Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung bất đẳng thức AM GM và cauchy schwarz

1

Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới
cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung:
Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
PRACTISING SKILLS OF SOLVING AND CREATING NEW ALGEBRA PROBLEMS FOR THE GRADE - 10
STUDENS THROUGH '' AM - GM AND CAUCHY - SCHWARZ '' UNEQUALITIES
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 91 tr. +

Lê Xuân Nghị


Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lí luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán);
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo, nâng cao
khả năng sáng tạo của học sinh. Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz và một số bài toán vận dụng. Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM -
GM và Cauchy - Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho
học sinh lớp 10 trung học phổ thông (THPT). Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả.

Keywords: Phương pháp dạy học; Toán học; Kỹ năng giải toán; Lớp 10; Khả năng sáng tạo.

Content.
Lý do chọn đề tài
+ Kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới là yếu tố quyết định thành công của hoạt động giảng
dạy. Nếu học sinh thiếu kĩ năng giải toán sẽ dẫn đến khả năng thực hành yếu, thiếu sự sáng tạo trong
học toán sẽ dẫn tới thụ động trong học tập, giảm đi sự sáng tạo, chủ động trong cuộc sống. Hiện nay

sự quan tâm đến hoạt động này chưa nhiều, chúng ta chỉ quan tâm đến việc có sẵn đề bài và tập trung
tìm lời giải mà ít chú ý đến nguồn gốc và mục đích của bài toán, tại sao lại có lời giải như vậy. Cũng
tương tự như việc chúng ta chỉ tập trung rèn cho học sinh giải được các đề thi tuyển sinh đại học, làm
sao để học sinh thi đại học đạt điểm cao theo khuôn mẫu định trước mà xem nhẹ hoạt động sáng tạo
của học sinh trong các hoạt động học tập
+ Trong toán sơ cấp nhiều người cho rằng khó có thể tìm ra hướng sáng tạo mới và nhất là từ các
Bất đẳng thức quen thuộc như AM - GM và Cauchy - Schwarz. Chúng ta thường quen với việc giải
và cho học sinh giải các bài toán đã có sẵn mà chưa tìm mối liên hệ với các dạng toán liên quan và
phát triển, sáng tạo thành bài toán mới. Cần tích hợp các kĩ năng giải phương trình và chứng minh
bất đẳng thức để nhận dạng bài toán, giải và sáng tạo bài toán mới.
2

+ Xuất phát từ các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: " Rèn luyện kĩ năng giải và
sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy -
Schwarz "
1. Lịch sử nghiên cứu
2.1. Trên thế giới:
+ Các ghi chép còn lại của các nền toán học Hy Lạp đều sử dụng suy luận quy nạp, dựa trên kinh
nghiệm tính toán hình thành quy luật toán học. Điều này cho thấy kĩ năng giải toán đã xuât hiện từ
trước đó và ngày càng được phát triển
+ Hiện nay, Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ vị trí rất quan trọng. Những tri thức và kĩ
năng toán học trở thành công cụ để nghiên cứu, vận dụng các môn khoa học khác. Ở các nước phát
triển có nền giáo dục tiên tiến như Anh, Mỹ, Pháp, họ rất chú trọng đến rèn kĩ năng giải toán và
sáng tạo cho học sinh ngay từ cấp tiểu học, vì vậy học sinh của họ rất chủ động, sáng tạo, có khả
năng tư duy và tự học, tự nghiên cứu rất tốt
2.2. Ở Việt Nam
+ Trong các tiếp cận dạy học truyền thống, người ta thường quan tâm đến kết quả của hoạt động
dạy học như kết quả của các kì thi mà xem nhẹ quá trình dẫn đến kết quả đó
+ Hiện nay trong xu thế hòa nhập với sự phát triển của nền giáo dục tiên tiến trên thế giới. Nền
giáo dục nước nhà đã và đang có nhiều bước chuyển biến mạnh mẽ. Chúng ta đã quan tâm hơn đến

