SÁNG TẠO BÀI TOÁN TỪ HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

SÁNG T O BÀI TOÁN T

Hình h c Oxy

HÌNH H C PH NG THU N TÚY

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Sáng t o bài toán hình h c ph ng thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c

(Tài li u dùng chung cho ph n 1 và 2)

Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC không vuông và đ
2 x  y  2  0 . Gi s

D(4;1), E (2; 1), N(1;2) theo th t là chân đ

ng th ng  có ph

ng cao k t

A , chân đ

ng trình

ng cao k

t B và trung đi m c nh AB . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t r ng trung đi m M c a c nh
BC n m trên đ ng th ng  và đi m M có hoành đ nh h n 1 .
Gi i:

+) G i đ

ng tròn (T ) đi qua ba đi m N, D, E có d ng: x2  y2  ax  by  c  0

9

a   2
a  2b  c  5

3


Vì N, D, E thu c (T ) nên ta có h : 4a  b  c  17  b    (T ) : 2 x2  2 y2  9 x  3 y  5  0
2
2a  b  c  5


5

c  2


+) Theo chùm tính ch t 1 ta có MEND n i ti p đ ng tròn  M  (T )
M t khác M   , do đó t a đ đi m M là nghi m c a h :
1

 x  2

2 x2  2 y2  9 x  3 y  5  0
2 x2  9 x  4  0
1 
7 

 
7  M  ;1 ho c M  ;1 (lo i)


2 
5 
2 x  y  2  0
 y  2  2x
  x  5

y 1
1 
ng th ng BC đi qua hai đi m D(4;1) và M  ;1 nên có ph ng trình : y  1
2 
+) G i B(t;1)  BC , khi đó EN là trung tuy n c a tam giác vuông AEB nên ta có: BN  EN

+) Khi đó đ

t  2
 BN 2  EN 2  (t  1)2  12  10  
 B(2;1) ho c B(4;1)  D (lo i – vì ABC không
t  4
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

vuông)
+) Do M , N l n l

Hình h c Oxy

t là trung đi m c a BC và AB nên suy ra C (3;1) , A(4;3)

V y A(4;3), B( 2;1) và C (3;1) .
Chú ý: Ngoài cách trình bày trên, ta có th tìm t a đ A, B theo góc nhìn c a đi m lo i 3. C th :
1 
c M  ;1 ta s vi t đ c ph ng trình BC : y  1 và AD : x  4
2 
 A(4; a )  AD
, khi đó N (1; 2) là trung đi m c a AB nên ta đ c:

+) G i 
 B(b;1)  BC

+) Sau khi tìm đ

b  4  2
b  2  A(4;3)



a  1  4
a  3
 B(2;1)
Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC n i ti p đ
th ng AC đi qua đi m K (2;1) . G i M , N l n l
đ nh tam giác ABC , bi t ph

+)

ng trình đ

t là chân đ

ng tròn (C ) : x2  y2  25 , đ

ng

ng cao k t đ nh B và C . Tìm t a đ các

ng th ng MN là 4 x  3 y  10  0 và đi m A có hoành đ âm.

Gi i:

ng tròn (C ) có tâm O(0;0) và bán kính R  5

Theo k t qu c a chùm tính ch t 1 ta có MN  OA. Do đó ta có ph

ng trình OA: 3x  4 y  0

Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h :
3x  4 y  0
 x  4
x  4

ho c 
 A(4;3) ho c A(4; 3) (lo i).
 2
2
y  3
 y  3
 x  y  25
+) Khi đó AC đi qua A(4;3) và K (2;1) nên có ph ng trình: x  3 y  5  0
  x  4

x  3y  5  0
C (4;3)  A
y  3
Suy ra tra t a đ đi m C là nghi m c a h :  2


2

 x  5
C (5;0)
 x  y  25

  y  0

x  3y  5  0
 x  1

 M (1; 2)
T a đ đi m M là nghi m c a h : 
4 x  3 y  10  0
y  2
Ph ng trình đ ng th ng BM : 3x  y  5  0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

  x  3


3x  y  5  0
 y  4  B(3; 4)
Suy ra tra t a đ đi m B là nghi m c a h :  2


2
 x  0
 B(0;5)
 x  y  25

  y  5

V y A(4;3), B( 3; 4), C(5;0) ho c A(4;3), B(0;5), C(5;0) .

Bài 3.1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(1; 3) . Bi t r ng tr c tâm và tâm
đ

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC l n l

t là H (1; 1) và I (2; 2) . Tìm t a đ các đ nh còn l i c a tam

giác ABC .
Gi i:

+)

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC tâm I (2; 2) bán kính IA 10
có ph

ng trình: (T ) : ( x  2)2  ( y  2)2  10

+) Ph ng trình AH : x  y  2  0 . G i D là giao đi m th hai c a AH v i đ
Khi đó t a đ đi m D là nghi m c a h :

ng tròn (T ) .

( x  2)2  ( y  2)2  10
 x  3; y  1
 D(3;1)


 D(3;1)

 x  1; y  3  D(1; 3)  A
x  y  2  0
+) G i M là giao đi m c a BC và AD .
Theo k t qu chùm tính ch t 1 ta có M là trung đi m c a HD  M (2;0)
+) Khi đó BC đi qua M vuông góc v i AH nên có ph

ng trình: x  y  2  0

( x  2)2  ( y  2) 2  10
 x  1; y  1
 B(1;1).C (5; 3)


Suy ra t a đ B, C là nghi m c a h : 
 x  5; y  3  B(5; 3), C (1;1)
x  y  2  0

V y B(1;1), C(5; 3) ho c B(5; 3), C(1;1) .
Bài 3.2. Trong m t ph ng t a đ

Oxy , cho tam giác ABC có tâm đ

H (2;12) . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC , bi t r ng đ

ng tròn ngo i ti p I (2; 2) , tr c tâm

ng th ng BC có ph

ng trình

x y 2  0 .

