QUY TẮC ĐẾM, CÁC CÔNG THỨC ĐẾM NHANH GIẢI XÁC SUẤT THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

QUY T C I M ậ CÁC CÔNG TH C
M NHANH
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Quy t c đ m – các công th c đ m nhanh thu c khóa
h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. M t cái h p đ ng 3 viên bi đ và 7 viên bi xanh. L n l t l y 2 viên bi t h p đó (m i l n 1 viên bi
). H i có bao nhiêu cách l y, đ l n l y viên bi th hai là viên bi xanh.
Gi i:
 Tr ng h p 1: L n 1 l y đ c viên bi đ và l n 2 l y đ c viên bi xanh, s cách l y: 3.7  21 (cách)
 Tr ng h p 2: L n 1 l y đ c viên bi xanh và l n 2 l y đ c viên bi xanh, s cách l y: 7.6  42
(cách)
V y s cách l y th a mãn đi u ki n bài toán là: 21  42  63 (cách).
Bài 2. Có bao nhiêu s t nhiên ch n, g m 5 ch s đôi m t khác nhau và ch s chính gi a luôn là 2.
Gi i:
G i s t nhiên có 5 ch s th a mãn đi u ki n đ bài có d ng: ab2cd
Theo yêu c u bài toán, suy ra d 0; 4;6;8
 Tr ng h p 1: d  0 , khi đó ab2c có s cách ch n là: A83  336
(ch n 3 s a , b, c t 8 s 1,3,4,5,6,7,8,9 và có quan tâm t i th t )
 Tr ng h p 2: d 4;6;8 : 3 cách ch n, khi đó:

a có 7 cách ch n , b2c có A72  42 cách ch n
Suy ra có 3.7.42  882 (s ) trong tr ng h p 2.

V y s các s th a mãn bài toán là: 336  882  1218 s .
Bài 3. Trong kì thi THPT Qu c Gia n m 2016, m i thí sinh có th d thi t i đa 8 môn : Toán, Lí, Hóa,
Sinh, V n, S , a và Ti ng Anh. M t tr ng đ i h c d ki n tuy n sinh d a vào t ng đi m c a ba môn
trong kì thi chung và có ít nh t m t trong hai môn là Toán ho c V n. H i tr ng đ i h c đó có bao nhiêu
ph ng án tuy n sinh.
Gi i:
Cách 1 (Tr c ti p)
Tr ng h p 1: Trong 3 môn thi có 1 Toán, 1 V n và 1 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: C11.C11.C61  6
Tr ng h p 2: Trong 3 môn thi có 1 Toán và 2 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: C11.C62  15
Tr ng h p 3: Trong 3 môn thi có 1 V n và 2 môn còn l i không ph i Toán, V n
Suy ra s cách ch n: C11.C62  15
V y tr ng đ i h c có 6  15  15  36 ph ng án tuy n sinh.
Cách 2 (Gián ti p)
S cách ch n 3 môn tùy ý t 8 môn là: C83  56
S cách ch n 3 môn không có Toán và V n là: C63  20
V y tr ng đ i h c có 56  20  36 ph ng án tuy n sinh.
Bài 4. Trong m t ph ng cho 8 đi m, trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng. H i :
1. Có bao nhiêu đo n th ng n i li n t các đi m đó.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

2. Có bao nhiêu tam giác mà đ nh là các đi m đó.
3. N u 8 đi m trên t o thành m t đa giác l i 8 c nh thì s đ ng chéo là bao nhiêu.
Gi i:
1. ng v i 2 đi m luôn t o cho ta 1 đo n th ng, do đó s đo n th ng c n l p chính là s cách ch n 2 đi m
t 8 đi m không quan tâm t i th t . Do đó, s đo n th ng t o thành là: C82  28 .
2. ng v i m i 3 đi m b t kì không th ng luôn t o cho ta 1 tam giác. Do đó, s tam giác t o thành:
C83  56 .
3. V i 8 đ nh c a đa giác l i, ta t o đ
Trong C đ
2
8

c C82 đ

ng th ng (m i đ

ng th ng đi qua 2 đ nh c a đa giác).

ng th ng này bao g m s c nh c a đa giác ( 8 c nh) và s đ

ng chéo.

