. Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức:
a) z = (2 + 3i)(1 − i ) − 4i

b) z = (2 − 2i )(3 + 2i )(5 − 4i ) − (2 + 3i) 3
c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)
−2 + 5i
(1 + 2i )( −4 + i )
d) z =
e) z =
(1 + 3i)(−2 − i)(1 + i )
(1 − i )(4 + 3i )
Bài 6. Tìm các số phức: 2z + z và

25i
, biết z = 3 − 4i .
z

Bài 7. Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức

w=

z +i
iz − 1

1 + 7i
+ (3 − 2i )(−1 + 3i) Tính mô đun của z và tìm tọa độ điểm biểu
1 + 2i
diễn hình học của z trong hệ tọa độ Oxy.
2(1 + 2i )
= 7 + 8i . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i
Bài 9. Cho z thỏa mãn (2 + i)z +
1+ i
Bài 10. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.

Bài 8. Cho số phức z =

21


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 11.Cho số phức z thỏa mãn ( 1 − 2i ) z −

2−i
= ( 3 − i ) z .Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z
1+ i

trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 12. Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi (x,y ∈ Z)
2.2. Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: z , z , z ,... ta sẽ sử
dụng Dạng đại số của z là z = x + yi với x, y ∈ R
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i
z= 2-i

(

)

Ví dụ 2: Tính mô đun của số phức z biết rằng: ( 2 z − 1) ( 1 + i ) + z + 1 ( 1 − i ) = 2 − 2i
2
3
2

2

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z + 2 z.z + z = 8 và z + z = 2 .
số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + 1 − 2i = z + 3 + 4i và

z − 2i
là một số thuần
z +i

ảo.
z=−

12 23
+ i
7 7
2

Ví dụ 5: Tìm tất cả các số phức z biết z 2 = z + z
1 1
1 1
Vậy z=0; z = − + i; z = − − i
2 2
2 2
Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo.
số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z −

5+i 3

−1 = 0
z

z = −1 − i 3 hoặc z = 2 + i 3

(

)

Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z − i = 2 và ( z − 1) z + i là số thực
z=1; z=-1+ 2i
 Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn: z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = 1 – 2i
22


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 .
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn z − ( 1 + 2i ) = 26 và z.z = 25 .
Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a) z = 2 và z là số thuần ảo. b) z = 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Bài 6. Tìm số phức z thoả mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo.
Bài 7. Giải phương trình:
a) z 2 + z = 0 .

b) z 2 + z = z

Bài 8. Tìm số phức z biết ( z + 1)(1 + i ) +

z −1
= | z |2 .
1− i

Bài 9. Tìm số phức z biết: z − 1 = 1 và (1 + i )( z − 1) có phần ảo bằng 1.
_

_

Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn: z − 1 = 5 và 17( z + z ) = 5 z z .
z = 5

Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn 
z
5 2.
− ( 2 + i) =

4
 2 ( 1 + i )
2.3. Dạng 3: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập
hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ
thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:
Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm
M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm
M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) z − 1 + i =2

b) 2 + z = 1 − i
c) z − 4i + z + 4i = 10
a) (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.
b) tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
c)

x2 y 2
+
=1
9 16

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z − i = (1+ i) z
x 2 + ( y + 1) = 2
2

23


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u =

z + 2 + 3i
là một số thuần ảo.
z −i

( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 5


( x; y ) ≠ ( 0;1)
 Bài tập tự luyện
Bài 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau
a) z + (1 − 3i ) = z + 3 − 2i

b) 2 z − i = z − z + 2i

c) z − ( 3 − 4i ) = 2

3
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
Bài 2. Trong các số phức thỏa mãn z − 2 + 3i =

kiện: z − i = z − 3i − 2 . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun
nhỏ nhất
Bài 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất.
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 − 5i = z + 3 − i . Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất.
Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − i = 52 , tìm số phức z mà z − 4 + 2i là nhỏ
nhất.
Bài 7. Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z
thỏa mãn z − 2 + 2i = 1 , hãy tìm số phức có z nhỏ nhất
Bài 8. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

(1+ i) z + 2 = 1
1− i

.Tìm số phức có mô đun nhỏ

nhất, lớn nhất.
2.4. Dạng 4. Phương trình bậc hai trên tập số phức
Giải phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C ∈ C, A ≠ 0)
Phương pháp:
Tính ∆ = B2 – 4AC
*) Nếu ∆ ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 =
(trong đó δ là một căn bậc hai của ∆).
24

−B + δ
−B − δ
, z2 =
2A
2A


/>
/>
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016
*) Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = −
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) z 2 − z + 1 = 0
b) x 2 + 2 x + 5 = 0

B
2A

c) z 4 + 2 z 2 − 3 = 0

Ví dụ 2: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 Tính giá trị biểu thức
2

A = z1 + z2
2

2
2

A = z1 + z2 = 20
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 6 z + 13 = 0 Tính z +

6
z+i

17 ; 5
CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Đại số tổ hợp
1.1.1. Quy tắc cộng:
Có n1 cách chọn đối tượng A1.
n2 cách chọn đối tượng A2.
A 1 ∩ A2 = ∅
⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.
1.1.2. Quy tắc nhân:
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.
⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.

1.1.3. Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
− Số hoán vị: Pn = n!.
1.1.4. Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
n!
k
− Số các chỉnh hợp: An =
( n − k )!
1.1.5. Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử.
n!
k
− Số các tổ hợp: Cn =
k !(n − k )!
25