G i ý:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+) Vi t ph

+) Suy ra t
( Do M
+) Vi t ph

Hình h c Oxy

ng trình AH (đi qua H và vuông góc v i BC )
a đ đi m M (là giao c a AH và BC )  t a đ đi m D
là trung đi m c a HD – nh chùm tính ch t 1 )
ng trình đ ng tròn (T ) ngo i ti p tam giác ABC (tâm I bán kính ID )

+) T đó suy ra t a đ B, C là giao c a BC v i (T ) và t a đ A là giao c a AD v i (T ) .


A(4;14), B 1 

 
73  , C 1 


73 

áp s : A(4;14), B 1  73;1  73 , C 1  73;1  73 ho c

73;1 

73;1 

Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm G(1;0) và tr c tâm H . Bi t B, C
thu c đ

 1 1
ng th ng 2 x  y  4  0 và K   ;  là trung đi m c a AH . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác
 3 3

ABC .
Gi i:
Cách 1:
A

K
G
H
B

M

Ta có AH đi qua K vuông góc v i BC nên có ph

C

ng trình: x  2 y  1  0


 AG  (2  2a ; a )
G i M (m; 4  2m) là trung đi m c a BC và A(2a  1; a )  AH , suy ra 

GM  (m  1; 4  2m)
Do G là tr ng tâm tam giác
2  2a  2(m  1)

a  m  2
a  0
 A(1;0)



ABC  AG  2GM  
a  2(4  2m)
a  4m  8 m  2 M (2;0)
1 2
Vì K là trung đi m c a AH , suy ra H  ;  .
3 3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy


 11 14

CH   b  ;  2b 

3 3
G i B(b;4  2b)  BC  C(4  b;2b  4) (vì M là trung đi m c a BC )  


 AB  (b  1; 4  2b)

14 
 11 

Do H là tr c tâm tam giác ABC nên CH . AB  0   b    b  1   2b   (2b  4)  0
3
3


b  1  B(1; 2), C (3; 2)
 5b2  20b  15  0  

b  3  B(3; 2), C (1; 2)

V y A(1;0), B(1;2), C(3; 2) ho c A(1;0), B(3; 2), C(1;2) .
Nh n xét:
AG 2GM
AAH
t ?  M
+) Ta có th tìm A, M b ng cách tham s hóa M (t ) 
 A(t ) 
 f (t )  0 

A
+) Ngoài cách tìm đi m B, C nh trên ta có th tìm đi m I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

b ng h th c quen thu c đã đ c p chùm tính ch t 1 là AK  IM (hay AH  2IM ).
T đây ta s d ng d ki n IB  IA (ho c tìm giao c a đ ng th ng BC v i đ ng tròn ( I , IA) ) đ tìm ra
đi m B và C .
Cách 2:
A

K
T
I

G
H
B

N
C

M
J

G i M là trung đi m c a AB , khi đó theo chùm tính ch t 1 ta có MIAK là hình bình hành.
(đã ch ng minh theo 2 cách chùm tính ch t 1- khi làm bài thi các b n ch ng minh l i nh sau:
G i J là giao đi m th hai c a AI và đ ng tròn tâm I , khi đó :
 JC  AC; BH  AC  JC / / BH

 JBHC là hình bình hành, suy ra M là trung đi m c a HJ

 JB  AB; CH  AB
 JB / /CH

Khi đó IM là đ

 AH / / IM
 AH  2IM (1)
ng trung bình c a tam giác AHJ , suy ra 
 AH  2 IM

Do K là trung đi m AH nên AH  2 AK (2)
T (1) và (2) , suy ra IM  AK  MIAK là hình bình hành ).
1
1
2
G i T là giao đi m c a AM và KI , khi đó: MG  MA  .2MI  MI , suy ra G là tr ng tâm KIM
3
3
3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

5
4

xN 
 2  xN  1


3

5 1
3
G i N là trung đi m c a IM  KG  2GN  

 N  ; 
3 6
 1  2  y  0 
y   1
N
N
 3

6


Khi đó IM đi qua N vuông góc v i BC nên có ph ng trình: x  2 y  2  0
x  2 y  2  0
x  2
Suy ra t a đ đi m M là nghi m c a h 

 M (2;0)

2 x  y  4  0
y  0
 4 1
Do N là trung đi m c a IM  I  ;  
 3 3
M t khác, MIAK là hình bình hành nên suy ra IA  MK  A(1;0) .
Do B thu c đ

ng th ng 2 x  y  4  0  B(t;4  2t )

t  1
13  50
 4 
 t 2  4t  3  0  
Khi đó IB  IA  IB2  IA2   t     2t   
3
9
 3 
t  3
2

2

 B(1; 2)  C (3; 2)

 B(3; 2)  C (1; 2)
(do M là trung đi m c a BC )
V y A(1;0), B(1;2), C(3; 2) ho c A(1;0), B(3; 2), C(1;2) .
Chú ý: Có th tìm t a đ B, C b ng cách vi t ph

ng trình đ

ng tròn ( I , IA) và tìm giao v i BC .
Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.

H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-