Do đó s đ ng chéo c a đa giác l i 8 c nh là : C82  8  20 .
Chú ý:
 S đo n th ng đ c t o thành t n đi m (không có 3 đi m nào th ng hàng) là: Cn2 .


S tam giác đ

c t o thành t n đi m (không có 3 đi m nào th ng hàng) là: Cn3 .

n2  3n
 S đ ng chéo trong m t t giác l i n đ nh ( n c nh) là: C  n 
.
2
Bài 5. M t l p h c có 10 h c sinh nam và 15 h c sinh n . Trong đ i h i chi b c a l p, giáo viên ch
nhi m c n ch n ra 3 h c sinh làm cán b l p g m m t l p tr ng, m t l p phó và m t bí th . Giáo viên
ch nhi m có bao nhiêu cách ch n mà th kí ph i là h c sinh n và cán b l p ph i có nam.
Gi i:
1
S cách ch n 1 n làm th kí: C15  15
Vi c ch n 2 b n làm l p tr ng, l p phó, x y ra các tr ng h p sau:
 Tr ng h p 1: Ch n 1 nam, 1 n và hai ng i này có th hoán đ i ch c v (lúc này còn l i 14 n )
1
1
S cách ch n là: 2.C10
.C14
 280
 Tr ng h p 2: Ch n 2 nam và hai ng i này có th hoán đ i ch c v
S cách ch n là: 2.C102  90
Suy ra s cách ch n 2 b n làm l p tr ng, l p phó là: 280  90  370
V y s cách ch n th a mãn đi u ki n bài toán là: 15.370  5550
2
n

Bài 6. Tính giá tr c a bi u th c M 

n  3
i u ki n 
*
n 

An41  3 An3
, bi t r ng: Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 v i n 
(n  1)!
Gi i:

*

.

(n  1)!
(n  2)!
(n  3)!
(n  4)!
2
2

 149
2!(n  1)!
2!n!
2!(n  1)! 2!(n  2)!
(n  1)n.(n  1)! (n  2)(n  1).n! (n  3)(n  2).(n  1)! (n  4)(n  3)(n  2)!





 149
2.(n  1)!
n!
(n  1)!
2.(n  2)!
(n  1)n
(n  4)(n  3)

 (n  2)(n  1)  (n  3)(n  2) 
 149
2
2
n 3
n *
n  5
A64  3 A53 3
2

 n  4n  45  0  

 n  5 . Khi đó M 
 .
6!
4
 n  9
Bài 7. Có 5 hành khách lên m t toa tàu g m 4 toa, m i toa đ u có ít nh t 5 ch (các toa đ c đánh s th
t : toa 1, toa 2…). H i có bao nhiêu cách lên tàu c a nh ng hành khách trên, sao cho không có đúng 3
hành khách nào lên cùng 1 toa.
Gi i:

Ta có Cn21  2Cn2 2  2Cn23  Cn2 4  149 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

 M i khách có 4 cách ch n toa tàu, do đó s kh n ng ch n toa c a 5 hành khách m t cách b t kì
là:
4.4.4.4.4  45  1024
 Ta s đi tính s cách x p 3 hành khách lên cùng 1 toa
S tr ng h p 3 khách lên cùng 1 toa t ng ng v i s cách phân tích: 3  2  3  1  1
 Tr ng h p 1: Có 1 toa 3 khách và 1 toa 2 khách.
+) 3 khách lên cùng 1 toa, s cách: C53 ; s cách ch n t a cho 3 khách này là: 4.
+) S cách x p cho 2 khách còn l i lên 1 toa: 3
Suy ra s cách x p cho tr ng h p 1 là: C53 .4.3  120 (cách)
 Tr ng h p 2: Có 1 toa 3 khách và 2 toa m i toa 1 khách.
+) 3 khách lên cùng 1 toa, s cách: C53 ; s cách ch n t a cho 3 khách này là: 4.
+) S cách x p cho 2 khách còn l i lên 3 toa (1 khách 1 toa): A32
Suy ra s cách x p cho tr ng h p 2 là: C53 .4. A32  240 (cách)
 V y s cách ch n th o mãn đi u ki n bài toán là: 1024  (120  240)  664 (cách).

