YẾU TỐ VUÔNG GÓC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
YẾU TỐ VUÔNG GÓC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY
Hoàng Ngọc Hùng – THPT Kỳ Lâm, Hà Tĩnh
A. Đặt vấn đề
Hình học phẳng trong mặt phẳng Oxy là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình
toán THPT. Đặc biệt trong các kỳ thi HSG các cấp, kỳ thi THPT Quốc Gia.
Giải được một câu của hình học phẳng trong đề thi HSG hoặc kỳ thi THPT QG là một niềm đam
mê khó tả đối với mỗi HS, và đối với GV thì cách khám phá, xây dựng đề thi cũng là niềm vui,
niềm hạnh phúc của mỗi GV dạy toán.
Trong chuyên đề này chúng tôi đưa ra một số kỹ năng giải bài toán hình học phẳng theo cách ra
đề hiện nay. Nhằm cung cấp cho HS, GV một số kỹ thuật, tài liệu nhằm xây dựng niềm đam mê
học toán qua các bài toán hình học phẳng.
B. Giải quyết vấn đề
I. Thực trạng vấn đề và các hướng giải quyết
1. Cách ra đề như sau: Cần chứng minh một tính chất đặc biệt của hình học phẳng, sau
đó áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán.
2. Theo thống kê từ các kỳ thi ĐH – CĐ trước đây hiện nay là kỳ thi TN THPT QG, thậm
chí là các đề HSG các cấp hầu hết ra đề theo kiểu này. Nếu HS chưa chứng minh được
tính chất của hình học phẳng có trong bài toán thì bài giải không thể giải được hoặc lời
giải sẽ phức tạp, dài dòng nếu chỉ dùng yếu tố giải tích.
3. Phương pháp chung giải bài toán hệ tọa độ trong mặt phẳng có yếu tố hình học
+ Chuẩn bị các tính chất của hình học phẳng
+ Vẽ hình chính xác, khi bí chúng ta vẽ nhiều hình (2;3)
-

Lấy trung điểm, phân giác, đường vuông góc

-

Giả thiết cho đường tròn ta vẽ đường tròn trước sau đó vẽ đa giác nội hoặc ngoại tiếp

+ Phát hiện tính chất vuông góc, bằng nhau…
+ Trình bày rõ các mục
+ Nhớ loại nghiệm
Chú ý:
-

Cho trung tuyến áp dụng hệ thức về trung tuyến; trung điểm

-

Cho đường cao áp dụng quan hệ vuông góc

-

Cho phân giác lấy điểm đối xứng
FB.com/mathvncom

1

1


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
II.Nội dung
Yếu tố hình học nhiều nhất trong các bài toán là yếu tố vuông góc. Ở trong chuyên đề này chúng tôi
đưa ra một số bài toán gốc. Từ bài toán này chúng tôi xây dựng được phương pháp chứng minh một
số yếu tố vuông góc dễ dàng, dẫn tới cách giải quyết vấn đề sẽ nhanh gọn và chính xác.
Bài toán gốc 1
1. Cho hình chữ nhật ABCD, góc BMD = 900 . Chứng minh AMC = 900 .

A

D

I
B

C

M

Giải:
 BD 
 AC 
0
M ∈ I;
 suy ra M ∈  I ;
 suy ra AMC = 90
2 
 2 


Phương pháp chứng minh MA ⊥ MB.
B1:Tạo ra hình chữ nhật AEBF có các đường chéo AB và EF. Cần chứng minh ME ⊥ MF

A

F

I

E

B

M
FB.com/mathvncom

2

2


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
B2:Khi đó M thuộc đường tròn đường kính EF. Suy ra đpcm

Ví dụ 1: A -2013
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
d: 2x + y + 5 =0 và A(-4;8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B
trên MD. Tìm tọa độ các điểm B, C biết rằng N(5;-4).
Giải:

A(-4;8)