chất lượng sản phẩm của hoạt động giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội. Trong dạy học
giáo viên kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực và chú ý đến việc rèn luyện kĩ năng giải và
sáng tạo bài toán mới cho học sinh, tuy nhiên hiệu quả còn phụ thuộc nhiều vào trình độ người thầy
và ý thức người học cũng như nhận thức của xã hội. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới chưa được đề cập
đến trong chương trình giáo dục phổ thông
2. Mục tiêu nghiên cứu
+ Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng
tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy -
Schwarz
+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz nhằm rèn luyện kĩ
năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10
3. Phạm vi nghiên cứu
4.1. Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến tháng 11/2012
4.2. Nội dung nghiên cứu
+ Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
+ Kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới của học sinh lớp 10

3

4. Mẫu khảo sát
+ Giáo viên dạy toán trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội
+ Học sinh các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội năm học 2011-2012
5. Câu hỏi nghiên cứu
Làm thế nào để rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học
sinh lớp 10 THPT
6. Giả thuyết nghiên cứu
Thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz sẽ rèn luyện cho học sinh lớp
10 kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo, nâng cao khả năng sáng

tạo của học sinh
+ Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và một số bài toán vận dụng
+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz theo hướng rèn
luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT
+ Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
9.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu các tài liệu Tâm lý học, Giáo dục học, Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán,
+ Nghiên cứu SGK Đại số và Giải tích 10, báo chí, internet
9.2. Phương pháp quan sát
+ Quan sát cơ sở vật chất, điều kiện học tập của nhà trường
+ Quan sát phương pháp giảng dạy của giáo viên và quá trình học tập của học sinh
9.3. Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm
+ Phiếu điều tra các ý kiến của giáo viên và học sinh về kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới về
bất đẳng thức trong chương trình toán 10
+ Dạy thực nghiệm các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội
9. Dự kiến luận cứ
10.1. Luận cứ lí thuyết
+ Đưa ra cơ sở lí luận về kĩ năng sáng tạo và phát triển bài toán mới thông qua nội dung Bất đẳng
thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
10.2. Luận cứ thực tế
+ Đưa ra những đề xuất và xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy -
Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10
+ Tổ chức thực nghiệm, kiểm tra đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài
4

11. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến được trình
bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT thông
qua Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1. Kĩ năng giải toán
Người ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài toán đã làm mà học sinh
vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách tự phát trong quá trình học tập. Đây là một quá
trình tư duy thực sự hiệu quả nhưng tốn nhiều thời gian và công sức.
Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên và học tập của học sinh,
chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung cho hoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ
thống các kĩ năng giải toán cung cấp cho học sinh những chuyên đề đặc biệt. Với cách này, chúng ta
nhanh chóng tiếp cận với nhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận thức ở mức
độ cao, tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo.
Khái niệm về kĩ năng giải toán: Kĩ năng giải toán là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài
toán đặt ra.
1.1.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới
1.1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
+ Theo bách khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách
quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con
người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất"
+ Theo từ điển tiếng việt: "Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần. Hay
sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có"
+ Vậy có thể hiểu ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới hiệu quả, có ích, độc đáo
1.1.2.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới trong toán học
+ Xuất phát từ các bài tập đã có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải và tạo ra các bài toán mới phù
hợp với trình độ và năng lực của học sinh

5

+ Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới tức là giúp học sinh chủ động trong học tập, tự đặt ra
nhiệm vụ học tập cho mình và biết cách giải quyết nhiệm vụ đó
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh
+ Thực tế giảng dạy môn Toán THPT cho thấy từ những bài toán cơ bản chúng ta có thể phát triển
thành các bài toán hay và khó phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, điều quan trọng là giúp học sinh
phát triển tư duy sáng tạo và chủ động trong học tập. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức
chuyên môn, người giáo viên hướng dẫn học sinh học sinh chủ động, sáng tạo, phát huy tốt năng lực
bản thân, khai thác cái đã có phát triển hình thành cái mới hiệu quả
+ Xin lấy một ví dụ cụ thể: Từ bài toán đơn giản
Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi. Chứng minh rằng

