HINH HOC GIAI TICH TRONG KHONG GIAN LOP 12 ( XOY) luyen thi dh 2016

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
 Chuyên đề 8:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
 Vấn đề 1:

MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TỌA ĐỘ

1. u  (u1; u2 ; u3 )  u  u1 i  u2 j  u3 k
2. a  b  (a1 b1; a2  b2 ; a3  b3 )
3. a.b  a1b1  a2 b2  a3 b3
a a
a3 a1 a1 a2 
4. a, b   2 3 ;
;

 b2 b3 b b
b1 b2 
3 1


5. a  a12  a22  a32
a1  b1

6. a  b  a2  b2
a  b
3

 3

7. Cos(a, b) 

a.b
a.b

8. a cù ng phương b  a,b  0  a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3
9. a,b,c đồ ng phẳ ng  a,b  .c  0
1
10. Diện tích tam giác: SABC   AB,AC
2
1
11. Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   AB,AC AD
6
12. Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.ABCD  AB,AD AA
MẶT PHẲNG
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá vuông góc
mặt phẳng.
 Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = 0 ( A2  B2  C2  0 )
đi qua M(x0 ; y 0 ; z 0 )

 () : 

có vectơ phá p tuyế n : n  (A;B;C)
 () : A(x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 ) = 0
231


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

 Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz lần lượt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),
(a, b, c khác 0)
x y z
() :    1
a b c
 Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0
ĐƯỜNG THẲNG
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá cùng
phương với đường thẳng.
đi qua M (x 0 ; y 0 ; z 0 )

 d: 

có vectơ chỉ phương a  (a1; a2 ; a3 )
x  x0 y  y0 z  z0
Phương trình tham số :


vớ i (a1; a2 ; a3  0)
a1
a2
a3
y  0
x  0
x  0
 Đường thẳng đặc biệt: Ox : 
; Oy : 
; Oz 

z  0
z  0
y  0

B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d:
x 1 y z  3
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với
 
2
1
2
đường thẳng d và cắt trục Ox.
Giải


Gọi M là giao điểm của  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3)



Véctơ chỉ phương của d là a = (2; 1; –2).



  d  AM  d  AM.a  0  2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = 0  m = –1.

Đường thẳng  đi qua M và nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ chỉ phương
x 1 y  2 z  3
nên có phương trình:

.


d
2
2
3
P
x
Cách 2.
O
  đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt
A



phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox.
M




 đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt

phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d.


232

Ta có: +) Vectơ pháp tuyến của (P) là n(P)  OA,i  .

Q


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
+) Vectơ pháp tuyến của (Q) là n(Q)  ad .


 = (P)(Q)  véctơ chỉ phương của  là: a   n(P) ,n(Q)  .



Cách 3.


Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.



Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  M(–1; 0; 0).

Véctơ chỉ phương của  là: AM .
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011


x  2 y 1 z  5



1
3
2
và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .
Giải
 Đường thẳng  đi qua E(–2; 1; –5) và có vectơ chỉ phương a  1; 3;  2  nên
x  2  t

có phương trình tham số là: y  1  3t
(t  R).
z  5  2t


 M    M  2  t; 1  3t; 5  2t 


AB   1; 2 ; 1 , AM   t; 3t; 6  2t  , AB,AM   t  12; t  6; t  .

 SMAB = 3 5 

1
 AB,AM   3 5 

2

 t  12 2   t  62  t 2

6 5

 3t2 + 36t = 0  t = 0 hoặc t = –12.
Vậy M(–2; 1; –5) hoặc M(–14; –35; 19).
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
x2 y2 z


1
1
1
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .
Giải
Tọa độ giao điểm I của  với (P) thỏa mãn hệ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

x  2 y  2 z



1
1  I  3; 1; l 
 1

x  2y  3z  4  0

Vectơ pháp tuyến của (P): n  1; 2;  3 ; vectơ chỉ phương của : u  1; 1;  1

233


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Đường thẳng d cần tìm qua I và có một vectơ chỉ phương:
n P   1; 2; 3 , n P    3; 2;  1
1
2
x  3  t

Phương trình d: y  1  2t (t 
z  1  t


)

Bài 4 :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0
và (P2): 3x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)
Giải
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2):
n  P   1; 2; 3 , n  P    3; 2;  1
1
2

(P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)
 (P) có một vectơ pháp tuyến: n P   n P  ,n P     8; 10;  4   2  4;  5; 2 

