BÀI TOÁN TÌM SỐ GIẢI TOÁN XÁC SUẤT

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Xác su t – Nh th c Newton.

BÀI TOÁN “TÌM S ”
ÁP ÁN BÀI T P TÀI LI U
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là bài t p đi kèm v i bài gi ng Bài toán “Tìm s ” thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán
(GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u
cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. T các ch s 0,1, 2,3, 4,5,6,7 có th l p đ c bao nhiêu s g m 5 ch s đôi m t khác nhau trong
m i tr ng h p sau:
1) S l p đ c là s ch n
2) S l p đ c chia h t cho 5.
3) S l p đ c có duy nh t m t ch s ch n.
4) S l p đ c có m t trong 3 ch s đ u tiên ( hàng tr c nghìn, hàng nghìn, hàng tr m) ph i b ng 1.
Gi i:
G i s có 5 ch s đôi m t khác nhau có d ng a1a 2 a3a 4 a5 .
1) S l p đ

c là s ch n.

Ta có a1a 2 a3a 4 a5 là s ch n, suy ra a5 0; 2; 4;6
Tr

ng h p 1: a5  0  a1a 2 a3a 4 có A74  840 s

Tr

ng h p 2: a5 2; 4;6 : có 3 cách ch n, khi đó:

+) a1 có 6 cách ch n
+) a 2 a3a 4 có A63  120 cách ch n
Suy ra có 3.6.120  2160 s l p đ c tr ng h p 2
V y có t t c 840  2160  3000 s l p đ c tho mãn yêu c u bài toán.
2) S l p đ c chia h t cho 5.
Ta có a1a 2 a3a 4 a5 5 , suy ra a5  0;5
Tr

ng h p 1: a5  0  a1a 2 a3a 4 có A74  840 s

Tr

ng h p 2: a5  5 , khi đó:

+) a1 có 6 cách ch n
+) a 2 a3a 4 có A63  120 cách ch n
Suy ra có 6.120  720 s l p đ c tr ng h p 2
V y có t t c 840  720  1560 s l p đ c tho mãn yêu c u bài toán.
3) S l p đ
B

c có duy nh t m t ch s ch n.

c 1: Xét các s có hình th c a1a 2 a3a 4 a5 k c a1  0
+) S cách ch n 1 ch s ch n có: 4 cách
+) S cách x p 1 ch s ch n vào 5 v trí có: 5 cách
+) S cách x p 4 ch s l 1,3,5, 7 vào 4 v trí còn l i có 4!  24 cách.

Suy ra có 4.5.24  480 s l p đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

c

b

c1

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B

Xác su t – Nh th c Newton.

c 2: Xét các s có hình th c 0a 2 a3a 4 a5
Khi đó a 2 , a3 , a 4 , a5 đ u là các ch s l đ

c l y t các ch s 1,3,5, 7

Suy ra có 4!  24 s l p đ c b c 2.
V y có t t c 480  24  456 s th a mãn yêu c u bài toán.

4) S l p đ
B

c có m t trong 3 ch s đ u tiên ( hàng tr c nghìn, hàng nghìn, hàng tr m) ph i b ng 1.

c 1: Xét các s có hình th c a1a 2 a3a 4 a5 k c a1  0
+) Có 3 cách ch n v trí cho ch s 1.
+) S cách ch n các ch s x p vào cho 4 v trí còn l i là A74  840 cách

Nh v y có t t c 3.840  2520 s .
B

c 2: Xét các s có hình th c 0a 2 a3a 4 a5
+) Có 2 cách ch n v trí cho ch s 1.
+) S cách ch n các ch s x p vào cho 3 v trí còn l i là A63  120 cách

Nh v y có t t c 2.120  240 s .
V y có t t c 2520  240  2280 s th a mãn yêu c u bài toán.
Bài 2. Ng i ta vi t các ch s 0,1, 2,3, 4,5 lên các t m phi u, sau đó x p th t ng u nhiên thành m t
hàng.
1) Có bao nhiêu s l g m 6 ch s đ c s p thành.
2) Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s đ c s p thành.
Gi i:
Vì các ch s 0,1, 2,3, 4,5 đ c vi t lên phi u và x p thành m t hành g m 6 ch s khác nhau
Nên g i s có 6 ch s khác nhau có d ng a1a 2 a3a 4 a5 a6 .
1) Có bao nhiêu s l g m 6 ch s đ

c s p thành.