B
d
2x + y + 5 = 0
K
C

D

N(5;-4)
M

Phân tích:
Dự đoán AN ⊥ CN
Giải:
Ta có ABCD là hình chữ nhật, theo giả thiết NB ⊥ ND suy ra NA ⊥ NC
C thuộc d suy ra C(c; -2c – 5). Vì NA ⊥ NC nên C(1; -7)
Phương trình đường thẳng AC: 3x + y + 4 = 0
Phương trình đường thẳng BN: -x + 3y + 17 = 0
Gọi K là giao điểm BN và AC suy ra K  ; −  Do K là trung điểm của BN suy ra B(-4; -7)
2 2 
1

11

Vậy B(-4; -7); C(1; -7)
Ví dụ 2: (HSG Thanh Hóa 2015)
FB.com/mathvncom

3

3


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Cho hình chữ nhật ABCD có H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. M(5;1) là trung điểm
BC. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A của tam giác AHD có phương trình 4x + y – 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng BC.

K

A

D

N
4x + y - 4 = 0
H(1;2)
B

C

M(5;1)

Phân tích bài toán:
Từ hình vẽ ta nhận định NA ⊥ NM, tức là cần tạo ra một hình chữ nhật có đường chéo là AM.
Theo giả thiết ta có hình chữ nhật ABMK, như vậy cần chứng minh NK ⊥ NB với KB là đường
chéo còn lại.
Từ đó ta chứng minh được NA ⊥ NM
Giải:
Gọi K là trung điểm AD, N là trung điểm HD, ta có ABMK là hình chữ nhật. Suy ra KN //AH ⇒
NK ⊥ NB
Theo chứng minh trước ta có NA ⊥ NM.
Gọi N(n;4 - 4n), MN = (n − 5;3 − 4n) suy ra MN .ud = 0 ⇔ −1(n − 5) + 4(3 − 4n) = 0 ⇔ n = 1
Ta có N(1; 0), do N là trung điểm HD suy ra D(1;-2)
Phương trình đường thẳng AH qua H và vuông góc HN ta có x -2 = 0
1


4 x + y − 4 = 0
x =
Tọa độ điểm A thỏa mãn: 
⇒
2
y − 2 = 0
 y = 2

Phương trình BC qua M và song song AD có phương trình 8x + y - 41 = 0

FB.com/mathvncom

4

4


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A . D thuộc cạnh AB sao cho BD = 2DA. H là hình chiếu của B
 1 −3 
 . Tìm tọa độ điểm
2 2 

lên CD. A(-1;3), B thuộc d: x + y + 7 = 0. M là trung điểm của HC và M  ;
B, C?
Giải:

A

E

D
H
M
B

F

C

Phân tích bài toán:
Dự đoán: MA ⊥ MB
Giải:
Gọi F là trung điểm BC, Từ A kẻ At song song với BC, kéo dài CD cắt At tại E. Do BD =2AD và
AE //BC nên AEBF là hình chữ nhật.
Ta có MF ⊥ ME nên MA ⊥ MB
Điểm B thuộc d suy ra B(b; -7 - b). Do MA ⊥ MB nên B ( −4; −3)
1
3

Theo gt ta có BD = BA suy ra D(-1;-1)
Ta cũng có MC = DC suy ra C  ; − 
3
4 4
1

5

5

7

7

Vậy B ( −4; −3) và C  ; − 
4 4
FB.com/mathvncom

5

5


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Ví dụ 4 (Đề thi thử tỉnh Quảng Ninh)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm cạnh AB là
M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1; 0) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường
thẳng ∆ : x − y + 1 = 0 .

M

A

B

I

J

D

N

C

Gọi N là trung điểm CD khi đó NJ//DI, Do DI ⊥ AC nên JN// JA
Ta có AMND là hình chữ nhật suy ra JM ⊥ JD
D thuộc ∆ nên D (t ; t + 1) ⇒ JD (t − 1; t + 1), JM ( −1;3). Theo (1)

JD.JM = 0 ⇔ −t + 1 + 3t + 3 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ D(−2; −1) .

a2
Cách 1. Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy DM = 2 5 = a +
⇒ a = 4.
4
2

 x = −2; y = 3
2
2
 AM = 2  x + ( y − 3) = 4

Gọi A( x; y ). Vì 
⇒
⇔
6
7
2
2
( x + 2) + ( y + 1) = 16

 AD = 4
 x = 5 ; y = 5

- Với A(−2;3) ⇒ B(2;3) ⇒ I (0;1) ⇒ C (2; −1) ⇒ J (1; 0) (thỏa mãn)
- Với
6 7
 6 23 
 −8 9 
 −22 11 
A ;  ⇒ B  − ;  ⇒ I  ;  ⇒ C 
;  ⇒ J ( −3; 2 ) (loại).
5 5
 5 5 
 5 5
 5 5

Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(−2;3), B(2;3), C (2; −1), D (−2; −1). .