Bài 8. T các ch s 0,1, 2,5,7,9 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên chia h t cho 6 mà s đó có 5 ch
s khác nhau.
Gi i:
Vì s chia h t cho 6 thì đ ng th i ph i chia h t cho 2 và 3.
S c n tìm chia h t cho 2 nên có d ng abcd 0 ho c abcd 2
 Tr ng h p 1: S có d ng abcd 0 , khi đó abcd 0 3   a  b  c  d  3
M t khác a , b, c, d {1, 2,5,7,9} và 1  2  5  7  9  24 3
Nh v y ta c n lo i đi 1 ch s chia h t cho 3 trong t p {1, 2,5,7,9} , suy ra s c n lo i là 9
V y a , b, c, d đ c ch n t t p {1, 2,5,7} , v y có 4!  24 s th a mãn tr ng h p này.


Tr

ng h p 2: S có d ng abcd 2 , khi đó abcd 2 3   a  b  c  d  2  3

Suy ra a  b  c  d chia 3 d 1
M t khác a , b, c, d {0,1,5,7,9} và 0  1  5  7  9  22 chia 3 d 1
Nh v y ta c n lo i đi 1 ch s chia h t cho 3 trong t p {0,1,5,7,9} , suy ra s c n lo i là 0 ho c 9
 V i a , b, c, d đ c ch n t t p {1,5,7,9} , s cách l p 4!  24 (s )
 V i a , b, c, d đ c ch n t t p {0,1,5,7} , s cách l p 3.3!  18 (s )
V y có 24  18  42 s th a mãn tr ng h p này
Suy ra có 24  42  66 s th a mãn đi u ki n bài toán.
Bài 9. Có bao nhiêu s có b n ch s có d ng abcd sao cho a  b  c  d
Gi i:
a

b

c


d
Tr ng h p 1:
Khi đó ta c n ch n 4 ch s a , b, c, d phân bi t t 9 ch s 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .
ng v i b 4 s (a , b, c, d ) ta ch có th t o ra đ c 1 s abcd th a mãn a  b  c  d
Do đó s cách ch n là: C94  126
Tr ng h p 1: a  b  c  d
Khi đó ta c n ch n 3 ch s a , b, c phân bi t t 9 ch s 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .
ng v i b 3 s (a , b, c) ta ch có th t o ra đ c 1 s abcd th a mãn a  b  c  d
Do đó s cách ch n là: C93  84
V y có 126  84  210 s th a mãn đi u ki n bài toán.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Bài 10. T m t nhóm g m 15 h c sinh kh i A , 10 h c sinh kh i B và 5 h c sinh kh i C . Ch n ra 15 h c
sinh tr c nh t sao cho ít nh t có 5 h c sinh kh i A và có đúng 2 h c sinh kh i C .
Nh n xét:
Bài toán này n u ti p c n theo cách tr c ti p, ta s ph i chia khá nhi u tr ng h p. Khi đó, ta ngh t i
cách làm gián ti p. C th :
Gi i:

S cách ch n 2 h c sinh kh i C là: C52  10
Thay vì đi tính s cách ch n 13 h c sinh t hai kh i A và B , trong đó ít nh t có 5 h c sinh kh i A , ta s
đ m s cách ch n sao cho có ít h n 5 h c sinh kh i A . Khi đó x y ra hai tr ng h p:
 Tr ng h p 1: Ch n 4 h c sinh kh i A và 9 h c sinh kh i B , s cách ch n là: C154 .C109  13650


Tr

10
ng h p 2: Ch n 3 h c sinh kh i A và 10 h c sinh kh i B , s cách ch n là: C153 .C10
 455

13
S cách ch n tùy ý 13 h c sinh t hai kh i A và B là: C25
 5200300
V y s cách ch n 13 h c sinh t hai kh i A và B , trong đó ít nh t có 5 h c sinh kh i A là:
5200300  (13650  455)  5186195
V y s cách ch n th a mãn bài toán là: 10.5186195  51861950 .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.

Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-