2 
 1
Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng
(P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0
Hay

(P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0

Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1)
và trọng tâm G(0; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm C và
vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Giải
Ta có:


G là trọng tâm tam giác ABC  C(1; 3; 4)



AB   1; 1; 1 ; AC   2; 2;  4 

Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có một vectơ chỉ phương
a  AB,AC = 6(1; 1; 0)

Mặt khác đường thẳng  đi qua điểm C nên
x  1  t

Phương trình : y  3  t  t 
z  4



234




Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1),
C(–2; 0; 1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho:
MA = MB = MC.
Giải

đi qua A(0; 1; 2)
1. (ABC) : 
có vectơ phá p tuyế n là  AB,AC  2(1; 2;  4)



Phương trình mp(ABC):

1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0
 x + 2y – 4z + 6 = 0

2. Cách 1:

Ta có: AB.AC  0 nên điểm M nằm trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC)
tại trung điểm I(0; 1; 1) của BC.
qua I(0; 1; 1)
x y 1 z 1

d:
d: 

1
2
4

có vectơ chỉ phương :a  (1;2; 4)
x  2
2x  2y  z  3  0


Tọa độ M là nghiệm của hệ  x y  1 z  1  y  3



z  7
1
1
4


Vậy M(2; 3; 7).
Cách 2: Gọi M(x; y; z)
MA  MB


Ta có MA  MC
M  ()


(x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  2)2  (z  1)2


 (x  0)2  (y  1)2  (z  2)2  (x  2)2  (y  0)2  (z  1)2
2x  2y  z  3  0


x  2

 y  3  M(2; 3;  7) .
z  7


235


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d
x y z 1
có phương trình: 

1 1

2
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O
Giải

qua A(1; 1; 3)
1. (P) : 

có vectơ phá p tuyế n n(P)  ad  (1; 1;2)

Phương trình mặt phẳng

(P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = 0
 x – y + 2z – 6 = 0

2. Gọi M(t; t; 2t + 1)  d
 Tam giác OMA cân tại O  MO2 = OA2  t2 + t2 + (2t + 1)2 = 1 + 1 + 9
5
 6t2 + 4t – 10 = 0  t  1  t  
3
 Với t = 1 tọa độ điểm M(1; 1; 3).
 Với t  

5
 5 5 7
tọa độ điểm M   ; ;   .
3
 3 3 3

Bài 8 :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4)
x 1 y  2 z
và đường thẳng  :


1
1
2
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Giải
1. Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4). Ta có: OA  (1; 4; 2),OB  (1; 2; 2)
Vectơ chỉ phương của d là: u  (12;  6; 6)  6  2;  1; 1
Phương trình đường thẳng d:

x y2 z2


2
1
1

2/ Vì M    M(1 t; 2 + t; 2t)
 MA2 + MB2 = (t2 + (6  t)2 + (2  2t)2) + ((2 + t)2 + (4  t)2 + (4  2t)2)
= 12t2  48t + 76 = 12(t 2)2 + 28
MA2 + MB2 nhỏ nhất  t = 2. Khi đó M(1; 0; 4)
236

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường
thẳng:
x  1  t
x y 1 z 1

; d 2 : y  1  2t
t  
d1 : 

2
1
1
z  2  t

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 và d2.
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng
Giải
1. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là: u1  (2; 1;  1) và u2  (1;  2; 1)
 vectơ pháp tuyến của (P) là n   u1 ,u2   (1;  3;  5)
Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = 0.
Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 nhưng B, C  (P), nên d1, d2 // (P).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z  13 = 0
2. Vì M  d1, N  d2 nên M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; 2 + n)
 AM  (2m; m;  3  m); AN  (1  n;  2  2n; n) .
 AM,AN  (mn  2m  6n  6;  3mn  m  3n  3;  5mn  5m).
A,M,N thẳng hàng  AM,AN   0

 m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1).
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng
x  1  t

1: y  1  t  t  
z  2


2 :

x  3 y 1 z


1
2
1

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 và song song với đường
thẳng 2.
2. Xác đònh điểm A  1, B  2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Giải
1. 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ chỉ phương a1  1;  1; 0 
2 qua M2 (3; 1; 0) có vectơ chỉ phương a2   1; 2; 1
 mp (P) chứa 1 và song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến:
n  a1 ,a2    1;  1; 1