FB.com/mathvncom

6

6


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB và
B(2;3) , gọi E là trung điểm của cạnh CD, H là hình chiếu vuông góc của E lên AC, biết phương
trình đường thẳng DH: x + 2y – 3 = 0 và đường thẳng AC đi qua K(1;3)

B(2;3)

A
K(1;3)

H
D

C

E

Phân tích: Dự đoán HB ⊥ HD
Giải:
ABED là hình chữ nhật và HA ⊥ HE (gt) suy ra HB ⊥ HD
Phương trình đường thẳng BH qua B và vuông góc DH: -2x + y + 1 = 0
Suy ra H là giao điểm của HD và HB có tọa độ H(1;1)
Đường thẳng AC qua K và H có phương trình x = 1 suy ra HE qua H và vuông góc với AC có
phương trình y = 1, E thuộc BE suy ra E(e;1)
2+e


Gọi M là trung điểm của AC. Ta cũng có M là trung điểm của BE suy ra M 
; 2  Do M thuộc
 2

AC nên e = 0

A thuộc AC suy ra A(1;a) suy ra C(1; 4- a) suy ra D(-1; a- 2)
Theo giả thiết AD ⊥ AB nên a = 4

Vậy A(1;4) B(2;3), C(1;0), D(-1; 2)
Bài toán gốc 2:
Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AI vuông góc với BE.

FB.com/mathvncom

7

7


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

A

E
K

I
B

C

H

Gọi K là trung điểm EC ta có IK //BC nên KI ⊥ AH (1)
Theo gt ta có HI ⊥ AK (2) Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác AHK suy ra AI ⊥ HK
Do HK //BE nên suy ra AI ⊥ BE( (đpcm)
Ví dụ 6:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A(2;-4). Gọi H là trung điểm của BC,
E là hình chiếu của H xuống cạnh AC. Biết I  ;  là trung điểm HE; điểm B thuộc đường thẳng
2 2
∆ : x − 2 y − 4 = 0 và đường thẳng BE đi qua điểm N(5;1). Tìm tọa độ các điểm B, C của tam giác
ABC.
1 1

A(2;-4)

E

N(5;1)
∆:x - 2y - 4 = 0

FB.com/mathvncom

I(1/2;1/2)

B

H

8

K

C

8

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Phân tích: Dự đoán AI ⊥ BE
Giải:
Gọi K là trung điểm EC ta có IK //BC nên KI ⊥ AH (1)
Theo gt ta có HI ⊥ AK (2) Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác AHK suy ra AI ⊥ HK
Do HK //BE nên suy ra AI ⊥ BE
B thuộc ∆ nên B(2b+4; b), AI ⊥ BE nên B(8; 2)
Phương trình đường thẳng BE: x- 3y – 2 = 0, Gọi E thuộc BE có tọa độ E(3e +2; e)
 e = −1
Do IE ⊥ AE nên AE.IE = 0 ⇔ 20e + 16e - 4 = 0 ⇔  1 suy ra
e =
5

2

 B(−1; −1)

 B  13 ; 1 
  5 5 

Phương trình đường thẳng AI: 3x + y – 2 = 0 Đặt f(M) = f(x;y) = 3x + y – 2 = 0 với M(x;y)
Với e = 1 ta có f(B).f(E) = 24.(-6) < 0 suy ra B, E nằm khác phía với AI nên E(-1;-1) thỏa mãn
Với e =

1
ta có f(B).f(E)=24.6 > 0 suy ra B, E nằm cùng phía AI nên loại
5

Do I là trung điểm HE nên H(2;2)

Do H là trung điểm BC nên C(-4; 2)
Vậy B(8;2) và C(-4;2)
Bài toán gốc 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I. Gọi E và F lần lượt là
chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C. Chứng minh EF vuông góc IA.