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a 






(*)
+ Việc chứng minh bài toán trên đối với học sinh không khó khăn lắm khi các em chọn được

điểm rơi áp dụng bất đẳng thức trung bình
+ Từ bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh sáng tạo nhiều bài toán mới nhằm giúp các chủ
động, sáng tạo trong học tập, làm bài học được tự nhiên hơn và hiệu quả hơn
1.2. Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức ở trƣờng THPT
1.2.1. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Tuy nhiên nội dung đưa
vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính
chất cơ bản của bất đẳng thức. Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM – GM và
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Với lí thuyết như vậy học sinh lớp 10 khó có thể vận dụng linh
hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức.
+ Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường THPT, trong quá
trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó
khăn từ phía học sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng.
1.2.2. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng
thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10. Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên khó khăn hơn
một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một
cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập
6

+ Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. Tôi đã tiến hành quan sát,
dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả thực tế là nhiều
học sinh cho rằng bất đẳng thức là chủ đề khó, đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán
1.3. Kết luận chƣơng 1
Xuất phát từ cơ sở lý luận và tìm hiểu thực tiễn đã được trình bày ở trên, tôi kết luận rằng :
Nội dung kiến thức toán chủ đề bất đẳng thức là vô cùng phong phú và đa dạng. Dạy học bất đẳng
thức giúp cho học sinh khá, giỏi rèn luyện tốt kĩ năng giải toán và chủ động sáng tạo bài toán mới,
thông qua dạy học bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz người giáo viên hướng dẫn học
sinh nắm bắt kiến thức một cách tốt nhất, vận dụng làm bài tập một cách hiệu quả nhất

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến rèn luyện kĩ năng giải toán
và sáng tạo của học sinh, ngoài ra chúng tôi cũng tham khảo đồng nghiệp, tìm hiểu thực tiễn giảng
dạy chủ đề bất đẳng thức trong nhà trường phổ thông, từ đó chúng tôi xây dựng một số bài giảng về
bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz nhằm rèn kĩ năng giải toán và nâng cao khả năng
sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10. Vấn đề này sẽ được trình bày cụ thể trong chương sau

CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10
THÔNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ CAUCHY - SCHWARZ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức AM – GM , Cauchy – Schwarz và một số dạng hệ
quả, ngoài ra chúng tôi trình bày một số ví dụ vận dụng và một số bài tập tham khảo nhằm rèn luyện kĩ
năng giải toán và sáng tạo bài toán mới trong dạy học bất đẳng thức. Cuối chương chúng tôi xây dựng hai
giáo án thực nghiệm dạy học bất đẳng thức cho học sinh lớp 10. Sau đây là nội dung cụ thể
2.1. Giải và Sáng tạo bài toán từ Bất đẳng thức AM – GM
2.1.1. Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm
2.1.1.1. Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 2 số
Với a, b là hai số thực không âm thay đổi. Ta có
ab
ba


2

2.1.1.2. Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 3 số
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. ta có
3
3
abc
cba




2.1.1.3. Bất đẳng thức AM – GM cho n số
Với a
1
, a
2
, . . . a
n
là các số thực không âm. Chứng minh rằng
7


n
n
n
aaa
n
aaa


21
21


hoặc viết dạng
n
n
i

i
n
i
i
aa
n
1
1
1
1














Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được bất đẳng thức trên
+ Với n = 1, 2 hiển nhiên bất đẳng thức đúng
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k