Ta có a1a 2 a3a 4 a5 a6 là s l , suy ra a 6 1;3;5 : có 3 cách ch n, khi đó:

+) a1 có 4 cách ch n
+) a 2 a3a 4 a 5 có 4!  24 cách ch n
V y có 3.4.24  288 s th a mãn đi u ki n bài toán.
2) Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s đ

c s p thành.

Ta có a1a 2 a3a 4 a5 a6 là s ch n, suy ra a 6 0; 2; 4
Tr

ng h p 1: a 6  0 , khi đó:

+) a1 có 5 cách ch n
+) a 2 a3a 4 a 5 có 4!  24 cách ch n
Suy ra có t t c 5.24  120 s l p đ
Tr

c

tr

tr

ng h p 2.

ng h p 2: a 6  2; 4 : có 2 cách, khi đó:

ng h p 1.

+) a1 có 4 cách ch n

+) a 2 a3a 4 a 5 có 4!  24 cách ch n
Suy ra có 2.4.24  192 s l p đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

c

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Xác su t – Nh th c Newton.

V y có t t c 120  192  312 s th a mãn yêu c u bài toán.
Chú ý: ý 2) ta có th ti p c n theo cách gián ti p b ng cách tính s các s có 6 ch s khác nhau, sau
đó tr đi s l ý 1) ta c ng đ c k t qu t ng t .
Bài 3. Có 8 ch s 0,1, 2,3, 4,5,6,7 . H i có th l p đ c bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau, trong đó
nh t thi t ph i có m t ch s 4.
Gi i:
Cách 1 (Tr c ti p) S các s c n l p chính là vi c ta đ a 6 ch s khác nhau t 8 ch s 0,1, 2,3, 4,5,6,7
vào 6 ô vuông (nh hình v ) v i đi u ki n ph i có m t ch s 4 và ô đ u không có ch s 0

4
4

Tr

4

4

4
TH1

Tr

4

TH2

ng h p 1: Ch s 4 đ a vào ô đ u : 1 cách , suy ra s cách ch n cho 5 ô còn l i là: A75  2520 cách
Suy ra tr ng h p 1 l p đ c: 2520 (s )
ng h p 2: Ch s 4 đ a vào m t trong n m ô cu i: 5 cách
S cách ch n ô đ u: 6 cách (b ch s 0 và 4) ; S cách ch n b n ô còn l i : A64  360 cách.

Suy ra tr ng h p 2 l p đ c: 5.6.360  10800 (s )
Khi đó s các s c n l p là: 2520  10800  13320 (s ).
Cách 2 (Gián ti p)
 G i s có 6 ch s khác nhau có d ng a1a 2 a3a 4 a5 a6
+) a1 : có 7 cách ch n (tr ch s 0)
+) a 2 a3a 4 a5 a 6 : có A75  2520 cách ch n
Suy ra s các s có 5 ch s khác nhau là : 7.2520  17640 (s )
 G i s có 5 ch s khác nhau không có m t ch s 4 có d ng a1a 2 a3a 4 a5 a6
+) a1 : có 6 cách ch n (tr ch s 0 và 4)
+) a 2 a3a 4 a5 a 6 : có A65  720 cách ch n

Suy ra s các s có 6 ch s khác nhau mà không có m t ch s 4 là : 6.720  4320 (s )
 V y có: 17640  4320  13320 (s ) th a mãn đi u ki n bài toán.