A

E

M

F
I

B

FB.com/mathvncom

C

9

9


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Giải:
Gọi Ax là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A, M là điểm trên Ax nằm cùng phía với B so với

đường thẳng AC
Ta có Góc BAM = BCA cùng chắn cung AB
Lại có tứ giác EFBC là tứ giác nội tiếp nên AFE = BCA (vì cùng bù với BFE ) suy ra
AFE = BAM ⇒ AM// EF do MA ⊥ AI suy ra EF ⊥ AI

Ví dụ 7 (Tạp chí THTT)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 20 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Chân
đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC lần lượt là M(-1;3) và N(2;-3). Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC biết A có tung độ âm.

A

O

M

N
C

B
Giải:
+ Đường tròn (C) có tâm O và bán kính r = 2 5

x − 2 y = 0
x = 2 y
 x = −4
 2

+ Theo chứng minh trên ta có MN ⊥ OA. Gọi A(x; y) ta có hệ  x + y 2 = 20 ⇔  y 2 = 4 ⇔ 
 y = −2

y < 0
y < 0



Suy ra A(-4;-2)
+Phương trình đường thằng AM: -5x + 3y -14 = 0; Phương trình đường thẳng AN:x + 6y + 16 = 0
FB.com/mathvncom

10

10


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
+ Phương trình đường thẳng BM qua M và vuông góc AC là: 3x + 5y -12 = 0
Phương trình đường thẳng CN qua N và vuông góc AB là: -6x + y + 15 = 0
152 60 
 59 159 
Ta có B = BM ∩ AN suy ra B 
; −  ; C = CN ∩ AM suy ra C  ;

13 
 13
 13 13 

Ví dụ 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I(1;2). Gọi E và
F lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh B và C, phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 7 = 0, biết
tiếp tuyến tại A của đường tròn (C) đi qua M(3;-2) và điểm B thuộc tia Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của

tam giác ABC.

A
M
F
E
I

C

B

Giải:
Theo chứng minh trên ta có MA//EF suy ra phương trình đường thẳng AM:
3(x – 3) – (y + 2) = 0 ⇔ 3x – y – 11 = 0
Phương trình đường thẳng AI qua I và vuông góc với EF có phương trình
x - 1 + 3( y – 2 ) = 0 ⇔ x + 3y – 7 = 0
3 x – y – 11 = 0
x = 4
⇔
x + 3y – 7 = 0
y = 1

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 

B thuộc Oy nên B(0;b) , b> 0Ta có IA = IB nên (4 − 1) 2 + (1 − 2)2 = (0 − 1) 2 + (b − 2)2
b = 5
⇔
b = −1(l )

FB.com/mathvncom

11

11


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Với b = 5 suy ra B(0;5) ta có phương trình đường thẳng AB:

x − 4 y −1
=
⇔ x + y −5 = 0
0 − 4 5 −1

x = 3
3 x – y – 7 = 0
⇔
x + y − 5 = 0
y = 2

Tọa độ E là nghiệm của hệ 

Phương trình đường thẳng CE là: ( x − 3) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ -x + y − 1 = 0
Gọi C thuộc CE suy ra C(c; c + 1) ta có IB = IC ⇔ (c− 1) 2 + (c− 3)2 = 10 ⇔
c = 4
suy ra C(4;5) và C(0;1)
⇔
c = 0

Ví dụ 9: Đề thi HSG Hà Tĩnh Lớp 10 – năm 2015
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Gọi H , K lần lượt là chân đường cao hạ từ

1 3
các đỉnh B, C của tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết H ( 5; −1) , K  ;  ,
5 5
phương trình đường thẳng BC là x + 3 y + 4 = 0 và điểm B có hoành độ âm.