237

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – 2 ) = 0 (vì M1(1; 1; 2)  (P))
x+y–z+2=0
2/ AB ngắn nhất  AB là đoạn vuông góc chung
x  1  t

 Phương trình tham số 1 : y  1  t A  1  A 1  t;  1  t; 2 
z  2

x  3  t 

 Phương trình tham số 2: y  1  2t 
z  t 




B  2  B  3  t ; 1  2t ; t  

AB   2  t   t;2  2t   t;t   2 


AB  1
2t  3t   0
AB.a1  0

 t  t  0
Do 

nên 
0
3t

6t
AB.a

0

AB  2


2

 A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) .
Bài 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng
x  3  2t

d y  1  t .
z  1  4t

Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với d.
Giải
Lấy M(3 + 2t; 1  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t; 3  t; 5 + 4t)
Ta có AM  (d)  AM . ad = 0 với ad = (2; 1; 4)
 2 + 4t  3 + t  20 + 16t = 0  21t = 21  t = 1
Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng AM qua A có vevtơ chỉ phương là:
x4 y2 z4
.

AM = (3; 2; 1) nên phương trình ():


3
2
1

 Vấn đề 2:

HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HÌNH CHIẾU

Bài toán 1: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng (d).
Phương pháp
 Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số:
238


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
 H  (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
 Tìm tham số t nhờ điều kiện AH  ad



 Cách 2:
(d) cho bởi phương trình chính tắc.
Gọi H(x, y, z)

 AH  ad


A

(d)
H

(*)

 H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z
 Cách 3:
(d) cho bởi phương trình tổng quát:
 Tìm phương trình mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d)
 Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên (d).
Bài toán 2: Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng ().
Phương pháp
 Cách 1: Gọi H(x; y; z)

(d)

 H  () (*)

A

 AH cùng phương n  : Biến đổi tỉ lệ
thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm
được x, y, z.
 Cách 2:
 Tìm phương trình đường thẳng (d) đi

qua A và vuông góc với mặt phẳng ().

H



 Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng ().
Bài toán 3: Tìm hình chiếu () của đường thẳng d xuống mặt phẳng ().
Phương pháp



 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ().

d

 Hình chiếu () của d xuống mặt phẳng
 chính là giao tuyến của () và ().
ĐỐI XỨNG

()



Bài toán 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
Phương pháp
 Tìm hình chiếu H của A trên d.
 H là trung điểm AA'.
239

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ().
Phương pháp
 Tìm hình chiếu H của A trên ().
 H là trung điểm AA'.
Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua
đường thẳng ().
Phương pháp
 Trường hợp 1: () và (D) cắt nhau.

(D)

A

 Tìm giao điểm M của (D) và ().
 Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.

M

()

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua ().
 d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A' và M.
 Trường hợp 2: () và (D) song song:

A’

(D)

A

 Tìm một điểm A trên (D)

d

()

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()
 d chính là đường thẳng qua A'

d

A’

và song song với ().

Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua
mặt phẳng ().
Phương pháp

(D)

 Trường hợp 1: (D) cắt ()

A

 Tìm giao điểm M của (D) và ().

 Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.
 Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ().
 d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A' và M.

M



A’
 Trường hợp 2: (D) song song với ().
 Tìm một điểm A trên (D)

(D)

A

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua
mặt phẳng ().
 d chính là đường thẳng qua A' và
song song với (D).

240

d

A’

d

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0
và hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Giải

B

Gọi  là đường thẳng cần tìm;  nằm trong
mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P)
Phương trình (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0
K, H là hình chiếu của B trên , (Q).

Q

A

Ta có BK  BH nên AH là đường thẳng cần tìm

H
K

x 1 y 1 z  3




 1 11 7 
Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:  1
2
2  H  ; ; 
 9 9 9
x  2y  2z  1  0
x  3 y z 1
 26 11 2 
AH   ; ;   . Vậy, phương trình :
 
9
26
11 2
 9 9

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường
x2 y2 z3
x 1 y 1 z 1
thẳng: d1 :
.