Bài 4. Có bao nhiêu s khác nhau g m 7 ch s sao cho t ng các ch s c a m i s là m t s ch n.
Gi i:
B c 1: Tr c tiên ta tính s các s khác nhau g m 6 ch s
G i s có 6 ch s có d ng a1a 2 a3a 4 a5 a6 , khi đó:
+) a1 có 9 cách ch n
+) a 2 a3a 4 a5 a 6 có 10.10.10.10.10  105 cách ch n
Suy ra có 9.105 s khác nhau g m 6 ch s
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B

c 2: V i m i s có 6 ch s a1a 2 a3a 4 a5 a6 ta l p đ

Xác su t – Nh th c Newton.

c 10 s có 7 ch s a1a 2 a3a 4 a5a 6 a 7 mà trong đó

ch có 5 s có t ng các ch s là s ch n. Do đó s các s th a mãn bài toán là: 9.105.5  45.105 s .
Bài 5.
1) Có bao nhiêu s t nhiên ch n l n h n 2000 mà m i s g m 4 ch s khác nhau.
2) T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà
m i s l p đ c đ u nh h n 2500.
Gi i:
1) Có bao nhiêu s t nhiên ch n l n h n 2000 mà m i s g m 4 ch s khác nhau.
G i s c n l p có d ng a1a 2 a3a 4 .

a1  2
, khi đó ta chia thành 2 tr
Ta có a1a 2 a3a 4  2000 và a1a 2 a3a 4 là s ch n  

a 4  0; 2; 4;6;8

Tr

ng h p 1: a 4  0 , khi đó a1 có 8 cách ch n, a 2 a 3 có A82  56 cách ch n

V y ta có 8.56  448 s
Tr

ng h p:

tr

ng h p 1.

ng h p 2: a 4 2; 4;6;8 : 4 cách, khi đó a1 có 7 cách ch n, a 2 a 3 có A82  56 cách ch n

V y ta có 4.7.56  1568 s
tr ng h p 2.
V y ta có 448  1568  2016 s th a mãn đi u ki n bài toán.
2) T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ
m i s l p đ c đ u nh h n 2500.
Tr

c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà

ng h p 1: Xét t p h p A1 có các s có d ng 1a 2a 3a 4a 5 , trong đó a 5 0; 2; 4;6 .
tìm A1 ta s s d ng quy t c nhân nh sau:

Ch n a 5 : s cách ch n n1  4 .
Ch n a 2a 3a 4 . ó là ch n 3 trong 5 s (k c th t ). S cách ch n là: n 2  A53  60 .
Theo quy t c nhân: A1  n1 .n 2  4.60  240 cách.
Tr

ng h p 2: Xét t p h p A 2 các s có d ng 2a 2a 3a 4a 5 , trong đó a 5 0; 4;6 và a 2  4 .

Có 3 kh n ng sau:
+) T p h p A 20 là t p h p các s có d ng 2a 2a 3a 4 0 .
Vì a 2  4 nên có n1  3 cách ch n a 2 .

ch n a 3a 4 có n 2  A42  12 cách ch n 

A20  3.12  36 cách.
+) T p h p A 24 là t p h p các s có d ng 2a 2a 3a 4 4 .
T

ng t

ta có: A 24  36 cách.

+) T p h p A 26 là t p h p các s có d ng: 2a 2a 3a 4 6 .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Xác su t – Nh th c Newton.

Vì a 2  4 bây gi có th ch n a 2 0;1;4;5 , nên có n1  4 cách ch n a 2 . V y A26  2.12  48 .
Theo quy t c c ng, ta có: A2  A20  A24  A26  36  36  48  120 cách.
V y A là t p h p c n tìm. Theo quy t c c ng, ta có: A  A1  A2  240  120  360 .
V y có 360 s c n tìm.
Bài 6. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s phân bi t mà ch s
3 và 5 không đ ng li n nhau.
Gi i:
T 6 ch s khác 0 ta l p đ c 6!  720 s có 6 ch s phân bi t.
Ta s lo i đi các s mà 3 và 5 đ ng li n nhau.
+) Hai ch s 3 và 5 đ ng li n nhau có 2 cách là 35 và 53
+) Ta coi nhóm hai ch s 3 và 5 là ch s a thì t 5 ch s 1, 2, 4, 6 , a có 5!  120 cách hoán v