2 tức là
k

k
i
i
k
i
i
aa
k
1
1
1
1













đúng
+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Ta có
11
1

1
1
1
1
1












k
aa
a
k
S
k
k
i
i
k
i
ik

Áp dụng giả thiết quy nạp ta được
1
1
1
1
1















k
aak
S
k
k
k
i
i
k

Ta sẽ chứng minh
1
1
1
1
1
1
1
1



























k
k
i
i
k
k
k
i
i
a
k
aak
(*)
Kí hiệu
1
1
1
1
1
,
















k
k
k
k
i
i
k
ayax
(*) 
yxkyxk
kkk
)1(.
11


(**)
Ta có (**) 
0)()(. 
kkk

xyyyxxk


 
0) (.)(
12321

 kkkkk
xxyxyyyxkyx


 
0).( ).()().(
11

 kkkkkk
xyxxyxyxyx


 
0 ) () (.)(
12321212

 kkkkkkk
xyyxxxyyxxyx

Vì x, y

0 nên bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có ĐPCM
2.1.2. Một số ví dụ áp dụng

2.1.2.1. Một số bài toán bất đẳng thức đồng bậc
8

Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a 







+ Nhận xét:
 Vai trò ba số a, b, c như nhau, dấu bằng khi a = b = c khi đó ta có
4
2
cb
cb
a 



từ đó ta
cân bằng hệ số khi áp dụng AM –GM
 Nếu kết hợp bất đẳng thức a + b + c


3
3 cba
hoặc thay đổi hệ số, thay đổi bậc số hạng ta
thu được nhiều bài toán mới như:
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1
Chứng minh rằng
2
3
222





 ba
c
ac
b
cb
a

Ví dụ 2; ( IMO 1995)
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng
2

3
)(
1
)(
1
)(
1
333





 bacacbcba

+ Nhận xét:
 Để áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho bài 1 ta cần cân bằng hệ số các số hạng để dấu đẳng
thức xảy ra
 Các số hạng phải cùng bậc
 Bằng cách thay đổi hệ số của a,b,c hoặc thay đổi bậc các số hạng ta có thể tạo nhiều bài toán
mới tương tự bài 1 như
Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

 
cba
baa
c
acc
b
cbb

a






16
1
)3()3()3(
2
4
2
4
2
4

Trên đây là một số bài toán về bất đẳng thức đồng bậc đối xứng, sau đây ta xét một số bài toán mà
các số hạng không đối xứng
Ví dụ 4; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
9


1
22
2
23
 abac
ac
b

b
c
cba

Giải
Chia hai vế bất đẳng thức cho bc ta thu được

bcc
a
b
a
acb
c
ba
11
33
3


Đặt
z
c
y
bxa
1
,
1
, 
ta được bất đẳng thức mới tương đương
Với x, y, z là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

zxyzxy
x
z
z
y
y
x

333

2.1.2.2. Thay đổi bậc của bất đẳng thức
Trong mục này tôi trình bày một số ví dụ thay đổi bậc của bất đẳng thức và một số bài tập vận dụng
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca

3. Chứng minh
rằng

)(2333
222
cbacba 

Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

4
7
3
2
43

4).3(




a
a
a
a


4
7
3
2
43
4).3(




b
b
b
b


4
7
3

2
43
4).3(




c
c
c
c

Cộng vế các bất đẳng thức ta được

4
21
333


cba
cba

10

Ta có
24
135)(
4
21
2

9)(
3).(
22






cbacbacba
cba

Từ giả thiết ab+bc+ca

3 suy ra a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca

3
Ta được
24
)(45)(3
333
222222

cbacba
cba



Tương đương
)(2333
222
cbacba 
(ĐPCM)
2.1.2.3. Sử dụng các số hạng hằng số
Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ và bài tập chứng minh bất đẳng thức có điều kiện
bằng cách sử dụng thêm hằng số khi dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn ab + a + b = 3, chứng minh rằng a
3
+ b
3


2
Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
a
3
+ b
3
+ 1

3ab
a

3
+ 1 + 1

3a
b
3
+ 1 + 1

3b
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được ĐPCM
2.1.2.4. Sử dụng bất đẳng thức một biến
Trong mục này chúng tôi xây dựng một số bất đẳng thức một biến và áp dụng giải một số bài tập vận
dụng
Ví dụ 1; Với
10  a
a, chứng minh rằng
4
1
)1(  aa

b, tìm GTLN của biểu thức P = a
2
(1 – a)
c, tìm GTLN của biểu thức Q = a( 1 – a )
2