; d2 :


2
1
1

1
2
1
1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Giải
1/ Mặt phẳng () đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với d1 có phương trình là:
2(x  1)  (y  2) + (z  3) = 0  2x  y + z  3 = 0.
Tọa độ giao điểm H của d1 và () là nghiệm của hệ:
x  0
x  2 y  2 z  3




1
1  y  1  H(0;  1; 2)
 2

z  2
2x  y  z  3  0


Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA' A'(1; 4; 1)
2/ Viết phương trình đường thẳng :
Vì A' đối xứng với A qua d1 và cắt d2, nên  đi qua giao điểm B của d2 và ().
Tọa độ giao điểm B của d2 và () là nghiệm của hệ
241

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

x  2
x 1 y 1 z 1




2
1  y  1  B(2;  1;  2)
 1


2x  y  z  3  0
z  2

Vectơ chỉ phương của  là: u  AB  (1;  3;  5)
Phương trình của  là:

x 1 y  2 z  3


1
3
5

Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có
A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)

1/ Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC')
2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt
phẳng (ABC')
Giải
1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)  C'(0; 2; 2)
Ta có: AC  (0;2; 2), BC  (2;2;2)
Suy ra AC.BC  0  4  4  0  AC  BC
AC  BC
Ta có: 
 AC  (ABC)
AC  AB
Suy ra (ABC') qua A(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là AC  (0; 2;  2) nên có
phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) = 0  y – z = 0
2/ Ta có: BC  BC  (2; 2; 0)
Gọi () là mặt phẳng chứa B'C' và vuông góc với (ABC')
 vectơ pháp tuyến của () là: n  BC,AC  4(1; 1; 1)
 Phương trình (): 1(x – 0) + 1(y – 2) + 1(z – 2) = 0  x + y + z – 4 = 0
Hình chiếu d của B'C' lên (ABC') là giao tuyến của () với (ABC')
x  y  z  4  0
 Phương trình d: 
y  z  0
Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1
có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0;

2 ).

a/ Viết phương trình mp(P) đi qua 3 điểm A1, B, C và viết phương trình hình
chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 lên mặt phẳng (P).
b/ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết

diện của hình chóp A1ABCD với mặt phẳng (Q).
242


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Giải
Ta có: A(0; 0; 0); B1 (1; 0;







2 ); C1 (1; 1;

a/ A1B  1; 0;  2 , A1C  1; 1;  2
 nP  A1B; A 1 C 





2 ); D1 (0; 1;



z

2; 0; 1

 (P) qua A1 và nhận n P làm vectơ pháp tuyến
(P):



2)



2  x  0  0  y  0  1 z  2  0

A1

B1

 2.x  z  2  0

D1
C1

A

Ta có B1D1   1; 1; 0 
 Mặt phẳng () qua B1 (1; 0;

B
x

2)



nhận n  nP , B1D1   1;  1; 2



D

y

C

làm vectơ pháp tuyến. Nên () có phương trình:
(): 1(x – 1) – 1(y – 0) +

2 (z  2 ) = 0

 x + y  2z  1  0
D1B1 có hình chiếu lên (P) chính là giao tuyến của (P) và ()
x  y  2z  1  0

Phương trình hình chiếu là: 

 2x  z  2  0

b/ Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với A1C:
(Q): x + y 

2z=0

x  0  t

 Phương trình A1C : y  0  t

z  2  2t

(1)

2
 3
 4

t  

 Gọi M = A1C  (Q) thay (2) (3) (4) vào (1) ta được

1+t

2




x 

1


2  2t  0  t    y 
2


z 




1
2
1
2
2
2

1 1 2
 M  ; ;

2 2 2 

 2 2
Tương tự A1D  (Q) = N  0; ;
 ; A1B  (Q) = L
 3 3 

2
2
 ; 0;


3 
3

243


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –



AM 

1
1
1;1; 2 ; AL  2; 0; 2 
2
3



SAML 



NL 





1
 AM,AL  

 6





2; 2; 2



1
2
 AM; AL  


2
6

 2
2
1
1; 1;  2
1;  1; 0  và NM  3;  1; 2  NL,NM 
9
3
6

SNML 









1
2
 NL,NM  
(đvdt)


2
9

Vậy diện tích thiết diện hình chóp A1ABCD với (Q) là:
S  SAML  SNLM 

2
2 5 2
(đvdt)


6
9

18

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), S(0; 0; m)
a/ Khi m = 2. Tìm tọa độ điểm C đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng
(SAB).
b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. Chứng minh
rằng với mọi m > 0 thì diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 2.
Giải
a/ Khi m = 2. Ta có:


SA  2(1; 0;  1), SB  2(1; 1;  1), n  SA,SB  4(1; 0; 1)