Do đó có 2. 120 = 240 s mà 3, 5 đ ng li n nhau.
V y có 720  240  480 s th a mãn yêu c u bài toán.
Bài 7. Có bao nhiêu s t nhiên g m 4 ch s sao cho không có ch s nào l p l i đúng 3 l n.
Gi i:
 S các s t nhiên có 4 ch s là: 9.10.10.10  9000 s .
 Trong các s trên ta s lo i đi các s mà có 1 ch s l p l i đúng 3 l n



Xét ch s 0 l p l i đúng 3 l n. Vì s abcd luôn có a  0 , nên nó ph i có d ng a 000
Do đó có 9 s trong tr ng h p này.
Xét ch s khác 0 l p l i đúng 3 l n là a
+) D ng xaaa có 8 s vì x  0 và x  a
+) D ng axaa , aaxa , aaax đ u có 9 s
Mà ta có 9 ch s a khác 0, do đó ta có (8  9.3).9  315 s trong tr

ng h p này

V y ta có các s có 4 ch s mà có m t ch s l p l i đúng 3 l n là: 9  315  324 (s )
Do đó các s th a mãn yêu c u bài toán là: 9000  324  8676 s .
Bài 8. T các ch s 1, 2, 3 l p đ

c bao nhiêu s t nhiên có đúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3.
Gi i:

Cách 1:
 B

c 1: Ch n 5 trong 10 v trí đ s p 5 ch s 1 có C105 cách.

 B

c 2: Ch n 2 trong 5 v trí còn l i đ s p 2 ch s 2 có C52 cách.

 B

c 3: S p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách.
V y có C105 .C52 .1  2520 s .

Cách 2:
Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng
nhau.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

V y có:

Xác su t – Nh th c Newton.

10!

 2520 s .
5!2!3!

Bài 9. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s khác
nhau và ch s 2 đ ng c nh ch s 3?
Gi i:
Ta “ dán” hai ch s 2 và 3 li n nhau thành ch s kép. Có hai cách dán (23 ho c 32). Bài toán tr thành:
có 5 ch s là 0, 1, 4, 5 và s kép. H i có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 5 ch s khác
nhau?
Ta gi i b ng quy t c nhân nh sau:
B

c 1: Dán s 2 và 3 v i nhau có n1  2 cách.

B

c 2: S hàng v n, có n 2  4 cách (tr s 0).

B

c 3: S hàng nghìn, có n 3  4 cách ch n.

B

c 4: S hàng tr m, có n 4  3 cách ch n.

B

c 5: S hàng ch c, có n 5  2 cách ch n.

B

c 6: S hàng đ n v , có n 6  1 cách ch n.

V y s các s c n ch n theo quy t c nhân là: n  n1 .n 2 .n 3 .n 4 .n 5 .n 6  2.4.4.3.2.1  192 s .
Bài 10. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s
khác nhau và t ng các ch s hàng ch c, hàng tr m, hàng nghìn b ng 8.
Gi i:
G i A là t p h p các s c n tìm. M i ph n t c a A có d ng: a1a 2a 3a 4a 5a 6 ,
Trong đó đôi m t khác nhau ( đ

c ch n trong t p h p 9 s đã cho), ngoài ra a 3  a 4  a 5  8 .

Ta có: 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 = 8, v y có 2 cách ch n nhóm 3 s đ các s hàng ch c, hàng tr m, hàng
nghìn có t ng b ng 8. T đó ta s d ng quy t c nhân đ gi i bài toán nh sau:
B c 1: Ch n ra 3 trong 8 s đã có a 3  a 4  a 5  8 . Theo trên s cách ch n n1  2 .
b

c 1 có: n 2  3!  6 cách l p s a 3a 4a 5 .

B

c 2: V i ba s ch n

B

c 3: Ch n ra s a1a 2a 6 theo th t trên. S cách ch n n 3  A63  120 .

Theo quy t c nhân s cách ch n theo yêu c u là: n  n1 .n 2 .n 3  2.6.120  1440 s .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-