A

H

I
K

B

M
x + 3y + 4 = 0

FB.com/mathvncom

12

C

12


www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam

Giải:
Theo chứng minh trên ta có tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Gọi M là trung điểm BC ta có MH = MK
Phương trình đường trung trực của HK là 3 x − y − 8 = 0
Tọa độ M là nghiệm hệ
3 x − y − 8 = 0
x = 2
Vậy M ( 2; −2 )
⇔

x + 3y + 4 = 0
 y = −2

Gọi B ( −3b − 4; b ) . Ta có: MB = MH ⇔

( 3b + 6 ) + ( b + 2 )
2

2

= 10

b + 2 = 1
b = −1
2
⇔ 10 ( b + 2 ) = 10 ⇔ 
⇔
b + 2 = −1 b = −3
Suy ra B ( −1; −1) hoặc B ( 5; −3) (loại) ⇒ C ( 5; −3)

Phương trình đường thẳng AC là x = 5
Phương trình đường thẳng AB là 4 x − 3 y + 1 = 0
Suy ra A ( 5;7 )

Bài tập tự luyện
Bài 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD tại A và D có CD =2AB, đỉnh B(1;2).
Hình chiếu vuông góc của D lên AC là điểm H(-1;0). Gọi N là trung điểm của HC. Tìm tọa độ các
đỉnh hình thang biết DN: x – 2y – 2 = 0.
Bài 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(-2;0). Gọi E là hình chiếu của A lên BC
và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là H(-2;3) và trung điểm của BC
thuộc đường thẳng d: 4x – y + 4 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B, C của tam giác ABC.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật, đỉnh B thuộc d1: 2x – y + 2 = 0; đỉnh C thuộc
9 2

d2: x – y – 5 = 0. Gọi H là hình chiếu của B xuống AC. Biết điểm M  ;  và K(9;2) lần lượt là
5 5
trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(0;3),
đỉnh B(0;-2). Gọi E và F là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Đường thẳng
EF: 4x – 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và C.
Bài 5: (Thi thử Nguyễn Đổng Chi- Hà Tĩnh)
FB.com/mathvncom

13

13

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm các đoạn
AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết
5

N  −1; −  , H(-1;0) và D nằm trên đường thẳng d: x – y – 4 = 0
2


Bài 6: Thi thử THPT Can Lộc – Hà Tĩnh
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD lấy lần lượt các
điểm F và E sao cho AE = BF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE. Tìm tọa độ đỉnh C biết
C thuộc đường thẳng d: x - 2y + 1 = 0 và tọa độ F(2;0), H(1;-1)
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1;2) là hình chiếu
vuông góc của A trên đoạn BD, M(

9
;3 ) là trung điểm cạnh BC. Phương trình đường trung tuyến
2

kẻ từ A của tam giác ADH là d: 4 x + y − 4 = 0 . Viết phương trình cạnh BC.
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của góc ADB có phương trình
x- y + 2 = 0, điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB
C. Kết luận và kiến nghị đề xuất
Yếu tố vuông góc trong bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy là một yếu tố cực kỳ quan
trọng để giải quyết nhiều bài toán khó.
Trên cơ sở bài toán gốc, chúng ta có thể xây dựng các bài toán liên quan, từ đó chúng ta đưa vào đó

các yếu tố về tọa độ để vẽ nên các bài toán về tọa độ rất thú vị.
Chuyên đề có ý nghĩa trong việc xây dựng cho HS các tư duy về hình học, giúp HS giải quyết nhanh
gọn các bài toán hình học phẳng nếu chỉ dựa vào yếu tố giải tích thì không thể giải quyết được, hoặc
nếu giải được thì lời giải sẽ dài dòng phức tạp. Hi vọng rằng đây là một tài liệu quý giúp GV và HS
trong quá trình dạy học. Từ đó hình thành cho HS những kỹ năng giải quyết vấn đề trong cuộc sống
sau này một cách đơn giản, nhanh gọn và chính xác.
Qua chuyên đề này tôi mong rằng các đồng chí góp ý, bổ sung thêm một số bài toán khác về góc, độ
dài, quan hệ song song để chuyên đề hoàn thiện hơn và trở thành một tư liệu quý cho HS và GV
trong quá trình giảng dạy và học tập.
Kỳ Lâm, tháng 1 năm 2016

Hoàng Ngọc Hùng

FB.com/mathvncom

14

14