 Mặt phẳng (SAB) qua A(0; 0; 2) và có n  4(1;0;1) , (SAB): x + z – 2 = 0 (1)
 d đi qua O và d  (SAB)  ad  (1; 0; 1) .
x  t (2)

Phương trình tham số d: y  0 (3)  t  
z  t (4)


 I = d  (SAB) ta thay (2), (3), (4) vào (1)  t = 1  I(1; 0; 1)
 Vì C, O đối xứng qua (SAB) nên I là trung điểm OC
xC  2x I  xO  2

yC  2y I  yO  0  C(2; 0; 2)
z  2z  z  2
I
O

 C

b/  Phương trình mặt phẳng () qua O và vuông góc SA (nhận SA làm vectơ pháp
tuyến) (): 2x – mz = 0 (1)

244


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
x  0  2t (2)

 Phương trình tham số SA: y  0
(3)
z  m  mt (4)


t  

Thay (2), (3), (4) vào (1): 4t – m2 + m2t = 0  t 

m2
m2  4

 2m 2
4m 
 SA  () = H  2
; 0; 2


m 4
m  4 

 2m2
4m 
2m
 OH   2
; 0; 2
(m; 0; 2) ; OB  (2; 2; 0)  2(1; 1; 0)
  2
m 4
m 4 m 4




4m
OH, OB 

 m2  4 (2; 2; m)



SOBH 

1
2m
m 4  8m2
2
OH,OB 

8

m

2
 2 (đpcm)
 m2  4
2
m 4  8m2  16

Bài 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
x  1  t
x  2y  z  4  0

1 
và 2 y  2  t
x  2y  2z  4  0
z  1  2t


a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song đường
thẳng 2.
b/ Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho
đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Giải
a/ Ta có a1   2; 3; 4  , a2  1; 1; 2  , 1 qua M  0;  2; 0 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến a1 ,a2    2;0; 1
Vậy (P) qua M(0; 2; 0), và vectơ pháp tuyến n = (2; 0; 1)
Nên phương trình (P): 2(x  0) + 0 (y + 2)  1 (z  0) = 0

 2x  z = 0
b/ MHmin  MH  2  H là hình chiếu của điểm M trên 2
Cách 1:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với 2
Phương trình (Q): x + y + 2z  11 = 0
{H} = (Q)  2  H(2; 3; 3)
245


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Cách 2:

MH   1  t;1  t; 3  2t  vớ i H  2

Do MH . a2  0  t  1 . Vậy điểm H(2; 3; 3).
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz.
Cho mặt phẳng (P): x  y + z + 3 = 0 và 2 điểm A (1; 3; 2), B (5; 7; 12).
a/ Tìm tọa độ điểm A' điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
b/ Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P). Tìm giá trò nhỏ nhất của
biểu thức MA + MB.
Giải
a/ (P): x – y + z + 3 = 0 (1)  n p  (1; 1; 1)
Gọi d qua A và d  P  ad  n p  (1; 1; 1)
d qua A(1; 3; 2) có vectơ chỉ phương ad  (1; 1; 1)
x  1  t


Phương trình d: y  3  t
z  2  t


(2)
(3) thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: t = 1
(4)

Ta có AA'  (P) = H(2; 2; 3)
 Vì H là trung điểm AA' (A' là điểm đối xứng A qua (P)
xA  2x H  x A
x A  3


Ta có: yA  2y H  y A  y A  1  A  3 ; 1;  4 
z  2z  z
z  4
 A
H
A
 A

b/ Gọi f(x; y; z) = x – y + z + 3
f( 1; 3; 2) = 1 + 3  2 + 3 = 3 > 0 

  A, B cùng phía đối với (P)
f  5; 7; 12   5  7  12  3  3  0 


Do A, A' đối xứng qua (P)  MA = MA'

Ta có: MA + MB = MA' + MB  A'B = 18
Vậy giá trò nhỏ nhất của MA + MB = 18 xảy ra  A, B, M thẳng hàng
 M = A'B  (P)  M(4; 3; 4).