Trên đây là một số phương pháp giải toán sử dụng bất đẳng thức AM – GM nhằm rèn luyện kĩ năng
giải toán và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10. Trong phần sau đây chúng tôi xin giới thiệu
bất đẳng thức Cauchy - schwarz và một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy – schwarz trong giải
toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10

11

2.2. Giải và Sáng tạo bài toán thông qua Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
2.2.1. BĐT Cauchy – Schwarz: Với mọi số thực a
i
, b
i
( i = 1, 2, …, n )
Ta có






















n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba
1
2
1
2
2
1
.

2.2.2. Một số ví dụ áp dụng
Phần này chúng tôi trình bày một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

1
222





 ba

c
ac
b
cb
a

Giải
Ta có
(a+b+c)
2
=
2
)2(.
2
)2(.
2
)2(.
2















bcc
bc
c
acb
ac
b
cba
cb
a

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có

)(3.
222
)(
2
cabcab
ba
c
ac
b
cb
a
cba 














Mặt khác ta có 3(ab+bc+ca)

(a+b+c)
2
ta có ĐPCM
Ví dụ 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
M =
)(2
9
)()()(
222
cabcab
cba
c
bac
b
acb
a









Giải
Ta có
2
222
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(






















 cba
cba
c
bac
bac
b
acb
acb
a
a
c
c
b
b
a
Áp
dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có
12


)(2.
2
cabcabP

a
c
c
b
b
a











Mặt khác ta có
3
a
c
c
b
b
a
nên suy ra P
)(2
9
cabcab 


(ĐPCM)
2.2.3. Dạng hệ quả 1:
Với

 RbRa
ii
,
( i = 1, 2, … , n ) ta có













n
i
n
i
i
n
i
i
i

i
b
a
b
a
1
1
2
1
2

Xuất phát từ những bài toán cơ bản, vận dụng hệ quả ta chứng minh và xây dựng một số bài toán mới
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng

1
222





 ba
c
ac
b
cb
a

Giải
Áp dụng dạng hệ quả 1 ta có

VT =
bcac
c
abbc
b
acab
a
222
222








1
)(3
)(
2



cabcab
cba

Thay hệ số 2 bằng k ta thu được Bài toán sau
Bài toán 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng

kkba
c
kac
b
kcb
a






 1
3

Hướng dẫn:
Áp dụng dạng hệ quả 1 ta có
VT =
bckac
c
abkbc
b
ackab
a

222









kcabcabk
cba




1
3
))(1(
)(
2

2.2.4. Dạng hệ quả 2: Với

 Rba
ii
,
( i = 1, 2, … n ) ta có
13

2.2.4.1.




















n
i
n
i
i
n
i
i
i
i
b
a
b
a
1
2

1
3
1
2
3
2.2.4.2.



















n
i
n
i
i

n
i
i
i
i
b
a
b
a
1
3
1
4
1
3
4

2.2.5. Dạng hệ quả 3:
Với

 Rba
ii
,
( i = 1, 2, … n ), chứng minh rằng


























n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i

n
i
i
i
i
bn
a
b
a
b
a
1
1
2
1
1
2
1
2
( 3 )
Chứng minh
Từ hệ quả dạng 1 thay b
i
bởi
i
b
ta được














n
i
n
i
i
n
i
i
i
i
b
a
b
a
1
1
2
1
2
(*)

Mặt khác ta có theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có
















n
i
i
n
i
i
bnb
1
2
1












n
i
i
n
i
i
bnb
11
.