246


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
 Vấn đề 3:

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
KHOẢNG CÁCH

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng ().
Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2  0)
Phương pháp
d  M,     

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B2  C2

Bài toán 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ().
Phương pháp
 Tìm hình chiếu H của M trên ().
 Khoảng cách từ M đến () chính là độ dài đoạn MH.
Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1 và d2.
Phương pháp

 Tìm một điểm A trên d.
 Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2.
Bài toán 4: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
():

Ax + By + Cz + D1 = 0

Và ():

Ax + By + Cz + D2 = 0
Phương pháp

Khoảng cách giữa () và () được cho bởi công thức:
d     ,    

D1  D2
A2  B2  C2

Bài toán 5: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
Phương pháp
 Cách 1:
 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa d1 và song song với d2.
 Tìm một điểm A trên d2.
 Khi đó d(d1, d2) = d(A, ())
 Cách 2:
 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa d1 và song song với d2.
 Tìm phng trình mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1.
 Khi đó d(d1, d2) = d((), ())
247

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

+ Ghi chú:
Mặt phẳng () và () chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt
chứa d1 và d2.
 Cách 3:
 Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t1.
 Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t2.

 Xem A  d1  dạng tọa độ A theo t1.
 Xem B  d2  dạng tọa độ B theo t2.
 Tìm vectơ chỉ phương a1 , a2 lần lượt của d1 và d2.
 AB là đoạn vuông góc chung d1 và d2.
AB  a1
tìm được t1 và t2.

AB  a2

 Khi đó d(d1, d2) = AB
 Cách 4 : d  d1 ,d 2  

a1 ,a2  .M1M2


a1 ,a2 



GÓC
Cho 2 đường thẳng d và d' có phương trình:
x  x0 y  y0 z  z0
d:


a
b
c
x  x0 y  y0 z  z0
d’:


a
b
c

(a2 + b2 + c2  0)

a2  b2  c2  0

Cho 2 mặt phẳng  và  có phương trình:
(): Ax + By + Cz + D = 0
(): A'x + B'y + C'z + D' = 0

(A2 + B2 + C2  0)

 A2  B2  C2  0

1. Góc giữa hai đường thẳng d và d':

aa  bb  cc
cos  
a2  b2  c2 . a2  b2  c2
2. Góc giữa hai mặt phẳng () và ():
AA  BB  CC
cos  
2
A  B2  C2 . A2  B2  C2
3. Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng ():

248


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
sin  

Aa  Bb  Cc
2

A  B2  C2 . a2  b2  c2

B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0;–2; 3) và
mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0.
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Giải
Giả sử M(x; y; z).

M  (P)  2x – y – z + 4 = 0
(1).
2
2
2
2
2
2
 MA = MB  (x – 2) + y + (z – 1) = x + (y + 2) + (z – 3)
x+y–z+2=0
(2).




2x  y  z  4  0
y  z  2x  4 (a)
Từ (1) và (2) ta có 
 
(b)
x  y  z  2  0
y  z  x  2

x2
3x  6
. Lấy (a) cộng (b) được: z 
2
2
2
2

2
 MA = 3  (x – 2) + y + (z – 1) = 9
Lấy (a) trừ (b) được: y 



 x2



2

2

2

 x  2   3x  6 

 1  9
 
 2   2


 14x2 + 12x = 0  x = 0 hoặc x = 

6
7

Với x = 0, suy ra y = 1 và z = 3.

6
4
12
Với x =  , suy ra y =
và z =
.
7
7
7

 6 4 12 
Vậy M(0; 1; 3) hay M   ; ;
.
 7 7 7
Cách 2 :
 MA = MB  M nằm trên mặt phẳng trung trực (Q) của đoạn AB
 Mặt phẳng (Q) đi qua trung điểm I(1; –1; 2) của đoạn AB và có véctơ pháp
tuyến là IA  1; 1;  1 nên có phương trình x + y – z + 2 = 0 .
 Mặt khác M còn nằm trên mặt phẳng (P) nên M nằm trên giao tuyến  của
(P) và (Q)
249


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

 Giao tuyến  đi qua A(0; 1; 3) và có véctơ chỉ phương a   2; 1; 3 nên có
 x  2t

phương trình  y  1  t

z  3  3t


t  R

 Vì M  nên M(2t; 1 + t; 3 + 3t)
 MA = 3  (2 – 2t)2 + (–1 – t)2 + (–2 – 3t)2 = 9  t = 0 hoặc t = 

3
7

 6 4 12 
Vậy M(0; 1; 3) hay M   ; ;  .
 7 7 7

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
x  2 y 1 z
và


1
2
1
mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của  và (P). Tìm tọa độ điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với  và MI = 4 14 .
Giải
 I là giao điểm của  và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

x  2 y 1
 1  2
x  1
x  2 y 1 z





  y  1 . Suy ra: I(1; 1; 1).
2
1   y  1 z
 1

 2
z  1
x  y  z  3  0
1


x  y  z  3  0
 Giả sử M(x; y; z), thì: IM   x  1; y  1; z  1 .
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng  là: a  1;  2;  1 .
 Theo giả thiết ta có:
+) M  (P)  x + y + z – 3 = 0

(1)

+) MI    IM  a  IM.a  0  1(x – 1) – 2(y – 1) – 1(z – 1) = 0
 x – 2y – z + 2 = 0

(2).
2

2

2

+) MI = 4 14   x  1   y  1   z  1  224

(3) .

 Lấy (1) cộng (2) ta được: 2x – y – 1 = 0  y = 2x – 1.
 Thế y = 2x – 1 vào (1) ta được: x + (2x – 1) + z – 3 = 0  z = 4 – 3x.
 Thế y = 2x – 1 và z = 4 – 3x vào (3) ta được:

 x  12   2x  22  3  3x 2  224





 x 1

2

 16  x = 5 hoặc x =–3 .

Với x = 5 thì y = 9 và z = –11. Với x = –3 thì y = –7 và z = 13.
Vậy M(5; 9; –11) hoặc M(–3; –7; 13).
250

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
x 1 y z  2
và mặt
 
2
1
1
phẳng (P): x  2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =

6.

Giải
Ta có: C   nên C (1 + 2t; t; –2 – t) với t 
C  (P) nên (1 + 2t) – 2t – 2 – t = 0  t = –1. Do đó C (–1; –1; –1)
M   nên M (1 + 2m; m; –2 – m) (m 
2

2

2

)

2

MC = 6  (2m + 2) + (m + 1) + (–m – 1) = 6  6(m + 1)2 = 6  m + 1 = 1
 m = 0 hay m = –2
Vậy M1 (1; 0; –2) ; M2 (–3; –2; 0)
Do đó: d (M1, (P)) =

1 0  2
6



1
6

; d (M2, (P)) =

3  4  0
6



1
6

.

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c),
trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác đònh b và c, biết mặt
phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt
1
phẳng (ABC) bằng .
3
Giải
x y z
Phương trình mặt phẳng (ABC):    1  bc.x + cy + bz – bc = 0
1 b c
bc
1
1
Vì d (O, ABC) = nên
  9b2c2 = b2c2 + b2 + c2
2 2
2
2
3
3
b c b c
 b2 + c2 = 8b2c2

(1)

(P): y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n P   (0; 1;  1) .
(ABC) có vectơ pháp tuyến là n  (bc; c; b) .
Vì (P) vuông góc với (ABC) nên n  nP  n.nP  0  c – b = 0
Từ (1), (2) và b, c > 0 suy ra: b = c =

(2) .

1
.
2

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
x y 1 z

 . Xác đònh
2
1
2
tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

251


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

Giải
Ta có M  Ox  M (m; 0; 0) (m

) suy ra OM = |m| .

Đường thẳng  qua N (0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương a = (2; 1; 2) .
NM  (m; 1; 0)  a , NM  (2; 2m;  2  m)

Ta có: d (M, ) = OM 

a, NM 


 OM 
a

5m2  4m  8
m
3

 4m2 – 4m – 8 = 0  m = 1 hay m = 2.
Vậy M (1; 0; 0) hay M (2; 0; 0) .
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và
(Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông gócvới (P) và (Q)
sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Giải
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P   (1; 1; 1) .
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là m Q   (1; 1; 1) .
Mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) nên có vectơ pháp tuyến là
k (R)  n (P) , m(Q)   (2;0; 2)  2(1; 0; 1)

Do đó phương trình (R) có dạng : x  z + D = 0.
Ta có: d (O; (R)) = 2 

D
2

 2  D  2 2 .

Vậy phương trình (R): x  z  2 2  0 hay x  z  2 2  0
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x  3  t
x  2 y 1 z

1: y  t
và 2:

 .
2
1
2
z  t


Xác đònh tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1.
Giải
M  1  M(3 + t; t; t)
2 qua A(2; 1; 0) và có vectơ chỉ phương a2  (2; 1; 2) .
Ta có: AM  (1  t; t  1; t)  [a2 ,AM]  (2  t; 2; t  3)
252


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0

Giả thiết cho: d(M; 2) = 1


[a2 , AM]
a2

1 

(2  t)2  4  (t  3)2
4 1 4

1

 2t 2  10t  17  3  2t 2  10t  8  0
 t  1hay t  4
t  1  M(4; 1; 1);t  4  M(7; 4; 4)

Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x y 1 z

 và
2
1
1

mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).