Ta suy ra






















n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
bn
a
b
a
1
2
1

1
2
1
.
(**) Từ (*) và (**) có ĐPCM
Một số bài toán vận dụng
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

3
222
cba
ac
c
c
cb
b
b
ba
a
a








Hướng dẫn
14

Ta có VT =
)2()2()2(
222
acc
c
cbb
b
baa
a





áp dụng Hệ quả 3 ta có
VT


)2()2()2(
)(
2
acccbbbaa
cba



Mặt khác ta có

)(3)333).(()2()2()2( cbacbacbaacccbbbaa 

Suy ra VT


3
cba 
( ĐPCM )
2.3. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức AM – GM
Trong mục này chúng tôi xây dựng một bài giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM nhằm rèn kĩ
năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10
2.4. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Trong mục này chúng tôi xin nêu một bài giảng vận dụng dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10
2.4. Kết luận chƣơng 2
Chương này trình bày việc rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông
qua bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz. Nội dung của chương được chia theo từng tiểu
mục khác nhau, trong mỗi tiểu mục được phân thành một số dạng toán vận dụng. Trong chương đã
làm được các việc sau
+ Nêu bất đẳng thức AM – GM và cách chứng minh
+ Nêu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và cách chứng minh
+ Một số ví dụ và bài tập vận dụng bất đẳng thức AM – GM theo các phương pháp
 Sử dụng bất đẳng thức đồng bậc
 Thay đổi bậc của bất đẳng thức
 Sử dụng hằng số
 Sử dụng bất đẳng thức một biến
+ Một số ví dụ và bài tập vận dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz và ba dạng hệ quả
+ Xây dựng bài giảng về bất đẳng thức AM – GM
+ Xây dựng bài giảng vận dụng dạng hệ quả 1 của Cauchy – Schwarz
15

Trong mỗi ví dụ đều trình bày kĩ năng nhận biết và trình bày lời giải đơn giản nhất, có sự phân tích
và hướng dẫn vận dụng các bất đẳng thức để giải toán. Thông qua các ví dụ đều có hướng dẫn kĩ
năng sáng tạo bài toán mới, bài toán tương tự và các bài tập vận dụng.
Với cách xây dựng trên sẽ giúp nội dung của chương được trình bày gọn hơn, dễ hiểu hơn, thuận lợi
hơn cho việc rèn kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới cho học sinh

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm
+ Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài
+ Thông qua thực nghiệm kịp thời rút kinh nghiệm và điều chỉnh nội dung phù hợp với thực tiễn
+ Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm gồm:
* Biên soạn giáo án và phiếu học tập của học sinh
* Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm
Mỗi lớp 4 tiết theo giáo án đã có trong chương 2
* Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.2. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm
+ Đối tượng thực nghiệm là dạy học phần Bất đẳng thức cho học sinh lớp 10
+ Địa bàn thực nghiệm là trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội
+ Lớp thực nghiệm là 10A
1
số lượng 47 HS và lớp đối chứng là 10A
6
số
lượng 45 học sinh
3.3. Thời gian thực nghiệm
+ Dạy thực nghiệm trong tháng 11 năm học 2011-2012 và tháng 11 năm học 2012 - 2013
3.4. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
Nội dung thực nghiệm lấy từ chương 2 của luận văn, cụ thể là hai bài giảng :

+ Một số bài toán vận dụng bất đẳng thức AM – GM ( 2 tiết )
+ Một số bài toán vận dụng dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ( 2 tiết )
Để tiến hành thực nghiệm, tôi chọn lớp thực nghiệm là lớp 10A
1
và lớp đối chứng là lớp 10A
6
. Đây
là hai lớp đa số học sinh có học lực khá và có năng lực học tập môn toán tương đối tốt, điều kiện học
tập và sĩ số tương đối giống nhau. Tại lớp thực nghiệm, giáo viên sử dụng giáo án trên và tập trung
vào trọng tâm rèn kĩ năng giải toán và hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới, ở lớp đối chứng,
giáo viên sử dụng giáo án theo phương pháp thuyết trình, diễn giảng nội dung kiến thức là chính,
hướng dẫn học sinh ví dụ minh họa và kết hợp cho học sinh giải bài tập vận dụng với mức độ kiến
thức sát SGK.
16

3.5. Kết quả dạy thực nghiệm
Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát mức độ kiến thức của học sinh hai lớp về một số
bài toán bất đẳng thức mà các em đã được học ở cấp 2 với cùng một đề kiểm tra và phiếu thăm dò ý
kiến
Sau khi dạy thực nghiệm, tôi tiếp tục có đề kiểm tra chung để làm cơ sở đánh giá đánh giá kết quả
học tập của học sinh. Đề kiểm tra và kết quả thống kê điểm trình bày trong phụ lục 3. Để khảo sát
thái độ học tập của học sinh, tôi phát phiếu thăm dò ý kiến sau thực nghiệm trình bày trong phụ lục 4
3.6. Phân tích kết quả và đánh giá
Dựa trên cơ sở phiếu lấy ý kiến và kết quả bài kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm ở hai lớp 10A
1

và 10A
6
tôi có nhận xét sau
Trước khi dạy thực nghiệm, phiếu khảo sát cho thấy hầu hết HS đều không thích học bất đẳng thức

và cho rằng học bất đẳng thức là rất khó và khả năng vận dụng giải bài tập không nhiều. Kết quả bài
kiểm tra trước khi dạy khảo sát cũng cho thấy số điểm đạt loại khá, giỏi ít, nhiều bài chỉ đạt trung
bình hoặc yếu
Tại lớp đối chứng 10A
6
, sau khi tiến hành thực nghiệm số bài kiểm tra đạt loại khá, giỏi tăng lên rất
ít, chủ yếu vẫn là số bài trung bình và số bài yếu vẫn không giảm. kết quả phiếu thăm dò cho thấy đa
số HS vẫn cho chủ đề bất đẳng thức là khó, chưa hứng thú nhiều trong học tập và chưa biết chủ động
sáng tạo tình huống mới. Hỏi trực tiếp ý kiến cho thấy HS chưa nắm được hết kiến thức và chưa biết
cách sáng tạo bài toán mới, nhiều HS chưa biết vận dụng đúng kiến thức để làm được bài tập dẫn đến
còn ngại học bất đẳng thức
Tại lớp dạy thực nghiệm 10A
1
sau khi dạy thực nghiệm cho thấy sự thay đổi rõ trong thái độ học tập
và trình độ kiến thức của HS. Trong giờ học HS rất hứng thú học tập, nhất là trong phần sáng tạo bài
toán mới. Từng nhóm sôi nổi đưa ra ý kiến của mình. Sau giờ học tôi có hỏi một số HS thì thấy các
em đều rất thích giờ học như vậy vì các em vừa nắm vững kiến thức, vừa được tham gia sáng tạo bài
tập mới, các em được phát huy năng lực cá nhân và chủ động tạo nhiệm vụ mới cho mình và cùng
giải quyết nhiệm vụ đó. Kết quả phiếu thăm dò sau thực nghiệm cho thấy HS thích học bất đẳng
thức, không sợ khó khi làm bài tập vận dụng và thích nhiều chủ đề khác cũng được học tập theo
hướng rèn kĩ năng giải toán và chủ động sáng tạo bài toán mới. Kết quả bài khảo sát sau thực nghiệm
cũng cho thấy số học sinh đạt điểm khá giỏi tăng lên và số học sinh có điểm trung bình giảm, đặc
biệt số điểm yếu, kém giảm rõ rệt. Hầu hết HS đều nắm vững kiến thức và biết vận dụng vào giải bài
tập, nhiều HS biết tạo bài toán mới hiệu quả.
So sánh kết quả học tập của các lớp cho thấy thông qua hoạt động rèn kĩ năng giải và sáng tạo bài
toán mới từ bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz đã phát huy tính chủ đông, sáng tạo cho
học sinh, giúp học sinh học tập hiệu quả hơn. Từ ý kiến góp ý của các đồng nghiệp cũng cho thấy
trong hoạt động dạy học nếu ứng dụng và nhân rộng hướng rèn luyện kĩ năng và tăng khả năng sáng
17

tạo cho học sinh từ những bài toán cơ bản sẽ giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập và kết quả đạt
được sẽ tốt hơn