Giải
1. d qua A (0; 1; 0) có 1 vectơ chỉ phương là ad = (–2; 1; 1)
(P) có 1 vectơ chỉ phương là n (P) = (2; –1; 2)
() chứa d và vuông góc với (P) nên:
() qua A (0; 1; 0) và có 1 vectơ chỉ phương:
n ()  a(d) , n(P)   3(1; 2; 0)
Phương trình mặt phẳng (): (x – 0) + 2(y – 1) = 0  x + 2y – 2 = 0
2. M  d  M (–2t; 1 + t; t)
M cách đều O và (P)  OM = d (M , (P))
2(2t)  (1  t)  2(t)  2
 4t 2  (1  t)2  t 2 
4 1 4


6t 2  2t  1  t  1  t = 0  M (0; 1; 0)

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0
x 1 y z  9
x 1 y  3 z 1
và hai đường thẳng 1:
; 2:
. Xác đònh tọa
 


1
1
6
2

1
2
độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Giải
2 qua A(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương u   2; 1;  2 
M  1  M(1 + t; t; 9 + 6t)
MA   2  t; 3  t; 8  6t  , MA, u  8t  14; 20  14t; t  4 
253


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

 MA,u  3 29t 2  88t  68
Khoảng cách từ M đến 2: d  M, 2  

 MA, u 


 29t 2  88t  68
u

1  t  2t  12t  18  1

Khoảng cách từ M đến (P): d  M,  P   
Giả thiết suy ra:

29t 2  88t  68 

2

12   2   22

11t  20
3

11t  20
3

 35t2 – 88t + 53 = 0  t = 1 hoặc t =
Ta có t  1  M  0; 1;  3 ; t 



53
35

53
 18 53 3 
 M ; ;

35
 35 35 35 

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1),
B(2; 1; 3), C(2; 1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B
sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Giải

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD
Vectơ pháp tuyến của (P): n  AB,CD
AB   3;  1; 2  , CD   2; 4; 0   n  2  4; 2; 7

Phương trình (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Ta có I(1; 1; 1)  AI   0;  1; 0  ; vectơ pháp tuyến của (P):
n  AB, AI    2; 0; 3

Phương trình (P): 2x + 3z – 5 = 0
Vậy (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0 hoặc (P): 2x + 3z – 5 = 0
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng
x 1 y z  2
d:
 
2
1
2
1/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
254


Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0
2/ Viết phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
() lớn nhất.
Giải

1/ Gọi H(1 + 2t; t; 2 + 2t)  d.


AH  (2t  1; t  5; 2t  1)

 Vectơ chỉ phương của d: a  (2; 1; 2)
 Yêu cầu bài toán: AH  a  2(2t – 1) + (t – 5) + 2(2t – 1) = 0
 t = 1  H(3; 1; 4) là hình chiếu của A lên d.
x  2y  1  0
2/ Phương trình tổng quát của d: 
2y  z  2  0

Cách 1: () chứa d nên: (): m(x – 2y – 1) + n(2y – z + 2) = 0 (m2 + n2  0)
 mx + (2n – 2m)y – nz – m + 2n = 0
d  M,() 

9m  9n
5m2  5n2  8mn

Vì () chứa d và d(M, ()) lớn nhất  d(M, ()) = AH


9n  9m
2

5m  5n2  8mn

 1  16  1

 9(n – m)2 = 2(5m2 + 5n2 – 8mn)  m2 + n2 + 2mn = 0

Chọn n = 1  m = 1
Vậy (): x – 4y + z – 3 = 0.
Cách 2: Mặt phẳng () chứa d và d(A; ()) lớn nhất
 () đi qua H và vuông góc AH.

 đi qua H(3; 1; 4)
() : 

có vectơ phá p tuyế n: AH  (1;  4; 1)

 Phương trình (): 1(x – 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0  x – 4y + z – 3 = 0.
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AB và CD.
1/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.
2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
1
 biết cos =
.
6
255