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận
Luận văn hoàn thành đã thu được các kết quả chính sau đây :
+ Hệ thống hóa cơ sở lý luận làm sáng tỏ khái niệm kĩ năng giải toán và kĩ năng sáng tạo bài
toán mới cho học sinh
+ Tìm hiểu thực trạng dạy và học bất đẳng thức trong chương trình toán THPT, đặc biệt là
khả năng sáng tạo của HS thông qua dạy học bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz
+ Nêu một số hướng rèn kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới thông qua bất đẳng thức
AM – GM và Cauchy – Schwarz
+ Minh họa thông qua 2 giáo án về ứng dụng giải toán và sáng tạo bài toán mới thông qua bất
đẳng thức AM – GM và dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
+ Tiến hành thực nghiệm sư phạm cho kết quả khả quan, bước đầu khẳng định hiệu quả và
tính khả thi của đề tài
Với những kết quả thực tế của luận văn đã bước đầu khẳng định được giả thuyết của luận văn
là đúng, mục đích nghiên cứu của luận văn phù hợp giả thuyết và đạt được hiệu quả trong
ứng dụng thực tế
2. Khuyến nghị
Trong quá trình triển khai đề tài, tôi mạnh dạn đề xuất một số ý kiến sau :
+ Cần tăng cường thêm thêm thời lượng dành cho nội dung bất đẳng thức vì đây là nội dung
khó trong chương trình toán THPT, việc tăng thời lượng giúp GV triển khai tốt hơn, hiệu quả
hơn kế hoạch giảng dạy của mình
+ GV cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều thời gian
tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong giảng dạy. Trong quá trình giảng dạy, GV cần rèn luyện
kĩ năng giải toán cho học sinh song song với hoạt động sáng tạo bài toán mới, thông qua đó
giúp học sinh chủ động hơn trong học tập, giúp học sinh có thói quen chủ động, sáng tạo và
linh hoạt trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Do thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn nên kết quả của luận văn mới chỉ dừng ở kết luận ban
đầu, còn nhiều vấn đề cần khai thác thêm và trong luận văn không thể tránh khỏi một số sai sót. Vì
vậy tác giả mong được sự quan tâm, góp ý của các đồng nghiệp và bạn đọc để giúp hoàn thiện hơn và
đạt hiệu quả cao hơn trong công tác giảng dạy.

18

References.
1. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Đại số và giải tích 10. Nhà xuất bản Giáo dục, 2007
2. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Đại số và giải tích nâng cao 10. Nhà xuất bản Giáo dục, 2007
3. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Bài tập Đại số và giải tích 10. Nhà xuất bản Giáo dục, 2007
4. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Bài tập Đại số và giải tích nâng cao 10. Nhà xuất bản Giáo dục,
2007
5. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Chuẩn kiến thức kĩ năng toán lớp 10. Nhà xuất bản Giáo dục,
2010
6. Hoàng Chúng. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nhà xuất bản
Giáo Dục, 1969
7. Nguyễn Cảnh Toàn. Soạn bài dạy trên lớp theo tinh thần dẫn dắt học sinh sáng tạo, tự
giành lấy kiến thức. Nghiên cứu giáo dục, 1995
8. Nguyễn Vũ Lƣơng ( Chủ biên) Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi. Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội
9. Nguyễn Vũ Lƣơng ( Chủ biên) Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki. Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội
10. Nguyễn Vũ Thanh. 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc. Nhà xuất bản Giáo Dục, 1997
11. Nguyễn Vũ Thanh. Bất đẳng thức và Giá trị Nhỏ Nhất. Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006
12. Nguyễn Đức Tấn. Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số. Nhà xuất bản Giáo
Dục, 2003
13. Phạm Kim Hùng. Sáng tạo Bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội,